L8 Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care intervin și unități de măsură

L8 Metode aritmetice pentru rezolvarea problemelor cu fracții în care intervin și unități de măsură

Ne amintim

În general, pentru a rezolva o problemă de aritmetică, parcurgem etapele: • Se identifică ipoteza (datele pe care le considerăm cunoscute) și concluzia problemei (ce avem de calculat, de demonstrat sau de justificat). • Se stabilesc dependențele între mărimile care apar în problemă. • Se alege metoda de rezolvare. • Se scriu schematic datele problemei, se realizează reprezentări, astfel încât să fie evidențiate dependențele necesare aplicării metodei alese. • Se efectuează calculele necesare și se scrie soluția.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Metodele aritmetice pe care le-am studiat la rezolvarea problemelor în care datele sunt exprimate prin numere naturale sunt valabile și pentru rezolvarea problemelor în care datele sunt exprimate prin numere raționale pozitive. Noutatea constă în completarea acestor metode cu tehnicile de calcul cu numere raționale pozitive: operații cu fracții ordinare sau operații cu fracții zecimale. Noile date ne permit trecerea de la o unitate de măsură la un multiplu sau la un submultiplu al acesteia, folosind operații cu numere raționale exprimate prin fracții ordinare sau prin fracții zecimale.

Probleme rezolvate.

1. Rezolvați problema, folosind metoda reducerii la unitate Aflați cât costă 2,5 kg miere, știind că 125 g de miere costă 3,20 lei. Exprimăm cele două cantități în aceeași unitate de măsură. 125 g = 125 : 1000 kg = 0,125 kg. Stabilim că dacă va crește cantitatea de miere cumpărată, de un număr de ori, atunci crește și costul acesteia, de același număr de ori. Datele problemei: 0,125 kg …………………… 3,20 lei 2,5 kg …………………… x lei Rezolvare: Etapa I: 0,125 kg ……………………. 3,20 lei, 1 kg ……………………. 3,20 lei : 0,125 = 25,60 lei. Etapa a II-a: 1 kg ………………………25,60 lei, 2,5 kg ……………………….25,60 lei · 2,5 = 64 lei.

2. Rezolvați problema, folosind metoda comparației. Trei caiete și cinci creioane costă 20,25 lei, iar nouă caiete și cinci creioane costă 53,25 lei. Aflați cât costă un caiet și cât costă un creion.

Rezolvare: 3 caiete ………5 creioane ……… 20,25 lei 9 caiete ………5 creioane ……… 53,25 lei Diferența de bani 53,25 lei – 20,25 lei = 33 lei, provine de la diferența numărului de caiete: 9 – 3 = 6. Deducem că 6 caiete costă 33 lei, deci un caiet costă 33 : 6 = 5,50 lei. Din enunț: 3 caiete și 5 creioane costă 20,25 lei, deci 5 creioane costă 20,25 lei – 3 × 5,50 lei = = 20,25 lei – 16,50 lei = 3,75 lei și atunci un creion costă 3,75 lei : 5 = 0,75 lei.

3. Rezolvați problema, folosind metoda figurativă. MIhai, Sebastian și Cristian aveau împreună 1027,5 lei. După ce au cheltuit, Mihai trei pătrimi din suma sa, Sebastian două treimi din suma sa, iar Cristian 75,50 lei, au rămas cu sume de bani egale. Aflați ce sumă de bani a avut fiecare la început.

