Matemática_primaria_4_LA

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ma te mática Alfonso Rojas Puémape

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ma te mรกtica

© Derechos de autor reservados.

Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados.

2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Asistentes de edición: Giovanna Rojas Jorge Chávez Jhonny Leguía Edson Tacanga Ronald Córdova Eduardo Julca Ulises Laureano Vilma Tipula Betty Araujo Correctora de estilo: Milagros Bueno Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Diseño de interiores: Jorge Huamaní Diagramación: María Isabel Flores, Marco Peña Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado, Will Quispe Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.

ma te 4 mática PR E S E N T AC I ó N La Colección de Matemática para Educación Primaria que publica EDITORIAL ETM es una propuesta de material didáctico para que niños y niñas de nuestro país ingresen al mundo de las matemáticas y aprendan como jugando.

En esta colección de 1° a 6° hay una serie de instrumentos que hacen posible tal intencionalidad.

Toda la obra está dividida en 4 LIBROS DE CONSULTA desde 3° hasta 6° y 6 CUADERNOS DE TRABAJO desde 1° hasta 6°.

Un LIBRO DE CONSULTA consta de: 1. Una CORTINA, con análisis de imagen, tema transversal, valor, competencia y un cuadro de capacidades y contenidos.

2. DESARROLLO DE LA UNIDAD a partir de una historieta cuya trama se vincula con el contenido del LIBRO DE CONSULTA así como con el del CUADERNO DE TRABAJO. Se pone a disposición mapas mentales y conceptuales que permiten visualizar la relación entre los contenidos que luego se desarrollan.

3. Vínculos con el CUADERNO DE TRABAJO y con páginas WEB para profundizar el tema.

4. Una sección de entretenimiento y de información para niños que en los libros de 3° a 6° se encuentran en las unidades impares y en los CUADERNOS DE TRABAJO de 1° y 2° se encuentran en todas las unidades. En algunas unidades de 3° a 6° en esta sección aparece el USO DE LA CALCULADORA. Un CUADERNO DE TRABAJO consta de: 1. EXPLORAMOS LO QUE SABEMOS, prueba diagnóstica para averiguar conocimientos previos en cada unidad.

2. EXPERIENCIAS, sección de ejercicios y problemas básicos propuestos por lo general desde tres perspectivas: el aspecto algorítmico, el aspecto transferencial y el aspecto crítico del contenido.

Previo a esta sección se ha propuesto ejercicios más elementales aún con el propósito que todos hagan matemática desde el inicio.

3. CONTROL, prueba abierta para evaluación de proceso que incluye mapas para completar.

4. SUPERDESAFÍO, grupo de problemas en dos niveles en 1° y 2°, tres niveles desde 3° a 6°.

Estos grupos por nivel de dificultad se llaman EMPEZAMOS, VAMOS BIEN y MUCHO MEJOR.

Este último procura el entrenamiento del pensamiento crítico.

5. AUTOEVALUACIÓN, prueba final que permitirá control cognitivo a modo de evaluación sumativa que incluye una MATRIZ DE METACOGNICIÓN. Tanto los LIBROS DE CONSULTA así como los CUADERNOS DE TRABAJO tienen muchas ilustraciones que ayudarán en su uso pero hago mención principal de lo que llamo DIRECCIONADORES, que son personajes que en una página se encuentran en versión pequeña en el cuerpo de la página y en tamaño más grande en cuadros sintetizadores en la parte inferior o, en otros casos, en los lados laterales de la página en los cuales, ampliamos, recordamos o sintetizamos información.

Estos SINTETIZADORES son: USB, LÁPIZ, LAPTOP, RESALTADOR, TABLET y BLOCK. Cualquier otro personaje que acompaña el uso de estos textos cumple solo la función de ilustrar el contenido.

Hemos incluido en el grupo de ilustradores EL DELFIN, EL PLANETA, EL OSO PANDA con la idea de ayudar al personal docente a comentar aspectos relacionados con animales en peligro de extinción y al cuidado del planeta.

Estoy seguro que la niñez acompañada de padres, maestras y maestros encontrarán en este material mucha ayuda en su diario trabajo.

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

ma te mática 4

ÍNDI C E

Alfonso Rojas Puémape CORTINA

Antes de cada unidad en el cuaderno de trabajo.

EXPLOR AM OS LO Q UE Y A SAB EM OS Conocimientos previos

UNIDAD

1

Título

Compartimos información saludable

CONTENIDO

Conjuntos

Pág. 6

2

Creamos para crecer

Somos diferentes y siempre tolerantes

Contamos hasta 99 999

Contamos hasta 999 999

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES Valor posicional (VP); Lectura y escritura; Comparación EXPERIENCIA 13 Redondeo; Descomposición EXPERIENCIA 14

Pág. 36

4

Seguridad ante todo

Multiplicación y división

MULTIPLICACIóN Términos y propiedades de la multiplicación EXPERIENCIAS 19 Multiplicación por números de una, dos y tres cifras; potenciación y radicación EXPERIENCIAS 20

Fracciones y decimales

FRACCIONES Lectura y escritura, comparación; Fracción de un número; Fracción propia e impropia; Fracción equivalente EXPERIENCIAS 25 Simplificación; Adición y sustracción; Multiplicación y división, potenciación y radicación EXPERIENCIAS 26

Pág. 52

5

Uniendo a la familia

Pág. 66

6

Seamos solidarios

Ecuaciones e inecuaciones

Pág. 84

7

Geometría conceptos básicos

La casa se respeta... cuidándola

Unidades de medida y estadística

UNIDAD DE LONGITUD Y MASA Unidades de longitud: metro, decímetro, hectómetro, decámetro, kilometro, centímetro, milímetro.

Conversiones EXPERIENCIAS 43 Unidades de masa: kilogramo, gramo, miligramo, tonelada Conversiones EXPERIENCIAS 44

Los consumidores nos hacemos respetar

Números hasta la unidad de millón

Es mejor respetar y prevenir

Pág. 114

9

ECUACIONES Igualdad y ecuación; Forma general de una ecuación: ax ± b = c; Elementos de una ecuación; Resolución de una ecuación EXPERIENCIAS 31 Ecuaciones con fracciones de la forma ax = b y x +a b = c EXPERIENCIAS 32 RECTAS Y ÁNGULOS Nociones de Geometría (punto, recta, segmento, plano, rayo) Rectas paralelas, secantes y perpendiculares EXPERIENCIAS 37 Elementos de un ángulo, clasificación y medición; Problemas de aplicación EXPERIENCIAS 38

Pág. 98

8

CONJUNTOS Representación de conjuntos Determinación por extensión y comprensión EXPERIENCIAS 1 Clases de conjuntos: vacío, unitario, finito, infinito y universal.

Relación de elemento a conjunto.

Relaciones entre conjuntos: inclusión y no inclusión.

EXPERIENCIAS 2 LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS Valor posicional (VP); Lectura y escritura; Comparación EXPERIENCIA 7 Sucesiones crecientes y decrecientes Descomposición EXPERIENCIA 8

Pág. 22

3

TEMA 1

Pág. 128

Luego de EXPERIENCIAS en el cuaderno de trabajo.

LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES Valor posicional, escritura y lectura de números; Comparación EXPERIENCIAS 49 Sucesiones crecientes y decrecientes; Descomposición EXPERIENCIAS 50

cONTR OL

Evaluación del proceso

Super desaf ío

Problemas de refuerzo en tres niveles

A u toe v al u aci ó n

Evaluación sumativa

P

TEMA 3 PROBLEMAS Problemas empleando 2 conjuntos EXPERIENCIAS 5 Problemas empleando 3 conjuntos EXPERIENCIAS 6

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Términos y propiedades de la adición; Adición llevando; Problemas EXPERIENCIAS 9 Términos y comprobación de la sustracción; Sustracción prestando; Problemas EXPERIENCIAS 10

OPERACIONES COMBINADAS Y NÚMEROS ROMANOS Efectúa operaciones combinadas con y sin signos de agrupación; Problemas EXPERIENCIAS 11 Números romanos EXPERIENCIAS 12

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Adición llevando; Problemas EXPERIENCIAS 15 Sustracción prestando; Problemas EXPERIENCIAS 16

OPERACIONES COMBINADAS Operaciones combinadas sin signos de agrupación Operaciones combinadas con signos de agrupación EXPERIENCIAS 17 Resolución de problemas EXPERIENCIAS 18

DIVISIÓN Términos de la división; Clases de división; Técnica para dividir EXPERIENCIAS 21 Multiplos y divisores; Números primos y compuestos; Máximo común Divisor (MCD) Mínimo común múltiplo (mcm) EXPERIENCIAS 22

OPERACIONES COMBINADAS Orden de operaciones Operaciones combinadas con signos de agrupación EXPERIENCIAS 23 Resolución de problemas EXPERIENCIAS 24

NÚMEROS DECIMALES Ubicación en el tablero posicional; Lectura y escritura, comparación EXPERIENCIAS 27 Adición y sustracción; Multiplicación y división EXPERIENCIAS 28

PROBLEMAS Operaciones combinadas; Problemas con fracciones EXPERIENCIAS 29 Operaciones combinadas; Problemas con decimales EXPERIENCIAS 30

INECUACIONES Términos, inecuaciones de la forma x ± a < b; x ± a > b EXPERIENCIAS 33 Inecuaciones de la forma ax < b y ax > b EXPERIENCIAS 34

PROBLEMAS Problemas con ecuaciones EXPERIENCIAS 35 Problemas con inecuaciones EXPERIENCIAS 36

POLÍGONOS Polígonos, elementos y clases; Triángulos, elementos, clases y propiedades EXPERIENCIAS 39 Cuadriláteros, elementos, clases y propiedades; Circunferencias, elementos y ángulos en la circunferencia; Perímetros y áreas EXPERIENCIAS 40

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Cuerpos geométricos: poliedros; Área y volumen de poliedros EXPERIENCIAS 41 Cuerpos redondos: esfera, cono y cilindro Área y volumen de cuerpos redondos EXPERIENCIAS 42

UNIDAD DE CAPACIDAD Y TIEMPO Unidades de capacidad: litro y mililitro, unidades de volumen: cm3, dm3, m3 Conversiones EXPERIENCIAS 45 Unidades de tiempo: hora, minuto, segundo, día, semana, mes, año.

