L5 Numere prime. Numere compuse

L5 Numere prime. Numere compuse

Rezolvăm și observăm

Exercițiul 1.

Considerăm numerele 2, 7, 17, 22 și 27. a) Scrieți divizorii fiecărui număr dat. b) Precizați numărul divizorilor fiecărui număr dat. Rezolvare. a) și b) Completăm tabelul: Numărul 2 49 17 22 27 Divizorii numărului 1; 2 1; 7; 49 1; 171; 2; 11; 221; 3; 9; 27 Numărul divizorilor 2 3 2 4 4

Se observă cu ușurință că unele dintre numerele date au exact doi divizori (numărul 1 și numărul însuși), iar altele au și alți divizori, înafară de 1 și numărul însuși. Dacă a este un număr natural nenul oarecare, este evident că se poate scrie egalitatea a = 1·a, de unde 1 a sunt divizori ai numărului a. Atunci:

Orice număr natural a ≥ 2 are cel puțin doi divizori, 1 și a, numiți divizori improprii. Dacă numărul a are și alți divizori, aceștia se numesc divizori proprii.

Exemplu: Divizorii numărului 10 sunt: 1, 2, 5, 10. 1 și 10 sunt divizori improprii; 2 și 5 sunt divizori proprii. Observație. Pentru numerele 0 și 1 nu se pune problema divizorilor improprii sau a divizorilor proprii. 0 are o infinitate de divizori, iar 1 are exact un divizor, număr natural.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Exercițiul 2.

a) Alegeți din imaginea alăturată numerele pare care au exact 2 divizori. Justificați alegerea făcută. b) Alegeți din imaginea alăturată numerele impare care au exact 2 divizori. Justificați alegerea făcută. Rezolvare. a) Singurul număr par care are 2 divizori este numărul 2. Toate celelalte numere sunt divizibile la 1, la ele însele, la 2, eventual și la alte numere. b) Numerele impare din imagine care au doar 2 divizori sunt: 3; 5; 7.

Numărul 1 are un singur divizor, iar numărul 9 are 3 divizori. Din exercițiul anterior, deducem că unele numere naturale au doar divizori improprii, iar altele au și divizori improprii și divizori proprii. Un număr natural p 2 care are exact doi divizori (1 și p) se numește număr prim. Sunt prime numerele: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; … Orice număr natural n 2 care nu estenumăr prim, se numește număr compus. Sunt compuse numerele: 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24; 25; 26; 27; …

Observație. 1. Dacă numărul natural p 2 este număr prim, atunci acesta are doar divizori improprii. 2. Dacă numărul natural p 2 are numai divizori improprii, atunci p este număr prim. 3. Singurul număr par, care este număr prim, este numărul 2. (Toate celelalte numere pare se divid la 2, deci au cel puțin un divizor propriu) 4. Numerele 0 și 1 nusuntnici numere primeși nici numere compuse.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Exercițiul 1. Stabiliți dacă numerele 79 și 323 sunt numere prime sau numere compuse. Soluție. Verificăm dacă numerele date au divizori, folosind criteriile de divizibilitate cunoscute sau folosind operația de împărțire la numere prime, în ordine crescătoare, începând cu numărul 2. Ne oprim atunci când pătratul numărului prim verificat depășește numărul. Numărul 79 nu verifică niciunul dintre criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5. Primul număr prim mai mare decât 5 este 7, dar 79 = 7 · 11 + 2, adică 79 nu se divide la 7 sau 79 = 11 · 7 + 2, adică 79 nu se divide nici la 11. Am verificat numerele prime până la 11. Cum 112 > 79, deducem că 79 nu are nici divizori mai mari decât 11, adică este număr prim. Numărul 323 nu verifică niciunul dintre criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5. Primul număr prim mai mare decât 5 este 7, dar 323 = 7 · 46 + 1, adică nu se divide la 7. Următorul număr prim este 11, iar 323 = 11 · 29 + 4, deci nu se divide la 11. Urmează 13, iar 323 = 13 · 24 + 11, deci nu se divide la 13. Mai încercăm și cu 17 și găsim 323 = 17 · 19, deci are divizorii proprii 17 și 19 și este număr compus.

