METHODECONCEPT / REDACTIE
Boom voortgezet onderwijs
AUTEURS
Benjamin del Canho
Maartje Elsinga
Jacqueline Kooiman
Gijs Langenkamp
Chantal Neijenhuis
Sibren Stienstra
Roosmarij Vanhommerig
Vera de Visser
KERN WISKUNDE
HAVO
LEERJAAR 3 DEEL A
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
© 2021 Boom voortgezet onderwijs, Groningen, The Netherlands
Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek tronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t /m 16m
Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 kb , www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 kb Hoofddorp, www.stichting- pro.nl).
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.
isbn 978 94 9322 432 2 www.boomvoortgezetonderwijs.nl
KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:
r Reproductievragen
t1 Trainingsgerichte toepassingsvragen
t2 Transfergerichte toepassingsvragen
i Inzichtvragen
Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.
Boekontwerp & omslag René van der Vooren, Amsterdam
Opmaak & technische tekeningen PPMP, Wolvega
Inhoud
1 Getallen en variabelen
wiskunde in de praktijk Tandwielen 8
1.1 Soorten getallen 10
1.2 Wortels 16
1.3 Machten 22
1.4 Haakjes wegwerken 28
1.5 Breuken met variabelen 34
Toetsvoorbereiding 40
2 Meetkundig redeneren
wiskunde in de praktijk Beeldverhoudingen van foto’s 44
2.1 Gelijkvormigheid 46
2.2 Gelijkvormigheidskenmerken 52
2.3 Bissectrice en middelloodlijn 58
2.4 Hoogtelijn en zwaartelijn 64
2.5 In- en omgeschreven cirkel 70
Toetsvoorbereiding 76
3 Verbanden
wiskunde in de praktijk Waarom is het in een stad warmer dan op het platteland? 80
3.1 Lineaire verbanden 82
3.2 Kwadratische verbanden 88
3.3 Verschillende soorten verbanden 94
3.4 Grafieken verschuiven en vermenigvuldigen 100
3.5 Periodieke verbanden 106
Toetsvoorbereiding 112
4 Statistiek
wiskunde in de praktijk Florence Nightingale, de vrouw met de lamp 116
4.1 Tabellen 118
4.2 Diagrammen 124
4.3 Indelen in klassen 130
4.4 Centrummaten 136
4.5 Spreidingsmaten 142
Toetsvoorbereiding 148
Bijlage 150
Register van begrippen 162
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
1
Getallen en variabelen
In dit hoofdstuk leer je verschillende soorten getallen en hun eigenschappen kennen. Ook leer je hoe je met wortels en machten kunt rekenen, hoe je haakjes kunt wegwerken en hoe je kunt rekenen met breuken met variabelen. Verder maak je kennis met tandwielen, de versnelling van een fiets en met de lichtenbergverhouding. Tot slot leer je hoe groot afstanden in ons zonnestelsel zijn en wat de stemming van Pythagoras met muziek te maken heeft.
WISKUNDE IN DE PRAKTIJK
Tandwielen 8
1.1 Soorten getallen 10
1.2 Wortels 16
1.3 Machten 22
1.4 Haakjes wegwerken 28
1.5 Breuken met variabelen 34
Toetsvoorbereiding 40
WISKUNDE IN DE PRAKTIJK
DOEL Je leert hoe tandwielen bewegingen kunnen overbrengen en wat het verzet is van een fiets.
Tandwielen
Tandwielen Met behulp van tandwielen kun je een beweging overbrengen. Hieronder zie je bijvoorbeeld twee tandwielen die in elkaar grijpen.
Als je het linker tandwiel in een bepaalde richting laat draaien, dan gaat het rechter tandwiel automatisch in tegengestelde richting meedraaien.
De tanden van beide tandwielen grijpen één voor één op elkaar in. De twee tandwielen hebben niet hetzelfde aantal tanden. Ze draaien daarom niet even snel rond. Het kleine tandwiel heeft 20 tanden en het grote tandwiel heeft er 30. Dit betekent dat je het kleinste tandwiel 30 20 = 1,5 keer moet ronddraaien om het grootste tandwiel één keer rond te laten draaien. Het grote tandwiel draait dus langzamer rond dan het kleine tandwiel.
De verhouding 30 20 = 1,5 heet de overbrengingsverhouding van het kleine naar het grote tandwiel. Met een verhouding groter dan 1 kun je een beweging vertragen. Andersom kun je met een verhouding kleiner dan 1 een beweging juist versnellen.
verzet van een fiets Als je de trappers van een fiets ronddraait, draait het achterste wiel in dezelfde richting mee. Dit komt doordat op de trapas een tandwiel zit dat via een ketting verbonden is met een tandwiel op de achteras.
ketting
In een mechanisch uurwerk zitten heel veel kleine tandwielen die op elkaar ingrijpen, zodat de kleine en de grote wijzer in de juiste snelheid ronddraaien.
achteras trapas
Als het tandwiel op de trapas bijvoorbeeld 45 tanden heeft en het tandwiel op de achteras 15 tanden, dan draait het achterwiel 45 15 = 3 keer rond als je de pedalen één keer ronddraait. Als de diameter van het achterwiel 70 cm is, dan leg je 3 · 70 · π ≈ 660 cm af bij één keer rondtrappen.
Deze afstand heet het verzet van de fiets. Op een fiets met versnellingen zitten op de achteras en soms ook op de trapas meerdere tandwielen, waardoor je tijdens het fietsen voor een ander verzet kunt kiezen. Met een hoger verzet kun je een hogere snelheid bereiken, maar je moet wel zwaarder trappen. Met een licht verzet hoef je minder kracht uit te oefenen. Dit is handig als je bergopwaarts gaat of bij tegenwind.
OPDRACHTEN
Tekstvragen
1 Twee tandwielen grijpen op elkaar in. Het kleine tandwiel heeft 20 tanden en het grote 32.
a Bereken de overbrengingsverhouding van het kleine naar het grote tandwiel. T1
b Hoe vaak draait het grote tandwiel rond als het kleine tandwiel vier keer ronddraait? T1
c Beide tandwielen hebben een geheel aantal keren rondgedraaid. Hoe vaak heeft het kleine tandwiel dan minstens rondgedraaid? I
2 Op de trapas van een fiets zit een tandwiel met 52 tanden. Op de achteras van de fiets zit een tandwiel met 16 tanden. De diameter van het achterwiel is 65 cm.
a Bereken het verzet van deze fiets. Geef je antwoord in cm nauwkeurig. T1
b Op de achteras zitten nog twee andere tandwielen, een met 14 tanden en een met 18 tanden. Leg uit op welk tandwiel de ketting moet komen te liggen als je met een hoger verzet wilt gaan fietsen. T2
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat de overbrengingsverhouding van twee tandwielen is en wat het verzet van een fiets is.
T1 Ik kan de overbrengingsverhouding van twee tandwielen en het verzet van een fiets berekenen.
T2 Ik nagaan welke richting tandwielen op draaien als er meer dan twee tandwielen in elkaar grijpen en ik kan de overbrengingsverhouding berekenen.
I Ik kan beredeneren of meerdere tandwielen die op elkaar ingrijpen, kunnen draaien.
verdiepingsvraag
3 Hieronder staan vier tandwielen die op elkaar ingrijpen.
a Je laat tandwiel 1 linksom draaien. Welke kant draait tandwiel 4 op? T2
b Je laat tandwiel 1 vijf keer ronddraaien. Hoe vaak draaien de andere tandwielen rond? T2
c Bereken de overbrengingsverhouding van tandwiel 1 naar tandwiel 4. Bereken ook de overbrenging als tandwiel 1 en 4 direct op elkaar in zouden grijpen. Wat valt je op? T2
d Welk probleem doet zich voor als je een extra tandwiel plaatst dat net als tandwiel 3 ook op tandwiel 2 en 4 ingrijpt? I 1 2 3 4
Onderzoeksopdracht
4 Zoek in de fietsenstalling of op internet naar drie verschillende soorten fietsen, waarvan een zonder versnellingen en twee met.
