UNIDAD 3
EL RAZONAMIENTO LÓGICO
NICOLAS DE KADAN STAROMESTSKY ORLOJ STARE PRAHA
SOCIEDAD ASTURIANA DE FILOSOFIA http://www.sociedadasturianadefilosofia.org
Sociedad Asturiana de Filosofía
El razonamiento lógico La formalización del saber 0.
Piensa un poco.
1.
¿Qué significa pensar?
2.
Conocer es sintetizar informaciones heterogéneas.
3.
Pensamiento, lógica y lenguaje.
4.
Lenguajes naturales y artificiales.
5.
El lenguaje artificial.
6.
Formas de razonamiento lógico.
7.
Lógica de clases y razonamiento silogístico. 7.1. Clases y conjuntos. Distinciones filosóficas. 7.2. El calculo de clases y los diagramas de Venn. 7.3. De los juicios apofánticos a las inferencias inmediatas. 7.4. La silogística tradicional resuelta por diagramas de Venn.
8.
Lógica de enunciados y deducción natural 8.1. Resolución de tablas veritativas. 8.2. La deducción natural como cálculo. 8.3. Reglas básicas de Gentzen y reglas derivadas comunes.
Stanley KUBRICK, HAL 2001: a Space Odyssey (MGM Reino Unido 1968)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Piensa un poco Pensar: ¿un método para navegar o para naufragar? El mar es un conjunto de olas sucesivas, igual que la vida se compone de días y horas que fluyen una detrás de otra. Parece una división muy sencilla, pero esta operación, incorporada a la mente, ha salvado del naufragio a innumerables marineros y ha ayudado a superar en tierra muchas tragedias humanas... Si en medio de un gran temporal el navegante piensa que el mar encrespado forma un todo absoluto, el ánimo sobrecogido por la grandeza de la adversidad entregará muy pronto sus fuerzas al abismo; en cambio, si olvida que el mar es un monstruo insondable y concentra su pensamiento en la ola concreta que se acerca y dedica todo el esfuerzo a esquivar su zarpazo y realiza sobre él una victoria singular, llegará el momento en que el mar se calme y el barco volverá a navegar de modo placentero.
Manuel VICENT (1936-)
Cuando éramos niños desnudos en la playa no teníamos conciencia del mar abstracto, sino del oleaje que invadía la arena y contra él se establecía el desafío... La práctica de aquellos baños inocentes en la orilla del mar es la mejor filosofía para sobrevivir a las adversidades. El infinito no existe, el abismo sólo es un concepto. Las pequeñas tragedias de cada día se componen de olas que baten el costado de nuestro navío... Una sola ola es la que te hace naufragar. De esa hay que salvarse. Manuel VICENT, Las olas (relato corto publicado en el periódico El País, 28 marzo 2004)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Piensa un poco Tras los atentados del 11-M en Madrid, el partido en el gobierno atribuyó su autoría a la banda terrorista ETA, mientras la gente indignada ante la posible manipulación pedía «saber la verdad». Tras las elecciones del 14-M, se dio por válido este argumento: «Si el atentado hubiese sido obra de ETA, el PP habría salido victorioso, pero como el atentado fue perpetrado por grupos islámicos, el PSOE salió ganador». Analiza su grado de validez. ¿Puedo predecir un resultado electoral con un «razonamiento»? ¿Las «premisas» o «presupuestos» determinan la conclusión? ¿Para concluir bastará «saber pensar» o hace falta «algo más»? Joaquín Salvador Lavado QUINO, Mafalda (Lumen)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
¿Qué significa pensar? Todo condicional del estilo «si llueve, entonces las calles se mojan» es una «inferencia simple», o bien un «esquema de razonamiento». Los estoicos decían que los animales utilizan este tipo de esquemas esquemas de inferencia lógica de los estoicos Si lo primero, entonces lo segundo ; lo primero, luego lo segundo. Si lo primero entonces lo segundo; no lo segundo luego no lo primero No a la vez lo primero y lo segundo; lo primero, luego no lo segundo. O lo primero o lo segundo; lo primero, luego no lo segundo. O lo primero o lo segundo; no lo segundo, luego lo primero. CRISIPO de Soli, Razonamientos lógicos (Cita Diógenes LAERCIO, Vida, opiniones y sentencias de los filósofos más ilustres VII, 55)
Si A, B A
Si A, B no B
----------
----------
B
no A
AóB A
AóB no B
----------
----------
----------
no B
no B
A
No AyB A
Pero nosotros vincularemos el «pensamiento» a la «racionalidad» en tanto comportamiento específico, objetivado, gramaticalizado, social, por medio del cual se valora, se comprende o actúa, y que alcanza su máxima «expresión objetivada» a través de un «lenguaje escrito».
Unidad 3: El Razonamiento lógico
¿Qué significa pensar? El «pensamiento» no puede ser «privado», sino que se configura a través de «instituciones»: periódicos, escuelas, academias, ateneos y tiene como punto de llegada las personas que viven en ese medio al que alcanzan las instituciones. Y por ser público es «beligerante» El «pensamiento objetivo» es la confluencia de múltiples «saberes» que se cruzan en un determinado momento y en un lugar históricos. «Pensar» consistirá en comparar, relacionar, confrontar caracteres contrapuestos, advertir contradicciones y en mostrar desconexiones
Hombres, animales y autómatas
El «pensamiento» puede entenderse como la «Weltanschauung», «visión o concepción del mundo» que incluye las reflexiones sobre el mundo cotidiano, las narraciones de los avatares de un hombre, las instrucciones técnicas, las leyes y los teoremas científicos, etc.
