Geometria

GUÍA AMENA DE MATEMÁTICAS

geometría fundamentos de

Desde Pitágoras hasta la carrera espacial d

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Explicaciones claras y concisas y breves biografías de las figuras más destacadas y sus descubrimientos Mike Askew y Sheila Ebbutt

Título original: The Bedside Book of Geometry Diseño: Lindsey Johns Traducción: Remedios Diéguez Diéguez Revisión técnica de la edición en lengua española: Alfonso Rodríguez Arias Dr. Ingeniero Industrial

Coordinación de la edición en lengua española: Cristina Rodríguez Fischer Primera edición en lengua española 2012 © 2012 Art Blume, S. L. Avda. Mare de Déu de Lorda, 20. 08034 Barcelona Tel. 93 205 40 00 Fax 93 205 14 41 e-mail: info@blume.net © 2010 Quid Publishing. Londres © 2012 de las imágenes: páginas 56, 65 Dreamstime; página 119 Margaret Wetheim; página 140 kmhkmh/Creative Commons; página 162 George M. Bergman; página 170 Rama/Creative Commons I.S.B.N.: 978-84-9801-598-0 Impreso en China Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sea por medios mecánicos o electrónicos, sin la debida autorización por escrito del editor.

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CONTENIDO Introducción a la geometría 6 Puntos, rectas y círculos 12 Joyas de la corona 40 Avances audaces 74 ¡Tigre! ¡Tigre!

102 Un domingo en el parque 126 Botellas, rosquillas y costas 150 Índice 174 Terminología y símbolos 176

I NTRODUCC IÓN A LA GEOM ETRÍA La moneda de las matemáticas tiene dos caras: las matemáticas discretas y las matemáticas continuas. Las primeras tratan con cantidades que se pueden contar (ovejas, público de un partido de fútbol, botellas…). La prueba más antigua del uso de las matemáticas discretas es el hueso de Ishango, que incluye muescas agrupadas de tal manera que nos hacen pensar que se utilizó para realizar algún tipo de cálculo.

Sin embargo, no se puede contar todo. El barro, la cerveza, la tierra, etcétera, son cantidades continuas que es preciso medir. Y medir es una manera de convertir lo que no se puede contar en mensurable. Los orígenes de la geometría se basan en las mediciones.

Aunque las antiguas civilizaciones encontraron el modo de gestionar y comerciar con cantidades continuas como las que se necesitan para medir el aceite de oliva o el vino, los orígenes del término «geometría» se encuentran entre los agricultores del delta del Nilo. La crecida que tenía lugar cada año borraba los límites de las propiedades de las tierras. Era preciso encontrar la manera de marcar los terrenos.

De este modo nació la geometría («medida de la tierra» en griego).

El padre de la geometría Si preguntáramos el nombre de algún matemático griego, muchas personas citarían a Pitágoras y, posiblemente, a Euclides. Aunque ya no se enseña en los colegios, es muy probable que a nuestros abuelos les suenen los «elementos de Euclides», al que se suele citar como el padre de la geometría. Sin embargo, para ser justos, ese título debería recaer en Tales

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de Mileto (640-546 a. C.), que realizó un estudio sobre la geometría unos 300 años antes que Euclides. Aunque no se conservan escritos de Tales, existen muchas historias sobre él. Una de las más conocidas es la que explica que halló un método para calcular la altura de la gran pirámide de Keops, construida en torno al año 2600 a. C. No se conocen los elementos de geometría específicos que utilizaron los egipcios en el diseño y la construcción de las pirámides, pero parece que el cálculo de la altura fue un interrogante durante mucho tiempo.

Tales observó que en un determinado momento, su sombra era tan larga como su altura. Tras esperar a que el Sol se encontrase posicionado en el cielo de manera que su propia sombra fuese igual que su altura, midió la longitud de la sombra de la pirámide desde su base. Tales afirmó que sumando la mitad de la longitud de la base de la pirámide a la longitud de su sombra se obtendría su altura.

