4 Trillingen en golven
4.1 Trillingen 4
4.2 Massa-veersysteem 10
4.3 Fase en snelheid 16
4.4 Lopende golven 22
4.5 Staande golven 28
Toetsvoorbereiding 34
4.1 Trillingen
Doel Je leert wat een trilling is.
Eigenschappen van een trilling Je klemt een liniaal aan de rand van de tafel vast, trekt het uiteinde omhoog en laat het los. Het vrije deel van de liniaal voert nu een trilling uit (figuur 4.1).
Bij een trilling beweegt een voorwerp periodiek heen en weer rond een evenwichtsstand. Hier is dat punt O. De afstand tot de evenwichtsstand is de uitwijking (u) van de trilling. De maximale uitwijking is de amplitude (A) van de trilling. In het voorbeeld is dat de afstand OP of OQ.
Als het vrije deel van de liniaal korter is, trilt de liniaal sneller (figuur 4.1b). De tijd van een volledige trilling, van evenwichtsstand via beide uiterste standen weer terug naar de evenwichtsstand, is de trillingstijd of periode (T). In figuur 4.1b is de trillingstijd dus kleiner dan in figuur 4.1a. De korte liniaal trilt vaker in één seconde dan de lange liniaal. Het aantal trillingen per seconde heet de frequentie (f) met de eenheid hertz (Hz). De frequentie waarmee de korte liniaal trilt, is dus groter. Het verband tussen de frequentie en de trillingstijd wordt gegeven door:
f = 1 T
f frequentie in Hz T trillingstijd in s
In figuur 4.2 is het uitwijking-tijddiagram van de trillende liniaal weergegeven. Zo’n uitwijking-tijddiagram heet een (u,t)-diagram
Elektrocardiogram De ritmische beweging van de hartspier kun je beschouwen als een trilling. De elektrische pulsjes die het hart aansturen, kun je meten met elektroden die op de huid worden geplakt. Deze elektroden zijn aangesloten op een computer die de metingen weergeeft in een elektrocardiogram, ofwel een ECG (figuur 4.3). De elektrische spanning is in deze grafiek uitgezet tegen de tijd. In een ECG is een herhalend patroon te zien. Uit een ECG kan een arts informatie halen over bijvoorbeeld hartritmestoornissen.
4.1 De frequentie waarmee de kortere liniaal in figuur b trilt, is groter dan de frequentie waarmee de liniaal in figuur a trilt.
4.2 (u,t)-diagram van een trilling
4.3 Elektrocardiogram (ECG) p q r s t 0,25 seconden
Harmonische trilling Het ECG laat een ander patroon zien dan de (u,t)-grafiek van de trillende liniaal. De grafiek van de trillende liniaal in figuur 4.2 heeft een sinusvorm. Een trilling waarbij het (u,t)-diagram de vorm heeft van een sinusfunctie heet een harmonische trilling
Rekenen aan de harmonische trilling In figuur 4.4 staan de (u,t)-diagrammen van twee tonen. De geluidstrillingen zijn met een microfoon opgenomen en op een oscilloscoop of computer weergegeven. Met een oscillogram kun je de frequentie bepalen. Ook kun je erin zien hoe hard een toon is. Hoe groter de amplitude, des te harder de toon. De grafieken in het diagram hebben de vorm van een sinusfunctie:
u = Asin (2π T t)
u uitwijking in m
A amplitude in m T trillingstijd in s t tijd in s
Let op: Als je rekent met deze formule, moet je rekenmachine op radialen (rad) staan. Zie figuur 4.5.
Voorbeeld [1] Bereken de uitwijking van trilling a in figuur 4.4 op het tijdstip t = 2,0 ms. Bepaal eerst de amplitude en de trillingstijd.
Gegeven: Lees uit het diagram af: 5 trillingen duren 2,4 ms.
A = 3,0 mm en t = 2,0 ms = 0,0020 s.
Gevraagd: u.
Bereken: T = 2,4 5 = 0,48 ms = 4,8 · 10 −4 s
u = Asin(2π T t) = 3,0 sin( 2π 4,8 · 10 −4 × 0,0020) = 2,6 mm
Antwoord: Op het tijdstip t = 2,0 ms is de uitwijking 2,6 mm.
Dit klopt met wat je kunt aflezen in het (u,t)-diagram.
4.4 Het oscillogram van een harde hoge toon (a) en een zachte lage toon (b) booglengte gelijk aan straal 1 radiaal
straal
4.5 De hoek waarbij de booglengte gelijk is aan de straal, is 1 radiaal (= 57,3°). Een hoek van 360º komt dus overeen met 2π radialen.
1 a Noem twee kenmerken van een trilling. R
b Bereken de uitwijking na een kwart trillingstijd bij een amplitude van 2,5 cm. T1
c Bepaal de frequentie van de trilling in figuur 4.2. T1
2 Bereken de uitwijking van trilling b in figuur 4.4 op het tijdstip t = 1,5 ms. Bepaal eerst de amplitude en de trillingstijd. T1
3 Afbeelding A
Voor het ECG van afbeelding A zijn op vier verschillende plaatsen elektroden geplaatst. Eén groot hokje in het diagram stelt 5 mm voor. Het papier is met een snelheid van 25 mm s−1 onder de pennen door getrokken.
a Waaraan zie je dat de patiënt wellicht een hartprobleem heeft? T1
b Bereken hoeveel tijd overeenkomt met 1 hokje in het ECG. T1
c Bepaal met behulp van het linker deel van de onderste grafiek de frequentie waarmee het hart slaat. T2
d Leg uit of de beweging van het hart een trilling is. T2
e Leg uit of er sprake is van een harmonische trilling. T1
4 Een mug maakt een irritant zoemend geluid. Dat geluid ontstaat doordat de vleugels met een frequentie van 750 Hz bewegen.
a Bereken de tijd waarin een vleugel van de hoogste naar de laagste stand beweegt. T1
De frequentie van de vleugels is bij muggen veel hoger dan bij insecten van vergelijkbaar gewicht. Dit kost meer energie. Voor deze hoge frequentie worden twee redenen genoemd:
I De hoge frequentie is nodig voor communicatie tussen de muggen.
II De hoge frequentie zorgt voor extra stijgkracht als de insecten vol bloed weer vertrekken.
b Geef voor beide redenen een natuurkundige toelichting en kies op grond daarvan de meest waarschijnlijke reden. I
5 Afbeelding B / Werkblad 4.5
In afbeelding B zie je het oscillogram van een toon.
a Bepaal de frequentie van deze toon. T1
b Teken op je werkblad een zachtere toon met dezelfde frequentie. T1
c Teken op je werkblad een even harde toon met een hogere frequentie. T1
6 Afbeelding C / Werkblad 4.6
In pretparken kom je vaak een schip tegen dat heen en weer schommelt. In afbeelding C zie je het (u,t)-diagram van het midden van zo'n schip. Een positieve uitwijking is in de vaarrichting van het schip.
a Leg uit dat hier sprake is van een trilling. T1
b Bepaal de amplitude van de trilling. T1
c Bepaal de frequentie van de trilling. T1
d Teken op je werkblad het (u,t)-diagram van iemand die twee meter naar achteren zit ten opzichte van het midden van het schip. I
7 Afbeelding D Als je een stemvork aanslaat, trillen de twee uiteinden heen en weer zoals in afbeelding D te zien is. Een stemvork met een frequentie van 440 Hz trilt 5,0 s als je hem aanslaat. De gemiddelde amplitude is hierbij 0,25 mm.