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Conocer es sintetizar informaciones heterogéneas En «Crítica de la Razón Pura» el filósofo Inmanuel Kant afirma que la propiedad del «pensamiento» es «juzgar»: un «juicio» es una vinculación entre una expresión que se usa como sujeto y otra que sirve de predicado; pueden ser afirmativos negativos
universales particulares
analíticos sintéticos
a priori a posteriori
Para Kant sólo son válidos cognitivamente (científicos) los «juicios sintéticos a priori», ya que sintetizan un elemento intuitivo de la experiencia y un concepto del entendimiento Kant reconoció también que ese mecanismo de síntesis era la actividad propia de la razón humana, luego «pensar» es sintetizar informaciones heterogéneas para darles cierta coherencia o unidad. Pero esta mera actividad no garantizaba la verdad de lo pensado, se necesita un cumplimiento o verificación experimental Inmanuel KANT Crítica de la razón pura (primera edición de 1781)
Kant criticó las Ideas metafísicas «Mundo»,«Alma»,«Dios» como meros productos de la Razón en su afán sintetizador: mundo dios alma Síntesis del conjunto de fenómenos espaciales
Síntesis del conjunto de experiencias temporales
Totalización de los otros dos en unidad superior
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Conocer es sintetizar informaciones heterogéneas El «pensamiento crítico» es aquel que pone «límites» a ese afán inmoderado de la razón de hacer «síntesis» extravagantes entre informaciones heterogéneas, sin repudiar por esto el «pensamiento divergente», fuente de «pensamientos originales» e «hipótesis novedosas» Entre la sensibilidad, que nos proporciona las «intuiciones reales», y el entendimiento y la razón, que nos proporcionan los conceptos, que son la materia de la que están hechos los pensamientos, Kant adivinó que era la imaginación quien se encarga de hacer la tarea de sintetizar informaciones heterogéneas y propuso que la «disposición natural» que mostramos los hombres a engendrar nuevos conocimientos nacería precisamente de ese «uso puro de la razón», que «no debe atribuirse al azar impreciso, sino a un germen originario organizado sabiamente para grandes fines».
Inmanuel KANT (1724-1804)
sensibilidad
entendimiento
razón
imaginación
Según la teoría evolutiva y el pensamiento materialista del siglo XIX ese fin no es otro que la «supervivencia» de grupos humanos y en última instancia de la especie en las «circunstancias cambiantes» de medio ambiente
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Pensamiento, lógica y lenguaje La relación entre «palabras y cosas» supone «procesos cognitivos» mediante los cuales el hombre «organiza su experiencia sensorial»: la «teoría de abstracción» aristotélica jugará un papel fundamental. La actividad de «nombrar» es una peculiaridad humana para hacer explícito un proceso común: la organización de datos sensoriales. Nombrar es «categorizar los estímulos», «etiquetar la realidad» a lo que siguen unos procesos de «transformación y de diferenciación» pensamiento
lenguaje
El lenguaje de los indios «hopi» tiene mayor cantidad de verbos que de nombres, a diferencia de los lenguajes europeos, y esto se traduce por ejemplo en una diferente concepción del tiempo, el espacio y el movimiento, una diferente «Weltanschauung».
Tanto pensamiento como lenguaje alcanzan un lugar de encuentro en la ciencia antigua llamada lógica («λoγoζ»: «razón»,«lenguaje») inventada por Aristóteles, que alcanza un extraordinario desarrollo en el siglo XX gracias a una íntima relación con las «Matemáticas».
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Lenguajes naturales y artificiales Los «lenguajes naturales» son productos de evolución lingüística, vinculados a grupos étnicos específicos o a comunidades políticas («nacionales») y su aprendizaje es espontáneo en los primeros años de vida del niño. Se fundan en algún dispositivo innato característico de la especie (la «competencia lingüística» de Chomsky)
A.N.CHOMSKY (1928-)
Los «lenguajes artificiales» son productos de diseños conscientes, acuerdos o convenciones arbitrariamente establecidos por una «comunidad de especialistas» y requieren de un aprendizaje deliberado y planificado. Carecen de cualquier tipo de «fundamento natural». Se da la paradoja de que mientras los lenguajes naturales, que fundan su naturalismo en algún dispositivo innato, característico de la especie y, por lo tanto, universal (ejemplo la «competencia lingüística» de Noah Chomsky), tienden a fragmentarse y diversificarse con el paso del tiempo, avanzando hacia el particularismo (ejemplo: escisión del latín en lenguas románicas), algunos lenguajes artificiales, que carecen de fundamento natural, tienden a conseguir estándares de unificación mayores, hasta el punto de hacerse internacionales y universales (ejemplo, las matemáticas, la lógica formal) Hablamos por lo tanto de ventajas o desventajas relativas en ambos casos.
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Lenguajes naturales y artificiales El lenguaje natural adolece de «rigor semántico», pues las palabras y frases resultan «polisémicas», tienen varios significados, y sólo el «contexto» ayuda a descifrar su sentido. Ya los antiguos distinguían términos unívocos términos análogos términos equívocos Se predican o se atribuyen a un solo sujeto siempre de la misma manera y con igual sentido (v.g.«asma», «reloj»)
Se predican o atribuyen de distintas cosas en parte de la misma manera y en parte de modo diferente («saludable»)
Se predican o atribuyen de cosas distintas pero de modo completamente diferente. (v.g. «gato», «reserva»).