Bereken alle mogelijke verzetten van deze fietsen en vergelijk ze met elkaar. Verwerk je resultaten in een presentatie, reclameartikel, video, poster of quiz. T2
B e G ri PP en overbrengingsverhouding verzet
Soorten getallen
DOEL Je leert verschillende soorten getallen kennen. Ook leer je hoe je getallen kunt ontbinden in priemfactoren.
n atuurlijke en gehele getallen De getallen 0, 1, 2, 3, ... heten natuurlijke getallen. De puntjes geven aan dat deze rij getallen oneindig doorloopt. De getallen ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... heten gehele getallen. Zo zijn −8 en 2 gehele getallen. 2 is ook een natuurlijk getal, maar −8 is dat niet.
voorbeelden
1 5 is een geheel getal en een natuurlijk getal.
2 −100 is een geheel getal, maar geen natuurlijk getal.
3 (− 1)4 geeft een natuurlijk getal, want (− 1)4 = 1.
4 (− 1)5 geeft een geheel getal, maar geen natuurlijk getal, want (− 1)5 = − 1.
5 1 1 2 is geen geheel getal en geen natuurlijk getal, want 11 2 = 1,5.
Priemgetallen Een geheel getal groter dan 1 met precies twee positieve delers, namelijk 1 en zichzelf, heet een priemgetal. Er zijn oneindig veel priemgetallen. De eerste vijf zijn 2, 3, 5, 7 en 11. Elk geheel getal groter dan 1 kun je schrijven als een product van priemgetallen. Zo kun je 15 schrijven als 3 · 5. Dit heet ontbinden in priemfactoren, waarbij 3 en 5 de priemfactoren zijn. Als het getal een priemgetal is, dan is er maar één priemfactor: het getal zelf. Je kunt een getal ontbinden in priemfactoren door systematisch te zoeken naar steeds grotere priemgetallen waar je door kunt delen. Hiernaast zie je hoe dit werkt voor het getal 60.
voorbeelden
Ontbind de getallen 40 en 99 in priemfactoren.
OPDRACHTEN — OEFENEN
natuurlijke en gehele getallen
5 a Wat is een natuurlijk getal? R b Teken een getallenlijn van 0 tot en met 10 en geef daarop de natuurlijke getallen aan. T1
6 Welke van de volgende getallen zijn natuurlijke getallen? En welke getallen zijn gehele getallen? T1
7 √16 99 5 7 √8
100 25 0 1 2 9 0,8 5000 ( 1)8 104 ( 2)3 ( 6)101
7 Geef voor elk van de volgende delingen aan of de uitkomst een natuurlijk getal is of niet. T1
a 55 : 8 c –0,1 : 0,01 b 200 : 0,5 d –125 : –25
8 Een even getal kun je in de vorm 2n schrijven en een oneven getal in de vorm 2n + 1, waarbij n een geheel getal is. Schrijf de volgende getallen in één van deze twee vormen. T2
a 34 c 113 b 87 d 228
Priemgetallen
9 a Wat is een priemgetal? R b Geef de eerste vijf priemgetallen. R c Waarom is 25 geen priemgetal? T1
d Geef alle priemgetallen tussen 20 en 30. T1
10 In deze opdracht bepaal je de priemfactorontbinding van 150. T1
a Neem onderstaand schema over en vul het verder in.
b Geef de priemfactorontbinding van 150.
11 Ontbind in priemfactoren. T1
a 16 c 66 b 40 d 210
S OORTEN g ETALLEN
rationale, irrationale en reële getallen Als je 2 deelt door 5 krijg je 0,4. Je kunt het getal 0,4 dus schrijven als de breuk 2 5. In een breuk zijn de teller en de noemer gehele getallen. Hierbij mag de noemer niet 0 zijn, want je mag een getal niet door 0 delen. Getallen die je kunt schrijven als een breuk heten rationale getallen. Er zijn heel veel rationale getallen. Zo zijn 0,75; 0,666666... en 11 3 rationale getallen, want er geldt 0,75 = 3 4, 0,666666... = 2 3 en 11 3 = 4 3 Er zijn ook getallen die je niet kunt schrijven als een breuk. Zulke getallen heten irrationale getallen. Zo kun je √2 = 1,414213... en π = 3,141592... niet als breuk schrijven. Er bestaat dus geen deling van twee gehele getallen die als uitkomst √2 of π heeft. Er blijken heel veel irrationale getallen te bestaan. Zo is elke wortel van een natuurlijk getal dat geen kwadraat is van een natuurlijk getal een irrationaal getal.
Samen vormen alle rationale en irrationale getallen de reële getallen. Elk getal op de getallenlijn is een reëel getal.
Rationale getallen zijn getallen die je als breuk kunt schrijven. Irrationale getallen zijn getallen die je niet als breuk kunt schrijven.
De oranjegekleurde getallen zijn irrationale getallen.
voorbeelden
1 0,125 is een rationaal getal, want 0,125 = 1 8
2 8,231 is een rationaal getal, want 8,231 = 8231 1000
3 2 is een rationaal getal, want 2 = 2 1
4 6 1 7 is een rationaal getal, want 6 1 7 = 43 7
5 √41 = 6,403124… is een irrationaal getal.
6 √1 4 = 1 2, dus √1 4 is een rationaal getal.
OPDRACHTEN — OEFENEN
rationale, irrationale en reële getallen
12 Neem over en vul in rationaal of irrationaal R
a Een getal dat je als breuk kunt schrijven, is een getal.
b Een getal dat je niet als breuk kunt schrijven, is een getal.
13 a Wat is een reëel getal? R
b Teken een getallenlijn van –1 tot 2 en geef daarop vijf verschillende rationale getallen aan. T1
c Geef op deze getallenlijn ook zo goed mogelijk drie irrationale getallen aan. Zet er ook bij welke getallen het zijn. T1
14 Leg voor elk van onderstaande getallen uit of het een rationaal of irrationaal getal is. T1
15 Neem de tabel over en zet in elk leeg vakje een vinkje of een kruisje. T1
21 3 4 π √81 √2 √ 1 natuurlijk geheel rationaal irrationaal reëel
16 Leg voor elk van de onderstaande wortels uit of het een rationaal of een irrationaal getal is. T2
a √49 d √144
b √68 e √250
c √94 f √10 000
OPDRACHTEN
— ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
17 a Ontbind 84 in priemfactoren. T1 b Gebruik de priemfactoren om het aantal positieve delers van 84 te bepalen. T2
18 Als je een breuk als een decimaal getal schrijft, krijg je een eindig aantal decimalen als de noemer een macht van 10 is of als je de noemer kunt omschrijven naar een macht van 10.
Zo is 345 1000 = 0,345 en 11 8 = 11 125 8 125 = 1375 1000 = 1,375.
