WISKUNDE
HAVO A
LEERJAAR 4 DEEL 1
METHODECONCEPT / REDACTIE
Boom voortgezet onderwijs
AUTEURS
Benjamin del Canho
Maartje Elsinga
Gijs Langenkamp
Erik Leppen
Sibren Stienstra
Vera de Visser-Lagas
KERN WISKUNDE
HAVO A LEERJAAR 4 DEEL 1
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
© 2024 Boom voortgezet onderwijs, Meppel, The Netherlands
Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elek tronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t /m 16m Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 kb , www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 kb Hoofddorp, www.stichting- pro.nl).
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.
isbn 978 94 6442 129 3 www.boomvoortgezetonderwijs.nl
KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:
r Reproductievragen
t1 Trainingsgerichte toepassingsvragen
t2 Transfergerichte toepassingsvragen
i Inzichtvragen
Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.
Boekontwerp & omslag René van der Vooren, Amsterdam
Opmaak & technische tekeningen PPMP, Wolvega & Integra Software Services, India
Inhoud
1 Getallen
wiskunde in de praktijk A campingflight to Lowlands Paradise 8
1.1 Maten 12
1.2 Verhoudingen 18
1.3 Procenten 24
1.4 Interpoleren en extrapoleren 30
1.5 Formules en de grafische rekenmachine 36
Toetsvoorbereiding 42
Extra opdrachten 44
2 Data samenvatten
wiskunde in de praktijk De cholera-uitbraak van 1854 in Soho 50
2.1 Data 54
2.2 Data ordenen en samenvatten 60
2.3 Diagrammen 66
2.4 Spreidingsmaten 72
2.5 Statistisch onderzoek 78
Toetsvoorbereiding 84
Extra opdrachten 86
3 Verbanden
wiskunde in de praktijk Dienstregelingen 92
3.1 Lineaire verbanden 96
3.2 Lineaire vergelijkingen en ongelijkheden 102
3.3 Evenredige verbanden 108
3.4 Toppen en snijpunten 114
3.5 Formules met meerdere variabelen 120
Toetsvoorbereiding 126
Extra opdrachten 128
Vaardigheden 132 Register van begrippen 140
oceanen en zeeën 97,41%
totale hoeveelheid water
overig 2,59%
grondwater 0,592%
poolkappen en gletsjers 1,984%
overig
waterdamp in atmosfeer 0,001%
rivieren 0,0001%
water in biomassa 0,0001%
bodemvocht 0,005%
meren 0,007%
1
Getallen
Getallen zijn overal. Soms met een eenheid, zoals prijzen, afstanden en tijden. Je kunt ook getallen zonder eenheid tegenkomen, zoals verhoudingen en percentages. In dit hoofdstuk leer je rekenen met getallen en leer je hoe je getallen kunt gebruiken om de wereld om je heen te beschrijven in een wiskundig model.
WISKUNDE IN DE PRAKTIJK
A campingflight to Lowlands Paradise 8
1.1 Maten 12
1.2 Verhoudingen 18
1.3 Procenten 24
1.4 Interpoleren en extrapoleren 30
1.5 Formules en de grafische rekenmachine 36
Toetsvoorbereiding 42
Extra opdrachten 44
WISKUNDE IN DE PRAKTIJK
DOEL Je leert hoe je snel schattingen kunt maken
A campingflight to Lowlands Paradise
A Campingflight to Lowlands Paradise, beter bekend als Lowlands, is een jaarlijks terugkerend driedaags festival voor muziek- en podiumkunsten dat elke zomer plaatsvindt in Biddinghuizen, Flevoland. Het festival biedt allerlei soorten muziek, waaronder rock, pop, dance en hiphop. Maar Lowlands is meer dan alleen muziek. Je vindt er ook bioscopen, (straat)theater, cabaret, ballet, literatuur, stripverhalen, en zelfs wetenschappelijke presentaties. Hieronder zie je een aankondiging voor de editie van Lowlands in 2024.
Het organiseren van een groot festival zoals Lowlands is een gigantische klus. Naast het boeken van honderden acts, vormt de logistiek een immense uitdaging. Hierbij moet je bijvoorbeeld denken aan het opzetten van podia, bars en tenten, inclusief stroom- en watervoorzieningen, en het aanleggen van een tijdelijk riool.
Voor de organisatie is het gebruik van schattingen onmisbaar. Met een schatting kun je aantallen, hoeveelheden en dergelijke op een eenvoudige manier redelijk goed benaderen.
Lowlands 2024
Stel, je wilt schatten hoeveel barmedewerkers nodig zijn voor een festival met 65 000 bezoekers. Als je zomaar een aantal roept, heb je geen idee of je in de buurt zit. Zijn het er 100 of minder? Of misschien wel 1000, of zelfs meer? Door deze vraag op te delen in kleinere vraagstukken, kun je een redelijke schatting maken. Op bladzijde 9 zie je dat je ongeveer 1000 barmedewerkers nodig hebt.
Bij het maken van zo’n schatting zul je uiteraard niet het exacte benodigde aantal barmedewerkers krijgen. Het blijft een benadering. Echter, over- en onderschattingen bij de deelvraagstukken heffen elkaar doorgaans grotendeels op, waardoor je een schatting krijgt die redelijk dicht bij de werkelijkheid ligt. Zo kun je concluderen dat 100 barmedewerkers waarschijnlijk te weinig is en 5000 te veel.
Op dezelfde manier kun je snel een schatting maken van het aantal benodigde foodtrucks of toiletten. Dit soort schattingen zijn handig omdat je dan al in een vroeg stadium kunt beginnen met plannen. Later maak je een preciezere analyse van wat je nodig hebt.
In augustus wordt Lowlands voor de 29e keer in Biddinghuizen gehouden. Het festivalterrein is 75 hectare (750 000 m 2) groot. Er zijn twaalf podia met 250+ optredens. Daarnaast zijn er zes festivalcampings met een totale oppervlakte van 70 hectare. Bezoekers die met de auto komen, kunnen hun auto parkeren onder ’s werelds grootste solarcarport. Het 35 hectare grote parkeerterrein is voorzien van 90 000 zonnepanelen. Met de verkoop van 65 000 kaarten is het festival volledig uitverkocht.
De karakteristieke schoorstenen van Lowlands hebben jarenlang dienstgedaan als entree. Tegenwoordig staan ze midden op het terrein.
Hoeveel barmedewerkers heb je nodig?
Hoeveel bezoekers verwacht je op een dag?
65 000 bezoekers
Hoeveel drankjes bestelt een persoon gemiddeld op een festival per dag?
10
Hoeveel drankjes zijn dat in totaal?
65 00 0 · 10 = 650 00 0
Hoeveel drankjes verwerkt een barmedewerker gemiddeld per uur?
100
Hoelang staat een barmedewerker gemiddeld achter de bar? 6 uur
Hoeveel barmedewerkers heb je nodig?
650 00 0
6 · 100 ≈ 1083
1 De kaartverkoop van Lowlands 2024 begon op 3 februari om 11.00 u. De beschikbare 65 000 kaarten waren binnen een kwartier uitverkocht. T1
a Welke van de volgende drie bedragen is een realistische schatting van de opbrengst van de kaartverkoop?
I € 2 000 000
II € 20 000 000
III € 200 000 000
b Per persoon mochten maximaal 10 kaartjes worden besteld. Schat het gemiddelde aantal transacties per seconde tijdens de kaartverkoop.
c Schat het benodigde aantal parkeerplaatsen voor de 65 000 bezoekers.
Op bladzijde 9 zijn de karakteristieke schoorstenen van Lowlands te zien.
d Schat de hoogte van deze schoorstenen.
2 Bij een vier uur durend concert worden 5000 bezoekers verwacht. Schat het benodigde aantal barmedewerkers. Maak hiervoor gebruik van de vragenlijst op bladzijde 9. T1
3 Sinds 2022 kunnen bezoekers van Lowlands hun auto parkeren onder ’s werelds grootste solarcarport. Het 35 hectare grote parkeerterrein is voorzien van 90 000 zonnepanelen. Het festival verbruikt ongeveer 1% van de stroom die de solarcarport jaarlijks opbrengt. Ga ervan uit dat elk zonnepaneel jaarlijks 350 kWh aan stroom opwekt. T2
a Schat hoeveel auto's op dit parkeerterrein kunnen staan.
b Schat hoeveel stroom het festival verbruikt.
c Schat hoeveel huishoudens van stroom kunnen worden voorzien met deze solarcarport.
4 Naast het festivalterrein van Lowlands liggen verschillende festivalcampings. Hieronder zie je een bovenaanzicht van het gebied waar de tijdelijke campings worden aangelegd. Schat het aantal bezoekers dat op het oranje omkaderde veld kan overnachten. T2
5 Op bladzijde 9 wordt uitgelegd hoe je met deelvraagstukken kunt schatten hoeveel barmedewerkers je nodig hebt. Schat voor Lowlands 2024: I
a het aantal benodigde foodtrucks; b het aantal benodigde toiletten; c de totale omzet.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet hoe je schattingen kunt maken door een vraag op te delen in kleinere vraagstukken.
T1 Ik kan eenvoudige schattingen maken.
T2 Ik kan in allerlei situaties schattingen maken.
I Ik kan schattingen maken door zelf een vraag op te delen in geschikte deelvraagstukken
Impressiefoto van het hoofdpodium Alpha op Lowlands tijdens een optreden.
Bezoekerscapaciteit
Voor elk evenement en elke plek op het terrein moet je een maximale capaciteit aan bezoekers bepalen. Hierbij moet je rekening houden met allerlei factoren, zoals infrastructuur, instroomcapaciteit, doorstroomsnelheden, vluchtwegen, ontruimingstijd, enzovoort. Het vaststellen van de bezoekerscapaciteit is dan ook een ingewikkeld proces.
6 Hierboven zie je een foto van het hoofdpodium van Lowlands
De tent waarin dit podium staat, is 60 m breed, 75 m diep en 22 m hoog. Het podium zelf is 55 m breed en 18 m diep. Door het open karakter van de tent kunnen ook veel bezoekers buiten de tent staan. T2
a Schat het aantal mensen dat in de tent op de foto staan.
b Het festivalterrein van Lowlands is 75 ha groot. Bereken hoeveel mensen er op het terrein zouden passen als er 2,5 bezoekers per vierkante meter kunnen staan.
c Waarom is het maximale aantal bezoekers van Lowlands aanzienlijk lager dan het antwoord bij opdracht b?
Maten
DOEL Je leert rekenen met grootheden en eenheden. Ook leer je rekenen met grote en kleine getallen.
Grootheden en eenheden Hiernaast zie je een route met de auto van Groningen naar Vlissingen. De afstand is 355 km en de reistijd is 4 uur en 9 minuten volgens een routeplanner. Hierin zijn ‘afstand’ en ‘tijd’ grootheden, ‘355 km’ en ‘4 uur en 9 minuten’ maten en ‘km’, ‘uur’ en ‘minuten’ eenheden. Bij een grootheid kun je vaak verschillende eenheden gebruiken. Zo kun je voor afstand ook de eenheden meter of mijl gebruiken. Het is afhankelijk van de situatie welke eenheid het meest geschikt is.
nauwkeurigheid In de praktijk rond je getallen vaak af. Zo is de afstand van 355 km uit het voorbeeld hierboven afgerond op hele km. In opdrachten staat niet altijd hoe je een antwoord moet afronden. Geef dan je antwoord in dezelfde nauwkeurigheid als de gegeven hoeveelheden. Het kan ook zijn dat je uit de context kunt opmaken hoe je moet afronden. Als je bijvoorbeeld 3,25 bussen nodig hebt voor een schoolreisje, dan rond je af naar 4 bussen, omdat je anders niet iedereen mee kunt nemen.