En la semántica moderna, cuando el «significado» se define no por sus referentes absolutos ni por las representaciones asociadas sino por su «uso», la distinción principal se hace entre «términos vagos» (cualitativo y comparativo) frente a «términos precisos» (cualitativo). Epiménides el cretense dice que todos los cretenses son mentirosos Los estoicos descubren que enunciados aparentemente correctos encierran paradojas insolubles
El lenguaje natural adolece de «rigor sintáctico»: la regla sintáctica incluyen enunciados confusos («el perro de tu padre me mordió»), combinaciones redundantes («comunidad universitaria»), e incluso contradicciones in terminis («ciencias ocultas») que serán absurdas
Unidad 3: El Razonamiento lógico
El lenguaje artificial Aristóteles dio el primer paso al seleccionar el uso apofántico o indicativo como característico en ciencia: serán «enunciados apofánticos» los que puedan ser catalogados como verdaderos o falsos, y su estructura formal es siempre la misma «sujeto/cópula/predicado» universal
ARISTÓTELES (384-322 a.n.e)
particular
afirmativo
negativo
El razonamiento científico resulta un encadenamiento sucesivo de enunciados según cuatro tipos de juicios: sistema de reglas de encadenamiento o «inferencia» que permitían pasar de unos enunciados («premisas») a otro («conclusión») sin caer en sofismas o paradojas Los «lenguajes artificiales» se describen por tres pasos I) Selección y definición de los términos y los signos primitivos relevantes. II) Formulación de un sistema de construcción de enunciados apofántocos o fórmulas bien formadas (que no generarán sofismas ni contradiciones). III) Explicitación del sistema de reglas de transformación permisibles para formar cadenas deductivas (que serán siempre necesariamente validas)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
El lenguaje artificial Aristóteles solo se ocupó de la «forma» de los enunciados en las «explicaciones ciencias», no del «contenido», ni tampoco creará un «simbolismo artificial» que garantice la univocidad de los términos. Desde que Galileo matematizó la física en el siglo XVI se considera un tópico asociar el «progreso» de las ciencias con su construcción. Joaquín Salvador Lavado QUINO, Mafalda (Lumen)
«Lógica formal» y «Matemáticas» se consideran los prototipos más acabados de lenguajes artificiales: entre sus «ventajas» asociadas están la precisión, la exactitud, operatividad, eficacia y simplicidad; las «desventajas» serían el carácter limitado del uso y su rigidez y acartonamiento, frente a la riqueza y flexibilidad del lenguaje natural
Unidad 3: El Razonamiento lógico
El lenguaje formal y la argumentación racional Perelman resucita la oposición entre natural y artificial con la antítesis entre «Lógica», o esquemas rígidos, y «Retórica», articulaciones inanalizables contrapuestas a las estructuras lógicas, no por ello menos racionales La argumentación filosófica, aunque lógica, se apoya en el lenguaje natural y trabaja con nociones confusas sometidas a «debate contradictorio»: no puede aspirar a determinar «verdades impersonales e intemporales» artificial
lógica retórica
natural
Ch.PERELMAN Para Perelman el lenguaje lógico-matemático es una (1912-1984)
«construcción» que presupone el lenguaje natural que no hay necesidad alguna de corregir y perfeccionar: los discursos se emiten siempre en un «contexto» que proporciona al interlocutor información necesaria para evitar «equívocos» e «interpretaciones desajustadas».
Unidad 3: El Razonamiento lógico
El lenguaje formal y la argumentación racional El lenguaje «natural» es más económico que el «artificial» pues no requiere explicitar todos los datos y presupuestos para garantizar la «inteligibilidad», ya que se apoya en un «conjunto de proposiciones implícitas» que comparten los «interlocutores» por la pertenencia a una «cultura común» La «matemática», al descontextualizar el lenguaje natural, debe imponer «a priori» las condiciones de inteligibilidad, lo que implica la definición de los «signos», unas «reglas» utilizables y unas «precondiciones de validez»: el lenguaje natural se ahorra todo esto gracias al recurso del contexto Bertrand RUSSELL Alfred WHITEHEAD, Principia Mathematica (primera edición de 1910)
matemáticas totalitaria
coactiva
retórica probable
analítica
Subyacen a esta discusión dos importantísimos equívocos la identificación de la «lógica» con el «lenguaje» y la tesis de que la ciencia no es más que «lenguaje bien hecho». Dejemos ahora lo segundo (tema 4), aclaremos lo primero
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Formas de razonamiento lógico Para segregar la lógica del lenguaje basta definir la primera como «la ciencia de los principios de la inferencia formalmente válida». «Inferencia» es sinónimo de «razonamiento» y de «argumentación»: capacidad para sacar «conclusiones» a partir de datos o «premisas» El nexo que une la premisas y la conclusión se conoce por «relación de consecuencia»: la capacidad de razonar o de argumentar parece consistir por tanto en una serie de «operaciones psicológicas» tendentes a establecer relaciones de consecuencia que denotan una cierta actividad cerebral, cuya maduración se produce según Jean Piaget en torno a los siete años de vida del sujeto. Jean PIAGET, Etapas desarrollo cognitivo (a partir del texto El criterio moral en el niño Martínez Roca, Barcelona 1984)
Husserl distingue entre «acto de razonar» por actividad intracraneal («noesis») del que se ocupa la psicología, la fisiología o la genética, y «producto» o «resultado de esa actividad» («noema»), objetivable mediante el lenguaje («razonamientos») y del que se ocupa la lógica interesada solo por la «cristalización lingüística» de las «inferencias»
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Formas de razonamiento lógico Pero el hombre, cuando razona, comete frecuentemente «errores», hace «inferencias precipitadas», queda bloqueado por «prejuicios». Una de las tareas acometidas por la lógica desde antiguo consistió en distinguir los razonamientos verdaderos de los falsos («falacia») La razón humana no es infalible y al actuar con «fines pragmáticos» tiene un «uso retórico»: se argumenta no para alcanzar la verdad y si para convencer a otro, ridiculizar al contrario, suscitar sentimiento Aristóteles sostuvo el uso lógico de la razón, pero las inferencias no siempre conducen a verdad: a veces las premisas de las que partimos son falsas; otras veces de premisas verdaderas salen conclusiones falsas; y otras, aun contando con la verdad material de las proposiciones de partida, falla la propia estructura ilativa del argumento. La lógica formal debe garantizar la validez de las inferencias, dando por supuesta la verdad de las premisas.
