Inkijkexemplaar KERN Wiskunde leerboek vmbo-gt 3A by Boom beroepsonderwijs

WISKUNDE KERN

methodeconcept / redactie

Boom voortgezet onderwijs

auteurs

Corné van Berchum

Paul Gritter

Piet Hanemaaijer

Henk Hollander

Frans Meijers

Kim van de Minkelis - Went

Marieke Spijkstra

Francisca Stinnissen

WISKUNDE

VMBO-GT LEERJAAR 3 A

BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS

Tweede druk, 2024

Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch door fotokopieën, opnamen of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikelen 16h t/m 16m Auteurswet 1912 jo. besluit van 27 november 2002, Stb 575, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoeding te voldoen aan de Stichting Reprorecht te Hoofddorp (postbus 3060, 2130 KB, www.reprorecht.nl) of contact op te nemen met de uitgever voor het treffen van een rechtstreekse regeling in de zin van art. 16l, vijfde lid, Auteurswet 1912. Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16, Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot de Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten, postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting pro.nl).

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, recording or otherwise without prior written permission of the publisher.

isbn 978 94 9322 480 3 www.boomvoortgezetonderwijs.nl

KERN Wiskunde is een RTTI-gecertificeerde methode en onderscheidt vier soorten vragen:

R Reproductievragen

T1 Trainingsgerichte toepassingsvragen

T2 Transfergerichte toepassingsvragen

I Inzichtvragen

Voor meer informatie over de RTTI-systematiek, zie www.docentplus.nl.

Boekontwerp & omslag

René van der Vooren, Amsterdam

Taalredactie

Ellen Mulder

Opmaak & technische tekeningen

Imago Mediabuilders, Amersfoort

Inhoud – Deel 3 A

1 Meetkunde

WISKUNDEWEETJE

Gegist bestek 8

1.1 Koershoek 10

1.2 Schaal 16

1.3 Vergroten 22

1.4 Oppervlakte 28

1.5 Lijnen 34

Toetsvoorbereiding 40

Wiskundig lezen Titanic & Doel schieten 42

2 Getallen en verhoudingen

WISKUNDEWEETJE

De gulden en de euro 46

2.1 Getallen 48

2.2 Wetenschappelijke notatie 54

2.3 Breuken, decimale getallen en verhoudingen 60

2.4 Procenten 66

2.5 Tijd, afstand en snelheid 72

Toetsvoorbereiding 78

Wiskundig lezen Pieterpad 80

3 Verbanden

WISKUNDEWEETJE

Schoenmaten 84

3.1 Lineair verband: formule, grafiek en tabel 86

3.2 Gelijkwaardige formules 92

3.3 Kwadratisch verband en machtsverband 98

3.4 Wortelverband en periodiek verband 104

3.5 Som- en verschilverbanden en inklemmen 110

Toetsvoorbereiding 116

Wiskundig lezen IJsberg, Wortelverband & Eindlengte 118

Bijlage 121 Register van begrippen 131

Verbanden

In dit hoofdstuk leer je hoe de grafiek van een lineair verband verandert als het startgetal of de richtingscoëfficiënt verandert. Ook leer je werken met een recht evenredig, periodiek, machts- en wortelverband en leer je hoe je kunt controleren of formules gelijkwaardig zijn. Tot slot leer je hoe je een variabele in een formule kunt vervangen door een getal en hoe je formules kunt samenvoegen. Je past deze kennis toe bij het opstellen en oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld in de veeteelt, de akkerbouw of bij sport.

WISKUNDEWEETJE

Schoenmaten 84

3.1 Lineair verband: formule, grafiek en tabel 86

3.2 Gelijkwaardige formules 92

3.3 Kwadratisch verband en machtsverband 98

3.4 Wortelverband en periodiek verband 104

3.5 Som- en verschilverbanden en inklemmen 110

Toetsvoorbereiding 116

Wiskundig lezen IJsberg, Wortelverband &Eindlengte 118

Wiskundeweetje – Schoenmaten

DOEL → Je leert dat er verschillende soorten schoenmaten zijn en hoe je je schoenmaat kunt berekenen.

ɲ Verschillende maatsystemen

Als je schoenen koopt, moet je weten wat je schoenmaat is. Je schoenmaat hangt af van de lengte van je voet.

Schoenmaten zijn niet in elk land gelijk. Als je schoenmaat in Nederland bijvoorbeeld 39 is, dan is deze in het Verenigd Koninkrijk (VK) 6. En in de Verenigde Staten (VS) is je schoenmaat 6 1 2 als het om een mannenschoen gaat en 8 als het om een vrouwenschoen gaat. Voor de maat van kinderschoenen gebruiken ze in het VK en de VS dezelfde getallen nóg een keer. Als je online schoenen bestelt, moet je dus goed opletten dat je de goede maat kiest!

In de topsportwereld, en ook bij bijvoorbeeld skischoenen, wordt het mondopointsysteem gebruikt. Hierbij worden de lengte én de breedte van je voet in mm gemeten. De maat in het mondopointsysteem wordt bijvoorbeeld gegeven als 280/110. Dit betekent dat de lengte van de voet 280 mm is en de breedte 110 mm.

ɲ Schoenmaten in Nederland

In Nederland wordt de Europese schoenmaat gebruikt. Er bestaat een lineair verband tussen de Europese schoenmaat en de lengte van je voet. De woordformule die hierbij hoort, is:

EU schoenmaat = 0,15 × voetlengte + 1,75

met voetlengte in mm. De EU schoenmaat is gebaseerd op een oude Franse lengtemaat. Daarom staan op labels in schoenen de letters FR voor de Europese maat. Als de lengte van je voet bijvoorbeeld 256 mm is, dan geldt:

EU schoenmaat = 0,15 × 256 + 1,75 = 40,15

De EU schoenmaat wordt afgerond op een half. Maat 40,15 wordt daarom maat 40.

Schoenmaten

1 Gebruik de tabel op de linkerbladzijde.

a Welke schoenmaat moet je in het Verenigd Koninkrijk kiezen bij een EU maat 40? t1

b Welke schoenmaat moet je in de Verenigde Staten kiezen als vrouw met EU maat 38? t1

c EU maat 41 staat niet in de tabel. Leg uit waarom niet. i Tip: kijk naar de kolommen van het VK en de VS. Wat is het verschil tussen de getallen?

2 Kijk naar het label in de schoen op de linkerbladzijde.

a Met welke letters wordt de EU schoenmaat aangegeven? Leg uit waarom. t1

b Welk land wordt bedoeld met de letters ‘JP’? t2

3 Een schoen heeft in het mondopointsysteem maat 255/98. Wat betekent dit? t1

4 a Schrijf de woordformule op waarmee je je schoenmaat kunt berekenen als je de lengte van je voet in mm weet. r

b Schrijf de woordformule uit opdracht a als letterformule. t1

c Bereken de EU schoenmaat bij een voetlengte van 275 mm. t1

5 Schoenmaat 40,25 afgerond op een half wordt 40,5. Rond de volgende getallen af op een half. t1

a 36,2 b 42,8 c 44,6 d 37,4 e 41,75 f 39,24

6 a Bereken de EU schoenmaat bij een voetlengte van 253 mm. t1

b Bereken de EU schoenmaat bij een voetlengte van 28 cm. t2

7 In de tabel op de linkerbladzijde zie je dat een voetlengte van 228 mm hoort bij EU schoenmaat 36.

a Laat met een berekening zien dat een voetlengte van 227 mm ook bij EU schoenmaat 36 hoort. t2

b Geef alle voetlengtes in mm die bij EU schoenmaat 36 horen. i

8 Werkblad 3.8

a Neem de tabel over en vul hem in. t1

voetlengte (mm) 215 275 295 EU schoenmaat

b Teken de bijbehorende grafiek in het assenstelsel op het werkblad. t1

c Teken de punten uit de tabel op de linkerbladzijde in hetzelfde assenstelsel. t1

d De punten liggen niet precies op de lijn die je hebt getekend. Leg uit waarom niet. i

e Welke voetlengte in mm hoort bij maat 34? t2

9 De kleinste EU schoenmaat is maat 18. Welke lengte in mm moet een babyvoetje minimaal hebben om schoenen te kunnen dragen? i

Woord

mondopointsysteem

Doel bereikt?

ɲ Ik weet dat er verschillende maatsystemen zijn voor schoenen. Ook weet ik dat de EU schoenmaat wordt afgerond op een half. r

ɲ Ik kan getallen op een half afronden. Ook kan ik de EU schoenmaat berekenen bij een voetlengte in mm. t1

ɲ Ik kan een voetlengte in mm berekenen als de EU schoenmaat is gegeven. t2

ɲ Ik begrijp waarom niet alle lengtes in mm in de tabel gegeven zijn. i

3.1

Lineair verband: formule, grafiek en tabel

DOEL → Je leert hoe je een grafiek tekent bij een lineaire formule en wat de invloed van het startgetal en de richtingscoëfficiënt is op deze grafiek.

Lineair verband in formule en grafiek

ɲ Bij een lineair verband tussen twee variabelen x en y is de lineaire formule:

Verandering van de grafiek

Bij een lijn kun je een lineaire formule opstellen.

ɲ Je leest het startgetal af en bepaalt de richtingscoëfficiënt.

startgetal richtingscoëfficiënt (rc)

ɲ De grafiek is een lijn die bij (0, b) de y-as snijdt.

ɲ De lijn stijgt als rc > 0.

ɲ De lijn daalt als rc < 0.

ɲ Een grafiek bij een lineaire formule teken je zo:

1 Maak een tabel met drie punten.

2 Teken een assenstelsel met daarin de drie punten van stap 1.

3 Trek een lijn door de drie punten.

Voorbeeld 1 ▸

Teken de grafiek bij de formule h = –2 + 0,5t 1

Voorbeelden ▸

ɲ Als het startgetal kleiner wordt, schuift de grafiek omlaag.

ɲ Als het startgetal groter wordt, schuift de grafiek omhoog.

ɲ De formule y = ‘getal’ beschrijft een horizontale lijn. Er geldt: rc = 0.

ɲ De formule x = ‘getal’ beschrijft een verticale lijn. Er is geen rc.

Voorbeeld 2 ▸ y = b + ax

ɲ Op de lijn y = –1 liggen de punten ( 1, 1), (0, 1), (1, –1), enzovoort.

ɲ Op de lijn x = 3 liggen de punten (3, 1), (3, 0), (3, 1), enzovoort.

ɲ Als de rc verder weg is van 0, wordt de grafiek steiler.

Als de rc dichter bij 0 is, wordt de grafiek minder steil.

Lineair verband in formule en grafiek

10 Vul in. Kies uit: stijgt / daalt r Als rc < 0 is, dan ……… de lijn.

11 Bij een vliegtuig dat gaat landen, hoort de formule

h = 1750 – 250t. Hierin is h de hoogte in meters en t de tijd in minuten.

a Wat is het startgetal? t1

b Wat betekent het startgetal in deze situatie? t2

c Wat betekent de rc in deze situatie? t2

d Neem de tabel over en vul deze in. t1

tijd (minuten) 0 2 5 hoogte (m)

e Teken de grafiek bij de formule. t1

f Na hoeveel minuten landt het vliegtuig? t2

12 De kosten k in euro’s van een taxirit kun je berekenen met de formule k = 2,50 + 1,50a. Hierin is a de afstand in km.

a Teken de grafiek bij de formule. Laat de x-as van 0 tot 10 en de y-as van 0 tot 18 lopen. t1

b Een rit kost € 16,-. Hoeveel km was deze rit? t2

13 Gegeven is de formule y = –2 + 3x. t1

a Maak een tabel met drie punten bij de formule. Neem x = –1, x = 0 en x = 2.

b Teken de grafiek bij de formule. De x-as loopt van –2 tot 3 en de y-as van –8 tot 7.

c Hoe kun je aan de grafiek zien dat het verband lineair is?

