ma te mática E d u c a c i ó n
6
P r i m a r i a
c u a d e r n o de t r a b a j o
Alfonso Rojas Puémape
© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Asistentes de edición: Giovanna Rojas Jorge Chávez Jhonny Leguía Edson Tacanga Ronald Córdova Eduardo Julca Ulises Laureano Vilma Tipula Betty Araujo Correctora de estilo: Milagros Bueno Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Diseño de interiores: Jorge Huamaní Diagramación: María Isabel Flores, Marco Peña Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado, Will Quispe Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.
Í ndic e Panor á m ic o Unidad
TíTULO
1
En busca de coincidencias
Conjuntos
Conjuntos
Operaciones con conjuntos
Decisiones convenientes
Sistemas de numeración
Números hasta la centena de billón
Leer, comprender y prevenir
Propiedades de los números
Pág. 74
Mi porción de agua que debo cuidar
5
Pág. 6
2 Pág. 28
3 Pág. 52
4
Pág. 98
6 Pág. 120
7 Pág. 144
8 Pág. 174
9 Pág. 208
10 Pág. 230
11 Pág. 260
12 Pág. 300
CONTENIDO
TEMA 1
TEMA 4
TEMA 5
TEMA 6
Relaciones binarias
-
-
-
Multiplicación y división en N
Potenciación y radicación en N
-
-
-
Múltiplos y divisores
Criterios de divisibilidad
mcd y mcm
-
-
-
Fracciones
Fracciones
Multiplicación y división de fracciones
Potenciación y radicación de fracciones
-
-
-
Números que indican salud
Representación decimal
Expresión decimal
Operaciones con decimales (I)
Operaciones con decimales (II)
-
-
-
Mientras más ideas... más emprendimiento
Proporcionalidad numérica
Razones y proporciones
Magnitudes proporcionales y reparto
Regla de tres, porcentajes y si
-
-
-
Cuidemos el medio ambiente
Números enteros
El conjunto Z y la recta numérica
Adición, sustracción y multiplicación en Z
División, potenciación y radicación en Z
Coordenadas
-
-
Ganadores y semejantes
Introducción al Álgebra
Exponentes y radicales
Polinomios
Operaciones con polinomios I
Operaciones con polinomios II
-
-
Balance saludable
Ecuaciones e inecuaciones
Ecuaciones de primer grado
Inecuaciones de primer grado
Planteo de ecuaciones e inecuaciones
-
-
-
Interpretación y elaboración de gráficos estadísticos
Medidas de tendencia central , interpretación de gráficos
Probabilidad
-
-
Polígonos I
Poligonos II
TransformaCircunferencia ciones y círculo en el plano
Atrevidos y calculadores
Estadística y probabilidades
Estadistica
Cuidemos las formas
Geometría I e Elementos de introducción a Geometría la Trigonometría
Organizamos los recursos
Geometría II
Construcciones geométricas
TEMA 2
TEMA 3
Sólidos Sólidos geométricos I geométricos II
-
-
Introducción a la Trigonometría
-
ESTRUC T URA L I B RO DE c o n sult a
C U ADERNO DE T RA B A J O
3 52
ALFONS O ROJAS PUÉMAP E
leer , com pren der
ARIT MÉTI CA
Propiedades
y prev enir
de los núme
ros
3
75
UNA CARRE RA ESPECT ACULAR siguientes sucesion es:
Completa las
EXPL ORAM OS
LO QUE Y A SABE MOS
8
1
A V.
P
1
3
L U C H A
1
15
42
R E Y E S
1
AV. ARTU RO CAVE RO
24
72
6
A V.
36
8
1
los resultados
1
1
C H A B U C A
90
G R A N D A
84
AV. LUCH O BARRIO S
P
1 Ahora suma
2
10
4
48
P
12
4
45
60
P
2
24
36
48
1 ¡IMPORTANTE!
P
1
Los triángulos indicados se denominan rectángulos, porque dos de sus lados forman un ángulo recto.
(III)
(II)
(I)
P
36
1
1
de todas las divisiones que Av. Lucha Reyes hay en cada : 72 : 4 + ... ruta. Av. Arturo Cavero : = Av. Chabuca Granda : = Av. Lucho Barrios : =
¡IMPORTANTE!
27
a. Encierra en un círculo aquello s autos que conteng an un mismo número. b. ¿Cómo se relacionan los números 8; 9 . para las 3 sucesion y 12 respecto al número común es? determinado BUSCANDO PATRONES . Indica en cada círculo la cantida d de cuadra ditos que hay en el cuadra do contiguo.
1
P
32
18
ARIT MÉTI CA
¡ATENCIÓN! OJO que se pide la ruta más corta, NO aquella que tenga la menor suma.
1
24
9
s
1
Si x se puede dividir de manera exacta por 5, x tendrá que ser un múltiplo de 5.
16
Conocimiento
previos ¿CÓMO LLEGA R AL PARAD ERO? Encuentra y marca las rutas más cortas para avenida. La llevar a Skanito condición es que solo puede a un parade que se dividan ro de cada ir por calles que exactamente; estén entre dos por ejemplo números puede ir entre 3 y 15, pero no entre 84 y 8. P 1
1
• Compara los cuadraditos de los lados menore lado mayor, s de cada triángul ¿a qué conclus ión puedes llegar? o con los cuadra ditos
ABRIMOS Y = CERRAMOS Considera los números del 48 al 70 e indica A = { x/x se puede por extensión los siguientes dividir exactam conjuntos: ente entre 5 B = { x/x termina } ={ en 8 } C = { x/x es múltiplo ={ de 7 } Ahora indica ={ por comprensión los siguientes D = { 48; 54; conjuntos: 60; 66 } = { x/x E = { 49; 59; 69 } = { x/x F = { 48; 56; 64 } = { x/x
} } }
Al observar la imagen del ejercicio damos cuenta N° 1, nos de la importan cia nación como medio de prevenc de la vacuión. Cuando efectuam nuestra habilidad os cálculos, reforzamos operativa. Cuando obtenem os múltiplos de diversos nú-
} } }
del
.
...ATERRIZAM OS Algunas conclu siones meros, podemo s encontrar algunos comunes a tales múltiplos números (idea común múltiplo) de mínimo . Observamos una relación numérica de Pitágoras) al contar y compara (Teorema de cuadraditos r la cantidad en los lados de rectángulo. un triángulo
CORTINA Apertura de unidad
EXPLORAMOS LO QUE YA SABEMOS
Análisis de imagen
Prueba diagnóstica de unidad
Sistematización de tema transversal, valor y competencia
55 55
54 54
EX
Y DI VI SOR E S M Ú LT I PLOS matemática
1
1
Comunicación
13 PERI ENCI AS De la siguiente identifica: 12
20
62
ARIT MÉTI CA
50
ALFONS O ROJAS PUÉMAP E
2
M U LT I PL I C AC
I Ó N Y DI VI S I Ó N D E F R ACC IONES
ARIT MÉTI CA
Razonamiento
1
Multiplicación
y demostración
30
3 c. Múltiplos de
y 2:
3 d. Múltiplos de
o 5:
:
de torta que
⇒ Dalma come: 1 de 1 = 1 × 1 1 × 1 2 = 1 4 2 4 = 2 ×4 8
El ruido contam ina ambiente, genera nuestro medio molestia y estrés en las persona s. Seamos educad os y coopere emitiendo menos mos ruido.
