« Bedankt voor jullie komst en toelichting. Dat heeft zeker geholpen om ons beter voor te bereiden op het nieuwe jaar en om de overstap naar KERN Wiskunde tot een succes te maken. »
arie van ekeren De Passie, Utrecht
« Al onze boeken worden in Nederland geproduceerd op FSC-papier bij een CO₂-neutrale drukker en we gaan bewust voor leerboeken die vijf jaar meegaan. Wij maken onze leermiddelen zo duurzaam mogelijk. »
donald staal Directeur-uitgever Boom Voortgezet Onderwijs
boom voortgezet onderwijs
Voor een beter begrip
De lesmethoden van Boom voortgezet onderwijs ondersteunen docenten en leerlingen optimaal. Leren met pen en papier vormt de basis van onze lesmethoden, terwijl digitale hulpmiddelen het leerproces effectief ondersteunen.
v Duurzaam Geen wegwerpboeken
Onze lesmethoden zijn niet alleen inhoudelijk van topkwaliteit, de boeken zijn ook mooi vormgegeven, worden in Nederland gedrukt en gaan meerdere jaren mee.
Wij hanteren geen LiFo-model, zodat leerlingen niet elk jaar hun lesboeken hoeven weg te gooien.
v Vrijheid Jouw school, jouw keuze
Wij geloven in keuzevrijheid: je kiest zelf of je lesgeeft met boeken, digitaal of een combinatie van beide, zonder koppelverkoop of een langjarig contract.
Onze lesmethoden zijn eerlijk geprijsd en vaak goedkoper dan die van andere uitgevers.
v Service Persoonlijk contact
Wij hechten veel waarde aan persoonlijk contact.
Onze educatief adviseurs en uitgevers denken met je mee en ze komen graag persoonlijk langs voor een gesprek.
« Wat wij goed vinden aan KERN Wiskunde is de duidelijkheid. Elk hoofdstuk is gelijk opgebouwd en bij elk onderdeel zit een doel waaraan de leerlingen kunnen werken. Ook fijn dat de leerlingen online extra kunnen oefenen. »
mieke smeulders
Taalbrug College, Eindhoven
«Ik ben zeer te spreken over de ondersteuning vanuit KERN Wiskunde. Zo is er van iedere paragraaf een uitgebreide PowerPoint-presentatie, deze gebruik ik veelvuldig en pas ik aan op mijn eigen lesstijl. Deze presentaties hebben mij veel tijd bespaard. »
wesley keldermans
Gymnasium Haganum, Den Haag
« Ik vind de indeling van de boeken van KERN Wiskunde heel overzichtelijk. Met de theorie op de linker bladzijde en de bijbehorende opdrachten op de rechter bladzijde. Of je klas zelfstandig is of niet, dat maakt niet uit, want in beide gevallen kun je met KERN Wiskunde op een creatieve manier met je les omgaan. »
els verhagen
Marnix College, Ede
kern wiskunde
Uit liefde voor het vak
KERN Wiskunde is een leerdoelgestuurde lesmethode voor vmbo, havo, vwo en gymnasium. De inhoud, organisatie, didactiek en vormgeving zijn afgestemd op elk niveau. We hebben aandacht voor de schoonheid van het vak en dagen alle leerlingen uit op hun eigen niveau!
v RTTI
De methode is RTTI-gecertificeerd en alle opdrachten zijn RTTI-gecodeerd. Elke paragraaf begint met een duidelijk leerdoel en eindigt met een leerdoelcheck op de vier cognitieve niveaus. Leerlingen weten hierdoor precies wat er van hen verwacht wordt en kunnen controleren of ze de stof beheersen.
v Realistische inhoud
In de hoofdstukopeningen, de praktische wiskundelessen en de verdiepings- en verbredingsopdrachten maken we gebruik van realistische contexten uit diverse leergebieden. Deze link met de werkelijkheid geeft leerlingen inzicht in het nut en de kracht van wiskunde.
v Duidelijke structuur
KERN Wiskunde volgt een concentrische opbouw, waarbij onderwerpen elk jaar terugkomen en verder uitgebouwd worden. Elk hoofdstuk heeft dezelfde indeling met een vaste structuur van theorie, oefenopdrachten en verdieping. Deze structuur zorgt voor rust en overzicht.
v Didactische uitgangspunten
Vanuit wiskundige concepten leggen we de wiskunde uit en geven we duidelijke voorbeelden. De leerlingen oefenen met opdrachten die daarbij aansluiten. Elke opdracht is anders en bouwt op qua niveau: van het reproduceren van theorie tot inzicht, waarbij wiskundig denken gestimuleerd wordt. Werken vanuit het boek staat centraal. Digitaal materiaal wordt aangeboden waar het meerwaarde heeft, bijvoorbeeld voor het inslijpen van vaardigheden.