14 Werkblad 3.14

Teken de grafieken bij deze formules in het assenstelsel op het werkblad. t1

a y = 1 2 + 1 4 x b y = 5 c x = –4

Verandering van de grafiek

15 a Teken de grafieken van y = –3 – 2x en y = –3 – 4x in één assenstelsel. De x-as loopt van –4 tot 4 en de y-as van –5 tot 5. t1

b Kies het juiste woord. t1 De grafiek van y = –3 – 2x is minder steil / steiler dan de grafiek van y = –3 – 4x.

c Hoe kun aan de formules zien welke lijn steiler is? t1

16 Kijk nogmaals naar de formule uit opdracht 11. Een ander vliegtuig begint op dezelfde hoogte maar daalt sneller, namelijk met een snelheid van 300 m per minuut. t1

a Moet je in de formule het startgetal of de rc veranderen? Leg uit.

b Stel de nieuwe formule op.

17 a De huurprijs van een zeilboot is € 120,- per dag. Stel een formule op waarmee je de huurkosten kunt berekenen. Gebruik k voor de kosten in euro’s en t voor de tijd in dagen. t1

b Er wordt een verplicht vast bedrag van € 40,gevraagd voor de verzekering. Pas de formule uit opdracht a aan. t2

c Als je een zeilboot met buitenboordmotor huurt, is de huurprijs per dag € 25,- hoger. Pas de formule uit opdracht b aan. t2

18 a De grafiek van y = 5 + x ligt boven de grafiek van y = 2 + x. Leg uit. t2

b De grafieken uit opdracht a snijden elkaar nooit. Leg uit. i

c Stel een formule op van een lijn die de y-as snijdt in (0, –3) en evenwijdig is aan de grafiek van y = 2 + x. i

DOEL → Je leert hoe je een formule opstelt bij een tabel die een lineair verband weergeeft. Ook leer je wat een recht evenredig verband is.

Lineair verband in een tabel

Als een tabel bij een lineair verband hoort, kun je een lineaire formule opstellen.

ɲ De richtingscoëfficiënt bepaal je zo:

ɲ Als de stapgrootte in de bovenste rij 1 is, dan is de richtingscoëfficiënt gelijk aan de stapgrootte in de onderste rij.

ɲ Als de stapgrootte in de bovenste rij niet 1 is, bereken je de richtingscoëfficiënt zo:

rc = stapgrootte onder stapgrootte boven .

ɲ Het startgetal bepaal je zo:

ɲ Als er een 0 in de bovenste rij staat, lees je het startgetal af in de onderste rij onder de 0.

ɲ Als er geen 0 in de bovenste rij staat, kun je het startgetal zo berekenen:

Voorbeeld ▸

Deze tabel laat een lineair verband zien tussen de temperatuur van een bak water en de tijd waarin het water wordt afgekoeld. Bepaal het startgetal.

t (min) 4 10 12 16

T (°C) 15 7,5 5 0

1 Bereken de rc van de tabel.

De stapgrootte in de bovenste rij is niet 1, dus:

rc = stapgrootte onder stapgrootte boven = –7,5 6 = –1,25.

2 Bepaal het aantal stappen naar 0.

Van 4 naar 0 in de bovenste rij is 4 minuten terug, dus 4 stappen naar links.

3 Bereken welk getal er onder de 0 hoort te staan.

In de onderste rij ga je ook 4 stappen naar links.

T (°C) 15 ɲ Het startgetal is 15 + 4 × 1,25 = 15 + 5 = 20. – 1 + 1,25 – 1 + 1,25 – 1 + 1,25 – 1 + 1,25

t (min) 0 1 2 3 4

Recht evenredig verband

Een recht evenredig verband is een bijzonder lineair verband. Voor een recht evenredig verband tussen twee variabelen x en y geldt:

ɲ De bijbehorende lineaire formule is y = ax, met richtingscoëfficiënt a.

ɲ Het startgetal is 0.

ɲ De grafiek is een lijn die door de oorsprong (0, 0) gaat.

ɲ De bijbehorende tabel heeft regelmaat en de nullen staan in dezelfde kolom.

Voorbeelden ▸

1 y = 3x

ɲ De grafiek gaat door de oorsprong.

ɲ rc = 3

ɲ De tabel heeft regelmaat en de nullen staan onder elkaar.

2 Deze tabel hoort bij een lineair verband. Is het verband recht evenredig?

ɲ De tabel hoort bij een lineair verband en heeft dus regelmaat.

ɲ Bepaal het startgetal.

ɲ De tabel heeft regelmaat en de nullen staan in dezelfde kolom, dus het verband is recht evenredig.

Lineair verband in een tabel

19 Hoe bereken je de rc bij een tabel met regelmaat? r

20 Onderstaande tabel hoort bij een infuus. Het verband tussen de tijd in uren en de hoeveelheid vloeistof die uit het infuus loopt, is lineair. t1

tijd (uren) 0 1 2 3

hoeveelheid (dL) 6 5,25 4,5 3,75

a Wat is de stapgrootte in de bovenste rij?

b Wat is de stapgrootte in de onderste rij?

c Wat is het startgetal?

d Stel een formule op bij dit verband.

21 Stel een formule op bij elk van de volgende verbanden. t1

a Het lineaire verband tussen de inhoud van een drinkwatertank en de tijd waarin je de tank leegpompt.

tijd (min) 0 3 7

inhoud (L) 15 000 14 670 14 230

b Het lineaire verband tussen de hoogte van een luchtballon en de tijd die hij stijgt.

tijd (min) 4 9 12

hoogte (m) 76 136 172

22 Onderstaande tabel hoort bij een lineair verband. t1

x –2 0 2 6 12

y 7 3 –1 –9 –21

a Bereken de rc.

b Wat is het startgetal?

c Stel een formule op bij dit verband.

Recht evenredig verband

23 Vul het juiste woord in. r

Een recht evenredig verband is een rechte lijn door de ……… .

24 Deze tabel gaat over het aantal auto’s dat per week gemaakt wordt in een fabriek.

tijd (weken) 0 3 6 9

aantal auto's 0 480 960 1440

a Wat betekent de regelmaat in de tabel? t2

b Hoort er een recht evenredig verband bij deze situatie? Leg uit. t1

c Bereken de rc. t1

d Stel de bijbehorende formule op. t1

25 Voor een recept voor 5 personen heb je 650 mL bouillon nodig.

a Hoeveel mL bouillon heb je nodig voor 1 persoon? t1

b Het verband tussen de hoeveelheid bouillon en het aantal personen is recht evenredig. Leg uit. t2

c Stel een formule op waarmee je de hoeveelheid bouillon kunt berekenen. Neem a voor het aantal mensen. t1

26 a Een lijn met rc = 3 gaat door de oorsprong. Stel de bijbehorende formule op. t2

b Een lijn evenwijdig aan de lijn uit opdracht a gaat door punt (0, 2). Stel de bijbehorende formule op. i

ɲ breinbreker

Neem de tabel over. Vul deze zo in dat hij bij een recht evenredig verband hoort.

a 21 … 182 …

b … 5 26 41

Praktische wiskunde – Melkveebedrijf

DOEL → Je leert hoe je referentiematen toepast op een melkveebedrijf.

In Nederland wordt veel voedsel geproduceerd; veel meer dan wij zelf kunnen eten. Daarom wordt er ook veel voedsel geëxporteerd. Nederland staat zelfs in de top 10 van voedsel-exporterende landen, terwijl Nederland qua oppervlakte maar een klein landje is!

Er is in Nederland dan ook veel kennis over de productie van voedsel, zowel op het gebied van akkerbouw en fruitteelt, als op het gebied van veeteelt, melk en kaas. Bij de productie van melk is het erg belangrijk dat de melkkoeien in goede omstandigheden kunnen leven. Gezonde dieren zorgen voor een hogere productie van melk, en dus voor meer opbrengst. Ook zorgen ze voor minder kosten voor bijvoorbeeld een veearts.

referentiematen:

een melkkoe geeft 22 L melk per dag een melkkoe eet 20 m3 kuilgras per week een melkkoe eet 5 kg krachtvoer per dag

Melkveehouder

In de opleiding tot medewerker veehouderij leer je alles over de verzorging van dieren, zoals kippen, konijnen, varkens, kalveren, paarden, schapen, geiten of rundvee. Als melkveehouder houd je zelf de boekhouding bij, en kun je ook het melkrobotsysteem goed bedienen. Je houdt in de gaten welke werkzaamheden er op de boerderij uitgevoerd moeten worden en bekijkt of je dat zelf kunt doen of iemand moet inhuren. Ook ben je goed op de hoogte van alle milieuregels en wetgeving.

Woorden

lineair verband variabele lineaire formule richtingscoëfficiënt (rc) startgetal recht evenredig verband

Melkveebedrijf

Gebruik voor de opdrachten 27 tot en met 30 de referentiematen op de linkerbladzijde.

27 Werkblad 3.27

a Een boer heeft 112 melkkoeien. Hoeveel liter melk geven deze koeien gemiddeld per dag? t1

b Stel een formule op waarmee je de hoeveelheid melk M per dag kunt berekenen. Neem k voor het aantal koeien. t1

c Teken in het assenstelsel op het werkblad de grafiek bij de formule van opdracht b. Maak eerst een juiste verdeling bij de verticale as. t2

d Welk soort verband is er tussen k en M? t1

e Hoeveel koeien moet je melken om per dag een productie van ongeveer 4000 L te hebben? t1

28 Op een boerderij staat een koeltank van 4000 L voor melk. De inhoud in L die nog over is in de tank kun je berekenen met de formule:

inhoud = 4000 – 22 × k × aantal dagen

Hierin is k het aantal melkkoeien op de boerderij.

a Er zijn 88 melkkoeien op de boerderij. Stel de formule op waarmee je de ruimte in de tank kunt berekenen. t1

b Hoeveel liter past er na 2 dagen nog bij in de tank? t1

c Deze boer moet om de dag de melkkoeltank laten legen. Leg uit waarom. i

d De boer koopt een grotere koeltank. Welk getal in de formule moet je veranderen? Leg uit waarom. t2

Op een andere boerderij staat een koeltank van 7000 L. Deze boer heeft 133 koeien.

e Stel de formule op waarmee de inhoud in L die nog over is in deze tank kan worden berekend. t2

f Vergelijk de formule uit opdracht e met de formule uit opdracht a. Als je de bijbehorende grafieken zou tekenen, welke is dan steiler? t1

29 De hoeveelheid kuilgras die in de winter door de melkkoeien wordt gegeten, kun je berekenen met de formule:

G = 20 × k × aantal weken

Hierin is G de hoeveelheid kuilgras in m3 en k het aantal koeien. t1

a Een boer heeft 96 koeien. Stel de formule op waarmee deze boer de benodigde hoeveelheid kuilgras kan berekenen.

b In de winter eten de koeien 24 weken lang kuilgras. Hoeveel m3 kuilgras heeft de boer nodig voor de winter?

30 Een boer koopt 36 ton krachtvoer voor 96 koeien. Om te berekenen hoeveel krachtvoer hij nog over heeft, gebruikt hij de formule:

V = 36 000 – 480 × aantal dagen

Hierin is V de hoeveelheid krachtvoer in kg. t2

a Waarom is het startgetal in deze formule 36 000?

b Waarom is de rc in deze formule 480?

c Bepaal met behulp van een grafiek na hoeveel dagen het krachtvoer op is. Neem het aantal dagen van 0 tot 100 met een stapgrootte van 10. Neem V van 0 tot 36 000, met een stapgrootte van 4000.

Doelen bereikt?

ɲ Ik weet wat een lineair verband is en wat een recht evenredig verband is. Ook weet ik wat een variabele, het startgetal en de richtingscoëfficiënt in een lineaire formule zijn. r

ɲ Ik kan een lineaire formule opstellen bij een grafiek en een tabel. Ik weet hoe een verandering van het startgetal of van de richtingscoëfficiënt de grafiek van een lineair verband beïnvloedt. t1

ɲ Ik kan in praktijksituaties rekenen met lineaire verbanden en ik kan veranderingen in de situatie doorvoeren in de formule. t2

ɲ Ik begrijp dat formules met dezelfde richtingscoëfficiënt elkaar nooit snijden. i

3.2 Gelijkwaardige formules

DOEL → Je leert rekenen met lineaire formules waarin een deelstreep of haakjes staan. Ook leer je hoe je kunt controleren of formules gelijkwaardig zijn.