• Hay diversas
MG
4
×== =×= = ×= =
16 9 = 30 12 = ⇒
×= ×==× ×
=×
4
maneras de
MIRADA GLOBAL
multiplicar o
dividir fraccion
das
1
Multiplicación Orden de operacio
nes
Signos de agrupac
ión
)] }
MULTI PL ICACIÓ N Y DI VISIÓN DE FRACCI ONES
También tenemo
Por otra fracción a×m b n Por un número mixto
2 de 3 de 40 5 4
una multiplicación a: m a n b n = b × m = an bm
1
espacio
1
2
53 4
3
6 23 3 × 23 × 10 4 = 10 × = 69 2 20 2
1
3
• 2 de 4 3 6
• 3 de 20 4
de
¡RECUERDA! Los términos de y del indican multiplicación.
jos hay.
9l
19l
choempacar 2250 12 Se desean para su distribucolates en cajas te disponemos r ción. Si solamen pueden contene de cajas que tes y no deben 7; 9 o 12 chocola al empacartes sobrar chocola deberá se las cajas los, ¿cuál de emplear?
15l
( ) ( ) ( ) ( ) honor realizada en n A una fiesta de Chapi asistiero a la Virgen En cierto mo100 arequipeños. parte de los o mento, la novena n usaban sombrer bailaba que de los mismos y la octava parte Interpreta y . chompa usaban número de mujeres determina el n. bailaba que
8
s asees 3, ¿puede 13 Si un número también 9? gurar que es
)
¿Cuántos números son 7 + 4?
te tiene solamen Si un número suy tales divisores dos divisores a el número. man 20, identific
9
de llenar un cilindro el 14 ¿Puedes o exactamente 100 l vaciand l y baldes de 20 contenido de 25 l a la vez?
s se de 48 persona 10 Un grupo cruzar una avenida dispone a o está en vers cuando el semáfor en grupos formadoa de. Si cruzan personas, interpret por más de 2 maneras disy halla de cuántas la avenida. cruzar tintas pueden
de dos cifras
es pero
mayor múla la suma del 15 Determin tres cifras, el menor tiplo de 12 de el made tres cifras y múltiplo de 15 8 de cuatro cifras. yor múltiplo de
sucesión: En la siguiente 18; ...; 267, 3; 6; 9; 12; 15; y demúltiplos de 6 identifica los hay. termina cuántos
6
¡ATENCIÓN! ¡RECUERDA!
defecto) 18 = 5 + 3 (por exceso) 18 = 5 − 2 (por
Si: ab = P =a entonces: P P=b
PREVIOS
Encontrarás
más ejercicio s NCIAS 21 en tu CUADERNO DE TRABAJO .
EXPERIE
Historietas: recoge los conocimientos previos y contextualiza el contenido.
¡ATENCIÓN!
5 3 es un número mixto 4 transformamos a fracción: 5 × 4 + 3 × 1 23 4 = 4 4 4
TEMAS DE UNIDAD
divisor de 21, no de 24.
divisor de 35.
S 21
¡DESAFÍO!
4 El número
es
3 El número
2 38 = 5 −
Efectúa:
Expresa como
producto: 5 de 3 8 5
6 de 10
(7)
2
2 3 8 × 40 = 2 × 3 × 2 = 12 5 4 ×
¡Se denomina fracción de un número natural!
EXPER IENCIA
se convierte en ¡IMPORTANTE!
(6)
7
3 56 3 × 7 × 8 1 = 1 × 1 = 21
un número los
1 27 = 4 +
casos:
Efectuamos:
Por un número natural a: b n ; n∈N Por otra fracción
División
La multiplicación de presenta propieda fracciones des similares a la multiplica ción de números naturales.
s los siguientes
3 de 56 8
(5)
1
2
Multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha) Adiciones y sustracci ones
Completa con
3
siguientes baldes: 7l
damente: Completa adecua b. 38 = 4 − a. 34 = 3 + d. 57 = 6 − c. 49 = 5 + f. 81 = 7 − e. 63 = 8 + menores a los números y 4 Identific múltiplos de 3 son que 1942 que s son? 5 a la vez. ¿Cuánto
5
. DIVISOR MÚLTIPLOS QUE NO SON o NÚMEROS s en blanco:
natural a× b n ; n∈N
e. 42 × 6 = 9 (
3
múltiplos de 4.
Hay
es.
Por un número
3
Operaciones combina
{ [(
a c a×c × b d =b×d
Más ejemplo s:
• Así como sumamos y restamo multiplicar y s fracciones, dividir fraccion también es posible es. • El término de o el término del indican multiplic ación. Por ejemplo: 3 de 8 = 3 × 8
NO, en: 60 ( ) a: 2 Coloca SÍ o 8 es divisor de Según la historiet (V) o falsa (F): de 60 ( ) • es verdadera 60 ( ) • 3 es divisor la afirmación 10 es divisor de 1 Identifica si de 60 ( ) • 60 ( ) • 5 es divisor • 60 = 5 ( ) 12 es divisor de • 60 = 2 ( ) de 60 ( ) • • 9 es divisor • 60 = 6 ( ) • 60 = 3 ( ) MÚLTIPLOS • 60 = 8 ( ) DADES DE ÓN • PROPIE • 60 = 4 ( ) UNA SUCESI TIPLOS EN MÚL • TIPLOS ENTRE MÚL o OPERACIONES 4 3(7) = caso: = ta, en cada 3 8−8+8 2 Comple 2 3+3−3= 1 5+5+5= 8 7(6) − 6 = 7 9 + 2(9) = = 6 7(2) + 2(2) = : 5 4(9) − 3(9) 10 En la sucesión 21; ...; 36 6, 9; 12; 15; 18; : sucesión la s 9 Tenemo 26 múltiplos de 6. Hay 3; 4; 5; 6; 7; ...;
1
ARIT MÉTI CA
Dalma
Para multiplic ar dos fraccion es, multiplicamos numerador y denominador numerador con con denominador.
o MÚLTIPLOS
come Dalma?
grupo de 4
grupo de 2
baldes un aspa los Marca con llenar usando que se pueden baldes. solo 2 tipos de
C si es correcta Representa con ta cada proo con I si es incorrec posición: 3 ( ) ) b. 25 × 6 = a. 32 × 5 = 4 ( 8( ) ) d. 28 × 9 = c. 30 × 7 = 4 (
2
¿Cuál es la parte
Se tienen los
7
91
17l
Susana come 1 de la torta. 4 Yo solo quiero comer 1 de lo que come 2 Susana.
45 22
4: b. Múltiplos de
Veamos un ejemplo (1)
Si las nueve décimas partes de todos los vehículos dejaran de tocar sus bocinas.. .
1
54 72
5: a. Múltiplos de
63
de fracciones
12
33
48
120
25
ejercicio.
cierado instante, 11 En determin autos se detieto número de en el semáforo nen al estar la sétima parte rojo. De ellos, negro y la quinson de color que no son de ta parte de los en son rojos. Si color negro a autos, interpret total hay 22 roautos y determina cuántos
4
18 90
204
14 36
luego de cada
o con un
carita con un
, lista de números
19
35
74
parece que ¡No creo! Me 60. divisores de 2; 5 y 6 son
que 60 Eso significa 2; 5 y 6. es múltiplo de
papel ¡60 hojas de bond para nuestro se trabajo grupal en pueden repartir entre partes iguales 2; 5 o 6 alumnos!