v Ondersteuning docent
We bieden jou als docent praktische ondersteuning met een gratis docentlicentie. Hierin vind je onder andere : uitwerkingen en antwoorden, Powerpoints en uitlegvideo’s bij alle theorie, toetsen en toetsvragensets. Voor hulp bij het implementeren van de methode staan we graag voor je klaar.
v Scan de QR-code voor het aanvragen van een demolicentie om een aantal boeken door te bladeren en het digitale lesmateriaal te bekijken.
onderbouw + bovenbouw
KERN Wiskunde vmbo
Succesbeleving voor alle vmbo-leerlingen
v Leerlijn onderbouw
In de onderbouw zijn de boeken geschikt voor dakpanklassen. KERN Wiskunde vmbobasis(kader) werkt met leerwerkboeken, vmbo-kgt en vmbo-t / havo werken met leerboeken. Werkbladen zijn als printbestanden los beschikbaar of optioneel in boekvorm leverbaar.
v Leerlijn bovenbouw
In de bovenbouw zijn de niveaus basis, kader en gt gesplitst. Ook in de bovenbouw werkt vmbo-basis met leerwerkboeken en vmbo-kader en -gt met leerboeken.
Vanaf leerjaar 3 besteden we aandacht aan ‘Wiskundig lezen’, waarbij leerlingen uitgebreide contextopdrachten op examenniveau leren op te lossen.
In leerjaar 4 starten we elk hoofdstuk met rekenen, meten & schatten. Met het hoofdstuk ‘Examenvoorbereiding’ kunnen leerlingen zich op verschillende manieren voorbereiden op het examen.
v Toegankelijk voor alle leerlingen
Uitleg en opdrachten zijn helder geformuleerd. De taal sluit aan op het taalniveau van de leerling. Daardoor wordt het vak toegankelijker voor de leerling zonder concessies te doen aan het niveau van de leerstof.
« Ik vind KERN Wiskunde overzichtelijk, met behapbare stukken theorie, leuke wiskundeweetjes en een fijne hoeveelheid aan verwerkingsopgaven. De theorie wordt duidelijk uitgelegd. Onze leerlingen gaan goed op de stappenplannen. »
marjoleine duifhuis College Ariane de Ranitz, Utrecht
v Link met de werkelijkheid
In de hoofdstukopening (‘Wiskundeweetje’) en de lessen ‘Praktische wiskunde’ is veel aandacht voor praktische toepassingen en algemene kennisontwikkeling. Met wiskundige toepassingen op het gebied van mens en maatschappij, natuur, kunst en cultuur. In leerjaar 3 leggen we daarbij ook een link naar vervolgopleidingen en beroepen.
v Digitale leerlinglicentie
Bij KERN Wiskunde is een aanvullende licentie voor leerlingen verkrijgbaar met uitlegvideo’s bij alle theorie en gerandomiseerde opdrachten.
v Meer informatie? https://boomvoortgezetonderwijs.nl/ kern-wiskunde-vmbo/
vmbo-kgt
Leerdoelgestuurd
Theorie herkenbaar en helder geformuleerd in één kolom per paragraaf Opdrachten met verwijzing naar bijbehorende theorie
Positieve en negatieve getallen
DOEL → Je leert wat positieve en negatieve getallen zijn en waar je ze plaatst op een getallenlijn.
Positief en negatief
Getallen kun je op een getallenlijn plaatsen.
ɲ Positieve getallen liggen rechts van 0.
ɲ Negatieve getallen liggen links van 0.
ɲ Het getal 0 is niet positief en niet negatief.
ɲ Twee tegengestelde getallen liggen even ver van de nul. Het ene getal ligt links en het andere rechts van de nul.
5 en 5 zijn tegengestelde getallen.
Tip: op je rekenmachine gebruik je voor het negatief maken van een getal of de knop
Groter dan en kleiner dan
ɲ Hoe verder naar rechts op de getallenlijn, hoe groter het getal: 6 is groter dan 5. Je schrijft: 6 > 5.
ɲ Hoe verder naar links op de getallenlijn, hoe kleiner het getal: –6 is kleiner dan –5. Je schrijft: –6 < –5.
Tip: het teken < zit in de letter K van leiner.
Voorbeeld ▸ –2 is groter dan –3, want –3 ligt verder van 0 dan –2.
Kijk naar de getallen in opdracht 7. t1 a Welke getallen zijn positief? b Welke getallen zijn negatief? c Welke getallen zijn elkaars tegengestelde?