FORGES Última lora (publicado en El País digital en 2011)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Formas de razonamiento lógico Combinando las tres posibilidades salen estos ocho razonamientos: premisas verdaderas y conclusión verdadera
premisas verdaderas y conclusión falsas
premisas falsas y conclusión verdadera
premisas falsas y conclusión falsa
Si todos los satélites giran entorno a planetas entonces la Luna gira alrededor de la Tierra. Es así que la Luna gira. Todos los satélites giran
Todos los antílopes son mamíferos. Todos los elefantes son mamíferos . Todos los elefantes son antílopes.
Todos los asturianos son fumadores. Todos los fumadores son ovetenses . Todos los ovetenses son asturianos.
Ningún faquir come sables. Todos los tragasables sufren hepatitis . Ningún enfermo hepático es faquir.
premisas falsas y conclusión verdadera
premisas falsas y conclusión falsas
premisas verdaderas y conclusión verdarera
premisas verdareras y conclusión falsa
Todos los niños mueren de cáncer de pulmón. Ningún ministro muere de cáncer de pulmón . Ningún ministro es niño de pecho.
Todos los derviches son solanáceas. Ninguna solanácea necesita agua para vivir. Ningún derviche necesita agua para vivir.
Compuestos covalentes tienen una fusión baja. Son talasógenos. Es cierto lo primero . Compuestos covalentes son talasógenos.
No hay razonamientos: la Lógica excluye el tipo VIII y de ahí extrae toda su fuerza. Al prohibir conclusiones falsas, conecta verdad y validez
El formalismo moderno se desentiende de la «verdad» o «falsedad» de las proposiciones, puesto que no tiene en cuenta los contenidos: la lógica formal, para mantener el estatus de ciencia rigurosa exacta debe limitarse a estudiar los «esquemas válidos de razonamiento».
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Lógica de clases y razonamiento silogístico Históricamente la lógica de clases precede a la lógica proposicional: las actividades «clasificatorias» anteceden a las «proposicionales», pues los niños manipulan cosas antes de empezar a hablar (Piaget) hasta las ciencias elaborar «taxonomías» antes de formular teorías. La lógica trabaja antes la formalización aristotélica sujeto/predicado:
Aristóteles
G.Boole
A.De Morgan
G.Peano
G.Cantor
Tanto la noción de «clase» como la de «conjunto» (en matemáticas) hacen referencia a todos, totalidades, y «todos» puede tener varios significados, según el modo que se organice la totalidad que refiere: es importante la distinción en un sentido «distributivo» y «atributivo» así como la distinción entre las clases «porfiriana» y «combinatoria»
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Clases y conjuntos. Distinciones filosóficas Una «clase distributiva» agrupa partes de modo que lo que se dice de todos se dice también de cada uno de los miembros en particular Un «conjunto atributivo» está formado por la acumulación de partes y su operatoriedad atiende más a las diferencias que a semejanzas. CUADRO DE TOTALIDADES
P A R T E S
HOMOGÉNEAS
HETEROGÉNEAS
TODOS PROPIEDADES DEL TODO DISYUNTIVAS
PROPIEDADES DEL TODO CONJUNTIVAS
DISTRIBUTIVAS
PROFIRIANAS
Relaciones entre partes: simétricas, transitivas, reflexivas y de equivalencia Partes independientes entre sí: no conexas
Propiedades de la extensión por repetición A mayor extensión, propiedades contantes A mayor intensión, menor extensión
(CLASES)
(CLASES)
COMBINATORIAS
ATRIBUTIVAS
Al aumentar la intensión, aumenta la extensión Cuentan tanto las propiedades que se dan como las que faltan
Relaciones entre las partes asimétricas Partes conexas entre sí y dependientes del todo Multiplicidades nematológicas
(CLASES)
(CONJUNTOS)
La «clase porfiriana» es estática y categoriza una realidad inmóvil, sus notas se dan simultáneamente, su procedimiento es la partición. La «clase combinatoria» desarrolla sus partes teniendo en cuenta simultáneamente tanto los rasgos que aparecen como los que faltan
Unidad 3: El Razonamiento lógico
El cálculo de clases y los diagramas de Venn George Boole presentó la lógica de clases como «álgebra» sencilla y John Venn propuso un «método de representación» que permite calcular el valor de verdad o falsedad asociado a los razonamientos. Formalmente una «clase» se define como el conjunto de los objetos (elementos o individuos) que satisfacen la función proposicional Px: objetos términos pertenencia Se representan con las letras mayúsculas A, B, C (clases)
Elementos variables x, y, z… Elementos constantes a, b, c
Símbolo ∈ : x ∈ A ó a ∈A (traduce la frase «es un A»)
no pertenencia Símbolo ∉ : x ∉ A ó a ∉ A (se traduce «x no es un A»)
x
y z
a
b c
clase universal Símbolo U: agota el universo (clase de todas las clases)
