L3 Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 10n

Ne amintim

Ultima cifră a sumei a două numere naturale este dată de ultima cifră a sumei dintre ultima cifră a primului număr și ultima cifră a celui de-al doilea. Ultima cifră a sumei 238 + 297 este ultima cifră a sumei 8 + 7, adică ultima cifră a numărului 15, deci 5.

Ultima cifră a produsului a două numere naturale este dată de ultima cifră a produsului dintre ultima cifră a primului număr și ultima cifră a celui de-al doilea. Ultima cifră a produsului 238 · 297 este ultima cifră a produsului 8 · 7, adică ultima cifră a numărului 56, deci 6.

Orice număr natural de cel puțin două cifre se scrie ca sumă între un număr de zeci și un număr de unități.

2396 = 2390 + 6; 6545 = 6540 + 5. În lecțiile anterioare am aflat că putem decide că un număr natural a este divizibil la un număr nenul d, dacă a se împarte exact la d. De cele mai multe ori, efectuarea împărțirii este incomodă, deci căutăm criterii de divizibilitate, care ne oferă reguli cu ajutorul cărora stabilim dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural nenul d.

Rezolvăm și observăm

Problemă. În sala festivă, la spectacolul echipei de teatru a școlii noastre, au participat 40 de elevi de clasa a VII-a, 32 elevi de clasa a V-a și 35 de elevi de clasa a VI-a. Scaunele au fost aranjate pe clase, pe trei coloane. Prima coloană este formată din rânduri a câte 2 scaune, a doua coloană este formată din rânduri a câte 5 scaune, iar a treia coloană este formată din rânduri a câte 10 scaune. Stabiliți care coloană corespunde fiecărui grup de elevi, știind că nu sunt rânduri incomplete. Soluție. Pentru a nu rămâne rânduri incomplete, trebuie ca numărul celor din prima coloană să fie divizibil cu 2, numărul celor din coloana a doua să fie divizibil cu 5, iar numărul celor din coloana a treia să fie divizibil cu 10. Din 40 = 4 · 10, și rezultă că elevii de clasa a VII-a pot fi grupați: câte 2, câte 5 sau câte 10. Încă nu putem decide unde vor sta. Din 32 = 16 · 2 rezultă că elevii clasei a V-a pot fi grupați câte 2 dar nu pot fi grupați nici câte 5, nici câte 10, deci vor ocupa prima coloană. Din 35 = 7 · 5, rezultă că elevii clasei a VI-a pot fi grupați câte 5 dar nu pot fi grupați câte 2, nici câte 10, deci ocupă coloana a doua. Rămâne că cei de clasa a VII-a vor ocupa coloana a treia. Răspuns. clasa a V-a ocupă coloana I, clasa a VI-a ocupă coloana a II-a, clasa aVII-a ocupă coloana a III-a.

Descoperim, înțelegem, exemplificăm

Observație. Dacă numărul spectatorilor ar fi fost mult mai mare, de exemplu 798, 1235 respectiv 290, calculul nu ar mai fi atât de convenabil. Atunci, folosim scrierea numerelor ca sumă de zeci și unități. Un număr natural este divizibil cu 10 numai dacă este format doar din zeci, adică are cifra unităților 0. Zece unități pot fi grupate și câte 2 (5 grupe), dar și câte 5 (2 grupe), prin urmare: Dacă un număr natural este divizibil cu 10, atunci el este divizibil și cu 5 și cu 2. Ne întrebăm cum arată numerele care sunt divizibile cu 2 și nu sunt divizibile cu 10, sau cele care sunt divizibile cu 5 și nu sunt divizibile cu 10. criteriu = principiu de apreciere, de definire, de carac-

Dicționar

terizare, de clasificare

798 = 790 + 8; 1235 = 1230 + 5. În această scriere 790 2 și 8 2, de unde 798 2. De asemenea, 1230 5 și 5 5, de unde 1235 5. Concluzie. Pentru a decide dacă un număr este divizibil cu 2, cu 5 sau cu 10, este suficient să stabilim acest lucru despre ultima cifră a numărului.

Reținem

Criteriul Exemple Dacă numărul natural a se divide la 2, atunci ultima sa cifră este număr par: 0, 2, 4, 6, 8. Numerele de forma 978x, divizibile cu 2, sunt: 9780, 9782, 9784, 9786, 9788.

Dacă ultima cifră a numărului natural a este una dintre cifrele 0, 2, 4, 6, 8, atunci acesta se divide la 2. 728 2; 1396 2; 984 2; 722 2; 9980 2.