Voorbeelden
1 Een marathon is een hardloopwedstrijd van 42 km en 195 m. Bereken de gemiddelde snelheid in km/h van een hardloper die de marathon in 2 uur en 42 minuten loopt. Rond af op één decimaal.
2 uur en 42 minuten is 2 42 60 = 2,7 uur.
42 km en 195 m is 42,195 km.
De gemiddelde snelheid van de hardloper is 42,195 km 2,7 uur ≈ 15,6 km/h.
2 Een leraar wil dat 22 leerlingen een spreekbeurt houden. Per spreekbeurt trekt de docent 15 minuten uit. Hoeveel lesuren van 50 minuten moet de leraar reserveren voor de 22 spreekbeurten?
In één les passen 50 15 = 3,33… en dus 3 spreekbeurten.
Voor 22 spreekbeurten zijn 22 3 = 7,33… en dus 8 lesuren nodig.
Let op: de berekening 22 15 50 = 330 50 = 6,6 en dus 7 lesuren is onjuist, omdat je er dan geen rekening mee houdt dat elke spreekbeurt in zijn geheel binnen een les moet vallen.
Groningen
Amsterdam
Den Haag
Rotterdam
Vlissingen
Antwerpen
Düsseldorf
7 a Wat is het verschil tussen grootheden en eenheden? R
b Welke begrippen hieronder zijn grootheden en welke eenheden? T1
hectometer / afstand / are / uur / lengte / inhoud / centiliter
8 a De atleet Usain Bolt heeft in 2009 een wereldrecord op de 100 m sprint gelopen door er 9,58 s over te doen. Bereken zijn gemiddelde snelheid in km/h. Rond af op één decimaal. T1
b Met een gemiddelde snelheid van 317 km/h is de treinverbinding tussen Peking en Nanjing in China een van de snelste ter wereld. De reis duurt 3 uur en 8 minuten. Bereken de afstand over het spoor tussen Peking en Nanjing in km nauwkeurig. T1
9 Een patiënt mag maximaal 700 milligram per dag van een bepaald medicijn gebruiken. Het medicijn zit in pillen van 65 milligram. Dagelijks moet zij drie keer hetzelfde aantal pillen innemen, waarbij de pillen niet doormidden gebroken mogen worden. Hoeveel pillen mag deze patiënt maximaal per keer slikken? T1
10 In Nederland valt jaarlijks gemiddeld 850 mm regen. In het Amazonegebied is dat vier keer zo veel. Bereken hoeveel liter regen er jaarlijks gemiddeld in het Amazonegebied meer valt dan in Nederland op een gebied ter grootte van een voetbalveld van 68 m bij 105 m. T2
11 Op de vloer van een laadruim van 2,55 m bij 4 m worden zoveel mogelijk pallets van 55 cm bij 70 cm geplaatst.
a Als alle pallets in dezelfde richting moeten staan, kan de vloer van het laadruim op twee manieren gevuld worden. Bereken voor beide manieren hoeveel pallets er dan op de vloer van het laadruim passen. T1
b Als de pallets niet allemaal in dezelfde richting hoeven te staan, kun je meer pallets op de vloer kwijt. Teken één zo’n manier. T2
12 Je ziet hieronder een tabel met gegevens van de vier gemeentes in Gelderland met de meeste inwoners. De gegevens dateren van 31 januari 2022. T2
gemeente aantal inwoners (× 1000) oppervlakte (km2)
Nijmegen 179 53
De bevolkingsdichtheid is het gemiddelde aantal inwoners per vierkante kilometer.
a Rangschik de vier gemeentes op basis van de bevolkingsdichtheid van hoog naar laag.
b De gemeente Bronckhorst heeft een oppervlakte van 28 350 hectare. De bevolkingsdichtheid is 127 inwoners per km2. Breid de tabel uit met de gegevens van Bronckhorst.
Rekenen met grote en kleine getallen Getallen zoals 520 000 000 000 en 0,000 046 bestaan uit veel cijfers, waardoor het lastig is te zien hoe groot of klein zo’n getal is. Daarom worden zulke getallen vaak in de wetenschappelijke notatie geschreven. Je schrijft ze dan in de vorm a 10n, waarbij a een getal is tussen 1 en 10. Je krijgt dan 5,2 1011 en 4,6 10−5
Het kan handig zijn om aan te geven hoeveel miljard 5,2 1011 is.
1 miljard is 109. Je moet 1011 daarom delen door 109. Je krijgt 1011 109 = 1011 − 9 = 102 = 100. Dus 5,2 · 1011 = 5,2 100 miljard = 520 miljard.
duizend: 103 = 1000 duizendste: 10−3 = 1 103 = 0,001
miljoen: 106 = 1 000 000 miljoenste: 10−6 = 1 106 = 0,000 001
miljard: 109 = 1 000 000 000 miljardste: 10−9 = 1 109 = 0,000 000 001
Voorbeelden
1 Schrijf in de wetenschappelijke notatie.
931 000 = 9,31 · 105
215 miljard = 215 · 109 = 2,15 · 1011
0,0041 = 4,1 · 10 3
0,0088 · 10 3 = 8,8 · 10 6
2 In 2021 had Nigeria 2,13 · 108 inwoners. Hoeveel miljoen inwoners zijn dit?
1 miljoen is 106. Je moet 108 daarom delen door 106
Je krijgt 108 106 = 100
Dus 2,13 108 = 2,13 100 miljoen = 213 miljoen.
3 Hiernaast zie je een afbeelding van het influenzavirus. In werkelijkheid heeft dit virus een diameter van ongeveer 80 nanometer (nm). Een nanometer is een miljardste meter. Bereken de schaal van de afbeelding hiernaast.
De afbeelding is 4 cm breed.
Het echte virus is ongeveer 80 nm = 80 10−9 m = 80 10−7 cm breed.
4
80 10−7 = 500 000
De schaal van de afbeelding is dus ongeveer 500 000 : 1.
getal tussen 1 en 10
a · 10n
80 nm
13 Schrijf in de wetenschappelijke notatie. T1
a 4 120 000 c 550 miljard
b 0,000 351 d 42 miljoenste
14 Schrijf de getallen in de volgende zinnen in de wetenschappelijke notatie. T1
a Computerchips hebben transistors van 14 miljardste meter groot.
b De afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 384 duizend km.
c Je kunt op 225 manieren 25 hokjes zwart of wit kleuren.
15 Schrijf de volgende getallen voluit in cijfers. T1
a 6,3 · 104 c 7 · 1010 b 1,9 · 10−5 d 2,12 · 10−8
16 a Hoeveel miljoen is 2 · 108? T1
b Hoeveel miljard is 350 · 1010? T1
c Hoeveel duizendste is 3,1 · 10−5? T1
d Hoeveel miljardste is 4,62 · 10−7? T1
17 San Alfonso del Mar is een resort in Chili met een zwembad van meer dan een kilometer lang. Bij de bouw was dit het grootste zwembad ter wereld. Het zwembad bevat 250 miljoen liter water, dat rechtstreeks uit de Stille Oceaan wordt gepompt. Bereken hoeveel zwembaden van 25 m bij 10 m bij 2,5 m je met deze hoeveelheid water kunt vullen. T2
18 Mensenharen zijn ongeveer 0,05 mm dik. Hieronder zie je een afbeelding van een haar die gemaakt is met een microscoop. T1
a Bereken de schaal van deze afbeelding.
b De kleinste bacteriën zijn 500 keer zo klein als de dikte van een mensenhaar. Hoeveel micrometer (μm) groot zijn deze bacteriën? Een micrometer is een miljoenste meter.
19 Het menselijk lichaam produceert ongeveer
2,4 miljoen rode bloedcellen per seconde. Rode bloedcellen leven ongeveer 100 dagen.
a Hoeveel seconden is 100 dagen? T1
b Het aantal rode bloedcellen in het menselijk lichaam is ongeveer gelijk aan het aantal rode bloedcellen dat het lichaam in 100 dagen produceert. Hoeveel zijn dit er ongeveer? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal. T2
c Het lichaam van een volwassene bevat gemiddeld ongeveer 5 L bloed. Laat met een berekening zien dat 1 mL bloed ongeveer 4 miljard rode bloedcellen bevat. T2
Zwembad van het resort San Alfonso del Mar in Chili. De foto is gemaakt met een lens met een zeer brede kijkhoek. Daardoor ziet de foto er vervormd uit.
20 Lees het nieuwsartikel hiernaast.
a Laat met een berekening zien dat er voor het zwembad bijna 1 miljoen liter water nodig is om het te vullen. T2
b Met hoeveel liter per seconde mag het zwembad maximaal gevuld worden? T2
c Hoelang duurt het vullen minimaal? T2
d Schat hoeveel kWh (kilowattuur) energie het verwarmen kost. Het verwarmen van water kost ongeveer 0,0012 kWh per liter per graad Celsius. I
21 In 2021 werden in Nederland 170 000 kinderen geboren. In 1946 werden 284 000 kinderen geboren.
a Beide aantallen zijn afgerond op duizendtallen. Hoeveel kinderen werden er in 2021 ten minste minder geboren dan in 1946? En ten hoogste? T2
b Om de hoeveel tijd werd er in 2021 gemiddeld een kind geboren? Geef je antwoord in minuten nauwkeurig. T2
In 2021 telde Nederland 17,53 miljoen inwoners. In 1946 waren dat er 9,30 miljoen.
c Bereken de gemiddelde bevolkingstoename per jaar in de periode 1946–2021. Geef je antwoord in tienduizenden nauwkeurig. T2
d In een nieuwsartikel staat dat er in Nederland in de periode 1946–2021 gemiddeld elke 4 minuten en 30 seconden één persoon bij kwam. Ga met een berekening na of dit kan kloppen. I
Vullen zwembad Aquapelle gestart
In het nieuwe sportcomplex Aquapelle in Capelle aan den IJssel is men begonnen met het vullen van het zwembad met water. Het vullen van het zwembad mag niet te snel gaan, om zo schade aan het beton en het tegelwerk te voorkomen. Het water mag niet meer dan 5 cm per uur stijgen. De kraan staat ook alleen tijdens kantooruren open, zodat er voortdurend gecontroleerd kan worden. Na het vullen volgt het verwarmen van het water. Ook dit moet geleidelijk gebeuren. Per 24 uur mag de temperatuur van water met maximaal 1 °C stijgen. Het zwembad is 25 m lang, ruim 15 m breed en 2,5 m diep. In september staat de opening gepland.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
grootheid en eenheid
maat
wetenschappelijke notatie
Ook weet ik hoe groot duizend, een miljoen, een miljard, een duizendste, een miljoenste en een miljardste zijn.
T1 Ik kan rekenen met verschillende eenheden en ik kan rekenen met grote en kleine getallen.
Ook kan ik op de juiste manier afronden.
T2 Ik kan grote en kleine getallen in praktische situaties omrekenen naar allerlei eenheden en daarmee rekenen.
I Ik kan ingewikkelde schattingen maken.
