L5 Metoda falsei ipoteze

L5 Metoda falsei ipoteze

Rezolvăm și observăm

Problema 1. La un spectacol, s-au vândut 620 de bilete la prețul de 20 lei respectiv de 25 lei, încasându-se în total 14 500 lei. Aflați câte bilete de fiecare fel au fost vândute. Soluție: Presupunem că s-au vândut numai bilete cu prețul de 20 de lei. Suma încasată ar fi fost: 620 · 20 = 12 400 (lei), mai puțin cu 14 500 – 2400 = 2100 (lei) decât suma reală. Diferența provine din faptul că s-au vândut și bilete de 25 de lei, achitându-se pentru fiecare dintre acestea, în plus 25 – 20 = 5 (lei). Numărul biletelor pentru care s-a plătit cu 5 lei mai mult, adică a celor de 25 de lei este 2100 : 5 = 420. S-au vândut 420 de bilete cu 25 lei și 620 – 420 = 200 de bilete cu 20 de lei. Verificare: Numărul biletelor: 200 + 420 = 620. Suma obținută: 200 · 20 + 420 · 25 = 4000 + 10 500 = 14 500 (lei). Răspuns. S-au vândut 420 de bilete cu 25 de lei și 200 de bilete cu 20 de lei. Metoda falsei ipoteze se folosește atunci când datele problemei se referă la mărimi corelate, asupra cărora se pot formula ipoteze arbitrare. Aceasta constă în rezolvarea unei probleme obținute prin adăugarea uneia sau mai multor ipoteze și compararea rezultatelor obținute cu cele din enunț. Observând nepotrivirile apărute, se trag concluzii, se valorifică rezultatele care ne conduc la rezultatul corect. Problema 2. În 28 de recipiente pline, unele cu capacitatea de 5 l, altele cu capacitatea de 7 l, sunt 180 l de apă. Calculați numărul recipientelor de fiecare fel. Soluție: Rescriem datele problemei evidențiind ipoteza și cerințele. Ipoteze (ce cunoaștem) Cerințe I1 Sunt, în total, 28 de recipiente. I2 Recipientele sunt de 5 l și de 7 l. I3 În cele 28 de recipiente sunt 180 l de apă. C1 Numărul recipientelor de 5 l; C2 Numărul recipientelor de 7 l;

Scriem rezolvarea problemei, evidențiind etapele pe care le parcurgem. Etapa Descriere și interpretare Calcul și concluzie Adăugăm ipoteza: Presupunem că toate recipientele ar avea capacitatea de 7 litri. Dacă toate recipientele ar avea capacitatea de 7 litri, atunci în cele 28 de recipiente ar fi 28 · 7 litri. 28 · 7 = 196 (litri) 196 ≠ 180, deci ipoteza adăugată de noi este falsă.

Calculăm și interpretăm diferența între rezultatul obținut la etapa anterioară și cantitatea din enunț. Diferența dintre rezultatul obținut și cantitatea totală de apă ne arată că există și recipiente de 5 litri.

Calculăm numărul recipientelor de 5 l, folosind rezultatele din etapa anterioară.

Numărul recipientelor de 5 litri este câtul împărțirii 16 : 2 Verificare: 20 · 7 + 8 · 5 = 140 + 40 = 180 (litri). Răspuns. 8 recipiente de 5 litri și 20 de recipiente de 7 litri. 196 – 180 = 16 (litri). Cum 7 – 5 = 2 (litri), rezultă că surplusul de 16 l de apă reprezintă câte 2 l de apă, apărut în condițiile ipotezei false, la fiecare recipient de 5 litri. În concluzie, avem 8 recipiente de 5 litri. Cum, în total sunt 28 de recipiente, obținem 28 – 8 = 20 recipiente de 7 litri.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Problema 3. Un grup de elevi participă la o activitate în centrul de documentare al școlii. Dacă în fiecare bancă se vor așeza câte doi elevi, atunci cinci elevi nu vor avea loc. Dacă în fiecare bancă se vor așeza câte trei elevi, atunci trei bănci vor rămâne neocupate. Aflați numărul elevilor participanți și numărul băncilor din centrul de documentare. Rezolvare: Vom rezolva problema prin metoda falsei ipoteze, în două moduri. I. Presupunem că elevii sunt așezați câte 2 în bancă. Atunci, sunt ocupate toate băncile și mai sunt în picioare 5 elevi. Eliberăm 3 bănci, adică se vor ridica în picioare 6 elevi. Acum avem de distribuit cei 6 + 5 = 11 (elevi) în băncile în care sunt deja câte 2 elevi. Fiecare se va așeza în câte o bancă, deci s-au ocupat 11 bănci cu câte 3 elevi și au mai rămas libere 3 bănci. Am obținut 11 + 3 = 14 (bănci) și 11 × 3 = 33 elevi. II. Vom rescrie datele problemei, evidențiind ipoteza. Ipoteză (ce cunoaștem) Cerințe I1 Dacă elevii stau câte 2, atunci rămân 5 elevi în picioare. I2 Dacă elevii stau câte 3, atunci 3 bănci rămân libere. C1 Aflați numărul elevilor. C2 Aflați numărul băncilor.

Etapa Descriere și interpretare Calcul și concluzie Adăugăm ipoteza: Presupunem că în sală sunt 9 bănci. Câte 2 în bancă, ar participa 9 · 2+5 elevi, iar câte 3 în bancă, ar participa (9 – 3) · 3 elevi. 9 · 2 + 5 = 23 (elevi) (9 – 3) · 3 = 18 (elevi).

Comparăm rezultatele obținute 2 elevi în bancă 3 elevi în bancă 23 elevi; 18 elevi 23 – 18 = 5 (elevi) Cele două rezultate sunt diferite. Adăugăm altă ipoteză

Adăugăm ipoteza: Presupunem că în sală sunt 10 bănci. Dacă elevii ar sta câte 2 în bancă, ar participa 10 · 2 + 5 elevi, iar dacă ar sta câte 3 în bancă, ar participa (10 – 3) · 3 elevi.

Comparăm rezultatele obținute 2 elevi în bancă 25 elevi; 3 elevi în bancă 21 elevi

Calculăm numărul băncilor astfel ca diferența între rezultate să fie 0. Mărim numărul băncilor, pornind de la prima presupunere, cu 5 : 1 = 5.

Calculăm numărul elevilor 14 · 2 + 5 = 33 (elevi); Verificare: (14 – 3) · 3= 33 (elevi) 10 · 2 + 5 = 25 (elevi) (10 – 3) · 3 = 21 elevi.

25 – 21 = 4 (elevi) Mărind numărul băncilor cu 1, diferența între rezultate se micșorează cu 1.

Numărul băncilor este: 9 + 5 = 14 (bănci).

Răspuns. Sunt 14 bănci și 33 de elevi.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Horia a achitat costul unei excursii cu 29 de bancnote, unele de 10 lei, altele de 50 de lei. Aflați numărul bancnotelor de fiecare fel pe care le-a folosit Horia, știind că excursia a costat 730 de lei. 2. La un centru de colectare a laptelui s-au adus 1000 de litri de lapte, cantitate care a fost pusă în 182 de bidoane, unele de 5 litri, altele de 8 litri.

Determinați numărul bidoanelor de fiecare fel folosite.