• Con el Sol en la posición adecuada, Tales pudo utilizar las longitudes de las sombras para calcular la altura de las pirámides.

De ese modo, Tales logró que se pasase del aspecto métrico de la geometría al estudio de invariantes: propiedades de los círculos o de los triángulos isósceles que siempre son las mismas con independencia del tamaño. Los diámetros de los círculos cambian, pero todos los dividen en dos.

Si hay algún elemento que une las diferentes ramas de la geometría, es el estudio de las invariantes.

El corazón de la geometría: invariancia y simetría También se atribuyen a Tales otros descubrimientos, como el hecho de que el diámetro de un círculo siempre divide este último por la mitad, o la observación de que en un triángulo isósceles (que tiene dos lados iguales), los ángulos opuestos a los lados iguales también son iguales. En la actualidad, incluso un fóbico confeso a las matemáticas no se sorprendería demasiado con esos conceptos y los vería más desde la perspectiva del sentido común que desde la de las matemáticas. Sin embargo, para los pensadores de la época de Tales, esas observaciones supusieron unos grandes avances en el área de las matemáticas por las conclusiones que arrojaron sobre todos los círculos o los triángulos isósceles.

Ese tipo de mentalidad deductiva supuso una nueva manera de pensar sobre las matemáticas, que dejaron de ser una materia puramente práctica que trataba sobre círculos o triángulos para convertirse en el estudio abstracto de generalidades. En ese sentido, Tales puso en marcha el estilo de manera de pensar del que surgieron las matemáticas modernas.

Cuando se habla de simetría, casi siempre se hace en el sentido cotidiano e informal de las imágenes equilibradas como la simetría de las alas de una mariposa, el dibujo de una flor de cinco pétalos que se obtiene cuando se corta una manzana por la mitad o un bonito retrato de una persona sonriente.

Ese sentido informal, casi intuitivo, de la simetría se desarrolla de manera más formal en la geometría euclidiana, como en el estudio de las simetrías reflectiva o axial y rotacional. La mariposa presenta simetría reflectiva, igual que la palabra «AMA» (si la escribe en un papel y la lee en un espejo, no

• La naturaleza está llena de ejemplos de simetría reflectiva: desde las hojas de las plantas y los copos de nieve hasta los dibujos de las alas de las mariposas.

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pierde su forma). Por cierto: algunos estudios llevados a cabo confirman que nos atraen más los rostros que no son perfectamente simétricos, cosa que está muy bien ya que la mayoría de las caras no lo son.

La forma de pétalos que aparece en el centro de una manzana presenta simetría reflectiva, pero también rotacional: una flor perfecta de cinco pétalos puede girarse 72º y adoptar cinco posiciones, y siempre seguirá pareciendo la misma después de cada rotación.

Una de las cosas que mueve a los matemáticos es el deseo de ampliar las ideas y aplicarlas a nuevos contextos. Así, el sentido cotidiano de la simetría a través de la reflexión y la rotación se amplía a un significado matemático, que define un objeto matemático como simétrico con respecto a una operación matemática determinada si dicha operación aplicada al objeto conserva ciertas propiedades de éste.

Espere, no deje de leer.

En lenguaje llano, lo anterior significa lo siguiente: el término «objeto matemático» se emplea para distinguir entre los objetos del mundo real y el objeto matemático ideal (perfecto).

En el mundo real, una mariposa real nunca será perfectamente simétrica: un examen detenido revelará pequeñas diferencias entre las dos alas. Incluso un dibujo muy preciso de una mariposa simétrica revelará algunas

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diferencias imperceptibles a simple vista. A efectos prácticos, esas imperfecciones no son perceptibles ni importantes, pero sí importan al matemático que busca la perfección absoluta. Como veremos más adelante, uno de los legados más perdurables de Euclides es la distinción entre lo real y lo ideal. La geometría trata de objetos matemáticos como puntos, líneas, polígonos, poliedros y fractales (algo que Euclides no conoció).