Conversiones EXPERIENCIAS 46

Estadística Recolección de datos y tablas de frecuencia Gráficos de barras (horizontal y vertical) Gráfico lineal EXPERIENCIAS 47 Pictograma Probabilidad EXPERIENCIAS 48

Adición y sustracción Adición llevando; Propiedades de la adición; Problemas de adición en N EXPERIENCIAS 51 Sustracción prestando; Problemas de sustracción en N EXPERIENCIAS 52

OPERACIONES COMBINADAS Operaciones combinadas sin signos de agrupación Operaciones combinadas con signos de agrupación EXPERIENCIAS 53 Resolución de problemas empleando operaciones combinadas EXPERIENCIAS 54

CD del docente: Cartel de contenidos en WORD,

Mapas mentales y conceptuales en ppt,

Material sobre pruebas PISA.

M a t e m á t i ca d e a y e r y h o y Material M a t e m á t i ca e n l a v i d a d i a r i a recreativo Juegos Co n e x i o n e s c o n o t r a s á r e a s

OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión Intersección EXPERIENCIAS 3 Diferencia Diferencia simétrica EXPERIENCIAS 4

Juegos interactivos + libro digital

TEMA 2

CD del alumno:

ón

PANORÁMICO

1

compartiMOS información saludable

esto aprenderemos:

Conjuntos

Me agradan mucho las frutas.

Ya tenemos algo en común... a mí me agradan las frutas y las ensaladas de verduras frescas.

• Representar conjuntos.

• Determinar conjuntos.

• Clasificar conjuntos.

• Relacionar conjuntos: inclusión; no inclusión.

• Operar con conjuntos: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

• Resolver problemas con dos y tres conjuntos.

C OMPE T E NC IA : Resuelve problemas de contexto real y contexto matemático que requieren del establecimiento de relaciones y operaciones entre conjuntos e interpreta los resultados obtenidos, mostrando perseverancia en la búsqueda de soluciones.

Tema transversal

Educación para la buena salud

Valor

Prevención

A todos nos gusta estar sanos. Tenemos que buscar estar sanos.

Si tomamos algunas medidas de prevención contra enfermedades es posible que tengamos menos problemas de salud cuando seamos mayores.

O b s e r v E mo s l a ima g en : 1 ¿Qué le agrada a Skanito?

2 ¿Qué le agrada a Luchín?

3 Comer frutas, ¿es una medida

de prevención?

4 Comer ensaladas de verduras

frescas, ¿es una medida de prevención?

5 ¿Lavaremos las frutas antes de

consumirlas?

6 Enumera las diferentes ocupa-

ciones del personal que trabaja en un hospital.

7 Las frutas y verduras contienen

abundante fibra, entre otras sustancias. Averigua:

- ¿Qué

es fibra?

- ¿Las

fibras nos ayudan a prevenir enfermedades?

procesos transversales

Capacidades

contenidos

Comunicación matemática

Grafica Indica Diferencia

• Representación y determinación de conjuntos.

• Clases de conjuntos.

Razonamiento y demostración

Analiza Identifica Interpreta

• Operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.

Resolución de problemas

Calcula Distingue Discrimina

• Problemas con dos conjuntos.

• Problemas con tres conjuntos.

• Relaciones entre conjuntos.

8

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

1

conju ntos Comunicación matemática

¡Mira, Maite! Compré una piña, un plátano, una pera, una naranja, una manzana y una chirimoya.

Yo compré verduras. ¡Las frutas y las verduras son alimentos saludables!

¿Sabes cuáles son las frutas y verduras que proporcionan mucha fibra que benefician a nuestro organismo?

• Las frutas de nuestra historieta conforman un conjunto.

El consumo de fibra evita el cáncer.

• Cada uno de ambos conjuntos está bien definido; es decir: sus elementos tienen una característica común de modo que no tenemos duda en afirmar si alguno de ellos pertenece o no a tal conjunto.

¡Mejor que curar las enfermedades es prevenirlas!

MG

MI RA DA GLOB AL

• Las verduras sobre la mesa conforman otro conjunto.

{ } 2

Llaves

Representación

A Diagrama de Venn

1

Conju ntos comprensión

una característica común

Determinación 3

¡desafío!

Los CD de música que tienes en casa, ¿conforman un conjunto? ¿Por qué?

extensión

nombrar todos sus elementos

¡IMPORTANTE! Los números naturales conforman un conjunto que se representa por el símbolo N.

9 1

Representación con diagramas de Venn:

Formemos algunos grupos:

• (2) Lapicero; lápiz; borrador; regla; cuaderno.

Característica común: son útiles escolares.

También podemos representar los conjuntos así: (1) El conjunto de los tres primeros meses del año.

Escribimos los tres elementos dentro de una línea cerrada así: • enero • febrero • marzo

• (3) a; b; c; d; e, …, x; y; z.

Característica común: son letras del abecedario.

(2) El conjunto de los símbolos patrios.

Entonces: Un conjunto es una agrupación de objetos que tiene una característica común.

• bandera • escudo • himno nacional

2

A

Representación de conjuntos

B

Estas gráficas, con las que se representan los conjuntos, se denominan diagramas de Venn.

Podemos representar conjuntos de dos maneras: Representación con llaves:

Veamos algunos ejemplos:

Un diagrama de Venn consiste en una línea cerrada, en cuyo interior se representan los elementos de un conjunto.

(1) El conjunto de las vocales, lo representamos así:

llaves V = {a; e; i; o; u} elementos

(2) El conjunto de los días de la semana.

D = {lunes; martes; miércoles; jueves;

viernes; sábado; domingo} Luego: Los conjuntos se representan con letra mayúscula y los elementos ente llaves { }, con letra minúscula y separados por un punto y coma.

3

Determinación de conjuntos Determinamos los conjuntos de dos maneras:

Determinación por extensión: Veamos algunos casos:

(1) El conjunto de las notas musicales:

Determinamos este conjunto mencionando todos sus elementos, así:

M = {do; re; mi; fa: sol; la; si}

(2) El conjunto de los continentes:

¡ATENCIóN! También se puede agrupar animales, personas, números, países, planetas, etc.

C = {América; Asia; Europa; África; Oceanía} ¡ IMPORTANTE! Una línea cerrada puede tener cualquier forma.

ARITMéTICA

• (1) Uva; fresa; melón; papaya; durazno; sandía.

Característica común: todos los elementos son frutas.

10

Alfonso Rojas Puémape

Luego podemos decir que:

Para determinar un conjunto por comprensión solamente mencionamos una característica común a todos los elementos.

ARITMéTICA

Para determinar un conjunto por extensión, debemos mencionar todos sus elementos, uno por uno, entre llaves y separados por puntos y comas.

Determinación por comprensión

¡Hemos aprendido a representar y determinar conjuntos!

Experiencias

Veamos algunos ejemplos:

1 Determina los siguientes conjuntos por extensión: • Conjunto de los números pares menores que 15.

• Conjunto de planetas del sistema solar.

(1) P = {este; oeste; norte; sur}

Observamos que todos los elementos tienen una característica común: puntos cardinales.

Luego, determinamos por comprensión, así:

P = {los puntos cardinales}

2 Determina los conjuntos por comprensión:

L = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17}

M = {azul; rojo; amarillo}

(2) T = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Vemos que la característica común es que todos son dígitos.

Luego determinamos por comprensión, así:

Encontrarás más problemas de Experie n c i a s 1 en tu

T = {x/x es un dígito}

CUADERNO DE TRABAJO

que se lee: x tal que x es un dígito.