Schrijf zonder rekenmachine te gebruiken de volgende breuken als decimaal getal. T2
a 3 25 c 339 500
b 9 200 d 199 1250
19 Stel dat je op een getallenlijn alleen sprongen van 33 naar rechts en van 75 naar links kunt maken. Je begint bij 0. Hieronder zie je dat je dan na twee keer naar rechts en één keer naar links springen bij −9 staat. I
Onderzoeken
20 a Schrijf de breuken 4 15 en 10 37 als een decimaal getal.
b Geef de eerste tien decimalen van 0,828 en 0,125160 T1
c Geef de honderdste decimaal van de getallen uit opdracht b T2
21 Gegeven is het getal A = 0,18.
a Toon aan dat 100A − A = 18. T2
b Laat zien dat hieruit volgt dat A = 2 11.
c Schrijf 0,225 als een breuk. I
d Schrijf 0,9 als een breuk. I
22 a √2 is een irrationaal getal. Leg uit dat √2 + 1 ook een irrationaal getal is. I
b π is een irrationaal getal. Leg uit dat 2π ook een irrationaal getal is. I
a Je springt vanaf 0 drie keer naar links en twee keer naar rechts. Bij welk getal sta je dan?
b Je springt vanaf 0 vijf keer naar links. Hoe vaak moet je minimaal naar rechts springen om op een natuurlijk getal uit te komen? Op welk getal sta je dan? T2
c Leg uit of je vanaf 0 bij elk mogelijk geheel getal kunt uitkomen. I
re K enen
r1 Het First World Hotel in Pahang, Maleisië, heeft 7351 kamers.
i Hoeveel kamers heeft het First World Hotel afgerond op honderdtallen?
ii En hoeveel kamers zijn dit afgerond op duizendtallen?
iii Een ander hotel heeft afgerond op honderdtallen 4700 kamers. Hoeveel kamers heeft dit hotel minimaal minder dan het First World Hotel? En maximaal?
repeterende breuken
Als je een breuk als een decimaal getal schrijft, kun je oneindig veel decimalen krijgen. Zo is 1 3 = 0,333333… en 3 11 = 0,272727… De decimalen herhalen zichzelf oneindig. Daarom heten deze breuken repeterende breuken. Je kunt repeterende breuken korter decimaal noteren door een streepje boven het repeterende deel te zetten: 1 3 = 0,3 en 3 11 = 0,27. Let op: het repeterende deel hoeft niet direct na de komma te beginnen. Zo is 5 6 = 0,833333… = 0,83. Elke breuk en dus elk rationaal getal heeft óf eindig veel decimalen (dit kunnen er ook nul zijn, bijvoorbeeld bij 7 1 = 7), óf oneindig veel decimalen die zich vanaf een bepaalde decimaal oneindig herhalen. Omgekeerd geldt dat je elk decimaal getal waarin de decimalen zichzelf vanaf een bepaalde decimaal oneindig herhalen kunt schrijven als een breuk. Dit betekent dat bij een irrationaal getal de decimalen zich nergens vanaf een bepaalde decimaal oneindig herhalen.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat natuurlijke, gehele, rationale, irrationale en reële getallen zijn. Ook weet ik wat priemgetallen zijn.
T1 Ik kan van een getal bepalen wat voor soort getal het is en ik kan een natuurlijk getal ontbinden in priemfactoren.
T2 Ik kan een breuk als een decimaal getal schrijven door de noemer van een breuk om te schrijven naar een macht van 10.
I Ik kan redeneren over verschillende soorten getallen.
B e G ri PP en natuurlijk getal geheel getal priemgetal ontbinden in priemfactoren priemfactor rationaal getal irrationaal getal reëel getal repeterende breuk
Wortels
DOEL Je leert hoe je met wortels kunt rekenen. Ook leer je wat hogeremachtswortels zijn en hoe je ermee kunt rekenen.
rekenen met wortels De wortel van een getal a is gelijk aan het nietnegatieve getal dat in het kwadraat weer a oplevert. Zo is √36 = 6, want 62 = 36. De wortel heet ook wel de tweedemachtswortel Worteltrekken is de tegengestelde bewerking van kwadrateren. Gelijksoortige wortelvormen zijn wortelvormen waarin hetzelfde getal onder het wortelteken staat. Gelijksoortige wortelvormen mag je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Zo is 2
3 Wortels kun je ook met elkaar vermenigvuldigen of door elkaar delen. Je gebruikt daarvoor de regels
voorbeelden 1
Wortels vereenvoudigen Sommige wortels kun je vereenvoudigen. Als het getal onder het wortelteken een kwadraat als deler heeft, kun je het kwadraat voor het wortelteken brengen. Je gebruikt daarvoor de regel voor het vermenigvuldigen van wortels. Vereenvoudig wortels altijd zo ver mogelijk.
voorbeelden 1
OPDRACHTEN — OEFENEN
rekenen met wortels
23 Bereken zonder rekenmachine. T1
a √49 c √144
b √81 d √400
24 Neem over en vul in. T1
4
a
25 a Hoe lang zijn de zijden van een vierkant met een oppervlakte van 196 cm 2? T2 b Hoe lang zijn de zijden van een vierkant met een oppervlakte van 200 cm 2? Geef je antwoord in cm op twee decimalen nauwkeurig. T2
26 Herleid. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 8 √5 + 7 √5 − 6 √5
b 10 √10 − 4 √10 + 10
c 3 − 4 √2 − 1 + 5 √2
d √7 + 3 √3 + 9 √7 − 4 √3
e 1 2 √6 + 7 √5 + 2 √6 − 1 4 √5
27 Bereken zonder rekenmachine. T1
a √2 √5 d √15 √3
b 2 √5 8 √7 e 9 √14 3 √2
c 6 √3 3 √3 f 4 √8 √2
Wortels vereenvoudigen
28 Vereenvoudig. Gebruik geen rekenmachine. T1
a √20 c √176
b √99 d √1000
29 Bereken de lengte van de zijden AC en EF in de onderstaande driehoeken. Vereenvoudig je antwoorden zo ver mogelijk. T2 A B C 2 10 5 D F E 29 17
Hogeremachtswortels Je kunt ook hogeremachtswortels van getallen berekenen. Als je bijvoorbeeld de lengte van een zijde van een kubus met een inhoud van 8 wilt bepalen, zoek je een getal waarvan de derde macht 8 is. Dit is de derdemachtswortel van 8 en noteer je als 3√8 . Omdat 23 = 8, is 3√8 = 2
Je kunt ook andere hogeremachtswortels van getallen berekenen.
Zo is 4√81 het getal waarvan de vierde macht 81 is. Omdat 34 = 81, is 4√81 = 3
Let goed op het volgende als je met hogeremachtswortels werkt:
Je kunt geen even machtswortel trekken uit een negatief getal. Zo bestaat 4√ 16 niet, want de vierde macht van een getal is altijd groter dan of gelijk aan 0.
Je kunt wel een oneven machtswortel trekken uit een negatief getal. Zo is 3√ 8 = − 2, want (− 2)3 = − 8.
Even machtswortels zijn altijd positief. Zo is 4√81 = 3, ook al geldt naast 34 = 81 ook (−3)4 = 81. Dit is een afspraak, zodat duidelijk is welk getal 4√81 is.
voorbeelden
1 3√27 = 3, want 33 = 27 4 5√ 1 32 =
2 4√256 = 4, want 44 = 256 5 5√ 1 = − 1, want (− 1)5 = − 1
3 3√ 216 = − 6, want (− 6)3 = − 216 6 6√ 1 bestaat niet
Benaderen van hogeremachtswortels Veel wortels kun je niet als een breuk schrijven en zijn dus irrationaal. Dit geldt ook voor hogeremachtswortels, bijvoorbeeld voor 3√100 . Dit getal is groter dan 3√64 = 4 en kleiner dan 3√125 = 5. Dit betekent dat 4 < 3√100 < 5 Met je rekenmachine kun je een nauwkeurige benadering vinden:
3√100 = 4,6415... Dus 3√100 ≈ 4,64
OPDRACHTEN — OEFENEN
Hogeremachtswortels
30 Neem over en vul in. T1
a 53 = , dus 3√125 =
b 24 = , dus 4√16 =
c (−4)3 = , dus 3√ 64 =
d 15 = …, dus 5√1 = …
31 Neem over en vul in. T1
a 3√27 = 3, want … 3 = …
b 4√625 = …, want … 4 = …
c 3√ 8 = …, want … 3 = …
32 Neem over en vul in. T1
a 3√1 8 = 1 2, want … 3 = …
b 4√ 1 81 = , want 4 =
c 3√ 8 125 = , want 3 =
33 (− 5)4 = 625. Leg uit waarom het toch niet
zo is dat 4√625 = − 5. T2
34 Leg uit waarom 3√ 1 wel bestaat, maar 4√ 1 niet. T2
35 Bereken zonder rekenmachine. T1
a 4√81 d 3√1 8
b 5√32 e 3√0,001
c 3√−125 f 999√−1
Benaderen van hogeremachtswortels
36 Bereken. Rond je antwoord af op drie decimalen. T1
a 3√100 d 3√−35
b 4√2 e 10√1002
c 7√−98 f 3√6,89
37 Je kunt schatten hoe groot een derde macht is zonder een rekenmachine te gebruiken. T1
a Neem de tabel over en vul de ontbrekende getallen in.
getal 0 1 2 3 4 5 derde macht 6 7 8 9 10
b 50 ligt tussen de derde machten 27 en 64. Tussen welke twee gehele getallen ligt 3√50 ?
c Tussen welke twee derde machten ligt 300?
d Tussen welke twee gehele getallen ligt 3√300 ?