a Waardoor is de amplitude bij deze trilling niet constant? T2
b Bereken de totale afstand die één uiteinde na de aanslag aflegt. I
8 Afbeelding E
Onder invloed van de maan ontstaan eb en vloed. Bij eb daalt het water tot het laagwater is en bij vloed stijgt het water weer tot het hoogwater is. Het hoogteverschil tussen hoogen laagwater verschilt sterk per gebied. Bij het Verdronken Land van Saeftinghe (afbeelding E) is dit 4,8 m. Je kunt de verticale beweging van het water als een harmonische trilling beschouwen.
a Bereken de amplitude van deze trilling. T1
b De tijd tussen hoogwater en laagwater bedraagt 373 minuten. Bereken de trillingstijd van de trilling in uren. T1
c Bereken de frequentie van de trilling in hertz. T2
Voor de beweging van het getij bij het Verdronken Land van Saeftinghe kun je deze formule gebruiken:
u = 2,4 sin (0,505 × t)
met u in meter en t in uur.
d Laat met een berekening zien dat deze formule overeenkomt met de trillingsformule uit deze paragraaf. T2
e Om 8.00 uur blijkt het water precies tussen hoog- en laagwater in te staan. Dit is op 25 cm onder het NAP-niveau. Bereken hoe hoog het water om 18.00 uur staat. Zet je rekenmachine op rad. T2
u Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
u Trilling
u Uitwijking
u Amplitude
u Trillingstijd of periode
u Frequentie
u Hertz
u (u,t) -diagram
u Elektrocardiagram
u Harmonische trilling
u Oscillogram
T1 Ik kan trillingstijd omrekenen in frequentie en andersom en ik kan de uitwijking bij trillingen berekenen.
T2 Ik kan (u,t)-diagrammen tekenen en aflezen.
I Ik kan (u,t)-diagrammen analyseren. e
u Examentraining
9 Afbeelding F
De kolibrie is een klein vogeltje dat door zijn snelle vleugelslag stil kan blijven hangen in de lucht.
Een onderzoeker wil weten hoe groot de maximale snelheid van de vleugeltippen is als de kolibrie stil hangt voor een bloem. Hij meet een zoemtoon van 75 Hz door het trillen van de vleugels.
Op basis van gemaakte foto’s schat de onderzoeker de amplitude van de trillende vleugels op 7,0 cm.
a Bereken de trillingstijd. T1
b Bereken de afstand die een vleugeltip in één trillingstijd aflegt. T1
c Bereken de gemiddelde snelheid van de vleugeltip. T2
d Leg uit in welke stand van de vleugel de snelheid van de tip maximaal is. I
e De maximale snelheid is ongeveer 1,5 maal de gemiddelde snelheid. Bereken de maximale snelheid van de vleugeltip. T1
f De kolibrie heeft een massa van 3,5 g. Bereken de kracht die één vleugel verticaal omlaag op de lucht uitoefent als de kolibrie stil hangt voor de bloem. T2
Naar examen natuurkunde vwo 2007-II opgave 3
4.2 Massa-veersysteem
Doel Je leert rekenen aan de trilling van een massa aan een veer.
Massa-veersysteem Als je een massa die aan een veer hangt een stukje optilt en loslaat, gaat de massa trillen (figuur 4.6).
Het (u,t)-diagram van deze trilling is sinusvormig, dus de trilling van zo’n massa-veersysteem is een harmonische trilling (figuur 4.7).
Bij het begin van de trilling bevindt de massa zich boven de evenwichtsstand en is de uitwijking positief. Voor de resulterende kracht op de massa geldt: F res = F v – F z. Zolang de massa zich boven de evenwichtsstand bevindt, is de veerkracht kleiner dan de zwaartekracht en is dus de resulterende kracht op de massa negatief en naar beneden gericht. In de evenwichtsstand is de resulterende kracht op de massa gelijk aan nul, omdat de zwaartekracht op dat moment gelijk is aan de veerkracht. Onder de evenwichtsstand is de veerkracht groter dan de zwaartekracht, waardoor de resulterende kracht op de massa juist naar boven is gericht. De resulterende kracht is nu positief, maar de uitwijking negatief. De resulterende kracht en de uitwijking zijn dus steeds tegengesteld gericht. Bovendien is de resulterende kracht recht evenredig met de uitwijking. Dat betekent dat als de resulterende kracht twee keer zo groot wordt, ook de uitwijking twee keer zo groot wordt.
Voor de resulterende kracht bij een massa-veersysteem geldt dus:
F res = −C → u
F res resulterende kracht in N C veerconstante in N m−1 → u uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand in m
Bij de kracht en de uitwijking is de richting van belang. Dat zie je aan het pijltje in de formule. Als een grootheid behalve een grootte ook een richting heeft, noem je het een vector
4.6 Trillende massa aan een veer met 1 F z > F v 2 F z = F v 3 Fz < F v u is de uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand.
4.7 (u,t)-diagram van een massaveersysteem
Resonantie en eigenfrequentie Als je een stemvork aanslaat, trilt hij met één frequentie, de eigenfrequentie. Als een voorwerp in de eigenfrequentie trilt als gevolg van een externe kracht, spreek je van resonantie Ook een massa-veersysteem trilt met een eigenfrequentie, die alleen afhangt van de veerconstante en de trillende massa.
De bijbehorende trillingstijd kun je berekenen met de formule:
T = 2π √m C
T de trillingstijd in s m de trillende massa in kg C de veerconstante in N m−1
Voorbeeld [2] In figuur 4.8 hangt een poppetje stil aan een veer met een veerconstante van 2,0 N m−1. Als de hand even op en neer beweegt, gaat het poppetje trillen met een eigenfrequentie van 3,0 Hz. Bereken de massa van dit poppetje.
Gegeven: C = 2,0 N m−1 en f = 3,0 Hz.
Gevraagd: m.
Berekening: 1 Bereken eerst de trillingstijd:
T = 1 f = 1 3,0 = 0,33 s
2 Met de formule voor de trillingstijd vind je de massa:
T = 2π √m C → ( T 2π) 2 = m C → m = ( T 2π) 2 C m = (0,33 2π ) 2 × 2,0 = 0,0055 kg = 5,5 g
Antwoord: De massa is 5,5 g.
4.8 Trillend poppetje
10 a Welke twee krachten spelen een rol als een gewicht aan een veer trilt? R
b Bereken de trillingstijd van een veer met veerconstante 50 N/m waar een massa van 2,5 kg aan hangt. T1
c Aan een veer met een veerconstante van 20 N/m trilt een massa met een frequentie van 1 Hz. Bereken deze massa. T1
11 Kracht is een vector. Temperatuur is geen vector, maar een scalair. Een scalair heeft alleen een grootte.
a Noem nog twee grootheden die een vector zijn. T1
b Noem twee andere scalaire grootheden. T1
12 Een gewicht met een massa van 50 g trilt aan een veer met een frequentie van 3,5 Hz. Bereken de veerconstante van de veer. T1
13 Behalve zwaartekracht en veerkracht werkt bij een massa-veersysteem ook altijd wrijvingskracht. Bij een metalen blokje is die te verwaarlozen, maar als je een bal aan een veer laat trillen, speelt wrijvingskracht wel een rol.
a Leg uit in welke standen van de trilling de wrijvingskracht het grootst is. T1
b Waarom is er bij een trillende bal aan een veer geen sprake meer van een harmonische trilling? I
14 Afbeelding A
De wielen van een auto zijn met veren aan het chassis bevestigd (afbeelding A). Hierdoor veert de auto over oneffenheden.