Entonces, decimos que:

MG

MI RA DA GLOB AL

m∈A

de elemento a conjunto

Vacío

B igualdad A = B

Intersección

A

inclusión A ⊂ B B

entre conjuntos B

4

Disyunción

Finito

se pueden contar sus elementos

Infinito

A

Universal

no se pueden contar sus elementos contiene a todos los conjuntos

A⊂B

¡ atención!

También podemos determinarlo así: T = {x/x ∈N; 0 ≤ x <10 }

φ La luna

un solo elemento

Conju ntos

no inclusión A ⊄ B

:

Unitario clases

5

A

.

no tiene elementos

m∉A

relaciones

1

¡IMPORTANTE!

∈ se lee: “pertenece a” ⊂ se lee: “incluido en” o “contenido en”

:

:

a e i o u

: estrellas del cielo

:

U

11 4

Clases de conjuntos

Veamos los siguientes:

Clases de conjuntos Conjunto Vacío

Conjunto Unitario

Conjunto Finito

Conjunto Infinito

Conjunto Universal

5

Ejemplo • M = {x / x ∈ N y x < 0} • P = {x / x es un día con 28 horas} • S = {x / x es una persona que vive en la luna}

• No tiene elemento alguno.

• Se representa así:

{ } o ∅

• Solo tiene un elemento.

• A = {x / x es el actual presidente del Perú} • B = {x / x ∈ N y 3 < x < 5} • C = {x / x es un satélite de la Tierra}

• Tiene un número limitado de elementos, es decir, se puede saber cuántos elementos tiene.

• D = {a; e; i; o; u} • E = {x / x es un mes del año} • F = {x / x ∈ N y x < 1284}

• Tiene un número ilimitado de elementos.

• G = {x / x es una estrella del firmamento} • H = {x / x ∈ N} • I = {x / x es un número par}

• Es un conjunto de referencia que sirve para estudiar otros conjuntos contenidos en él.

• Se representa así: U

• J = {2; 4; 6; 8; 10; …..} • K = {1; 3; 5; 7; 9; …..} ⇒ U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ….} = N

Relaciones en conjuntos

Relación elemento - conjunto Si un elemento m pertenece al conjunto A empleamos el símbolo ∈. Es decir m∈A.

2. No inclusión Si un conjunto A no está incluido en otro conjunto B pueden ocurrir dos casos que representaremos por diagrama de Venn.

A

B

A

B

El símbolo ∈ se lee “pertenece a”.

Luego el símbolo ∉ se lee “no pertenece a”.

Relaciones de conjunto a conjunto 1. Inclusión Un conjunto A puede estar incluido o contenido en otro conjunto B. Esto se representa con el símbolo ⊂.

El símbolo ⊂ se lee “incluido o contenido en”.

Luego el símbolo ⊄ se lee “no incluido en”.

Por diagramas de Venn: B

A

¡ IMPORTANTE !

Nos confundir: φ ≠ {φ}

φ: Conjunto vacío {φ} es un conjunto unitario

A⊂B

(I) ( II ) El caso I presenta a dos conjuntos que tienen elementos comunes. Hay una relación de intersección.

El caso II presenta a dos conjuntos que no tienen elementos comunes. Se les llama conjuntos disjuntos.

Experiencias 2 1 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula a + b.

A = {1; a} y B = {2; b} Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s en tu CUADERNO DE TRABAJO .

¡ ATENCIóN !

Sean los conjuntos A y B Si A = B entonces: A ⊂ B y B ⊂ A A tiene los mismos elementos que tiene B.

2

ARITMéTICA

Característica

12

Alfonso Rojas Puémape

2

OPERACIONES CON CONJU NTOS Razonamiento y demostración

ARITMéTICA

Los convocados para el equipo de natación, son: Carlos, José, Luis y Rodrigo.

Buena salud es hacer deporte.

Practiquemos los deportes que más nos gusten y estaremos seguros de prevenir enfermedades.

Recuerda: es mejor prevenir que ir al hospital para curarnos.

MG A

MI RA DA GLOB AL

•5

•9

Y los convocados para el equipo de básquet son: Rubén, Luis, Hugo, Carlos y Marcos.

• Muchos grupos de personas tienen actividades comunes, gustos comunes o intereses comunes.

• En la historieta, Carlos y Luis practican natación y básquet, los demás destacan solo en uno de estos deportes.

• Esto nos conduce a las operaciones con conjuntos.

•7

B

A∆B = {5; 7}

Diferencia

Unión

simétrica

1

4

operaciones con conjuntos

A - B = {5} A

A

•5 •5

•9 •9

•7 •7

B

B

A

Elementos comunes y no comunes

Sean: A = {5; 9} B = {9; 7}

elementos que pertenecen solo a un conjunto

elementos que pertenecen solo a:

B

B - A = {7}

¡ATENCIÓN! Dados dos o más conjuntos, antes de operar con ellos, primero los relacionamos por diagramas de Venn.

A B A B A B

•5

•9

B

•7

A∪B = {5; 7; 9}

Elementos comunes

Diferencia 3

A

Intersección 2

A

•5

•9

A∩B = {9}

!IMPORTANTE!

Operar conjuntos con diagramas de Venn significa sombrear la zona adecuada en el gráfico que los relaciona.

•7

B

13 1

Unión de conjuntos (∪)

Veamos algunos ejemplos: (1) Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5; 7; 9} y B = {2; 3; 4; 5; 6; 8}

Al juntar los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B, tendremos:

A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

Por diagramas de Venn: Primero: Segundo: relacionamos A y B. sombreamos la zona donde se ubican todos los elementos.

A

(2)

•2 •1 •3 •4 •7 •6 •5 •9 •8

A

C

se trata de conjuntos disjuntos.

•a •e •i

SEGUNDO: sombreamos la zona donde se ubican todos los elementos.

•o

E

F •5 •6 •7 •8 •10 •9 F⊂E

A esta operación entre conjuntos se le denomina unión y se representa mediante el siguiente símbolo: ∪

Entonces: La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B. Se representa: A ∪ B y se lee: A unión B. 2

Intersección de conjuntos (∩)

Aprendamos con algunos ejemplos: (1) Sean los conjuntos:

P = {3; 4; 6; 8; 9; 10} Q = {1; 2; 4; 5; 6; 9; 11}

Si formamos un conjunto solo con los elementos comunes a P y Q, tendríamos:

P ∩ Q = {4; 6; 9}

D

Por diagramas de Venn: Primero: relacionamos los conjuntos P y Q.

•u

P

Q •4 •1 •2 •6 •5 •8 •10 •9 •11 •3

Segundo: sombreamos solo la zona donde hay elementos comunes.

P

Q •4 •1 •2 •6 •5 •8 •10 •9 •11 •3

P∩Q

¡ RECUERDA! ¡atención!

Los conjuntos disjuntos no tienen elementos comunes.

F •5 •6 •7 •10 •8 •9

(C ∪ D)

(3) sea: E = {5; 6; 7; 8; 9; 10}

F = {6; 7; 8; 9}

Juntamos sus elementos: E ∪ F = {5; 6; 7; 8; 9; 10}

E

El conjunto formado al reunir los elementos de E y F es el mismo conjunto E.

A∪B

Por diagramas de Venn: Segundo: Primero: sombreamos la relacionamos C y D: zona donde se C D ubican todos sus •a •o elementos.

•e •u

B

•2 •1 •3 •4 •7 •6 •5 •9 •8

Tenemos los conjuntos: C = {x/x es una vocal de la palabra aire} D = {x/x es una vocal de la palabra zurdo} Determinamos los conjuntos por extensión: C = {a; e; i} D = {o; u} Juntamos sus elementos: C ∪ D = {a; e; i; o; u}

•i

B

PRIMERO: relacionamos E y F.

Si: F ⊂ E ⇒ E∪F=E

ARITMéTICA

14

Alfonso Rojas Puémape

(2) Tenemos los conjuntos:

ARITMéTICA

R = {a; b; c; m; n} S = {d; e; f; o; p}

En resumen:

y

A y B con elementos comunes y no comunes.

Si formamos un conjunto con los elementos comunes a R y S, tendremos un conjunto vacío porque R y S son conjuntos disjuntos, es decir, no tienen elementos comunes.

A⊂B

V

• lunes

• martes

• sábado

• miércoles • domingo • jueves • viernes

• lunes

• martes

V • sábado

• jueves • viernes

T∩V

A esta operación entre conjuntos se le denomina intersección y se representa mediante el símbolo: ∩ Entonces: La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos comunes a A y B, es decir, que pertenecen a ambos conjuntos.

Se representa: A ∩ B y se lee: A intersección B.

¡Atención!

Para los conjuntos disjuntos R y S: R •a •b •d •e •f S •c •m •n •o •p R∩S = ∅ = { }

A∩B B

A∩B =∅= { } B

A

A A∩B =A

1 Si: C = {x/x ∈ N y 3 < k < 12}

D = {x/x ∈ N y 4 < x < 15}, grafica y halla: C ∪ D y C ∩ D.

• miércoles • domingo

V⊂T

A

B

Experiencias 3

Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s 3 en tu

Segundo Sombreamos la zona donde hay elementos comunes.