38 Hoe lang zijn de ribben van een kubus met een inhoud van 216 cm 3? Geef je antwoord in cm nauwkeurig. T1
OPDRACHTEN
— ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
39 Bereken als dat kan. Leg anders uit waarom dit niet kan. Gebruik geen rekenmachine. T2
a 8 − 5 3√27 e
b
c
d 3√−8 − 2 9√
40 Bereken en geef aan of de uitkomst een rationaal of een irrationaal getal is. Gebruik geen rekenmachine. T2
a √2 · √2 d √32 √2
41 Hieronder staat een stapel van 25 kubussen. Elke kubus heeft een inhoud van 8 cm 3
a Teken op ware grootte het vooraanzicht en het rechter zijaanzicht van de stapel kubussen. T2
b Leg uit of je de 25 kubussen als een grote kubus kunt stapelen zonder een of meer kubussen over te houden. I
c Leg uit of je 343 kubussen als een grote kubus kunt stapelen zonder een of meer kubussen over te houden. I voor
Onderzoeken
42 Lees de tekst Papierformaten op de rechterbladzijde. T2
a Je ziet op de rechterbladzijde de afmetingen van een vel papier van A0 formaat. Laat zien dat deze afmetingen bij benadering voldoen aan de lichtenbergverhouding.
b Bereken de afmetingen van een vel papier van A5formaat.
c Bereken in cm 2 nauwkeurig de oppervlakte van een postzegel van A11formaat.
43 Gegeven is een vel papier dat aan de lichtenbergverhouding voldoet. Als je dit vel papier in de lengte halveert, krijg je twee vellen papier waarvoor de verhouding tussen de lengte en de breedte gelijk is aan 1 : 1 2 √2 . Leg uit waarom en laat zien dat ook deze vellen papier aan de lichtenbergverhouding voldoen. I
re K enen
r3 Een motorcoureur heeft 20 ronden op een circuit van 3,8 km afgelegd in 24 minuten.
i Wat was de gemiddelde snelheid van de motorcoureur in km/h?
ii Een autocoureur heeft 15 ronden op hetzelfde circuit afgelegd met een gemiddelde snelheid van 210 km/h. Hoelang heeft hij over die 15 ronden gedaan? Geef je antwoord in minuten en seconden.
Papierformaten
Er bestaan wereldwijd veel verschillende standaardpapierformaten. In Nederland wordt veel gebruik gemaakt van de Aserie, waar bijvoorbeeld het A4 formaat deel van uitmaakt.
Het grootste formaat binnen de Aserie is A0. Een vel papier van A0 formaat heeft afmetingen van 1189 bij 841 mm. De oppervlakte van zo’n vel is precies 1 m 2. Ieder volgend formaat binnen de Aserie verkrijg je door het vorige formaat in de lengte te halveren (zie ook de afbeelding hiernaast). Indien nodig rond je de lengte in mm naar beneden af. Zo heeft een vel papier met A1formaat afmetingen van 841 bij 594 mm. De oppervlakte van zo’n vel is 0,5 m 2. Het kleinste formaat dat in de praktijk wordt gebruikt is het A11formaat. Sommige kleine postzegels hebben dit formaat.
De verhouding tussen de lengte en de breedte van de vellen papier is voor de hele Aserie steeds gelijk aan √2 : 1. Deze verhouding wordt de lichtenbergverhouding genoemd. Doordat de verhouding tussen de lengte en de breedte steeds gelijk is, kun je afbeeldingen vergroten of verkleinen tot een ander formaat uit de Aserie zonder dat er delen wegvallen of dat je de afbeelding moet uitrekken of indrukken.
B e G ri PP en wortel tweedemachtswortel worteltrekken gelijksoortige wortelvormen hogeremachtswortel derdemachtswortel lichtenbergverhouding
De Aserie papierformaten
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat gelijksoortige wortelvormen en hogeremachtswortels zijn.
T1 Ik kan wortels optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vereenvoudigen. Ook kan ik hogeremachtswortels berekenen.
T2 Ik kan rekenen met hogeremachtswortels.
I Ik kan laten zien dat alle formaten van de Aserie aan de lichtenbergverhouding voldoen.
1.3
Machten
DOEL Je leert hoe je met machten van variabelen kunt rekenen.
Machten Als je een getal een aantal malen met zichzelf vermenigvuldigt, heet die berekening machtsverheffen 2 2 2 noem je de derde macht van 2 en schrijf je korter als 23. In 23 heet 2 het grondtal en 3 de exponent
Je kunt ook machten van variabelen tegenkomen. Zo is a a a a = a 4 Als je voor a het getal 2 substitueert, krijg je (− 2)4 = 16
Je kunt ook een macht van meerdere variabelen tegenkomen. Zo is (ab)3 = ab ab ab = a a a b b b = a 3b 3
En (a b)2 = a b a b = a · a b b = a 2 b 2.
voorbeelden
1 a a a a a = a 5 4 (2a)4 = 24 a 4 = 16a 4
2 a b · a b · a b · a b = (a
Machten optellen en aftrekken Termen met dezelfde variabelen met dezelfde exponenten heten gelijksoortige termen. Gelijksoortige termen mag je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.
Zo is a 4 + a 4 = 2a 4, maar kun je a 3 + a 4 en a 3 + b 3 niet verder herleiden. Als termen uit twee of meer variabelen bestaan, zijn deze termen alleen gelijksoortig als alle variabelen hetzelfde zijn en dezelfde exponent hebben. Zo is 2ab 4 + 6ab 4 = 8ab 4, maar kun je 3
+ 4 ab 4 niet verder herleiden, omdat de variabele a niet dezelfde exponent heeft in beide termen.
voorbeelden
1 a 2 − 3a + 2a 2 + 2a = a 2 + 2a 2 − 3a + 2a = 3a 2 − a
grondtal exponent (ab) p = ap bp (a b)n = an bn
OPDRACHTEN — OEFENEN
Machten
44 Bereken zonder rekenmachine.
a 24 d 33 − (− 3)3
b (−2)4 e (− 5)2 − 52
c 24 f 72 + (− 2)5
45 Schrijf als één macht. T1
a a a a a a
b 2w · 2w · 2w
c ab · ab · ab · ab · ab · ab
d 5 x · 5 x · 5 x · 5 x · 5 x · 5 x · 5 x
46 Herleid. T1
a (3a)4 c (2ab)5
b (2 a)3 d (a b)2
47 Substitueer x = − 2 en bereken. T1
a 2x 3 c x 2 − x 3
b 1 4x 4 d (− 6x)2
48 Substitueer a = 3 en b = − 2 en bereken. T2
a a 2 − 6b
c a 2b 4 − 2a 3b
b a 4 + b 3 + ab 2 d (2a 2b 3)2
Machten optellen en aftrekken
49 Herleid. T1
a 4p 3 + 6p 3 − p 3
b 4y 7 − 9y 7 + y 7
c b 4 + a 2 − 5b 4 + 4
d 4k 2 − 19k 7 + 21k 7
e 3a 4 + 4a 3 − 5a 4
f 6a 5 − a 5 2 − b 2
50 Herleid. T1 a ab 5 − 2a 5b + ab 5
b 3p 2q 3 − 4pq 3 + 3 + 3pq 3
c 10x 4y 2 − 8 − 9x 4y 2 − x 4
d 8a 3c 4 − 2a 2c + 4a 3b 4 + 2a 2c
51 Herleid. T2 a x 3 4 + x 3 2 + x 3 6
b 0,5a 2b 2 − 3,5ab 2 + (ab)2
c (3p)2 − 10 − 6p 2 + 9p
d 5ab 2c − 10abc − 6ab 2c
rekenregels voor machten Voor het rekenen met machten gelden de volgende regels:
Machten met hetzelfde grondtal kun je met elkaar vermenigvuldigen door de exponenten op te tellen.