Schokdempers voorkomen dat de auto te lang blijft trillen.
Een auto met een massa van 850 kg zakt 4,2 mm als je (75 kg) instapt.
a Bereken de veerconstante van één veer van de auto. Ga ervan uit dat de massa gelijkmatig over alle vier wielen verdeeld is. T1
b Bereken de frequentie waarmee deze auto kan trillen. T2
c Hoe heet deze frequentie? R
d Bij versleten schokdempers kunnen er gevaarlijke situaties ontstaan. Als in de weg op gelijke afstanden hobbels voorkomen, kan de auto zo hard gaan trillen dat hij van de weg loskomt. Hoe heet dit verschijnsel? T1
e De auto rijdt over een weg met regelmatige kuilen met een onderlinge afstand van 14 m. Bereken bij welke snelheid de gevaarlijke situatie van de vorige vraag kan ontstaan. I
15 Afbeelding B / Werkblad 4.15
Een massa trilt aan een veer. In afbeelding B zijn in één diagram weergegeven:
u de grafiek van de uitwijking in blauw, verticaal is de eenheid cm;
u de grafiek van de resulterende kracht in N;
u de grafiek van de snelheid in cm s−1
a Leg uit welke grafiek bij de kracht hoort en welke bij de snelheid. T1
b Bepaal de frequentie van de trilling. T1
c Bepaal met behulp van de krachtgrafiek de veerconstante van de veer in N m−1 T2
16 Afbeelding C
De trilmachine van afbeelding C heeft een frequentie van 97 Hz. De massa van het trillende gedeelte is 75 kg. T2
a Er bestaan trilmachines met en zonder sterke veer. Leg uit wat het voordeel van de veer is. T1
b Bereken de veerconstante van de veer. T2
1 2 3 4 5 6 (s)
d Bepaal op je werkblad de maximale snelheid met behulp van de (u,t)-grafiek. Controleer je uitkomst door de maximale snelheid uit de snelheidsgrafiek af te lezen. T2
e Bepaal met behulp van de (v,t)-grafiek de maximale versnelling. T1
f Bereken met de maximale versnelling en de maximale kracht de massa. T2
g Controleer met de trillingstijd, de massa en de veerconstante of de formule voor de trillingstijd van het massa-veersysteem klopt met deze grafieken. T2
17 In het vorige hoofdstuk ben je een andere grootheid met het symbool u tegengekomen. Leg uit wat de overeenkomst en wat het verschil is tussen beide grootheden u. I
18 Je hebt een veer en hangt er blokken met een verschillende massa aan. Bij elk blok meet je de trillingstijd waarmee het blok trilt.
In onderstaande tabel zie je de resultaten:
m (kg) T (s) T 2 (s2)
25 0,49
50 0,73
75 0,84
100 1,01
125 1,11
a Waarom kun je beter de tijd van 10 trillingen meten dan de tijd van 1 trilling? T2
b Neem de tabel over en zet in de rechter kolom het kwadraat van de trillingstijd. Maak vervolgens een grafiek met horizontaal de massa in kg en verticaal het kwadraat van de trillingstijd. T1
c Waarom is de grafiek een rechte lijn? I
d Neem een gemakkelijk af te lezen punt op de grafiek en bepaal daarmee de veerconstante van de veer. T2
e Waarom is je antwoord van vraag d nauwkeuriger dan wanneer je alleen één meting had gedaan? I
19 Trampolinespringen is een op en neer gaande beweging rond een evenwichtsstand. Er is dus sprake van een trilling. Een deel van de trilling is een harmonische trilling en een ander deel van de trilling niet. Leg uit welk deel een harmonische trilling is en waarom het andere deel geen harmonische trilling is. I
u Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de volgende begrippen:
u Massa-veersysteem
u Resulterende kracht
u Vector
u Trillingstijd
u Resonantie
u Eigenfrequentie
T1 Ik kan rekenen met de formule voor de trillingstijd van een massa-veersysteem.
T2 Ik kan uitleggen wat resonantie is en wanneer dit verschijnsel optreedt.
I Ik kan beredeneren wanneer een trilling harmonisch is.
u Examentraining
20 Afbeelding D en E / Werkblad 4.20
Bij een bungeetrampoline krijg je een tuigje om waaraan twee elastische koorden zijn vastgemaakt. De elastische koorden zitten vast aan staalkabels. Deze kabels worden door een elektromotor om een haspel gewonden. Daardoor word je langzaam verticaal omhooggetrokken totdat je een flink stuk boven de trampoline stil hangt. Je wordt vervolgens door de helper naar beneden getrokken en door dan flink op de trampoline af te zetten, schiet je omhoog. Door steeds opnieuw af te zetten kom je uiteindelijk steeds hoger.
a Leg uit of hier sprake is van een trilling. T1
b Als je stil hangt, zijn beide elastieken zo ver uitgerekt dat je 2,3 m lager hangt. Je massa is met tuigje 50 kg. Bereken de veerconstante van de combinatie van elastieken. T2
c Leg uit of hier sprake is van een harmonische trilling. I
d In afbeelding E zie je een snelheid-tijdgrafiek van de sprong. Een positieve snelheid is omhooggericht. Noem een tijdstip waarop je in het hoogste punt bent en een tijdstip waarop je helemaal beneden bent. T2
e Bepaal met de grafiek op je werkblad het hoogteverschil tussen het hoogste en het laagste punt. T2
f Bepaal met de grafiek op je werkblad de versnelling op het hoogste punt. I
g Leg met de uitkomst van vraag f uit of op het hoogste punt de elastieken nog uitgerekt zijn. T2
Naar examen natuurkunde vwo 2011-I opgave 3
4.3 Fase en snelheid
Doel Je leert rekenen aan de fase en snelheid van een trilling.
Fase In figuur 4.9 zie je de trilling van een massa aan een veer op verschillende momenten weergegeven. Op tijdstip t = 0 s begint de trilling en gaat de massa vanuit de evenwichtsstand omhoog. Op tijdstip t = 0,5 s heeft de massa het hoogste punt bereikt en een kwart trilling uitgevoerd. De fase (φ) is het aantal trillingen dat is doorlopen vanaf het moment dat de trilling op t = 0 s vanuit de evenwichtsstand omhoog is gegaan. De fase is dus 0 op t = 0 s en 1 4, ofwel 0,25, bij t = 0,5 s. Zo zijn in figuur 4.9 de fasen van één trilling weergegeven. Komt de trillende massa voor de vierde keer in het hoogste punt, dan heeft de massa 3,25 trillingen uitgevoerd. De fase is dan dus 3,25. De fase kun je berekenen met de formule: φ
φ fase (geen eenheid) t tijd in s T trillingstijd in s
Gereduceerde fase De uitwijking bij de fase 3,25 is hetzelfde als bij de fase 0,25. Je zegt dan dat de gereduceerde fase (φr) in beide punten 0,25 is. Je vindt de gereduceerde fase door het aantal gehele trillingen van de fase af te trekken. Is de fase bijvoorbeeld 3,75, dan is de gereduceerde fase dus 0,75. De gereduceerde fase ligt altijd tussen 0 en 1.
Voorbeeld [3] Een massa trilt aan een veer met een frequentie van 4,0 Hz. Bereken de gereduceerde fase op t = 0,63 s.
Gegeven: f = 4,0 Hz en t = 0,63 s.
Gevraagd: φr (0,63).