Rezolvare: Reprezentăm printr-un segment (unitate) suma cu care rămâne fiecare. Atunci, suma lui Mihai se reprezintă prin M 4 segmente egale, iar suma lui Sebastian se reprezintă prin trei astfel de segmente. Suma lui Cristian este reprezentată printr-un segment unitate și încă un segment, corespunzător sumei de 75,50 lei. Diferența 1027,5 – 75,5 = 952 (lei) corespunde celor 8 segmente de aceeași lungime, deci fiecare va corespunde sumei de 952 : 8 = 119 (lei). Mihai a avut 4 · 119 = 476 (lei), Sebastian a avut 3 · 119 = 357 (lei), iar Cristian a avut 119 + 75,50 = 194,50 (lei). S C 75,50 lei 1027,50 lei 1

4. Rezolvați problema, folosind metoda mersului invers. Maria și Daniel au parcurs distanța de 7,2 km dintre două obiective turistice astfel: Au mers o distanță pe jos, până în stația de autobuz. Apoi, au observat drumul pe care mergea autobuzul și au notat. Acesta a mers înainte 250 m, a luat-o la stânga și a mers 2,35 km, a luat-o la dreapta și a mers o distanță de 500 m, iar apoi din nou la stânga și s-a oprit după încă 3,5 km. Calculați distanța pe care au parcurs-o pe jos, urmând drumul pe care l-au făcut, în sens invers.

Rezolvare: Parcurgem drumul în sens invers: mergem inainte 3,5 km, o luăm la dreapta și adăugăm 500 m, apoi la stânga și adăugăm 2,35 km, iar acum facem curbă la dreapta și mai mergem 250 m. Am ajuns în stația de autobuz. Distanța parcursă este: 3,5 km + 500 m + 2,35 km + 250 m = 6,6 km. Diferența de 7,2 – 6,6 = 0,6 (km) = 600 (m) a fost parcursă pe jos.

5. Rezolvați problema, folosind metoda mersului invers. Teodora a avut o sumă de bani și a făcut cumpărături în două etape. În prima etapă a cheltuit o treime din sumă, iar în etapa a doua a cheltuit trei pătrimi din ce i-a rămas și constată că mai are suma de 32,50 lei. Aflați suma de bani pe care o avea Teodora la început.

Rezolvare: Pentru rezolvarea problemei, folosim metoda mersului invers, împreună cu metoda figurativă. Urmărim suportul grafic în sensul indicat de săgeata verde, adică de jos în sus. Suma de 32,50 lei reprezintă o pătrime din suma pe care o avea după prima etapă. În concluzie, după prima etapă, i-au rămas 32,50 · 4 = 130 (lei). Cum în prima etapă a cheltuit o treime din suma totală, atunci 130 lei reprezintă două treimi din suma totală. O treime din suma inițială reprezintă 130 : 2 = 65 (lei), iar suma totală este 65 · 3 = 195 (lei).

6. Rezolvați problema, folosind metoda falsei ipoteze. Cantitatea de 80 litri de apă se pune în 25 de vase, unele cu capacitatea 2,75 litri, altele cu capacitatea 5 litri. Aflați câte vase au capacitatea 5 litri și câte au capacitatea 2,75 litri.

Rezolvare. Considerăm că toate vasele sunt de 5 litri. În această ipoteză, în cele 25 de vase, ar fi 25·5 = 125 (litri). Diferența 125 – 80 = 45 (litri), care apare în plus, provine din faptul că s-au folosit și vase de 2,75 litri. Pentru fiecare vas de 2,75 litri, noi am adăugat 5 – 2,75 = 2,25 (litri). Prin urmare, numărul vaselor de 2,75 litri este 45 : 2,25 = 20, iar numărul celor de 5 litri este 25 – 20 = 5.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Trei terenuri de tenis ocupă o suprafață de 403,2 metri pătrați. Aflați ce suprafață vor ocupa cinci terenuri de tenis cu aceleași dimensiuni.

2. Pentru patru cutii de vopsea, Irina plătește 150,8 lei. Aflați ce sumă ar plăti Irina pentru cinci cutii de vopsea de același fel. 3. Dintr-un balot s-au folosit 19,6 metri de pânză pentru confecționarea a 8 fețe de masă. Știind că din balot au mai rămas 4,9 metri de pânză, aflați numărul fețelor de masă de același fel care se pot confecționa din pânza întregului balot.