Formules met een deelstreep of met haakjes

ɲ In een formule kan een deelstreep staan. De uitkomst van een formule met een deelstreep bereken je met je rekenmachine.

Voorbeelden ▸

1 Als je het aantal dagen d weet, kun je het aantal weken w berekenen met de formule w = d __ 7 . Hoeveel weken zijn 84 dagen?

ɲ Vul d = 84 in de formule in: w = d 7 = 84 7 = 12

ɲ 84 dagen zijn 12 weken.

2 Gegeven is de formule y = x + 8 4 . Bereken y bij x = 20.

ɲ Vul x = 20 in de formule in: y = 20 + 8 4 = 7.

Let op: soms kun je de berekening uit het hoofd doen. Bereken dan eerst de uitkomst boven de deelstreep en deel dit daarna door het getal onder de deelstreep.

ɲ In een formule kunnen haakjes staan. De uitkomst van een formule met haakjes bereken je met je rekenmachine.

Voorbeeld ▸

3 Gegeven is de formule y = 0,5(2x + 6). Teken de grafiek.

ɲ Vul x = –2 in de formule in:

y = 0,5(2 × –2 + 6) = 1. Bereken y op dezelfde manier bij x = 0 en bij x = 5.

Gelijkwaardige formules

ɲ Soms zien formules er verschillend uit, maar zijn hun grafieken gelijk. De formules zijn dan gelijkwaardig.

Voorbeeld 1 ▸

De formules y = 4 – 0,5x en y = –x + 8 2 zijn gelijkwaardig, want alle punten liggen op dezelfde lijn.

x 0 2 6

y = 4 – 0,5x 4 3 1 y = –x + 8 2 4 3 1 2 3 4 5 4 5 6 7 8 2 3 1 1 2 y 1 x O (0, 4) (2, 3) (6, 1) (8, 0)

ɲ Zo controleer je of twee formules gelijkwaardig zijn:

ɲ Maak een tabel met drie rijen en vier kolommen.

ɲ Zet de variabele die je invult in de bovenste rij en kies drie getallen.

ɲ Zet de eerste formule in de middelste rij en de tweede in de onderste rij.

ɲ Bereken voor de beide formules alle uitkomsten.

ɲ Zijn de uitkomsten die onder elkaar staan gelijk?

Dan zijn de formules gelijkwaardig.

Voorbeeld 2 ▸

Zijn de formules y = –4 + 6x en y = 2(3x – 2) gelijkwaardig?

x 0 3 10

y = –4 + 6x –4 14 56

y = 2(3x – 2) –4 14 56

ɲ De uitkomsten die onder elkaar staan, zijn overal gelijk, dus de formules zijn gelijkwaardig.

Formules met een deelstreep of met haakjes

31 Voor een toets kun je maximaal 40 punten behalen.

Het cijfer voor deze toets berekent de docent met de formule:

cijfer = aantal punten 4

Het cijfer wordt afgerond op één decimaal.

a Welk cijfer heb je bij 35 punten? t1

b Neem de bijbehorende tabel over en vul deze in. t1

aantal punten 0 10 20 30 40 cijfer

c Welk soort verband laat de tabel zien? Leg uit. t2

d Hoeveel punten heb je gehaald bij het cijfer 5,5?

Laat zien met een berekening. t2

De docent kan er ook voor kiezen om het cijfer te berekenen met de formule:

cijfer = aantal punten ___________ 40 × 9 + 1

e Maak een tabel bij deze formule met dezelfde getallen als bij opdracht b. t1

f Vergelijk de tabellen bij de opdrachten b en f.

Met welke formule haal je eerder een voldoende?

Leg uit. i

32 Voor een silent disco huur je koptelefoons voor € 3,75 per stuk. De vaste kosten zijn € 16,50.

Om alle kosten k in euro’s inclusief btw te berekenen, gebruik je de formule:

k = 1,21(16,50 + 3,75a)

Hierin is a het aantal koptelefoons dat je huurt.

a Hoeveel betaal je als je 14 koptelefoons huurt? t1

b Neem de bijbehorende tabel over en vul deze in. t1

a 5 12 15 23 30 35

c Laat zien dat de tabel bij een lineair verband hoort. t2

d Je kunt de formule niet gebruiken als a = 0.

Leg uit. i

Gelijkwaardige formules

33 a Vul het juiste woord in. r

Als twee formules gelijkwaardig zijn, dan zijn hun grafieken ......... .

b Hoe kun je aan de tabellen bij opdracht 31 zien dat de formules niet gelijkwaardig zijn? t1

34 Je gaat onderzoeken of de formules y = 15 + 1,5x 3 en y = 5 + 0,5x gelijkwaardig zijn. t1

a Maak een tabel met drie rijen en vier kolommen.

b Zet de variabele x in de eerste rij en kies drie getallen voor x.

c Zet de eerste formule in de middelste rij en de tweede in de onderste rij.

d Bereken voor beide formules alle uitkomsten.

e Zijn de formules gelijkwaardig? Leg uit.

35 Controleer met een tabel of de formules

p = 1 2 (100 – 0,5x) en p = 200 x 4 gelijkwaardig zijn. t1

36 a Laat met een tabel zien dat de formules y = 3 – 2x en y = –2x + 3 gelijkwaardig zijn. t1

b Wat is het startgetal van y = –2x + 3? t2

c Wat is de rc van y = –2x + 3? t1

37 Elke formule in de linker kolom heeft een gelijkwaardige formule in de rechter kolom. Bepaal de gelijkwaardige formules. t2

I y = 1 5 (2x +10)

II y = 0,6x + 4

III y = 1 2 + 2x

ɲ breinbreker

A y = 2(x + 0,25)

B y = 2 + 0,4x

C y = 40 + 6x 10

Stel een lineaire formule op die gelijkwaardig is aan k = 12x 28 4

DOEL → Je leert hoe je variabelen in formules vervangt en hoe je een vergelijking oplost met de balansmethode.

Variabelen in formules vervangen

Soms staan er drie variabelen in een formule.

ɲ Als de waarde van één variabele is gegeven, kun je deze variabele vervangen door dat getal. Daarna kun je de formule soms korter schrijven.

Voorbeelden ▸

1 Het huren van een sup kost € 4,50 per persoon per uur. Je kunt de kosten in euro’s berekenen met de formule: kosten = 4,50 × a × t

Hierin is a het aantal personen en t het aantal uur. Je gaat 4 uur suppen met een groep vrienden. Stel de formule op waarmee je de kosten kunt berekenen.

ɲ t = 4

ɲ kosten = 4,50 × a × 4 = 4,50 × 4 × a = 18a

ɲ Als één variabele de uitkomst van een andere formule is, kun je soms die formules samenvoegen

2 Voor de totale kosten TK in euro’s voor het huren van een feestzaal met dj geldt de formule:

TK = 45 + 30u + b

Hierin is u het aantal uur en b het bedrag in euro’s dat de dj vraagt. Het bedrag b dat de dj vraagt voor u uur bereken je met de formule b = 65 + 55u. Geef de formule om de totale kosten in één keer te berekenen.

ɲ TK = 45 + 30u + b

b = 65 + 55u

ɲ Samenvoegen geeft:

TK = 45 + 30u + 65 + 55u

= 45 + 65 + 30u + 55u

= 110 + 85u

ɲ TK = 110 + 85u

Let op: als je formules samenvoegt, neem je de gelijksoortige termen in die formules samen.

45 en 65 zijn gelijksoortig: 45 + 65 = 110

30u en 55u zijn gelijksoortig: 30u + 55u = 85u

110 en 85u zijn niet gelijksoortig: 110 + 85u kan niet korter

Balansmethode

ɲ De balansmethode gebruik je om een vergelijking op te lossen. Je gebruikt omgekeerde bewerkingen om de oplossing te berekenen.

ɲ De balansmethode gebruik je als je

ɲ de uitkomst van een formule weet en wilt berekenen welk getal je moet invullen om deze uitkomst te krijgen;

ɲ wilt berekenen bij welk getal de uitkomsten van twee formules gelijk zijn.

Voorbeelden ▸

1 De winst W in euro’s van een bedrijf wordt berekend met de formule W = –400 + 25a, waarin a het aantal verkochte producten is. Hoeveel producten zijn er verkocht bij een winst van € 250,-?

ɲ Vergelijking opstellen en oplossen:

250 = –400 + 25a

650 = 25a 26 = a

ɲ Er zijn 26 producten verkocht.

2 Gegeven zijn de formules y = 500 – 2t en y = 800 – 5t. Bij welk getal zijn de uitkomsten van deze formules gelijk?

ɲ Vergelijking opstellen en oplossen:

500 – 2t = 800 – 5t –2t = 300 – 5t 3t = 300 t = 100

500 500 + 5t : 3 + 5t : 3

ɲ De oplossing is t = 100. Dus als t = 100, dan zijn de uitkomsten van de formules gelijk.

ɲ Controle: Vul t = 100 in beide formules in:

ɲ y = 500 – 2 × 100 = 300

ɲ y = 800 – 5 × 100 = 300 + 400 + 400 : 25 : 25

Variabelen in formules vervangen

38 Het kost € 15,50 per persoon per heat om te karten. Het totale bedrag b in euro’s dat je moet betalen om te karten, kun je berekenen met de formule: b = 15,50 × aantal mensen × aantal heats

a Je wilt 3 heats karten. Stel de formule op waarmee je het totale bedrag kunt berekenen. t1

b Hoeveel moet je betalen als de groep uit

7 personen bestaat? t1

c Hoeveel mensen kunnen er maximaal mee als je 2 heats wilt karten en niet meer dan € 300,wilt betalen? t2

39 Als je een plank met lengte L in cm in even brede latjes zaagt, kun je de breedte b in cm van die latjes berekenen met de formule b = L a . Hierin is a het aantal latjes dat je zaagt. t1

a Je zaagt 40 latjes. Stel de bijbehorende formule op.

b Hoe breed zijn de 40 latjes als de plank 1,2 m is?

40 De omtrek van een cirkel kun je berekenen met de formule omtrek = π × d. Hierin is d de diameter van de cirkel. De diameter kun je berekenen met de formule d = 2 × straal. t1

a Met welke formule kun je de omtrek berekenen als de straal gegeven is?

b Bereken de omtrek van een cirkel met een straal van 7 cm. Rond af op één decimaal.

41 Voor een excursie huur je een bus met chauffeur. De kosten k in euro’s bereken je met de formule: k = 60 + 20u + kosten chauffeur De kosten van de chauffeur bereken je met de formule: kosten chauffeur = 15 + 45u Hierin is u het aantal uren.

a Geef de formule om de kosten k in één keer te berekenen. t2

b Bereken de kosten als je de bus 7 uur huurt. t1

Balansmethode

42 Los op. t1

a 4p = 32 c 21 = 7a e 26 = 6 – 2k

b –3x = 12 d 5x + 10 = 55 f 11s – 5 = 59 + 3s

43 Een waterkoeler bevat 40 L water. Als je flessen met een inhoud van 600 mL vult met water uit de koeler, kun je de inhoud in L van de waterkoeler berekenen met de formule i = 40 – 0,6f.

a Leg uit waarom er 0,6 in de formule staat. t2

b Er zit nog 20 L in de waterkoeler. Hoeveel flessen zijn gevuld? Stel een vergelijking op bij deze situatie. t1

c Los de vergelijking op met de balansmethode. t1

44 Je hebt bijles nodig.

a Bijlesstudent A vraagt € 6,25 per uur. Stel een formule op waarmee je kunt berekenen hoeveel je aan bijlesstudent A moet betalen. t1

b Bijlesstudent B vraagt 5 euro per uur en een vast bedrag van 4 euro voor de reistijd per bijles. Stel een formule op waarmee je kunt berekenen hoeveel je aan bijlesstudent B moet betalen. t1

c Stel een vergelijking op en bereken hiermee bij welk aantal uren de studenten even duur zijn. t2

d Je hebt een bijles van 2 uur nodig. Voor welke bijlesstudent kies je? t2

45 De kosten in euro’s van chalet A kun je berekenen met A = 25 + 89n. De kosten van chalet B kun je berekenen met B = 61 + 80n. Bij welk aantal nachten zijn de vakantiehuizen even duur? t2

46 Gegeven zijn de formules y = 5x + 4 en y = x + 44.

a Los de vergelijking 5x + 4 = x + 44 op. t1

b Het snijpunt van de grafieken van y = 5x + 4 en y = x + 44 is (10, 54). Leg uit. i

Praktische wiskunde – Fruitteelt en akkerbouw

DOEL → Je leert rekenen met formules in de fruitteelt en de akkerbouw.

