Trigonometría 3.
SEMANA 5
GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.
Sean: A (-2;5); B (3;-2) y C (10;b); puntos del plano. Si d (A, B) = d (B,C), Halle el valor de b, si es negativo. A) -3 D) -8
B) -5 E) -9
Los vértices de un cuadrado ABCD son: A(2;3) y C(5;7) Halle el área del cuadrado. A)
5 2
D)
35 2
C) -7
15 2 45 E) 2 B)
C)
25 2
RESOLUCIÓN C(5,7)
RERESOLUCIÓN L
2 3
2
5 2
3 10
2
2
2 b
2
L
b 7
donde: b=3
B
D
2 b 5
A(2,3)
RPTA.:C 2.
d AC
Dado el punto A (-2;5) y B (m;8). Halle la suma de valores de “m” si la distancia de AB es 5. A) -1 D) -4
B) -2 E) -6
5 2
2
7 3
2
d 9 16 d5 Luego: L 2 5
C) -3
2L2 25 25 L2 2
RESOLUCIÓN
RPTA.: C B(m;8)
4.
5 A(-2;5)
d AB
5
m 2 8 5
m 2
2
2
2
Se tiene un triángulo equilátero cuyos vértices son: A (-1;2) y B (2;6). Determine el perímetro de dicho triangulo. A) 20 D) 11
9
B) 15 E) 12
C) 10
RESOLUCIÓN
25 9 (m 2)2
m 2
2
i) ii)
16 m 2 4m 2 m 2 4 m 6
B(2;6) L L
Suma = -4
RPTA.: D
A (-1;2)
L C
Página 123
Trigonometría d AB
6.
2 1 6 2
2
2
Cuál de los siguientes triángulos ABC, tienen mayor área.
L 9 16 L 5
a) A (-5,0), B (1,2) y C (1,-2) b) A (1,1), B (6-4) y C (5,3) c) A (2,0) , B (6,0) y C (4,12)
Luego: Perímetro=15
RPTA.: B 5.
A) a C) c
Tres vértices de un paralelogramo son: A(-1;4), B( 1;-1) y C(6;1). Si la ordenada del cuarto vértice “D” es “6”, Halle su abscisa. A) 5 D) -4
B) 4 E) -6
C) 6
RESOLUCIÓN 5 a)
y
1 2
0
1 2 1 10 2 10 2 122 2 1 2 5
RESOLUCIÓN
1
? D x;6
B) b D) Todos tiene igual área
0 1
6 4 1 b) 1 4 18 5 6 20 3 152 2 5 3 2 1 1
A(-1;4)
M
C(6;1)
2 c)
x
0
7.
AC 2 BD ii) M 2 A C BD 2 2 A C BD i) M
0 RPTA.:C
En la figura:
1 6 0 1 72 24 242 2 4 12 2 2
B(1;-1)
0
Encontrar las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento AB , si: A 2;4 ,B(4;7) Dar como respuesta cercano a “B” A) 0;5
D) 2;5
(-1;4)+(6;1)=(1;-1) +(X;6)
B) 0;5
E) 2; 6
el
C) 2;6
RESOLUCIÓN
(4;6)=(X;6)
P a
x 4
a
RPTA.: B Página 124
A (-2;4)
más
a
B (4;7)
Trigonometría P P
RESOLUCIÓN
A 2B 3 2;4 2 4;7
P = (2; 6)
A = 4S
3
RPTA.: C 8.
Se tiene B (6;-2), distancia baricentro
s
el triángulo A (4,8), C (-10; 6). Halle la del vértice “B” al del triángulo.
A) 2 6
B) 6 2
D) 6 6
E) 3 6
2
S
C) 5 3
1 3 2 1 4 9 1 3 3 6 2 1 3 2 2
RESOLUCIÓN S=
B(6; -2)
10.
C(-10; 6)
A(4; 8)
A BC 3
G 0;4
1 14 S= 72 2
RPTA.: B
Se tiene un cuadrilátero cuyas coordenadas son: A(-3;-1); B (-2,4); C (5;3) y D . Si M es el punto de intersección de sus diagonales, halle la suma de las coordenadas del punto N, si es punto medio de CD . Donde:
BG 36 36
AM MC;MD 2BM
BG 72 6 2
A) 3 D) 6
RPTA.:B 9.
1
A = 4S A = 28µ²
G
G
1
Si los puntos medios de los lados de un triángulo son (2;1) , (3;-2) y (-1; -3). Calcule el área de dicho triángulo. A) 142
B) 282
D) 402
E) 202
B) 4 E) 7
C) 5
RESOLUCIÓN B(-2;4) C(5;3) a
C) 182 N
M(1;1) 2a A( -3;1)
D(7;-5)
Página 125
Trigonometría i) 1;1
1 D 2(2;4) 12
23 4 = ; 3 3
Se pide:
D (7; 5)
(5;3) (7; 5) ii) N 2
RPTA.: D
N (6; 1)
12.
Se pide:
6 (1) 5 RPTA.: C 11.