• Completa la
ARIT MÉTI CA
Cuadro de capacidades y contenidos
PUÉMAPEE ROJAS PUÉMAP ALFONSOO ROJAS ALFONS
5 3=5+ 3=
Ejercicios previos a la sección Experie n c i a s con espacios para completar.
Historietas de introducción, mapas con teoría y ejemplos desarrollados por ramas del mapa. Vínculos con CUADERNO DE TRABAJO y páginas web.
126
ALFONS O ROJAS PUÉMAP E
80
ALFONS O ROJAS PUÉMAP E
89
23
1
AYER Y HOY
ARIT MÉTI CA
JOHN VON ENERGÍA SOLAR sol desprende el la energía que ¿Sabías que billones de planesostener 31 bastaría para Tierra? tas como la , del Sol es gratuita proveniente s La energía ble. Decimo ina) e inagota limpia (no contam brillará por aproxiporque el Sol ble inagota de años. 6000 millones madamente de forma y almacenamos Si aprovechamos podremos obteenergía solar, adecuada la idad. ner calor y electric meEl calor se obtiene res térdiante colecto idad micos y la electric los módua través de aicos, es los fotovolt solares. decir, placas a la obtenid Una vez podemos electricidad el monto a hogar y reducir cionales. usarla en nuestro recibos conven pagar en nuestros en los aprovechaba solar ya se La energía espaciales. primeros satélites
NEUMANN
nn nació John Von Neuma Hungría, el en Budapest, re de 1903; 28 de diciemb a una mede niño mostrab ente y era moria sorprend con el cálculo muy rápido mental. los matemá Fue uno de ntes del en la ticos más importa un gran avance al pues realizó electrónicas, siglo pasado las computadoras evolución de binario y desplaen usar el sistema ser el primero hasta ese entondecimal usado el zar al sistema velocidad en logró una mayor aces. Con ello decir, las comput de datos, es mismo el en procesamiento iones an más operac doras realizab tiempo.
nn desarrolló binario, Neuma as Gracias al sistema to de program de almacenamien adora, el el concepto de la comput la memoria y datos en de hoy. do hasta el día cual es emplea
A CIÓN GRÁFIC MULTIPLICA de rápida y curiosa rás una manera tus amiAquí aprende sorprender a la cual podrás multiplicar, con gos. de la siprocederemos ar: 23 × 13, Para multiplic : guiente manera nos ins, tantas como caso os líneas verticale este (en Colocam 1.° ando del multiplic diquen las cifras das así: 2 y 3), espacia
de os los puntos das; luego contam 1 y 3), espacia así: intersección, es Si el número el de 2 de 2 cifras, pasa a las decenas ; sumar al anterior como lo indican 9 3+6=9 las flechas. 23 × 13 = 299 resultado es: el Luego, 3.° : 24 × 14 4.° Otro ejemplo 2
+12
nos les, tantas como caso os líneas horizonta 2.° Colocam ador (en este del multiplic indican las cifras
3
es, para escolar tienda de ropa 2500 dueño de una 4500 polos, El señor Reyes, por campaña le confeccionen requiere que blusas. cada camisa camisas y 2500 polo en S/. 5, cada le vende cada polo a S/. 8, Su confeccionista Si vende cada vender blusa en S/.8. y además logra 12 en S/.10 y cada S/. a 15 y cada blusa camisa a S/. paga por IGV? ería, ¿cuánto 18% de la equivale al toda su mercad ya a las ventas; es S/. 8 este to general IGV: Impues venta al público venta si el precio de del precio de venta. Es decir: S/. 8 es el 118% Por lo tanto incluye el IGV. real. Resolvemos: venta: el total de la • Calculamos 36 000 4500 × 8 = S/. 37 500 2500 × 15 = S/. 30 000 2500 × 12 = S/.
= S/. 103 500 + 30 000 ⇒ 36 000 + 37 el IGV: • Calculamos 18 × 103 500 = S/. 15 788,14 118
5
c.
e.
2
125
=
3
3 +1 −3 4 2 8
12+ 1 e. 3 2
3
5
4 5
500
lunar.
tragracias a un o fue posible cientíTal acontecimient participaron o en el que quiebajo en conjunt estos últimos, áticos. Fueron computación ficos y matem programas de de la nes desarrollaron ar cada etapa izar y control para sincron físicos, quienes aron n particip oria, misión; tambié una trayect de encontrar tenían la tarea el cohete para donde viajaría n o camino, por tiempo y tambié en el menor llegar a la Luna del espacio. la ingravidez aprovechar
hizo investigación de años de iTodo el esfuerzo de 1969 la human el 21 de julio posible que acontecimiende uno de los del hombre. dad fuera testigo ntes de la historia tos más importa el primer hombre convirtió en se ng inó Neil Armstro se la denom A esta misión en pisar la Luna. Apolo 11. en utica hicieron y la Aeroná idad. La Matemática para la human gran trabajo conjunto un
s operacio-
8 − 9
+
4
=
1 ×1 ×3 = 2 3 8
+
3×4× 2 9 6 25
4×1 − 5 2 1+1 2 3
×
5 1 −1 6
+
• Completa la
2
= 12= 2
El área de un
4 cuadrado es o de
el perímetr 6 2 3 25 u . Calcula se forma la figura que estos cuaal unir tres de se muesdrados, como tra en la figura:
3
( ) ( )
Si A es IP al cuadrad o de B, cuando A = 3 y B = 12, a el un valor de B, cuando determin reparten amigos A =se27. 10 Entre tres Sabiendo que premio de S/.650. 3/4 de lo que los Antonio recibe de lo y Beto los 2/3 recibe Beto ¿cuánto recibe que recibe Carlos,
carita con un
EXP ERIE o con un
luego de cada
ejercicio.
1
7
Los miembro s de una familia decidieron abrir un restaurante como negocio familiar. Para inauguración, la ellos prepara ron 50 platos
de cortesía tencia del público , pero la asisfue el triple de lo esperado. ¿Cuántos platos de cortesía faltaron?
Manuel y sus tres amigos tienen iniciativa de apoyar la a una vecina en el sembrad o de su chacra. en un día los Si cuatro logran sembrar los 2/3 del terreno, ¿cuánta personas más s se necesitan para sembrar todo el terreno en un día?
