Contexto para el cálculo con números enteros

E INCERTIDUMBRES

Contexto para el cálculo

CON NÚMEROS ENTEROS*

Jeff Gregg Diana Underwood Gregg**

El National Research Council (Consejo Nacional de Investigación)1 observa que se han utilizado una variedad de metáforas para introducir los números negativos en la escuela, “incluyendo elevadores, termómetros, pasivos y activos, pérdidas y ganancias, globos aerostáticos, historias de carteros, guijarros en una bolsa y fl echas con dirección en la recta numérica”.2 Además, los libros de texto estándar generalmente han empleado ya sea un modelo de fi chas, en el que los enteros positivos se representan con fi chas negras y los enteros negativos se representan con fi chas rojas; un modelo de campo eléctrico que muestra +/–; o un modelo de recta numérica.

algunos contextos o modelos no son realmente metáforas porque, por ejemplo, debe construir un escenario que haga posible explicar, por ejemplo, por qué restar un número los números negativos sí ocurren en las tempe- entero es lo mismo que sumar su opuesto o por raturas, en contabilidad y en la manera de llevar qué multiplicar un número negativo por otro el marcador de algunos deportes (por ejemplo, número negativo da positivo. las marcas bajo par en el golf). Sin embargo, es- En algunas situaciones, establecer la cotos contextos se vuelven metafóricos cuando se nexión entre el modelo y la manera en que funutilizan para modelar operaciones aritméticas cionan las operaciones con enteros genera una con números enteros. Cada modelo o contexto proliferación de reglas dentro del modelo que llegan a estar tan desprovistas de sentido para los alumnos como las reglas matemáticas abstractas. Aun cuando la conexión metafórica parezca obvia para los maestros, puede no serlo para los alumnos que apenas están aprendiendo acerca de las operaciones con los enteros. Por ejemplo, en el modelo de la recta numérica, se les dice a los alumnos que la operación de la resta corresponde a colocarse mirando en la dirección de los negativos; los enteros positivos

* Permiso de traducción y reproducción del artículo “A context for Integer Computation”, copyright 2007 por el National

Council of Teachers of Mathematics. Todos los derechos reservados. NCTM no es responsable por la exactitud o la calidad de esta traducción. Traducción de José Ignacio de Lucas Arbiza. Copyright de esta traducción: Correo del Maestro. ** Jeff Gregg (gregg@calumet.purdue.edu) y Diana Underwood

Gregg (diana@calumet.purdue.edu) enseñan en cursos de matemáticas para normalistas en la Purdue University Calumet, en Hammond, EUA. Jeff Gregg se interesa en los factores sociales y políticos involucrados en la reforma de la enseñanza matemática. Diana Underwood Gregg colabora con maestros en el diseño e implemento de secuencias de enseñanza. NOTA: Correo del Maestro agradece a Diana Underwood Gregg por enviarnos su artículo. 1 National Research Council, Adding It Up: Helping Children Learn

Mathematics, Washington, D.C., 2001. 2 Idem, p. 245.

se restan caminando hacia adelante y los enteros negativos se restan caminando hacia atrás. De manera similar, es posible que se enseñe a los alumnos que la resta siempre corresponde a caminar hacia atrás; para los enteros positivos, deberían ver hacia la derecha antes de caminar y para los enteros negativos deben mirar hacia la izquierda antes de caminar. Al analizar los enfoques de los libros de texto tradicionales, como el modelo de la recta numérica o el modelo de las partículas con carga, Petrella3 señala que “las reacciones de los alumnos hacia estas clases comúnmente transmitieron una sensación de confusión, preocupación y frustración”4 y que los modelos “no mejoraron el ambiente de aprendizaje. Por el contrario, el modelo en sí fue una distracción”.5

Aunque algunos otros modelos que se relacionan con objetos como termómetros, piedritas en una bolsa y globos de helio pueden ser más realistas para los alumnos, su conexión a las operaciones con enteros aún es artifi ciosa. Por ejemplo, en el modelo del globo,6 restar un entero negativo corresponde a soltar un globo que tiene un valor negativo asignado a él. Es casi imposible evitar la naturaleza artifi ciosa de estas metáforas. Las reglas para calcular con números enteros se deducen de las propiedades de los enteros. Las reglas para calcular con globos de helio no pueden deducirse de manera similar. Debido a este dilema, lo mejor que podemos hacer es tratar de desarrollar contextos para pensar acerca de las operaciones con números enteros que no confundan a nuestros alumnos y los ayuden a construir una manera informal de pensar acerca de por qué las operaciones funcionan. Eso es lo que ofrecemos aquí.