Digitale dataopslag
Een byte (B) is een eenheid waarmee je de hoeveelheid informatie in digitale data aan kunt geven. Een byte komt overeen met een teken, bijvoorbeeld een letter, een cijfer of een leesteken. Een bladzijde tekst is ongeveer 5000 bytes en een minuut muziek is ongeveer 1 000 000 bytes. Omdat computerbestanden uit miljarden bytes kunnen bestaan, worden de SI-voorvoegsels voor grote getallen zoals kilo en mega ook voor bytes gebruikt. Hiernaast staan enkele van die voorvoegsels. Op een harde schijf met een opslagcapaciteit van 3 TB (terabyte) kun je dus ongeveer 3 000 000 000 000 tekens opslaan.
22 Een digitale foto bestaat uit miljoenen pixels in een rechthoekig rooster. Een pixel is een gekleurd vierkantje. Elke pixel neemt 3 bytes in beslag. T2
a Hoeveel bytes is een foto van 6000 bij 3600 pixels? Kies zelf een geschikt voorvoegsel.
b Hoeveel foto’s passen op het geheugenkaartje hiernaast?
Omdat in data vaak veel herhaling zit (denk aan duizenden pixels met precies dezelfde kleur), kunnen bestanden meestal compacter worden opgeslagen. Dit heet comprimeren. Een gecomprimeerd bestand neemt minder bytes in beslag.
c Stel dat je een set foto’s van 6000 bij 3600 pixels gecomprimeerd hebt tot een gemiddelde grootte van 5 MB per foto. Hoeveel van zulke gecomprimeerde foto’s passen er op een geheugenkaart van 64 GB?
In 2022 is door het Franse Bureau International des Poids et Mesures (het Internationaal Bureau voor Gewichten en Maten) officieel een nieuw voorvoegsel vastgesteld: ronna = 1027
d Hoeveel geheugenkaartjes van 64 GB kun je vullen met 1 ronnabyte aan data? Geef je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal.
Vroeger was een kilobyte 210 = 1024 bytes. Dit was handig omdat computers binair rekenen. In het binaire stelsel bestaat elk getal uit een combinatie van de cijfers 0 en 1. De berekening 1 kilobyte = 1024 bytes leverde echter verwarring op, omdat het voorvoegsel kilo normaal gesproken voor 1000 staat. Daarom heeft 1024 bytes in 1998 een eigen naam gekregen: de kibibyte (kiB).
e Hiernaast zie je de eerste vijf binaire voorvoegsels. Bereken hoeveel geheugenkaartjes van 64 GB je minimaal nodig hebt om 1 tebibite aan data op te kunnen slaan.
k = kilo = 103
M = mega = 106
G = giga = 109
T = tera = 1012
P = peta = 1015
ki = kibi = 210
Mi = mebi = 220
Gi = gibi = 230
Ti = tebi = 240
Pi = pebi = 250
Verhoudingen
DOEL Je leert rekenen met verhoudingen.
Verhoudingen Het beeldscherm hiernaast is breder dan dat het hoog is. De verhouding tussen de breedte en de hoogte is 16 : 9. Je spreekt dit uit als 16 staat tot 9. Een scherm van 16 cm breed zou dan 9 cm hoog zijn. Als het beeldscherm 64 cm breed is, kun je de hoogte berekenen door een verhoudingstabel in te vullen:
× 4
breedte 16 64 × 9 16 hoogte 9 ?
× 4
Dus de bijbehorende hoogte is 9 · 4 = 36 cm.
Of de hoogte is 9 16 keer de breedte. Dus als de breedte 64 cm is, dan is de hoogte 64 · 9 16 = 36 cm.
Voorbeeld
In 2021 was de verhouding tussen het aantal schapen en varkens in Nederland ongeveer 2 : 27. Er werden 850 duizend schapen gehouden. Hoeveel varkens werden er gehouden? Geef je antwoord in miljoenen en rond af op één decimaal.
Er waren 27 2 = 13,5 keer zoveel varkens als schapen, dus waren er 13,5 · 850 000 = 11 475 000 varkens. Er werden dus 11,5 miljoen varkens gehouden.
Verhoudingen met drie of meer delen Verhoudingen kunnen meer dan twee delen hebben. Stel dat in een vaas gekleurde knikkers zitten in de verhouding wit : grijs : oranje = 3 : 5 : 10. Voor elke 3 witte knikkers zitten er dan 5 grijze en 10 oranje in de vaas. Als er bijvoorbeeld 150 witte knikkers in de vaas zitten, dan zitten er 50 5 = 250 grijze knikkers in de vaas en 50 10 = 500 oranje knikkers.
× 50
aantal witte knikkers 3 150
aantal grijze knikkers 5 250
aantal oranje knikkers 10 500
16:9
aantal schapen 2 850 000 × 13,5
aantal varkens 27 ?
23 Welke van de onderstaande verhoudingen zijn gelijk aan elkaar? T1
I 8 : 20 VI 2 3 : 1
II 2 : 8 VII 10 : 25
III 20 : 30 VIII 1600 : 4000
IV 200 : 500 IX 1 : 1,5
V 1688 : 6752 X 0,25 : 1
24 a De verhouding tussen de breedte en de hoogte van een computerscherm is 21 : 9. Het scherm is 40 cm hoog. Hoe breed is het scherm? Geef je antwoord in mm nauwkeurig. T1
b Het scherm van een digitale camera is 6,0 cm breed en 4,5 cm hoog. Bereken de verhouding tussen de breedte en de hoogte van dit scherm. Schrijf de verhouding met gehele getallen en vereenvoudig zo ver mogelijk. T1
25 Een treinstel heeft voor elke drie zitplaatsen twee staanplaatsen. Als het treinstel 162 zitplaatsen heeft, hoeveel passagiers kan het treinstel dan maximaal vervoeren? T1
26 In een vaas zitten gekleurde knikkers in de verhouding wit : grijs : oranje = 2 : 6 : 3. T1
a Bereken hoeveel grijze en oranje knikkers er in de vaas zitten als er 80 witte in zitten.
b Bereken hoeveel witte en oranje knikkers er in de vaas zitten als er 150 grijze in zitten.
27 Op pakken filterkoffie staat dat je 7 gram koffie per 100 tot 125 mL water moet toevoegen.
a Iemand voegt 40 gram koffie aan 0,75 L water toe. Ga na of deze persoon zich aan de richtlijn heeft gehouden. T1
b Hoeveel gram koffie moet je minimaal toevoegen aan 1,25 L water? En hoeveel maximaal? T2
28 Bij een toneelvereniging is op kerstavond een verkiezing gehouden voor de beste kerst-act. Er deden vier groepen mee: A, B, C en D. De stemverhoudingen zijn A : B : C : D = 5 : 3 : 4 : 2. Groep B kreeg 153 stemmen.
Bereken hoeveel stemmen de andere groepen kregen. T1
29 Twee tandwielen met 13 en 17 tanden grijpen op elkaar in. T2
a Leg uit waarom het kleine tandwiel vaker om zijn as draait dan het grote.
b Als het kleine tandwiel 51 keer ronddraait, hoe vaak draait het grote tandwiel dan rond?
c Als het grote tandwiel 208 keer per minuut ronddraait, hoe veel keer per minuut draait het kleine tandwiel dan rond?
Aantallen berekenen In de vaas hiernaast zitten 140 knikkers in de verhouding oranje : grijs = 5 : 2. Dit betekent dat er voor elke 5 oranje knikkers 2 grijze in de vaas zitten. Er zijn verschillende manieren om te berekenen hoeveel oranje en grijze knikkers er in de vaas zitten.
Manier 1: met groepjes
Je kunt de knikkers in de vaas verdelen in groepjes van 5 + 2 = 7 knikkers, waarvan er steeds 5 oranje zijn. Er zijn dan 140 7 = 20 van zulke groepjes. Er zitten dus 20 5 = 100 oranje en 20 2 = 40 grijze knikkers in de vaas.
De vaas bevat 20 van deze groepjes.
Manier 2: met delen
Per 7 knikkers zijn er 5 oranje en 2 grijs. Dus is 5 7 deel van de knikkers oranje en 2 7 deel grijs. Van de 140 knikkers zijn er 5 7 140 = 100 oranje en 2 7 140 = 40 grijs.
Bij verhoudingen met drie of meer delen kun je op dezelfde manieren rekenen als bij twee delen.
Voorbeelden
1 In een vaas zitten 270 knikkers in de verhouding wit : grijs : oranje = 3 : 5 : 10. Bereken het aantal knikkers van elke kleur.
Manier 1: met groepjes
Je kunt de knikkers verdelen in groepjes van 3 + 5 + 10 = 18, waarvan er steeds 3 wit, 5 grijs en 10 oranje zijn. Er zijn 270 18 = 15 van zulke groepjes. Er zitten dus 15 · 3 = 45 witte knikkers in de vaas, 15 · 5 = 75 grijze en 15 · 10 = 150 oranje.
Manier 2: met delen
Per 3 + 5 + 10 = 18 knikkers zijn er 3 wit, 5 grijs en 10 oranje.
3 18 deel is wit, dus 3 18 270 = 45 witte knikkers.
5 18 deel is grijs, dus 5 18 270 = 75 grijze knikkers.
10 18 deel is oranje, dus 10 18 270 = 150 oranje knikkers.
2 Drie personen hebben een geldbedrag gewonnen bij een loterij. De prijs wordt verdeeld in de verhouding 2 : 4 : 7. De tweede persoon krijgt € 10 000 meer dan de eerste. Hoeveel euro krijgt elk van deze personen?
Er zijn 2 + 4 + 7 = 13 gelijke delen. Persoon II krijgt 4 − 2 = 2 delen meer dan persoon I. Dit is € 10 000. Eén deel is daarom
10 000 2 = 5000 euro.
Persoon I krijgt 2 5000 = 10 000 euro.
Persoon II krijgt 4 5000 = 20 000 euro.
Persoon III krijgt 7 5000 = 35 000 euro.
30 a In een vaas zitten 240 oranje en grijze knikkers in de verhouding oranje : grijs = 5 : 7. Hoeveel oranje en hoeveel grijze knikkers zitten er in de vaas? T1
b In een vaas zitten witte, oranje en grijze knikkers in de verhouding wit : oranje : grijs = 3 : 4 : 11. Welk deel van de knikkers is wit, welk deel oranje en welk deel grijs? T1
31 In een wijk zijn de 810 woningen verdeeld in koop, vrije huur en sociale huur volgens de verhouding 1 : 2 : 6. Bereken hoeveel woningen van elk soort in deze wijk staan. T1
32 Een bedrag wordt over drie personen A, B en C verdeeld in de verhouding 7 : 5 : 2. Het blijkt dat persoon B 150 euro meer krijgt dan persoon C. Bereken hoeveel euro ieder krijgt. T1
33 In een vaas zitten 500 knikkers waarvan 1 2 deel wit is, 1 5 deel grijs en 3 10 deel oranje. Wat is de verhouding wit : grijs : oranje? Vereenvoudig zo ver mogelijk. T1
34 Betonspecie bestaat uit 1 deel cement, 2 delen zand, 3 delen grind en 0,5 deel water. T2
a Voor een bouwklus heb je 260 L betonspecie nodig. Hoeveel liter cement, zand, grind en water heb je nodig?
b Zand wordt vaak geleverd in zakken van 1 kuub (1 m3), zogenaamde big bags. Hoeveel liter betonspecie kun je maken met drie big bags als je over voldoende cement, grind en water beschikt?
c Hoeveel kuub cement, grind en water moet je dan toevoegen?
