6 minute read
L3 Aproximări. Reprezentarea pe axa numerelor a unor fracții zecimale cu număr finit de zecimale nenule
Descoperim, înțelegem, exemplificăm
Advertisement
Aproximări. Rotunjiri
1. Aproximarea prin lipsă a unei fracții zecimale la ordinul unităților, zecimilor, sutimilor, miimilor etc. este cea mai mare fracție zecimală formată numai din unități, zecimi, sutimi, miimi etc. mai mică sau egală cu fracția dată. 2. Aproximarea prin adaos a unei fracții zecimale la ordinul unităților, zecimilor, sutimilor, miimilor etc. este cea mai mică fracție zecimală formată numai din unități, zecimi, sutimi, miimi etc. mai mare sau egală cu fracția dată. 3. Rotunjirea unei fracții zecimale la ordinul unităților, zecimilor, sutimilor, miimilor etc. este aproximarea prin lipsă sau aproximarea prin adaos, la ordinul considerat, care este cea mai apropiată de fracția dată.
4. În cazul în care cele două aproximări sunt la fel de apropiate de fracția inițială, rotunjirea va fi dată de aproximarea prin adaos. Fie fracția 1,274. Aproximarea prin lipsă la ordinul: unităților: 1,2741 1 pentru că 1 < 1,2741 < 2; zecimilor: 1,2741 1,2 pentru că 1,2 < 1,2741 < 1,3; sutimilor: 1,2741 1,27 pentru că 1,27 < 1,2741 < 1,28.
Fie fracția 1,274. Aproximarea prin adaos la ordinul: unităților: 1,2741 2 pentru că 1 < 1,2741 < 2; zecimilor: 1,2741 1,3 pentru că 1,2 < 1,2741 < 1,3; sutimilor: 1,2741 1,28 pentru că 1,27 < 1,2741 < 1,28.
Rotunjirea la ordinul unităților: 1,46 1, prin lipsă, 1,46 2, prin adaos, iar 1,46 este mai aproape de 1, deci 1,46 se rotunjește la 1. Rotunjirea la ordinul zecimilor: 1,46 1,4, prin lipsă, 1,46 1,5, prin adaos, iar 1,46 este mai aproape de 1,5, deci 1,46 se rotunjește la 1,5. Fie fracția zecimală 19,65. La ordinul zecimilor, aproximarea prin lipsă este 19,6, aproximarea prin adaos este 19,7, iar 19,65 se reprezintă la aceeași distanță față de cele două aproximări. Rotunjirea va fi 19,7.
Regulă practică: Dacă cifra aflată imediat după ordinul de mărime la care efectuăm rotunjirea este 0, 1, 2, 3 sau 4 atunci rotunjirea este egală cu aproximarea prin lipsă. Dacă cifra din dreapta ordinului la care facem rotunjirea este 5, 6, 7, 8 sau 9, atunci rotunjirea este egală cu aproximarea prin adaos. Regulile practice pentru aproximarea fracțiilor zecimale, la ordinul zecilor, sutelor, miilor, etc, se pot formula în mod similar. Înconsecință: Orice fracție zecimală este mai mare sau egală decât orice aproximare prin lipsă a acesteia. Orice fracție zecimală este mai mică sau egală decât orice aproximare prin adaos a acesteia.
Reprezentarea pe axa numerelor a unor fracții zecimale cu un număr finit de zecimale nenule
Considerăm o dreaptă, pe care am fixat originea (punctul O), o unitate de măsură (segmentul OA = 1) 0 1 x și un sens, adică axa numerelor. O A Fiecărei fracții zecimale îi corespunde, în mod unic, un punct M pe axă. originea unitateademăsură sensul pozitiv Punctul M se numește reprezentarea fracției pe axă, iar fracția dată se numește coordonata punctului M pe axă.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni
Aproximarea fracțiilor zecimale este utilă pentru a estima pozițiapunctului de reprezentare pe axa numerelor. Exemplu: Ne propunem să reprezentăm pe axa numerelor fracția 2,735. 1.Aproximăm 2,735, apoi îl rotunjim la unități, zecimi, sutimi.