Berekening: 1 Bereken eerst de trillingstijd:
T = 1 f = 1 4,0 = 0,25 s
2 Bereken nu de fase:
φ = t T = 0,63 0,25 = 2,52
3 De gereduceerde fase φr is dan 2,52 – 2 = 0,52.
Antwoord: De gereduceerde fase φr (0,63) = 0,52.
De fasen van een trilling
De snelheid tijdens een trilling Een blokje trilt aan een veer op en neer. In de uiterste standen keert het blokje om. De snelheid van het blokje is dan nul. In de evenwichtsstand is de snelheid van het blokje maximaal. Deze maximale snelheid hangt af van de amplitude van de trilling en de trillingstijd. De maximale snelheid van een trillende massa is recht evenredig met de amplitude en omgekeerd evenredig met de trillingstijd. Je berekent de maximale snelheid met:
v max = 2π A T
v max maximale snelheid in m s−1
A amplitude in m T trillingstijd in s
Voorbeeld [4] De conus van een luidspreker (figuur 4.10) trilt met een frequentie van 50 Hz en de amplitude is 2,1 mm. Bereken de maximale snelheid van de conus.
Gegeven: f = 50 Hz en A = 2,1 mm = 2,1 · 10 −3 m.
Gevraagd: v max
Berekening: 1 Bereken eerst de trillingstijd:
T = 1 f = 1 50 = 0,020 s
2 Bereken de maximale snelheid:
v max = 2π A T = 2π × 0,0021 0,020 = 0,66 m s 1
Antwoord: De maximale snelheid van de conus is 0,66 m s 1
De conus van een luidspreker
4.10
21 a Wat is het verschil tussen fase en gereduceerde fase? R
b Bereken de maximale snelheid bij een trillingstijd van 0,15 s en een amplitude van 5,5 cm. T1
22 a Noteer de formule waarmee je de fase van een trilling berekent. R
b Leid de formule af die het verband geeft tussen de fase en de frequentie van een trilling. T1
23 Bekijk de trilling van een massa aan een veer in figuur 4.9.
a Bereken de fase op het tijdstip t = 1,3 s. T1
b Bereken op welk tijdstip de fase 0,75 is. T1
c Welke gereduceerde fasen kan een trillende massa hebben als de snelheid maximaal is? T2
24 a Een gewicht trilt aan een veer. Welke afstand legt het gewicht af in één trillingstijd, uitgedrukt in A? T1
b Bereken hoeveel maal zo groot de maximale snelheid is vergeleken met de gemiddelde snelheid bij een trilling. T2
25 Een blokje van 50 g hangt aan een veer met een veerconstante van 10 N m−1. Je trekt het blokje 3,0 cm omlaag en laat het los. Het blokje gaat hierdoor trillen. Op t = 0 s gaat het blokje vanuit de evenwichtsstand omhoog.
a Bereken de periode van de trilling. T1
b Bereken de maximale snelheid waarmee het blokje trilt. T1
c Bereken de fase en de gereduceerde fase op het tijdstip 2,5 s. T1
d Bereken de uitwijking op het tijdstip 2,5 s. T1
26 Laat zien dat je voor de uitwijking ook deze formule kunt gebruiken: u = Asin(2πφ) T1
27 Afbeelding A / Werkblad 4.27
Als je een blokje aan een veer laat trillen, wordt de amplitude geleidelijk kleiner. De trilling is dan gedempt. In afbeelding A zie je het (u,t)-diagram van zo’n gedempte trilling.
(cm)
(s)
a De trilling begint niet bij fase 0. Hoe groot is de gereduceerde fase op t = 0 s? T2
b Bepaal de frequentie van de trilling. T1
c Bepaal met behulp van je werkblad de snelheid op het tijdstip dat het blokje voor het eerst door de evenwichtsstand gaat. T2
d Bepaal deze maximale snelheid ook met de formule uit deze paragraaf. Voor de amplitude mag je het gemiddelde van de waarden voor en na dit punt nemen. T1
e Leg uit welke bepaling het nauwkeurigst was: die van vraag c of van vraag d. T2
f Bepaal met behulp van de grafiek de gereduceerde fase van de trilling op het tijdstip t = 4,0 s. T1
28
Afbeelding B en C
In een mechanisch horloge (afbeelding B) zit een onrust die zorgt voor het constant bewegen van de wijzers van het horloge. Een onrust is een wieltje dat verbonden is met een spiraalveer (afbeelding C). Het wieltje krijgt een zet van een veer of stroompje waarbij het één kant op draait. Hierbij windt de veer op. De veerkracht duwt het wieltje weer terug. Op deze manier komt het wieltje in een heen en weer gaande draaibeweging, een trilling. De periode van deze trilling hangt alleen af van de massa van het wieltje en de veerconstante van de veer. De periode T kun je berekenen met ongeveer dezelfde formule als die voor het massa-veersysteem:
T = 2π √m κ
Hierbij is κ de veerconstante van de spiraalveer in N rad−1.
a Je hebt een spiraalveer van 0,40 N rad−1. Bereken de kracht die nodig is om deze veer één ronde (= 2π rad) te laten draaien. T1
b Leg uit wanneer de veerkracht het grootst is: als het wieltje draait of als het wieltje van richting verandert. T2
c De massa van het wieltje is 2,5 g. Bereken hoe groot de veerconstante moet zijn voor een frequentie van 2,0 Hz. T2
d Het wieltje heeft een diameter van 1,50 cm. Het draait precies éénmaal rond tussen de twee uiterste standen. Bereken de maximale snelheid van de buitenkant van het wieltje. I
29 Als je niet weet hoe je je rekenmachine op radialen moet zetten, kun je de formule voor de uitwijking zo aanpassen dat je de rekenmachine op graden kunt laten staan. Noteer de aangepaste formule. T2
C
30 Afbeelding D en E
Bij sommige kerken zoals die in afbeelding D luiden twee klokken met een verschillende frequentie. Tijdens het luiden slingeren de klokken, waarbij in de uiterste stand de klepel tegen de binnenkant van de klok slaat. Bij de ene klok slaat de klepel met een hogere frequentie tegen de klok dan bij de andere. Het gevolg daarvan is het kenmerkende geluid waarbij de klokken soms tegelijk klinken.
a Als de klepel tegen de klok slaat, geeft de klok één frequentie vooral. Hoe heet zo’n frequentie? T1
b Beredeneer of de gereduceerde fase van beide klokken altijd hetzelfde is als ze gelijktijdig klinken. T2
De klokken kun je beschouwen als een lat die aan één kant bevestigd is en heen en weer slingert. Voor zo’n fysische slinger geldt de volgende formule voor de slingertijd:
T = 2π √ l 3g
Hierbij is l de lengte van de lat en g de gravitatieversnelling.
Van de twee klokken is de plaats-tijddiagram van afbeelding E gemaakt.
c Bepaal van beide klokken de frequentie. T1
d Bepaal van beide klokken de lengte van de lat. T2
e Noem de tijdstippen tussen 0 en 12 s waarop de klokken tegelijk klinken. T2
u Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de volgende begrippen: u Fase u Gereduceerde fase
T1 Ik kan de uitwijking en de maximale snelheid bij een trilling berekenen.
T2 Ik kan uitleggen wat de overeenkomst en het verschil is tussen fase en gereduceerde fase.
I Ik kan gegevens over kracht, versnelling, fase, uitwijking en frequentie combineren.
u Examentraining
31 Afbeelding F, G en H
In stadsparken tref je vaak ‘schommelbeesten’ aan. Schommelbeesten zijn ‘beestachtige’ constructies die op een stugge veer in de grond bevestigd zijn. Kinderen kunnen hier leuk op schommelen. Zo’n schommelbeest wordt een eindje uit zijn evenwichtsstand getrokken en vervolgens losgelaten. Zie afbeelding H. De beweging van het zwaartepunt van de wipkip blijkt een harmonische trilling te zijn.