Exercițiul 2. Aflați numerele prime de forma 33x. Soluție. Numerele sunt prime, deci nu au divizori proprii. Atunci, 33x nu este divizibil cu 2 sau cu 5, adică x nu poate fi 0, 2, 4, 6, 8, 5. Eliminăm, de asemenea, valorile pentru care suma cifrelor 3 + 3 + x este divizibilă cu 3, adică eliminăm cifrele 3 și 9. Au rămas valorile 1 și 7. Numerele ar fi: 331 și 337. Verificăm dacă acestea nu au alți divizori. 331 = 7 · 47 + 2; 331 = 11 · 30+1; 331 = 13 · 25 + 6; 331 =17 · 19 + 8. În concluzie, 331 nu are divizori primi până la 19. Cum 192> 331, rezultă că 331 este prim. În mod analog lucrăm cu 337, care este, de asemenea, prim. Corespund cerinței 331 și 337. În rezolvarea problemelor de matematică, mai ales a celor care țin de teoria numerelor, este foarte util să identificăm și să argumentăm faptul că un număr natural este număr prim sau că este pătrat perfect. Următoarele afirmații ne pot oferi câteva tehnici elementare în acest sens.

1. Dacă n este număr prim, atunci acesta nu este pătrat perfect. 1. Dac n este număr prim, atunci are exact 2 divizori (1 și n). Orice pătrat perfect, diferit de 0 și de 1, (p2 , p 2) are cel puțin 3 divizori: 1, p, p2, deci n nu poate fi pătrat perfect.

2. Dacă un număr natural este divizibil la două numere prime, atunci acesta este divizibil și la produsul lor. 3. Dacă numărul a este pătrat perfect, p este număr prim, divizor al lui a, atunci p2 este, de asemenea, divizor al lui a (p este prim, p|a și a este pătrat perfect, atunci p2|a). 4. Dacă n este număr natural, iar p este număr prim astfel încât p|a și p2 a, atunci a nu este pătrat perfect. 2. Din 52 2 și 52 13, rezultă 52 (2 · 13), adică 52 26.

3. Numărul 36 este pătrat perfect, iar 3 este număr prim și 3|36. Rezultă 32|36. 23862 este pătrat perfect și 2|23862. Atunci, 4|23862 .

4. Din 3 | 23853 și 9 23853, rezultă 23853 nu este pătrat perfect.

Proprietățile enunțate anterior ilustrează faptul că orice număr natural compus se poate scrie ca produs de numere prime.

Reținem

Orice număr natural n ≥ 2 se poate scrie ca putere a unui număr prim sau ca produs de puteri cu bazele numere prime diferite (în mod unic, făcând abstracție de ordinea factorilor). 2 = 21; 3 = 31; 4 = 22; 5 = 51; 6 = 2·3; 7 = 71; 8 = 23; 9 = 32; 10 = 21·51; 11 = 111; 12 = 22 · 31; 13 = 131; 14 = 21 · 71; 15 = 31 · 51; 16 = 24;

Scrierea descrisă mai sus se numește descompunerea în factori primi a numărului n. Vom descrie tehnica descompunerii numerelor naturale în factori primi prin exemple. Descompunerea în factori a numerelor 42, 36, 24 este ilustrată mai jos.

42 = 2 · 21; 21 = 3 · 7; 7 = 7 · 1 Concluzie. 42 = 2 · 3 · 7. 36 = 2 · 18; 18 = 2 · 9; 9 = 3 · 3; 3 = 3 · 1; Concluzie. 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32 . 24 = 2 · 12; 12 = 2 · 6; 6 = 2 · 3; 3 = 3 · 1; Concluzie. 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3.

Observații. 1. Dacă numărul natural a este pătrat perfect, atunci în descompunerea sa în factori primi toți exponenții sunt numere pare. 2. Dacă în descompunerea în factori primi a unui număr natural toți exponenții sunt numere pare, atunci, acesta este pătrat perfect. 3. Dacă în descompunerea în factori primi a numărului natural a există cel puțin un factor al cărui exponent este impar (factor care nu este pătrat perfect), atunci a nu este pătrat perfect. 1. Dacă a = 22 · 34 · 54 – n este pătrat perfect, atunci 4 – n este număr natural par, adică n poate fi: 0, 2, 4. 2. Numărul b = 22022 · 34044 · 54 · 17200 este pătrat perfect pentru că exponenții tuturor factorilor primi ai descompunerii sunt numere pare. 3. Numărul c = 32022 · 114044 · 54 · 173 nu este pătrat perfect pentru că există printre exponenții factorilor primi ai descompunerii și numere impare.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicația 1.

a) Scrieți numerele 96 și 10 ca produs de factori primi. b) Folosind descompunerea numărului 10, scrieți numărul 100 ca produs de puteri de numere prime. c) Determinați numerele naturale n astfel ca numărul a = 721 · 2n · 54 să fie divizibil cu 102 . Soluție. a) 96 are ultima cifră 6, care este număr par, deci se divide la 2.