35 Een school biedt tijdens de jaarlijkse sportdag voetbal, hockey en tennis aan. Uit ervaring is bekend dat voetbal ongeveer twee keer zo vaak gekozen wordt als hockey en hockey drie keer zo vaak als tennis. Er komen 400 leerlingen op de sportdag die elk één sport kiezen. Bereken hoeveel leerlingen naar verwachting voetbal, hoeveel hockey en hoeveel tennis kiezen. T2
36 De meeste vlaggen zijn breder dan dat ze hoog zijn. De verhouding tussen de hoogte en de breedte van de Nederlandse vlag is 2 : 3.
a Bereken de hoogte van een Nederlandse vlag met een breedte van 150 cm. T1
De verhouding tussen de hoogte en de breedte van de Duitse vlag is 3 : 5.
38 Van drie getallen A, B en C is bekend dat A : B = 4 : 5 en B : C = 3 : 4
a Vul in: de verhouding A : B is gelijk aan 12 : T1
b Bepaal de verhouding A : B : C I
c Bepaal de verhouding A : C. Vereenvoudig je antwoord zo ver mogelijk. I
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen
verhouding
verhoudingstabel
T1 Ik kan rekenen met verhoudingen.
T2 Ik kan verhoudingen toepassen in allerlei situaties.
I Ik kan redeneren over verhoudingen.
b Hoe groot is de grootste Duitse vlag die je kunt maken uit een rechthoekig doek van 3,50 m bij 1,80 m? T2
c Bereken de afmetingen van een Nederlandse vlag met een omtrek van 7,50 m. Doe dit ook voor een Duitse vlag. I
37 Een boer verbouwt op 2 5 deel van zijn land graan, op 1 4 deel mais en het overige deel is ongebruikt. T2
a Welk deel is ongebruikt?
b Bepaal de oppervlakteverhouding graan : mais : ongebruikt.
Homeopathische middelen
39 Homeopathische middelen worden gemaakt uit grondstoffen die worden gehaald uit planten, dieren of mineralen. Uit deze grondstoffen wordt allereerst een basisstof gemaakt, de zogenoemde oertinctuur. Oertinctuur is echter nog niet geschikt voor gebruik. Daarvoor moet deze een aantal keren verdund worden. Na deze verdunningen ontstaat dan een homeopathisch middel dat gereed is voor gebruik.
Voor het verdunnen worden verschillende verdunningsreeksen gebruikt. Zie de tabel hiernaast.
Om aan te geven welke verdunningen een oertinctuur ondergaan heeft, voegt men aan de Latijnse naam van het homeopathische middel een letter en een getal toe. Zo bestaat bijvoorbeeld het middel Arnica D3. De toevoeging D3 geeft aan dat de oertinctuur Arnica driemaal een verdunning van 1 : 10 heeft ondergaan. Het homeopathisch middel Arnica D3 bestaat dus voor 1/1000 deel uit de oertinctuur Arnica.
a Bereken welk deel van het homeopathisch middel Sulphur C6 uit de oertinctuur Sulphur bestaat. T2
In de C-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99% minder wordt.
In de LM-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99,998% minder wordt.
D-reeks verdunningen van 1 : 10
C-reeks verdunningen van 1 : 100
LM-reeks verdunningen van 1 : …
b Bereken welk getal er in de tabel op de puntjes moet komen te staan. T2
Iemand beweert dat de verdunning van de hoeveelheid oertinctuur in Arnica montana D12 gelijk is aan de verhouding van het volume van één waterdruppel tot het volume van 20 olympische zwembaden.
Een waterdruppel is ongeveer 0,05 milliliter en een olympisch zwembad bevat ongeveer 2,5 miljoen liter water.
c Laat zien dat de bewering klopt. I
Naar examen havo wiskunde A 2019-I
1.3
Procenten
DOEL Je leert rekenen met procenten.
Procentuele groei Vaak worden verhoudingen in procenten gegeven. Het woord procent komt uit het Latijn en betekent letterlijk ‘van de honderd’. Dus 40% is 40 100 deel. 40% komt dus overeen met de verhouding 40 : 100, of vereenvoudigd 2 : 5.
Een hoeveelheid die met 40% toeneemt, groeit van 100% naar 140%. Je zegt dat het groeipercentage 40% is. De nieuwe hoeveelheid kun je berekenen door de oude hoeveelheid te vermenigvuldigen met de groeifactor g = 1 + 40 100 = 1,4. Een groeipercentage kan ook negatief zijn. De hoeveelheid neemt dan af. Zo hoort bij een afname met 25% een groeipercentage van 25%. De groeifactor is dan 1 25 100 = 0,75.
Percentages rond je meestal af op één decimaal.
Voorbeelden
1 In 1980 telde China 980 miljoen inwoners. In 2022 was het inwoneraantal tot 1,410 miljard gegroeid. Met hoeveel procent is het inwoneraantal tussen 1980 en 2022 toegenomen?
1,410 miljard = 1410 miljoen
Manier 1
1410
980 · 100% – 100% = 143,87...% – 100% ≈ 43,9%
Manier 2
De toename is 1410 – 980 = 430.
430
980 · 100% ≈ 43,9%
Manier 3
1410
980 = 1,4387... (1,4387... – 1) · 100% ≈ 43,9%
Het inwoneraantal is dus met ongeveer 43,9% toegenomen.
2 Een product kost inclusief 21% btw € 550,-. Wat kost het product exclusief btw?
De btw is 21%, dus de prijs inclusief btw is 100% + 21% = 121%.
De prijs exclusief btw is 100%.
121% komt overeen met € 550, dus 100% komt overeen met 550 1,21 ≈ 454,55 euro.
Het product kost exclusief btw € 454,55.
groeifactor
g = 1 + groeipercentage 100%
groeipercentage = ( g − 1) 100% × 1,21 : 1,21 € 550,-
40 Bereken. T1
a 5,3% van 250
b 82% van 6800
c 160% van 420
d 0,045% van 1 200 000
41 a Hoeveel procent is 20 van 82? T1
b Hoeveel procent is 275 van 95? T1
c Hoeveel procent is 0,18 van 0,65? T1
42 a Een jas is afgeprijsd van € 120,- naar € 96,-. Hoeveel procent korting krijg je op de jas? T1
b Een vereniging heeft 21 leden van boven de 65 jaar. Dat is 15% van het totaal. Hoeveel leden heeft de vereniging? T1
c In 2020 had Brazilië 212 miljoen inwoners en India 1236 miljoen. Hoeveel procent meer inwoners had India ten opzichte van Brazilië? T1
d In een land is 65% van de bevolking werkend en 15% gepensioneerd. Hoeveel werkenden zijn er voor iedere gepensioneerde? Rond je antwoord af op één decimaal. T1
43 In Nederland is het algemene btw-tarief 21%.
Voor sommige goederen is het btw-tarief 9%.
Dit geldt bijvoorbeeld voor eten of boeken. T1
a Een broek kost € 95,- exclusief 21% btw. Wat is de prijs inclusief btw?
b Een laptop kost € 1500,- inclusief 21% btw. Wat is de prijs exclusief btw?
c Voor schoolboeken moet 9% btw betaald worden. Een leerling betaalt € 10,25 btw over schoolboeken. Wat kosten de boeken inclusief btw?
44 In recepten voor brood staan de hoeveelheden ingrediënten soms vermeld als percentages ten opzichte van de hoeveelheid bloem. Voor een bepaald recept gelden de volgende hoeveelheden:
zout 1,5% t.o.v. bloem gist 2% t.o.v. bloem
water 52% t.o.v. bloem
Iemand wil een brood van 800 gram bakken met alleen deze vier basisingrediënten. Hoeveel gram zout, gist, water en bloem is er nodig om dit brood te bakken? Rond af op hele grammen. T2
45 Eén dm 3 zilver heeft een massa van 10,5 kg. Een vrachtwagen vol zilver zou veel te zwaar zijn om de weg op te mogen. Een vrachtwagen heeft een laadruim van 2 m bij 2,5 m bij 12 m en een laadvermogen van 40 ton. Bereken hoeveel procent van het laadruim met zilver gevuld kan worden. T2
46 In een gezond menselijk dieet leveren koolhydraten ongeveer 55% van de energie (in kilocalorieën of kcal), vetten 30% en eiwitten 15%. Vetten leveren 9 kcal/g en koolhydraten en eiwitten beide 4 kcal/g. T2
a Hoeveel procent van een dieet van 2100 kcal zou uit vetten moeten bestaan?
b Hoeveel procent zou uit koolhydraten moeten bestaan? En hoeveel procent uit eiwitten?
Procenten van procenten Als een hoeveelheid van 500 eerst met 25% toeneemt en daarna met 32% afneemt, dan wordt de nieuwe hoeveelheid eerst 500 1,25 = 625 en daarna 625 0,68 = 425. Je kunt de nieuwe hoeveelheid sneller berekenen door beide groeifactoren met elkaar te vermenigvuldigen: 500 1,25 0,68 = 425.
× 1,25 × 0,68 = × 0,85
Voorbeelden
1 Een hoeveelheid neemt eerst met 27% toe en daarna met 41% af. Wat is de totale procentuele toe- of afname?
Bij een toename met 27% hoort de groeifactor 1 + 27 100 = 1,27.
Bij een afname met 41% hoort de groeifactor 1 41 100 = 0,59.
De totale groeifactor is dus 1,27 · 0,59 = 0,7493.
Het groeipercentage is (0,7493 − 1) · 100% = − 25,07%.
De hoeveelheid neemt met ongeveer 25,1% af.
2 Een student heeft een studieschuld van 12 000,- euro. Hierover wordt een rente gerekend van 1,8% per jaar. Wat is de schuld na drie jaar als de student niets aflost?
De groeifactor per jaar is 1 + 1,8 100 = 1,018.
De groeifactor per drie jaar is 1,0183
De schuld na drie jaar is 12 000 · 1,0183 ≈ 12 660 euro. × 0,68 × 1,25
500 625 425 1,018 ⋅ 1,018 ⋅ 1,018 = 1,0183
47 Bereken de procentuele toe- of afname als een hoeveelheid: T1
a eerst met 40% afneemt en dan met 40% toeneemt.
b twee keer met 5,5% afneemt.