Zo is a 2 · a 3 = a a a a a = a 2 + 3 = a 5
2 + 3 a ’s
Machten met hetzelfde grondtal kun je door elkaar delen door de exponenten van elkaar af te trekken.
Zo is a 5 a 3 = a · a · a · a · a a a a = a 5 − 2 = a 3. Dit geldt alleen als a ≠ 0. In dit hoofdstuk mag je ervan uitgaan dat dit altijd zo is.
Je kunt de macht van een macht berekenen door de exponenten met elkaar te vermenigvuldigen. Zo is (a 3)2 = a
Heb je te maken met een product van factoren, dan neem je de macht van elke factor en vermenigvuldig je deze met elkaar.
Zo is (ab 4)3 = a 3 (b 4)3 = a 3b 4 3 = a 3b 12 .
voorbeelden
1
2
OPDRACHTEN — OEFENEN
rekenregels voor machten
52 Neem over en vul de juiste bewerking in.
Kies uit +, , of : R
a a n a m = a n m
b a n a m = a n m
c (a p)q = a p q
53 Herleid. T1
a a 4 a 3 d 7x 3 2x 4
b x · x 2 e 2 x 3 · − 5x
c p 3 · p 5 f 9b 8 · − 3b 2
54 Herleid. T1
a a 6 a 2 d 36b 5 9b
b a 3 a 5 e 3x 9x 3
c x 10 x 3 f 60a 6 12a 3
55 Herleid. T2
a 3a 3 5a − 2a 2 7a 2
b 5a 4 8a 5 + 7a 2 2a 7
c 4x 3 9x 4 − 5x 5 7x
d 4x 3 + 9x 4 5x 5 − 7x 3
56 Herleid. T1
a (x 5)5 d (2x 3)6
b (x 2)4 e (x 4y 2)3
c (x 4)7 f (− 3x 2)4
57 Herleid. T2
a (2x 3y 2)4 d (7a 3)2 − 7a 6
b (− 4x 4y)3 e (− x)10 − (x 5)2
c (1 2x 3)4 f (2x 3)4 − (3x 4)3
58 De inhoud van de balk hieronder is 12r 3 cm 3 . De hoogte van de balk is 3r cm en het grondvlak is een vierkant. T2
a Bereken de lengte en de breedte van de balk als r = 2.
b Stel een formule op waarmee je de lengte en de breedte van de balk kunt berekenen als je de waarde van r kent. 3r
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
59 Schrijf als één macht. T2
a x 2 x x 4 c (2x 3)4 (3x 4)3
b y 4 y 3 y 5 d (z 9)5 · z 15 z 6 z 5
60 Hieronder zie je een uitslag van een doos met een vierkante bodem. De hoogte van de doos is de helft van zijn lengte. T2
a Bereken de oppervlakte van de doos in dm 2 voor a = 20 cm. Bereken ook de inhoud van de doos in dm 3 voor deze waarde van a.
b Stel een formule op waarmee je de oppervlakte van de doos kunt berekenen.
c Stel een formule op waarmee je de inhoud van de doos kunt berekenen.
2a 2a a
61 Neem over en vul de juiste bewerkingen in.
Gebruik +, , of : I
a 2a 3 3a 2 4a 5 = 10a 5
b 5a 3 a 3a 2 2a 3 = 6a 3
c 5a 4 a 2 a 3 = 5a 3
d 4p 6 6p 4 p 2 3p 8 20p 3 p 7 = p 10
Onderzoeken
62 Lees de tekst Astronomische eenheden op de rechterbladzijde. T2
a De gemiddelde afstand van Neptunus tot de zon is ongeveer 4,5 1 09 km. Druk deze afstand uit in astronomische eenheden.
b De gemiddelde afstand van de dwergplaneet Pluto tot de zon is 39,3 AE. Hoeveel km is dit? Schrijf je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond je antwoord af op één decimaal.
63 Proxima Centauri is de ster die het dichtst bij ons zonnestelsel ligt. De afstand van de aarde tot deze ster is ongeveer 267 500 AE. Omdat sterren zo ver weg staan, worden afstanden vaak in lichtjaren uitgedrukt. Een lichtjaar is de afstand die licht in een jaar aflegt. De snelheid van het licht is ongeveer 300 000 km/s. Bereken hoeveel lichtjaar de ster Proxima Centauri van de aarde af ligt. Rond je antwoord af op één decimaal. I
re K enen
r3 Hoeveel moet je in totaal voor de onderstaande producten betalen?
artikel aantal prijs per stuk
muurverf per 10 liter 1
€28,69
laminaat per pak 12 €12,95
plinten per 250 cm 9 €4,52
Mars aarde Venus Mercurius
Ons zonnestelsel met de afstanden tussen de planeten op schaal. De banen van de binnenste planeten zijn vergroot weergegeven.
a stronomische eenheden
Afstanden binnen ons zonnestelsel worden vaak uitgedrukt in astronomische eenheden (AE).
Eén astronomische eenheid is vrijwel gelijk aan de gemiddelde afstand van de aarde tot de zon, ongeveer 150 miljoen km. In 2012 is één astronomische eenheid gedefinieerd als precies 149 597 870 700 meter. Door afstanden in het zonnestelsel in AE uit te drukken, kun je ze gemakkelijker met elkaar vergelijken. Zo is de gemiddelde afstand van Uranus tot de zon ongeveer gelijk aan 2,9 miljard km. Deze afstand komt overeen met 2,9 · 109 1,5 · 108 ≈ 19,3 AE. Zo kun je in één oogopslag zien dat Uranus gemiddeld ruim 19 keer zo ver van de zon staat als de aarde.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wanneer ik machten bij elkaar mag optellen of van elkaar mag aftrekken. Ook ken ik de rekenregels voor machten.
T1 Ik kan machten optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ook kan ik machten van machten berekenen.
T2 Ik kan complexe uitdrukkingen met machten van variabelen herleiden.
I Ik kan een berekening met machten kloppend maken door de juiste bewerkingen in te vullen.
B e G ri PP en machtsverheffen derde macht grondtal exponent gelijksoortige termen astronomische eenheid
1.4 Haakjes wegwerken
DOEL Je leert hoe je haakjes kunt wegwerken.
Twee factoren Als je een uitdrukking met haakjes hebt, kun je die herleiden met de papegaaienbekmethode
a ( b + c) = ab + ac (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd
voorbeelden
1 −2(3x + 5) =
−2 3x − 2 5 =
−6x − 10
2 (4 a − 5)(7 − 2a) = 28a − 8a 2 − 35 + 10a =
−8a 2 + 38a − 35
3 (2 x + 4)2 = (2 x + 4)(2 x + 4) = 4x2 + 8x + 8x + 16 = 4x2 + 16x + 16
Drie factoren Als een uitdrukking met haakjes uit drie factoren bestaat, zoals 3(2a − b)(4 a + 5b), werk je de haakjes weg in stappen. Je herleidt eerst twee factoren en daarna de derde. Het maakt niet uit met welke twee factoren je begint.