In Nederland worden vooral fruitsoorten als appels, peren, aardbeien, bessen en kersen geteeld. Dit fruit groeit goed in het Nederlandse klimaat.

Op de Nederlandse akkers groeien aardappelen, allerlei soorten groenten, en graansoorten, zoals tarwe, gerst, haver en maïs. Naast teelt in de volle grond (buiten) wordt er ook van alles geteeld in kassen (binnen). Hierin kunnen gewassen worden verbouwd die meer warmte nodig hebben.

Boeren gebruiken veel moderne technieken in de fruitteelt en de akkerbouw. Fruittelers en akkerbouwers ontvangen bijvoorbeeld via een app regelmatig satellietbeelden die laten zien hoe hun gewassen zijn gegroeid en hoe de bodemgesteldheid is.

In plaats van dat er over een hele akker bestrijdingsmiddelen worden gesproeid, kunnen ze eerst een drone over de akker laten vliegen, die herkent op welke plekken een ziekte of schimmel heerst. Daarna wordt er alleen op die plekken met een bestrijdingsmiddel gespoten.

Teler

Als je een opleiding tot teler hebt gevolgd, kun je aan het werk bij groente- en fruittelers, bloemkwekers, boomkwekers en akkerbouwers. Je volgt de vakken Nederlands, Engels, wiskunde en scheikunde. Tijdens het praktische gedeelte leer je hoe je gewassen, zoals bijvoorbeeld appels, peren of tarwe, zo goed mogelijk kunt laten groeien. Je leert hoe je moet oogsten en hoe je gewassen beschermt. Je zit vaak met je handen in de grond, zowel in de buitenlucht als in de kas.

1 ha = 1 hm2

1 ton = 1000 kg

Fruitteelt en akkerbouw

47 Een akkerbouwer verbouwt tarwe op 37 ha grond.

De opbrengst in euro’s per jaar wordt berekend met de formule:

opbrengst = 37 × prijs in euro’s/kg × aantal kg/ha

De verwachte hoeveelheid tarwe voor het komende jaar is 8,7 ton per ha.

a Bereken de verwachte hoeveelheid tarwe in kg per ha. t1

b Vul je antwoord bij opdracht a in de formule in en schrijf de formule zo kort mogelijk. t1

c Wat is de opbrengst als de prijs voor 1 kg tarwe 18 cent is? t2

De akkerbouwer heeft een minimale opbrengst nodig van € 55 000,-. Hij wil berekenen welke prijs hij per kg tarwe moet vragen.

d Stel de bijbehorende vergelijking op. t1

e Los de vergelijking op met de balansmethode. t1

f Leg uit wat je in opdracht e hebt berekend. t2

48 Een fruitteler heeft een appelboomgaard. De opbrengst in euro’s wordt berekend met de formule: opbrengst = hoeveelheid appels in kg × prijs in euro/kg

a Stel de formule op als de verkoopprijs 49 cent per kg is. t1

De appelboomgaard van de fruitteler levert 43 604 kg appels op.

b Bereken de opbrengst in euro’s van deze fruitteler. t1

c De kosten van de appeloogst zijn berekend op € 424,45 per ton appels. Stel een formule op waarmee je de kosten kunt berekenen. Neem voor de variabele die je invult de hoeveelheid appels in kg. t1

De winst van de fruitteler kun je berekenen met de formule winst = opbrengst – kosten

d Stel de formule voor de winst op. Schrijf de formule zo kort mogelijk. t2

49 De fruitteler heeft ook een perenboomgaard van 8 ha. Voor de oogst moet hij 4 maanden lang seizoenarbeiders inhuren. Om te berekenen hoeveel mensen hij nodig heeft, gebruikt hij de formule:

aantal mensen = opbrengst in kg ___________ 500d

Hierin is d het aantal dagen waarin de fruitteler de hele perenoogst wil binnenhalen.

a De fruitteler verwacht een opbrengst van ongeveer 468 ton peren. Hij wil de oogst in maximaal 84 dagen binnenhalen. Hoeveel mensen moet hij inhuren? t1

De fruitteler kan maar 8 mensen vinden. Hij wil weten hoeveel dagen hij nu met de oogst bezig is.

b Stel de bijbehorende vergelijking op. t1

c Los de vergelijking op met inklemmen. i

Woorden

deelstreep gelijkwaardige formules formules samenvoegen gelijksoortige termen balansmethode vergelijking omgekeerde bewerking oplossing

Doelen bereikt?

ɲ Ik weet wat gelijkwaardige formules zijn. r

ɲ Ik kan berekeningen maken met formules waarin een deelstreep of haakjes staan, en kan bepalen of formules gelijkwaardig zijn. Ik kan de balansmethode gebruiken om vergelijkingen op te lossen. Ik kan een nieuwe formule opstellen door een variabele te vervangen door een getal of door twee formules samen te voegen. t1

ɲ Ik kan in praktijksituaties vragen beantwoorden met behulp van een formule of een vergelijking. t2

ɲ Ik begrijp dat de x-coördinaat van het snijpunt van twee lijnen de oplossing van de bijbehorende vergelijking is. i

Kwadratisch verband en machtsverband

DOEL → Je leert wat een kwadratisch verband is en dat een parabool een top heeft en lijnsymmetrisch is.

Kwadratisch verband

ɲ In de kwadratische formule y = –2x2 + 3x wordt de variabele x gekwadrateerd. Een formule met een kwadraat hoort bij een kwadratisch verband.

ɲ De grafiek bij een kwadratisch verband heet een parabool. Deze teken je zo:

1 Vul de tabel in.

2 Teken een assenstelsel bij de tabel.

3 Zet de punten uit de tabel in het assenstelsel en teken een vloeiende kromme door de punten.

Voorbeeld ▸

1 Teken de grafiek van de kwadratische formule

y = x2 + 2x – 1.

Top en symmetrieas van een parabool

ɲ Elke parabool heeft een top.

ɲ De top van een parabool is ɲ bij een dalparabool het laagste punt; ɲ bij een bergparabool het hoogste punt.

Voorbeeld 1 ▸

ɲ Wanneer de factor voor de variabele in het kwadraat positief is, is de parabool een dalparabool.

ɲ Wanneer de factor voor de variabele in het kwadraat negatief is, is de parabool een bergparabool.

Voorbeelden ▸

ɲ De coördinaten van de top van dalparabool k zijn (2, –1).

ɲ De coördinaten van de top van bergparabool l zijn (–1; 2,5).

ɲ Een figuur heet lijnsymmetrisch als de twee helften bij dubbelvouwen precies op elkaar passen. De vouwlijn heet de symmetrieas.

ɲ Elke parabool is lijnsymmetrisch.

ɲ De symmetrieas van een parabool is een verticale lijn door de top.

ɲ Bij de symmetrieas hoort de formule: x = ‘x-coördinaat van de top’.

Voorbeeld 2

ɲ De coördinaten van de top zijn (1; 4,5).

ɲ De formule van de symmetrieas is x = 1.

Kwadratisch verband

50 Vul in. r

Wanneer de factor voor de variabele in het kwadraat

......... is, is de parabool een bergparabool.

51 Werkblad 3.51

Gegeven is de formule b = a2 + 4a. t1

a Laat met een berekening zien dat a = –3 de uitkomst b = –3 geeft.

b Vul de tabel op het werkblad in.

c Teken de grafiek in het assenstelsel op het werkblad.

d Hoe heet de grafiek die je getekend hebt?

52 Horen de volgende formules bij een bergparabool of bij een dalparabool? t1

a y = –3x2 + 5x – 3 b y = 4x – 4x2 c y = –x2

53 Werkblad 5.53

Een tennisbal volgt de baan van een parabool die je kunt beschrijven met de formule:

h = –0,015a2 + 0,24a + 0,54

Hierin is h de hoogte in m van de bal en a de afstand in

m die de bal horizontaal heeft afgelegd.

a Vul de tabel op het werkblad in. t1

b Wat betekenen a = 0 en de bijbehorende uitkomst in deze situatie? t2

c Teken in het assenstelsel op het werkblad de grafiek bij de formule. Maak eerst een juiste verdeling bij de verticale as. t1

d Geef het hoogste punt van de bal aan op de parabool. Hoe hoog is de bal dan? t1

e Wat is de horizontale afstand die de bal bij opdracht d heeft afgelegd? t2

f Op welke horizontale afstand raakt de bal de grond? t2

g Het net heeft een hoogte van 1,1 m en hangt op een horizontale afstand van 10 m. Hoeveel cm is er tussen de bal en het net? t2

Tip: teken het net in het assenstelsel.

Top en symmetrieas van een parabool

54 a Geef de coördinaten van de toppen van de parabolen hiernaast. t1

b Geef van beide parabolen de formule van de symmetrieas. t1

c Vul in. r De top van een dalparabool is het ……… punt van de parabool.

55 Werkblad 3.55

Op het werkblad is een deel van een parabool getekend. De coördinaten van de top zijn (5, –10). t1

a Welke formule hoort bij de symmetrieas?

b Teken op het werkblad de top en de symmetrieas in het assenstelsel.

c Teken de grafiek verder af.

56 Hieronder zie je een boogbrug. De hoogte van de boog kun je berekenen met de formule h = –0,01x2 + x.

Hierin is h de hoogte in m boven het wegdek en x de afstand in m op de brug.

a Bij welke afstand op de brug bevindt zich de top van de boog? t1

b Hoe hoog is de boog maximaal? t2

c Het wegdek van de brug bevindt zich 20 m boven het water. Schrijf de formule op voor de hoogte van de boog ten opzichte van het wateroppervlak. i

DOEL → Je leert wat een machtsverband is en dat de grafiek van een machtsverband lijnsymmetrisch of draaisymmetrisch is.

Machtsverband

ɲ In de formule y = 3x6 staat een macht van x. Een

formule met een macht hoort bij een machtsverband.

ɲ De grafiek bij een machtsverband is een vloeiende kromme. Deze teken je zo:

1 Vul de tabel in.

2 Teken een assenstelsel bij de tabel.

3 Zet de punten uit de tabel in het assenstelsel en teken een vloeiende kromme door de punten.

Voorbeeld ▸

Gegeven is de formule y = 0,5x3. Teken de bijbehorende grafiek.

Lijnsymmetrisch of draaisymmetrisch

Een figuur is draaisymmetrisch als de figuur na ronddraaien over minder dan 360° precies op zichzelf past. Het punt waar je omheen draait, heet het draaipunt

ɲ Wanneer de exponent in een machtsverband een even getal is, is de grafiek bij de formule lijnsymmetrisch.

ɲ Wanneer de exponent in een machtsverband een oneven getal is, is de grafiek bij de formule draaisymmetrisch over 180°.

Voorbeelden ▸

1 y = 0,1x4 – 5

exponent 4 is even ɲ de grafiek is lijnsymmetrisch

2 en 3

ɲ Een kwadratisch verband is een machtsverband met exponent 2.

De y-waarden in de bijbehorende tabel laten ook de lijnsymmetrie zien:

2 y = 0,2x5 exponent 5 is oneven ɲ de grafiek is draaisymmetrisch

De y-waarden in de bijbehorende tabel laten ook de draaisymmetrie zien:

Machtsverband

57 Werkblad 3.57

Gegeven is de formule y = 0,2x3 – 4.

a Laat met een berekening zien dat x = –3 de uitkomst y = –9,4 geeft. t1

b Vul de tabel op het werkblad in. t1

c Vul in. r

De grafiek bij een machtsverband is een

d Teken de grafiek in het assenstelsel op het werkblad. t1

58 Werkblad 3.58

Hoe ver het uiteinde van een duikplank doorbuigt als iemand met een gewicht van 70 kg erop staat, bereken je met de formule D = 0,028l3 .

