L4 Criteriul de divizibilitate cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9
Rezolvăm și observăm Problemă. Cristian a scris pe tablă numerele naturale de la 3 la 109. Beniamin taie cu o linie roșie multiplii lui 3, iar Bianca taie cu albastru multiplii lui 9. a) Aflați numărul numerelor tăiate cu roșu. b) Aflați numărul numerelor tăiate cu albastru. c) În fiecare dintre cazurile a) și b), alegeți 5 numere tăiate, calculați suma cifrelor pentru fiecare și identificați o proprietate comună a acestor sume. c) Numărul Suma cifrelor
12 3
48 12
a) 99 18
105 6
a) De la 3 la 109 găsim următorii multipli ai numărului 3: 3 = 3 · 1, 6 = 3 · 2, …108 = 3 · 36, deci au fost tăiate cu roșu 36 numere. b) De la 3 la 109 găsim următorii multipli ai numărului 9: 9 = 9 · 1, 18 = 9 · 2, … 99 = 9 · 11, 108 = 9 · 12, deci au fost tăiate cu albastru 12 numere.
108 9
9 9
27 9
b) 54 9
99 18
108 9
Pentru numerele divizibile cu 3, suma cifrelor este divizibilă cu 3, iar pentru numerele divizibile cu 9, suma cifrelor este divizibilă cu 9.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm Criteriul
Exemple Numerele de forma 1382a, divizibile cu 3, au proprietatea Dacă un număr natural se divide la 3, atunci 14 + a este divizibil cu 3, adică cifra a poate fi: 1, 4, 7, iar suma cifrelor sale se divide la 3. numerele sunt: 13821, 13824 și 13827. Numerele 24, 39, 45, 9999, sunt divizibile cu 3 pentru că Dacă suma cifrelor unui număr natural se 2 + 4 = 6 și 6ၓ3; 3 + 9 = 12 și 12ၓ3; 4 + 5 = 9 și 9ၓ3; divide la 3, atunci acest număr se divide la 3. 9 + 9 + 9 + 9 = 36 și 36ၓ3. Numerele de forma 83a, divizibile cu 9, au proprietatea Dacă un număr natural se divide la 9, atunci 11 + a este divizibil cu 9, adică cifra a poate fi 7, deci suma cifrelor sale se divide la 9. singurul număr divizibil cu 9, de această formă, este 837. Numerele 45, 954, 882, 999, sunt divizibile cu 9 pentru că Dacă suma cifrelor unui număr natural se 4 + 5 = 9 și 9ၓ9; 9 + 5 + 4 = 18 și 18ၓ9; divide la 9, atunci acest număr se divide la 9. 8 + 8 + 2 = 18 și 18ၓ9; 9 + 9 + 9 = 27 și 27ၓ9.
Știm să aplicăm, identificăm conexiuni Aplicația 1. a) B = 210 · 56 + 11 = (2 · 5)6 · 24 + 11; 10 6 B = 106 · 16 + 11. Suma cifrelor numărului B este a) Arătați că numărul B = 2 ā 5 + 11 este divizibil cu 9. 1 + 6 + 1 + 1 = 9, deci Bၓ9. b) Arătați că numărul b) C = abc + bca + cab = 111 ā a + b + c). C = abc + bca + cab este divizibil cu 3, Numărul 111 are suma cifrelor 3, deci 111ၓ3. oricare ar fi cifrele nenule a, b, c. Atunci, produsul 111 · (a + b + c) se divide la 3, adică Cၓ3.
82