48 Eind 2021 had een vereniging 6250 leden. In 2022 nam dit aantal met 16% af. Door een nieuwe aanpak om leden te werven, nam het aantal leden in 2023 weer met 28% toe. Bereken hoeveel leden de vereniging eind 2023 had. T1
49 Een T-shirt kost exclusief 21% btw € 28,90. Wanneer je vier T-shirts koopt, krijg je 15% korting.
a Bereken het bedrag dat je voor de vier T-shirts exclusief btw moet betalen. T1
b Bereken het bedrag inclusief btw. T1
c Laat zien dat het niet uitmaakt of je eerst de btw berekent en dan de korting of omgekeerd. T2
50 Een ondernemer heeft op 1 juli 2020 een bedrag van € 15 000,- geleend tegen een rente van 3,4% per jaar.
a Wat is de schuld van de ondernemer op 1 juli 2022? T1
b Op 1 juli 2022 lost de ondernemer 4000 euro af. Ditzelfde wil ze doen op 1 juli 2023 en op 1 juli 2024. De schuld die op 1 juli 2025 nog over is, lost ze in één keer af. Welk bedrag moet ze op 1 juli 2025 betalen? T2
51 Van een vijver is op een bepaald moment 40 m 2 bedekt met algen. De twee weken daarna groeit de met algen bedekte oppervlakte met 20% per week. Na drie weken is 85 m 2 van de vijver bedekt met algen. Bereken met hoeveel procent de met algen bedekte oppervlakte in de derde week is gegroeid. T2
52 In normale omstandigheden wordt alles langzaam duurder. Geld wordt dus minder waard. Dit heet inflatie. Een inflatie van 10% betekent dat wat je eerst voor € 1,- kon kopen, nu € 1,10 kost. In 2021 werden prijzen van consumentengoederen en -diensten gemiddeld 2,7% hoger. In 2022 was dat 10,0% en in 2023 was dat 4,1%. T2
a Bereken met hoeveel procent de prijzen van consumentengoederen en -diensten in 2023 gestegen zijn ten opzichte van eind 2020.
Om de prijs van een product niet te laten stijgen, maakt een fabrikant de verpakking kleiner. Dan blijft de prijs hetzelfde, maar je krijgt dus minder. Hiervoor is in 2016 de term ‘krimpflatie’ bedacht.
b In 2020 kostte een reep chocolade van 400 gram € 2,89. In 2023 betaalde je hetzelfde voor een reep van 340 gram. Bereken of de procentuele prijsstijging per gram chocolade overeenkomt met de inflatie.
53 Een winkel verkoopt schoenen. Het btw-tarief is 21%. Tijdens een actie krijg je het bedrag dat je aan btw moet betalen als korting. Hoeveel procent korting krijg je op de schoenen? T2 Let op: het antwoord is niet 21%!
54 In de cirkeldiagrammen onderaan de bladzijde staat hoe het water op aarde is verdeeld. Zo bevatten rivieren 0,0001% van al het water op aarde. T2
a Waarom zijn er drie cirkeldiagrammen getekend en niet maar één?
b Bereken de grootte van de sectorhoek die in het middelste cirkeldiagram bij poolkappen en gletsjers hoort. Bereken ook de grootte van de sectorhoek als alle informatie in één cirkeldiagram had gestaan.
Er wordt geschat dat oceanen en zeeën in totaal 1,351 · 1018 m3 water bevatten.
c Hoeveel miljoen km3 water is dit?
d Bereken hoeveel liter water poolkappen en gletsjers bevatten. Schrijf je antwoord in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal.
e Bereken de hoeveelheid water in rivieren. Geef je antwoord in liters in de wetenschappelijke notatie en rond af op één decimaal.
55 Kleine percentages worden soms uitgedrukt in promille (‰, per duizend). In 2023 was het maximaal toegestane alcoholpromillage in het bloed voor ervaren automobilisten 0,5‰. T2
a Hoeveel procent is dat?
b Hoeveel mL alcohol is dat voor een gemiddeld volwassen persoon met 5 L bloed in het lichaam?
Iemand heeft alcohol gedronken en bij een blaastest blijkt zij een alcoholpromillage te hebben van 0,8‰.
c Hoeveel procent meer dan 0,5‰ is dat?
d Het menselijk lichaam breekt alcohol af met een snelheid van 0,1‰ tot 0,25‰ per uur. Hoelang duurt het ongeveer voordat deze persoon alle alcohol in haar bloed heeft afgebroken? Geef een onder- en een bovengrens.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
percentage
groeipercentage en groeifactor
T1 Ik kan in eenvoudige situaties rekenen met percentages en groeifactoren.
T2 Ik kan in allerlei praktische situaties rekenen met percentages en groeifactoren.
I Ik kan werken met andere eenheden voor delen, zoals procentpunten en promillages.
hoeveelheid water
Procentpunten
PVV krijgt 7,7% meer
stemmen dan GroenLinksPvdA
Bij de Tweede Kamerverkiezingen van 2023 is de PVV met 23,49% van de stemmen de grootste partij geworden. GroenLinks-PvdA volgt daarna met 15,75% van de stemmen.
56 Lees het krantenartikel over de verkiezingen van 2023. I
a Hoe heeft de journalist het percentage van 7,7% berekend dat in de kop van het artikel staat?
b Waarom klopt dit percentage niet? Welk percentage had daar wel moeten staan?
In plaats van het juiste percentage had de journalist ook kunnen schrijven dat de PVV 7,7 procentpunt meer stemmen heeft gekregen dan GroenLinks-PvdA. Een procentpunt is een punt op een procentschaal en is daarmee een absolute grootheid. Zo is een stijging van vier naar vijf procent een stijging van 25% of van één procentpunt.
c D66 heeft 17,3 procentpunt minder stemmen gekregen dan de PVV. Hoeveel procent minder is dit?
Interpoleren en extrapoleren
DOEL Je leert hoe je met interpoleren en extrapoleren waarden kunt schatten.
Interpoleren en extrapoleren Als twee grootheden gezamenlijk veranderen, dan kun je de samenhang ertussen weergeven in een tabel of in een grafiek. Hieronder zie je bijvoorbeeld een tabel en de bijbehorende grafiek van het gewicht van een baby gedurende het eerste levensjaar.
leeftijd (maanden)
(maanden)
Interpoleren
Met een grafiek kun je tussenliggende waarden schatten die niet in de tabel staan. Dit heet interpoleren (het Latijnse woord ‘inter’ betekent tussen). Zo kun je uit de grafiek aflezen dat de baby na 7 maanden ongeveer 7,6 kg woog.
Extrapoleren
Door de grafiek vloeiend verder te tekenen, kun je waarden aflezen buiten het bereik van de tabel. Dit heet extrapoleren (het Latijnse woord ‘extra’ beteken ‘buiten’). Hiermee kun je een schatting maken van een verder gelegen waarde. Zo zal de baby na 14 maanden naar schatting 9,2 kg wegen.
Schattingen die je maakt door te interpoleren, zijn betrouwbaarder naarmate ze dichter bij de meetpunten liggen en als de meetpunten mooi op een vloeiende kromme liggen. Schattingen die je maakt door te extrapoleren, zijn minder betrouwbaar naarmate je verder van het laatste meetpunt af komt.
interpoleren
extrapoleren
57 In de tabel hieronder staat de gemiddelde lengte van Nederlandse meisjes. T1
leeftijd (jaar) 2 4 6 12 15
lengte (cm) 86 104 118 154 166
a Maak een grafiek bij de tabel.
b Schat door te interpoleren de gemiddelde lengte van een Nederlands meisje van 8 jaar.
c Schat door te extrapoleren de gemiddelde lengte van een Nederlands meisje van 16 jaar.
d Schat ook door te extrapoleren de gemiddelde lengte van een Nederlandse vrouw van 19 jaar. Waarom is dit geen betrouwbare schatting?
58 Voor het vak biologie moet een leerling onderzoeken of tuinkers beter groeit in het licht of in het donker. Hiervoor plant hij twee tuinkerszaadjes: één in het licht en één in het donker. Elke dag meet hij de lengte van de plantjes. De resultaten zie je in de tabel hieronder. T1
59 Werkblad 1.59
In de grafiek hieronder zie je de groei van de wereldbevolking sinds 1800.
wereldbevolking (×
a Op dag 5 is er geen meting gedaan. Schat door te interpoleren de lengte van beide plantjes op deze dag.
b Schat door te extrapoleren het lengteverschil tussen de twee plantjes op dag 8.
a Met hoeveel miljard mensen is de wereldbevolking de afgelopen 100 jaar toegenomen? T1
b Schat door te extrapoleren de grootte van de wereldbevolking in 2100. T1
In 2019 voorspelden de Verenigde Naties dat de wereldbevolking in 2100 uit 10,9 miljard mensen zou bestaan. Maar in 2020 publiceerden onderzoekers aan de Universiteit van Washington een artikel waarin ze voorspelden dat de wereldbevolking tot 2064 zou groeien naar 9,7 miljard mensen en vervolgens tot 2100 zou krimpen tot 8,8 miljard mensen.
c Hoe groot is het verschil tussen jouw schatting bij opdracht b en de schatting van de onderzoekers? T1
d Stel dat er in 1920 door te extrapoleren een schatting zou zijn gemaakt van de wereldbevolking in 2000. Hoe groot zou die schatting dan zijn geweest, denk je? Geef ook een verklaring voor de grote afwijking van de werkelijkheid. T2
Lineair interpoleren en extrapoleren Wanneer je waarden gaat schatten door lineair te interpoleren, ga je uit van een constante toeof afname tussen opeenvolgende gemeten punten. De grafiek bestaat dan uit rechte lijnstukken.
Je kunt ook lineair extrapoleren door aan te nemen dat de toe- of afname tussen de eerste twee of laatste twee gemeten punten op dezelfde manier blijft doorgaan. Een voordeel van lineair inter- en extrapoleren is dat je dit met een tabel kunt doen en geen grafiek hoeft te tekenen.
Voorbeelden
In de tabel hieronder staat het aantal leden van een sportclub tussen 2000 en 2022.
1 Schat door lineair te interpoleren het aantal leden in 2010. 2010 ligt tussen 2007 en 2011. Het aantal leden is in die 4 jaar met 80 toegenomen. Dat is een toename met gemiddeld 80 4 = 20 leden per jaar.
Je gaat er bij lineair interpoleren van uit dat de groei gedurende deze vier jaar lineair was, dus elk jaar met 20 leden. Van 2007 tot 2010 neemt het aantal leden dus naar schatting met 3 · 20 = 60 toe. In 2010 waren er naar schatting 278 + 60 = 338 leden.
2 Schat door lineair te extrapoleren het aantal leden in 2024. Gebruik de twee laatst bekende waarden om het aantal leden in 2024 te schatten. Van 2019 tot 2022 is het aantal leden met 55 afgenomen. Dit is een afname met gemiddeld 55 3 leden per jaar.
Je gaat er bij lineair extrapoleren van uit dat deze afname zich na 2022 op dezelfde manier voortzet. 2024 is 2 jaar na 2022, dus in 2024 zullen er naar schatting 445 − 2 55 3 ≈ 408 leden zijn.
60 In de tabel hieronder staat het inwonertal van een stad tussen 2000 en 2020. T1
jaar 2000 2005 2010 2015 2020
inwonertal (× 1000) 720 732 697 616 571
a Schat door lineair te interpoleren het aantal inwoners in 2007.
b Schat door lineair te extrapoleren het aantal inwoners in 2023.
c Schat ook het aantal inwoners in 1993.
61 Gegeven is de volgende tabel. T1 x 2 8 12 y 7 16 18
a Schat door lineair te interpoleren de waarde van y die bij x = 5 hoort.
b Schat door lineair te extrapoleren de waarde van y die bij x = 16 hoort.
c Schat door lineair te interpoleren de waarde van x die bij y = 9 hoort.