3 Petrella, Gerald, “Subtracting Integers: An Affective Lesson”, en

Mathematics Teaching in the Middle School, núm. 7, noviembre de 2001, pp. 150–151. 4 Idem, p. 150. 5 Idem, p. 150. 6 Reeves, Charles A. y Darcy Webb, “Balloons on the Rise: A

Problem-Solving Introduction to Integers”, en Mathematics Teaching in the Middle School, núm. 9, mayo de 2004, pp. 476–482.

El contexto de la mesada

Los libros de texto que utilizan el modelo de las fichas o el modelo de débito-crédito emplean un enfoque de arriba-abajo en el que simplemente se dice a los alumnos cómo interpretar las operaciones de números enteros en términos del modelo. En lugar de eso, nosotros quisimos desarrollar una secuencia de instrucciones de abajo-arriba que primero proporcionara a los alumnos oportunidades de aprendizaje para construir los números enteros como unidades compuestas. En otras palabras, queremos que los alumnos sean capaces de representar cualquier número entero dado de diversas maneras, tales como representar −5 como: −5 + 0, −4 + −1, −3 + −2, etc. También queremos que los alumnos sean capaces de recrear −5 de cualquier manera que sea útil para una tarea específi ca, mediante la suma de un mismo número, positivo y negativo, a −5. Por ejemplo, dado el problema:

−5 − +12 = ,

los alumnos pueden considerar cómo −5 puede expresarse: −5 + 12 + −12. Esto representaría −5 de tal manera que +12 puede ser “quitado” de él. Creemos que conforme los alumnos perfeccionan esta fl exibilidad para representar cantidades de enteros, están desarrollando una base para construir la comprensión de las operaciones con números enteros.

Para ayudar a los alumnos a hacer sentido de las operaciones con enteros utilizando un enfoque de abajo-arriba, inicialmente utilizamos un contexto de juego de la unidad “Operaciones” de la serie Mathematics in Context (Matemáticas en

Créditos +1 +1 +1 Débitos –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 Créditos +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 Débitos –1 –1 –1 –1 –1 –1 Créditos +1 +1 +1 Débitos –1 –1 –1

(a) (b) (c)

Figura 1. Para cada situación en (a), (b) y (c), averigua cuánto dinero se ganó o cuánta deuda se acumuló.

contexto, MiC).7 Esta unidad tiene el propósito de apoyar el pensamiento de los alumnos acerca de la cantidad y las operaciones con números enteros. El escenario muestra un grupo en el que los alumnos participan en un juego. Los equipos que contestan correctamente una pregunta reciben un punto, que se representa con una fi cha de +1. Los equipos que contestan de manera incorrecta pierden un punto, que se representa con una fi cha de −1. El escenario de juego se utiliza para proporcionar un contexto en el que sea posible una interpretación de tipo de “modelo de fi chas” de las operaciones con enteros. Al usar este escenario de juego con nuestros alumnos de nivel de desarrollo de ciclo básico universitario (cuya comprensión es aproximadamente la del nivel de un alumno de primero o segundo de

7 Abels, Mieke, et al., “Operations”, en Mathematics in Context:

A Connected Curriculum for Grades 5–8, editado por el National

Center for Research in Mathematics and Science Education and Freudenthal Institute, Encyclopaedia Britannica Educational Corp., Chicago, 1998. secundaria), encontramos que aunque el escenario aportó un contexto realista para algunos alumnos, la mayoría no se involucraron con él y no lo utilizaron para razonar acerca de las operaciones o para construir los números enteros como unidades compuestas. Por esto, nosotros hicimos un giro radical al escenario al cambiar el modelo de fi chas del registro de puntos en un juego, a uno de registro de débitos y créditos. Nuestra introducción a este escenario modifi cado es la siguiente.