Carlos? El volumen de un cilindro está determinado por:
9 Rocío preparó h un almuerzo V = πR 2h familiar para 9 persona R s. Si 720 de servir el almuerzo a la hora industrial contiene Analiza e Un bidón llegaron de 11 indica el tipo de Si envasan los improvis ción que presenta litros de nalcohol. rela- o en bo- fraccióno 3 personas, ¿cuál es la los elemencontenid tos (DP o IP).4 / 9 de dicho en porción en la que disminuyó la de litro y el resto personal? tellas de 1/4 • R2 ¿cuánh de 5 / 8 de litro, botellas necesarias? • h V botellas serán tas • V 2 R en cisterna repartió Julio realizará 7 Un camión los 3 / 8 de su5conteun viaje en un bus una fábrica que que 10 Quince campes los 2 /5 de lo puede recorrer 240km en 3 horas. nido y en otra dicho inos siembra a. Si todavía Si la ciudad a la cual viajará todo un terreno n de aún le quedab está cuadrado de a 4800km, 2100 galones 100 ¿cuántos días Zoila requiere embolcamión contiene s galones su duraráde azúcar, si los m de lado en 20 días. teníaviaje, 12 La señora Si el os mismo trabajo aproxim kilogramte? sar 90adamen petróleo, ¿cuánto quisiera hacerse en bollos colocara en 5 días, ¿cuánto 2 /3 del peso antes del reparto? s campesinos kg, 1/5 del peso más se tendrían sas de 5 /4 de en que contrata r? 1/2 kg y el resto en bolsas de s bol4 kg, ¿cuánta 3 / de bolsas sas necesita? 6 Carlos es visitador médico y trabaja 4 horas al día. puede de agua se de horas logra Si en su horario 8 Un depósito cañería en 9trabajo visitar 7 médicos ¿cuánto , llenar por una s días de trabajo Estando 18 horas. necesitará para visitar y por otra en 42 médicos?
127
NCIA S 21
grupo
81 • Completa la
grupo Completa los de recuadro 2 de blanco: 4 s en
a. 3 5
( ) Dado el gráfico, comprueba que el valor de b es 16. de obra puede 9 Un maestro en cierto realizar64un trabajo en el tritiempo y su ayudanteSi ambos a ple de dicho tiempo. do a cooperar trabajan deciden la obra en juntos y así1 terminar ía, tra4 demorar b 6 días, ¿cuánto el ayudante? bajando solo, 2
D
Efectúa las siguiente das: nes combina
b.
6 − 1 −1 2 3 7
2
nes: Efectúa las operacio 3 1 4 ; 1 + 3; 1− ; 2 × 5 2 7 9 2
6
2 3
3
1 6
grupo de 4
• N.° de obreros llenar. – obra • Tiempo − N.° de obreros • Velocidad – distancia
8
o del cubo pequeñ Si el volumen 125 u2 , halla la suma de aristas es 64 del cubo grande.
a.
×
2
A
A
4
−
3 5=
64 125
ESPAC IAL LA CARR ERA
y acciode esfuerzos al conjunto intento Así se llamó s países en el as por alguno año nes realizad la Luna. En el s en llegar a a, luego de de ser los primero Unidos de Améric sus 1969 los Estados miento con ación y planea años de investig de astronautas que un grupo ie logró os, científic a la superfic un cohete llegaran a bordo de
2
×
NCIA S 33
, se el depósito vacío 1 Analiza cada eamente relación y coloca simultán abrenen los parénte . Infiere sis Den si es directa o ambas I sicañerías es inversa. se podrá cuánto tiempo
dacoloca adecua Selecciona y s para que el mente los resultadoy columna sea la fila producto en el mismo.
O
ONE S
×
250 = 5 6
3
1 +2 +3 8 3 5 15
42+ 5
13 2
49 2 O es centro, infiere Si A = 64 u y recel perímetro del y determina tángulo ABCD: C B
3
CON EXI
3
d.
3
=
32
d.
c.
grupo EXP ERIE de 2
ejercicio.
×
6
×
b. 2 × − 3 2 × = 11 Luis y su hermano 5 4 tomaron 7 35 la iniciativa de pintar la fachada de su casa −3 −6 c. × y lo× hicieron en 4 horas. = −1 9 Si los 4 8 dos4 hermanos también otros hubiesen ayudad 18 d. o,−2¿en × cuántas × 3 horas × 5 = 1 hubiesen 3terminad 24 12 24 tar toda la fachadao de pin? e. 7 × × − 1 = −7 9 8 5 20 2 Completa los recuadros en blanco: 12 Tres estudian tes de antropo logía decidie En un día ron explorar En 3 días una zona virgen de la selva a. y llevaron víveres ⇒ para 10 días. al momento Si de partir se unen dos estudian tes más, responde: ¿cuánto organiza y s días menos durarán los víveres? En 2 días En 3 días b. ⇒
5
Halla el área
o con un
luego de cada
− 21 6
b.
=
8
10 u 3
A=
A=
Entre Joe, Luis y Nancy pagan un préstamo de S/. 48 000. De la cuota mensua l, Joe aporta los 3 /8, Luis los 2 /10 y Nancy el resto. Si terminaron de pagar el préstamo en 5 años, organiza y halla el aporte mensua l de Nancy.
8 u 3 21 u 5
c.
15 u 4
5 u 2
A=
13 u 3
d. 22 3
6
b. 25 × 124 54 144 125 × 62 =
7
u
16 u 5 5 u 2
A=
Un grupo de médicos asistió a un congreso. Los 2/5 de ellos eran odontólogos, 1/3 eran ginecólo gos y el resto, neurólogos. Si asistieron 18 ginecólo gos más que neurólogos, organiza mero de odontólo y halla el núgos que asistió.
Un grupo de amigos sembró árboles en un parque. Julio sembró 3/5 del total, María
9
De la pregunt a anterior, si Joe aportara solo 8 /15 de lo que aporta y la diferenc ia la cubre Luis, ¿cuál es la fracción de la cuota mensua l que cubre Luis en este caso?
10 Juan y Pepe tienen S/. 350 S/. 480, respecti y vamente. Juan gasta la Si mitad de los 3/7 de su dinero y Pepe un tercio de los 2/5 de su dinero, calcula y comprueba que Juan gasta más dinero que Pepe. 11 Si: 15 × 12 45 × × 2 = , 4 9 5 32 ¿es posible determin ar el valor que falta en cada recuadr o? ¿Por qué?
sembró 1 8 del total, Alex sembró 1/6 del total y Tina sembró el resto. en total se lograron Si sembrar 480
/
+16
14 = 336 Luego: 24 ×
Experie n c i a s
MATEMÁTICA DE AYER Y HOY MATEMÁTICA DE VIDA DIARIA Conexiones con otras áreas
grupo de 2
de cada figura:
13 u 2
2u
ejercicio.
grupo de 4
árboles, ¿cuánto s árboles sembró Tina?
13 u 2
a.
13 Un científic Enfamoso un día o muy En 3 días descubrió una de las leyes naturale c. la enunció así: ⇒ sy “ … la fuerza (F) entre dos cuerpos de atracción de masas Compar y m2 es a y determina m1 DP al product o de quién masasavanza e IP al cuadrad más en 3 días.dichas o de la distancia (d) que los separa…” . Comprueba m .m 3 Efectúa que: F=C 1 2 las siguiente s operacio nes: d2 a. 23 × 24 10 48 115 × 11 =
14 La fórmula 17 c. 27 × para 51 19 49 × determin área de un triángulo 57 147 × 153 × ar el= 102 está dada por: 4 Efectúa lasb.h A = siguientes operaci nes combina2 o¿Podemos afirmar das: que b es 2? Explica. a a. 12 × 24 − 27 49 DP 24 64 36 72 × × 56 63 = 41 5 b. 25 + 3 13 82 50 × 75 − × 65 18 =
carita con un
15 3 1 1 − 20 6 − 2 − 4 × 1 − 3 + 5 2 5 6 = d. 18 × 18 2 5 5 − 17 24 3 × 6 − 9 26 × − 14 = 5 4 1 2 e. 8 + 1 3 5 + 3 15 × 3 3 c.