T

B

A∪B =B

Por diagramas de Venn:

T

A

A∪B B

T ∩ V = {sábado; domingo} Primero Relacionamos T y V:

B

A∪B

Determinamos por extensión:

INTERSECCIÓN

A

AyB disjuntos

T = {lunes; martes; miércoles; jueves;

viernes; sábado; domingo} V = {sábado; domingo}

Elegimos los elementos comunes:

UNIÓN

A

(3) Sean:

T = {x/x es un día de la semana}

V = {x/x es un día del fin de semana}

OPERACIONES

CONJUNTOS

CUADERNO DE TRABAJO 3

.

Diferencia (-)

Veamos algunos ejemplos: (1) Sean los conjuntos: F = {1; 2; 3; 4; 5}

G = {2; 4; 6; 8; 10}

Formamos un conjunto con los elementos que solo pertenecen a F: F - G = {1; 3; 5}

Graficamos teniendo en cuenta la relación entre F y G:

Coloreamos el sector del diagrama de Venn correspondiente al conjunto que formamos con los elementos que solo pertenecen a F.

F •3

•1 •5

•2 •4

•6 •10

•8

G

¡Qué interesante!

Son elementos solo de F que no pertenecen a G.

(2) Tenemos los conjuntos: H = {a; b; c}

I = {f; g; h}

Formemos un conjunto con los elementos que pertenecen solo al conjunto H: H - I = {a; b; c} ¡Cuidado!

Los elementos que pertenecen solo a F no son los mismos que pertenecen solo a G.

15 Primero graficamos la relación entre los conjuntos H e I:

Luego coloreamos el sector correspondiente al conjunto que formamos y observamos que es el mismo conjunto H, debido que H e I son disjuntos.

H

•a •b •c

•g •f •h

(3) Sean: M = {1; 2; 3; 4} y P = {2; 3}

Si formamos otro conjunto con los elementos que solo pertenecen a M tendremos:

M - P = {1; 4}

Por diagramaS de Venn: Graficamos la Luego sombreamos relación entre M y P: el conjunto M - P, así: M

•1 P •4 •2 •3

M

4

Diferencia simétrica (∆)

R

•1 R

•1

•2 •3 •2 •3

S

•4 S

•4

(2) Tenemos: C = {a; b; c} y D = {d; e}; se nota que ambos conjuntos son disjuntos.

Si formamos un conjunto con los elementos que pertenecen solo a C y solo a D, este será: ¡atención!

En general:

A-B≠B-A

Pero si A = B:

A-B=B-A

•a

•c

C∆D •b

•e

•d

D

Graficamos relacionando A •1 B •2 •4 B ⊂ A y sombreando: •3

Notamos que cuando B ⊂ A, el conjunto que formamos es igual a la diferencia A - B. Esta operación entre conjuntos se denomina diferencia simétrica.

Entonces:

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen solo a A y solo a B. Se representa: A ∆ B y se lee: A diferencia simétrica B.

En resumen: OPERACIONES DIFERENCIA DIFERENCIA SIMÉTRICA

CONJUNTOS

A y B son elementos comunes y no comunes.

A

B

A

B

A-B A

Explicamos con algunos ejemplos: (1) Sean los conjuntos: R = {1; 2; 3} y S = {2; 3; 4}

Formamos un conjunto con aquellos elementos que pertenecen solo a un conjunto, es decir, solo a R y solo a S: R∆S = {1; 4} Graficamos la relación entre R y S: Ahora sombreamos la zona del nuevo conjunto R ∆ S:

C

•1 P •4 •2 •3

La diferencia de dos conjuntos A y B en ese orden, es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen solo a A. Se representa: A-B y se lee: A menos B.

Graficamos:

(3) Sean: A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 4}

Al formar un conjunto con los elementos que pertenecen solo al conjunto A y solo al conjunto B, tendremos: A ∆ B = {1; 3}

A esta operación entre conjuntos se le denomina diferencia y se representa mediante el signo menos: Entonces:

C ∆ D = {a; b; c; d; e}

I

A∆B B

A

B

AyB disjuntos A-B =A A

B⊂A

B A-B

A∆B =A∪B A

B A∆B =A-B

Experiencias 4 1 Sean los conjuntos: A = {3; 4; 6; 7} y

B = {4; 5; 6; 8}, calcula: A - B y A ∆ B. Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s en tu CUADERNO DE TRABAJO .

¡importante!

A∆B=B∆A ¡Verifica!

4

ARITMéTICA

16

Alfonso Rojas Puémape

3

PROBL EMAS

ARITMéTICA

Resolución de problemas

De las 36 mamás que vinieron de compras 17 llevaron quinua y 29 llevaron kiwicha.

Estos cereales sí que son alimenticios, compraré algunos kilogramos de cada uno.

Si queremos conservar una buena salud es necesario tener buenos hábitos alimenticios.

Productos como la quinua y la kiwicha ricas en fibra, proteínas y muchos nutrientes más, nos permitirán estar sanos y fuertes. ¡Prevenir es mejor que curar!

MG

• En la historieta leemos que hubo un total de 36 mamás que compraron en dicho puesto.

• “17 llevaron quinua” indica que algunas de ellas también pudieron comprar kiwicha.

• “24 llevaron kiwicha” indica que algunas de ellas también pudieron comprar quinua.

• Entonces hay algunas mamás que compraron ambos productos.

MI RA DA GLOB AL

con calma comprensivamente

leer el problema trazar el plan ¿Cómo resolver u n problema?

ubicamos datos identificamos

conjunto de pasos puede ser más de un plan lápiz y papel

efectuar el plan

Esta sí que es una buena estrategia.

decididos a encontrar lo que se pide verificamos la respuesta hallada mirar hacia atrás

repasar el proceso extraer lecciones generalizar

¡desafio! ¿Por qué no es lo mismo decir “17 llevaron quinua” que “17 llevaron solo quinua”?

lo que se pide

¡ATENCIóN! Vamos a leer cada problema con ánimo y sin temor. ¡Todo problema tiene solución!

Lee dispuesto a ir comprendiendo lo que plantea el problema.

17 • Restamos los días que desayunó quinua del total de días:

RESOLVAMOS PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS

1

31 - 19 = 12 días desayunó solo maca.

Q

Ahora restamos los días que desayunó solo maca de los días que desayunó maca.

25 - 12 = 13 días desayunó ambas bebidas.

Q

25

U

31

Un grupo de personas acude a una librería.

De ellas, 25 compraron lápices, 32 cuadernos y 10 ambos útiles. Si todos compraron al menos uno de estos útiles, ¿cuántas personas formaban dicho grupo?

Resolvemos: • Sean los conjuntos:

L: lápices

C: cuadernos

Ubicamos los datos:

L

C

10

U

32

• Restamos los que compraron ambos útiles de los que compraron lápices:

AyB

Desayunó ambas bebidas durante 13 días .

25 - 10 = 15 compraron solo lápices.

Sumamos los que compraron solo lápices con los que compraron cuadernos.

15 + 32 = 47 personas en total.

15 + 32 = 47

L U

15

C

10

25 - 10

32

Respondemos:

Dicho grupo lo formaban

En general: Cuando nos piden calcular el total, nos referimos a la unión.

47 personas .

¡ RECUERDA! B

Solo A

25 -12

¡ RECUERDA !

A

Solo B

M

Respondemos:

25

12

2

13

U

M

M 31-19

U

19

Q

12

B

A A∪B

B

A A∩B

ARITMéTICA

Durante el mes de marzo, Ana desayunó quinua durante 19 días y maca durante 25 días.

Si todos los días desayunó alguna de estas bebidas, calcula cuántos días desayunó ambas bebidas.

Resolvemos:

Leemos y trazamos nuestro plan.

Graficar los datos en un diagrama de Venn y efectuar sustracciones con los elementos de cada sector del diagrama.

Efectuamos: • Sean los conjuntos:

Q: días que desayunó quinua

M: días que desayunó maca

Total de días es: 31 días del mes de marzo.

• Ubicamos los datos:

18

ARITMéTICA

3

Alfonso Rojas Puémape

Resolvemos: • Graficamos

y ubicamos

datos:

4

5

Z 1

9

11

• Respondemos:

B

9

U

18

En una reunión hay 94 personas, de las cuales 49 usan sombrero y 58 usan chalina. Si todos usan al menos una de estas prendas, discrimina y halla cuántos usan solo una de estas prendas.

Operamos: 1

2

Preparó solo una bebida durante 20 días .

2

De un grupo de 50 alumnos se sabe que algunos practican karate y algunos practican natación. Si 15 practican solo karate y 28 practican solo natación, ¿cuántos alumnos practican los dos deportes?

Resolvemos: 50 • Ubicamos N K los datos en 15 28 7 un diagrama 1 de Venn: U

Resolvemos: • Ubicamos

los datos en

un diagrama

de Venn:

20 - 9 = 11 días preparó solo extracto

de zanahoria.