62 Het aantal abonnees van een tijdschrift heeft zich tussen 1970 en 2020 als volgt ontwikkeld.
De aantallen zijn gemeten op 1 januari van het betreffende jaar.
jaar 1970 1990 2015 2020
aantal abonnees 48 500 41 400 25 200 14 900
a Schat het aantal abonnees op 1 januari 1965, 2010 en 2022 door lineair te interpoleren of lineair te extrapoleren. T1
b Laat met een berekening zien dat een schatting van het aantal abonnees in 2040 met behulp van lineair extrapoleren niet betrouwbaar kan zijn. T2
c Schat door lineair te interpoleren in welk jaar het aantal abonnees voor het eerst onder de 30 000 zakte. T2
63 Hieronder zie je een tabel met het aantal inwoners van België van 1960 tot en met 2020.
jaar aantal inwoners (in miljoenen)
1960 9,11
1975 9,76
1990 9,96
2005 10,52
2020 11,56
a Teken een grafiek bij de tabel. Teken een vloeiende kromme door de punten. T1
b Schat met behulp van je grafiek het aantal inwoners van België in 2000. T1
c Schat het aantal inwoners van België in 2000 ook door lineair te interpoleren. T1
d Schat door lineair te extrapoleren in welk jaar België voor het eerst meer dan 12 miljoen inwoners heeft. T2
64 Een tijdrit voor wielrenners is opgedeeld in drie delen. Na elk deel wordt de tijd gemeten. Een wielrenner heeft de tijdrit in 47 minuten en 12 seconden gereden. In de tabel hieronder zie je de drie gemeten tijden van deze wielrenner. T2
afstand (km) 12 28 40
tijd (min) 14:32 31:58 47:12
a Schat door lineair te extrapoleren hoeveel km de wielrenner heeft gereden na 10 minuten.
b Schat door lineair te interpoleren hoelang de wielrenner deed over de eerste 20 km
65 Het draagvermogen van een (auto)band geeft aan hoeveel kilogram de band maximaal mag dragen. Dit draagvermogen wordt, samen met de bandenmaat, op de band afgedrukt. Dit wordt gedaan met een zogeheten loadindex. De band hiernaast heeft een loadindex van 90. In de tabel hieronder zie je dat bij een loadindex van 90 een draagvermogen van 600 kg hoort.
loadindex 80 90 100 110 120 gewicht (kg) 450 600 800 1060 1400
Op een band staat een loadindex van 130.
a Teken de grafiek bij de tabel en geef een schatting van het draagvermogen van deze band. T2
b Schat ook met lineair extrapoleren met hoeveel kg de band maximaal belast mag worden. T2
c Leg uit welke van de twee manieren van extrapoleren de beste schatting zal geven voor het draagvermogen. I
Om te weten te komen hoeveel gewicht de banden van een voertuig kunnen dragen, vermenigvuldig je de loadindex met het aantal banden van het voertuig. Bijvoorbeeld, als de vier banden van een auto een loadindex van 80 hebben, dan is het draagvermogen maximaal 4 · 450 = 1800 kg.
d Ga ervan uit dat een auto inclusief bagage een gewicht heeft van maximaal 2000 kg. Schat door te interpoleren welke loadindex de vier banden van de auto dan minimaal moeten hebben. T2
205/55 R1690V
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
tabel en grafiek
(lineair) interpoleren
(lineair) extrapoleren
T1 Ik kan in eenvoudige situaties waarden schatten door (lineair) te interpoleren of door (lineair) te extrapoleren.
T2 Ik kan in ingewikkelde situaties gegevens schatten door (lineair) te interpoleren en (lineair) te extrapoleren.
I Ik kan uitleggen waarom je andere schattingen kunt krijgen als je gegevens op verschillende manieren interpoleert of extrapoleert.
Museumcijfers
66 Ieder jaar worden er cijfers gepubliceerd over de museumsector in Nederland. In de tabel hieronder staan voor een aantal provincies het aantal musea en het aantal inwoners op 1 januari 2016. In de laatste kolom van deze tabel staat de zogenoemde museumdichtheid. Dit is het aantal musea per 100 000 inwoners.
aantal musea aantal inwoners museumdichtheid
Groningen 17 583 721
Friesland 26 646 040 4,02
Flevoland 4 404 068 0,99
Nederland 420 16 979 120 2,47
a De museumdichtheid van de provincie Groningen ontbreekt in de tabel. Onderzoek of de museumdichtheid van Groningen hoger of lager is dan de museumdichtheid van heel Nederland. T1 b De provincie Flevoland heeft de laagste museumdichtheid van alle provincies. Onderzoek hoeveel musea Flevoland er minstens bij zou moeten hebben om een museumdichtheid in deze provincie te hebben die hoger is dan 2,47. T2
De Museumkaart is een persoonsgebonden kaart die een jaar lang onbeperkt toegang geeft tot ongeveer 400 musea in heel Nederland. Het aantal Museumkaarthouders is in de periode 2011–2016 sterk gegroeid. In de tabel hieronder staan de aantallen Museumkaarthouders op 1 januari 2011 en op 1 januari 2016. Neem aan dat de groei in deze periode lineair was.
datum 1-1-2011 1-1-2016
aantal Museumkaarthouders 805 594 1 299 650
c Bereken, uitgaande van dezelfde lineaire groei in de daaropvolgende jaren, in welk jaar er voor het eerst meer dan 2 miljoen Museumkaarthouders zullen zijn. T1
d In het jaar 2011 was de Museumkaart goed voor 4,2 miljoen museumbezoeken. Dat was 20% van het totaal aantal museumbezoeken in 2011. In het jaar 2016 was de Museumkaart goed voor 8,5 miljoen museumbezoeken. Dat was toen 26% van het totaal aantal museumbezoeken. Bereken met hoeveel procent het totaal aantal museumbezoeken is gestegen in de periode 2011–2016. Geef je antwoord in hele procenten. T2
Naar examen havo wiskunde A 2021-III
Formules en de grafische rekenmachine
DOEL Je leert hoe je met een grafische rekenmachine tabellen en grafieken kunt maken en je leert werken met wiskundige modellen.
Grafieken plotten Met een formule kun je aangeven hoe grootheden met elkaar samenhangen. Zo kun je met de formule r = 0,005v 2 een schatting maken van de remweg van een auto op een droog wegdek. Hierin is r de remafstand in m en v de snelheid van de auto in km/h. Als de snelheid 80 km/h is, dan is de remweg 0,005 802 = 32 m.
Je kunt bij de formule van de remweg een tabel en een grafiek maken. Hiervoor kun je je grafische rekenmachine gebruiken. Je voert dan de formule y = 0,005x 2 in. Grafieken tekenen met je grafische rekenmachine heet plotten.
Let op: je gebruikt bij het invoeren van de formule altijd de variabelen x en y.
Voor een tabel geef je de beginwaarde en de stapgrootte aan. Hiernaast zie je een tabel met beginwaarde x = 50 en stapgrootte 10.
Voor het plotten van de grafiek geef je aan tot hoe ver de assen moeten lopen. Dit worden de vensterinstellingen genoemd. Wanneer je x van 0 tot 140 neemt, krijg je de plot linksonder. In je schrift kun je aan de hand van de plot een schets van de grafiek maken.
van y = 0,005x2
plot van y
Let goed op de formulering van een vraagstuk.
Staat er ‘Schets de grafiek van ...’, dan mag je de grafiek eerst plotten met je grafische rekenmachine en hoef je bij de schets in je schrift geen getallen bij de assen te zetten.
Staat er ‘Teken de grafiek van ...’, dan maak je eerst een tabel en zet je wel getallen bij de assen.
67 Gegeven is de formule y = x 2 6x + 9 T1
a Maak een tabel met je grafische rekenmachine met beginwaarde 0 en stapgrootte 1.
b Plot de grafiek van de formule waarbij de x-as van 0 tot 6 loopt. Maak ook een schets.
68 Na een regenbui is de weg nat. Dan is de remweg van een auto langer dan op een droog wegdek. Je kunt de remweg dan schatten met de formule r = 0,0075v 2. Hierin is r de remafstand in m en v de snelheid van de auto in km/h. T1
a Bereken met de formule de remweg bij een snelheid van 130 km/h op een nat wegdek.
b Maak een tabel met je grafische rekenmachine bij de formule met beginwaarde x = 80 en stapgrootte 5.
c Plot de grafiek en maak een schets.
69 Gegeven is de formule y = 0,2x 3 − x 2 . T1
a Maak een tabel met je grafische rekenmachine met beginwaarde –2 en stapgrootte 1.
b Plot de grafiek van de formule waarbij de x-as van –2 tot 6 loopt. Maak ook een schets.
c Plot de grafiek van de formule waarbij de x-as van − 8 tot 8 loopt. Maak ook een schets.
70 Plot de grafieken van de volgende formules en maak van die plots een schets. Zorg steeds dat het verloop van de grafiek goed te zien is en schrijf je vensterinstellingen op. T1
a y = x + 10 5 − 3
b y = x 2 + 5x
c y = 3 x met x > 0
d y = 5 √x 2
71 Voor de productiekosten K in euro’s van een bepaald product geldt de formule
K = 0,1q 3 − 15q 2 + 800 q. Hierin is q de productie in honderdtallen. De maximale productie is 15 000.
a Bereken K bij een productie van 11 000. T1
b Plot de grafiek van de formule en maak een schets. T1
In januari was de productie 6400. In februari lag de productie 10% hoger.
c Bereken hoeveel hoger de kosten K in februari waren dan in januari. T2
d Het bedrijf heeft de producten voor € 5,50 per stuk verkocht. De winst bereken je door de kosten van de opbrengst af te trekken. Met hoeveel procent is de winst in februari gestegen ten opzichte van januari? T2
72 Een fabrikant maakt cilindervormige blikken van 5,1 cm hoog. De inhoud van zo’n blik is afhankelijk van de diameter van het grondvlak en kun je berekenen met de formule:
I = 4 · d 2
Hierin is I de inhoud van het blik in cm 3 en d de diameter van het grondvlak in cm. 5,1 cm
a Neem de tabel over en vul hem in. T1
d 4 6 8 10 12 14
b Teken de grafiek van de formule. T1
c De blikken krijgen een inhoud van minimaal 350 milliliter. Zoek uit welke diameter het grondvlak van de blikken minimaal moet krijgen. Rond je antwoord af op hele millimeters. T2
Wiskundig model Vaak is een formule bij een praktijksituatie een benadering van de werkelijkheid. In zo’n formule zijn bijvoorbeeld onbelangrijke details weggelaten, zodat de formule makkelijker te gebruiken is. Ook kan er een vereenvoudigde formule opgesteld zijn die zo goed mogelijk bij de gegevens past. Je werkt dan met een wiskundig model
Voorbeeld
Een patiënt neemt een medicijn in dat in het bloed wordt opgenomen. De concentratie C van het medicijn kan worden benaderd met de formule C = 4t t 2 + 1. Hierbij is C de concentratie in mg per liter bloed en t het aantal uur na inname. Deze formule kun je alleen gebruiken als t ≥ 0.
Om bij deze formule een grafiek te plotten, voer je de formule y = 4x x 2 + 1 in je grafische rekenmachine in. Let op: gebruik x voor de onafhankelijke variabele.
Door eerst met je grafische rekenmachine een tabel te maken, kun je inschatten welke vensterinstellingen geschikt zijn om de grafiek goed in beeld te krijgen. Maar je kunt ook in- of uitzoomen als je de grafiek niet goed in beeld hebt. Neem bijvoorbeeld x van 0 tot 12 en y van 0 tot 3. Je ziet in de grafiek dat de concentratie 1 uur na inname maximaal is. Daarna neemt de concentratie af.
