Semana 4 cs

Trigonometría SEMANA 4

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS II

2.

En la figura, halle: Sen; AD Si: BM  MC  3 M

B

1.

C

En la Figura, S: Área.

Halle “ sen  ” A) B)

26 26 26

S 

5 26 26 26 D) 5 1 E) 5

45º

C)

A) 2S



D

A

45º

D)

1

B)

10 1

E)

10

2

1

C)

10 2

10

10

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN

K

K

K

45º S

1K

K

S

2K

2K

2K 2

K

13

2K

5

3K

45º 2K





2

2K

45º

2S

K

2K

45º 2K

Si BM  MC 

Del Gráfico:

k

S

=



13 2k 2 2

 Sen  



 

1 2k 2 k 5 Sen 2 1 S  k 2k  2 De donde: 1 Sen  10 S

S sen 



AD k 3

1k  2k  2

1

26 26 Sen  26

RPTA.: A RPTA.: A Página 119

Trigonometría 3.

Se tiene un trapecio cuyas diagonales son perpendiculares y sus bases miden 4 y 12.

Halle la altura de dicho trapecio si el producto de sus diagonales es 80.

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

RESOLUCIÓN D 2c B

S1



C) 6

a

c S

RESOLUCIÓN

A

C

b

4a

4 d2

E Si: S=64 1 acSen  64  acSen = 128 2

d1 h

Se pide: 1 S1  2c  5a Sen 2

12

 5acSen

Dato: d1.d2  80 Se pide:



1 d1d2 Sen90º 2 1 S= 4  12h 2

5.

S1  6402

RPTA.: B

S=

En la figura mostrada, evaluar el área de la región triangular AOB en términos de 

De donde: 80 =16h h=5

RPTA.: D 4.

B

El área de un triángulo ABC es 64 2 , se prolongan AB y BC hasta los puntos D y E respectivamente de tal manera que AD =3 AB  CE = 4 BC .

Halle el área de la región triangular DBE A) 6382

B) 6402

D) 6442

E) 6502



A

4

o

A) 4Sen C) 2Cos2 E) 3Cos2

B) 8Sen2 D) 5Sen

RESOLUCIÓN

C) 6422

 4 A Página 120

4

S



4

2

o

4 Sen2

Trigonometría 1  4 4Sen2 2  S  8Sen 2 2

(1) = (2)

De la figura: S 

130 Sen  9

Sen 

RPTA.: B Si ABCD es un cuadrado, donde: CD  3ED y además: m BEA   , Calcule: Csc E

C

130 9

 Csc 

130

RPTA.: C 7.

En la figura ABCD es un cuadrado, M y N son puntos medios.

Determine "cot " .

D

B

A



M



A

B

A) D)

110 3 145 10

B) E)

121 4 160 12

C)

D

130 9

C

N

A) 2

B) 1

1 D) 2

1 E) 3

C) 3

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN a

2a



 10a

S

3a

2a

3a

13 a

a 2

45º

a 2 a

6.

9

3a

1 9a2 S  3a3a  …(1) 2 2 También: 1 S 13a 2





a 2 a

De la figura: Cot  3

RPTA.: D



10a Sen …(2) Página 121

Trigonometría 8.

Del gráfico, halle “x”, en términos de “”.

A) mctg  tg B) m  tg  ctg 

C) mctg  tg

1



D) mtg  ctg E) m.ctg  tg

1

3

RESOLUCIÓN 2 

x X

A) B) C) D) E)

3cos   2Sen 2cos   3Sen 2sen  3cos 3sen  2cos 2sen  3cos

 xctg

xtg

m

Del grafico: xCtg  xtg  m x Ctg  tg  m

RESOLUCIÓN

 x  mctg  tg

1

3Sen

RPTA.: C



10.

3



2

En la figura, halle el perímetro del rectángulo OABC si se conoce “  ”, y el radio del cuadrante MON es “r”.

B



 2Cos

x

C N

 x  3Sen  2Cos RPTA.: D 9.

En la figura, halle “X” en términos de ””, “  ” y “m”.

r A

M

A) 2r  sen  cos



B) r  csc  sen C) r  sen  cos

X

D) 2r  csc  sec



E) r2 sec csc

m

Página 122

O

Trigonometría RESOLUCIÓN

B

r Csc 

B



C



E

r Sec 



r Sec  A

r

C

D m

 A



BED: DE = m.Cos.Sen2

 r Csc 



RPTA.: E

Perímetro del rectángulo OABC= 2R  csc  sec

RPTA.: D

12.

A partir de la figura mostrada, se pide determinar M, si:

En la figura halle DE en términos de “m” y “”.

11.