2 11 - 9 = 9 días preparó solo extracto

de betarraga. ⇒ Preparó solo una bebida: 11 + 9 = 20 días 1

20

• Operamos:

Durante cierto mes, la señora Keka preparó extracto de zanahoria durante 20 días y extracto de betarraga durante 18 días. Si durante 9 días preparó ambas bebidas alimenticias, calcula cuántos días preparó solo una bebida.

49

S 1

45

50 – (15 + 28) = 7 alumnos practican ambos deportes.

• Respondemos: 1

7 alumnos

6

Ch

36

• Realizamos operaciones:

practican los dos deportes.

En un edificio con cierto número de oficinas, se han tomado medidas de seguridad en caso ocurra un desastre o accidente. Se sabe que 84 oficinas presentan zonas seguras en caso de sismos y 29 tienen solo extintores, ¿cuántas oficinas hay en el edificio?

Resolvemos: • Ubicamos los datos en un diagrama de Venn:

2

84

U

94

94 - 58 = 36 personas solo usan

sombrero.

94 - 49 = 45 personas usan solo chalina.

⇒ 45 + 36 = 81 personas usan solo una

prenda.

¡atención!

Solo Z : Z - B Solo B : B - Z Solo Z + Solo B: B ∆ Z

E

S

58

U

29 1 113

• Operamos: 1

84 + 29 = 113 oficinas en todo el edificio.

!IMPORTANTE!

Si todos usan al menos una de las prendas entonces todos pertenecen a la unión S ∪ Ch.

19 7

8

Resolvemos: • Ubicamos los

datos en un

diagrama de Venn:

1

U

V

9

S

12 18 2

9

En un avión viaja cierto número de pasajeros, de los cuales en cierto momento 64 se encuentran dormidos y 82 leen un libro. Si todos realizan al menos una de estas actividades, ¿cuántos pasajeros viajan en el avión?

Resolvemos: • Ubicamos los datos en un diagrama de Venn: • Debemos notar que los conjuntos de las personas que duermen (D) y de las personas que leen (L) son disjuntos, pues no tienen elementos comunes.

D U

L 64

⇒ Total de pasajeros: 64 + 82 = 146

No M

63

• Operamos:

• Realizamos las operaciones: 1 12 - 9 = 3 madres compraron

solo vitaminas.

15 + 3 = 18 madres fueron a la

farmacia.

Miremos hacia atrás: para ubicar a los que no compraron solo un complemento, tapamos a los que compraron solo un complemento (solo vitaminas y solo suplemento). Vemos que nos quedan los que compraron ambos.

2

10

En una fiesta infantil hay 54 niños. De ellos la mitad fueron con sus papás y 19 niños más que los anteriores, fueron con sus madres. Si todos fueron acompañados por al menos uno de sus padres, distingue y halla cuántos fueron acompañados por ambos padres.

Resolvemos: P

54:2 = 27 8

M

19

1

2

27+19 = 46 54

U

2

27 – 8 = 19 niños

fueron con ambos padres.

¡RECUERDA!

¡ATENCIóN! No T

U

29

• Operamos: 1 54 – 46 = 8 niños fueron solo

con sus papás.

82

M

22

63 - (12 + 29) = 22 alumnos

están inscritos en los dos talleres.

15

3

12

T

1

Un grupo de madres con el fin de complementar la alimentación de sus hijos, acuden a la farmacia y 12 de ellas compran vitaminas, mientras que 15 compran suplementos. Si 9 no compraron solo uno de los dos complementos, ¿cuántas madres fueron a la farmacia?

1

M

Resolvemos: • Graficamos y utilizamos los datos:

T

No M equivale a solo T No T equivale a solo M.

Los conjuntos disjuntos no tienen elementos comunes es decir, su intersección es el conjunto vacío.

ARITMéTICA

En un colegio se dictan dos talleres: música y teatro. De los 63 alumnos de cuarto grado, 29 no están inscritos en el taller de música y 12 no están inscritos en el taller de teatro. Si todos están inscritos por lo menos en un taller, calcula cuántos están inscritos en los dos talleres.

20

Alfonso Rojas Puémape

matemática de ayer y hoy Thomas Alva Edison

Las memorias electrónicas

Thomas Alva Edison nació en Milán, Estados Unidos, el 11 de febrero de 1847.

Fue un empresario y un prolífico inventor que patentó más de mil inventos durante su vida adulta.

Las memorias electrónicas son dispositivos portátiles que se pueden introducir a cualquier computador. Son útiles para transportar información y han evolucionado con el tiempo.

Durante los años 80, el disquete gozó de gran popularidad. Era una pieza cuadrada en cuyo interior había un disco que almacenaba hasta 1,44 MB de información. Actualmente su uso es casi nulo. A mediados de los 80 fueron lanzados al mercado los CD, los cuales eran discos compactos que almacenaban información inmodificable y que fueron creados para sustituir a los casetes en el almacenamiento de música. Luego, a finales de los 90 apareció el DVD, los cuales podían almacenar 4,7 GB frente a los 700 MB de los CD.

En 1855 entra a la escuela y en 1859 empieza a trabajar como vendedor de diarios, en un tren que hacía una parada de 6 horas en cierta estación, tiempo que Edison aprovechaba para leer en la biblioteca de la Asociación de Jóvenes. No contento con leer, comenzó a probar diferentes experimentos, usando uno de los vagones vacíos del tren como laboratorio. Era parcialmente sordo y trabajó por varios años como telegrafista. Aunque se le atribuye la invención de la lámpara incandescente, en realidad solo la perfeccionó, pues tras muchos intentos consiguió un filamento que alcanzara la incandescencia sin fundirse. Así, el 21 de octubre de 1879 consiguió que su primera bombilla luciera durante 48 horas seguidas.

En 1998, IBM inventó la memoria USB para sustituir a los disquetes porque, aunque ya existían CD y DVD cuya información podía ser modificada, era más fácil de usar. Son pequeños y actualmente su uso es masivo.

Murió el 18 de octubre de 1931 en West Orange, New Jersey. Como homenaje póstumo fueron apagadas las luces de varias ciudades durante un minuto.

Finalmente, aparece el blu ray que puede contener hasta 25 GB o cerca de 6 horas de video de alta definición más audio. Físicamente son muy similares a los DVD.

LA MULTIPLICACIÓN POR 11 A continuación se muestra una forma sencilla, práctica y rápida de multiplicar un número de dos cifras por 11. Por ejemplo: 62 × 11 1) Las cifras extremas del producto serán las cifras del multiplicando (6 y 2). Así: 62 × 11 = 6 2 2) La cifra central del producto será la suma de las cifras del multiplicando. Esto es:

62 × 11 = 6 (6 + 2) 2 = 682

¡Puedes comprobarlo!

Ahora, veamos otro ejemplo: 98 × 11

1) 98 × 11 = 9

8

2) 98 × 11 = 9 (9 + 8) 8 = 9 (17) 8 3) Pero no existe una cifra 17. Entonces:

9 (17) 8 = 9 ( 10 + 7) 8 = 1078 ¡Compruébalo!

21

l a vi da tiEcTaA m AI Rdiar AID ia ADeIVn AlLa NmEate A Cm ITAáM 3

De un grupo de 84 turistas que llegó al Perú se tiene conocimiento de que 54 visitarán Cuzco y 63, Cajamarca. Si ellos visitarán al menos una de estas ciudades, ¿cuántos turistas visitarán las dos ciudades?

Resolvemos: • Graficamos:

n(Cuz) = 54

n(Caj) = 63

30

84 - 54

84 turistas

• Entonces, los que visitaron las dos ciudades estan en la intersección:

63 - 30 = 33 turistas

CO NE XI O NE S Matemáticas y la vida cotidiana Quién no ha pensado algunas vez: “mi fuerte no son las matemáticas” o “yo no sirvo para las matemáticas” y, sin embargo, utilizamos las matemáticas a menudo en las diferentes actividades que realizamos.

La vida cotidiana está repleta de situaciones donde se aplican conceptos elementales de matemática, por ejemplo: si una persona va a comprar una torta debe observar que esta alcance para todos, de lo contrario buscará una torta más grande; pero si las tortas son del mismo tamaño, podrá solucionar el problema dando a sus invitados un pedazo pequeño (concepto de proporcionalidad).

Otro ejemplo es el que ocurre cuando se preparan los alimentos, algo tan simple como preparar arroz implica matemáticas. Saber que para cierta cantidad de arroz se requiere cierta cantidad de agua es un conocimiento fundamental puesto que de otra manera el arroz no se cocinaría adecuadamente. Recuerda amigo(a), las matemáticas están en todo.

2

creamos para crecer Contamos hasta 99 999

esto aprenderemos: • Lectura y escritura de números hasta 99 999.

• Sucesiones crecientes y decrecientes.

• Adición llevando; términos y propiedades.

• Sustracción prestando; comprobación.

• Operaciones combinadas; signos de agrupación.

• Resolución de problemas.

• Números romanos: regla de formación de un número.