73 Kijk nog eens naar het voorbeeld op de linkerbladzijde. Voor een goede werking van het medicijn moet de concentratie C boven de 1 mg/L blijven. T1
a Neem onderstaande tabel over en vul hem in:
T 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9
C 1,06
b Rond welk tijdstip is de concentratie net boven de 1 mg/L?
c Voor een nauwkeuriger antwoord kun je in de tabel stappen van 0,01 nemen. Maak met je grafische rekenmachine een nieuwe tabel en lees bij benadering af op welk moment de concentratie te laag dreigt te worden.
74 Een kanon schiet een kogel schuin omhoog. De baan van de kogel wordt beschreven door de formule h = 0,015a(75 − a). Hierin is h de hoogte van de kogel in m en a de afgelegde horizontale afstand in m. T1
a Plot de grafiek van h. Bij welke vensterinstellingen krijg je de grafiek goed in beeld?
b Hoe ver komt de kogel?
c Hoe hoog komt de kogel?
75 Een bepaalde soort plant groeit het eerste jaar sneller dan het tweede jaar. Je kunt de hoogte van de plant in de eerste twee jaar benaderen met de formule h = 3,5t + 2 t + 8 . Hierin is h de hoogte van de plant in meter en t de tijd na het planten in maanden. T1
a Hoe hoog was de plant toen hij werd geplant?
b Hoe hoog is de plant na twee jaar?
c Maak een tabel met stapgrootte 4 voor de eerste twee jaar.
d Plot de grafiek van de formule. Maak ook een schets.
e Hoeveel maanden na het planten zal de plant boven de 2,5 m uitkomen?
76 Je kunt de maximaal haalbare hartslag van volwassenen schatten met de formule
H = 208 − 0,7 leeftijd. Hierin is H in slagen per minuut.
a Schat de maximale hartslag van iemand van 50 jaar. T1
b Plot de grafiek van de formule en maak een schets. T1
c Iemand heeft volgens de formule een maximale hartslag van 166. Hoe oud is deze persoon? T2
Volgens een ander model kun je de maximale hartslag van een volwassene schatten met de formule H = 220 − leeftijd.
d Plot de grafiek van beide formules in hetzelfde venster en maak een schets. T1
e Bij welke leeftijd geven beide formules dezelfde maximale hartslag? T2
77 In een bos staat het grondwater op een diepte van 110 cm. Hoe dichter je bij de grondwaterstand komt, hoe hoger het vochtgehalte van de grond wordt. Het verband tussen de diepte d in cm en het vochtgehalte p in % wordt gegeven door de formule:
p = 280 110 − d T2
grondwaterstand
a Waarom moet gelden dat d < 110?
b Bereken het vochtgehalte op 30 cm diepte.
c Met hoeveel procent neemt het vochtgehalte van de grond de eerste 50 cm toe?
d Zoek uit op welke diepte het vochtgehalte van de grond 7% is.
78 In natuurgebieden staan vaak uitkijktorens. Bovenop zo'n toren heb je een prachtig uitzicht. Hoe hoger de toren, hoe verder je kunt kijken en hoe verder de horizon van je weg ligt. Bij helder weer geldt de formule k = √12,7h . Hierin is k de kijkafstand in km en h de hoogte in m waarop je ogen zich bevinden.
a Wat is de kijkafstand van iemand met een ooghoogte van 170 cm? Geef je antwoord in honderden meters nauwkeurig. T1
In Rønnede in Denemarken staat sinds 2019 de Forest Tower, een uitkijktoren van 45 m hoog.
b In een brochure staat dat je bij helder weer 25 km over het landschap kunt kijken. Ga met de formule na of dit ongeveer kan kloppen. T2
c Hoe hoog had de uitkijktoren moeten worden om bij helder weer 30 km over het landschap te kunnen kijken? T2
d Bij helder weer kun je op een afstand van meer dan 50 km de brug van Denemarken naar Zweden zien. Volgens de formule is de kijkafstand kleiner. Onderzoek hoe dit kan. I
De Forest Tower bij Rønnede ten zuiden van Kopenhagen
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat het verschil is tussen grafieken schetsen en grafieken tekenen en ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
plotten
vensterinstellingen
wiskundig model
T1 Ik kan tabellen maken en grafieken plotten met de grafische rekenmachine. Ook kan ik met eenvoudige wiskundige modellen rekenen.
T2 Ik kan met ingewikkelde wiskundige modellen rekenen.
I Ik kan redeneren over de formules bij wiskundige modellen.
Wiskunde in bad
79 Misschien is het je na het nemen van een bad wel eens opgevallen dat het water aanvankelijk sneller wegloopt dan een tijdje later.
Aan de hand van een wiskundig model ga je dat onderzoeken. Het bad heeft bij benadering de vorm van een rechthoekige bak. Nadat de stop eruit getrokken is, wordt de hoogte van het badwater steeds lager. Deze hoogte is de waterhoogte.
Tijdens het leeglopen van een bad wordt op een aantal tijdstippen de waterhoogte gemeten. De resultaten staan in de volgende tabel.
t (s) 0 40 80 120 160
waterhoogte (cm) 49 34 21 12 5
Bij deze tabel past de formule waterhoogte = (7 − 0,03t)2.
a Laat zien dat deze formule inderdaad goed bij de tabel past. T1
b Toon met de formule aan dat het leeglopen van het bad ongeveer 233 seconden duurt. T1
c Leg met behulp van een schets van de grafiek van de waterhoogte uit dat het water aanvankelijk sneller wegloopt dan een tijdje later. T2
Tijdens het leeglopen is het bad op een gegeven moment nog maar half vol. De waterhoogte is dan de helft van de aanvankelijke waterhoogte. De tijd die hiervoor nodig is, is de leeglooptijd van de eerste helft. De tijd die vervolgens nodig is om het bad verder leeg te laten lopen, is de leeglooptijd van de tweede helft. Deze leeglooptijd van de tweede helft is natuurlijk langer dan de leeglooptijd van de eerste helft; het gaat immers langzamer.
d Zoek uit hoeveel langer de leeglooptijd van de tweede helft is dan de leeglooptijd van de eerste helft. Geef je antwoord in seconden nauwkeurig. I
Naar examen havo wiskunde A1,2 2000-I
waterhoogte
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.
Wiskunde in de praktijk
80 Noorderzon is een jaarlijks zomerfeest en internationaal kunstenfestival in het Noorderplantsoen van Groningen. Het aanbod bestaat uit theater, muziek, dans, beeldende kunst, multimedia, circus en alles wat daar tussenin zit. Bezoekers kunnen iets eten en drinken bij de vele foodtrucks en barretjes. Gedurende elf dagen trekt Noorderzon zo'n 140 000 bezoekers. Schat het benodigde aantal foodtrucks. Deel hiervoor eerst de vraag op in deelvraagstukken. I
§ 1.1
81 Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie. T1
a 250 000 000 c 60 miljard b 0,000 033 d 122 miljoenste
82 De Noordzee bevat ongeveer 9 · 1013 m 3 water.
a Hoeveel miljard m3 is dit? T1
b In een 25 m-wedstrijdbad gaat 875 duizend liter water. Bereken hoeveel van deze wedstrijdbaden je kunt vullen met het water uit de Noordzee. T2
§ 1.2
83 Op een bouwmarkt worden zakken met zwarte en witte grindstenen gevuld in de verhouding 3 : 7.
a In een zak zitten 42 zwarte stenen. Hoeveel stenen zitten in totaal in deze zak? T1
b De zwarte stenen wegen 250 gram en de witte 150 gram. Geef de verhouding tussen het gewicht van de zwarte stenen en het gewicht van de witte stenen in de zak. Schrijf de verhouding met gehele getallen en vereenvoudig zo ver mogelijk. T2
84 Een bedrag wordt over vier personen A, B, C en D verdeeld in de verhouding 5 : 7 : 2 : 6. T1
a Welk deel van het bedrag ontvangen personen C en D samen?
b Persoon B krijgt 250 euro meer dan persoon A. Bereken hoeveel euro elke persoon ontvangt.
§ 1.3
85 a Het aantal leden van een vereniging is in een jaar tijd met 7,6% gegroeid. In dat jaar zijn er 35 nieuwe leden bijgekomen en zijn er 10 leden gestopt. Hoeveel leden had de vereniging aan het einde van dat jaar? T1
b Eind 2022 waren boodschappen in de supermarkt 14% duurder dan eind 2021. Hoeveel betaalde je eind 2021 voor een mand met boodschappen die een jaar later 54 euro kostte? T1
86 Op een klimrenterekening stijgt het rentepercentage tijdens de eerste vijf jaar. Daarna blijft dat percentage gelijk.
Als je een bedrag op deze rekening zet en laat staan, dan krijg je over het eerste jaar 0,4% rente, over het tweede jaar 0,6%, enzovoort. Vanaf het vijfde jaar krijg je 1,9% rente per jaar.
Iemand zet € 5000,- op deze rekening. T2
a Welk bedrag staat er na vijf jaar op de rekening?
b En na zeven jaar?
§ 1.4
87 In de tabel hieronder staat het aantal inwoners van een stad in de periode van 1970 tot en met 2020.
jaar aantal inwoners
1970 19 000
1980 21 000
1990 25 000
2000 26 000
2010 29 000
2020 38 000
a De aantallen zijn afgerond op duizendtallen. Met hoeveel is het aantal inwoners maximaal gestegen in de periode van 2000 tot en met 2010? T2
b Teken een grafiek bij de tabel. T1
c Schat door te interpoleren hoeveel inwoners er in 1987 waren. T1
d Schat door te extrapoleren hoeveel inwoners er in 2030 zullen zijn. T1
e Schat het aantal inwoners in 2030 ook door lineair te extrapoleren. T1
f Leg uit welke van de schattingen van opdracht d en e volgens jou het betrouwbaarst is. I
§ 1.5
88 Gegeven is de formule y = x 2 + 5x + 3 T1
a Maak met je grafische rekenmachine een tabel met stapgrootte 2. Neem vervolgens onderstaande tabel over en vul hem in.
x −2 0 2 4 6 y
b Plot de grafiek van de formule en maak een schets.
89 In een bak zit heet water dat afkoelt. Je kunt de temperatuur van het water benaderen met de formule T = 667 0,22t + 23. Hierin is T de temperatuur in °C en t de tijd in minuten na 8.00 u. T2
a Hoe warm is het water volgens de formule om 8.00 u? En om 9.30 u? Rond af op hele graden.
b Plot de grafiek van de formule. Maak ook een schets.
c Zodra de temperatuur tot 12 °C is gedaald, wordt automatisch een verwarmingselement ingeschakeld waardoor het water weer opwarmt. Hoe laat is dit volgens de formule het geval?
Hoofdstuk 1
90 De groei van het aantal bacteriën in een bacteriecultuur groeit de eerste vijf dagen bij benadering volgens de formule
B = 200 (1 + 2t)3. Hierin is B het aantal bacteriën in duizendtallen en t de tijd in dagen na t = 0 T2
a Hoeveel bacteriën waren er op t = 0?
b Bereken het aantal bacteriën na twee dagen.
c Bereken het aantal bacteriën na drie uur.
d Schets de grafiek van de formule.
e Laat met de formule zien dat het aantal bacteriën na 4,5 dagen duizend keer zo groot is geworden.
f Met hoeveel procent neemt het aantal bacteriën op de tweede dag toe volgens de formule?