5 = −4 9 9
ARIT MÉTI CA
MATEMÁTICA DE
=
en blanco:
luego de cada
o con un
carita con un
ARIT MÉTI CA
PUÉMAP E ALFONS O ROJAS
16
4
b.
ARIT MÉTI CA
22
ETAM CITAMTICA E AEMÁ L A NMAT RAID IAADEIVN AL L A VI DAA IDIAR
espacios Completa los 3 = a. 2 12
• Completa la
ARIT MÉTI CA
AS 24 EX PERI ENCI
Ejercicios básicos para resolver en el aula, algunos sugeridos para trabajar en grupo.
DE U NIDAD 240 240
ALFONS ALFONS OOROJAS ROJASPUÉMAP PUÉMAP EE
CONTRO L ÁLG EBRA
• Completa el
1 Exploramos
mental: Presentación de
3
datos
Recolección de
Población
241 241
lo que apren dimos.
Identifica si la variable es cuantitativa o cualitativa y marca con un aspa ( ) según corresp onda:
datos
6
La venta de autos de la marca Tobagu, durante los primeros meses del año pasado, fue como muestra la tabla: N.°
cualitativa cuantita tiva
a. Religión b. Lugar de nacimiento
de autos vendidos
Enero Febrero
c. N.° hijos ESTADÍ STICA
Cuantitativa
Variable
Mapas mentales para completar. Examinan y relacionan contenidos.
Abril Mayo
1500
Registra los datos
Venta
3000 2000
Junio
1500
en el gráfico
de barras:
3000
f. Color de ojos
Absoluta
N.° de autos vendidos
3000 2000
Marzo
d. Peso e. Edad
ÁLG EBRA
cO NT RO L
siguiente mapa
2500 2000 1500
Frecuencias
Ene
4 Relativa acumula
da
Completa la
Horizontales
Barras
tabla de frecuen
cias:
Nota
f
F
10
Gráficos estadístic os
Prueba abierta de evaluación de proceso.
12
7
20
Cuando se les preguntó a los estudiantes de 6° grado acerca del curso de su preferencia; respondieron: Historia Literatura Comunicación
PISTA 2
Completa la
La muestra es una parte de la población.
2
Comunicación Comunicación Historia Matemáticas Literatura Comunicación Historia Comunicación
Estudiant
N.° estudiantes
Ingenieros de la empresa
C.
May
PISTA 4
Meses
Jun
Para determin ar cada frecuencia relativa (h ), realizamos:
Inundaciones
h=
4
23/50 8/25 4/25
fi Total
Sismos
8
20
Incendios
13 Derrumbes
3
N.° de pisos de edificios
f
6
a
II. contabilidad de una universida d de Piura.
¿Cuál es la medida del ángulo correspondiente a cada sector?
1
F
7
Ingenieros electrónicos de la empresa Febrex.
III.
Febrex.
Total
Abr
7/50
39 47
Completa la tabla de frecuen calcula: a × b cias y – c.
Estudiantes de
Autos del año 2010.
Mar
PISTA 7 5
Autos de color negro del año 2010.
I.
sidad de Piura.
B.
tabla:
Curso Historia Comunicación Literatura Matemáticas
Identifica la poblac muestra y relación ión, su respectiva alas. es A. de una univer-
Feb
En Huancayo, el mes pasado se registraron 45 desastre s tal como lo indica el gráfico circular :
2/25
12
16 18
1
7 H
4
14
Circular
h
8
8
Destino
25
1/4
42
17/100
Alemania España
62
2/25
91
3/20
c
9/100
θ = 360º° × frecuencia Total del sector
Costo (S/.)
2500.00
Italia
2200.00
1800.00
Inglaterra
2300.00
Portugal
2000.00
2100.00
Rusia
2400.00
19/25
12
Costo (S/.)
Francia Holanda
27/50
b 14
11
La medida del ángulo que corresponde a cada sector es:
Elabora un gráfico lineal con los sobre los costos datos de los pasajes países más visitado a los s de Europa.
H
12
9 10
( ; ),( ; ),( ; )
h
1900.00
253 253
de sa
fío
ZAMO EMPE
S
ática
n Matem
• Completa
¡RECUERDA
con la carita
luego de
o con un
un
icio. cada ejerc
correcta: la relación IIIA Identifica b) IB; IIA; IIIA d) Ninguno a) IA; IIB; IIIB ias c) IA; IIA; 20 famil grupo de n, se ultó a un que tiene Se cons de hijos 7 número sobre el 1 2 obtuvo: 3 1 2 2 2 1 2 3 2 3 3 2 2 4 1 1 fre2 2 tabla de una en s absolulos dato registra la frecuencia e indica cuencias va. ta y relati os: Resolvem : s la tabla ramo Elabo h
alumnos esta a los ó una encu para tener una ia Se realiz s secundar putadora de com de 3° de en número colegio nos del idea del n los alum Se obtuvo: s. que tiene ctivas casa 2 1 2 sus respe 2 1 3 1 1 1 2 1 2 3 0 1 1 2 2 1 3 : la Responde ¿Cuál es 2 la muestra? ¿Cuál es 1 ? población tativa ble es cuali ¿La varia 3 a? o cuantitativ tabla s en una dato los Registra 4 encias. de frecu os: guir: Resolvem mos distin io. ciado pode del coleg Del enun alumnos ción: los de 1. Pobla nos de 3.° tra: los alum 2. Mues ia secundar titativa. s. ble es cuan frecuencia de 3. La varia tabla os ramos una de alumn 4. Elabo
!
le es Una variab si se a cuantitativ o puede medir contar.
ut.
N.° de comp
es un La muestra de la subconjunto población.
encias mues de frecu io realizante tabla un estud La siguie traados de s de 20 tra los result guar los peso averi do para empresa: s de una h bajadore f Peso (kg)
3
3
1
4
8
4 =1 20 5 1 20
4
3
7
2
10
2
9
5 =1 20 4 10 = 1 20 2
5
1
1
1
5
!
¡RECUERDA
f
N.° de hijos
N.°
0
grupo de 4
grupo de 2
65
jadores o de traba s a un grup respectiva Se consultó resa sobre sus emp de una vo: y se obtu edades 31 27 41 27 29 30 27 30 40 46 35 38 44 36 35 45 muestra? ño de la tama 18 el d) ¿Cuál es c) 16 b) 15 a) 13 bles: las varia itativa Relaciona A. Cual 6 titativa hijos B. Cuan I. N.° de de ojos II. Color o civil III. Estad
70 80
3 10
a b 6
2 5 3 10
a + b. y calcula la tabla d) 14 interpreta c) 10 b) 8 a) 6 el problerada en tabla most trabajadores más Según la ntos 9 rior, ¿cuá ma ante kg? 65 kg que d) 4 pesan 70 c) 1 b) 2 3 a)
VA MOS BIE N Razonam
S/. 50000
Pisco
Nazca
Chincha
izó el siguie
11
PISTA 9
11
11
11
10
11
La probab ilidad de un suceso es:
10
10
2 Operac
14
12
16
10
11
Fi
m
n
13
p
q
organiza y halla el valor de p.q − m a) 54 − n. b) 34 c) 64 d) 56 Del siguiente grupo de datos: 8
13
8
8
8
8
10
13
moda?