C OMPE T E NC IA : Resuelve problemas de contexto real y contexto matemático que requieren del establecimiento de conteo y operaciones hasta 99 999 e interpreta los resultados obtenidos mostrando perseverancia en la búsqueda de soluciones.

Tema transversal

Educación para el emprendimiento

Valor

Iniciativa

Las personas con iniciativa tienen mucho valor en el mundo.

Tener iniciativa significa: dar inicio a una acción de modo voluntario.

Demostramos iniciativa en casa con labores de ayuda diaria; también en la escuela cuando ordenamos nuestros útiles o nos disponemos a realizar los trabajos escolares.

Un emprendedor(a) también tiene iniciativa.

Los emprendedores del mundo tienen ideas de negocio y las ponen en práctica con mucha iniciativa.

O b s e r v amo s l a ima g en : Yo sé tejer con palitos y tú sabes coser a maquina.

Podríamos confeccionar chalinas y chullos, para ganar algún dinerito.

1 ¿Cuántos niños y niñas se pueden observar en la imagen?

2 ¿Es posible distinguir a compradores y vendedores? Identifica a cada uno.

3 Menciona todo lo que es necesario contar en una tienda de ropa.

4 ¿Cuál es la iniciativa de una de las niñas de la imagen?

5 En el diálogo de las niñas, ¿hay distribución de actividades?

procesos transversales

Capacidades

contenidos

Comunicación matemática

Identifica Representa Expresa

• Valor posicional (VP).

• Lectura y escritura; comparación .

• Sucesiones crecientes y decrecientes.

• Descomposición.

Razonamiento y demostración

Opera Organiza Compara

• Términos y propiedades de la adición.

• Adición “llevando”. Problemas.

• Términos y comprobación de la sustracción; sustracción “prestando”.

Resolución de problemas

Infiere Discrimina Identifica

• Efectúa operaciones combinadas con y sin signos de agrupación. Problemas.

• Números romanos: Regla de formación.

24

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

1

l ec tura y escri tura de números Comunicación matemática

No recuerdo, creo que s/. 254 o s/. 245 ... que es lo mismo… ¡con él mejoraré mis ventas!

¿Cuánto te costó aquel cartel publicitario?

¿Dalma tiene razón?

En todo negocio se anuncia bien lo que se quiere vender.

Pensar y actuar sobre las formas de anunciar lo que vendemos se llama iniciativa.

Pero es bueno tener iniciativa en todo lo que nos proponemos realizar, ¿no te parece?

MG

• Los números, su lectura y correcta escritura son muy importantes en los negocios.

• Un número mal escrito puede dar lugar a grandes pérdidas.

• No es lo mismo escribir 254 que 245. Las cifras de las decenas y de las unidades quedaron alteradas.

MI RA DA GLOB AL Valor posicional de cada cifra

Valor posicional Notación desarrollada

Descomposición 5

1

L ec tura y escri tura de números hasta 99 999

Creciente Sucesiones Decreciente

tablero posicional

4

Lectura y escritura de números 2

Comparación 3

¡DESAFíO! Felipe hizo galletitas en su casa, para luego venderlas. Si cada bolsa de 10 galletas la venderá a s/. 5 y gastó s/. 3 en su elaboración, ¿cuánto gana en 10 bolsas?

mayor que

>

menor que igual que

< S/.100

¡IMPORTANTE! 99 999 es el mayor número escrito en decenas de millar.

=

S/.60 + S/.40

25 1

(5) 25, el cual ubicamos en el tablero posicional:

Valor posicional de cada cifra Aprenderemos con algunos ejemplos:

Colocamos el número en el tablero posicional:

(1) 2 8 9

9 unidades 8 decenas 2 centenas

C

D

U

2

8

9

Dm Um C 8 unidades 4 decenas 1 7 7 centenas 1 unidad de millar

5 unidades Dm Um C 4 decenas 2 3 0 0 centenas 3 unidades de millar 2 decenas de millar

U

4

8

D

U

4

5

¡Vemos que cada cifra de un número ocupa un lugar en el tablero posicional!

Ahora aprenderemos a leer y escribir los números.

2

5

⇒ El número se lee como veinticinco .

(6) 238, número que está formado por: C

D

U

2

3

8

8U → ocho 3D → treinta 2C → doscientos

⇒ El número se lee doscientos treinta y ocho .

En el tablero posicional:

(3) 2 3 0 4 5

D

2

5U → cinco 2D → veinte

En el tablero posicional:

(2) 1 7 4 8

Dm Um

U

Lectura y escritura de números

(7) 7256, el cual ubicamos en el tablero posicional: Um

C

D

U

7

2

5

6

⇒ El número se lee así:

(8)

siete mil doscientos cincuenta y seis .

10 405 5U cinco 0D 4C cuatrocientos 0 Um 1 Dm diez mil

Primero, escribiremos el nombre de cada número: (4) 34, que está formado por: 3D 4U

⇒

34 4 unidades → cuatro 3 decenas → treinta

⇒ El número se lee diez mil cuatrocientos cinco . .

Hemos aprendido a nombrar o leer cada número.

Luego, el número se lee así: treinta y cuatro .

¡importante!

!ATENCIóN! También representamos así: (1) 2C 8D 9U (2) 1 Um 7C 4D 8U (3) 2Dm 3Um 4D5U

6 → seis 5 → cincuenta 2 → doscientos 7 → siete mil

Los números hasta el treinta, se escriben juntos; los siguientes, separados.

Ejemplo: Veintinueve

Treinta

Treinta y uno

ARITMéTICA

• Identifica el valor posicional de cada cifra y coloca el número en el tablero posicional:

D

26

Alfonso Rojas Puémape

• Escribiremos el número que corresponde en cada caso.

ARITMéTICA

(9) Veinticuatro ⇒

2D 4U

D

U

2

4

= 24

Veamos un ejemplo más: • Encerremos los pares de números que son iguales:

(20) 19 y 91 (21)

(10) Ochenta y ocho ⇒

8D 8U

D

U

8

8

= 88

724 y 724

⇒

D

U

5

9

3

593

=

Um

C

D

U

9

4

5

1

⇒

⇒ El número es 9451

2Um 1Dm

6C

3

⇒

Dm Um 1

2

C

D

U

6

0

4

Comparación de números

9

7c 2d 4u

(18) 34 721 y

(16) 256 y 237

(19) 2 9 204 y

34 736 29 024

Entonces el número que no encerramos es el número menor.

¡RECUERDA! En nuestro sistema decimal, las unidades se agrupan de 10 en 10.

Luego: 10U = 1D 10C = 1 Um 10Um = 1Dm

Veamos cómo comparar 2 números: (24) Comparemos 24 645 y 24 656

1.° El que tenga más cifras será el mayor.

24 645 → 5 cifras 24 656 → 5 cifras

⇒ Aún no podemos establecer cuál es el mayor, menor o si son iguales.

2.° Comparamos cifra por cifra de la misma unidad hasta encontrar números diferentes.

2 4 6 45

(17) 1824 y 1863

(15) 34 y 45

10D = 1C

7c 2d 4u

“mayor que” que se representa por > “menor que” que se representa por < “igual a” que se representa por =

• Encerremos el número mayor, en cada caso: (14) 6 y

7 2 4

4U

¡Muy bien! Ya sabemos reconocer cada número!

Ahora aprenderemos a comparar números.

7 2 4

Cuando comparamos dos números naturales, solo se puede establecer una de tres relaciones:

(13) Doce mil seiscientos cuatro 10 + 2 =12

24 921 y 24 921

Luego:

(12) Nueve mil cuatrocientos cincuenta y uno

9Um 4C 5D 1U

(23)

35 049 y 35 409

Cada par de números que encerramos está formado por números iguales, es decir, a una misma unidad le corresponden cifras iguales.

(11) Quinientos noventa y tres

5C 9D 3U

C

(22)

2 4 6 56

Hay cifras iguales (leyendo desde la izquierda) hasta las centenas, pero las cifras de las decenas son distintas.

Como 4 es menor que 5, entonces: 24 645 < 24 656 ¡ATENCIóN! Si todas las cifras son iguales, los números serán iguales.

27

Experiencias 7 Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s 7 en tu

1 Indica cuál de los siguientes números es mayor: • 35 286 • 35 287 • 35 268 • 35 278

.

Sucesiones crecientes y decrecientes

Si tenemos el número 784, entonces el anterior a 784 es 783 y el posterior a 784 es 785.

• Escribiremos el número anterior y posterior en cada caso: • 1563; 1564; 1565

• 72 598; 72 599; 72 600

• 2327; 2328; 2329

• 60 399; 60 400; 60 401

• Completemos las sucesiones: (25)

251

252

253

(26)

340

350

360

254 370

255 380

245

240

235

230

(28)

12 000

11 000

10 000

9 000

Cuando se escriben los números de menor a mayor, la sucesión se denomina creciente.

