L6 Cel mai mare divizor comun a două sau mai multe numere naturale
Ne amintim Dacă numerele naturale a, b și d verifică relațiile d|a și d|b, atunci numărul d este divizor comun al numerelor a și b. Observații a) Numărul 1 este divizor comun al tuturor numerelor naturale nenule. b) Dacă d este divizor comun al numerelor naturale nenule a și b, atunci d ≤ a și d ≤ b. Din d|a, rezultă a = d · x, cu x ≥1, deci d ≤ a. Din d|b, rezultă b = d · y, cu y ≥1, deci d ≤ b.
Exemple. 3 este divizor comun al numerelor 15 și 21 pentru că 3|15 și 3|21. a) 1|1; 1|2; 1|4; 1|5; …, 1|n … b) d|16 și d|8, deci d ≤ 16 și d ≤ 8. d|18 și d|9 rezultă că d ≤ 18 și d ≤ 9. Observație. Un divizor comun al numerelor a și b este mai mic sau egal cu cel mai mic dintre ele.
Descoperim, înțelegem, exemplificăm Pentru un proiect școlar, elevii claselor a V-a A și a V-a D, se organizează în echipe cu același număr de membri. În clasa a V-a A sunt 24 de elevi, iar în clasa a V-a D sunt 18 de elevi. a) Aflați numărul membrilor pe care îi poate avea o echipă, știind că toți elevii participă la proiect, fiecare într-o singură echipă și că echipele sunt formate din elevi ai aceleiași clase. b) Aflați numărul cel mai mare de membri pe care îi poate avea o echipă, în condițiile subpunctului a). Rezolvare a) Fiecare clasă formează un număr de echipe. Numărul membrilor unei echipe este un divizor al numărului total de elevi din clasă. Cum toate echipele au același număr de membri, rezultă că acest număr este un divizor comun al numerelor 24 și 18. Divizorii numărului 24 sunt: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Divizorii numărului 18 sunt: 1; 2; 3; 6; 9; 18. În concluzie, o echipă poate avea 2 membri, 3 membri sau 6 membri. b) Pentru a afla cel mai mare număr de membri pe care îi poate avea o echipă, este suficient să alegem cel mai mare dintre numerele 2, 3 și 6, adică dintre divizorii comuni ai celor două numere. În concluzie, o echipă are 6 membri. Exemplu: Se numește cel mai mare divizor comun al nume- Divizorii numărului 4 sunt: 1, 2, 4. relor naturale nenule a și b, cel mai mare număr natural nenul d, cu proprietatea că d este divizor Divizorii numărului 6 sunt: 1, 2, 3, 6. Divizorii comuni ai numerelor 4 și 6 sunt 1 și 2, iar 1< 2, deci comun al numerelor a și b. cel mai mare divizor comun al numerelor 4 și 6 este 2. Cel mai mare divizor comun al mai multor numere Exemplu: Cel mai mare divizor comun al numerelor 6, 9 și este cel mai mare număr natural care este divizor 51 este 3 pentru că divizorii comuni ai numerelor 6, 9, 51 sunt 1 și 3, iar cel mai mare este 3. comun al tuturor acestor numere. Observație. Dacă dorim să facem economie de spațiu, expresia cel mai mare divizor comun se poate prescurta în forma c.m.m.d.c.
105