b) 13
Con
8 10 13 13 13 10 13 10
c) 10
256
d) 8 y 13
ALFON SO
20
14
la carita con un o con un Con la finalid ad de elegir del viaje el destino de promo ción, eligieron entre: Cuzco los alumnos Arequipa. , Huaraz Si al final se obtuvieron y siguientes resultados, los ¿cuál será destino del viaje? el Arequipa
Cuzco
c
voley
básque
Huaraz
microondas
televisor cocina
lavadora cocina
microondas cocina televisor
8
50 A
B
a) 22
b) 41
c) 30
14/50
En un ánfora se tienen das rojas. 10 bolillas El evento: toelegir una al azar y obten bolilla er una bolilla roja es un . ¿Cuál es la palabra que se tachada en el enunciado? Si se aume ntan 90 bolilla azul, el event s rojas y una o: elegir una y obtener bolilla al azar una bolilla azul, ¿es un imposible? evento
PISTA 5 Para determ inar la medida del ángulo central (θ) en un gráfico circula r, se realiza: 360° θ= Total de datos × fi
PISTA 10
Al elaborar el espacio muestr al, los elementos repetidos no se consideran nuevamente .
encuentra
ACIÓN
r
de primos
cocina
0
refrigeradora
1
cocina
2
lavadora
f
F
h
5 7 9
H 5/25
3
7/25 21
12/25
9
9/25
s)
29/50 7/50
Encuentra la moda y la mediana siguientes de los números.
ROJAS PUÉM APE
televisor
29 36 50
Huaraz
cio.
5 3 3 5 3 7 8 2 5 2 7 3 9 Si se aume nta un 5 al grupo de ¿qué suced datos, e con la moda ? Con los datos del cuadr o elabora un y determina tral de la mayo el ángulo cenr región.
5
Arequipa
100
tes (millone
b
Arequipa
C ¿Es posibl D Fábrica e grafic mero de trabaj ar exactamente el núadores de la fábrica Si el total de B? trabajadore s de las 4 cas es 700, fábri¿se mero de trabaj puede calcular el núadores de la fábrica B?
Elabora una tabla con 25 4/25 ¿Cuántos los datos televisores a) La mayo más que lavady responde: dieron? r frecuencia oras se venrelativa es b) La meno 7/25. r frecuencia absoluta es c) La tercer b) 2 5. a frecuencia c) 4 relativa es d) 1 d) La segun Relaciona 9/25. da frecue cada pobla ncia absolu da es 7. muestra. ción con ta acumulasu respec tiva I. Los jugad 6 Comp ores de la ara la venta selección A. de Las da como zapatos de secretarias nacional respuesta 4 amigos de fútbol. la persona casadas. nos pares y que vendió de zapatos. meI. Las secret N.° de arias zapatos empresa MALLI de la B. Los univer vendidos sitarios . mayores de 20 años. III. Los estudi antes de una univer C. Los jugad sidad de = 12 pares ores Arequipa. de zapatos suplentes a) IC, IIB, IIIA c) IC, IIA, IIIB b) IA, IIC, IIIB Abel Blanca d) IA, IIB, IIIC Carlos Delia Vendedor a) Abel 3 Identi b) Blanca fica cuál c) Carlos es una variab de las siguientes altern d) a y c 7 Según le cualitativa. ativas no la gráfica, I. Día favorit calcula la ángulos de o de la seman diferencia la mayor y a. II. Estado la menor región de los de ánimo . . III. Longitud personas con de un paso. cabello rojo IV. Grado de instruc 15 personas ción. con cabello a) I 50 personas con b) III negro 35 c) II cabello rubio d) IV 4 Comp leta la tabla y calcula: a) 70° a + b + c. b) 126° Deporte c) 72° d) 144° favorito 8 Interp f reta la gráfic F h H a y marca correcta. Fútbol la alternativa a Habitan 18/50 7
4
cada ejerci
¿El no poder ver 2 votac iones, afecta resultado final? Explic el País a. Si Arequipa Sudamericano N.° de mundiales y Huaraz obtuv ganados (f ma votac ieron la mis) ión, ¿cuále Argentina s son los que no se destinos 2 pueden ver? Brasil 2 Elabora una 5 tabla de frecue Uruguay notas de los ncias con 24 alumnos las 2 de 6° cula la suma de las frecue grado y calAl hablar ncias relativ de ángulos, as. ¿a qué gráfic nos referim 14 18 16 os? o 20 16 14 ¿Cuál es la 16 18 16 20 14 frase que 16 18 12 fue tacha enunciado? da en el 18 14 12 18 16 18 20 16 6 El promedio 14 16 de las edade ¿En toda es 12. Si las s de 5 amigo tabla estadí edades de s stica, se cump que la suma 4 de ellos 11, 13 y 15. de las frecue le son Calcula la 10, es 1? ncias relativ edad del ¿Falta algún as mayor. dato para Si sumas todas poder calcu la edad del las frecue mayor de lar tas, ¿cuál ncias absolu los 5 amigo es el valor s? 7 José elabo que obtien ró un dado es? 3 Si la fábric especial cuyas caras son: a B tiene 1, 1, 2, 2, más de 50 dores, comp 3 y 4. ¿Cuál probabilidad trabajaleta el gráfic es la de lanzar o de barras el dado y ner 2? N.° de trabaja . obtedores 250 El espacio muestral de 200 este dado, el mismo que el de ¿es un dado 150 Explica. normal?
t Se sabe que fútbol 20 person as practican tación y 80 napractican fútbol. Interp y halla el valor reta de b – c. a) 30 b) 40 c) 60 d) 80 7 Del proble ma anteri or, comp la diferencia entre el núme ara y halla nas que practi ro de persocan fútbol y voley. a) 30 b) 40 c) 60 d) 70 8 Los siguien tes datos son el núme extintores ro de comp para su seguri rados por una empre sa, dad, en los últimos 9 años: 1 3 3 1 3 1 2 3 a Si se sabe que la distrib ución es bimod ¿cuál es el promedio de dicho datos al, a) 1 ? b) 1,5 c) 2 d) 2,5 9 Si lanzam os dos mone das al aire, después de una otra, ¿cuál es la dad de obten er algún sello? probabilia) 3/4 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/4 10 En una bolsa hay bolas nume al 24. ¿Cuál radas del es la proba 1 bilidad de extraer una, que al esta sea un número par? a) 1/2 b) 3/4 c) 1/3 d) 2/3
a) América tiene más habitantes b) Europa que África tiene más . de 800 millon tantes. es de habic) El total de habita ntes de la llones. Tierra es 7000 mid) América tiene más habitantes que Europ a. Registra los datos que faltan en el y responde: gráfic ¿Cuántos años la ganan o lineal peró los S/. 2000? cia no suAño
a) 3
Voley
as
Cuzco
Huaraz Cuzco Cuzco
de problem
luego de
Arequipa
Cuzco
Cuzco Arequipa
• Completa la carita con un o con un En la tienda luego de Ninaoka, cada ejercic registraron la las siguientes semana pasada io. se ventas: 5 Comp leta e identif televisor lavadora ica la altern televisor ativa correc lavadora televiso Número ta.
1
Cuzco
Huaraz
Arequipa Cuzco
natación
Cuzco
Huaraz
N.° person as
50 40
A U TO E VA LU
ÁLG EBR A ÁLG EBR A
Resolución
• Completa 1
2005
36/50 c
d) 39
2006 2007 2008
Asia
Europa Oceanía
Continente
la calculadora
Ganancia (S/.)