clase vacía Símbolo ∅: niega la universal (definición: ∅ = df. A ∪ ¬ A)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
El cálculo de clases y los diagramas de Venn El «universo de discurso» (U) se representa gráficamente mediante el área de un rectángulo en cuyo interior se ubican dos clases A y B: los «functores» que de clases sacan clases se llaman «operadores» unión (∪ ) intersección (∩) complemento (¬) Definición: ¬A = df. ∀x (x ∉ A)
A ∩ B = df. ∀x (x ∈A ∧ x ∈B)
A ∪ B = df. ∀x (x ∈A ∨ x ∈B)
U
diferencia lógica (−) diferencia simétrica (ƒ) inclusión propia (⊂ ) A−B = df. ∀x (x ∈A ∧ x ∉ B)
A ƒ B = df. ∀x (x ∈A W x ∈B)
B ⊂ A = df. ∀x (x ∈B → x ∈A)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
De juicios apofánticos a inferencias inmediatas Aristóteles analiza «proposiciones apofánticas» en términos S-P: Sujeto y Predicado se pueden interpretar como variables de clase y las relaciones entre S-P como relaciones u operaciones entre clases universal afirmativa Aristóteles divide según la universal negativa S ⊂ P = [ (S ∩ ¬ P) = ∅ ]
A
particular afirmativa S⊄¬P=[(S∩P)≠∅]
I
cualidad de la proposiciones en afirmativas y negativas (la negación va con predicado). Según la cantidad distinguía las proposiciones en otros dos grupos divergentes: las universales, que se referían a «todos» los miembros de una clase, y las particulares, que se referían a «algunos». Combinando las divisiones salen cuatro tipos de juicios.
A
E
I
O
S⊂¬P=[(S∩P)=∅]
E
particular negativa S⊄P=[(S−P)≠∅]
O
Unidad 3: El Razonamiento lógico
De juicios apofánticos a inferencias inmediatas A
E
I
O
obversión «Todo lo realizable es posible» (S ⊂ P) por doble negación: «nada realizable es imposible» (S ⊄ ¬P) equivalentes ambas sin cambiar cantidad
conversión
contraposición
inversión
Permutamos S por P podemos obtener la equivalente (simple): si «algún ministro es inteligente», también «algún inteligente es ministro».
Permutamos S por P negando ambos, nos sale una equivalente «todos lo mamíferos son vertebrados», da «ningún invertebrado es mamífero».
Transformación que niega el S y el P sin alterar el orden: así «todos los pedantes son indeseables» da «algunos indeseable son pedantes».
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Silogística tradicional resuelta por diagramas Venn La inferencia mediata tradicional más célebre se llama «silogismo»: son tres proposiciones cada una con la forma Sƒ1P [ƒ1 = {a, e, i, o}] el producto de la primera por la segunda da necesariamente tercera No toda combinación Sƒ1P pueden ser: una de las premisas debe ser universal. Para que haya conexión lógica tiene que darse un puente entre el S y el P de la conclusión: en todo «silogismo» hay tres términos y sólo tres términos, de los que el nexo entre las dos premisas se llama término medio, simbolizado con una M. Formal y extensionalmente, atendiendo a la posición de término medio aparecen cuatro variedades de silogismos que se llaman «figuras» del silogismo. Los «modos» silogísticos son cada una de las variedades válidas de cada figura, según la combinación de propiedades posibles que determinan ƒ1. • 1ª Figura: [(Mƒ1P) ∧ • 2ª Figura: [(Pƒ1M) ∧ • 3ª Figura: [(Mƒ1P) ∧ • 4ª Figura: [(Pƒ1M) ∧
(Sƒ2M)] → (Sƒ3P); (Sƒ2M)] → (Sƒ3P); (Mƒ2S)] → (Sƒ3P); (Mƒ2S)] → (Sƒ3P);
J.WALES Wikipedia Modos: ƒ1 Modos: ƒ1 Modos: ƒ1 Modos: ƒ1
∧ ∧ ∧ ∧
ƒ2 = {(a, a), (e, a), (a, i), (e, i)} ƒ2 = {(a, e), (e, a), (e, i), (a, o)} ƒ2 = {(a, a), (a, i), (i, a), (e, a), (e, i), (o, a)} ƒ2 = {(a, a), (a, e), (i, a), (e, a), (e, i)}
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Silogística tradicional resuelta por diagramas Venn figura 1: barbara [(R ⊂ P) ∧ (C ⊂ R)] → (C ⊂ P)]
C
P
figura 1: celarent
[(Q ⊂ ¬C) ∧ (N ⊂ Q)] → (N ⊂ C)]
N
C
figura 2: (a, a, a) [(M ⊂ S) ∧ (V ⊂ S)] → (V ⊂ M)
V
M
R
Q
S
figura 3: datisi
figura 4: fresison
figura 3: darapti
[(E ⊂ A) ∧ (E ∩ S)] → (S ∩ A)
S
A x
x
E
[(N ⊂ ¬H) ∧ (H ∩ D)] → (D ∩¬N)
D
N
[(S ⊂ A) ∧ (S ⊂ D)] → (D ∩ A)]
D
x
x
H
S
A
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Lógica de enunciados y deducción natural Si tomamos las frases, oraciones o «proposiciones» como «todos» sin preocuparnos por su forma ni composición, podemos fijarnos en las partículas conectivas, «conjunciones», que vinculan unas a otras Históricamente, fueron los estoicos los primeros en percatarse de la existencia de «esquemas de inferencia» subyacentes en el lenguaje ordinario, tales como el «modus ponens», «modus tollens», etcétera
Crisipo
L.G.Frege
Ch.S.Pierce
G.Gentzen
B.Russell
Advirtieron que un condicional con forma «si esto, entonces aquello» es esquema para frases compuestas «si llueve, entonces me mojo» o algoritmos «si x, entonces y», y los simbolizaron sustituyendo las proposiciones o variables de los esquemas por símbolos numéricos.