Per hoofdstuk twee lessen praktische wiskunde
Toepassen opgedane kennis in praktijksituatie
breuken
Praktische wiskunde Verf mengen
DOEL → Je leert hoe je nieuwe kleuren maakt door primaire kleuren te mengen.
Als je om je heen kijkt, zie je allerlei kleuren. In de schilderkunst zijn er drie hoofdkleuren: rood, geel en blauw. Dit noem je de primaire kleuren. Je kunt met deze drie kleuren alle andere kleuren maken door ze te mengen.
Kleuren die je krijgt door twee primaire kleuren te mengen, noem je secundaire kleuren. Als je een primaire kleur mengt met een secundaire kleur, krijg je een tertiaire kleur
Verf mengen
Oranje verf
Opdrachten – Groter dan en kleiner dan 11 Met welk teken geef je aan dat een getal kleiner is dan een ander getal? r
12 Neem over en vul in. Kies < of > t1 a 10 3 d
14 Bekijk het kaartje en maak de zinnen kloppend. i a In Amsterdam is het warmer / kouder dan in Breda, want 5 < / > b In Maastricht is het warmer / kouder dan in Groningen, want < / >
15 In een vriezer is het –18 ºC. De buitentemperatuur is 16 ºC. Hoe groot is het temperatuurverschil? t2
Breinbreker
De top van de Mount Everest is het hoogste punt op aarde en ligt op 8848 meter boven de zeespiegel. De Mauna Kea is de grootste berg op aarde. Het hoogste punt van deze berg ligt op 4207 meter boven de zeespiegel.
a De Mauna Kea is in totaal 10 203 meter hoog. Hoeveel meter van deze berg ligt onder de zeespiegel?
b De top van de Mount Everest is het hoogste punt op aarde, maar de Mount Everest is niet de grootste berg op aarde. Leg uit hoe dit kan.
Woorden
positief getal negatief getal tegengesteld getal
Doel bereikt?
ɲ Ik weet wat positieve en negatieve getallen zijn. r
ɲ Ik kan getallen op een getallenlijn plaatsen en ik kan aangeven of een getal groter of kleiner is dan een ander getal. t1
ɲ Ik kan het verschil tussen een positief en een negatief getal bepalen in praktijksituaties. t2 ɲ Ik begrijp het verband tussen een getallenlijn en positieve en negatieve getallen in mijn omgeving, zoals bij temperaturen. i
praktische wiskunde
Opdrachten – Verf mengen
78 Noteer de drie primaire kleuren in de schilderkunst. r
79 Werkblad 7.79
Groene verf bestaat uit 1 deel gele verf en 1 deel blauwe verf.
a Hoeveel delen zijn er in totaal? t1 b Verdeel de cirkel op je werkblad in het juiste aantal delen en geef de delen de juiste kleur om groen te maken. Schrijf de breuken erbij. t1 c Je wilt 1000 mL groene verf maken. Hoeveel mL verf heb je dan van elke kleur nodig? t2
80 Werkblad 7.80
Roze verf bestaat uit 3 delen gele verf en 2 delen rode verf. Je wilt 15 liter roze verf maken.
a Verdeel de cirkel op je werkblad in het juiste aantal delen en geef de delen de juiste kleur. Schrijf de breuken erbij. t1
b Bereken hoeveel liter gele verf je nodig hebt. t2 c Bereken hoeveel liter rode verf je nodig hebt. t2
81 Je gaat een houten schutting verven. De schutting heeft een oppervlakte van 42 m2. Met 1000 milliliter (mL) bruine verf kun je 12 m2 verven.
a Bereken hoeveel mL bruine verf je moet maken. t2 Om bruine verf te maken, heb je 1 deel blauwe verf, 2 delen rode verf en 2 delen gele verf nodig.
b Maak een schets van een cirkel met de verdeling van de verfkleuren. t1
c Bereken hoeveel mL je van elke kleur nodig hebt. t2
82 Je gaat paarse verf maken. Je hebt nog 600 mL rode verf en 400 mL blauwe verf staan. Om paars te maken gebruik je 2 delen rode verf en 1 deel blauwe verf.
a Schrijf de delen rode en blauwe verf als breuken. t1
b Als 2 delen rode verf gelijk is aan 600 mL, hoeveel mL is er dan gelijk aan 1 deel? i
c Heb je genoeg blauwe verf in huis om met alle rode verf die je hebt paarse verf te maken? t1
Je laat de pot blauwe verf vallen. De helft van de verf ligt nu op de grond en is niet meer bruikbaar.
d Hoeveel paarse verf kun je nu nog maximaal maken zonder er verf bij te kopen?