3000
2000
2010
1500
3500
2011
500
2500
2012
1000
10 8
4 1 1 3 3
a) 51 kg b) 53 kg c) 52 kg d) 50.5 kg Identifica la alternativa perimento que repres aleatorio. enta un exI. Recoger un objeto caído. II. Anotar un gol en el arco contra III. Lanzar rio. un dado y observar el IV. Preparar resultado. una ensala da. a) I b) II c) III d) IV
APR E ND Í
A: Metacognició n
sponda:
rar tablas
11 11
f
50 51 52 53
13
8 12
a) 17 b) 19 c) 16 d) 18 José comp ró de hojas de 5 cuadernos y contó cada uno. y 99 hojas, Si contó: 96, el número ¿cuántas 101, 97, 102 hojas en prome cada cuade rno? dio tiene a) 97 hojas c) 100 hojas b) 98 hojas d) 99 hojas 12 Los pesos de voley fueron los 12 jugadores de un peso prome llevados a una tabla, equipo de dio de un jugador del calcula el equipo.
un 3 segú n corre datos y elabo
9 8
54
a) 3 b) 2 año c) 5 d) 4 Organiza los datos y determina moda y la la suma de mediana. la
Marca con
7 8
Peso (kg)
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
10
10 9
11
(S/.)
2. Interpretar
África América
Año 2009
Ganancia
1. Recolectar
40
(S/.)
2000
8 7
3500 3000 2500 2000 1500 1000 500
4400
1100 920 740
Ganancia
257 9
de frecue
MB
B
ncia.
R
gráficos estadí
sticos (barra s, pictogramas , etc.). 3. Calcu lar medidas de tendencia mediana). central (moda , media , 4. Determ inar la proba bilidad de un suceso.
ÁLG EBRA
ÁLG EBRA
12
3 8 + 7 − 2 : 9 10 13 12
exponentes y
radicales
ora
Con la calculad
Ejemplos: 2 − 1) 3 23 + 3 − (3
1
2 25 + 4 −
2
Borra el último o dato ingresad Borra todo el la contenido de pantalla
Teclado numérico
5
33 + 5
con 4 Operaciones
n científica
dos en notació
números expresa
ora
Con la calculad
Ejemplos: 4
el último Presenta en pantalla o en la memoria dato guardad
n
de las teclas mencion uso de cada una más detalle, el veremos, con A continuación de: ayuda en el cálculo será de mucha ora combinadas Con la calculad 1 Operaciones Ejemplos:
adas. El uso de
5
2
6 × 10 7,82 × 10 − 2,1
INTÉNTALO AHORA: Realiza las siguiente
ora científica
3
una calculad ones usando
s operaci
5(3 × 2 + 15 × 3)
1 2
− 3(−2)
2(−3 × −2) − 3(−4
¡Vamos, tú puedes!
la calculadora
8(5 × 3 + 1) 6 : 2 + 2(3 + 2)
5 ×10 3,5 × 10 + 1,2
1
Teclas para las básicas operaciones
Punto decimal
3
20 12
Para raíces y potencias
Signo de agrupación: Paréntesis
2
12 14
2
Ejemplos: 3 − 7 + 3 1 2 9 5
con 3 Operaciones
Configura el modo de trabajo
Para números negativos
1
b
255 255
MUCHO MEJ OR
cio.
14 14
ÁLG EBR A ÁLG EBR A
es iones con fraccion
2
Tecla para notació científica
12
12
11
nte cuadr o:
fi
4
11
12
4
¿Cuál es la
significa dar El símbolo adelante ... un espacio hacia
Enciende la calculadora
10
11
12
ró el siguie
Edad (años)
a) 8
259
Desplaza el cursor
12
11
12
Luisito elabo
A
P= B donde: A: Cantidad de resultados favorables del suceso. B: Cantidad de resultados posibles
Tennis
Activa la fracción
6
de a.b − c. a) 63 b) 59 c) 58 d) 55 De los siguie ntes casos : • Habitantes de Ica • Habitantes de Bolivia • Habitantes de América • Habitantes de Lima • Habitantes del mund o ¿Cuántos son posibl es muestras bitantes del de haPerú? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Según las edades de los alumnos grado: de 6°
3
cada ejerci
En el siguie nte conjunto de datos borrado uno se ha de ellos:
Si la distrib ución es bimod halla el valor al, organiza borrado. y a) 14 b) 20 c) 12 d) 16 El siguiente gráfico de barras registr deporte que a el más prácti ca cierto de person grupo as:
a b c
y halla el valor
2
Natación
Activa la segunda función
nte cuadr o
N.° de autos
rojo
Palpa
Estimación de aprendizajes adquiridos. Control cognitivo.
Veamos las partes ra. de la calculado
5
16
Color
refrigeradora
A
luego de
Empezamos; Vamos bien ; Mucho mejor.
Metacognición
ULADOR
o con un
Ejercicios y problemas de refuerzo por niveles de dificultad:
apr e nd í a :
LA CALC USO DE
un
autos:
verde
interpreta
televisor
2
grupo de
azul
PISTA 5 Cuando la mayor frecuencia absoluta se repite: 2 veces → bimodal 3 veces → trimodal
Supe r desa fío
Ensayo de evaluación sumativa.
