Criteriul de divizibilitate cu 9

Rezolvăm și observăm

Problemă. Cristian a scris pe tablă numerele naturale de la 3 la 109. Beniamin taie cu o linie roșie multiplii lui 3, iar Bianca taie cu albastru multiplii lui 9. a) Aflați numărul numerelor tăiate cu roșu. b) Aflați numărul numerelor tăiate cu albastru. c) În fiecare dintre cazurile a) și b), alegeți 5 numere tăiate, calculați suma cifrelor pentru fiecare și identificați o proprietate comună a acestor sume. a) De la 3 la 109 găsim următorii multipli ai numărului 3: 3 = 3 · 1, 6 = 3 · 2, …108 = 3 · 36, deci au fost tăiate cu roșu 36 numere. b) De la 3 la 109 găsim următorii multipli ai numărului 9: 9 = 9 · 1, 18 = 9 · 2, … 99 = 9 · 11, 108 = 9 · 12, deci au fost tăiate cu albastru 12 numere.

c) a) b)

Numărul 12 48 99 105 108 9 27 54 99 108

Suma cifrelor 3 12 18 6 9 9 9 9 18 9

Pentru numerele divizibile cu 3, suma cifrelor este divizibilă cu 3, iar pentru numerele divizibile cu 9, suma cifrelor este divizibilă cu 9.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Criteriul Exemple

Dacă un număr natural se divide la 3, atunci suma cifrelor sale se divide la 3.

Dacă suma cifrelor unui număr natural se divide la 3, atunci acest număr se divide la 3.

Dacă un număr natural se divide la 9, atunci suma cifrelor sale se divide la 9.

Dacă suma cifrelor unui număr natural se divide la 9, atunci acest număr se divide la 9. Numerele de forma 1382a, divizibile cu 3, au proprietatea 14 + a este divizibil cu 3, adică cifra a poate fi: 1, 4, 7, iar numerele sunt: 13821, 13824 și 13827. Numerele 24, 39, 45, 9999, sunt divizibile cu 3 pentru că 2 + 4 = 6 și 6 3; 3 + 9 = 12 și 12 3; 4 + 5 = 9 și 9 3; 9 + 9 + 9 + 9 = 36 și 36 3. Numerele de forma 83a, divizibile cu 9, au proprietatea 11 + a este divizibil cu 9, adică cifra a poate fi 7, deci singurul număr divizibil cu 9, de această formă, este 837. Numerele 45, 954, 882, 999, sunt divizibile cu 9 pentru că 4 + 5 = 9 și 9 9; 9 + 5 + 4 = 18 și 18 9; 8 + 8 + 2 = 18 și 18 9; 9 + 9 + 9 = 27 și 27 9.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicația 1.

a) Arătați că numărul B = 210 56 + 11 este divizibil cu 9. b) Arătați că numărul

C = abc + bca + cab este divizibil cu 3, oricare ar fi cifrele nenule a, b, c. a) B = 210 · 56 + 11 = (2 · 5)6 · 24 + 11;

B = 106 · 16 + 11. Suma cifrelor numărului B este 1 + 6 + 1 + 1 = 9, deci B 9. b) C = abc + bca + cab = 111 a + b + c).

Numărul 111 are suma cifrelor 3, deci 111 3.

Atunci, produsul 111 · (a + b + c) se divide la 3, adică C 3.

Aplicația 2.

Demonstrați că sunt divizibile cu 3 toate numerele de trei cifre care se pot forma astfel încât cifrele să fie numere naturale consecutive, indiferent de ordinea în care sunt scrise aceste cifre. Dintre numerele descrise mai sus, scrieți-le pe cele care sunt divizibile cu 9. Indiferent de ordinea în care sunt scrise cifrele pentru a forma numărul, acesta este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor se divide la 3. Considerăm a cea mai mică dintre cifrele numărului. Atunci, numărul se formează cu cifrele a, a + 1 a + 2, iar suma cifrelor este 3·a + 3, adică 3 a +1), care se divide la 3. În concluzie, toate numerele de trei cifre, formate cu cifrele a, a +1, a + 2, cu a 7 sunt divizibile cu 3. Pentru ca numărul să fie divizibil cu 9, trebuie ca a + 1 să fie divizibil cu 3, adică a poate fi: 2, 5 sau 8. Cum a 7, rezultă a poate fi 2 sau 5 i numerele căutate sunt: 234, 243, 324, 342, 423, 432, 567, 576, 657, 675, 756, 765.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Considerăm șirul de numere naturale: 0, 8, 21, 34, 48, 106, 270, 8159, 24444, 98765, 1010 + 2.

Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. a) În șirul dat sunt divizibile cu 3:

A. 5 numere; B. 7 numere;

C. 6 numere; D. 8 numere. b) În șirul dat sunt divizibile cu 9:

A. 4 numere; B. 3 numere;

C. 2 numere; D. 5 numere. 2. Copiați tabelul pe caiet și completați în casetele libere „ da” sau „nu” după cum numărul n este divizibil sau nu este divizibil cu numărul indicat.

n 15 35 42 108576906030310 divizibil cu 3 da divizibil cu 9 nu 3. Folosind cifrele 0, 4, 5, 6, scrieți toate numerele de trei cifre distincte: a) divizibile cu 3; b) divizibile cu 9. 4. Arătați că dacă un număr natural este divizibil cu 9 atunci el este divizibil și cu 3. 5. Se consideră numerele: 56, 78, 432, 642, 40777, 774000, 34 + 9, 107 + 2.

Scrieți numerele pe caiet, apoi subliniați numerele divizibile cu 3, care nu sunt divizibile cu 9. 6. Scrieți toate numerele divizibile cu 3 care au forma: a) a4; b) 17a; c) 6a54; d) a45a. 7. Aflați cifra x în fiecare din situațiile: a) 46x 3; b) 3 x234; c) x3xx 9; d) 9 x315. 8. Cercetați dacă există numere de forma 159x divizibile cu 3 și cu 5. 9. Fie numărul A = 10n − 1, cu n număr natural. a) Scrieți cele mai mici trei numere de această formă și precizați dacă sunt divizibile cu 3 sau cu 9. b)Demonstrați că A 9, oricare ar fi numărul natural n. 10. Arătați că numărul B = 28 · 56 + 5 este divizibil cu 9.

1. (15 p) a) Scrieți toate numerele naturale mai mici decât 1000, care au produsul cifrelor 28. Precizați câte dintre acestea sunt divizibile cu 3. (15 p) b) Scrieți toate numerele cuprinse între 480 și 500 care sunt divizibile cu 9. 2. Se consideră numărul A = 42 + 52 + 4 · 5. Determinați: (20 p) a) cel mai mic număr natural x, pentru care A + x este divizibil cu 3. (20 p) b) cel mai mic număr natural y, pentru care y − A este număr natural divizibil cu 9. (20 p) 3. Sonia are 13x jetoane, iar Irina are de două ori mai multe jetoane. Știind că numărul jetoanelor Irinei este un număr divizibil cu 9, aflați câte jetoane are fiecare. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Minitest