Se tiene un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus vértices son: A (1;0), B (11;8) y C (x;0). Si M es punto medio de AB y la medida del ángulo agudo MCA es tg 0, 4 . Halle la suma de
B) 7 E) 10
Dos vértices de un triángulo equilátero son (-2;9) y (3;-3). Cuánto mide la altura relativa a dicho lado. A) 4, 5 3
B) 4, 5 3
D) 5, 6 3
E) 6, 5 3
C) 5, 5 3
RESOLUCIÓN (-2;9) 60º
las coordenadas del baricentro del triángulo AMC. A) 6 D) 9
23 4 9 3 3
d
13
C) 8
X
30º
60º (3;-3)
13
RESOLUCIÓN i) d
y B(11;8)
2 3
2
9 3 13 2
Se pide:
x 6, 5 3 RPTA.: E M(6;4)
13.
2k A(1;0)
5k
C
x
2 5 ii) 2k 4 k 2 i) tg 0, 4
1 3
A) ;0 ó (3;0)
1 B) ;0 ó (5;0) 5 1 C) ;0 ó (5;0) 3
C(16;0) iii) GAMC
El área de una región triángular es S 42 , dos de sus vértices son los puntos A (2;1) y B ( 3;-2); el tercer vértice C está situado en el eje X. Halle sus coordenadas.
1;0 6;4 16;0 3 Página 126
Trigonometría 1 5
A) 3;15
D) ;0 ó (3;0)
C) 6;17
1 E) ;0 ó (5;0) 5
E)
8;19
A(-1;2)
y A(2;1)
o
2
D) 7;18
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
1
B) 4;16
a
x
3
B(2;-5)
2a
2
B(3;-2) C(x;y)
-2
-2x
x
0
0
0
2
1
x
3 3-2x
3
-2
-4 X-4
S4
8 = 3x 7
i)
8 = 3x 7 15 = 3x x=5 8 = 3x 7 1 = 3x 1 x= 3
2
2
12 y 2 2 12
un
x8 y 19
C (8; 19) RPTA.: E 15.
El segmento que une A (1;2) con
B(2; 5) C(x;y),
x 2 1
5
RPTA.:C 14.
2a 2 a
Formula de división de segmento en una razón dada:
x 4 3 2x
ii)
r
3
se
prolonga sabiendo
hasta que
AC 3AB, Halle las coordenadas de C. Página 127
Los puntos medios de los lados de un triángulo son P (2;5), Q (4;2) y R (1;1) . Halle las coordenadas de los tres vértices. Indique como respuesta la suma de las abscisas y las ordenadas de los tres vértices. A) 7 D) 12
B) 8 E) 15
C) 10
Trigonometría A) (6;0) ó (1;0) B) (3;0) ó (7;0) C) (6;0) ó (-1;0) D) (3;0) ó (8;0) E) (-3;0) ó (1;0)
RESOLUCIÓN P(2;5)
B(x2;y2)
C(x3;y3 )
RESOLUCIÓN Q(4;2)
R(1;1)
M(2;2) 5
A(x1;y1 )
P(x;0)
Fórmula del Punto Medio:
4
x1 x2 x1 x2 8 2
2=
x 2 x3 x 2 x3 4 2
1=
-2
(+)
x 2 x3 x1 x3 2 2 2x1 x2 x3 14
2=
PN
x 52 (2) 2
MN
5 2
2
(2 2)2
se cumple:
2
2
MN
2
x 22 x 52 17 x 2 7x 6 0
(+)
x 6 ó x 1
y1 y3 y1 y3 2 2
RPTA.: A 17.
2 y1 y 2 y3 16 y1 y 2 y3 8
x1 x2 x3 y1 y 2 y3 15 RPTA.: E 16.
x 22 2 2
PM PN
y1 y 2 y1 y 2 4 2
y y3 5= 2 y2 y3 10 2
1=
PM
En todo
x1 x2 x3 7
N(5;-2)
Dado los puntos M (2;2) y N (5;-2). Determine en el eje de las abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. Página 128
Si G (3; 4) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4/3,2), G 2 (3;19/3) son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A, B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. A) (2;-2),(8;10),(-2;4) B) (3;-3),(8;10),(-2;5) C) (1;-1),(8;10),(-2;5) D) (3;-3),(6;8),(-1;4) E) (3;-3),(6;8),(-1;4)
Trigonometría RESOLUCIÓN
18.
