Trigonometría SEMANA 2
1 3L x 2L 8 L² 2 3L x 8 L
LONGITUD DE ARCO 1.
Calcule la longitud de un arco en un sector circular cuyo ángulo central mide 1º y su radio mide 1800 cm. m 2 D) m 10
A)
m 5 E) m 20
B)
C)
x 5L
RPTA.: C 3.
m 8
Si: AB + CD = 26. Halle el área del sector circular EOF. 4
A) 1
C
B) 2
RESOLUCIÓN
C) 3
2
o
E 4 D
D) 4
L
F
1º
E) 6
B
RESOLUCIÓN
Si: 1º rad ; 1800 cm = 18 m 180
4
A
C 8
Se pide: L x 18 180 L m 10
2
o
4
E 4 D
F B
RPTA.: D AB
Se muestra sectores circulares concéntricos, donde S representa área, obtener x. si S = 8L²
CD
52 26
B) 4 L 3L
S
x
SEOF
D) 6 L
1 2
R 2 1 1 4 ² 2 2 2
SEOF 4
E) 8 L
RESOLUCIÓN
26
12 3 8 2 26
2L
A) 2 L C) 5 L
4
18
2.
A
RPTA.: D 4.
S = 8 L²
Página 112
Una regadera instalada en un parque, tiene un alcance de 8 m y barre un ángulo de 120g. Calcule
Trigonometría el área del sector circular que genera esta regadera. A) 19,2 m² C) 18,9 m² E) 14,4 m²
Se pide: R V 3 R 9 V=3
B) 17,6 m² D) 12,6 m²
RPTA.: B
RESOLUCIÓN 6.
S 8 120 g 8
Si: 120g =
3 rad 5
A) 2 m D) 7 m
Se pide: 1 3 S 8² 2 5 S = 19,2 m²
5.
C) 5 m
Inicialmente:
RPTA.: A rad
S
S
R² 2
Finalmente:
R + 5m= ?
A
A) 2 E
B) 3
4 rad B
49 S
20º
D) 5 E) 6
D C
49 S
49
A R 60º 20º
E
R² 4 R 5 ² 2 2
R 2m
80º D
2
7R 2 R 5
R
20º
4 R 5 ²
RESOLUCIÓN
B
B) 3 m E) 9 m
RESOLUCIÓN
Si CAE es un sector circular y ED AB BC. Halle : V DC
C) 4
Si a un sector circular le cuadruplicamos su ángulo central y aumentamos 5 m a su radio, se obtendrá un nuevo sector circular que tiene un área que es 49 veces el área del sector circular inicial. Determine el radio del nuevo sector.
80º
R 5m 7m
C
RPTA.: D Página 113
Trigonometría RESOLUCIÓN 7.
x²
Halle el área sombreada: 5
A
A)
x (x + 1)
C
x (x - 1)
B) 2 C) 3
o
6
30º
D) 4
5 x x 1
E) 5
D
A C
6
30º
.........(1)
x 1 x x 1 x² 5 x 5 5(x+1) = (x²+5)(x1) 5x + 5 = x³ x² + 5x 5 10 = x³ x² E = x³ x² 1 E=9
RESOLUCIÓN
o
5
Luego :
B
a
x x 1
RPTA.: E b D
9.
B
Sx = SAOB SCOD Sx a² b² 2 2 Sx a² b² 2 1 Sx 6² 2 6
A) B)
36 Sx 12 Sx 3
C)
RPTA.: C 8.
En la figura, el trapecio circular ABCD y el sector circular COD m tienen igual área. Halle: n A
2 2
1 2
D
n
m
o
2 C
D) 2
B
E) 1
Calcule: E = x³ x² 1, si: A
RESOLUCIÓN
x² C 5 x (x + 1)
o
x (x - 1)
rad D
A) 5 D) 8
B) 6 E) 9
B
C) 7
Página 114
S
m
S
n
Trigonometría m² 2 n² mayor : 2S 2 1 m² 2 n² menor : S
1 2
RPTA.: B
m n
m 2 n 2
11.
RPTA.: A 10.
(2R+L)²=16a²(2R+L)² = 8(2a²) 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L) 4R² 4R.L +L² = 0 (2RL)² = 0 2R L = 0 2R = L 2R = R = 2
BC = DE = a, AB = EF = 2a, LCD x, LBE y, L AF Z
Se tiene un sector circular y un cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser: A) 1 rad
B) 2 rad
D) 4 rad
1 E) rad 4
C)
De la figura mostrada, AOF, BOE y COD son sectores circulares, además:
Calcule: M = (2x + z) y1
1 rad 2
C) 3
D
E) 5
E F
S
L o
Condiciones: =S
Perímetro
a
B
x
LR a² 2 R.L = 2a²
De la figura:
=
Página 115
A
z
a 2a F
yx zy a 2a
2y 2x = z y 3y = 2x + z Luego: M = (3y) . y1 M=3
a
2a
y
E
Perímetro
a
S
D
2R + L = 4a
a
C
R
a
o
RESOLUCIÓN
rad
ii)
C
D) 4
R
S
B
B) 2
RESOLUCIÓN
i)
A
A) 1
RPTA.: C
Trigonometría 12.
