L4 Pătratul unui număr natural

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Activitate practică

Desenați pe caiete, folosind rețeaua de pătrățele, pătratele din imaginea alăturată. Lungimea laturii unui pătrățel al paginii reprezintă unitatea de măsură. a) Identificați lungimea laturii fiecărui pătrat dintre cele cinci. b) Calculați numărul pătrățelelor cu latura de lungime 1, în care se descompune fiecare pătrat desenat. c) Stabiliți pentru care numere naturale n, se poate forma un pătrat prin alăturarea a n pătrățele de același fel. Soluție. a) Lungimile laturilor sunt: 1, 2, 3, 4 respectiv 5 (unități).

b) 1 =12; 4 = 22; 9 = 32; 16 = 42; 25 = 52 c) Se poate forma un pătrat prin alăturarea a n pătrățele de același fel, dacă n este puterea a doua (pătratul) unui număr natural a, întrucât este nevoie de exact a straturi a câte a pătrățele, adică n = a · a = a2 (pătrățele).

În general, numărul pătratelor cu latura de lungime 1 în care se poate descompune un pătrat cu latura de lungime a unități este a2 . Pe de altă parte, un număr natural n este pătratul unui număr natural dacă se poate forma un pătrat prin alăturarea a n pătrate de același fel, adică dacă n se poate scrie sub forma n = a2, unde a este număr natural. Numărul natural n este pătrat perfect dacă există un număr natural a astfel încât n = a2 . Exemple: Sunt pătrate perfecte numerele: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... pentru că 0 = 02; 1 = 12; 4 = 22; 9 = 32; 16 = 42; 25 = 52; 36 = 62 . Numerele naturale n2 și (n + 1)2 se numesc pătrate perfecte consecutive. Sunt pătrate perfecte consecutive perechile de numere: 4 = 22 și 9 = 32; 225 = 152 și 256 = 162; 100 = 102 și 121 = 112 . În multe situații practice, este esențial să stabilim dacă un număr natural este pătrat perfect. 1. Dacă un număr natural se poate scrie ca putere cu exponent par, atunci el este pătrat perfect: a2k = ak · 2 = (ak)2, deci a2k este pătratul numărului natural ak . 1. 13248 = (13124)2, deci 13248 este pătratul numărului 13124 . 2. Produsul oricăror două pătrate perfecte este un pătrat perfect: a2 · b2 = (a · b)2 . Observație. Deducem că dacă toți factorii unui produs sunt pătrate perfecte, atunci acest produs este pătrat perfect. 2. 22 · 52 · 292 = (2 · 5 · 29)2 = 2902, adică produsul 22 · 52 · 292 este pătratul numărului natural 290, deci pătrat perfect.

3. Dacă un număr natural este cuprins între două pătrate perfecte consecutive, atunci acest număr nu este pătrat perfect.

3. 110 nu este pătrat perfect pentru că 100 < 110 < 121, iar 100 = 102 și 121 = 112 sunt pătrate perfecte consecutive. O altă tehnică, prin care putem decide dacă un număr natural este pătrat perfect, presupune determinarea ultimei cifre a numărului. În acest scop, avem nevoie de următoarele rezultate:

Ultima cifră a unei sume este egală cu ultima cifră a sumei dintre ultimele cifre ale termenilor. Ultima cifră a unui produs este egală cu ultima cifră a produsului dintre ultimele cifre ale factorilor. Ultima cifră a puterii a n-a a numărul natural a este egală cu ultima cifră a puterii a n-a a ultimei cifre a bazei (a numărului a). Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi una dintre cifrele: 0, 1, 4, 5, 6, 9. Afirmația de mai sus conduce la concluziile:

a) Dacă ultima cifră a unui număr este una dintre cifrele 0, 1, 4, 5, 6, 9, atunci numărul poate fi pătrat perfectsau poate să nu fie pătrat perfect. b) Dacă ultima cifră a unui număr natural este una dintre cifrele 2, 3, 7, 8, atunci numărul dat nu este pătrat perfect. Ultima cifră a sumei 2794 + 2979 este egală cu ultima cifră a sumei 4 + 9, adică ultima cifră a numărului 13, deci 3.

Ultima cifră a produsului 2794 · 2978 este egală cu ultima cifră a produsului 4 · 8, adică ultima cifră a numărului 32, deci 2.

Ultima cifră a puterii 279411 este egală cu ultima cifră a puterii 411. Observând ultima cifră a puterilor numărului 4, vom constata că toate puterile cu exponent impar au ultima cifră 4, deci ultima cifră a numărului 279411 este 4.