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Lógica de enunciados y deducción natural Hoy la lógica de enunciados se considera como un «cálculo formal», ha sido totalmente algoritmizada: constituye un «algoritmo cerrado», la célula gnoseológica más cerrada y perfecta de la lógica, su núcleo Si acordamos simbolizar las «proposiciones» por las letras p,q,r,s... y las «conectivas lógicas» o «functores» por símbolos: ¬,∧,∨,→, ↔ la presentación completa de este algoritmo comenzará distinguiendo functores «monádicos» (una, p), «diádicos» (dos, p,q) «poliádicos»... p,q
p┬q
p∨q
p←q p ┘q p→q p└ q p↔q
p∧q
p|q
p Wq
11
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
10 01 00
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
r
R
R
r
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
p┌ q p > q p ┐q p < q p ↓ q
p⊥q
r
ƒ1 r
ƒ2
ƒ3
ƒ4
ƒ5
ƒ6
ƒ7
ƒ8
ƒ9 ƒ10 ƒ11 ƒ12 ƒ13 ƒ14 ƒ15 ƒ16
Cualquier cálculo utiliza al menos dos de las 16 conectivas lógicas, que son todas las combinaciones posibles entre dos proposiciones: lo mejor para definir el sentido es mirar sus «conexiones veritativas»
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Lógica de enunciados y deducción natural Puesto que todas las conectivas pueden expresarse simbólicamente en términos de unas pocas, selecciono como «primitivas» aquellas conectivas con traducción más evidente en los lenguajes naturales. tautología/contradicción conjunción (∧ ) disyunción débil (∨ ) Tautología es el functor ƒ1 (pTq) la fórmula proposicional que es verdadera con independencia de la verdad o de la falsedad de las proposiciones simples que tenga Contradicción es el ƒ16 (p⊥q), la fórmula que es siempre falsa.
Simbolizamos ƒ8: p∧q (1,0,0,0) que equivalente a las partículas conjuntivas del lenguaje natural: reduce el cuantificador universal, equivale al producto lógico. Es su contradictoria ƒ9 incompatibilidad (o barra de Sheffer) p | q (0,1,1,1)
Simbolizamos ƒ2: p∨q (1,1,1,0) corresponde con la partícula «o» del lenguaje natural, en la que las proposiciones pueden ser las dos verdaderas al mismo tiempo. En la disyunción fuerte ƒ10 pWq (0,1,1,0) excluye esta posibilidad
negación (¬)
condicional (→)
bicondicional (↔)
El único «funtor monádico» de la lógica proposicional, la negación de cualquier proposición tomada previamente: p (1,0) pasa a (0,1)
Simbolizamos ƒ5: p→q (1,0,1,1). no es exacto «si p, entonces q», y confunde la implicación estricta «de p sigue necesariamente q». La replicación ƒ3 (p←q) (1,1,0,1) es su conversa y son negaciones de ambos ƒ12 ¬(p→q) (0,1,0,0) para la implicación, y ƒ14 ¬(p←q) (0,0,1,0) para la replicación.
Simbolizamos ƒ7: p↔q (1,0,0,1) y se lee como «p si y sólo si q»: arroja valor 1 sólo en el caso de que p y q tengan el mismo valor. En caso de disparidad veritativa, el resultado es 0. Es la negación de la disyunción fuerte exclusiva. Suele confundirse bicondicional con equivalencia (p⇔q).
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Resolución de tablas veritativas Una fórmula del cálculo proposicional es la secuencia finita formada por dos tipos de signos: variables proposicionales (X) conectivas (Z) La técnica de las «tablas veritativas» puede decidir si una fórmula es una «tautología», «contradicción» o expresión «indeterminada». Vamos a ver estas fórmulas y su correspondientes tablas veritativas: (1)
R p→q
R q→r
p,q,r
A (p→q)∧ (p→q)
B q→r
R
(2)
A↔B
p,q
R ¬p
R (p∧ ¬p)
R ¬q
R (p∧ ¬p)∧ ¬q
111
1
1
1
1
1
11
0
0
0
0
110 101 100 011
1 0 0 1
0 1 1 1
0 0 0 1
0 1 0 1
1 1 1 1
10 01 00 (3)
0 1 A1
0 0 0
1 0 B1
0 0 0
010 1 0 0 1 1 001 1 1 1 1 1 (1) [ (p→q) ↔ (q→r) ] → (p→r) es una tautología. 001 1 1 1 1 1
(2) (p ∧ ¬ p)∧ ¬ q es una contradicción (inválida). (3) (p→q) ↔ (¬ p∨ ¬ q) es una indeterminación.