Hierin is D de doorbuiging in cm en l de lengte van de duikplank in m. t1

a Hoeveel cm buigt de duikplank door als deze 2 m lang is?

b Vul de tabel op het werkblad in.

c Teken in het assenstelsel op het werkblad de grafiek bij de formule. Maak eerst een juiste verdeling bij de verticale as.

59 Het vermogen P in watt dat een bepaald type windturbine levert, kun je bij benadering berekenen met de formule P = 0,45 × A × v3 .

Hierin is A de oppervlakte in m2 van de cirkel die de rotorbladen maken als ze ronddraaien en v de windsnelheid in m/s.

a Bereken de oppervlakte A van de windturbine hiernaast. Rond af op één decimaal. t2

Lijnsymmetrisch of draaisymmetrisch

60 In het assenstelsel hieronder zie je de grafieken van vier machtsverbanden.

a Welke grafieken zijn lijnsymmetrisch? Geef bij deze grafieken de formule van de symmetrieas. t1

b Welke grafieken zijn draaisymmetrisch? Geef bij deze grafieken de coördinaten van het draaipunt. t1

c Welke grafieken hebben een oneven exponent? t2

d Welke formule hoort bij welke grafiek? t2

Kies uit:

y = x2 + 6x + 4

y = –x4 + 10

y = (x – 4)5

y = –x3

61 In de tabel staan enkele y-waarden bij een machtsverband ingevuld. t2

a Neem de tabel over en vul deze verder in.

x –5 –3 –1 0 1 3 5

y –3125 –1 0 243

b Heeft de grafiek bij de tabel een top of een draaipunt? Leg uit.

c Hoort de tabel bij een machtsverband met een even of een oneven exponent? Leg uit.

ɲ breinbreker

b Stel de formule op waarmee je het vermogen van deze turbine kunt berekenen. t1

c Bereken het vermogen bij een windsnelheid van 6 m/s. Rond af op één decimaal. t1

d Het waait twee keer zo hard. Hoeveel keer zo veel is het vermogen dan? i 25 m

De oppervlakte O van deze vlieger kun je berekenen met de formule O = 0,6d2

Stel de formule op voor de oppervlakte van een vlieger die 4 keer zo groot is.

d 1,2 × d

Praktische wiskunde – Sport en bewegen

DOEL → Je leert hoe je een wedstrijdprogramma voor een sporttoernooi maakt.

Als je regelmatig sport, ben je gezonder, voel je je beter en leef je langer. In Nederland kun je veel soorten sport beoefenen bij een sportvereniging. Bij sportverenigingen zorgen vrijwilligers voor het geven van trainingen, het fluiten van wedstrijden en de barbezetting. Je kunt ook kiezen voor een individuele sport, zoals joggen, wielrennen of freerunnen. Of je wordt lid van een sportschool. Je kunt dan zelf beslissen wanneer je gaat sporten. Ook als je individueel sport, is het leuk om mee te doen aan een sportevenement: een marathon, een wielerwedstrijd of een mudrun.

Sport en bewegen

Na het volgen van een opleiding sport en bewegen, weet je hoe je een sportevenement organiseert. Je kunt ook sportlessen bedenken en geven. Omdat je veel over de werking van spieren hebt geleerd, kun je bijvoorbeeld gehandicapte of oudere mensen helpen om goed te bewegen. Je kunt op veel verschillende plekken aan het werk, bijvoorbeeld bij een fitnesscentrum, een sportvereniging, een zwembad, een verzorgingshuis, een vakantiepark, of zelfs een gevangenis.

Sport en bewegen

62 Voor een voetbaltoernooi heb je 8 teams gemaakt.

Elke team speelt één keer tegen elk ander team. Het totale aantal wedstrijden W kun je berekenen met de formule:

W = n 2 n 2 Hierin is n het aantal teams.

a Hoeveel wedstrijden moet je inplannen? t1

Er passen 2 velden in de sporthal. Elke wedstrijd duurt 15 minuten. Je plant na elke wedstrijd ook 5 minuten in voor het opstellen van de nieuwe teams. Je kunt de sporthal van 13:00 uur tot 16:00 uur huren.

b Passen alle wedstrijden in de tijd die je hebt? t2

Je besluit om de 8 teams in 2 poules van 4 teams in te delen. In de finale spelen de nummers 4 van beide poules tegen elkaar, de nummers 3, enzovoort.

c Hoeveel wedstrijden moet je nu inplannen? t1

d Passen alle wedstrijden in de tijd die je hebt? t2

63 Werkblad 3.63

Je wilt het wedstrijdprogramma in de sporthal ophangen. Op het werkblad is al een begin gemaakt. Je wilt niet dat een team twee wedstrijden achter elkaar moet spelen, dus in ronde 1 spelen de teams van poule 1 op beide velden en in ronde 2 spelen de teams van poule 2 op beide velden.

a Neem de letters A tot en met H voor de 8 teams en vul de poulewedstrijden op het werkblad in. t2

Bij het noteren van de finalewedstrijden gebruik je ‘poule 1 nr.4’ tegen ‘poule 2 nr.4’, enzovoort. Tijdens de wedstrijd van de nummers 1 worden geen andere wedstrijden gespeeld.

b Vul de finalewedstrijden op het werkblad in. t2

c Hoeveel ronden duurt het voetbaltoernooi in totaal? t1

d Hoe lang moet een team maximaal wachten tussen twee wedstrijden? i

64 Wie niet hoeft te spelen, kan voor zijn of haar team extra punten behalen door een bal door een hoepel te schoppen. De hoepel heeft een diameter van 50 cm en hangt op een afstand van 10 m. De onderkant van de hoepel bevindt zich 2 m van de grond. Drie spelers wagen een poging. De baan die hun bal aflegt, kun je beschrijven met de volgende formules:

A h = –0,1a2 + 1,25a + 0,65

B h = –0,03a2 + 0,51a

C h = –0,2a2 + 2,2a Hierin is h de hoogte van de bal in m en a de horizontale afstand die de bal aflegt. i

a Geef voor deze spelers aan of hun bal door de hoepel gaat. Gebruik grafieken.

b Wie van deze spelers schopt de bal niet vanaf de grond?

c Wie van deze spelers schopt de bal tegen de onderkant van de hoepel?

Woorden

kwadratische formule top kwadratisch verband lijnsymmetrie parabool symmetrieas vloeiende kromme machtsverband dalparabool draaisymmetrisch bergparabool draaipunt

Doelen bereikt?

ɲ Ik weet wat een kwadratisch verband en een machtsverband zijn. Ook weet ik dat de grafiek van een kwadratisch verband een parabool heet. r

ɲ Ik kan kenmerken van een grafiek bij een kwadratisch en een machtsverband afleiden uit de formule en de grafiek tekenen. Ik kan bij een parabool de coördinaten van de top aflezen en de formule van de symmetrieas opstellen. t1

ɲ Ik kan bij berekeningen in praktijksituaties mijn kennis over kwadratische en machtsverbanden gebruiken. t2

ɲ Ik begrijp hoe ik aanpassingen in een situatie moet doorvoeren in formules en vergelijkingen. i

3.4 Wortelverband en periodiek verband

DOEL → Je leert wat een wortelverband is en dat je niet alle getallen kunt invullen in een wortelformule.

Wortelverband

ɲ In een wortelformule zoals y = √ x staat de variabele x onder het wortelteken. Er is dan een wortelverband tussen de variabelen.

ɲ De grafiek van een wortelverband is een vloeiende kromme met een randpunt. Bij het randpunt begint of stopt de grafiek.

Voorbeeld ▸

Gegeven is de formule y = 2√ x . Teken de bijbehorende grafiek en schrijf de coördinaten van het randpunt op.

ɲ Volg het stappenplan voor het tekenen van een vloeiende kromme.

ɲ Het randpunt is (0, 0).

ɲ Onder het wortelteken staat soms een berekening, bijvoorbeeld y = √ x − 3 . De berekening onder het wortelteken voer je als eerste uit. Als je rekenmachine de wortel niet automatisch verlengt, typ je de berekening die onder de wortel staat tussen haakjes.

Randpunt van een wortelverband

ɲ In een wortelformule kun je niet alle getallen invullen, want de wortel van een negatief getal bestaat niet.

Voorbeeld 1 ▸

Gegeven is de formule y = –3√ x . Als je x = –2 invult in de formule, krijg je y = –3√ 2 . Maar de wortel van –2 bestaat niet, dus de formule heeft geen uitkomst voor x = –2.

ɲ Het getal dat de waarde onder het wortelteken 0 maakt, is de x-coördinaat van het randpunt. Dit getal bepaal je met behulp van de balansmethode.

Voorbeeld 2 ▸

Gegeven is de formule y = √ x + 3 – 1. Bepaal de coördinaten van het randpunt.

ɲ Los de vergelijking x + 3 = 0 op met de balansmethode.

x + 3 = 0 x = –3

ɲ x = –3 maakt de waarde onder het wortelteken 0, dus de x-coördinaat van het randpunt is –3.

ɲ Om de y-coördinaat van het randpunt te berekenen, vul je de x-coördinaat van het randpunt in de formule in.

ɲ x = –3 invullen geeft y = √ 3 + 3 – 1 = 0 – 1 = –1.

ɲ De coördinaten van het randpunt zijn (–3, –1).

ɲ De grafiek ziet er zo uit: 3 3

x –3 –2 –1 0 1 2 3 y –1 0 0,4 0,7 1 1,2 1,4

Wortelverband

65 In een vlak landschap kun je bij helder weer ver kijken.

De kijkafstand in km is afhankelijk van je ooghoogte

in m. Je berekent de kijkafstand met de formule kijkafstand = 3,56√ ooghoogte .

a Waarom is dit geen lineair verband? t1

b Laat met een berekening zien dat bij een ooghoogte van 4 m de kijkafstand 7,12 km is. t1

c Neem de tabel over en vul deze in. Rond af op één decimaal. t1

ooghoogte (m) 0 2 4 6 8 10 kijkafstand (km)

d Teken de grafiek bij de formule. t1

e Geef de coördinaten van het randpunt. t1

f Wat is de ooghoogte bij een kijkafstand van 9 km?

Laat in de grafiek zien hoe je aan je antwoord komt. t2

g Een boswachter staat bij helder weer op een uitkijktoren. Haar ooghoogte is 175 cm en de toren is 15 m hoog. Hoeveel km ver kan ze kijken? i

66 Wat is het randpunt van een grafiek? r

67 Gegeven is de formule h = 3√ ____ t + 2 . t1 t –2 –1 0 1 2 3 4

a Laat met een berekening zien dat t = 2 de uitkomst h = 6 geeft.

b Neem de tabel over en vul deze in. Rond waar nodig af op één decimaal.

c Teken de grafiek bij de tabel.

d Geef de coördinaten van het randpunt.

68 De straal s in cm van het grondvlak van een cilinder kun je berekenen met de formule:

s = √ inhoud π × hoogte

Hierin is de inhoud in cm3 en de hoogte in cm.

a Bereken de straal van het grondvlak bij een inhoud van 1500 cm3 en een hoogte van 14 cm. Rond af op een geheel getal. t1

Een fabrikant van hondenvoer wil cilindervormige blikken laten maken met een inhoud van 0,4 L.

b Stel de formule op om de straal s van deze blikken te berekenen. t2

c Bereken de straal van een blik als de hoogte 12 cm is. Rond af op één decimaal. t1

d Het is niet handig om voor de hoogte van dit blik 25 cm te nemen. Leg uit. i

Randpunt van een wortelverband

69 Gegeven is de formule y = 2 + 3√ ____ x + 4

a x = –10 kun je niet invullen in de formule. Waarom niet? t1

b Bepaal de x-coördinaat van het randpunt. t1

c Bepaal de y-coördinaat van het randpunt. t1

d Wat zijn de coördinaten van het randpunt als je de grafiek 5 stappen omhoog schuift? i

70 Wat zijn de randpunten van de grafieken van de volgende formules? t2

a y = 7√ x

b y = 7√ x + 4

ɲ breinbreker

c y = 7√ x 3

d y = 7√ x 3 + 2

De volgende punten zijn elk een randpunt van een wortelverband. Stel bij elk van de randpunten een wortelformule op.

a (0, 0)

b (0, 6) c (6, 0) d (6, 6)

Periodiek verband

Een grafiek die zichzelf steeds herhaalt, hoort bij een periodiek verband.