5

• Según el valor posicional: (29) 3456

Um

C

D

U

3

4

5

6

2 2

4 0 4

D 5 0 0 5

⇒ Descomponemos: 3Um + 4C + 5D + 6U

También podemos descomponer empleando bloques BASE 10 así:

8 000

Cuando se escriben los números de mayor a menor, la sucesión se denomina decreciente.

• Notación desarrollada: (31) 2456 → Um C

Descomposición de números

225

(27)

U 6 0 0 0 6

⇒ 2456 = 2000 + 400 + 50 + 6 (32) 84 769

⇒ 84 769 = 80 000 + 4 000 + 700 + 60 + 9

Experiencias 8 1 ¿Cuál es el número incorrecto en la sucesión?

(30) 321

Descomponemos

gráficamente:

3C + 2D + 1U

100

255

265

271

285

Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s en tu CUADERNO DE TRABAJO .

¡IMPORTANTE!

¡ATENCIÓN!

1000

• 245

10

En el tablero, podemos notar que:

2Um = 2000 U

4C = 400 U

5D = 50 U

8

ARITMéTICA

4

CUADERNO DE TRABAJO

28

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

2

adición y sustracción Razonamiento y demostración

... Entonces esa cantidad es la que necesitamos para empezar el negocio…

Sí, y ya la tenemos…

Vamos a jugar a ganar.

El juego es: ganancia = ingresos - salidas Los ingresos provienen de las ventas, las salidas son los gastos.

Si los ingresos son mayores que los gastos, ¡hay ganancia! ¡Juguemos todos a ganar!

• La adición y sustracción son dos operaciones entre números.

• Si operamos con dos o más números, obtenemos como resultado otro número.

• Cada operación tiene términos, propiedades y técnicas.

• El operador de la adición es el signo + que se lee: “agregar”.

• El operador de la sustracción es el signo - que se lee: “sustraer o quitar”.

MI RA DA GLOB AL

MG

Sumandos y suma Términos

Problemas

2

10

Sustracción prestando

Comprobación S+D=M M; S y D

Propiedades Sustracción

9

8

Conmutativa

M - S = D 6

ADICIóN Y SUSTRACCIóN

Adición a + b = S 1

3

Asociativa Elemento Neutro

Adición llevando 4

Términos

Problemas

7

5

¡ DESAFÍO! ¿Cómo serán entre sí los ingresos y las salidas si la ganancia es CERO?

¡ ATENCIÓN! Tengo que sumar 57 + 15; si a cada sumando le aumentamos 3 unidades, ¿qué ocurre con el resultado inicial?

29 1

Adición

Um C

Veamos un ejemplo:

7 0

⇒ Luana tiene S/. 70 .

Entonces:

U

1 2

2 4

6 1

3 5

3

6

7

8

Sumando Sumando Suma

+

(4) 16 584 + 43 315 Dm Um C

U

1 4

6 3

5 3

8 1

4 5

5

9

8

9

9

+

Sumando Sumando Suma

La operación de adición presenta algunas propiedades: 3

D

Propiedades de la adición Estudiaremos con ejemplos:

(5) Sumemos: 347 + 1342 La adición es una operación aritmética, la cual se representa así: a+b=S donde: a y b: sumandos

+ : signo u operador de la

2

adición (se lee “más”) S : suma

Términos de la adición

Veamos:

(2) 232 + 436 Sumandos

Ordenamos los sumandos de la siguiente manera:

Suma

(3) 1263 + 2415

2 3 2 + 4 3 6

6 6 8

Nuevamente ordenamos verticalmente los sumandos:

¡atención!

La adición también es comúnmente llamada suma.

1

3 3

4 4

7 + 2

1

6

8

9

Pero si sumamos: 1342 + 347, tendremos: 1

3 3

4 4

2 + 7

1

6

8

9

Observamos que los resultados son iguales, pero, ¿por qué? Esto sucede porque la adición cumple la propiedad conmutativa, es decir: “El orden de los sumandos no altera la suma”.

C D U

Sumando Sumando

Veamos:

Ahora veamos otro caso:

(6) Efectuemos:

160 + 106 + 133

Bueno, podemos hacerlo de varias formas:

¡desafío!

Efectúa:

2356 + 1523

ARITMéTICA

(1) Luana tiene

en su bolsillo:

Si quisiéramos saber cuánto dinero tiene Luana, solamente deberíamos agregar S/. 20 a los S/. 50. Pero, ¿cómo hacemos esto? ¿Qué operación debemos realizar? Pues es muy sencillo, solo debemos efectuar una adición, así: 5 0 + 2 0

D

30

Primero:

1 6 0 + 1 0 6

2 6 6 + 1 3 3

2 6 6

3 9 9

Otra forma: 1 0 6 + 1 3 3

ARITMéTICA

Alfonso Rojas Puémape

2 3 9 + 1 6 0

2 3 9

3 9 9

Pero hay un pequeño problema en las unidades, pues 7 + 6 es igual a 13 y el 13 no es una cifra. ¿Qué haremos?

Descomponemos el número 13: 10U + 3U llevamos 1D

Y procedemos a efectuar así: 1

Notamos que los resultados son iguales; esto se debe a que la adición cumple la propiedad asociativa, la cual establece que:

3 5 7 + 2 3 6 5 9 3

“La forma como agrupamos los sumandos no altera la suma”.

(9) Efectuemos: 2568 + 35 647

Agrupamos los sumandos mediante signos de agrupación: ( ); [ ]; { }

Entonces:

(160 + 106) + 133 = 160 + (106 + 133) = 399

Ahora estudiemos otra propiedad: (7) ¿Qué ocurriría si a un número natural le sumamos cero?

Bueno, sabemos que el cero no representa valor alguno, así que si sumamos cero a cualquier número, la suma será este mismo número.

Se dice que el cero es el elemento neutro de la adición.

Resumiendo:

Propiedad conmutativa

a+b=b+a

Propiedad asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro

a+0=a

Veamos unas sumas particulares: 4

Adición llevando

1 1 1 se lleva 1Um

3 5 7 + 2 3 6

Apliquemos la adición a nuestra vida diaria.

5

Problemas

(10) María compró 124 figuritas y Paty compró 235 figuritas. ¿Cuántas figuritas compraron entre las dos?

Como nos piden el total de figuritas, sumamos: 1 2 4 + 2 3 5

3 5 9

⇒ Entre los dos compraron 359 figuritas .

(11) Paolo tiene ahorrado en un banco S/. 7846 y en otro banco tiene S/. 2945. ¿Cuál es el ahorro total de Paolo?

Para saberlo efectuamos una adición: 1

1

1

7 2

8 9

4 4

6 + 5

S/. 1 0

7

9

1

⇒ El ahorro total es S/. 10 791 .

Pues bien, ordenamos los sumandos: C D U

3 8 2 1 5

(8) Sumemos: 357 + 236

2 5 6 8 + se lleva 1C 3 5 6 4 7 se lleva 1D

¡ IMPORTANTE!

¡RECUERDA!

También podemos aplicar más de una propiedad a la vez: 20 + 30 + 40 1.°°Conmutativa: 20 + 40 + 30 2.° Asociativa: (20 + 40) + 30

60 + 30 = 90

En el sistema decimal, cada 10 unidades de un orden forman una unidad de orden inmediato superior.

31 (12) Dos amigos forman una empresa. El primero aporta S/. 24 686 y el segundo aporta S/. 37 987. ¿Cuál es el capital total?

Efectuamos una adición: 1

1

1

3 7 2 4

9 6

8 8

7 + 6

S/. 6 2

6

7

3

1 Efectúa: a. 1564 + 2325

Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s 9 en tu CUADERNO DE TRABAJO

⇒ El capital total es S/. 62 673 .

6

Sustracción

(13) Percy tiene:

Percy le debe a Raúl:

También tenemos sustracciones particulares: 9

⇒ Le quedará: 50 - 20 = S/. 30 Luego:

M-S=D, M: minuendo S : sustraendo

(15) 34 721 - 22 519 Dm Um C

donde: D: diferencia − : signo u operador de la sustracción (se lee “menos”)

(14) Restemos: 3479 – 2361 3 4 7 9 2 3 6 1 1 1 1 8

8

Minuendo Sustraendo Diferencia

¿Y cómo comprobamos que hemos efectuado correctamente?

Pues hacemos lo siguiente:

2 3 6 1 + 1 1 1 8

Sustraendo Diferencia

¡Es el minuendo!

3 4 7 9

Minuendo

¡IMPORTANTE!

Para una sustracción de números naturales, siempre: M>S o M=S Imposible restar cuando M < S.

Sustracción prestando Veamos:

La sustracción es una operación aritmética, que se representa así:

7

.

Para comprobar que una sustracción M - S = D está correctamente efectuada, se debe cumplir que: S + D = M.

Veamos un ejemplo:

b. 23 586 + 47 795

D

U

3 2

4 2

7 5

2 1

1 9

1

2

2

0

2

1D + 1D 10U

-

se presta

Apliquemos la sustracción a la vida diaria.

10

Problemas

(16) Estefani compró un total de 256 huevos para su tienda, pero en el camino 53 se rompieron. ¿Cuántos huevos quedaron en buen estado?