p→q
R ¬p
¬p∨ ¬ q
R ¬q
11 10
1 0
0 0
0 1
0 1
0 0
01
1
1
1
0
1
p,q
R A↔B
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Resolución de tablas veritativas Para la resolución de las tablas veritativas (1) (2) y (3) seguimos un procedimiento pautado algorítmicamente según estas instrucciones: I) Localizar el conjunto X de las variables proposicionales que ocurren en la fórmula. II) Colocar en las primeras columnas la combinación de valores veritativos resultante de la aplicación de la fórmula 2x, encabezando las columnas con p, q, r…, etc. III) Calcular sucesivamente de izquierda a derecha el valor de las proposiciones moleculares afectadas por conectivas de las de menor extensión (o dominancia) a las de mayor extensión. IV) Para el cálculo de las instancias simples, ¬p, p∧q, p ∨q, p→q, p↔q se toman como valores los que figuran en las primeras columnas para cada letra enunciativa. V) Para el cálculo de las expresiones con fórmulas moleculares (unidades entre paréntesis), se toman como valores los que resultan en las columnas respectivas. VI) El proceso termina cuando se calculan los valores veritativos del functor principal que relaciona la primera parte de la fórmula con la segunda. R R
2
R
p
q
1
1
0
2
2² 0 =4
R
p
q
1
R
R
R
R
R
R
R
R
¬p
(p∧q)
(p∨q)
(p→q)
(p↔q)
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
Unidad 3: El Razonamiento lógico
La lógica formal como sistema de inferencias «Razonamiento» es un argumento en que puestas unas «premisas» se sigue otra, llamada «conclusión», en virtud de unas reglas fijas. Las reglas están explícitamente definidas como reglas de inferencia: razonar correctamente consiste en establecer «inferencias válidas». Hemos visto que las inferencias pueden ser inmediatas o mediatas, pero los razonamientos son siempre «inferencias inmediatas», pues la relación de consecuencia o «derivación»(├) exige la presencia de intermediarios que en el curso argumentativo deben ser eliminados. Podemos definir un razonamiento válido como aquel en el que la conclusión se deriva o infiere necesariamente de las premisas. De ahí que la verdad de sus premisas sea incompatible con la falsedad de la conclusión. Se sigue aquí una regla para probar la validez o invalidez de los razonamientos mediante el uso de tablas veritativas. Una conclusión Q se deriva formalmente de un conjunto de premisas {P1, P2, … Pn}, cuando el condicional formado por la conjunción de las premisas y la conclusión es una tautología, es decir: {P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ … ∧ Pn} → Q.
Que un «razonamiento» sea «válido» no se demuestra formalmente hasta que no se habilite una «prueba formal de validez», que consta de unos pasos que nos llevan a la conclusión a partir de premisas. Que un razonamiento no esa «inválido» no garantiza demostración: las premisas pueden ser heterogéneas,insuficientes,contradictorias.
Unidad 3: El Razonamiento lógico
La lógica formal como sistema de inferencias Existen tres tipos de «razonamiento deductivo» y son los siguientes: deducción categórica deducción hipotética deducción indirecta Sí garantiza la verdad de las premisas, porque se toman como axiomas en el sentido tradicional (verdad evidente).
En ella se supone la verdad de las premisas, pero no se garantiza inequívocamente: las premisas son hipótesis.
La reducción al absurdo toma las premisas como falsas e intenta sacar a partir de ellas una contradicción (A ∧ ¬A).
Desarrollamos el cálculo proposicional no de forma axiomática (A), sino con razonamientos independientes e hipotéticos (B) un proceder que el lógico Gerald Gentzen denomina como «deducción natural»: Un razonamiento es inconsistente si no es posible asignar valor de verdad conjuntamente a todas y cada una de las premisas que lo integran. La asignación de valores se hace igual que para probar la validez. Sólo que ahora prescindimos de la conclusión Q y nos centramos en las premisas al objeto de lograr que: {P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧…∧ Pn} = 1. Si no es posible establecerlo el razonamiento es inconsistente. Pero si es consistente entonces el razonamiento puede ser validado (o invalidado) para lo que procederemos a su demostración formal. ¿Cómo se hace?
Todos los pasos en una «derivación lógica» deben estar justificados por alguna «ley lógica» o alguna «regla de inferencia» ya establecida Una regla de inferencia es la proposición normativa que admite como conclusión una fórmula obtenida a partir de otra u otras ya conocidas
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Reglas básicas de Gentzen Reglas de Introducción:
RD: Esquema de la prueba indirecta por reducción al absurdo TD: Teorema de deducción: si q ha sido derivada gracias a p, entonces p → q o si a├ b, entonces a → b
Reglas de Eliminación:
DD: Doble negación
MP: Modus ponendo ponens
Unidad 3: El Razonamiento l贸gico
Algunas reglas derivadas comunes Algunas reglas derivadas:
I: Identidad L.S. Transitividad L.Imp: Ley de la importaci贸n L.Exp: Ley de la exportaci贸n
ECQ: Ex contradictione quodlibet
MT: Modus tollendo tollens
MTP: Modus tollendo ponens o silogismo disyuntivo
L. Inc. : Ley de Incompatibilidad
Dilemas:
DCS: Constructivo simple DCC: Complejo
DCS: Destructivo simple DCC: Destructivo complejo
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Ejercicios La Weltranschauung del lenguaje de los hopi El hopi concibe el tiempo y el movimiento en el reino objetivo en un sentido puramente operacional ─una cuestión de la complejidad y magnitud de las operaciones que conectan los hechos─, de forma que el elemento de tiempo no se separa del elemento de espacio que entra a formar parte de la operación, cualquiera que sea aquél. Dos acontecimientos del pasado ocurrieron hace mucho «tiempo» (la lengua hopi no tiene ninguna palabra equivalente a nuestro «tiempo») cuando entre ellos han ocurrido muchos movimientos periódicos físicos en forma tal que se haya recorrido mucha distancia, o que se haya acumulado una gran magnitud de manifestación física en cualquier otra forma...