ɲ Een periode is de tijdsduur waarna de grafiek zichzelf herhaalt.

ɲ Het minimum is de laagste waarde die bereikt wordt.

ɲ Het maximum is de hoogste waarde die bereikt wordt.

ɲ De evenwichtsstand ligt precies tussen het minimum en het maximum in en bereken je met: minimum + maximum _______________ 2

ɲ De amplitude is het verschil tussen het maximum en de evenwichtsstand en bereken je met: maximum – evenwichtsstand

Voorbeeld ▸

Hieronder zie je de grafiek van een periodiek verband. 4 5 12 15 18 6

ɲ periode = 12

ɲ minimum = 1; maximum = 5

ɲ evenwichtsstand = 1 + 5 2 = 6 2 = 3

ɲ amplitude = 5 – 3 = 2

Frequentie van een periodiek verband

ɲ De frequentie is het aantal periodes per tijdsduur, bijvoorbeeld het aantal keer per seconde of het aantal keer per dag.

ɲ De frequentie bepaal je zo:

1 Bepaal de periode van de grafiek.

2 Bereken de frequentie met: tijdsduur : periode

Let op: bij het berekenen van de frequentie moeten de tijdsduur en de periode in dezelfde eenheid staan.

Voorbeeld ▸

Deze grafiek hoort bij de hartslag van een patiënt met een regelmatige hartslag. Bepaal de frequentie per minuut.

1 periode = 0,9 s

2 1 minuut = 60 s

60 : 0,9 = 66,66...

ɲ De frequentie is ongeveer 67 per minuut. Dus de patiënt heeft ongeveer 67 hartslagen per minuut.

Periodiek verband

71 Hoe bereken je de amplitude van een periodieke grafiek? r

72 a Welke van deze grafieken hoort bij een periodiek verband? Leg uit. t1

b Bepaal de periode van het periodieke verband. t1

73 a Wat is de periode van onderstaande grafiek? t1

b Hoeveel periodes zijn er getekend? t2

c Geef het minimum en het maximum. t1

d Bereken de evenwichtsstand. t1

e Bereken de amplitude. t1

74 Werkblad 3.74

In de grafiek op het werkblad zie je de hoogte van het uiteinde van een wiek van een windmolen die draait.

a Bereken de evenwichtsstand en de amplitude. t1

b Teken de grafiek verder tot 30 seconden. t2

c Op welke hoogte is het uiteinde van de wiek na 1 minuut? t2

d Wat gebeurt er met de periode, met het minimum en met het maximum van de grafiek als het harder waait? i

Frequentie van een periodiek verband

75 In het assenstelsel hieronder zie je twee soorten ademhalingen van een persoon.

a Wat is het minimum van de grafiek die bij de diepe ademhaling hoort? t1

b Wat betekent het minimum in deze situatie? t2

c Wat is de periode van de grafiek die bij de diepe ademhaling hoort? t1

d Bereken de ademfrequentie van de diepe ademhaling per minuut. Rond af op een geheel getal. t1

e Wat betekent je antwoord bij opdracht d in deze situatie? t2

f Bereken de ademfrequentie van de diepe ademhaling per uur. t1

g Bereken de ademfrequentie van de gewone ademhaling per minuut. t2

h Hoeveel mL lucht adem je in per uur bij een diepe ademhaling? t2

76 In deze grafiek zie je de trillingen van een geluidsgolf met de tijd in milliseconde (ms).

1 ms = 10-3 s. Bereken de frequentie per seconde. i

Praktische wiskunde – Nederland waterland

DOEL → Je leert hoe je wortelverbanden en periodieke verbanden kunt toepassen in situaties met water.

Nederland is een waterland. We hebben een lange kust langs de Noordzee en we hebben veel rivieren en meren. Aan de Noordzeekust bevindt zich de haven van Rotterdam; de grootste haven van Europa. Maar er zijn ook havens in bijvoorbeeld Amsterdam, Breskens en Harlingen. Als een schipper in een haven wil afmeren, moet hij rekening houden met de getijden: als het eb is, is het water veel lager dan bij vloed. Deze getijden zijn bij benadering een periodieke beweging met een periode van 12 uur.

Sluizen en bruggen

Er zijn ook veel rivieren en meren in Nederland, die via kanalen met elkaar zijn verbonden. Omdat de hoogte van het water in de ene rivier anders is dan in de andere rivier, zijn er in deze kanalen vaak sluizen gebouwd. Bruggen over rivieren vormen vaak een hindernis voor schepen: als het water hoog staat, kan een schip niet onder de brug door en moet deze worden geopend.

Woorden wortelformule minimum wortelverband maximum randpunt evenwichtsstand

periodiek verband amplitude periode frequentie

Bootman/-vrouw

Als bootman/-vrouw leer je hoe schepen in een haven of sluis het beste kunnen worden gemanoeuvreerd en aangelegd. Soms help je daarmee vanaf de wal en soms ga je aan boord van het schip. Je leert verschillende soorten schepen kennen, zoals bijvoorbeeld werkvaartuigen die nodig zijn om reparaties aan een schip of aan de kade uit te voeren. Je leert hoe je personen, goederen en drijvende objecten kunt vervoeren, en ook hoe je duikers kunt begeleiden bij duikwerkzaamheden.

Zeesluis IJmuiden

Nederland waterland

77 Om te berekenen hoe veel minuten een schip in de zeesluis van IJmuiden moet liggen, kun je de volgende formule gebruiken:

tijd (minuten) = wateroppervlakte × √ h 1220

Hierin is wateroppervlakte de oppervlakte van de sluis in m2, en h het aantal meter dat het water zakt. De zeesluis bij IJmuiden is 500 m lang en 70 m breed. t1

a Wat is de wateroppervlakte van deze sluis?

b Stel de formule voor de tijd in minuten op bij deze wateroppervlakte.

Het hoogteverschil van het water is afhankelijk van de getijden.

c Hoe lang moet het schip in de sluis liggen als het water 1,1 m moet zakken?

d Hoe lang moet het schip in de sluis liggen als het water 2,25 m moet zakken?

78 Werkblad 3.78

Op het werkblad zie je een periodieke grafiek van de waterstand van een rivier op een maandag.

a Wat is de maximale waterstand in cm van het water ten opzichte van NAP? t1

b Op welke tijdstippen wordt deze maximale waterstand op maandag bereikt? t1

c Teken op het werkblad de evenwichtsstand van de periodieke grafiek. t1

De doorvaarthoogte van een brug over deze rivier is 9 m ten opzichte van de evenwichtsstand. Een schip steekt 9,10 m boven het water uit.

d Geef in de grafiek op het werkblad aan wanneer het schip onder de brug door past. t2

79 In de grafiek hieronder zie je de waterstand in de haven van Breskens van 4 maart om 15.30 uur tot 6 maart om 12.40 uur. De grafiek is bij benadering periodiek.

a Hoe laat was het op 5 maart voor het eerst eb? t1

b Wat was de waterstand toen ongeveer? t1

c Tussen welke tijdstippen is het verschil tussen eb en vloed het grootst? t2

d Hoeveel uur en hoeveel minuten duurt een periode? t1

e Hoeveel periodes zijn er in deze grafiek getekend? t2

f Hoe laat is het op 7 maart voor het eerst eb? t2

t.o.v. NAP (cm)

Doelen bereikt?

ɲ Ik weet wat een wortelverband en een periodiek verband zijn. Ook weet ik dat de grafiek van een wortelverband een randpunt heeft. r

ɲ Ik kan een grafiek tekenen bij een wortelformule. Ook kan ik de periode, het minimum, het maximum, de evenwichtsstand, de amplitude en de frequentie bepalen van een periodiek verband. t1

ɲ Ik kan de grafiek van een wortelverband of van een periodiek verband gebruiken om antwoord te geven op vragen over de situatie. Ook kan ik bij een wortelformule de coördinaten van het randpunt bepalen. t2

ɲ Ik begrijp wat er met de grafiek gebeurt na een verandering in de situatie. i

Waterhoogte

Som- en verschilverbanden en inklemmen

DOEL → Je leert wat een som- en een verschilverband zijn.

Somformule en verschilformule

Bij twee formules die een verband tussen dezelfde variabelen beschrijven, kan het zinvol zijn om een somformule of een verschilformule op te stellen.

ɲ In een somformule of een verschilformule:

ɲ tel je de gelijksoortige termen bij elkaar op of trek je ze van elkaar af;

ɲ blijven de variabelen gelijk.

ɲ Het verband tussen twee variabelen in een somformule heeft een somverband.

ɲ Het verband tussen twee variabelen in een verschilformule heet een verschilverband

Voorbeelden ▸

1 Gegeven zijn de formules y = –4 + 5x en y = 6 + x

Stel de somformule op.

ɲ –4 + 8x

6 + x +

2 + 9x

ɲ y = 2 + 9x

2 Gegeven zijn de formules h = 10 + 3t en h = –4 + 5t.

Stel de verschilformule op.

ɲ 10 + 3t

–4 + 5t –

14 – 2t

ɲ h = 14 – 2t

3 Om je tuin aan te leggen, huur je een graafmachine met bestuurder. De kosten k in euro’s van de graafmachine bereken je met de formule k = 54,45d

De bestuurder van de graafmachine vraagt k = 30 + 160d. In beide formules is d de tijd in dagen.

Stel de somformule op voor de totale kosten.

ɲ 54,45d

30 + 160d +

30 + 214,45d

ɲ De totale kosten voor de huur van de graafmachine bereken je met de formule k = 30 + 214,45d

Somgrafiek en verschilgrafiek

ɲ Je kunt de somformule of verschilformule ook opstellen bij twee lijnen in een assenstelsel. Dat doe je zo:

Voorbeeld ▸

De grafieken I en II beschrijven lineaire verbanden tussen x en y.

Stel de somformule van I + II op.

1 Tel de startgetallen van beide grafieken bij elkaar op en teken het startgetal van de somgrafiek in het assenstelsel.

ɲ 0 + 15 = 15

2 Zoek een roosterpunt van beide grafieken bij dezelfde x-coördinaat.

ɲ (3, 30) van grafiek I en (3, 75) van grafiek II.

3 Tel de y-coördinaten bij elkaar op. Dit is de y-coördinaat van de somgrafiek bij dezelfde x-coördinaat.

ɲ 30 + 75 = 105, dus (3, 105) ligt op de somgrafiek.

4 Teken de somgrafiek en bereken de rc.

ɲ rc = 90 3 = 30

5 Stel de somformule op.

ɲ y = 15 + 30x

Somformule en verschilformule

80 Gegeven zijn de formules y = 22 + 6x en y = 17 + 2x t1

a Stel de somformule op.

b Stel de verschilformule op.