3(2a − b)(4 a + 5b) = 3(8a 2 + 6ab − 5b 2) = 24a 2 + 18ab − 15b 2
Het kan ook als volgt:
3(2a − b)(4 a + 5b) = (6a − 3b)(4 a + 5b) = 24a 2 + 18ab − 15b 2
voorbeelden
1 3(x − 4)(3x + 5) =
3(3x2 − 7x − 20) =
9x2 − 21x − 60 2 −(2b − 1)(10 + 5a) = −(20b + 10ab − 10 − 5a) = −20b − 10ab + 10 + 5a = −10ab + 5a − 20b + 10
3 6(2a − b)(a + b) = (12a − 6b)(a + b) = 12a 2 + 12ab − 6ab − 6b 2 = 12a 2 + 6ab − 6b 2
OPDRACHTEN — OEFENEN
Twee factoren
64 Herleid.
a 6(z + 3) T1 d 6y(−4y 2 + 5) T2
b (−3 − z) T1 e (8 − x) 7x T2
c 2 x(5 − x) T1 f p4(p2 + p) T2
65 Herleid. T1
a (x + 5)(x + 4)
b (x + 8)(x − 9)
c (2 x + 1)(3x − 1)
d (− 3x + 1)2
66 Herleid. T2
a 3 − (9x − 3)
b 4p(3q − 5) − 7q(2p − 1)
c a(a − 7) − (a − 7)(a + 3)
d 20 − (x + 4)2
67 Stel een formule op waarmee je de oppervlakte A van het oranje gebied in de rechthoek hieronder kunt berekenen en schrijf deze formule zonder haakjes. T1 4 a 3 a
Drie factoren
68 Herleid. T1
a 2(x + 6)(4x − 2)
b 4( p − 3)(5p − 3)
c (3p + 7)(2 − 9q)
d 3(a − b)2
69 Hieronder zie je een bak van 2a dm bij
a + 3 dm bij a – 1 dm. T2
a Stel een formule op waarmee je de inhoud V van de bak kunt berekenen en schrijf deze formule zonder haakjes.
b Waarom moet gelden dat a > 1?
c Bereken de inhoud van de bak voor a = 3. 2a a – 1 a + 3
H AAKJES WE g WERKEN
Merkwaardige producten Het is handig om de volgende merkwaardige producten uit je hoofd te leren. Hiermee kun je uitdrukkingen snel herleiden:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Let op: bij uitdrukkingen zoals 3(a + 1)2 herleid je eerst het kwadraat en vermenigvuldig je het resultaat met de factor voor de haakjes. Je krijgt 3(a + 1)2 = 3(a 2 + 2a + 1) = 3a 2 + 6a + 3.
Merkwaardig betekent tegenwoordig vreemd, maar er is niets vreemds aan de merkwaardige producten. De betekenis van het woord merkwaardig is in de loop van de tijd veranderd. Vroeger betekende merkwaardig ‘opmerkelijk’ of ‘het opmerken waard’. Merkwaardige producten zijn dan ook producten die belangrijk genoeg zijn om uit je hoofd te leren.
voorbeelden
1 (2 x + 4)2 = (2 x)2 + 2 · 2 x · 4 + 42 = 4x 2 + 16x + 16
4 (8 − 3p)2 = 82 − 2 · 8 · 3p + (3p)2 = 64 − 48p + 9p 2
2 (a + 2)(a − 2) = a2 − 22 = a2 − 4
5 4(a − b)2 = 4( a2 − 2ab + b2) = 4 a2 + 8ab − 4b2
3 (−x2 + x4)2 = (−x2)2 + 2 · −x2 · x4 + (x4)2 = x4 − 2 x6 + x8
6 5 − 2( p − 3)2 = 5 − 2( p2 − 2 · 3p + 9) = 5 − 2p 2 + 12p − 18 = −2p 2 + 12p − 13
OPDRACHTEN — OEFENEN
Merkwaardige producten
70 Geef aan welke uitdrukkingen gelijk aan elkaar zijn. R
A a 2 − 2ab + b 2 1 (a − b)(a + b)
B a 2 − b 2 2 (a + b)2
C a 2 + 2ab + b 2 3 (a − b)2
71 Herleid. T1
a ( p + 1)2 d (x − 2)(x + 2)
b (2a − b)2 e (3a − 2b)2
c (7k − 5)2 f (8x − 2y)(8x + 2y)
72 a Toon met behulp van onderstaande figuur aan dat (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 . T1
a a b b
b Maak zelf een soortgelijke tekening voor elk van de twee andere merkwaardige producten. I
73 Herleid. T2
a (x 2 + 1)2 d (p 3 + 1)2
b (6a 2 − 2b 2)2 e (3x 3 − 1)(3x 3 + 1)
c (x2 − 10)( x2 + 10) f (z 6 − z)2
74 Neem over en vul in. T2
a a 2 + … a + 36 = (a + …)2
b … − 9 = (p − …)(p + …)
c 1 4 q 2 − … q + … = (… − 7)2
75 Met het merkwaardige product (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 kun je kwadraten snel berekenen:
312 = (30 + 1)(30 + 1) = 302 + 2 · 30 · 1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961
Bereken de volgende kwadraten op een soortgelijke manier. T2
a 232 c 992
b 542 d 1042
OPDRACHTEN
— ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
76 Herleid. T2
a 3 − 6 ( p − 1)2 + 8p 2
b x(x 2 + 2)(x 2 − 3) − 5(x 4 + 4)
c 2p(p 2 − 4)(p 2 + 5) − 2(p 3 − 1)
d ( √a + √b )( √a − √b )
e (x − 1)(x + 2)(x − 3)
77 Een vierkant met zijden van 4 cm wordt steeds aan twee kanten uitgebreid met een 1 cm brede strook. Zo ontstaan steeds grotere vierkanten. T2
78 Het merkwaardige product (a – b)(a + b) = a2 − b2 kun je in sommige gevallen gebruiken om snel het product van twee getallen uit te rekenen:
98 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 1002 − 22 = 10 000 − 4 = 9996
Bereken op een handige manier. I
a 17 23 d 97 103
b 28 32 e 812 − 802
c 54 46 f 0,91 1,09
re K enen
r4 Bereken handig uit je hoofd.
i 4 · 37 · 25 iv 99 · 99
ii 4 · 67 + 6 · 67 v 23 · 38 − 3 · 38 iii 98 · 45 vi 17 · 102
a Neem de tabel over en vul de ontbrekende waarden in.
nummer 1 2 3 4
oppervlakte (cm 2) 25
b Stel een formule op voor de oppervlakte A van vierkant n
c Stel een formule op voor de oppervlakte van de laatste strook die is toegevoegd aan vierkant n. Herleid deze formule zo ver mogelijk.
Onderzoeken
79 Hierboven zie je een aantal tegelpatronen van vierkanten die bestaan uit grijze en oranje tegels.
a Neem de tabel over en vul de ontbrekende waarden in. T2
tegelpatroon n 1 2 3 4 5
aantal oranje tegels
b Stel een formule op voor het aantal oranje tegels o in tegelpatroon n T2
c Stel een formule op voor het aantal grijze tegels g. Herleid zo ver mogelijk. I
d Onderzoek of er een tegelpatroon is met evenveel grijze als oranje tegels. I
e Bereken 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 I
Tip: kijk naar het aantal grijze tegels in een van de hoeken in de tegelpatronen boven aan deze bladzijde.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat de papegaaienbekmethode is en ik ken drie merkwaardige producten.
T1 Ik kan haakjes wegwerken.
T2 Ik kan complexe uitdrukkingen met haakjes herleiden.
I Ik kan met behulp van merkwaardige producten snel het product van twee getallen berekenen.