En el caso de nuestra mariposa ideal (matemática), la operación matemática aplicada es la reflexión o simetría axial: conserva el aspecto de la mariposa hasta el punto de que resulta imposible determinar si estamos observando el original o su reflejo.

De forma similar, si aplicamos la operación de la rotación al corazón de la manzana, éste conserva su aspecto.

Ya estamos en condiciones de ampliar el significado de la simetría. Imagine que tomamos un triángulo y lo ampliamos de manera uniforme (ampliación) o lo contraemos del mismo modo (reducción). En lenguaje cotidiano no diríamos que estas versiones del triángulo son simétricas, pero la operación matemática del cambio de tamaño (ampliación o reducción) conserva determinadas propiedades del triángulo. Por ejemplo, el tamaño • El copo de nieve de Koch constituye un problema geométrico de una enorme dificultad, ya que no se puede determinar su área con una precisión del 100 % (véanse páginas 166-167).

• Con unas herramientas matemáticas básicas, como una regla y un compás, es posible crear polígonos (véanse páginas 20-21).

de los ángulos no varía y las proporciones relativas entre los lados permanecen invariables. Los triángulos son simétricos con respecto al cambio de tamaño en términos de las propiedades de los ángulos y las proporciones de los lados. Crear una

imagen de un triángulo moviéndolo sobre el plano, sin rotarlo (la operación matemática conocida como «traslación»), también se considera simetría, ya que se conservan las propiedades del triángulo durante el movimiento.

Estas simetrías básicas (reflexión o simetría axial, rotación, escalado, traslación) y sus combinaciones forman la base del estudio de la geometría euclidiana, es decir, la geometría de las figuras planas. Éstas se definen como aquéllas que se pueden representar en dos dimensiones (y ampliables a tres mediante planos verticales). El estudio de esas simetrías es la geometría que la mayoría de nosotros conocemos de nuestro paso por la escuela.

Los «hechos» que en ella se enseñan (por ejemplo, que los ángulos de un triángulo siempre suman 180º) se basan en esas simetrías. También permiten deducir datos menos conocidos, como que solo existen 14 tipos básicos de dibujos de papeles pintados.

L A S I M E T R Í A E N L A E STA D Í ST I CA La conocida curva de campana representa

aproximada en la curva de campana). La

un tipo de distribuciones estadísticas

naturaleza simétrica de la curva se utiliza

conocidas como «normales». Aunque

para dar forma a cosas tales como los

se basa en una ecuación matemática, la

exámenes de matemáticas: si la forma no

idea de «normal» surge de la gama de

es del todo simétrica, sino que se inclina en

medidas que se producen en la naturaleza

una u otra dirección, podría ser necesario

(por ejemplo, las alturas de los adultos en

ajustar el examen para que resulte más

una población encajan de forma

sencillo o más difícil.

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Geometría no euclidiana Cuando se vio claramente que la Tierra no era plana, sino esférica, algunos de los «hechos» euclidianos que se habían convertido en verdades casi inamovibles se pusieron en entredicho. Por ejemplo, los barcos podían viajar en línea recta, realizar tres giros y llegar al punto del que habían partido (recorriendo, de ese modo, los tres lados de un triángulo). A medida que los métodos de medición y cálculo mejoraron, cada vez fue más evidente que los ángulos que formaban los recorridos de esos barcos (un triángulo sobre una esfera) sumaban más de 180º. De ese modo, se abrieron las posibilidades a unas nuevas geometrías: las no euclidianas.

Las simetrías de las geometrías no euclidianas también especifican lo que permanece invariable en las operaciones

matemáticas. La geometría proyectiva observa lo que no cambia cuando los objetos geométricos en un contexto se representan con otra forma: por ejemplo, cuando un objeto tridimensional se proyecta en un plano bidimensional, o cuando las figuras de una esfera se proyectan en un plano bidimensional. Como bien entendieron los artistas del Renacimiento italiano (con tan buenos resultados), en la geometría proyectiva las líneas paralelas convergen.