81 Voor een sportdag worden een sporthal en een atletiekbaan gehuurd. Voor het berekenen van de totale kosten TK in euro’s geldt de formule: TK = kosten sporthal + kosten atletiekbaan

De kosten voor de sporthal en de atletiekbaan bereken je met de formules: kosten sporthal = 100 + 35t kosten atletiekbaan = 50 + 25t Hierin is t het aantal uren dat je huurt.

a Stel de somformule op waarmee je de totale kosten in één keer kunt berekenen. t1

b Wat zijn de totale kosten als de sportdag 6 uur duurt? t1

c Je budget is € 425,-. Hoeveel hele uren kun je de sporthal en de atletiekbaan huren? t2

82 a Je hebt planten gekweekt. Je koopt bloempotten voor 50 cent per stuk en een zak potgrond van € 11,50. In elke bloempot doe je een plant. Stel een lineaire formule op om de kosten in euro’s te berekenen bij het aantal planten p. t1

b Je verkoopt de planten voor een goed doel voor 4 euro per stuk. Stel een recht evenredige formule op om de opbrengst in euro’s te berekenen bij het aantal planten p. t1

c Je kunt de winst in euro’s berekenen met de verschilformule winst = opbrengst – kosten. Stel deze verschilformule op. t1

d Bereken de winst bij een verkoop van 5 planten. Wat betekent de uitkomst in deze situatie? i

De inhoud van een zak potgrond is 20 L. Per plant heb je 120 mL potgrond nodig.

e Waarom kun je voor p in de formule van opdracht a niet het getal 200 invullen? i

Somgrafiek en verschilgrafiek

83 Werkblad 3.83

Op het werkblad zijn de grafieken I en II getekend. Je gaat de verschilformule van II - I opstellen. t1

a Trek het startgetal van lijn I af van het startgetal van lijn II en teken het startgetal van de verschilgrafiek in het assenstelsel.

b Zoek een roosterpunt van beide lijnen bij dezelfde x-coördinaat en geef deze op de lijnen aan.

c Trek de y-coördinaat van het punt op grafiek I af van de y-coördinaat van het punt op grafiek II en teken het punt van de verschilgrafiek in het assenstelsel.

d Teken de verschilgrafiek en bereken de rc.

e Stel de verschilformule op.

84 a Stel voor de grafieken I en II uit opdracht 83 lineaire formules op. t1

b Stel de somformule I + II op. Gebruik de formules uit opdracht a t1

85 Werkblad 3.85

In het assenstelsel hieronder zie je de grafieken voor de totale kosten TK in euro’s en voor de totale omzet TO in euro’s van een bedrijf. De totale winst TW in euro’s bereken je met de verschilformule TW = TO – TK.

(€)

a Teken de grafiek voor de totale winst in het assenstelsel op het werkblad. t1

b Het startgetal van deze grafiek is negatief. Leg uit waarom. i

verbanden

DOEL → Je leert hoe je de oplossing van een vergelijking berekent met behulp van inklemmen.

Inklemmen bij een lineaire vergelijking

Als je een lineaire vergelijking oplost met inklemmen, ga je systematisch op zoek naar de oplossing van de vergelijking met behulp van een inklemtabel. Dat doe je zo:

1 Maak een inklemtabel.

2 Kies een getal waarvan je denkt dat dit de oplossing van de vergelijking is. Bereken de bijbehorende uitkomsten en het verschil van die uitkomsten.

3 Als de uitkomsten niet gelijk zijn, kies je een nieuw getal en bereken je opnieuw het verschil.

4 Ga net zo lang door tot het verschil 0 is. Geef je antwoord in een zin.

Voorbeelden ▸

1 Los de volgende vergelijking op:

10(0,5x + 16) = 45x + 1500 3

x 10(0,5x + 16) = 45x + 1500 3 verschil 20 260 200 60

ɲ De oplossing is x = 17.

ɲ Soms moet je de oplossing van een vergelijking afronden op één decimaal. Zet in de inklemtabel in de linker kolom dan twee opeenvolgende getallen met één decimaal. Kies de oplossing waarbij het verschil dichter bij 0 ligt.

2 Los de vergelijking 5x + 4 = 2x + 5 op. Rond af op één decimaal.

x 5x + 4 = 2x + 5 verschil

1 9 8 1

0,3 5,5 5,6 –0,1

0,4 6 5,8 0,2

ɲ In de linker kolom staan twee opeenvolgende getallen met één decimaal: 0,3 en 0,4.

ɲ –0,1 ligt dichter bij 0 dan 0,2.

ɲ De oplossing is x = 0,3.

Inklemmen bij andere vergelijkingen

Een vergelijking met een kwadraat, een macht of een wortel kun je ook oplossen met inklemmen.

Voorbeelden ▸

1 Een kunstenaar wil een kubusvormig betonblok maken. Het aantal L beton b dat hij nodig heeft, berekent hij met de formule b = r3. Hierin is r de lengte van een ribbe in dm. De kunstenaar heeft 512 L beton gemaakt. Wat zijn de afmetingen van de mal waarin het beton gestort kan worden?

ɲ De bijbehorende vergelijking is: 512 = r3. Maak een inklemtabel.

r r3 vergelijk met 512

10 1000 488 hoger

5 125 387 lager

8 512 gelijk

ɲ De mal heeft ribben van 8 dm.

2 Gegeven is de formule y = –x2 + 3x + 18. Voor welke x geldt y = 12? Rond af op één decimaal. 20

In de grafiek zie je waar de oplossing ongeveer ligt. Maak een inklemtabel.

5 x O x –x2 + 3x + 18 vergelijk met 12

4 5 6 7 2 3 1

4,5 11,25 0,75 lager

4,3 12,41 0,41 hoger

4,4 11,84 0,16 lager

ɲ 0,16 ligt dichter bij 0 dan –0,41.

ɲ De oplossing is x = 4,4.

Je weet nu ook het snijpunt van de parabool en de lijn; dat is (4,4; 12).

Inklemmen bij een lineaire vergelijking

86 Twee bouwbedrijven gebruiken de volgende formules om hun prijs p in euro’s te bepalen:

Bedrijf A: p = 52 + 18,50t

Bedrijf B: p = 21(t + 2)

Hierin is t de tijd in uren.

a Los de vergelijking 52 + 18,50t = 21(t +2) op. t1

b Wat betekent de oplossing in deze situatie? t2

c De klus die je door een bouwbedrijf wilt laten uitvoeren, duurt waarschijnlijk 4 uur. Welk bouwbedrijf kies je? Leg uit. t2

87 Twee wandelaars lopen dezelfde route. Als wandelaar B vertrekt, heeft wandelaar A al 1 km afgelegd. De formules om de afstand a in m uit te rekenen, zijn:

wandelaar A: a = 1000 + 83t

wandelaar B: a = 100t

Hierin is t de tijd in minuten vanaf het vertrek van wandelaar B. t2

a Wat betekent het getal 1000 in de formule van wandelaar A?

b Hoe kun je aan de formules zien dat wandelaar B sneller loopt dan wandelaar A?

c Wanneer haalt wandelaar B wandelaar A in?

Stel de bijbehorende vergelijking op en los deze op. Rond af op één decimaal.

d Wat betekent de oplossing in deze situatie?

e Na hoeveel km haalt wandelaar B wandelaar A in?

ɲ breinbreker

De omtrek en de oppervlakte van deze rechthoek zijn gelijk.

a Stel een formule op voor de omtrek van deze rechthoek.

b Stel een formule op voor de oppervlakte van deze rechthoek.

c Bereken x met behulp van een vergelijking. x 3

Inklemmen bij andere vergelijkingen

88 Gegeven is de formule y = 0,5x5

a Los de vergelijking 0,5x5 = 16 op. t1

b Wat is het snijpunt van de grafieken van y = 0,5x5 en y = 16? t2

89 Je gooit een sneeuwbal. De baan die deze sneeuwbal volgt, kun je beschrijven met de formule

h = –0,04a2 + 1,17a + 1,23. Hierin is h de hoogte van de sneeuwbal in m en a de horizontale afstand die de sneeuwbal aflegt.

a Hoe hoog is de sneeuwbal bij een afstand van 16 m? t1

b Op welke hoogte werd de sneeuwbal losgelaten? t2

c Los de vergelijking 1 = –0,04a2 + 1,17a + 1,23 op. Rond af op één decimaal. t1

d Wat betekent de oplossing in deze situatie? t2

e Stel de vergelijking op waarmee je kunt berekenen hoe ver de sneeuwbal komt. t2

f Los de vergelijking op. Rond af op één decimaal. t1

g Een persoon met een lengte van 1,75 m staat op een afstand van 18 m van jou precies in de baan van de sneeuwbal. Wordt deze persoon geraakt door jouw sneeuwbal? i

90 Hoe ver je kunt kijken, is afhankelijk van je ooghoogte in m en van de weersomstandigheden. Bij helder weer kun je de kijkafstand in km berekenen met de formule kijkafstand = √ 12,7 × ooghoogte .

a Een van de hoogste torens ter wereld is de Burj Kalifa. Hoe ver kun je vanaf het observatiedek op 422 m hoogte kijken? Rond af op hele km. t1

b Vanaf de hoogste toren in Nederland kun je 52 km ver kijken. Wat is het verschil in ooghoogte tussen deze toren en de Burj Kalifa? Rond af op hele m. i

Praktische wiskunde – Toerisme

DOEL → Je leert hoe je formules kunt gebruiken om vragen van toeristen te beantwoorden.

Mensen die op vakantie gaan, hebben verschillende interesses. Sommige mensen houden van een vakantie waarin ze veel kunnen luieren, anderen houden van een actieve vakantie. Sommige mensen houden van de zon, terwijl anderen van sneeuw houden.

Temperatuur

Tijdens een vakantie zijn het weer en de temperatuur vaak belangrijk. Als het waait, voelt het vaak kouder aan dan de temperatuur die de thermometer aangeeft. Dit noem je de gevoelstemperatuur. Je kunt deze gevoelstemperatuur G in °C berekenen met de formule: G = 1,41 1,162w + 0,98t + 0,0124w2 + 0,0185w × t

Hierin is w de windsnelheid in m/s en t de temperatuur die gemeten wordt.

Woorden

somformule somverband verschilformule verschilverband

De toerismesector

Vind je het geen probleem om te werken op een plek waar andere mensen juist komen om te relaxen, dan is een baan in het toerisme misschien iets voor jou. Je ontvangt gasten, je checkt reserveringen, en wijst mensen de weg. Soms regel je uitstapjes of organiseer je sportieve activiteiten.

Dat je soms zelf ook naar zonnige oorden mag, is natuurlijk mooi meegenomen. Je gaat bijvoorbeeld werken op een reisbureau, in een frontoffice van een hotel, of bij een activiteitenteam van een camping of een attractiepark.

Toerisme

91 Gebruik voor deze opdracht de formule voor de gevoelstemperatuur op de linkerbladzijde.

a Laat met een berekening zien dat G = –11,3°C als w = 10 m/s en t = –2°C. t1

Een groep kinderen die jij begeleidt, gaat skiën. Ze willen graag naar de gletsjer, maar daar kan het erg koud zijn. Via een app die verbonden is met een windmeter en een temperatuurmeter op de gletsjer krijg je de volgende informatie: windsnelheid = 4 m/s en temperatuur = –3°C.

Voor de kinderen mag de gevoelstemperatuur niet lager zijn dan –5°C.

b Kan de groep op de gletsjer gaan skiën? t2

Het is nog vroeg, dus de temperatuur gaat nog stijgen. De verwachting is dat de windsnelheid hetzelfde blijft.

c Bij welke temperatuur op de app kan de groep naar de gletsjer gaan? t2

92 Voor een hotel organiseer je een segway-tour voor een aantal gasten. De deelnemers willen vooraf weten wat de kosten zijn. De gids vraagt een vast bedrag van € 30,- en € 17,50 per uur.

a Stel een formule op waarmee je de kosten k in euro’s voor de gids kunt berekenen. Neem t voor de tijd in uren. t1

Een segway kost € 8,80 per persoon per uur. De totale kosten k in euro’s voor de segways kun je berekenen met de formule k = 8,80 × aantal personen × t. Hierin is t de tijd in uren.

b Er gaan 14 personen mee. Stel de formule op voor de kosten van de segways. t1

c Stel de somformule op voor de totale kosten van de segway-tour. t2

d De deelnemers willen in totaal niet meer betalen dan € 600,- Hoeveel uur kan de tour maximaal duren? t2

93 Het meenemen van een koffer van maximaal 20 kg op een vliegreis kost € 25,-. Elke kg meer kost € 11,extra. De kosten k in euro’s voor één koffer bereken je met de formule: k = 25 + 11(g – 20). Hierin is g het gewicht in kg.

a Hoeveel moet een passagier betalen die een koffer van 32 kg wil meenemen? t1

b Een passagier wil maximaal € 100,- betalen. Hoe zwaar mag de koffer zijn? t2

c Kun je de formule gebruiken voor een koffer van 15 kg? Leg uit. i

94 Als maïsplanten hoog genoeg zijn, kun je er een doolhof in maken. Vanaf het moment dat het eerste blad boven de grond komt, kun je de verwachte hoogte h in cm van het maïs berekenen met de formule

h = 0,06t2 – 0,15t + 1. Hierin is t de tijd in dagen.