Van de beweging van het zwaartepunt is een (u,t)-diagram geregistreerd met behulp van een plaatssensor. Vervolgens is aan de hand van dit diagram de versnelling bepaald voor verschillende waarden van de uitwijking van het zwaartepunt.
Zie afbeelding G. In grafiek A is de versnelling a uitgezet tegen de uitwijking u. De grafieken B, C en D kunnen geen betrekking hebben op een harmonische trilling.
a Geef een kenmerk van een harmonische trilling en leg met behulp van dat kenmerk uit waarom elk van de grafieken B, C en D niet bij een harmonische trilling hoort. T2 b De trillende massa is 40 kg. Uit de grafiek kun je aflezen dat bij een uitwijking van 5,0 cm de versnelling –2,0 m s−2 is. Bereken de veerconstante. T2 c Bereken de frequentie van de trilling. T2
Naar examen natuurkunde vwo 1999 – I opgave 3
4.4 Lopende golven
Doel Je leert de eigenschappen van lopende golven.
Golven Als een steentje in het water valt, gaat het wateroppervlak eerst naar beneden en vervolgens weer omhoog. Er ontstaat een trilling die wordt doorgegeven aan het water eromheen (figuur 4.11a). Een trilling die wordt doorgegeven, heet een lopende golf. Bij een watergolf beweegt het water in verticale richting, terwijl de golf in horizontale richting beweegt. Een golf waarbij de trilling loodrecht op de bewegingsrichting van de golf staat, heet een transversale golf Bij deze golf zie je een opeenvolging van bergen en dalen. Bij geluid is er ook sprake van een golfbeweging. Een geluidsbron brengt de omringende lucht in beweging. Daarbij trilt de lucht heen en weer in dezelfde richting als die waarin de golf beweegt. Zo'n golf heet een longitudinale golf. Je ziet een opeenvolging van verdichtingen en verdunningen (figuur 4.11b).
Golfsnelheid, golflengte en frequentie In figuur 4.12 wordt een veer door een hand in trilling gebracht. Maakt de hand een op en neer gaande beweging, dan ontstaat er een transversale golf. Maakt de hand een heen en weer gaande beweging, dan ontstaat er een longitudinale golf. De golf beweegt dan naar rechts. Als je hand één keer op en neer of heen en weer gaat, voert je hand één volledige trilling uit. In de veer ontstaat dan één golf. De lengte van zo’n golf is de golflengte ( λ − spreek uit: labda). In één trillingstijd legt de golf dus één golflengte af. De golfsnelheid kun je daarom berekenen met:
v = λ T of v = λf
v golfsnelheid in m s−1 λ golflengte in m T trillingstijd van de bron in s f frequentie van de bron in Hz
geluidsbron medium ontvanger
4.11 a Als een steentje in het water valt, ontstaat een transversale golf.
b Een geluidsgolf is een longitudinale golf.
transversale golf a b longitudinale golf
4.12 Een longitudinale en een transversale golf. Eén golflengte λ is in de figuur hierboven aangegeven.
Golf, fase en faseverschil In figuur 4.13 zie je een lopende golf in een koord. Links is de bron. Alle punten van het koord voeren na elkaar dezelfde trilling uit als de bron. De golf is bij punt Q in het koord aangekomen. Punt Q noem je de kop van de golf. In het koord zijn 2,75 golflengtes te zien. De bron heeft dus 2,75 trillingen uitgevoerd. Punt P zit op een afstand van 1,25 golflengte van de bron en heeft dus 1,25 trillingen uitgevoerd. De kop van de golf begint omhoog te bewegen en heeft dus de fase nul. Het faseverschil (∆φ) tussen twee punten in de golf is gelijk aan het aantal golflengtes of trillingen dat tussen beide punten zit. Punt P heeft dus de fase 1,5 en de bron de fase 2,75.
Het faseverschil kun je op twee manieren berekenen: ∆φ = ∆x
∆φ faseverschil tussen twee punten van een golf
∆x afstand tussen twee punten van een golf in m
λ golflengte in m
∆t tijdsverschil in s
T trillingstijd in s
Interferentie In figuur 4.14 zie je twee bronnen, A en B, die het wateroppervlak in trilling brengen. Op de plaatsen waar de twee golven elkaar ontmoeten, ontstaat een patroon waarbij het water op sommige plaatsen golft en op andere plaatsen juist niet. Als op een plaats twee golven samenkomen, worden de uitwijkingen van beide golven opgeteld. Als beide golven op die plaats in fase (∆φ = 0) zijn, vindt versterking van de golf plaats. Als beide golven op die plaats in een tegengestelde fase (∆φ = 1 2) zijn, dooft de golf juist uit.
De invloed van twee golven op elkaar heet interferentie
Bronnen A en B in figuur 4.14 trillen in fase. Op de middelloodlijn tussen A en B hebben alle punten een gelijke afstand tot A en B. Voor elk punt van de lijn geldt dat het faseverschil met de bronnen A en B nul is. De punten trillen in fase, waardoor de golven uit A en B elkaar versterken. In punt P dooft de golf uit. Doordat het verschil in afstand tussen BP en AP gelijk is aan een halve golflengte, is het faseverschil tussen de golven afkomstig uit A en B gelijk aan 1 2
De golven heffen elkaar in punt P op en er ontstaat dus uitdoving.
4.13 Lopende golf in een koord bron kop P Q
4.14 Interferentie bij twee watergolven
32 a Wat is het verschil tussen een transversale en een longitudinale golf? R
b Twee punten op een golf hebben een onderlinge afstand van 4,8 golflengtes. Hoe groot is het faseverschil? T1
c Leid de tweede formule voor het faseverschil af uit de eerste. T2
33 Een geluidsgolf heeft een frequentie van 500 Hz. Het is 20 °C. Zoek in je tabellenboek de geluidssnelheid op.
a Bereken de golflengte van deze golf. T1
Je zit op 3,50 m afstand van de luidspreker die de toon voortbrengt.
b Bereken het faseverschil tussen de conus van de luidspreker en het trommelvlies van je oor. T2
c Hoe groot is het gereduceerde faseverschil? T1
d Waardoor is de amplitude van de conus groter dan die van je trommelvlies? T1
34 Radio Veronica is de eerste commerciële radiozender in Nederland en zendt op 18 april 1960 vanaf een zendschip op de Noordzee een radiosignaal uit met een golflengte van 192 m. Radiogolven planten zich voort met de lichtsnelheid.