La señora Brady lleva un registro de las tareas hogareñas que sus gemelos Bobby y Cindy realizan, utilizando una tabla de débito-crédito que ha pegado en el refrigerador. Da a sus hijos fi chas de “+$1” cuando terminan las tareas y fi chas de “ −$1” cuando no las completan a tiempo. Al fi nal del mes, otorga a sus hijos una mesada con base en sus tablas de débito-crédito. (Algunas veces, los niños fl ojean mucho y terminan debiendo.)

Calcula las ganancias netas de Bobby y Cindy en el mes (como se ve en los tres ejemplos en la fi gura 1).

Créditos Débitos Créditos Débitos Créditos Débitos

(a) (b) (c)

Figura 2. Reemplaza cada “?” con la cantidad apropiada de créditos o débitos de tal manera que el valor neto de la tabla sea –6.

Imaginar que los débitos y créditos pueden sumarse o restarse basándose en si la tarea se realizó o no, demostró ser realista para nuestros estudiantes universitarios. Muchos de ellos son padres que luchan para lograr que sus propios hijos hagan las tareas de la casa. También es realista para una clase de alumnos de secundaria con el que trabajamos, quienes estaban horrorizados por el hecho de que no cumplir una tarea signifi cara una deuda que debería pagarse.

Al discutir su razonamiento acerca de las tareas en la fi gura 1, los estudiantes se dieron cuenta de que si ponían los débitos y créditos en parejas sólo se tenían que fi jar en lo que ellos llamaban “las sobras” en cada tabla para determinar las ganancias netas. Argumentaron que las fi chas restantes se cancelaban, o se “hacían cero”, entre sí. Éste fue un paso inicial en su construcción de un entero como una unidad compuesta. Los alumnos fueron, entonces, capaces de aplicar una estrategia de “cancelar” para resolver el problema en la fi gura 2. Por ejemplo, en la fi gura 2a, comenzaron poniendo 3 negativos en la tabla para cancelar los 3 positivos, de esta forma llevaron el valor en la tabla a 0. Luego sumaron 6 negativos más. Unos pocos alumnos aplicaron una estrategia más abstracta para esta tarea, al razonar que “ya que 6 más 3 es 9, debe haber nueve negativos”. Sin embargo, tuvieron difi cultad para articular por qué funcionaba esta estrategia. Para ayudarlos, el maestro les pidió que pensaran en cómo se relacionaba su estrategia con la de los alumnos que sí dibujaron los créditos y los débitos en la tabla. Finalmente, observen que −6 fue utilizado como el valor de la tabla en todas las tareas de la fi gura 2. El fundamento era apoyar la idea de que un entero como −6 puede ser representado en una variedad de formas (por ejemplo, 3 positivos y 9 negativos, 6 positivos y 12 negativos, y así sucesivamente).

Para desarrollar aún más la idea de que un entero es una unidad compuesta, cambiamos a tareas en las que se pedía a los estudiantes que

La tabla muestra la cantidad inicial. Determina la nueva cantidad después de la operación especifi cada.

Comienza: –$9 Quita: +$4 Nueva cantidad: –$9

(a)

–6 Débitos y créditos ocultos

(b)

Modifi ca la tabla de débito-crédito de tal manera que pueda utilizarse para resolver la tarea. Luego usa la tabla para resolver la tarea.