B.L.WHORF (1897-1941)
El hopi, con su preferencia por los verbos, en contraste con nuestra propia preferencia por los nombres, convierte perpetuamente nuestras proposiciones sobre las cosas, en proposiciones sobre los acontecimientos. Tanto un acontecimiento de «aquí», como otro de «allí» se encuentran en un reino objetivo, que se corresponde a nuestro pasado, pero el acontecimiento de «allí» es el más lejano objetivamente, lo que, desde nuestro punto de vista, significa que está mucho más lejos en el pasado, como también lo está en el espacio que el acontecimiento de “«aquí». Benjamin Lee WHORF, Lenguaje, pensamiento y realidad (Barral, Barcelona 1971. págs.79-80)
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Ejercicios ejercicio 1
ejercicio 2
ejercicio 3
Analiza este tipo de totalidades: (a) La comunidad de los santos. (b) Los números naturales. (c) Las razas humanas. (d) Las lenguas indoeuropeas. (e) Los continentes del globo. (f) Las reglas de inferencia. (g) Las letras del alfabeto.
Buscar proposiciones equivalente a las propuestas por inferencia directa, construir diagramas Venn (a) Todos los actos de crueldad son injustificables. (b) Ningún terrorista merece compasión. (c) Sólo los metales son buenos conductores de electricidad. (d) Ser grande es ser incomprendido. (e) No es verdad que todos los bisulcos son mamíferos. (f) Algunos gases nobles son combustibles. (g) Quien elogia a todos no elogia a nadie.
Concluye desde estas premisas, representa por diagramas Venn determina validez, figura y modo: a) Si todos los animales poseen sensaciones y los gusanos son animales... b) Si ningún niño de pecho muere de cáncer de pulmón y ningún fumador es niño de... c) Si ningún oportunista es digno de confianza y todos los oportunistas son acomodaticio d) Si todas las avispas son hoscas y las criaturas hoscas son mal acogidas... e) Si todos los abstemios gustan del azúcar y ningún ruiseñor bebe vino... f) Si sólo se equivocan los que ignoran los hechos y nadie que sea objetivo se equivoca... g) Todos los silogismos inválidos son ilícitos respecto al término mayor, pero éste es válido…
ejercicio 4 Formulación de estas oraciones: (a) Juan canta y María baila. (b) Pedro es médico o biólogo. (c) Si los elefantes se fugan, el domador se quedará muy triste (d) El ángulo alfa es obtuso si y solo si mide más de 90 grados
Unidad 3: El Razonamiento l贸gico
Ejercicios ejercicio 1
ejercicio 2
ejercicio 3
ejercicio 4
ejercicio 5
ejercicio 6
ejercicio 7
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Ejercicios ejercicio 1
ejercicio 2
(p˅q)˄(p→q) R
R
p,q
(p∨ q)
R
R
(p→q)
ejercicio 3 ¬ (p˅q)↔(¬p˄¬q)
(p→q)→(¬p→¬q)
R
R
(A∧ B)
R
p,q
R
R
(p→q)
R
¬p→¬q
R
R
(A→B)
R
R
p,q
11
11
11
10
10
10
01
01
01
00
00
00
ejercicio 4
R
p,q
R
(p→q)
R
R
¬(p→q)
R
[( p → q ) ˄ ( q → r )] ˄ ¬ ( p → r) R
…
R
p,q,r
R
p→q
R
R
(q→r)
R
R
…
R
p,q,r
111
111
10
110
110
101
101
100
100
011
011
010
010
001
001
001
001
00
¬(p∨ q)
R
R
…
[(s˅t)˄(t→p)˄¬p]→ s
11 01
R
ejercicio 6
ejercicio 5
¬(p→q)↔(p˅¬q)
(p∨ q)
R
R
(s∨ t)
R
R
(t→p)
R
R
…
Unidad 3: El Razonamiento lógico
Ejercicios ejercicio 1 Demostrar: p
ejercicio 2 Demostrar: ¬ s ˄ p
ejercicio 3 Demostrar: r ˄ ¬ s
1. p ˅ q
1. p ˄ q
1. ¬ (¬ p ˅ q )
2. q → r
2. q → ¬ r
2. p → r
3. ¬ r
3. s → r
3. s → q
ejercicio 4
ejercicio 6
ejercicio 5 Demostrar: p ˄ q
Demostrar: m → n
Demostrar: h
1. ¬ w
1. n ˅ u
1. n → (u ˄ w)
2. ¬ ¬ t ˅ ¬ s
2. ¬ m → r
2. p ˄ q
3. ¬ ¬ ¬ t → (m → n)
3. ¬ u
3. m → t
4. w ˅ s
4. m → p
4. q → s
5. ¬ r
5. (r ˄ s) → ¬ t
6. n → q
6. n ˅ m 7. p → r 8. (w ˄ u) → h
UNIDAD 3
EL RAZONAMIENTO LÓGICO
Alberto Fernández /Román García
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Sociedad Asturiana de Filosofía