Bereken de frequentie van deze golven. Zoek in je tabellenboek de lichtsnelheid op. T2
35 Afbeelding A / Werkblad 4.35
De linker kant het koord is in trilling gebracht op t = 0 s. Afbeelding A geeft het moment weer waarop t = 0,35 s. P
a Bepaal het faseverschil tussen de kop en de bron van de golf. T1
b Bereken de frequentie van de trilling. T1
c Teken op je werkblad de golf een kwart trillingstijd later dan op het moment van de tekening. T2
d Leg aan de hand van vraag c uit wat de beginfase van de bron was. T2
e Geef op je werkblad twee punten met een rondje aan waarbij de golf op t = 0,35 s naar beweegt en twee punten met een kruisje aan waarbij de golf omhoogbeweegt. T1
f Leg uit wat de snelheid bij punt P is op t = 0,35 s. T2
g Teken het (u,t)-diagram van punt P tussen t = 0 s en t = 0,35 s. I
36 Waarom gebruik je bij interferentie in plaats van het faseverschil meestal het gereduceerde faseverschil? I A
37 Als een steentje in water valt, wordt er water naar beneden gedrukt. Omdat water niet kan worden samengedrukt, wordt er ook water opzijgeduwd en dat komt daar omhoog. Leg uit dat een watergolf een combinatie van een transversale en longitudinale golf is. T2
38 Afbeelding B
Twee luidsprekers, L1 en L 2, geven beide dezelfde toon en zijn in fase. Zie afbeelding B. Een eind van de luidsprekers af sta je eerst bij punt A, waar je de toon luid kunt horen. Vervolgens loop je naar punt B. De toon wordt nu steeds zwakker, totdat je bij B bijna niets meer hoort. Loop je voorbij punt B, dan wordt de toon geleidelijk luider.
39 Afbeelding C
Het uiteinde van een koord wordt in trilling gebracht. Van een punt P op het koord is het (u,t)-diagram weergegeven in afbeelding C. Punt P ligt op 40 cm afstand van de bron.
a Waardoor hoor je de toon bij A luid en bij B niet meer? T1
b Hoe heet dit verschijnsel? R
c Waardoor wordt de toon weer luider als je voorbij punt B loopt? T1
d Leg uit dat 1 2 λ gelijk is aan het verschil van de afstanden BL 2 en BL 1 T2
e Bij afbeelding B is de schaal 1 : 100. Bepaal de frequentie van de toon. T2
f Waarom hoef je bij vraag e de temperatuur niet te weten? I
a Bereken de golfsnelheid. T2
b Bepaal de frequentie van de golf. T1
c Leg uit wat de beginfase van de bron is. T1
d Bepaal de fase en de gereduceerde fase van punt P op t = 4,0 s. T2
e Bereken de maximale snelheid van punt P. T2
40 Op oceanen zijn de golven meestal niet groter dan 10 m. Dat is de afstand tussen golfdal en golftop. Toch komen er zeer zelden ook reuzengolven voor van wel 30 m in een verder rustige zee. De golf komt plotseling opzetten en is vrijwel meteen weer weg. Leg uit hoe interferentie hiervan de oorzaak kan zijn. T2
41 Afbeelding D
Oordopjes zijn tegenwoordig vaak voorzien van noisecancelling. Het geluid van de omgeving, zoals in een vliegtuig, wordt opgevangen en uitgedoofd met antigeluid.
In je oordopjes zit een microfoontje en een chip die het opgenomen geluid een halve trillingstijd vertraagt. Dit vertraagde geluid wordt ongeveer met dezelfde sterkte in je oordopje afgespeeld. In afbeelding D zie je met een oranje lijn het geluid dat van buiten rechtstreeks je oor bereikt. Het vertraagde geluid is met een gele lijn getekend.
a Waaraan zie je dat het vertraagde geluid precies een halve trillingstijd vertraagd is? T2
b Leg uit of het vertraagde geluid te hard of te zacht is. T1
c Bepaal de frequentie van het geluid. T1
d Bereken de golflengte van dit geluid.
De temperatuur is 20 °C. T1
e Waardoor wordt het storende geluid uitgedoofd? T2
f Noisecancelling werkt vooral goed bij een laag constant geluid zoals in een vliegtuig, maar niet bij het geluid van spelende kinderen. Geef hiervoor een verklaring. I
u Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen:
u Lopende golf
u Transversale golf
u Longitudinale golf
u Golflengte
u Faseverschil
u Interferentie
T1 Ik kan rekenen met golflengtes, frequenties en faseverschillen.
T2 Ik kan uitleggen wat interferentie is.
I Ik kan beredeneren in welke situaties interferentie ontstaat en berekenen waar versterking en uitdoving optreden.
u Examentraining
42 Afbeelding E, F en G
Bij een onderzoek naar de geluidssnelheid in CO2 worden twee microfoons P en Q op een verschillende afstand van een geluidsbron geplaatst. In afbeelding G zie je verdichtingen en verdunningen die zich naar rechts verplaatsen. De ruimte is gevuld met koolzuurgas (CO2). Door de (u,t)-diagrammen van beide microfoons te vergelijken, kun je de geluidssnelheid bepalen.
In afbeelding E staan de twee (u,t)- grafieken die de oscilloscoop heeft weergegeven. De tijdbasis van de oscilloscoop is ingesteld op 5 ms/hokje.
a Bepaal de frequentie van het waargenomen geluid. T1
b De amplitude van het geluid in P verschilt van de amplitude van het geluid in Q. Toch zijn de amplitudes op het scoopbeeld gelijk. Dat komt doordat de gevoeligheid in mV/hokje van de twee kanalen anders is ingesteld.
Leg uit of de gevoeligheid van het kanaal van de microfoon in P groter of kleiner is dan de gevoeligheid van het kanaal van de microfoon in Q. T2
c De twee signalen in het oscilloscoopbeeld vertonen een faseverschil. Leg op grond daarvan en van afbeelding E uit of de microfoon in P aangesloten is op kanaal 1 of op kanaal 2. I
d Voor het bepalen van de geluidssnelheid in koolzuurgas worden de microfoons verplaatst. De afstand tussen P en Q is nu 1,19 m. De frequentie van de geluidsbron is regelbaar.
Bij verschillende frequenties wordt het gereduceerde faseverschil tussen P en Q bepaald. Zie afbeelding F. Bepaal met behulp van afbeelding F de geluidssnelheid in dit koolzuurgas. I
P Q
Naar examen natuurkunde vwo 2011-II (pilot) opgave 5
1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0,00 400 500 600 700 800 900 1000 300 frequentie (Hz)
4.5 Staande golven
Doel Je leert de rol van staande golven bij muziekinstrumenten.
Het ontstaan van een staande golf Als je een lang touw op en neer beweegt, ontstaat er een transversale golf in het touw. Deze golf kaatst terug aan het andere uiteinde van het touw. In het touw lopen nu twee golven, de heengaande golf en de teruggekaatste golf. Als gevolg van interferentie tussen beide golven ontstaat bij een bepaalde frequentie het bovenste patroon van figuur 4.15 en zie je geen golf meer heen en weer bewegen. Beweeg je je hand steeds sneller, dan zie je de andere twee patronen van figuur 4.15 ontstaan. De bewegingen die door interferentie van heen en weer gaande golven in de snaar ontstaan, zijn staande golven.
Knopen en buiken In figuur 4.16 is op vijf momenten van een staande golf de stand van het touw getekend. Een punt waarbij de amplitude maximaal is, heet een buik. Een punt dat niet trilt, heet een knoop. Punten tussen twee knopen trillen allemaal met dezelfde fase. Punten aan weerszijde van een knoop trillen met een tegengestelde fase.
Als je een snaar van een snaarinstrument aanslaat, ontstaan er tegelijkertijd meerdere staande golven in de snaar. De staande golf met twee knopen en één buik heet de grondtoon van de snaar.
De staande golf met twee buiken is de eerste boventoon, die met drie buiken de tweede boventoon, enzovoort.
De afstand tussen twee knopen komt overeen met een halve golflengte. Bij de grondtoon is de lengte van de snaar dus gelijk aan 1 2 λ. Het verband tussen de lengte van de snaar en de golflengte van de grondtoon en de boventonen wordt gegeven door: l = n · 1 2 λ
l lengte van de snaar in m λ golflengte van de staande golf in m n nummer van de staande golf: grondtoon: n = 1; eerste boventoon: n = 2; tweede boventoon: n = 3; et cetera.