Dacă numărul natural a se divide la 5, atunci ultima sa cifră este 0 sau 5. Dacă ultima cifră a numărului natural a este 0 sau 5, atunci acesta se divide la 5. Numerele de forma 1978x, divizibile cu 5, sunt 19780 și 19785.

210 980 5; 210 985 5.

Dacă numărul natural a se divide la 10, atunci ultima sa cifră este 0. Dacă ultima cifră a numărului natural a este 0, atunci acesta se divide la 10. Singurul număr de forma 1978x, divizibil cu 10, este 19780.

210 980 10; 210 990 10.

Dacă numărul natural a se divide la 10n, atunci ultimele n cifre ale sale sunt 0.

Dacă ultimele n cifre ale numărului natural a sunt 0, atunci acesta se divide la 10n . Numerele de forma 1xyz, divizibile cu 102 , sunt: 1000; 1100; 1200; 1300; 1400; 1500; 1600; 1700; 1800; 1900.

210000 104; 2107000 103; 210900 102

Știm să aplicăm, identificăm conexiuni

Aplicația 1.

Scrieți toate numerele divizibile cu 2, care au forma x38x . Soluție. a) Din x38x 2, rezultă x este una dintre cifrele 0, 2, 4, 6, 8. Dar, x este prima cifră a numărului, deci x 0.

Numerele căutate sunt: 2382, 4384, 6386, 8388.

Aplicația 2. Fie sumele

S1 = 5 + 10 + 15 + … + 555,

S2 = 70 + 72 + 74 + … + 720 . Arătați că: a) S1 5; b) S2 10. Soluție. a) Fiecare termen al sumei are ultima cifră 0 sau 5, deci se divide la 5.

Atunci S1 5. b) S2 = (1+ 72)+ 74 (1+ 72)+ … + 718 (1+ 72).

Cum 1 + 72 = 50, rezultă

S2 = 50 1+ 72 + 74 + … + 718) și S2 10

Exersăm, ne antrenăm, ne dezvoltăm

1. Considerăm șirul de numere naturale: 3, 8, 10, 13, 14, 19, 25, 30, 37, 34, 46.

Stabiliți varianta corectă de răspuns. Numai un răspuns este corect. a) În șirul dat, sunt divizibile cu 2:

A. 5 numere; B. 6 numere; C. 7 numere; D. 8 numere. b) În șirul dat, sunt divizibile cu 5:

A. 3 numere; B. 2 numere; C. 1 număr; D. 0 numere. c) În șirul dat, sunt divizibile cu 10:

A. 0 numere; B. 1 număr; C. 2; D. 3 numere. d) În șirul dat, sunt divizibile cu 2, dar nu sunt divizibile cu 5:

A. 5 număr; B. 2 numere; C. 3 numere; D. 4 numere. 2. Copiați tabelul pe caiet și completați în casetele libere da sau nu după cum numărul n este divizibil sau nu este divizibil cu numărul indicat, după modelul dat. n 10 36 40 75 100 225 300 1235 6543 divizibil cu 2 da divizibil cu 5 da divizibil cu 10 da divizibil cu 100 nu

3. Folosind cifrele 0, 5, 8, cel mult o dată fiecare, scrieți toate numerele naturale divizibile cu: a) 2; b) 5; c) 10. 4. Determinați numerele de forma a7b, știind că sunt divizibile cu 10 și au suma cifrelor cel mult 11. 5. Aflați cifra a în fiecare situație: a) 19a 5; b) 2 | a7a; c) 10 | 800a; d) 100 | 3aa0; e) 6a 2; f) 2 2a; g) 100 64a; h) 5 2a7. 6. Demonstrați că: a) numărul A = 1110 + 9 este divizibil cu 10. b)numărul B = 654 1 este divizibil cu 5. 7. Decideți argumentat dacă numărul C = 310 · 511 + 311 · 510 este divizibil cu 2, cu 5 sau cu 10. 8. Determinați numerele de forma abc, multipli ai numărului 5, pentru care suma cifrelor este 7.

Minitest

1. Pe trei cartonașe sunt scrise numere naturale, 7 30 148 ca în imaginea alăturată. Precizați: 2223 (15 p) a) culoarea cartonașului care conține cele mai 105 25 multe numere divizibile cu 2; (15 p) b) culoarea cartonașului care conține cele mai puține numere divizibile cu 5; 31 84 150 (20 p) c) dacă există un cartonaș care conține numere divizibile cu 10, care nu sunt divizibile cu 5. 3332 33 (20 p) 2.a) Determinați numărul natural x, știind că 2|x și 17 x + 7 27. (20 p) b) Determinați numărul natural y, știind că 5|y și 37 2·(y 1) 57.

47 82–4 58 3232 101 + 32

Se acordă 10 puncte din oficiu.