De paarse verf vind je te donker. Je besluit de paarse verf lichter te maken door wit toe te voegen. De nieuwe kleur bestaat uit 3 delen paars en1 deel wit. Je gebruikt alle paarse verf uit opdracht c
e Hoeveel mL witte verf moet je toevoegen aan je paarse verf om de nieuwe lichte kleur paars te krijgen?
Woorden
primaire kleur tertiaire kleur secundaire kleur
Doel bereikt?
ɲ Ik weet wat de primaire kleuren zijn. r
ɲ Ik kan de verdeling van de kleuren verf die nodig zijn om een bepaalde kleur te mengen, weergeven in een cirkel. t1
ɲ Ik kan berekenen hoeveel verf ik nodig heb voor het mengen van een bepaalde kleur. t2
ɲ Ik begrijp hoe ik in praktijksituaties kan rekenen met breuken, bijvoorbeeld bij het mengen van verf. i
Vaste opbouw: elke paragraaf in het boek is een les in de klas
Extra uitdagende opdracht
Aandacht voor begrippen
Leerdoelcheck: opdrachten gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI
KERN Wiskunde havo & vwo
Daagt leerlingen uit om wiskundig te denken
v Leerlijn
In de onderbouw zijn de havo/vwo-boeken voor leerjaar 1 en 2 geschikt voor dakpanklassen. Daarnaast zijn er aparte leerlijnen voor vwo en voor gymnasium. Vanaf leerjaar 2 is er ook een havo-leerlijn. Voor tweetalig onderwijs bieden we Engelstalige boeken voor havo/vwo leerjaren 1 en 2, havo leerjaar 3 en vwo leerjaar 3.
v Inspirerende onderwerpen
In de hoofdstukopening en verdieping komen wiskundige toepassingen in alledaagse, maatschappelijke situaties aan bod. Ook besteden we veel aandacht aan de geschiedenis van de wiskunde en aan de relatie met natuur, kunst en cultuur. Hiermee stimuleren we wiskundige denk- en werkwijzen en een wiskundige attitude ten opzichte van de wereld.
v Helder en overzichtelijk
De theorie wordt per onderdeel helder en overzichtelijk uitgelegd op één bladzijde. Na de theorie volgen oefenopdrachten met een duidelijke verwijzing naar de onderdelen in de uitleg. Er is veel aandacht besteed aan de formulering van de uitleg en opdrachten.
v Aandacht voor begrippen en rekenen
Begrippen die de leerlingen moeten kennen, zijn in de tekst gemarkeerd. Elke paragraaf eindigt met een lijst van deze begrippen.
Ook bevat elke paragraaf een rekenopdracht, bedoeld om de rekenvaardigheden te onderhouden.
v Digitale leerlinglicentie
Bij KERN Wiskunde is een aanvullende licentie voor leerlingen verkrijgbaar met uitlegvideo’s bij alle theorie en gerandomiseerde opdrachten.
« Met KERN Wiskunde leg je de lat wat hoger en daar doen leerlingen én docent het goed op.»
caroline couperus
Parcival College, Groningen
« Met KERN Wiskunde komen kennis en inzicht samen.»
DOEL > Je leert wat variabelen zijn en hoe je met andere variabelen dan de x- en y-coördinaat kunt werken.
Andere verbanden Er bestaan ook andere verbanden dan die tussen coördinaten. In het stippenpatroon hieronder bestaat elke volgende figuur uit twee extra stippen. Er is dus een verband tussen het aantal stippen en het nummer van de figuur. In de tabel kun je zien dat je dit verband kunt beschrijven met de formule aantal = 2 nummer + 1 of korter met a = 2n + 1
Leerdoelcheck: opdrachten gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI
Voorbeeld
De wijzer van een klok draait elk uur 360° rond. In de tabel hieronder staat het aantal graden dat de wijzer van de klok is rondgedraaid na een bepaalde tijd in uren.
tijd (uur) 0 1 2 3 4 5 aantal graden 0 360 720 1080 1440 1800
Je kunt dit verband beschrijven met de formule aantal graden = 360 tijd of korter met G = 360 t
Variabelen In de formule a = 2n + 1 zijn de letters a en n variabelen omdat de waarde van a en van n kan variëren. En in de formule G = 360t zijn de letters G en t variabelen. Net zo zijn y en x variabelen in de formule y = x2 . In formules gebruik je meestal variabelen van één letter. Je kiest daarbij een logische letter, zodat het duidelijk is wat de variabele voorstelt. Zo zijn in de formule a = 2n + 1 de variabelen a en n de beginletters van aantal en nummer. En in de formule y = x2 kun je aan de variabelen x en y makkelijk zien dat ze voor de x- en de y-coördinaat staan.