Atunci, 96 = 2 · 48; 48 are ultima cifră 8, deci se divide la 2 și 48 = 2 · 24, adică 96 = 2 · 2 · 24; 24 are ultima cifră 4, deci se divide la 2 și 24 = 2 · 12, adică 96 = 2 · 2 · 2 · 12; 12 are ultima cifră 2, deci se divide la 2 și 12 = 2 · 6, adică 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 6;

Dar, 6 = 2 · 3 și 96 se va scrie 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 sau 96 = 25 · 3. b) 10 = 21 · 51,100 = 102, adică 100 = (2 · 5)2, deci 100 = 22 · 52 . c) Numărul a se divide la 102 dacă în descompunere apar factorii 2 și 5 cu exponenți cel puțin egali cu 2, adică numărul n poate fi orice număr natural nenul, par.

Dacă un număr natural este descompus în factori primi, este mult mai ușor să enumerăm toți divizorii acestuia.

Aplicația 2. Asociaţi fiecărei litere care identifică un număr, scris în coloana A, cifra scrisă în coloana B, corespunzătoare numărului de divizori pe care îi are acel număr.

A B Soluție a. 49 49 = 72 și are divizorii: 1, 7, 49, deci are 3 divizori, asociem litera a cu cifra 2. (a 2); 27 = 33 și are divizorii: 1, 3, 9, 27deci are 4 divizori, asociem litera b cu cifra 3. b. 27 (b 3) c. 31 31 = 311 și are divizorii: 1, 31, deci are 2 divizori, asociem litera c cu cifra 1. (c 1); 18 = 2 · 32 și are divizorii: 1, 2, 3, 6, 9, 18,deci are 6 divizori, asociem litera d cu cifra 5. d. 18 (d 5).

1. doi divizori 2. trei divizori 3. patru divizori 4. cinci divizori 5. șase divizori

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Copiați pe caiete tabelul, apoi completați casetele libere, folosind modelul dat în prima coloană a tabelului.

Numărul 20 13 45 58 Divizorii numărului 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divizori proprii 2, 4, 5, 10 Divizori improprii 1, 20 2. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. a) Un număr prim are:

A. un divizor; B. doi divizori;

C. trei divizori; D. o infinitate de divizori. b) Un număr compus are:

A. doi divizori; B. un divizor;

C. cel mult doi divizori; D. cel puțin treidivizori. c) Numărul numerelor prime din șirul 1, 2, 3, 9, 14, 19, 27, 31, 43, 65, este:

A. 5; B. 3; C. 4; D. 6. d) Cel mai mare număr prim de forma a3 este:

A. 93; B. 73; C. 83; D. 53. 3. Copiați tabelul pe caiete, apoi completați simbolul × în coloana corespunzătoare valorii de adevăr a propozițiilor: Propoziția A F p1: Numărul 77 este număr prim. p2: Numărul 69 este număr compus. p3: Dacă numărul p este prim, atunci el este număr impar. p4: Orice număr impar este număr prim. p5: Suma a două numere prime este un număr compus. p6: Produsul a două numere prime este un număr prim. 4. Ioana a colorat mai multe pătrățele ale unei rețele de pătrate, ca în imagine.

Ana și Bianca privesc rezultatul și spun:

Ana: — Numărul pătratelor colorate nu este un număr prim.

Bianca: — Dacă Ioana ar fi colorat cu un pătrățel mai puțin, atunci atât numărul pătratelor colorate cât și cel al pătratelor necolorate ar fi fost numere prime.

Stabiliți dacă Ana are dreptate și dacă Bianca are dreptate. 5. Scrieți numerele prime cuprinse între 68 și 107. 6. Stabiliți care dintre numerele următoare sunt compuse: 57, 79, 109, 121, 153, 547, 986, 1235, 2021. 7. Aflați două numere prime, știind că suma lor este 45. 8. Scrieți ca sumă de numere prime numerele: 13, 40, 68, 91. 9. Produsul a două numere naturale este 96. Aflați numerele, știind că unul dintre ele este prim.

Analizați toate cazurile posibile. 10. Aflați numărul prim p, știind că (p − 3)|50. 11. Aflați numerele prime ab pentru care 5|ba. 12. Determinați numerele prime p și q pentru care 3 · p + 7 · q = 56.