mai multe numere naturale

Ne amintim

Dacă numerele naturale a, b și d verifică relațiile d|a și d|b, atunci numărul d este divizor comun al numerelor a și b. Observații a) Numărul 1 este divizor comun al tuturor numerelor naturale nenule. b) Dacă d este divizor comun al numerelor naturale nenule a și b, atunci d ≤ a și d ≤ b. Din d|a, rezultă a = d · x, cu x ≥1, deci d ≤ a. Din d|b, rezultă b = d · y, cu y ≥1, deci d ≤ b. Exemple. 3 este divizor comun al numerelor 15 și 21 pentru că 3|15 și 3|21.

a) 1|1; 1|2; 1|4; 1|5; …, 1|n …

b) d|16 și d|8, deci d ≤ 16 și d ≤ 8. d|18 și d|9 rezultă că d ≤ 18 și d ≤ 9. Observație. Un divizor comun al numerelor a și b este mai mic sau egal cu cel mai mic dintre ele.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Pentru un proiect școlar, elevii claselor a V-a A și a V-a D, se organizează în echipe cu același număr de membri. În clasa a V-a A sunt 24 de elevi, iar în clasa a V-a D sunt 18 de elevi. a) Aflați numărul membrilor pe care îi poate avea o echipă, știind că toți elevii participă la proiect, fiecare într-o singură echipă și că echipele sunt formate din elevi ai aceleiași clase. b) Aflați numărul cel mai mare de membri pe care îi poate avea o echipă, în condițiile subpunctului a). Rezolvare a) Fiecare clasă formează un număr de echipe. Numărul membrilor unei echipe este un divizor al numărului total de elevi din clasă. Cum toate echipele au același număr de membri, rezultă că acest număr este un divizor comun al numerelor 24 și 18.

Divizorii numărului 24 sunt: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Divizorii numărului 18 sunt: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

În concluzie, o echipă poate avea 2 membri, 3 membri sau 6 membri. b) Pentru a afla cel mai mare număr de membri pe care îi poate avea o echipă, este suficient să alegem cel mai mare dintre numerele 2, 3 și 6, adică dintre divizorii comuni ai celor două numere.

În concluzie, o echipă are 6 membri.

Se numește cel mai maredivizor comun al numerelor naturale nenule a și b, cel mai mare număr natural nenul d, cu proprietatea că d este divizor comun al numerelor a și b.

Cel mai mare divizor comun al mai multor numere este cel mai mare număr natural care este divizor comun al tuturor acestor numere. Exemplu: Divizorii numărului 4 sunt: 1, 2, 4. Divizorii numărului 6 sunt: 1, 2, 3, 6. Divizorii comuni ai numerelor 4 și 6 sunt 1 și 2, iar 1< 2, deci cel mai mare divizor comun al numerelor 4 și 6 este 2. Exemplu: Cel mai mare divizor comun al numerelor 6, 9 și 51 este 3 pentru că divizorii comuni ai numerelor 6, 9, 51 sunt 1 și 3, iar cel mai mare este 3.

Observație. Dacă dorim să facem economie de spațiu, expresia cel mai mare divizor comun se poate prescurta în forma c.m.m.d.c.

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Problemă rezolvată Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor: a) 23 și 31; b) 9 și 27; c) 19 și 32; d) 100 și 175. Rezolvare. a) 23 și 31 sunt numere prime, deci au doar divizori improprii. Singurul lor divizor comun este 1, deci cel mai mare divizor comun al numerelor 23 și 31 este 1. b) 9 are divizorii: 1, 3, 9, iar 27 are divizorii: 1, 3, 9, 27. Divizorii comuni ai numerelor 9 și 27 sunt 1, 3, 9. Cum 1 < 3 < 9, rezult cel mai mare divizor comun al numerelor 9 și 27 este 9. c) 19 are divizorii: 1, 19, iar 32 are divizorii: 1, 2, 4, 8, 16, 32. Cele două numere au un singur divizor comun și cel mai mare divizor comun al numerelor 19 și 32 este 1. d) Divizorii numărului 100 sunt: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, iar divizorii numărului 175 sunt: 1, 5, 7, 25, 35, 175. Divizorii comuni sunt; 1, 5, 25. Cum 1 < 5 < 25, rezult cel mai mare divizor comun al numerelor 100 și 175 este 25.

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. a) Un divizor comun al numerelor 24 și 36 este:

A. 8; B. 9; C. 6; D. 16. b) Cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36 este:

A. 24; B. 12; C. 6; D. 8. c) Două numere care au cel mai mare divizor comun numărul 8, sunt:

A. 16 și 12;

B. 32 și 48; C. 8 și 12; D. 24 și 32. 2. a) Scrieți divizorii comuni ai numerelor 12 și 18. b) Precizați cel mai mare divizor comun al numerelor 12 și 18. 3. Aflați cifra x, știind că cel mai mare divizor comun al numerelor 40 și 2x este numărul 5. 4. Copiați tabelul pe caiete, calculați cel mai mare divizor comun al numerelor indicate și completați rezultatul în caseta corespunzătoare. Numerele 28 și 35 40 și 100

Cel mai mare divizor comun Numerele 24, 18 și 36 125, 175 și 250.

Cel mai mare divizor comun