Op 24 april kwam het eerste blad boven de grond.

a Laat met een berekening zien dat de maïsplant op 30 april 2,26 cm hoog was. t1

b Deze formule geldt niet voor t = 365. Leg uit. i

Een familie wil weten wanneer de kinderen het maïsdoolhof in kunnen. Het langste kind is 1,65 m.

c Na hoeveel dagen is het maïs hoog genoeg? t2

d Vanaf welke datum kan de familie tickets boeken? t2

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2014, tijdvak 2

Doelen bereikt?

ɲ Ik weet wat een som- en een verschilverband zijn en ik weet dat ik een vergelijking kan oplossen met inklemmen. r

ɲ Ik kan een som- en een verschilformule opstellen. Ook kan ik een vergelijking met een kwadraat, een macht of een wortel oplossen met inklemmen. t1

ɲ Ik kan een vergelijking opstellen vanuit een context en kan deze oplossen. t2

ɲ Ik begrijp hoe ik een vergelijking kan gebruiken om een vraag over een situatie te beantwoorden. i

Toetsvoorbereiding

Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en de leerdoelen hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.

ɲ Wiskundeweetje

95 Bereken de EU schoenmaat bij de onderstaande voetlengtes met de formule:

EU schoenmaat = 0,15 × voetlengte + 1,75

Hierin is voetlengte in mm.

a 245 mm t1 b 29 cm t2

ɲ § 3.1

96 Teken de grafieken bij de volgende formules in één assenstelsel. t1

a y = 0,5x b y = 8 – x c y = 5 d x = 4

97 Geef bij elke formule aan welke grafiek erbij hoort. t2

ɲ § 3.2

99 Vul in. r

Als één variabele de uitkomst van een andere formule is, kun je die formules soms ......... .

100 Je gaat een gerecht maken voor een groep.

De kosten kun je berekenen met de formule

K = 3,25 × p + 2f × p + 7,50. Hierin zijn K de kosten in euro’s, p het aantal personen en f de kosten in euro’s voor vers fruit per 100 g.

a Er komen 15 personen eten. Laat zien dat je de formule kunt schrijven als K = 56,25 + 30f. t1

b Controleer met een tabel of de formule

K = 7,50 + (3,25 + f) × 15 gelijkwaardig is aan de formule bij opdracht a. t1

c De kosten voor vers fruit zijn € 1,25 per 100 gram. Bereken de totale kosten voor het gerecht. t2

101 Los op. t1

a 3x + 11 = 41

b 52 = 20 – 4a

a y = –2x + 0,5

b y = –2x + 2 c y = 0,5x – 2 d y = 2x – 2

98 Hieronder zie je twee tabellen. t1 x 1 2 3 4 y 5 10 15 20 v 0 1 3 4 T 44 66 110 132

a Stel bij elke tabel een formule op.

b Welke tabel hoort bij een recht evenredig verband?

c 41 + 6q = 4q – 9

ɲ § 3.3

102 Werkblad 3.102

d 33 + 4x = –17 + 5x

e 15 – 2k = 36 – 9k

f 36 + 9x = –6 + 7x

De vorm van een boog van een brug kan beschreven worden met de formule h = –0,002a2 + 0,34a

Hierin is h de hoogte in m boven het wegdek en a de horizontale afstand in m.

a Vul de tabel op het werkblad in. t1

b Teken in het assenstelsel op het werkblad de grafiek bij de formule. Maak eerst een juiste verdeling bij de verticale as. t1

c Hoeveel m zit er tussen de uiteinden van de boog? t2

103 Bij het ontwerpen van vloeren of daken is het belangrijk dat deze niet te veel doorbuigen. De weerstand T tegen doorbuigen van een vierkante balk kun je berekenen met de formule: T = h4 12 . Hierin is h de dikte van de balk in cm.

a Heeft de grafiek bij de formule een top of een draaipunt? Leg uit. t1

b Bereken T voor h = 9 cm. t1

c Bereken T voor h = 18 cm. t1

d Vul in: Als h twee keer zo groot wordt, wordt T ……… keer zo groot. t2

ɲ § 3.4

104 Bereken steeds de coördinaten van het randpunt. t2

a y = 1 + 2√ x + 5 b h = 3√ 2a – 8 + a

105 In de grafiek zie je de waterhoogte op een meetlocatie in Schoonhoven.

150 waterhoogte t.o.v. NAP (cm)

100

ɲ § 3.5

106 Een bedrijf berekent de opbrengst met de formule

B = 50q en de kosten met de formule B = 20q + 1000. Hierin is B het bedrag in euro’s en q het aantal verkochte producten.

a Stel de verschilformule op voor de totale winst W in euro’s: W = opbrengst – kosten. t1

b Bereken hoeveel producten het bedrijf moet verkopen om winst te maken. i

107 Werkblad 3.107

Op het werkblad zie je twee grafieken. Stel de somformule van I + II op. t1

108 Bereken door middel van inklemmen de coördinaten van het snijpunt van de formules y = 2(50 + 2x) en y = 65x + 50 _______ 5 . t2

ɲ Hoofdstuk 3

109 Gebruik de formule van opdracht 103. Je wilt weten hoe dik de balk moet zijn om een weerstand te hebben van T = 1728.

100 O

50 09:00 15:00 21:00 03:00 09:00 15:00 21:00 03:00

a Hoe lang duurt een periode ongeveer? t1

b Hoeveel periodes zie je in de grafiek? t2

c Hoe laat was het op 30 april voor het eerst hoogwater? t2

d Je wilt ’s middags alleen varen als de waterhoogte boven NAP is. Hoe laat kun je het beste vertrekken op 30 april? i

a Stel een vergelijking op bij deze situatie. t1

b Los de vergelijking op met inklemmen. t1

c Wat betekent de oplossing in deze situatie? t2

110 In de tuin wil je een vierkant bloemenperk aanleggen. Langs één zijde komt een hek, waartegen de bloemen omhoog kunnen groeien. De kosten K in euro’s voor het hek kun je berekenen met de formule:

K = 8,95 × √ ___________ oppervlakte

Hierin is de oppervlakte in m2.

a Wat betekent het randpunt in deze situatie? t1

b Bereken de kosten van het hek bij een oppervlakte van 6 m2. t1

c Bereken hoe groot de oppervlakte van het bloemenperk wordt als je € 26,85 moet betalen. t2

Wiskundig

lezen – IJsberg, Wortelverband & Eindlengte

Je gaat oefenen met het maken van examenvragen. De teksten en vragen komen uit oude examens. Door de toegevoegde deelvragen leer je wiskundige informatie uit een tekst halen, beoordelen en gebruiken om de examenvragen te beantwoorden. De examenvragen zijn genummerd met Romeinse cijfers. Achter elke vraag staat het aantal punten.

IJsberg

IJsbergen ontstaan doordat grote stukken ijs afbreken van een gletsjer en dan de zee in drijven. Een ijsberg die naar het zuiden drijft, wordt kleiner doordat hij langzaam smelt.

Onderzoekers hebben het gewicht van zo’n ijsberg geschat, zie de tabel.

t (maanden) 0 2 4 6 8 10 G (ton) 80 000 70 000 62 000 55 000 48 000 41 000

a Bekijk de tabel en vul de juiste grootheden en eenheden in.

In de bovenste rij staat de in

In de onderste rij staat het ......... in ......... .

b Hoeveel weegt de ijsberg na 2 maanden?

c Hoeveel ton ijs is er in de eerste 2 maanden gesmolten?

I Bereken met hoeveel procent het gewicht van de ijsberg in de eerste 2 maanden is afgenomen. 3p

De onderzoekers hebben een formule gemaakt die goed bij de tabel past

G = 80 000 – 4900 × t + 113 × t2 − t3

d Welk soort verband laat de formule zien?

e Bereken het gewicht van de ijsberg na 8 maanden. Rond af op duizendtallen.

f Controleer of jouw antwoord overeenkomt met de waarde onder 8 in de tabel. Is dit niet zo? Typ de berekening dan nogmaals in je rekenmachine in. Let goed op het kwadraat en de macht.

g Bereken het gewicht van de ijsberg na 19 maanden.

h Bereken het gewicht van de ijsberg na 20 maanden.

II Laat met een berekening zien dat in de twintigste maand volgens de formule ongeveer 1600 ton ijs gesmolten is. 3p

Op het werkblad staat een assenstelsel getekend.

III Werkblad 3.III IJsberg

Teken in het assenstelsel de grafiek die bij de formule hoort. Gebruik hierbij de tabel. Maak zelf een juiste verdeling bij de verticale as. 4p

Je wilt berekenen wanneer de ijsberg gesmolten is.

i Wat is het gewicht van de ijsberg dan?

j Stel de bijbehorende vergelijking op.

IV Bereken in de hoeveelste maand na het afbreken van de ijsberg het laatste stukje van de ijsberg volgens de formule gesmolten moet zijn. 3p

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2016 tijdvak 1, opdracht 1 tot en met 4.

Wortelverband

In het assenstelsel is de grafiek van de formule

y = 2 × √ x 3 getekend.

De grafiek gaat door het punt A(6,2; 3,6). De y-coördinaat van punt A is afgerond op één decimaal.

a Leg uit hoe je de y-coördinaat van punt A berekent.

I Geef de y-coördinaat van punt A, afgerond op twee decimalen. 1p

De grafiek gaat door het punt (x, 8).

b Stel de bijbehorende vergelijking op.

II Geef de x-coördinaat van dit punt. 2p

Lucy beweert dat je niet alle getallen voor x kunt invullen.

c Schrijf de formule op.

d Wat voor soort formule is dit?

III Heeft Lucy gelijk? Leg je antwoord uit. 3p

De gegeven formule y = 2 × √ x 3 verandert in y = 2 × √ x 2

IV Werkblad 3.IV Wortelverband

Teken op het werkblad in hetzelfde assenstelsel de grafiek die bij de nieuwe formule hoort. Vul eerst de tabel in. 4p

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2019 tijdvak 2, opdracht 22 tot en met 25.

Eindlengte

Als je weet wat de lengte van de vader en de lengte van de moeder van een meisje is, kun je de verwachte eindlengte van dit meisje berekenen met de formule eindlengte = (lengte vader + lengte moeder 13) 2 + 4,5

Hierin zijn eindlengte, lengte vader en lengte moeder in centimeters.

De lengte van de vader van Nicolette is 185 cm en de lengte van haar moeder is 170 cm.

I Bereken hoeveel cm de verwachte eindlengte van Nicolette is. 2p

Carla groeit niet meer. Haar eindlengte is 190 cm. Haar vader is 2 meter lang.

a Welke eenheid hebben de variabelen in de formule?

b Stel de bijbehorende vergelijking op.

II Bereken hoeveel cm de lengte van de moeder van Carla volgens de formule moet zijn. 3p

De gemiddelde lengte van een Nederlandse man is 180 cm. Neem voor lengte vader 180 cm.

c Vul de lengte van de vader in de formule in en schrijf de formule zo kort mogelijk.

III Werkblad 3.III Eindlengte

Teken in het assenstelsel op het werkblad de grafiek die bij de formule hoort. Je mag de tabel gebruiken. Maak zelf een juiste verdeling bij de verticale as. 4p

Als je voor lengte vader 180 cm invult in de formule voor de berekening van de eindlengte, kun je de formule ook schrijven als eindlengte = 0,5 × lengte moeder + ...

d Welk soort verband laat de formule zien?

e Welk getal moet je berekenen?

IV Maak bovenstaande formule af door het juiste getal in te vullen op de puntjes. 2p

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2017 tijdvak 1, opdracht 1 tot en met 4.