Cuando nos piden lo que queda, pensamos en la sustracción:

2 5 6 5 3

2 0 3 ⇒ Quedaron en buen estado 203 huevos .

E x p e r i e n c i a s 10 1 Efectúa: a. 3561 2320

b. 45 781 29 492

Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s en tu CUADERNO DE TRABAJO .

¡atención!

En una sustracción se puede prestar más de una vez:

2

4

314 5 1 2 2 8 3 9 6 1 3

10

ARITMéTICA

1

Experiencias 9

32

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

3

OPERACIONES COMBI NADAS Y números ROMANOS Resolución de problemas

Hoy hablé con nuestros colaboradores y la producción de este mes está asegurada …

Bien…¿hiciste los adelantos de S/. 824 y S/. 620 ?

Pepe, Kiko y Coco se propusieron arreglar los jardines de sus vecinos.

Cada quincena compran materiales de limpieza con S/. 50 y cobran por sus servicios un total de S/. 77, ¿cuál es su ganancia? ¡Desarrollemos el valor de la iniciativa! ¡Estamos decididos a ganar!

MG

MI RA DA GLOB AL

• ¿Qué operación haremos en la historieta para obtener el adelanto total que se efectuó a los proveedores?

• ¿A cuánto equivale dicho adelanto total?

• Cuando hacemos emprendimiento, iniciamos un negocio sin importar el tamaño que tenga.

• El dominio de las operaciones básicas en matemática, ayuda muchísimo en el éxito de un emprendimiento.

Números romanos 5

1

Problemas 4

desde el más interno

1.° Operaciones dentro estos signos 2.° de izquierda a derecha

Sin signos de agrupación 2

OPERACIONES COMBI NADAS

se efectuán

3

se efectúan

de izquierda a derecha

Con signos de agrupación

¡ATENCIÓN!

¡DESAFíO!

Los signos de agrupación son como cajas en las cuales hay operaciones.

Solo debemos “abrir caja por caja” y efectuar las operaciones que se tienen en cada una .

Pepe me paga S/. 100, Felipe S/. 51 y yo le pago a Ana S/. 82. ¿Cuánto dinero me queda?

33 1

72

530

2

136

• 37 + 42 - 64

• 157 - 78 + 36

• 217 - (15 + 130)

• (215 - 36) - (30 + 49)

(4) 1588 + 3467 - 2594 - 793 5055

2461

Operaciones combinadas sin signos de agrupación

Veamos algunos ejemplos:

(5) 356 - 245 + 536

¿Cómo efectuamos estas operaciones?

¡Muy sencillo! Cuando no hay signos de agrupación se efectúa de izquierda a derecha.

274 + 521 - 373 1.° 2 7 4 + 5 2 1

2.°

7 9 5

7 9 5 - 3 7 3

Otro ejemplo: 1.°

1 3 7 7 9 2 4

Ahora veamos como no debemos efectuar:

356 -

4 5 3

4 5 3 + 7 6 4 1 2 1 7

Lo correcto es empezar por la izquierda.

781

¡No se puede efectuar!

Lo correcto es:

356 - 245 + 536 111

3

+ 536 647

2.°

- 793

1668

4 2 2

(2) 1377 - 924 + 764

- 2594 - 793

Observamos que algunas no poseen signos de agrupación y otras sí. Las estudiaremos por separado.

(1) 274 + 521 - 373

- 394

Por ejemplo:

+ 458 - 394

ARITMéTICA

Ya hemos aprendido a sumar y restar , incluso llevando y prestando respectivamente. Ahora vamos a sumar y restar consecutivamente, es decir, realizaremos operaciones combinadas.

(3) 245 - 173 + 458 - 394

Operaciones combinadas

Operaciones combinadas con signos de agrupación

Sigamos aprendiendo con ejemplos: (6) 347 - (274 - 183)

Y ahora, ¿cómo efectuamos? pues también es sencillo. En estos casos debemos empezar por la operación situada dentro del signo de agrupación , así:

347 - (274 - 184) 347

90

257

¡RECUERDA!

¡ATENCIÓN!

356 - 781 = ?

En los números naturales el minuendo debe ser mayor que el sustraendo.

Los signos de agrupación son: ( ) : Paréntesis [ ] : Corchetes { } : Llaves

34

Alfonso Rojas Puémape

(7) 1858 - [2467 - (2525 - 1821]

ARITMéTICA

Y en este caso, ¿cómo operamos? Bueno, cuando hay más de un signo de agrupación se empieza por la operación más interna, así: 1858 - [2467 - (2525 - 1821)] 1858 - [2467 1858 -

704]

1763

Ahora veamos situaciones cotidianas con operaciones combinadas: 4

(10) Pablo tiene S/. 683 en su billetera y luego retira de un cajero S/. 1564 para comprar una laptop. Si la laptop cuesta S/. 1799, ¿cuánto dinero le sobrará?

Identificamos operaciones:

• Retiro de un cajero: adición

• Compra de la laptop: sustracción

683 + 1564 - 1799

(8) (2476 - 795) - (456 + 953) 1681

Problemas

⇒ Planteamos la operación:

95

2247

1409

-

448

272

- 1799

⇒ Le sobrarán S/. 448 .

Veamos lo que no debemos hacer:

Lo correcto es :

(11) Luis colecciona canicas. Su papá y su mamá le regalaron 193 y 345 canicas, respectivamente.

Luego, él regaló 72 canicas a Pedro y 36 a Juan. ¿Con cuántas se quedó?

Operamos:

• Papá y mamá: 193 + 345

• Regaló: 72 + 36 ⇒ La cantidad de canicas que le quedaron las calculamos así:

1536 - [3641 - (248 + 2500)]

(9) 1536 - [3641 - (248 + 2500)] 1536 - [ 1536 -

+ 2500)]

3393

5893

¡No se puede efectuar!

1536 - [3641 1536

Proceder así es incorrecto.

(193 + 345) - (72 + 36) 538

2748

893

430

108

E x p e r i e n c i a s 11

643 ¡Ya sabemos cómo efectuar operaciones combinadas!

1 Efectúa: • 3468 + 7921- 6536 Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s en tu CUADERNO DE TRABAJO .

¡DESAFÍO!

¡ IMPORTANTE!

6310 - {3490 - [500 - (60 +186)]}

Tanto la adición como la sustracción son operaciones que más realizamos a diario.

Efectúa:

11

35 5

Números romanos Los romanos usaban letras para representar los números. Estas letras con sus equivalentes en nuestro sistema son:

V 5

X 10

L 50

c D 100 500

M 1000

Veamos algunas reglas para la formación de números romanos: a. Las letras I; X; C y M pueden repetirse hasta tres veces como máximo.

Por ejemplo: MMM = 3000

XX = 20

CCC = 300

b. Si a la izquierda de una letra se escribe otra de menor valor, esta se resta de la primera.

Por ejemplo:

XC = 100 - 10 = 90

5+1+1=7 100 - 10 = 90 500 + 100 + 100 + 100 = 800

⇒ DCCCXCVII = 897 (15) Representa en el sistema decimal:

XXXCDLXXXIII

Veamos:

XXX CD LXXX III 3 80 400 30 × 1000 = 30 000

CM = 1000 - 100 = 900

CD = 500 - 100 = 400 IX = 10 - 1= 9 c. Cada barrita que se coloca sobre una letra, multiplica su valor por 1000.

Por ejemplo:

DCCC XC VII

⇒ XXXCDLXXXIII = 30 483

XXXVXLII = 35 042 XCXXX = 10 130

Ahora veamos algunos ejemplos:

(16) Un poblador romano nació en el año

MDCCCLXII y en el año MDCCCXCIV

se casó. ¿A qué edad se casó?

Expresamos en el sistema decimal :

Nació en:

MDCCCLXII = 1862

Se casó en:

MDCCCXCIV = 1894 ⇒ Se casó a los:

(12) Expresa el número 784 en el sistema romano.

VDXX = 5520

XVIIICCC = 18 300

Empecemos: DCC = 500 + 100 + 100 = 700

LXXX = 50 + 10 + 10 + 10 = 80

IV = 4 ⇒ 784 = DCCLXXXIV (13) Representa el número 9579 en números romanos.

Empecemos: IX = 9 → IX = 9 × 1000 = 9000

D = 500

LXX = 70

IX = 9 ⇒ 9579 =

IX DLXXIX ¡ATENCIÓN!

Cuando una letra se coloca a la derecha de otra de mayor valor, se suman sus valores.

XV = 10 + 5 = 15

ARITMéTICA

I 1

(14) Expresa el número que representa:

DCCCXCVII

Veamos:

1894 - 1862 = 32 años

E x p e r i e n c i a s 12 1 Expresa en números romanos:

846 2 Expresa en el sistema decimal:

CMXCIX: Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s 12 en tu CUADERNO DE TRABAJO

¡DESAFíO!

Expresa en el sistema decimal: LXXXDCCIXVIII

.

ma te mรกtica