Als je de golflengte en de golfsnelheid kent, kun je met de formule f = v λ de frequentie bepalen van de grondtoon en van de boventonen.
4.15 Staande golven in een lang touw
4.16 Staande golf in een koord, tweede boventoon
Staande golven in lucht Bij blaasinstrumenten ontstaan ook tegelijkertijd meerdere staande golven met buiken en knopen. Bij een buik trilt de lucht sterk, bij een knoop niet. Bij een blaasinstrument is altijd minstens één uiteinde open. Op deze plek kan de lucht trillen en ontstaat een buik. Bij de grondtoon is er sprake van één knoop en één buik (figuur 4.17 boven). De lengte van de luchtkolom in de buis is dan gelijk aan 1 4 λ. Het verband tussen de lengte van de luchtkolom in een buis die aan één kant open is en de golflengte van de grondtoon en de boventonen wordt gegeven door:
l = (2n − 1) · 1 4 λ
l de lengte van de luchtkolom in m λ de golflengte van de staande golf in m n het nummer van de staande golf: grondtoon: n = 1; eerste boventoon: n = 2; tweede boventoon: n = 3; et cetera.
Als in een luchtkolom twee uiteinden open zijn, is er aan beide uiteinden een buik. Zie figuur 4.18. Omdat de afstand tussen twee buiken dan een 1 2 λ is, geldt voor het verband tussen de lengte van de luchtkolom en de golflengtes dezelfde formule als bij de snaar. Ook bij blaasinstrumenten kun je met f = v λ de frequentie van de tonen bepalen. Hierin is v de geluidssnelheid. De geluidssnelheid hangt af van de temperatuur.
Voorbeeld [5] Op een hoorn (figuur 4.19) wordt een c geblazen. Dit is de tweede boventoon. De temperatuur is 20 °C. Bereken de lengte van de buis. Er is één open uiteinde. Gebruik je tabellenboek voor de frequentie en de geluidssnelheid.
Gegeven: c: f = 131 Hz; v = 343 m s−1; n = 3
Gevraagd: l
Berekening: Bereken eerst de golflengte: v = λf → 343 = λ × 131 → λ = 2,62 m
l = (2n − 1) · 1 4 λ = (2 × 3 − 1) · 1 4 × 2,62 = 3,28 m
Of: de tweede boventoon is de onderste figuur van 4.17. Je telt 5 keer de afstand BK.
5 × 1 4 λ = λ → λ = 1,25 × 2,62 = 3,28 m
Antwoord: De lengte van de buis is 3,28 m.
K
B K K
B B K K K
4.17 Grondtoon en boventonen bij één open uiteinde
B B B B K B B K K
B B K K K
4.18 Grondtoon en boventonen bij twee open uiteindes
4.19 Hoorn
B
B
B
B
43 a Door welk verschijnsel ontstaan staande golven? R
b Voor welke twee soorten instrumenten geldt dezelfde formule voor de lengte? R
c Wat is het verschil tussen een knoop en een buik? R
d Bij een staande golf in een luchtkolom zijn er verdichtingen en verdunningen. Waar zitten de verdichtingen en waar de verdunningen? Kies uit knoop en buik. T1
44 Afbeelding A
Een pianosnaar wordt aangeslagen op de f-toets (zie tabellenboekje). De snaar heeft een lengte van 1,50 m. Je hoort de grondtoon.
a Bereken de golflengte in de snaar. T1
b Bereken de golfsnelheid in de snaar. T1
c Het geluid van de piano bereikt je oor.
Leg uit of deze geluidsgolf een lopende of een staande golf is. T2
d Bereken de golflengte van de geluidsgolf.
De temperatuur is 20 °C. T2
45 Een orgelpijp heeft één open en één gesloten uiteinde. De pijp heeft een lengte van 3,00 m. Als je op de pijp blaast, ontstaat de derde boventoon.
a Teken de buis en teken alle knopen en buiken die bij de derde boventoon horen. T2
b Tel het aantal afstanden tussen een buik en een knoop. T1
c Bereken met je antwoord op vraag b de golflengte van de toon. T1
d Bereken de frequentie van de toon als de temperatuur 20 °C is. T1
46 Blaasinstrumenten ontstemmen als de temperatuur verandert.
a Waardoor raakt het instrument ontstemd bij een temperatuursverandering? T1
b Een blaasinstrument kun je stemmen door de buis korter of langer te maken. Leg uit wat je moet doen als je in de winter met een blaasinstrument van binnen naar buiten gaat. T2
47 In figuur 4.25 is de zwart getekende lijn de uiterste stand van het koord. De lengte van het koord is 125 cm. De frequentie is 60 Hz.
a Bepaal de amplitude. T1
b Hoe groot is de snelheid van elk punt van het koord in stand 1? T1
c Bereken de snelheid van een punt met de grootste amplitude in stand 3. T2
d Hoe groot is de gereduceerde fase van het midden van het koord in stand 1 en in stand 3? T1
48 Afbeelding B / Werkblad 4.48
De dikste snaar van een gitaar is de E-snaar. De lengte van het trillende deel van de snaar is 63,5 cm. Zie afbeelding B. De E-snaar trilt met een frequentie van 82,4 Hz (grondtoon).
a Bereken de golflengte in de snaar. T1
b Bereken de golfsnelheid in de snaar. T1
c Je kunt de snaar inkorten door je vinger op de snaar te houden ter hoogte van een fret. Frets zijn de metalen staafjes dwars op de hals van de gitaar. Bepaal de frequentie van de grondtoon die je hoort als je je vinger bij de zesde fret houdt (rode pijl). Gebruik je werkblad. I
Voor de golfsnelheid in de snaar geldt de volgende formule:
v = √F s l m
Hierbij is F s de spankracht in de snaar, l de lengte van de snaar en m de massa van het trillende deel van de snaar.
d Leg met behulp van de formule uit of je de snaar strakker of juist minder strak moet spannen als de toon te laag klinkt. T2
e Bij de E-snaar is de spanning 50 N. Bereken de massa van de snaar. T1
f Leg uit of de andere snaren een grotere of juist kleinere massa hebben. Ga ervan uit dat de spanning gelijk is. T2
49 Afbeelding C
In afbeelding C zie je een geluidsbuis. Als je deze buis snel rondslingert, hoor je op een gegeven moment een toon. Als je sneller draait, krijg je een hogere toon. Beide uiteinden van de slang zijn open. De lengte van de slang is 75 cm.
a Waardoor ontstaat het geluid? T2
b Bereken de frequentie van de grondtoon die de slang voortbrengt. De temperatuur is 20° C. T1
c Bij harder slingeren ontstaat een hogere toon. Wat gebeurt er dan in de slang? T2
d Bereken de frequentie van de tweede boventoon. T1
50 a De verhouding tussen de frequenties van de grondtoon en de boventonen van een snaarinstrument is 1 : 2 : 3 : ... Toon dit aan. I
b De verhouding tussen de frequenties van de grondtoon en de boventonen van een blaasinstrument dat aan één kant open is, is 1 : 3 : 5 : ... Toon dit aan. I
c Je onderzoekt het geluid van een instrument. Je vindt frequenties van 262 Hz, 786 Hz, 1,31 kHz en 1,83 kHz. Leg uit of het om een blaasinstrument of een snaarinstrument gaat. T2
51 Afbeelding D
Een vlag wordt in de mast gehesen met een lange lijn die aan de bovenkant in een katrol loopt. Zo lopen er altijd twee lijnen langs de mast. Vooral als er geen vlag in de mast hangt, kun je regelmatig getik horen van de lijnen tegen de mast. De oorzaak is de wind die de lijnen in trilling brengt met een vaste frequentie.