Comienza: +$2 Quita: +$5 Nueva cantidad: –$2 + + Créditos

Débitos

(c)

Figura 3. Analizar débitos y créditos ocultos.

calcularan la cantidad neta representada en una tabla después de que un crédito o un débito se agregara o quitara (ver fi gura 3a). Las tareas se volvieron cada vez más difíciles conforme se pidió a los alumnos que quitaran los créditos o débitos que estaban escondidos. Para introducir la idea de créditos y débitos ocultos, el maestro puso una tabla de débitos-créditos en el proyector de acetatos con, digamos, 6 negativos visibles y una colección de débitos y créditos emparejados tapados con una cartulina (ver fi gura 3b). Al mover la cartulina hacia adelante y hacia atrás para revelar algunas de las parejas de créditos y débitos, el maestro repasó la idea de que un número entero dado se puede representar en una variedad de maneras. Sin importar cuántas parejas de débitos y créditos se mostraran, el valor de la tabla permanecía igual. Se estimuló a los estudiantes a aplicar la noción de destapar parejas de débitos y créditos para resolver tareas como la de la fi gura 3c. En esencia, los alumnos tenían que representar una cantidad entera como un compuesto que les permitiera remover el débito o crédito. Por ejemplo, para resolver la tarea en la fi gura 3c, algunos alumnos modifi caron la tabla destapando 5 créditos y 5 débitos de tal manera que pudieran quitar 5 créditos. Otros estudiantes destaparon sólo 3 créditos y tres débitos porque los 2 créditos existentes hacían que tuvieran sufi cientes para quitar 5 créditos. Continuamos con estas tareas pidiendo a los alumnos que escribieran expresiones numéricas para representar cada situación de los problemas (por ejemplo, +2 − +5 = −3).

Además de hacer participar a los alumnos en tareas que promovieran el razonamiento acerca de las cantidades enteras como compuestos, también queríamos que los alumnos entendieran por qué restar un número entero es equivalente a sumar el inverso aditivo del número. La pregunta siguiente, en la que no se dio una cantidad inicial, funcionó como catalizador para una discusión grupal de esta noción.

Después de llegar a casa del trabajo, la señora Brady miró dentro del refrigerador. Volteando a ver a Cindy le dijo: “Quita –$12 de tu tabla”. ¿Crees que Cindy limpió el refrigerador? Explica tu razonamiento.

Los alumnos razonaron consistente y correctamente que quitar deuda signifi caba que Cindy había, de hecho, limpiado el refrigerador. Más importante aún, razonaron de manera correcta que quitar $12 de deuda incrementaría la mesada de Cindy en $12. Discutir tareas de este tipo llevó a que los estudiantes fueran capaces de formular la generalización de que restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

Terminamos nuestro trabajo de sumar y sustraer números enteros proponiendo expresiones numéricas y pidiendo a los alumnos reescribirlas en términos del contexto de crédito-débito de tal manera que fueran más fáciles de resolver. Por ejemplo, los alumnos pueden contextualizar la expresión numérica −3 − −5 = de la siguiente manera: “El valor neto de la tabla de Cindy era − 3. Lavó la ropa, y su madre le dijo que quitara 5 débitos. ¿Cuál era el nuevo valor de su tabla?”

Por último, ampliamos el escenario a la multiplicación de números enteros de tal manera que fuera compatible con la sugerida por el Consejo Nacional de Investigación.8 Tomando la noción de la multiplicación como una suma repetida, sugerimos que si Bobby falló en hacer tres tareas, cada una con un valor de $4, entonces podíamos expresar eso como −4 + −4 + −4 = −12, o 3 × −4 = −12. Luego pedimos a los estudiantes que votaran acerca de lo que pensaban de −3 × −4. Los alumnos se dividieron de forma pareja entre los que pensaban −3 × −4 “es igual a 12”, “es igual a −12” o “no se puede hacer”. Encontramos la respuesta de “no se puede hacer” muy interesante. (Históricamente, la amplia aceptación de la posibilidad de multiplicar dos números negativos no se dio entre los matemáticos europeos sino hasta el siglo XIX). Es difícil encontrar situaciones realistas que sirvan como justifi cación informal de por qué −3 × −4 = 12. Con otros modelos para la multiplicación de enteros, cambiamos al modo explicativo, en lugar del modo inquisitivo. Sin embargo, al trabajar con los alumnos de secundaria, los estándares del estado y los exámenes estandarizados nos dieron ímpetu para proponer el problema de multiplicar dos números negativos. Consideramos esta idea en el contexto de problemas como el siguiente.