VERBANDEN 3
3.5
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
v Ontdekken
84 In de Verenigde Staten wordt de temperatuur in graden Fahrenheit gemeten.
Je kunt het aantal graden Fahrenheit (°F) omrekenen naar het aantal graden Celsius (°C) met de formule °C = 5 9 (°F – 32). T 1
a Teken de grafiek van dit verband waarbij de horizontale as van 0 °F tot 150 °F loopt.
b Wat voor soort verband is dit? Leg uit.
c Reken 95 °F om naar graden Celsius. Controleer je antwoord met behulp van de grafiek.
85 Doordat de lichtsnelheid veel groter is dan de geluidssnelheid hoor je tijdens onweer de donder pas een tijdje nadat je de bliksem hebt gezien. Hoe verder het onweer is, des te groter het tijdsverschil. Je kunt de afstand tot het onweer berekenen met de vuistregel ‘Het aantal seconden tussen bliksem en donder gedeeld door 3 geeft de afstand tot het onweer in kilometers’.
a Er zitten 12 seconden tussen bliksem en donder. Hoe ver is het onweer? T 1 b Stel een formule op bij de vuistregel. T 2 c De afstand tot het onweer is 2,5 km. Hoeveel seconden zitten er tussen de bliksem en de donder?
v Onderzoeken
86 Lees de tekst Galilei en de scheve toren van Pisa op de rechterbladzijde. T 1
a Wat voor soort verband beschrijft de formule? Leg je antwoord uit. b Teken de grafiek van dit verband. c Vanaf welke hoogte heeft Galilei de kogels losgelaten? d Op welke hoogte zijn de kogels na 2 seconden? En na 3 seconden? e Na hoeveel seconden bereiken de kogels de grond? Lees je antwoord in één decimaal nauwkeurig af uit de grafiek.
87 De hoogste toren ter wereld staat naar verwachting vanaf 2024 in Saoedi-Arabië. De Jeddah Tower is dan 1008 meter hoog. Stel je laat in 2024 een kogel van de Jeddah Tower vallen. Vanaf het moment waarop je de kogel laat vallen wordt de hoogte van de kogel bij benadering beschreven door de formule h = 1008 – 5 t 2, waarbij h de hoogte in meters is en t de tijd in seconden. Onderzoek door een grafiek te tekenen na hoeveel seconden de kogel de grond bereikt. I
Bij onweer zie je de bliksem voordat je de donder hoort.
OPDRACHTEN — OEFENEN
v Andere verbanden
72 a Neem de tabel over en vul de ontbrekende waarden in. T1
nummer 1 2 3 4 5 aantal stippen
b Stel een formule op voor dit verband. T1
c Hoeveel stippen heeft figuur 7? En figuur 10? T1
73 a Neem de tabel over en vul de ontbrekende waarden in. T 1
1 2 3 4 5 6
nummer 1 2 3 4 5 6 aantal stippen
b Stel een formule op voor dit verband. T 1 c Hoeveel stippen heeft figuur 10? En figuur 20? T 1
74 Een meisje is 30 jaar jonger dan haar vader. T1
a Hoe oud is het meisje als haar vader
42 jaar oud is?
b Hoe oud is de vader van het meisje als zij
13 jaar oud is?
c Welke van de volgende formules hoort bij het verband tussen de leeftijd van het meisje en haar vader?
A leeftijd meisje = leeftijd vader – 30
B leeftijd meisje = leeftijd vader + 30
C leeftijd meisje = 30 leeftijd vader
75 In een sponsorloop haal je voor elk rondje dat je loopt 2 euro sponsorgeld op.
a Hoeveel sponsorgeld haal je op als je 10 rondjes loopt? T1
b Hoeveel sponsorgeld haal je op als je 100 rondjes loopt? T1
c Stel een formule op voor het verband tussen de hoeveelheid opgehaald sponsorgeld en het aantal rondjes dat je loopt. T2
76 Nederlanders verbruiken gemiddeld 7,8 liter water per minuut tijdens een douchebeurt. T 2
a Stel een formule op voor het verband tussen het aantal verbruikte liters water en het aantal minuten douchen. b Een waterbesparende douchekop bespaart per minuut douchen 1,8 liter water. Stel een formule op voor het verband tussen het aantal verbruikte liters water en het aantal minuten douchen met een waterbesparende douchekop.
c Een comfortdouche verbruikt per minuut twee keer zoveel water als een gewone douche. Stel een formule op voor het verband tussen het aantal verbruikte liters water en het aantal minuten douchen met een comfortdouche.
