L4 Pătratul unui număr natural
Descoperim, înțelegem, exemplificăm Activitate practică Desenați pe caiete, folosind rețeaua de pătrățele, pătratele din imaginea alăturată. Lungimea laturii unui pătrățel al paginii reprezintă unitatea de măsură. a) Identificați lungimea laturii fiecărui pătrat dintre cele cinci. b) Calculați numărul pătrățelelor cu latura de lungime 1, în care se descompune fiecare pătrat desenat. c) Stabiliți pentru care numere naturale n, se poate forma un pătrat prin alăturarea a n pătrățele de același fel.
Soluție. a) Lungimile laturilor sunt: 1, 2, 3, 4 respectiv 5 (unități).
b) 1 =12; 4 = 22; 9 = 32; 16 = 42; 25 = 52 c) Se poate forma un pătrat prin alăturarea a n pătrățele de același fel, dacă n este puterea a doua (pătratul) unui număr natural a, întrucât este nevoie de exact a straturi a câte a pătrățele, adică n = a · a = a2 (pătrățele).
În general, numărul pătratelor cu latura de lungime 1 în care se poate descompune un pătrat cu latura de lungime a unități este a2. Pe de altă parte, un număr natural n este pătratul unui număr natural dacă se poate forma un pătrat prin alăturarea a n pătrate de același fel, adică dacă n se poate scrie sub forma n = a2, unde a este număr natural. Numărul natural n este pătrat perfect dacă există un număr natural a astfel încât n = a2. Numerele naturale n2 și (n + 1)2 se numesc pătrate perfecte consecutive.
Exemple: Sunt pătrate perfecte numerele: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; … pentru că 0 = 02; 1 = 12; 4 = 22; 9 = 32; 16 = 42; 25 = 52; 36 = 62. Sunt pătrate perfecte consecutive perechile de numere: 4 = 22 și 9 = 32; 225 = 152 și 256 = 162; 100 = 102 și 121 = 112.
În multe situații practice, este esențial să stabilim dacă un număr natural este pătrat perfect. 1. Dacă un număr natural se poate scrie ca putere cu exponent par, atunci el este pătrat perfect: a2k = ak · 2 = (ak)2, deci a2k este pătratul numărului natural ak. 2. Produsul oricăror două pătrate perfecte este un pătrat perfect: a2 · b2 = (a · b)2. Observație. Deducem că dacă toți factorii unui produs sunt pătrate perfecte, atunci acest produs este pătrat perfect.
1. 13248 = (13124)2, deci 13248 este pătratul numărului 13124. 2. 22 · 52 · 292 = (2 · 5 · 29)2 = 2902, adică produsul 22 · 52 · 292 este pătratul numărului natural 290, deci pătrat perfect.
3. 110 nu este pătrat perfect pentru că 3. Dacă un număr natural este cuprins între două pătrate per100 < 110 < 121, iar 100 = 102 și 121 = 112 fecte consecutive, atunci acest număr nu este pătrat perfect. sunt pătrate perfecte consecutive. O altă tehnică, prin care putem decide dacă un număr natural este pătrat perfect, presupune determinarea ultimei cifre a numărului. În acest scop, avem nevoie de următoarele rezultate:
49