B e G ri PP en papegaaienbekmethode merkwaardig product
Breuken met variabelen
DOEL Je leert hoe je kunt rekenen met breuken met variabelen.
vereenvoudigen In breuken kunnen variabelen voorkomen. Breuken met variabelen vereenvoudig je zo ver mogelijk.
Zo is 4a 2b a = 4a a b a = 4 ab De noemer van een breuk kan niet 0 zijn, want delen door 0 mag niet. In 4a 2b a kan a dus niet 0 zijn en vereenvoudigen mag daarom alleen als a ongelijk is aan 0. In dit hoofdstuk mag je ervan uitgaan dat bij vereenvoudigen de variabele waar je door deelt nooit 0 is.
voorbeelden
1 6b 4 ab = 3 · 2b 2a 2b = 3 2a 2 10ab 20b 2 = a · 10b 2b 10b = a 2
Optellen en aftrekken Breuken met dezelfde noemer kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Je telt dan de tellers bij elkaar op of trekt ze van elkaar af. De noemer blijft gelijk.
Zo is 6 a + 2 a = 6 + 2 a = 8 a en 4 a b − 3 b = 4 a − 3 b .
Ongelijknamige breuken moet je eerst gelijknamig maken voordat je ze bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt. Daarvoor vermenigvuldig je de teller en de noemer met hetzelfde getal of met dezelfde variabele.
Zo is 1 a + 2 b = 1 · b a b + 2 a a b = b + 2a ab voorbeelden
1 6 a + 11 a = 6 + 11 a = 17 a
2 2 a + 1 9 = 2 9 a · 9 + 1 a 9 · a = 18 9a + a 9a = 18 + a 9a
3 5 − 3 a = 5 1 − 3 a = 5 a 1 · a − 3 a = 5a a −
5 2b a − 3 b 2 = 2b b 2 a b 2 − 3 a b 2 a = 2b 3 ab 2 − 3a ab 2 = 2b 3 − 3a ab 2 a b + c d = ad bd + bc bd = ad + bc bd
OPDRACHTEN — OEFENEN
vereenvoudigen
80 Vereenvoudig de volgende breuken. T1
a 5ab 25b c ab 3 ab
b 33a 2 11ab d 12abc 6b
81 Vereenvoudig de volgende breuken.
a a 5b 3 a 2b T1 c 8a 4b 7 2a 3b 3 T1
b a 2b 3
a 5b 2 T1 d (ab)5 3ab 2 T2
82 Bereken de lengte van de volgende rechthoek. T2 12a2b ? 3a
Optellen en aftrekken
83 Bereken. T1
a 3 11 + 7 11 d 1 2 + 5 9
b 12 19 − 17 19 e 5 8 − 2 3
c 1 5 7 + 2 3 7 f 1 2 3 + 5 6
84 Schrijf als één breuk. T1
a 15 a + 3 a c b + 5 a − 1 a
b 9b a − 2 a d b a + 3b a
85 Neem over en vul in. T1
a 3 4x + 2 x = 3 4x + … 4x = …
b 2 6xy − 5 2y = 2 6xy − … 6xy = …
c 7 x + 9 2x 2 = … 2x 2 + … 2x 2 =
d 8 3p − 2 = 8 3p − 2 1 = 8 3p + … 3p = …
86 Schrijf als één breuk. T1
a 9 a + 2 ab e 2 x − 3 y
b a 18b + 6 6b f 6 3x − x 2y
c 7 x + 9 x 2 g 8 x + 2 3
d 8 2b − 4 5b h 1 − 4 a 2
87 Schrijf als één breuk. T2
a 10 a 5 + 11 a 5 c 25 2y 3 + 100 3y 12
b 1 q 4 − 3 q 6 d 2 xy 5 − 6 y 2
1.5
B REUKEN MET vARIABELEN
Breuken vermenigvuldigen en delen Vermenigvuldigen en delen gaat bij breuken met variabelen op dezelfde manier als bij breuken met alleen getallen.
Vermenigvuldigen Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt, dan vermenigvuldig je de tellers met elkaar en de noemers met elkaar. Zo is 4 a
Delen Als je deelt door een breuk, dan vermenigvuldig je met het omgekeerde van de breuk. Zo is 6
voorbeelden breuken vermenigvuldigen
1 5 a · 2 9 = 5 · 2 a 9 = 10 9a
2 2 x y · 3x 4 = 2 x · 3x y 4 = 6x 2 4y = 3x 2 2y
3 9a 2 b · b 3a 2 = 9a 2 b b · 3a 2 = 3 · 3a 2b 3a 2b = 3
voorbeelden breuken delen
1
2 2a b 2 : 2 b = 2a b 2 · b 2 = 2a b b 2 · 2 = a 2b b · 2b = a b
3 10a 7b : 5a 2b = 10a 7b · 2b 5a = 10a 2b 7b · 5a = 4 5ab 7 · 5ab = 4
OPDRACHTEN — OEFENEN
Breuken vermenigvuldigen en delen
88 Bereken. T1
a 4 9 3 8 c 1 2 5 2 7
b 2 3 3 4 d 4 11 1 1 10
89 Schrijf als één breuk en vereenvoudig zo ver mogelijk. T1
a 2a 9 2 7 d 2p 9q 3q 5
b 2a 5b · 3a 7 e 3 3 7 · 7q 8p
c 3a 7c · 2b 4 f 6x y · 5x
90 (a b)2 = a b · a b = a 2 b 2. Bereken op een soortgelijke manier.
a (2 x 3y)2 T1 c (3x 3 y 2 )3 T2
b ( a 2 b 3)2 T1 d ( a 2 2b)3 T2
91 Bereken. T1
a 6 7 : 3 5 d 4 1 2 : 1 1 5
b 3 16 : 1 2 e 3 3 4 : 1 1 2
c 15 : 3 7 f 4 15 : 5
92 Schrijf als één breuk en vereenvoudig zo ver mogelijk. T1
a 4 a : 5 12 d 5a 2b : b 2a
b 3a 4b : b 3 e 10 3 a
c 3a 4b : 2a f 3a 4 a
93 Schrijf als één breuk en vereenvoudig zo ver mogelijk. T2
a 3x 4y · x 3y 2 d 5a 3 2b 2 : b 6 2a 7
b 2x 5 5y · 2y 2 9x 2 e p 4 q : p q 2
c 6a b 3 5a 3 f x 4 : 2x 2 y 4
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
94 Neem over en vul in. T2
a + 5 a = 16 a d 6a 2 b = 2a 5 5b 4
b 7 a − = 3 2a e 4 a b 2 = b a 5
c (…)2 = 4a 4 25b 4 f 8a 3 : … = a 3 15b
95 Gegeven is een rechthoek met oppervlakte 10a 2b 3. Neem de tabel over en vul de ontbrekende waarden in. T2
breedte 10a 2 5b 5b 3
lengte a 2 ab 2 2a 2b
96 Als je 5x x herleidt, krijg je 5 mits x ≠ 0.
a Leg uit waarom hier de voorwaarde x ≠ 0 bij hoort. T1
b Herleid de volgende uitdrukkingen. Schrijf ook steeds op aan welke voorwaarde voldaan moet worden.
I 2 x · 5 2 x T2
II 5(x + 3) x + 3 T2
III 7x − 7 x − 1 I
Iv x 2 − 4 x − 2 I
Onderzoeken
97 Lees de tekst De stemming van Pythagoras op de rechterbladzijde. T2
a Stel dat je een snaar van 10 cm gebruikt voor muziektoon A. Wat zijn dan de lengtes van de snaren van de andere muziektonen?
b In de tekst zie je hoe je muziektoon D krijgt door vanuit A een kwart omhoog te gaan. Muziektoon G krijg je door vanuit D een kwint omlaag te gaan. Leg uit hoe je beginnend bij A de andere muziektonen kunt krijgen.
c Wat is de verhouding tussen de lengtes van de snaren voor muziektonen E en D?
d Bereken de verhouding tussen de lengtes van de snaren voor elk paar van opeenvolgende muziektonen. Wat valt je op?