v Variabelen
77 Schrijf zo kort mogelijk. T 1 a y-coördinaat = 1 2 ⋅ x-coördinaat + 1 2 b afstand = 5⋅ tijd 2 + 10 c kosten = 5 verbruik d lengte = 1,3⋅ leeftijd 3 e kosten = 3⋅ aantal + 100 f hoogte = 25 – 5 dagen2 g afstand = 5 uur
Onderverdeling opdrachten in ‘oefenen’, ‘ontdekken’ en ‘onderzoeken’
Relevante onderwerpen
Galilei en de scheve toren van Pisa Het verhaal gaat dat rond 1600 de Italiaanse wetenschapper Galileo Galilei een aantal verschillende kogels van de scheve toren van Pisa liet vallen. Ze deden allemaal even lang over hun val. Dat was opmerkelijk, want sinds Aristoteles dacht men dat zwaardere voorwerpen sneller vielen dan lichtere voorwerpen. Galilei toonde aan dat het niet uitmaakt hoe zwaar een voorwerp is. Vanaf het moment waarop je een kogel van de toren van Pisa laat vallen wordt de hoogte van de kogel bij benadering beschreven door de formule h = 50 – 5t 2, waarbij h de hoogte in meters is en t de tijd in seconden.
v Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat variabelen zijn.
T 1 Ik kan de grafiek tekenen van een formule met andere variabelen dan de x- en de y-coördinaat.
T 2 Ik kan een formule opstellen bij een vuistregel en ik kan uitleggen wanneer ik punten van een grafiek wel of niet met elkaar mag verbinden. Ik kan bij een formule berekenen welke waarde je moet invullen om een bepaalde uitkomst te krijgen.
R 5 Kijk nog eens naar opdracht 76. Nederlanders staan elke dag gemiddeld 8,1 minuten onder de douche. Bereken hoeveel water dat kost met een normale douchekop, met een waterbesparende en met een comfort-douchekop.
Aandacht voor begrippen
Aandacht voor rekenen
WISKUNDE
HAVO 4 WISKUNDE A
HAVO 5 WISKUNDE A
HAVO 4 WISKUNDE B
HAVO 5 WISKUNDE B
WISKUNDE A /C
WISKUNDE A /C
WISKUNDE A WISKUNDE A
bovenbouw
KERN Wiskunde havo & vwo
Daagt leerlingen uit om wiskundig te denken
v Beschikbare boeken
In de bovenbouw hebben we leerboeken voor havo wiskunde A en B en voor vwo wiskunde A /C en B. Vanaf de tweede helft van leerjaar 5 zijn er aparte leerboeken voor vwo wiskunde A en C.
v Doorlopende leerlijn
De bovenbouw havo/vwo sluit naadloos aan op de onderbouw. De inhoud is helder en overzichtelijk opgebouwd volgens dezelfde structuur. Ook in de bovenbouw is er aandacht voor inspirerende onderwerpen in de hoofdstukopeningen, die ook als keuzeonderwerp ingezet kunnen worden.
v Examenopdrachten vanaf leerjaar 4
Examenopdrachten zijn vanaf leerjaar 4 een vast onderdeel van elk hoofdstuk. Zo wennen de leerlingen in een vroeg stadium aan de opbouw en structuur van examenopdrachten.
v Digitale leerlinglicentie
Bij KERN Wiskunde is een aanvullende bovenbouwlicentie voor leerlingen verkrijgbaar met uitlegvideo’s bij alle theorie, e-books van voorgaande bovenbouwboeken en een gerandomiseerde vaardigheidstraining. De leerling kan zich hiermee goed voorbereiden op het examen.
« Bij KERN Wiskunde is er goed nagedacht over een leerlijn en over de sommen. Dat merk je als je hieruit lesgeeft.
De bovenbouwboeken van KERN Wiskunde haken echt aan op wat de leerlingen in de onderbouw gedaan hebben. Mijn collega en ik vinden het erg fijn werken in de bovenbouw. »
els verhagen Marnix College, Ede
v Meer informatie? https://boomvoortgezetonderwijs.nl/kernwiskunde-havovwo-tf/
HAVO 4 WISKUNDE A Leerdoel
3.4
Toppen en snijpunten
DOEL Je leert hoe je de coördinaten van de toppen van een grafiek en de coördinaten van de snijpunten met een andere grafiek kunt bepalen
Toppen Een punt in een grafiek waar een stijging overgaat in een daling of andersom heet een top. Hieronder zie je dat de grafiek van y x 3 12 x 2 + 36x + 7 twee toppen heeft. In punt A bereikt y een maximum en in punt B een minimum
30 40 50 O top top B
Je kunt de coördinaten van de toppen van de grafiek van y = x3 − 12x2 + 36x + 7 met je grafische rekenmachine berekenen door de grafiek te plotten.