Ultima cifră a numărului a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ultima cifră a numărului a2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1

Exemple. a) 256 este pătrat perfect, iar 356 nu este pătrat perfect, deși ambele au ultima cifră egală cu 6. 256 = 162 și 182 = 324 < 356 < 361 = 192 .

b) Ultima cifră a numărului 15723 este 8, deci nu este pătrat perfect, adică nu se poate scrie ca puterea a 2-a a unui număr natural.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicație

a) Determinați ultima cifră a numărului 22022 ·731 . b) Decideți, argumentat, care dintre numerele următoare sunt pătrate perfecte: 3003; 25703; 1712; 625 ·7 6 ; (n + 1) · (n + 2); Soluție. a) 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32. Ultima cifră se repetă din 4 în 4, după cum urmează:

Restul împărțirii exponentului la 4 0 1 2 3

Ultima cifră 6 2 4 8

Din 22022 = 2504 · 4+2 deducem că ultima cifră a numărului 22022 este egală cu ultima cifră a numărului 22 , adică 4.

În mod asemănător, vom ști că ultima cifră a numărului 731 este 3, deci produsul are ultima cifră egală cu ultima cifră a produsului 4 · 3, adică 2. b) 3003 are ultima cifră 3, deci nu este pătrat perfect; 25703 = (52)703 = (5)2·703 = (5703)2 , deci este pătrat perfect; 1712 are exponentul par, deci este pătrat perfect; 257 · 7 6 = 5 14 · 7 6 , care este produsul a două pătrate perfecte, deci este pătrat perfect; (n + 1)2 < (n + 1) · (n + 2) < (n + 2)2, adică (n + 1) · (n + 2) este cuprins între două pătrate perfecte consecutive, deci nu este pătrat perfect.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. a) Pătratul numărului 23 este:

A. 230; B. 46; C. 529; D. 69. b) Dintre următoarele numere, nu este pătratul unui număr natural:

A. 32; B. 169; C. 552; D. 23 . c) Numărul pătratelor perfecte din șirul: 1, 49, 76, 89, 121, 153, 256, 400, 1000, 2022 este:

A. 5; B. 3; C. 7; D. 2. d) Dacă numărul 250x este pătrat perfect, atunci cifra x este:

A. 8; B. 0; C. 1; D. 5. 2. Copiați pe caiete, apoi completați spațiile libere astfel încât să obțineți afirmații adevărate: a) Pătratul celui mai mare număr par de două cifre este ... . b) Dacă 52x este pătrat perfect, atunci x = ... . c) Un pătrat perfect de forma abc, cu c ≠ 0 și a + b + c = 4, este ... . 3. Copiați pe caiete și completați în caseta liberă litera A, dacă propoziția este adevărată și litera F, dacă propoziția este falsă. Propoziția A/F p1: Numărul 1024 este pătratul numărului 32. p2: Numărul 2 · n este pătratul numărului n, oricare ar fi numărul natural n. p3: Numărul 9 · 9 · 9 · 9 este pătratul numărului 81. p4: Orice număr natural care are ultima cifră 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 este pătrat perfect. 4. Calculați pătratele numerelor 13, 18, 23, 45, 50, 70, 99, 101, 150. 5. Arătați că numerele 196, 361, 841, 1089, sunt pătrate perfecte. 6. Scrieți toate pătratele perfecte cuprinse între 57 și 257. 7. a) Scrieți pecaiete numerele: 1, 9, 58, 81, 142, 289, 324, 478, 1001, 3025. b)Subliniați numerele care sunt pătrate perfecte și justificați alegerea făcută. 8. a) Scrieți pecaiete numerele: 27, 49, 74, 144, 192, 256, 484, 1024, 3003. b)Subliniați numerele care sunt pătrate perfecte și justificați alegerea făcută. 9. Arătați că următoarele numere sunt pătrate perfecte: a = 78 · 87 + 9 · 87; b = 69 · 59 9 · 59 59; c = 123 + 1232 + 124; d = 20232 2023 2022. 10. Demonstrați că oricare ar fi numărul natural n, următoarele numere nu sunt pătrate perfecte: a = 1n + 172; b = 5n + 293; c = 5 · n + 3; d = 10 · n + 3.

11. Scrieți numărul 100 ca sumă a două pătrate perfecte. 12. Aflați toate numerele aa și bb pentru care aa + bb este pătrat perfect.

Minitest

1. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. (10 p) a) Pătratul numărului 35 este: A. 70; B. 140; C. 1425; D. 1225. (15 p) b) Pătratul numărului 100 este mai mare decât 100 cu: A. 1000; B. 9900; C. 9000; D. 900. (15 p) c) Numărul pătratelor de două cifre este: A. 6; B. 5; C. 7; D. 10. (10 p) d) Ultima cifră a unui pătrat perfect nu poate fi: A. 0; B. 4; C. 3; D. 1. 2. Arătați că: (20 p) a) 784 este pătrat perfect; (20 p) b) 845 nu este pătrat perfect. Se acordă 10 puncte din oficiu.