98 Een xylofoon is geen snaarinstrument, maar een slaginstrument. Je kunt een xylofoon ook in de stemming van Pythagoras maken. De oppervlaktes van de toetsen moeten dan dezelfde verhouding hebben als de lengtes van de snaren van een snaarinstrument. Teken op papier het bovenaanzicht van een xylofoon in de stemming van Pythagoras. I
re K enen
r5 Een stambreuk is een breuk waarvan de teller 1 is en de noemer een positief geheel getal. Zo zijn 1 5 en 1 7 stambreuken.
i Schrijf 3 4 als som van verschillende stambreuken.
ii Schrijf 1 2 als som van verschillende stambreuken.
iii Geef de grootst mogelijke stambreuk die kleiner is dan 4 27
De stemming van Pythagoras
De Griekse filosoof Pythagoras, die leefde in de 6e eeuw voor Christus, is alom bekend vanwege de naar hem vernoemde stelling. Pythagoras leverde ook bijdragen aan de muziek. Zo ontwierp hij de zogenaamde stemming van Pythagoras. Een stemming is in de muziek een manier om toonhoogtes vast te leggen door er bepaalde verhoudingen aan te koppelen. Pythagoras gebruikte een monochord, een muziekinstrument met een of meer gespannen snaren, voor zijn onderzoek naar het verband tussen de toonhoogte en de lengte van de snaren. Hij ontdekte dat bij bepaalde verhoudingen tussen de lengtes van de snaren de tonen samen aangenaam klinken. Met deze verhoudingen ontwierp hij de tonen A tot en met G. De verhoudingen die hij gebruikte, liggen ten grondslag aan de tegenwoordige octaaf, kwint en kwart. In de tabel hiernaast zie je met welke factor een snaar verlengd of verkort moet worden om een toon te krijgen die een octaaf, kwint of kwart hoger of lager klinkt.
Pythagoras gebruikte de toon A als basistoon.
De D, die een kwart hoger klinkt, kreeg hij door een Asnaar met een kwart te verkorten. Als de lengte van een Asnaar gelijk is aan 1, dan is de lengte van een D snaar dus gelijk aan 1 3 4 = 3 4.
Een G klinkt een kwint lager dan een D. Pythagoras kon een G krijgen door een D snaar met de helft te verlengen. De lengte van een G snaar is dus gelijk aan 3 4 3 2 = 9 8. Op deze manier kon Pythagoras de verschillende tonen krijgen door de verhoudingen tussen de lengtes van snaren vast te leggen.
Bovenaan deze bladzijde zie je een notenbalk waarin de verschillende tonen zijn aangegeven met de lengtes van de snaren volgens de stemming van Pythagoras.
lengte van de snaar wat er gebeurt met de toon
× 2 octaaf omlaag
× 1 2 octaaf omhoog
× 3 2 kwint omlaag
× 2 3 kwint omhoog
× 4 3 kwart omlaag
× 3 4 kwart omhoog
Heb je het leerdoel bereikt?
B e G ri P stemming
R Ik weet dat voor breuken met variabelen dezelfde rekenregels gelden als voor breuken met getallen.
T1 Ik kan rekenen met breuken waarin variabelen staan.
T2 Ik kan bepalen welke breuk je nodig hebt om een berekening waarin een deel is weggelaten kloppend te maken.
I Ik kan ingewikkelde breuken met variabelen herleiden.
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.
Wiskunde in de praktijk
99 Op de trapas van een fiets zit een tandwiel met 48 tanden. Op de achteras van de fiets zit een tandwiel met 16 tanden.
a Hoe vaak draait het achterwiel rond als je de pedalen van deze fiets 100 keer ronddraait? T1
b De diameter van het achterwiel is 68 cm. Bereken het verzet van deze fiets. Geef je antwoord in cm nauwkeurig. T1
c Bereken in km/h met welke snelheid je fietst als je de pedalen van deze fiets per minuut 40 keer ronddraait. Rond je antwoord af op één decimaal. T2
§ 1.1
100 a Wat is het kleinste priemgetal? R
b Geef alle priemgetallen tussen 10 en 20. T1
c Geef de priemfactorontbinding van 160. T1
101 Leg voor elk van de onderstaande getallen uit of het een natuurlijk, geheel, rationaal of irrationaal getal is. Let op: bij elk getal kunnen meerdere antwoorden goed zijn. T1 7 √ 1 16 0,55 3 5 8 √40
6 9 √49 π 1 105 33
102 Gegeven is de breuk 525 3000 T2
a Ontbind zowel de teller als de noemer in priemfactoren.
b Vereenvoudig de breuk 525 3000 zo ver mogelijk.
§ 1.2
103 Herleid. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 2 + 3 √5 − 6 + √5
b 3 √7 + 5 √2 − 2 √2 − √7
c 2 √5 8 √7
d 9 √14 3 √2
104 Vereenvoudig. Gebruik geen rekenmachine. T1
a √45 b √120
105 Bereken als dat kan. Leg anders uit waarom dit niet kan. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 3√27 c 3√ 1 125 b 4√ 16 d 7√ 1
106 Een figuur bestaat uit drie vierkanten met oppervlakte 25, 17 en 3. Wat is de omtrek van de figuur? Herleid je antwoord zo ver mogelijk. I 25 17 3
§ 1.3
107 Herleid. T1
a a 2 − 3a + 5a 2 + 2a
b ab 3 + ab 2 + ab 3 − ab 2 2
108 Schrijf als één macht. T1
a x 2 x 5 c (x 4)5
b x 8 x 3
§ 1.4
109 Herleid. T1
d (x 2y 3)3
a 4(2a − 3b) d (4 a − 5b)( − 2a + b)
b 2 x(6x − x 2) e 3(x − y)(3x − 2y)
c p4( p2 + 2p 3) f 5a (a − b)2
110 Gegeven is een rechthoek met een lengte die 5 cm langer is dan zijn breedte. Neem aan dat de lengte van rechthoek x cm is. Toon aan de oppervlakte van de rechthoek gelijk is aan x 2 − 5x cm 2 . T2
§ 1.5
111 Schrijf als één breuk. T1
a 7 2 x + 2 x c 3 − 6 p 3
b 8 x − 4 x 2 d 2 a + 3 5b
112 Schrijf als één breuk en vereenvoudig.
a 7 2a 4b a T1 c 3p 4 q : 9p 2 T1
b 6x 3 5y 4 2 x 9y 2 T2 d 8p 2 q : 2q 3 T2
Hoofdstuk 1
113 Bereken met de rekenmachine. Rond je antwoorden af op twee decimalen. T2
a (− 2 √3 )5
b 2 3√ 12 − 5( 4√3 − 1)
c 1 5 12 − 3 3 7
114 Herleid. T2
a 6p 2( p − 1)2 − 3p 2
b (x 2 − x 3)(x 2 − x 4)
c 1 − q(q − 1) + 2(q − 1)2
d ( √a + 2)( √a − 2)
e (1 2 a + 2) (a − 1)2
115 Hieronder zie je een rechthoek met een oppervlakte van 18x + 54. Op de puntjes moeten gehele getallen komen. Geef alle mogelijkheden. I
x + ... 18x + 54
116 Stel dat je op een getallenlijn alleen sprongen van 1 1 2 naar rechts en van 2 3 naar links kunt maken. Je begint bij 0.
a Op welk getal op de getallenlijn sta je als je twee keer naar rechts springt en één keer naar links? T2
b Leg uit met welke sprongen je vanaf 0 op 1 kunt uitkomen. T2
c Leg uit of je vanaf 0 op het getal √2 kunt uitkomen. I