De optie maximum geeft x 2 en y 39
De optie minimum geeft x 6 en y 7
De coördinaten van de toppen zijn dus A(2, 39) en B(6, 7)
In A bereikt y een maximum van 39 en in B een minimum van 7.
Voorbeeld
De vorm van een waterstraal wordt beschreven door de formule
h = 0,1a(8 − a). Hierin is h de hoogte en a de horizontale afstand vanaf de sproeikop, beide in meter. Bereken hoe hoog het water maximaal komt.
Voer in: y = 0,1x(8 − x)
Plot de grafiek. Stel je venster zo in dat de top goed in beeld is.
De optie maximum geeft x = 4 en y = 1, 6
De maximale hoogte van het water is 1,6 m.
Theorie links
5.2
Mac HTE n, EX pon E n TE n E n L ogari TME n
Vergelijkingen met machten DOEL Je leert hoe je vergelijkingen met machten kunt oplossen.
Vergelijkingen met een macht Een vergelijking van de vorm x 2 = c los je op met worteltrekken. Als c > 0, zijn de oplossingen
x = − √c en x = √c . Ook als de exponent groter is dan 2, los je een vergelijking van de vorm xn = c op met worteltrekken. Afhankelijk van of n even of oneven is, heeft de vergelijking 0, 1 of 2 oplossingen. De oplossingen van x = c zijn:
n oneven: x = √c n even en c > 0: x = − n√c ∨
geen oplossingen
Een vergelijking als x −3 = 2 kun je herleiden naar x 3 = 1 2 en dus x = 3√1 2
Voorbeelden Los exact op. 1 3x 4 − 2 = 13 3x 4 = 15 x 4 = 5 x =
geen oplossingen
x = 21 2
Machtsvergelijkingen met een gebroken exponent De exponent p in de machtsvergelijking xp = c kan ook een breuk zijn. Als c ≥ 0, dan kun je de vergelijking oplossen door beide kanten van het isgelijkteken te verheffen tot de macht 1 p. Bijvoorbeeld:
x 2 3 = 5 geeft x = 5 3 2 ≈ 11,18.
x–1,8 = 12 geeft x = 12 1 –1,8 ≈ 0,25. Je mag er bij de vergelijking xp = c met p een gebroken getal van uitgaan dat het grondtal positief is, omdat er problemen kunnen ontstaan bij een negatief grondtal. (Zie opdracht 26.)
Voorbeelden Los algebraïsch op. Rond af op twee decimalen. 1 x 5 6 − 6 = 2 x 5 6 = 8 (x 5
53 Gegeven is de formule y = x 2 − 8x + 48 T1
a Plot de grafiek van deze formule.
b Bij welke waarde van x bereikt y een minimum? c Geef dit minimum.
54 Hieronder zie je dat de grafiek van y = −0,5x3 + 4x2 + 25x twee toppen heeft. Bereken de coördinaten van deze toppen. Rond af op twee decimalen. T1
x 10 12
55 De vorm van een waterstraal wordt beschreven door de formule h = 0,15a(7 a). Hierin is h de hoogte en a de horizontale afstand vanaf de sproeikop, beide in meter. T1
a Bereken hoe ver het water komt. b Bereken hoe hoog het water maximaal komt.
56 Een hoeveelheid N verandert volgens de formule N t 3 + 100t 20 . Hierin is t de tijd in dagen met t ≥ 0
57 Het benzineverbruik van een auto is afhankelijk van de snelheid waarmee je rijdt. Voor een bepaalde auto geldt voor snelheden tussen de 25 km/h en 150 km/h bij benadering de volgende formule:
B = 180 + 0,0385v 2
v Hierin is B het benzineverbruik in liters per 100 km en v de snelheid in km/h. T2
a Hoeveel liter benzine verbruikt deze auto als je 40 km rijdt met een snelheid van 100 km/h? b Bepaal bij welke snelheid het benzineverbruik van deze auto minimaal is. Geef je antwoord in km/h en rond af op helen.
58 Je wilt een doos maken uit een stuk karton van 30 cm bij 30 cm. Daarvoor knip je uit de hoeken van het karton even grote vierkanten van x cm bij x cm. Vervolgens vouw je de zijkanten omhoog en plak je deze aan elkaar. De inhoud I van de doos in cm3 wordt gegeven door de formule I (30 2x)2 · x T2 cm x x a Wat is de inhoud van de doos als je vierkanten van 2 cm bij 2 cm uit de hoeken knipt? Geef je antwoord in liter
b Bereken de maximale inhoud in van de doos in liter.
115
29 Leg met behulp van een schets van de grafieken van y = x 2 en y = x 3 uit waarom: T1
a x 3 = 3 één oplossing heeft en x 2 = 5 twee;
b x 3 = 0 en x 2 = 0 beide één oplossing hebben;
c x 3 = −3 één oplossing heeft en x 2 = −5 geen.