2

B

3S



E

 A

M D m

1

S



9 Cot  Tag

y

4 Cot  Tag

S

representa área

1 2 3 D) 2

A) m sen csc

2 3 1 E) 4

A)

B) m cos sen C) m cos2 sen2 D) m cos2 sen

B)

C)

1 5

RESOLUCIÓN

E) m cos sen2

RESOLUCIÓN

2

ABC = AB = mCCos ADB = BD = mCos

3S

. Sen 



S

Cot 3Cot Página 123

1

Trigonometría 1 3Ctg (3) … 1 2 1 S  Cot  (1) … 2 2 en 1 2



4S 





5 1 2

RPTA.: B 14.

9 Cot  Tan 3  2 2 6 Cot  Tan 3

Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º .

Nos acercamos una distancia “x” y el ángulo de elevación tiene por tangente 4.

Si la altura del edificio es “h”.

Halle:

RPTA.: D

13.

5 1  tg   tg  2 2



4 3 .Cot  (3)Cot 2 2 4Cot=9Cot  4 Tan= . tan 9 9 Cot  Tan M 9 4 4 Cot  (Tan) 4 9 M=

1 1 = tg² + tg + 4 4 2 5  1   tg   4  2

1+

Una hormiga observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “”, si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle: “tg”.

x h

(Tomar: sen 37º = 0,6) A) 1,21 3

B) 1,08 2

D) 2,13 2

E) 3,01 5

C) 1,08 3

RESOLUCIÓN

h=3k

C)

5 1 2 5 +1

E)

5

A)

B) D)

5 1 2 5 1

x

RESOLUCIÓN

Del gráfico: Hctg = H + Htg  H  ctg   H 1  tg  





1  1  tg  1 = tg + tg² tg

4k-x

Dato: tg  4 3k 4 4k  x 3k  16k  4x 4x  13k Se pide: x 4x 13k    1,083 h 4h 4(3k)

RPTA.: C Página 124

Trigonometría 15.

Desde un punto de tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación “  ”. Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: ctg

RESOLUCIÓN

15m

(Tomar: sen37º = 0,6) 5 3 D) 3

4 3 E) 2

A)

B)

C)

7 3

H

 

RESOLUCIÓN

a

H=3k



37º 4k H

Se pide: ctg 

7k 7  3k 3

RPTA.: D 16.

Una antena de radio de 15m. de longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edifico las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “” y “  ” respectivamente. Si: tan = 0,76 y tan  =0,19, determinar (en m) la altura del edifico.

A) 4 D) 7

B) 5 E) 8

C) 6

Página 125

Trigonometría 

tan=0,76 tan  =0,19 tan=4tan  15+H =atan H= a tan 



15  H tan  4 H tan



cot = 2  1  = 67º 30

´

18.

15+H = 4H. H = 5m



RPTA.: B

17.



Un avión que esta por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra, si ve el extremo más alejado con ángulo de depresión de 22º30’ .Calcule con que ángulo observa el otro extremo.



m 2 1 GE  AG m

AGF cot =

RPTA.: D

Una persona colocada a la orilla del rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60º se aleja 40mts, y nuevo ángulo de elevación mide 30º ¿Cuál es la altura del árbol?

A) 43,6 D) 36,4

B) 30,6 E) 38,4

C) 34,6

RESOLUCIÓN D

A) 22º30’ D) 60º

B) 67º30’ E) 120º

C) 90º

30 30

RESOLUCIÓN A



h

Horizontal 22º30'

60 C

m

40

B

h  AD Sen60º 

AD  AB  40 3 h  40  h  34.6 m 2

22º30' F

G

E

2m

FE  2m FEA  22º30'

RPTA.: D

AGE: GE=mctg 22º30’ GE  m



30 A



2H



GF  GE  FE GF  m



19.



2H  2m  m





2 1

Página 126

Subiendo por un camino inclinado un ángulo de 37º respecto a la horizontal, se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de45º. Si el poste se encuentra a

Trigonometría 20m del punto de observación; ¿Cuál es la altura del poste?

A) 2m D) 4m

B) 3m E) 8m

RESOLUCIÓN

C) 6m

RESOLUCIÓN Poste

45º h=?

Punto de observación

45º

20m 53º

Del gráfico: S = S

12m

37º

14 12  13 15

16m

37º

2

Del gráfico: h  12  16 h  4m

9u

 53º

(Tomar sen 37º = 0,6) 56 65 65 D) 33

A)

33 65 15 E) 14

B)

56 65 65  Csc  56

RPTA.: C

Halle “ Csc ” del gráfico: 5u

Sen

Sen 

RPTA.: D 20.

2

C)

65 56

Página 127