8 National Research Council, 2001, op. cit. La señora Brady notó que Cindy había lavado los platos tres noches seguidas, así que le dijo que removiera tres débitos de $4 de su tabla. ¿Cómo cambió el valor de la tabla?

Al analizar este problema, pedimos a los alumnos que consideraran que si 3 × −4 es “sumar tres débitos de $4” (sumar −12), entonces −3 × −4 puede ser interpretado como “quitar tres débitos de $4” (quitar −12), que resulta en un incremento de $12 de la ganancia neta. Al ampliar el modelo de la mesada-tarea del hogar de manera realista para incluir la multiplicación de enteros, este modelo puede parecer menos artifi cioso que otros modelos que se usan con más frecuencia. Como resultado, el modelo de mesada-tarea permite al maestro permanecer en un modo inquisitivo.

Conclusión

Aunque el modelo de crédito-débito es muy conocido, nosotros creemos que la secuencia de instrucción basada en el contexto de la mesada descrito aquí lo mejora. También pensamos que tiene tres ventajas primordiales sobre muchos modelos que han sido utilizados para explicar las reglas de hacer operaciones con números enteros:

1. El contexto de la mesada involucró a un número mayor de estudiantes respecto al contexto de juego de MiC. Quizá las reglas para actuar en este contexto se acomoden a sus intuiciones y experiencias previas de tal manera que era real para ellos. De todas formas, cuando cambiamos a este contexto, encontramos más alumnos que utilizaron el contexto para interpretar operaciones simples con enteros, como 4 − −7.

2. Diseñamos una secuencia de actividades que se apoyaban una en otra para ayudar a los alumnos a construir la noción de un número entero como una unidad compuesta. La construcción de este concepto fue apoyada por el contexto de la mesada y, al mismo tiempo, ayudó a los esfuerzos de los alumnos en utilizar el contexto para dar sentido a los cálculos aritméticos con números enteros.

3. En el espíritu de los Estándares del NCTM, 9 nuestro enfoque de abajo-arriba para implementar la secuencia signifi có que nosotros no le dijimos a los alumnos cómo utilizar el contexto para resolver expresiones numéricas con números enteros. En lugar de eso, propusimos problemas en contexto y les permitimos resolverlos de maneras que tuvieran sentido. El contexto sirvió para apoyar su pensamiento en lugar de exigirles memorizar otra lista de reglas. Esto signifi có que fueran posibles diferentes soluciones a una tarea como 4 − −7. Por ejemplo, algunos alumnos utilizaron la tabla de débito-crédito para representar 4 como 4 + 7 + −7, de manera que el −7 pudiera quitarse, mientras que otros alumnos utilizaron la relación que habían construido entre restar un número entero y sumar su opuesto para resolver la tarea al calcular 4 + 7. Por lo tanto, creemos que este contexto fue signifi cativo para los alumnos sin ser preceptivo; los apoyó para desarrollar la habilidad de razonar acerca de los cálculos con números enteros, en lugar de simplemente decirles cómo razonar.

9 National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, Reston, VA, 2000. Referencias: ABELS, Mieke, Monica Wijers, Gail Burrill, Aaron Simon y Beth R. Cole, “Operations”, en Mathematics in Context: A Connected Curriculum for Grades 5–8, editado por el National Center for Research in Mathematics and Science Education and Freudenthal

Institute, Encyclopaedia Britannica Educational

Corp., Chicago, 1998. NATIONAL Council of Teachers of Mathematics (NCTM), Principles and Standards for School Mathematics, NCTM, Reston, VA, 2000. NATIONAL Research Council, Adding It Up: Helping

Children Learn Mathematics, National Academy

Press, Washington, DC, 2001. PETRELLA, Gerald, “Subtracting Integers: An Affective Lesson”, en Mathematics Teaching in the Middle

School, núm. 7, noviembre de 2001, pp. 150–151. REEVES, Charles A. y Darcy Webb, “Balloons on the

Rise: A Problem-Solving Introduction to Integers”, en Mathematics Teaching in the Middle School, núm. 9, mayo de 2004, pp. 476–482.