30 Los exact op. T1
a x 4 = 81 e (2z + 1)5 = −32
b y 3 = 125 f (w − 1)4 = −256
c z 10 = 0 g 5a −2 − 5 = 120 d u −2 = 0,01 h 1 2(b − 2)−3 = 108
31 Los algebraïsch op. Rond je antwoorden af op twee decimalen. T1
a u 2 5 = 10 e (z − 2)13 7 = 5
b 4x 1,65 = 8 f (2z)2,8 = 1
c 2v–2,7 = 0,5 g 2(w + 3)–0,42 – 3 = 8
d 7√x 5 = 16 h (0,6z 0,3)2 = 5
32 De inhoud van een cilinder is 100 m3 De hoogte van de cilinder is twee keer zo groot als de diameter van het grondvlak. Bereken algebraïsch de hoogte van deze cilinder in dm nauwkeurig. T2
33 De Duitse astronoom Johannes Kepler (1571–1630) ontdekte dat de verhouding van de omlooptijd in het kwadraat en de afstand tot de zon tot de derde macht voor alle planeten in het zonnestelsel ongeveer gelijk is aan T2 R3 = 2,987 10−7. Hierin is T de omlooptijd in jaren en R de afstand tot de zon in miljoenen km. t2 a Laat algebraïsch zien dat de afstand van de aarde tot de zon ongeveer 149,6 miljoen km is. b Een jaar op aarde duurt ongeveer 365,25 dagen. Een jaar op Mercurius duurt maar 88 dagen. Bereken algebraïsch de afstand van Mercurius tot de zon in miljoenen km. Rond af op een geheel getal. c Uranus ligt ongeveer 19,2 keer zo ver van de zon af als de aarde. Bereken algebraïsch de omlooptijd van Uranus in jaren. Rond af op een geheel getal.
zon Mars aarde Venus Mercurius zon Jupiter Saturnus Uranus Neptunus
Ons zonnestelsel met de afstanden tussen de planeten op schaal. De banen van de binnenste planeten zijn vergroot weergegeven.
Opdrachten rechts
a Bereken op welke dag de hoeveelheid een maximum bereikt. T1 b Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid op dag 3 is toegenomen ten opzichte van dag 2. T2 c Na hoeveel dagen is de hoeveelheid verdwenen? T2 Extra opdrachten achterin elk hoofdstuk
61 15-11-2023 16:00
Leerdoelcheck: opdrachten gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI
KERN Wiskunde, alle titels
KERN Wiskunde vmbo-basis
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 1 deel A
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 1 deel B
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 2 deel A
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 2 deel B
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 3 deel A
isbn 978 94 9286 252 5
isbn 978 94 9311 372 5
isbn 978 94 9322 420 9
isbn 978 94 9322 421 6
isbn 978 94 6442 048 7
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 3 deel B isbn 978 94 6442 049 4
KERN Wiskunde leerwerkboek vmbo-basis 4 deel A isbn 978 94 6442 122 4
v Bestel een docentexemplaar op boom.nl/voortgezetonderwijs
POLARIS Natuurkunde + scheikunde
KERN Nederlands
S P Q R
SPQR Latijnse Taal & Cultuur
ARGO Griekse Taal & Cultuur
R U M
FORUM Geschiedenis Onderbouw
FORUM Geschiedenis Bovenbouw
BESPIEGELING Kunst algemeen
EXPO Beeldende vakken
ENGELS
KERN Engels
Sociaal-emotionele vaardigheden voor het voortgezet onderwijs
Succesvol de brugklas door Mentorlessen
ZÓ LEE R JE ! Mentorlessen
Persoonlijk contact
Onze educatief adviseurs komen graag langs voor een methodepresentatie. Neem contact op via info @ boomvo.nl.
Nieuwsbrief KERN Wiskunde
Wil je op de hoogte blijven van KERN Wiskunde? Schrijf je in voor onze nieuwsflits. boomvoortgezetonderwijs.nl / kern-wiskunde
Klantenservice
Voor vragen over bestellingen of licenties, neem contact op met onze klantenservice. De klantenservice is bereikbaar op werkdagen tussen 08.00 en 17.00 uur.
Telefoon 0522–235250
E-mail service @ boomvo.nl
WhatsApp 06 466 744 42 ( alleen voor tekstberichten )
KERN Wiskunde kwam tot stand in samenwerking met DocentPlus DocentPlus is toonaangevend in het meten en verbeteren van leerprocessen in het primaire proces en is de grondlegger en ontwikkelaar van het RTTI-systeem.