Ordinul la care se face aproximarea Aproximare prin lipsă Aproximare prin adaos Cifra cu ordin imediat inferior Rotunjire Regulă de rotunjire unități 2 3 7 3 7 5 zecimi 2,7 2,8 3 2,7 3 < 5 sutimi 2,73 2,74 5 2,74 5 5
Reprezentarea pe axa numerelor a fracției 2,735, folosind aproximările, este ilustrată mai jos. 1. Stabilim doi întregi consecutivi între care se află fracția, folosind aproximările la unități. 2 < 2,735 < 3 2. Divizăm în zecimi unitatea identificată (unitatea cuprinsă între 2 și 3), apoi estimăm poziția reprezentării, folosind aproximările la zecimi. 2,7 < 2,735 < 2,8 3. Divizăm în sutimi zecimea identificată (între 2,7 și 2,8), apoi estimăm poziția reprezentării, folosind aproximările la sutimi. 2,73 < 2,735 < 2,74 4. Divizăm în miimi sutimea identificată , apoi estimăm poziția reprezentării. 2,735 se reprezintă pe axă la jumătatea distanței dintre 2,73 și 2,74.
Observație. Pentru a ilustra etapele parcurse, am mărit succesiv imaginea, ca și cum am privi la microscop sau am da zoom pe ecran. În realitate, întregul rămâne neschimbat, iar diviziunile devin de 10 ori mai mici la fiecare etapă parcursă.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
2,735 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,93
↑
2,735
2,7 2,71 2,72 2,73 2,74 2,75 2,76 2,77 2,78 2,79 2,8
↑
2,735 2,73 2,7312,7322,7332,734 2,735 2,7362,7372,7382,739 2,74
↑ 2,735 Evident, nu vom parcurge toate aceste etape la fiecare reprezentare, dar estimarea poziției punctului pe axă se face mult mai ușor dacă folosim aproximări. Exemple: 1. Pentru a reprezenta fracția zecimală 1,7 pe axă, știm că se află între 1 și 2, mai apropape de 2 decât de 1, adică între 1,5 și 2. 0 O 1 1,7 2
2. Pentru a reprezenta fracția zecimală 0,72 pe axă, știm că se află între 0,7 și 0,8, mai apropape de 0,7. Alegem o unitate de măsură suficient de mare, divizăm unitatea în zecimi, apoi facem reprezentarea. 0 O 0,72
1 0,70,8 Reprezentarea pe axă este de multe ori utilă pentru a compara fracțiile și pentru a stabili ordinea crescătoare sau descrescătoare a acestora. Două sau mai multe fracții se reprezintă pe axa numerelor, în ordine crescătoare, de la stânga spre dreapta (în sensul pozitiv al axei).
Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm
1. Copiați pe caiete, apoi completați tabelul urmăror după model:
Fracția zecimală Aproximare prin lipsă la ordinul Aproximare prin adaos la ordinul unităților zecimilor sutimilor unităților zecimilor sutimilor 3,126 3 3,1 3,12 4 3,2 3,13 1,874 0,378 27,003 1008,7002 2. Se consideră fracția zecimală 3,7385.
Asociaţi fiecărei litere care indică ordinul de rotunjire a fracției date, scris în coloana A, cifra corespunzătoare răspunsului corect, aflat în coloana B.
A B
a. Rotunjire la ordinul unităților b. Rotunjire la ordinul zecimilor c. Rotunjire la ordinul sutimilor d. Rotunjire la ordinul miimilor 1. 3,74 2. 3,7 3. 4 4. 3,739 5. 3,73
3. Rotunjiți fracția 1,3829826 la ordinul: a) unităților; b) zecimilor; c) miimilor; d) zecimilor de miimi. 4. Reprezentați pe axa numerelor: a) 1,2; 1,4 și 1,7; b) 0,5; 1,4; 2,3; 3,2. 5. Reprezentați pe axa numerelor, folosind aproximări: a) 1,25; 1,75 și 3,78; b) 0,6; 2; 1,7; 2,4. 6. Precizați coordonatele punctelor reprezentate pe axă. a) 0 1 O A B C D b) 3 4 E F G D 7. Determinați: a) numărul natural n cu proprietatea n < 402,35 < n + 1; b) numerele naturale a și b astfel încât a,b < 17,38 < a,(b + 1); 8. Determinați: a) cel mai mare număr abcd în baza zece, pentru care a,bc < 7,685 < a,bd. b) toate fracțiile zecimale a,bc pentru care 1,74; a,bc; 1,801 sunt scrise în ordine crescătoare. 9. Scrieți cele mai apropiate încadrări posibile ale fracțiilor zecimale: 11,23; 125,476; folosind: a) numere naturale; b) fracții zecimale cu o singură zecimală; c) fracții zecimale cu două zecimale.
Model: pentru 2,47 avem: a) 2 < 2,47 < 3; b) 2,4 < 2,47 < 2,5; c) 2,46 < 2,47 < 2,48. 10. Aproximați la zecimi numărul 7 · a · b, unde a 1 2 3 4 5 6 ... 99 și100 b 1 1 3 1 1 1 1 5 1 7 1 ... . 99