91 Leerlingen uit 4 havo hebben een schoolreis naar Berlijn, Parijs of Rome gemaakt. Er gingen twee keer zoveel leerlingen naar Parijs als naar Berlijn. 28% van de leerlingen ging naar Rome. Hoeveel procent van de leerlingen ging naar Berlijn? En naar Parijs? I
Extra opdrachten
§ 1.1
92 Rond steeds op de juiste manier af. T1
a Hoeveel afleveringen van drie kwartier passen er op een dvd met een capaciteit van vijf uur?
b Hoeveel dozen van 16 kg mag je in een kast met een capaciteit van 200 kg zetten?
c Hoeveel wagons met 84 zitplaatsen zijn er nodig om 400 mensen zittend te kunnen vervoeren?
93 Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie. T1
a 240 000 c 5 600 000 000
b 0,000 041 d 0,000 000 070 8
94 Op een pak kroepoek van 120 g staat de volgende tabel.
voedingswaarde per 100 g per portie (… g)
§ 1.2
95 In een vaas zitten witte, grijze, oranje en blauwe knikkers in de verhouding 2 : 4 : 3 : 6.
a Bereken het aantal knikkers van elke kleur als er in totaal 600 knikkers in de vaas zitten. T1
b Bereken het aantal witte, oranje en blauwe knikkers als er 100 grijze knikkers in de vaas zitten. T1
c Bereken het totale aantal knikkers als er 30 witte en grijze knikkers in de vaas zitten. T2
d Bereken het totale aantal knikkers als er 21 meer blauwe dan oranje knikkers in de vaas zitten. T2
96 Bij de tekenles wil een leerling blauwgrijze verf maken door verschillende kleuren verf te mengen in de verhouding blauw : wit : zwart = 5 : 3 : 2. Voor haar project mengt ze 1 L verf. Hoeveel mL verf heeft ze van elke kleur nodig? T1
§ 1.3
97 De eerste SIM-kaarten waren zo groot als bankpassen. Hieronder zie je hoe de SIM-kaarten in de loop van de tijd steeds kleiner zijn geworden. De afmetingen zijn gegeven in millimeters.
De fabrikant wil niet meer dan 0,35 g zout per portie hanteren. Adviseer een geschikte portiegrootte en vul de tabel verder in. Zorg dat de verpakking een geheel aantal porties bevat. T2
Bereken bij alle drie de stappen naar een kleinere kaart met hoeveel procent de oppervlakte is afgenomen ten opzichte van de vorige kaart. Neem aan dat de kaarten rechthoeken zijn met de gegeven afmetingen. T1
98 In 2012 is het algemene btw-tarief van 19% verhoogd naar 21%. Met hoeveel procent zijn de prijzen inclusief btw duurder geworden? Let op: het antwoord is niet 2%. T2
§ 1.4
99 In de tabel hieronder staat het aantal km treinspoor in Nederland tussen 2005 en 2020. De waarde voor 2015 is weggelaten. T1
jaar 2005 2010 2015 2020
spoorlengte (km) 2810 3013 3041
a Teken een grafiek bij deze tabel. Teken een vloeiende kromme door de punten.
b Schat met behulp van de grafiek de spoorlengte in 2015. Teken dit punt in je grafiek.
c Schat deze spoorlengte ook door lineair te interpoleren. Teken dit punt in je grafiek.
100 In de tabel hieronder staat de gemeten buitentemperatuur gedurende een ochtend.
tijd 7.00 8.30 10.00 12.00 temperatuur (°C) 8 11 17 22
a Schat de temperatuur om 9.00 u door lineair te interpoleren. T1
b Schat hoe laat in de ochtend de temperatuur 19 °C was door lineair te interpoleren. T2
c Waarom is het niet zinvol om de temperatuur om 17.00 u te schatten door te extrapoleren? I
§ 1.5
101 Tijdens een onweersbui hoor je de donder een paar seconden later dan je de bliksemflits ziet. Dit komt doordat geluid veel langzamer door de lucht beweegt dan licht. Meestal wordt ervan uitgegaan dat de snelheid van het geluid 330 m/s is. In werkelijkheid is de snelheid van het geluid afhankelijk van de luchttemperatuur. In de tabel zie je voor enkele temperaturen T wat de geluidssnelheid v is.
T (°C) 0 5 10 20 35
v (m/s) 330 333 336 342 351
Bij deze tabel past de formule
v = 20 √273 + T . T2
a Laat zien dat deze formule inderdaad goed bij de tabel past.
b Bereken met de formule de snelheid van het geluid bij een luchttemperatuur van 25 °C.
c Onderzoek bij welke luchttemperatuur de snelheid van het geluid 318 m/s is.
d Je hoort de donder acht seconden nadat je een bliksemschicht ziet. Hoe ver is het onweer als het 0 °C is? En als het 35 °C is?
102 Een machine produceert schroeven.
De kosten hangen af van het aantal per dag geproduceerde schroeven. Je kunt de kosten berekenen met de formule
K = 0,05q 3 + q 2 + 200. Hierin zijn K de kosten in euro’s en is q het aantal per dag geproduceerde schroeven in duizendtallen. De machine kan maximaal 26 000 schroeven per dag maken. T2
a Plot de grafieken van de kosten en maak een schets.
De schroeven worden in doosjes van 100 schroeven voor € 5,50 verkocht. De winst bereken je door de kosten van de opbrengst af te trekken.
b Onderzoek bij welke aantallen de productie winstgevend is. Geef je antwoord in duizendtallen nauwkeurig.
Hoofdstuk 1
103 De snelheid van het licht is ongeveer 300 000 km/s. Een lichtjaar is de afstand die het licht in één jaar aflegt. T2
a Bereken hoeveel miljard km een lichtjaar is. Neem aan dat een jaar 365,25 dagen is en rond af op honderdtallen.
b De gemiddelde afstand van de aarde tot de zon is 150 miljoen km. Bereken in minuten nauwkeurig hoelang het zonlicht erover doet om de aarde te bereiken.
Na de zon is Proxima Centauri de dichtstbijzijnde ster. Deze ster staat op ongeveer 4,02 1013 kilometer van de aarde.
c Bereken hoeveel lichtjaar dat is. Rond af op één decimaal.
104 Een toets bestaat uit 80 meerkeuzevragen, waarvan 30 over taal, 30 over rekenen en 20 over topografie. Je kunt het cijfer C berekenen met de formule
C = aantal vragen goed 80 · 9 + 1
Het cijfer wordt afgerond op één decimaal. T1
a Laat met de formule zien dat het cijfer minimaal een 1 is en maximaal een 10.
b Een leerling heeft 5 6 deel van de vragen over taal goed, 9 10 deel van de vragen over rekenen en 3 5 deel van de vragen over topografie. Bereken het cijfer van deze leerling.
c Een andere leerling heeft eerst de vragen over taal en rekenen gemaakt. Daarvan heeft ze er 72% goed. Later moet ze nog de vragen over topografie maken. Wat is het hoogste cijfer dat ze nog kan halen? En het laagste?
105 In de tabel hieronder staat het aantal personen met Nederlands als moedertaal in Nederland, België, Suriname en de Caraïben. T2
land aantal personen
Nederland 1,7 · 107
België 6,5 · 106
Suriname 4,0 105
Caraïben 2,2 104
a De aantallen in de tabel zijn afgerond. Wat is het kleinst mogelijke totale aantal personen in deze landen met Nederlands als moedertaal? En het grootst mogelijke totale aantal?
b Neem voor deze opdracht aan dat de aantallen in de tabel niet afgerond zijn. Vul in: van de landen die in de tabel staan met Nederlands als moedertaal woont 1 op de … personen in de Caraïben.
106 De slankheid λ (‘lambda’) van een vliegtuig is de verhouding tussen de spanwijdte b en de koorde c van de vleugels: λ = b c T2 spanwijdte
c b
a Wat is de slankheid van het hierboven afgebeelde vliegtuig?
b Een vliegtuig heeft een slankheid van 9,5. De koorde van de vleugels is 120 cm. Wat is de spanwijdte van dit vliegtuig?
c Twee vliegtuigen hebben dezelfde spanwijdte, maar de vleugels van het ene vliegtuig hebben een 30% kleinere koorde dan de vleugels van het andere vliegtuig. Hoeveel procent groter is de slankheid?
koorde
107 Vietnam heeft tussen 1985 en 2015 een grote economische ontwikkeling doorgemaakt. In de tabel hieronder staat het bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking van Vietnam in Amerikaanse dollars.
jaar 1985 1995 2005 2015 bbp
a Met hoeveel procent is het bbp per hoofd van de bevolking van Vietnam toegenomen tussen 1985 en 2015? T1
b Schat het bbp per hoofd van de bevolking van Vietnam in 2001 en in 2019 door lineair te interpoleren en lineair te extrapoleren. T1
c Schat het bbp per hoofd van de bevolking van Vietnam in deze twee jaren ook door een grafiek te tekenen bij de tabel. T1
d In 2001 geeft lineair interpoleren een hogere schatting dan interpoleren met de grafiek. In 2019 is dat andersom. Geef hiervoor een verklaring. I
108
Een bedrijf loost continu met chloride verontreinigd water in een rivier.
Een chemicus van het bedrijf heeft na metingen bepaald dat de concentratie C van chloride (in mg/L) stroomafwaarts in de rivier benaderd kan worden met de formule:
C = 80 + 1248 20d + 4
Hierin is d de afstand tot de fabriek in km. T2
a Hoe groot is de concentratie van chloride stroomafwaarts vlak bij het loospunt van de fabriek?
b Hoe groot is de concentratie chloride op 500 m stroomafwaarts van de fabriek?
c Met hoeveel procent neemt de concentratie chloride in de eerste 3 km stroomafwaarts af?
d Vanaf welke afstand stroomafwaarts is de concentratie chloride lager dan 250 mg/L?
109 Een bedrijf heeft 5256 werknemers. Voor elke 50 werknemers jonger dan 45 jaar zijn er 23 werknemers van 45 jaar of ouder. Hoeveel werknemers zijn jonger dan 45 jaar? T2
110 Bij parachutespringen spring je uit een vliegtuig. Eerst maak je enige tijd een vrije val. Tijdens die vrije val is de parachute nog niet geopend. Daarna open je de parachute en land je met een veilige snelheid op de grond.
Een parachutist springt op een hoogte van 4000 meter uit het vliegtuig en maakt dan een vrije val. Na 50 seconden is hij op 1500 meter hoogte en stopt de vrije val, omdat hij dan zijn parachute opent.
a Bereken de gemiddelde snelheid in km/h van de parachutist tijdens zijn vrije val. T2
Tijdens de vrije val die de parachutist maakt, wordt hij afgeremd door de lucht. Daarom duurt de vrije val langer dan een theoretische vrije val over dezelfde afstand.
Een theoretische vrije val is een val ten gevolge van de zwaartekracht zonder dat de val door de lucht wordt afgeremd. Voor de hoogte van een voorwerp tijdens een theoretische vrije val die begint op een hoogte van 4000 meter geldt de formule:
h = 4000 4,9t 2
Hierin is h de hoogte van het voorwerp tijdens de theoretische vrije val in meter en t de tijd in seconden vanaf het moment dat de theoretische vrije val begint.
b Hoeveel langer duurt de vrije val van de parachutist van 4000 meter naar 1500 meter dan een theoretische vrije val over dezelfde afstand? Geef je antwoord in een geheel aantal seconden. I
Naar examen havo wiskunde A 2022-III