La geometría de la topología examina las simetrías de las transformaciones más extremas. La topología, que también se conoce como la «geometría de la lámina de caucho», es el estudio de cómo se pueden transformar unas formas en otras como si fuesen de caucho flexible. Imagine, por ejemplo, un anillo de caucho inflado (como

• El desarrollo de la geometría proyectiva introdujo el uso de los «puntos de fuga» en la pintura. De ese modo se consiguió una perspectiva más «realista».

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una rosquilla hueca). En teoría, se puede estirar y convertir en algo parecido a una taza. Pero no se puede transformar en una esfera hueca sin rasgar y reparar la superficie de caucho. En la geometría de la topología, ¡las rosquillas y las tazas son simétricas!

La simetría de escala es una de las piedras angulares de la geometría euclidiana: si los triángulos y los círculos no tuviesen las mismas propiedades cuando se amplían o se reducen, gran parte de la geometría euclidiana sería falsa. En el mundo real, sin embargo, la simetría de escala es muy poco frecuente. Por ejemplo, las hormigas o las arañas aumentadas hasta convertirse en los monstruos que vemos en algunas películas de ciencia ficción no podrían sobrevivir: la proporción del volumen corporal con respecto al área de la superficie del cuerpo requiere el desarrollo de pulmones en las criaturas más grandes.

De igual modo, las patas de un elefante no son una versión ampliada de las de un ratón.

La falta de aplicación de la geometría euclidiana en el mundo real llevó al desarrollo de la geometría de fractales, que abarca los fenómenos naturales que sí tienen una forma de simetría de escala.

Los fractales son objetos matemáticos con la característica básica de ser «autosimilares»: ofrecen el mismo aspecto sea cual sea el nivel de ampliación. Se trata de una forma

• El conjunto fractal de Mandelbrot siempre ofrece un aspecto similar, tanto si se observa ampliado como reducido (véanse páginas 166–167).

de simetría de escala distinta a la euclidiana: al aumentar parte de un triángulo no se obtiene una figura con aspecto de triángulo.

El conjunto fractal de Mandelbrot es el fractal matemático más conocido.

La semejanza fractal es habitual en la naturaleza. Las líneas costeras presentan una estructura fractal, ya que parecen tener el mismo perfil tanto si se miran desde el aire como con un microscopio. Los árboles, los helechos y los brócolis muestran propiedades similares.

Según afirmaba el matemático Johannes Kepler la geometría posee dos joyas: el teorema de Pitágoras y la razón áurea. En los siguientes capítulos estudiaremos ambas, por más que desde tiempos de Kepler, las nuevas geometrías (como la topología y los fractales) han revelado muchas más joyas, que también compartiremos con el lector.

«El objeto más complejo de las matemáticas, el conjunto de Mandelbrot, […] es tan complejo que la humanidad no puede controlarlo y deberíamos describirlo como un “caos”.»

Benoît Mandelbrot

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Una fascinante guía interactiva sobre la historia y las aplicaciones de la geometría. Contiene explicaciones claras y concisas de diferentes conceptos geométricos, así como breves biografías de las figuras más destacadas de este campo y sus descubrimientos.

Incluye ejercicios sencillos explicados paso a paso, algunos de ellos con aplicaciones en la vida cotidiana y otros que son auténticos rompecabezas teóricos, pero todos ellos están diseñados para retarle y poner a prueba sus conocimientos recién adquiridos.

Mike Askew es profesor en la Monash University, Melbourne; investiga, da conferencias y escribe sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas básicas.

Sheila Ebbutt es consejera en educación matemática infantil (Foundation Stage) y primaria así como autora de numerosos artículos sobre el tema.

ISBN 978-84-9801-598-0 978-84-9801-598-0 ISBN

Preservamos el medio ambiente El papel de las páginas de este libro está manufacturado con materia prima procedente de bosques de gestión responsable.

9 788498 015980