Halle el punto “P” de la figura A(2,8)
B
3 22 A) ; 4 4 1 5 B) ; 4 4
G2 G
7 21 4 4 2 1 D) ; 4 4
C
A
A (x1;y1 )
B ( x2 ; y 2 ) C ( x3 ; y 3 )
P
C
C) ;
G1
Sean:
S 3S
5 6 ; 4 4
E)
B(-3;-2)
Formula del baricentro:
x1 x2 x3 3(3) 9...(1)
RESOLUCIÓN
y1 y 2 y3 3(4) 12...(2)
A(2,8)
AGC : 4 (3) x1 x3 3 x1 x3 1...(3) 3 (3) en (1): x2 8
1
S
P
C
3S
BGC : 3(3) x2 x3 3 x2 x3 6...(4) (4) en (1): x1 3
3
3 A 1B B(-3;-2) 4 3(2;8) 1(1;2) P 4 (6;24) 1(3;2) P 4
P
AGC : (2)(3) y 2 y3 4 y1 y3 2...(5) (5) en (2): y 2 10
BGC :
3 22 P ; 4 4 3 22 P ; 4 4
19 (3) y 2 y3 4 y 2 y3 15...(6) 3 (6) en (2): y1 3 En (2) : y 3 5
3 11 P= ; 4 2
RPTA.: A
A (3;3), B (8;10), C (2;5)
RPTA.: B
19.
Página 129
Dado los puntos A (m-1; n+2) y B (2;3). Si el punto Q divide al segmento AB en la proporción: AQ 1 siendo Q(1; 2) BQ 2
Trigonometría Halle: (m + n). A) -2 D) -8
RESOLUCIÓN
B) -4 E) -10
C) -6
RESOLUCIÓN
(2,3) B 2
Q=(-1;-2)
1
Del gráfico: A (m-1;n+2)
2 A 1B Q 3 3(1; 2) 2 A (2; 3) (3; 6) 2 A (2; 3) (3; 6) (2; 3) 2 A 2 A (5; 9) 2(m 1; n 2) (5; 9) 2m 2; 2n 4 5; 9
i)
ii)
2;5 2 8,0 3 2 1 3
x; y 2;3 2 2 PQ 7 2 15 3 PQ 13
3 2 3 2m 4 9 2n 13 m 2 m n -8
RPTA.: A 21.
RPTA.: D En la figura, calcule la distancia PQ, Si S: Área A(8;0)
Halle el área de aquella región triángular donde 2 de sus vértices son (0;0) y (6;6), además se sabe que el punto de intersección de sus medianas es ( 4/3 ;4). A) 32
B) 62
D) 122
E) 482 y
P C (x;y)
B(6;6)
B(-2;-5)
S
Q(7;-15)
A) 13 D) 24
B) 12 E) 26
C) 242
RESOLUCIÓN
3S 2S
B r. A 1 r
x; y
2m 2 5 2m 3 m
20.
P
C) 5 A(0;0)
Página 130
G(
4 ;3) 3
x
Trigonometría Del Gráfico: i)
23.
A B C G 3
0
x; y 2; 6
ii)
A 00 1 B 1 66 S= 2 C 2 26 D 00
A) 6 D) 9
C) 8
y
B) 10 E) 12
A(12;a) C
6
10
2k
8
Los puntos A(-2;3); B(1;1), C(3;a) con a >0 y D(b;c) son los vértices de un cuadrado. Calcule: V a b c
5
P(4;3) 3 k B(6;0) 8
0 4
C) 8 i)
RESOLUCIÓN y D
B) 7 E) 10
RESOLUCIÓN
1 48 24 2 2
A) 6 D) 2
y
de intersección de OA y BC . Si P divide a ambos segmentos en la misma razón. Halle la suma de las coordenadas del punto C CP PB .
RPTA.: C 22.
A 12;a IC
(0;0);
B(6;0) , donde P(4;3) es el punto
4 0;0 6;6 x; y ; 3 3 3
S=
Si
3 x
1 C 2 6;0
4;3 C 0;9
12
Se pide:
09 9
RPTA.: D
C A(-2;3)
24.
o
B(1;1) x
de donde :
El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A (2;-1) y B (-1;2) y los lados iguales miden cada uno
17u ., Halle el vértice opuesto al lado desigual.
C (3; a) C (3;4) D(b; c) D(0;6)
A) (1;1) ó (-3;-3) B) (3;3) ó (-2;-2) C) (4;4) ó (-1;1) D) (5;5) ó (-2;2) E) (-3,3) ó (3;3)
Se pide:
V abc V 406 V 10
RPTA.:B Página 131
Trigonometría RESOLUCIÓN y
RESOLUCIÓN P(x;y)
17
B=(4,5)
B (-1;2) 17
S
x -1
A=(2,3)
A(2,1)
C=(-2,-2) P(x; y)
2
d(AB) 4 4 8 2 2 d(AC) 16 25 41
17 x 2 y 1 x 1 y 2 2
2
2
2
d(BC) 36 49 85 10
1 De (2);x =y En (1):
x 2
2
(2,3) (4,5)
12 -10
(-2,-2) (2,3)
-4
-8 -6
x 1 17 2
4
2
x x 6 0 2
2 4
x=3 ó x=-2
S
P =(3;3) Ó (-2;-2)
S1
25.
Se tiene los vértices de un triangulo ABC : Y A (2;3) ;
RPTA.: B
Sabemos:
S
B(4;5) y C (-2;-2). Determinar el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC. A) C) E)
82 85 2 115 2 41 85 2
2
42 15 2 127 D) 2
1
R
B)
abc 4R
2 2
41
85
4R 82 85 R 2
82 85 2 RPTA.: A
Página 132