4. Ana și Maria cumpără mere și struguri de aceeași calitate. Pentru 3,5 kg mere și 2,5 kg struguri,

Ana plătește 38,25 lei, iar pentru 3 1 kg mere și 2 2,25 kg struguri, Maria plătește 36 lei. Calculați cât costă un kilogram de mere și cât costă un kilogram de struguri. 5. Un buchet de flori format din trei trandafiri și două gerbera costă 48,50 lei, iar un buchet de flori format din doi trandafiri și trei gerbera costă 41,50 lei. Calculați cât ar costa un buchet format din șapte trandafiri. 6. Calculați ab + cd, știind că 2 · a,b + 7 · c,d = 26,2 și 4 · a,b + c,d = 8,2. 7. Gabriel parcurge 38,5 km, mergând trei ore cu bicicleta și două ore pe jos. Dacă ar fi mers două ore cu bicicleta și trei ore pe jos, ar fi parcurs 29 km.

Aflați câți kilometri parcurge Gabriel, într-o oră pe jos și câți km parcurge într-o oră cu bicicleta. 8. Suma dintre 75 % din p și 50 % din q este 6,6, iar suma dintre 75 % din q și 50 % din p este 7,15. a) Aflați suma numerelor raționale p și q. b) Aflați diferența numerelor raționale p și q. c) Aflați numerele raționale p și q. 9. Două colete cântăresc 23,35 kg. Aflați cât cântărește fiecare, știind că unul dintre ele cântărește cu 4,65 kg mai puțin decât celălalt. 10. Dintre elevii unei școli de arte, 20% studiază vioara, de două ori mai mulți studiază pianul, iar restul de 260 de elevi studiază violoncelul. Aflați câți elevi studiază fiecare instrument, știind că fiecare elev studiază unul dintre cele trei instrumente. 11. Suma a două numere este 28,8. Aflați numerele știind că dacă împărțim un număr la celălalt obținem rezultatul 3,5. 12. Într-un siloz s-au adus în trei zile 23,7 tone cereale. În a doua zi s-a adus o cantitate cu 3,5 tone mai mare decât în prima zi și de două ori mai mare decât în a treia zi. Aflați cantitatea de cereale adusă la siloz în fiecare din cele trei zile. 13. Perimetrul unei grădini dreptunghiulare este 79,6 metri. Aflați dimensiunile grădinii, știind că jumătate din lățimea grădinii este mai mică cu 1,05 metri decât jumătate din lungime. 14. Costin scrie pe tablă un număr. Dan șterge numărul și scrie un număr de 2,2 ori mai mare.

Sergiu șterge și el acest număr și scrie numărul 22,22 care este cu 2,2 mai mare decât numărul scris de Dan. Aflați numerele scrise pe tablă de

Dan și Costin. 15. Vlad urcă de la cabana unde s-a cazat, spre vârful muntelui, pe un traseu marcat. După ce a parcurs 5 6

din dis-

tanță, ajunge la un marcaj și află că mai are 1,8 km până în vârf. Aflați distanța de la cabană până în vârf. 16. O fermă agricolă vinde trei cincimi din producția de cereale obținută, iar restul de 4,24 tone este împărțită asociaților fermei. Calculați cantitatea de cereale obținută de ferma agricolă. 17. În 53 de coșuri s-au pus 594,25 kg afine și zmeură; afinele în coșuri de 12,5 kg, iar zmeura în coșuri de 7,25 kg. Aflați în câte coșuri s-a pus zmeură. 18. Denisa și colegii ei au planificat realizarea unor proiecte pe durata a trei săptămâni: pentru prima săptămână 0,(3) din numărul proiectelor, pentru a doua săptămână 0,75 din restul proiectelor și în ultima săptămână ultimele 3 proiecte.

Aflați numărul proiectelor pe care trebuie să le realizeze echipa Denisei. 19. Un colet în valoare de 90,90 lei, conține 15 obiecte, caiete și blocuri de desen. Știind că un caiet costă 4,5 lei, iar un bloc de desen costă 8,4 lei, aflați câte caiete și câte blocuri de desen sunt în colet.