a Hoe heet deze frequentie? R
b Leg uit of hier sprake is van resonantie. I
De lijnen zijn beneden aan een kikker vastgeknoopt. De afstand tussen de kikker en de katrol is 9,5 m. De frequentie van de tik is 2,5 Hz. De amplitude van de trillende lijnen is halverwege het grootst en wordt geleidelijk kleiner naarmate je verder van het midden komt.
c Leg uit dat er een staande golf door de lijnen loopt. T1
d Bereken de snelheid van deze lopende golf. T2
e Je stoort je aan het getik en knoopt de lijnen wat strakker aan de kikker vast. Helaas blijft het getik bestaan, maar met een andere frequentie. Leg uit of de frequentie groter of kleiner wordt. T2
52 Afbeelding E
Je wilt onderzoeken of een saxofoon twee open uiteinden heeft of één open uiteinde. Daarvoor meet je de frequenties van een toon bij 20 °C. Zie het frequentiespectrum in afbeelding E.
a Leid uit de meetgegevens af of de saxofoon één of twee open uiteinden heeft. T2 b Bepaal de lengte van de trillende luchtkolom in de saxofoon bij deze toon. T2
u Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de betekenis van de volgende begrippen: u Staande golven u Knopen en buiken u Grondtoon en boventonen
T1 Ik kan bij een instrument de golflengtes van de grondtoon en de boventonen bepalen.
T2 Ik kan uitleggen hoe staande golven de toon bepalen bij snaar- en blaasinstrumenten.
I Ik kan aan de hand van een frequentiespectrum beredeneren of het om een snaar- of blaasinstrument gaat.
u Examentraining
53 Afbeelding F en G
In afbeelding F is een zogenaamde duimpiano te zien. Dit is een muziekinstrument dat bestaat uit een houten blok met daarop een aantal metalen strips. De strips kunnen in trilling worden gebracht door ze met de duim naar beneden te duwen en los te laten. Er ontstaat dan een staande golf in de strip.
In afbeelding F is te zien dat er vijf strips op de duimpiano zijn gemonteerd. De tonen die de strips voortbrengen, zijn bekend. De frequenties waarmee de strips (van beneden naar boven) in hun grondtoon trillen, zijn weergegeven in de tabel hieronder. strip 1 2 3 4 5
(Hz) 349 523 698 831 1047
Van één van de strips is het geluid opgenomen en weergegeven in afbeelding G.
a Bepaal aan de hand van afbeelding G van welke strip het geluid is opgenomen. T1
b Leg uit dat bij het uiteinde van de strip een buik zit en geen knoop. T1
c De duimpiano in afbeelding F is afgebeeld op de helft van de ware grootte. Bepaal de voortplantingssnelheid van de golf in strip 1 (de langste). Meet de lengte vanaf het dwarsstaafje. T2
d Laat zien dat de voortplantingssnelheden in strips 3 en 4 niet gelijk zijn. I
Naar examen natuurkunde vwo 2012-II opgave 1
Toetsvoorbereiding
1 Geef steeds de formule voor het verband tussen de twee grootheden. Het is handig als je de formules kent of als je ze snel kunt vinden in je tabellenboekje. R
a frequentie en trillingstijd b resulterende kracht en uitwijking c trillingstijd en massa bij een massaveersysteem
d fase en tijd bij een trilling e uitwijking en tijd bij een trilling f maximale snelheid en amplitude g golfsnelheid en frequentie h faseverschil en afstand i faseverschil en tijdverschil
2 Bij een duikplank is de doorbuiging bij het uiteinde recht evenredig met de kracht die op de plank wordt uitgeoefend. Op de plank staat een meisje met een massa van 55 kg. Als ze stil op de plank staat, is de plank 15 cm doorgezakt.
a Bereken de veerconstante van de plank. T1
b Voordat het meisje van de plank springt, trilt ze even op en neer. Je mag aannemen dat deze trilling harmonisch is. Bereken de frequentie van deze trilling. Gebruik bij je berekening 10 kg voor de massa van de plank. T1
c Om een zo hoog mogelijke sprong te maken, springt het meisje een aantal malen omhoog. Vlak voor de afsprong komt ze op de plank neer, waarbij de plank 50 cm doorzakt. Bereken de maximale verticale snelheid die het meisje tijdens de afsprong krijgt. T2
d Wat is de gereduceerde fase van de plank als het meisje loskomt van de plank? I
e Als het meisje los is van de plank, trilt de plank nog even na. Leg uit of dit een harmonische trilling is. T1
f Leg uit of de frequentie van de trilling bij vraag e groter of kleiner is dan de frequentie van de trilling bij vraag b. T1
3
Afbeelding A
Bij een aardbeving trilt de aarde als gevolg van aardplaten die langs elkaar bewegen. Op verschillende plaatsen op aarde meet een seismograaf de trillingen. Het resultaat is een seismogram als in afbeelding A. Bij een aardbeving ontstaan twee soorten golven: de P-golven met een snelheid van 6,0 km s−1 zijn longitudinaal. De S-golven met een snelheid van 3,5 km s−1 zijn transversaal.
a Wat wordt bedoeld met longitudinaal en transversaal? R
b Uit het tijdverschil tussen de aankomst van de S-golven en de P-golven bij het meetstation kun je de afstand tot het epicentrum van de beving bepalen. Bereken deze afstand met behulp van afbeelding A. T2
c Met de amplitude die je meet, kun je de kracht van de beving vinden. Waarom moet je daarbij ook rekening houden met de afstand tot de beving? T2
d Leg uit hoeveel meetstations nodig zijn om de precieze plaats van het epicentrum te bepalen. T2
S P
4 Afbeelding B
Een gewichtje van 75 g hangt aan een veer. Van de beweging is het diagram van afbeelding B gemaakt.
u (cm)
a Leg uit wat de beginfase van de trilling was. T1
b Bepaal de frequentie van de trilling. T1 c Bereken de veerconstante van de veer. T2 d Bepaal de maximale snelheid van het gewicht. T2
Als je het gewicht aan een touwtje hangt, kun je het laten slingeren. Een slinger kun je ook als een trilling beschouwen.
Voor de slingertijd geldt een soortgelijke formule als voor de trilling:
T = 2π √ l g
Hierbij is l de lengte van de slinger en g de versnelling van de zwaartekracht.
e Wat is de evenwichtsstand bij een slinger? T1 f Bereken de lengte van de slinger met een trillingstijd die tweemaal zo groot is als de trillingstijd van de trillende veer. T2
g Als je het gewicht met een touwtje aan de veer verbindt, waarbij de totale lengte gelijk is aan de lengte die je hebt gevonden bij vraag f, gebeurt er iets bijzonders. Als je het gewicht in een slingerbeweging brengt, slingert het eerst. Daarna dempt de slingering en gaat het gewicht flink trillen om vervolgens weer te gaan slingeren enzovoort. Hoe heet dit verschijnsel? Licht je antwoord toe. I
5 Een viool stem je met een stemvork met een frequentie van 440 Hz. De A-snaar met deze frequentie als grondtoon heeft een lengte van 33,0 cm.
a De stemvork trilt altijd met dezelfde frequentie als je hem aanslaat. Wat is de naam van deze frequentie? R
b Bereken de snelheid van de golf in de snaar. T2
c Bereken de frequentie van de tweede boventoon. T1