12 mts 5 5 C) mts 12 5 E) mts 11
S2 S3 S1 Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones sombreadas
2
B)
RESOLUCIÓN
S2
11 mts 5 12 D) mts 7
A)
Calcule: M
S=
S1 S3
1 1 L R 7,2 L(6) 2 2 24
12 7 D) 5 + 2
A)
13 2 E) 5 2
B)
C)
1 12
L
RESOLUCIÓN 14.
2 S1 = 2S
144 L(6) 10
S2 = 3S 6S S3. = 10S
12 mts 5
Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando la rueda menor gira º la mayor gira g. ¿En qué relación se encuentra los radios? 3 7 3 D) 10
A) S1 = 2S S2 = 3S S3 = 10S M
8 13 9 E) 4
B)
C)
9 10
RESOLUCIÓN
S2 S3 13 S1 2
RPTA.: B 13.
RPTA.: A
Dos postulantes de la UNAC, observan un reloj eléctrico cuyas agujas están detenidas, luego de la falla eléctrica en el Callao, uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 m² y si el reloj tiene un radio de 6 m. ¿Cuál será el arco entre las agujas? 22 Considere 7 Página 116
Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda menor y mayor respectivamente.
g º
R2 R1
En una bicicleta se cumple que: 1 R1 = 2 R2 ºR1 = (g)R2
Trigonometría 16.
En el sistema mostrado, si la 3 rueda A da de vuelta, entonces 4 la longitud recorrida por la rueda C es:
9 ºR1 º R2 10 R1 9 R 2 10
RPTA.: C 15.
Se tienen dos ruedas conectadas por una faja; si hacemos girar la faja, se observa que las ruedas giran ángulos que suman 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas si sus radios miden 3 m y 5m 1 1 1 A) B) C) 3 8 9 1 1 D) E) 10 4
B
8
2
6 A
C A) 3,6 D) 18
C) 1,8
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
A B
1 + 2 = 144º 8
5 3
B) 36 9 E) 4
2
6
C
L1 = L2
3 V 4 3 3 A 2 rad rad 4 2
# VA
1 R1 = 2 R2 1 R2 V 5 1 2 R1 V2 3
1 144 1 2 2 2 180 2 2 2 V1 V2 8k V1 V2 2k 5 5 1 1 k V1 V2 2 20 20 1 10
*
A B:
LA = LB A RA = B RB 3 2 6 B 2 B
*
RPTA.: E
9 2
B C:
9 2 9 L C CRC 8 36 2
B = C =
RPTA.: B Página 117
Trigonometría 17.
Determine el área de la región sombreada, sabiendo que las áreas de los sectores AOB y COD son iguales ( y en radianes)
18.
o
Del gráfico, halle el número de vueltas que dará una ruedita de radio 1, al ir de A hasta B si CB = 8 y AOC es un sector circular.
R A
B D
A) 2 D) 5
M C 1 A) R² 2 1 C) R² ² ² 2 1 E) R² ² 2
S
A
S
S
4 L1
L2 8
B
L1 + L2 = 2 (1) . N 4 8 2 N 2 10 2 N N5
1 r12 2 r12 R 22
S
o
C
R2
r1
C) 4
RESOLUCIÓN
1 B) R² 2 1 D) R² ² 2
RESOLUCIÓN
B) 3 E) 6
1 R² 2
RPTA.: D 19.
SX
S + Sx = S T Sx = ST S 1 1 Sx R² r12 Re emplazando 2 2 1 1 Sx R² R² 2 2 1 Sx R² 2
Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A hasta la posición B.
20 o
r A
RPTA.: A Página 118
o
B
r
Trigonometría A) 85 D) 10,5
B) 9 E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN L AB = 240º
RESOLUCIÓN #V
B
RECORRIDA
2 r Sabemos: r = () (21) = 21 21 # vueltas = 2 1
r A L r
18u 24 180
24 0
#v = 10,5
RPTA.: D 20.
B
De la figura mostrada, la rueda de radio r, gira sin resbalar sobre la superficie de radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?
B
De la figura: L 24 241r 240 r
L = 24,1
21.
r A
Sobre una superficie curva de radio “R” gira una rueda cuyo radio es “r” (ver figura). Si dicha rueda da una vuelta al ir de “M” a “N”. Calcule la longitud del arco MN. ( O y O son centros).
r
B 240 r
A) 24
B) 24,1
D) 24,3
E) 24,4
RPTA.: B
N
o A
M
R
C) 24,2
O A)
R r Rr
C) 2Rr R r E)
Página 119
R r 2Rr
Rr R r 2Rr D) R r
B)
Trigonometría RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN Espacio recorrido por el móvil A será PR y del móvil B es el arco QR . eA = VAtA y eB = VBtB Pero ambos parten tiempo tA = tB P 2
R
al
mismo
r
r
i)
ii)
MN
Dos móviles A y B parten al mismo tiempo y en las direcciones indicadas en la figura de los puntos P y Q respectivamente, si la velocidad de A es a la velocidad de B como 3 es a 7. Calcule cuando mide “” si se encuentran por 1era. vez en el punto R. A) B) C) D) E)
rad 5 R rad 4 rad 10 rad 20 7 rad 10
eA V 3 A eB VB 7
7eA 3eB
eA LPR r y eB L QR r 2
2Rr R r
RPTA.: D 22.
Q
r
Del gráfico: R r L n 1 2r 2r 2r = R r R MN
r
Reemplazando: 7 r 3 r 2 7 7 3 3 10 2 2 rad 20
RPTA.: D
P
Q
Página 120