258
ación
la carita con
Del siguiente
Pedrito organ
A u to e v al u a c i ó n
PUÉMAP E ALFONS O ROJAS
iento y demostr
• Completa 1
ÁLG EBR A ÁLG EBR A
EBR A A ÁLG ÁLG EBR
Comunicació
ALFON ALFON SO SOROJAS ROJASPUÉM PUÉM APE APE
Deporte
Su pe r
1
254 254
ÁLG EBR A ÁLG EBR A
252 252
EBR A A ÁLG ÁLG EBR
APE APE PUÉM S SPUÉM ROJA NSOROJA NSO ALFO ALFO
? : el gobierno Responde o destinó nto diner que a grupo de 16 ¿Cuá a Nazca es de un se envió tran las edad empresa. nto más Se mues de una , 17 ¿Cuá jadores unimodal 42 13 traba Palpa? ución es 27 43 la distrib 46 33 Indica si o amodal. 45 18 dal 43 28 37 trimo bimodal, 43 48 43 29 os: caso: Resolvem en cada nó: rmina Responde erno desti + 50 000 11 Dete + 60 000 16. El gobi el 000 iana. ula 70 + la med 10 Calc = 70 000 000 promedio. el tipo de = S/. 250 moda y barras rmina la rama de 12 Dete . 17. Del diag os que: distribución observam ⇒ 10 000 ! os: − 50 000 ¡RECUERDA 10 000 emos: Resolvem = 60 000 envió S/. s y resolv Nazca se os los dato la suma Luego a . Analizam dado por por la a Palpa na se edio está s observaida más que prom divid El La media es, de barra 10. abs los valor diagrama calcula así: r frecuencia la de todo 18. Del la mayo de ellos. 42 que + cantidad idad 43 + veces, luego mos cant • En una + 33 + 27 , la repite dos + 28 + 46 37 + 45 soluta se par de datos bimodal. Suma: 43 43 + 48 + + el es es 29 + na ución + 43 media distrib 507 x = 39 de los = promedio los reluego: x 13 ales. s muestra ordeSuma: 507; dos centr de barra ado para la mediana, cantidad El diagrama un estudio realiz s encontrar • En una los turista de mayor: 11. Para datos, sultados menor a rencia de impar de 45 48 49 la prefe namos de del Perú. 43 43 43 na es el averiguar 4 lugares la media 37 42 43 33 entre 29 Me 27 28 al escogerturistas . central. se repite N.° que más es el dato 1000 12. La moda es: 10 800 . La moda unimodal ución es La distrib 400 Lugares a 350 preguntó arca promoción s edade una Lima Cajam respectiva Cuzco El tutor Puno sobre sus tra? ados: nos result mues ntes sus alum ño de la vo los siguie d) 2550 l es el tama 15 16 des y obtu c) 2000 19 ¿Cuá 16 17 b) 2200 16 15 17 15 a) 2500 16 17 15 16 E! es: 16 18 ¡IMPORTANT 15 16 distribución b) Bimodal 20 La dal : d) Trimo a) Amodal Responde minar el edio: Para deter d) 18 c) Unimodal ula el prom muestral c) 17 13 Calc espacio sobre una 16 b) das usar, a) 15 n dos mone podemos del Si se lanza cio rmina: el diagrama la mediana: 18 espa dete d) , ifica del s mesa ento c) 17 14 Ident árbol. de elem b) 16 las número a) 15 21 El Lanzamos caras. ner dos a. muestral. monedas: ad de obte d) 18 ifica la mod probabilid c) 17 15 Ident 22 La 1° 2° b) 16 apoyar a) 15 os: CC s) C dinero para por un Resolvem (c); sello( destinó s ss cara sc; erno tada cs; imos: afec El gobi C salir: cc; 21. Defin CS tra en el provincias o, podrían S tiene 4 a cuatro o se mues Analizand muestral SC , tal com C espacio terremoto s. Luego, el de barra un s. S diagrama solo hay SS elemento S muestral, ner espacio íamos obte S/. 70000 22. Del el que podr P = 1/4. : caso en s, entonces S/. 60000 dos cara
2 5
×
27 −
4
6
= 3
3 10 − 1,2 × 10 3,2 × 10 + 2,3 × 2
=
=
UNID
¡DESAFÍO! E!
¡IMPORTANT
¡IMPORTANTE!
de operaciones No olvides el orden ión. signos de agrupac y el uso de los
=
1 5 × 40 + 8 × 7 +
+ 2)
¡RECUERDA!
recuadros:
5
5
=
9 3 + 2 4 + 10 10 2
y completa los
2 2 52 + 7 − 3 − 2
4
−7×8 =
5 − 3 + 9 2 4 8
ora también se En la calculad de operaciones cumple el orden establecido.
notación científica Para trabajar con de la la calculadora configuramos siguiente manera:
Calcula el valor =
6
AD 2
de:
4 7×6+2 +6 +
32 + 7
O RD
E N AN
DO
M IS
FI C H
Recor figura ta las línea s por la puntea da.
AS
UNID A
D 12 L A TR AN
SF O
RM AC
IÓ N
D E LO S
TR IÁ
NGU
USO DE LA CALCULADORA Reconocimiento de teclas, de operaciones y manejo de una de las herramientas tecnológicas más empleadas por los escolares del mundo.
ANEXO Juegos, proyectos y recortables que permiten la participación de niños y niñas de modo interactivo y lúdico.
LO S
1 6
Alfonso Rojas Puémape
de diferentes Imaginemos a estudiantes nacional, con regiones del territorio climas, pasado diversas costumbres, y el mismo deseo histórico, pero con
s ias idenc fruta coinc ando comprde en busca hasta 99 Conjuntos
1
Contamos
Tienen razón. Hay que juntarnos sobre lo que nos une y no sobre lo que nos separa.
en busca de coincidencias
Es cierto, seamos siempre solidarios entre todos los
Somos diferentes pero coincidimos en muchas cosas.
¡Qué grande es nuestro PERÚ!
derecho de aprender. diferentes, pero Las personas somos que nos unen hay muchas cosas , cosas que como la nacionalidad estudiar en como el nos relacionan la música, el deun mismo colegio, porte, etc. todas estas coinciEs así que sobre y convivir en paz dencias buscamos la solidaridad fomentando armonía, entre todos. s nos hacen pensar Las coincidencia vason comunes a en elementos que
Si pudiéramos vivir sobre la base de lo que nos une.
rios conjuntos.
peruanos.
MOS: ESTO APRENDERE
Conjuntos
la convivencia, Educación para la paz y la ciudadanía
Solidaridad
EXPLORAMOS LO QUE Y A SABEMOS Conocimientos previos 1 Nube de números
¡IMPORTANTE!
N = N × 1; N × 2; N × 3; ...
Al unir con una línea los múltiplos consecutivos de 2; 3; 4; 5 y 6 se obtiene una figura muy expresiva. Describe dos significados de la figura obtenida. a.
.
b.
.
4
Ejemplo: 7 ⇒ 7; 14; 21; ...
24 21
51
27
7
25
47 9
11
20
17 12
24
17 19
6
14 30
14
12
23
77
12
18 19
101
10
15
42 36
19
8
6
2
42
29 17
1
13
7
61
31
31
5 10
15
18
2 Bandera a elegir
E: egoísmo Posibilidades • Dos carreteras que se cruzan. • Dos manos estrechadas. • Sin forma.
S: solidaridad Contesta las siguientes preguntas: a. ¿Cuántos alumnos llevan bandera verde? .
d. ¿Cuántos alumnos llevan bandera amari. lla?
b. ¿Cuántos alumnos solo llevan bandera verde? .
e. ¿Cuántos alumnos llevan bandera verde y amarilla? .
c. ¿Cuántos alumnos solo llevan bandera amarilla? .
f. ¿Cuál es la diferencia entre las preguntas a y b y entre las preguntas c y d? .
7 g. ¿Cuál de las banderas eligirías tu como un símbolo de tu vida? . h. ¿Es posible llevar dos banderas a la vez? ¿Una persona puede ser egoísta y solidaria a la vez? .
i. Representa con diagramas de VENN a los conjuntos de alumnos con banderas y determina:
n(E) ; n(S) ; n(E ∪ S) ; n(E ∩ S)
3 Los números no mienten
A cinco amigos: Mario, Dalma, Roberto, César y Nelly, les miden sus estaturas:
¡RECUERDA!
Si A es un conjunto entonces n(A) es el cardinal de A que indica el número de elementos de A.
Indica verdadero (V) o falso (F) en cada afirmación: a. César es el más bajo.
(
)
d. Roberto es más alto que Mario. (
b. Mario es el más alto.
(
)
c. Dalma es más alta que César. (
)
e. Las estaturas de Roberto y César suman más que las estaturas de Mario y Dalma. ( )
)
4 Juguemos con las edades
Carlos dice: Mi edad es 11 años; Clara dice: Y la mía es 12 años, pero Pedro no se queda callado y dice: Yo tengo 10 años. Indica verdadero (V) o falso (F) en cada una de las siguientes afirmaciones: a. Pedro es mayor que Clara. b. Carlos es menor que Clara. c. Carlos es mayor que Pedro. d. Las edades de Carlos y Pedro suman más de 21 años.
(
)
e. Clara es la mayor de todos.
(
)
(
)
(
)
f. Las edades de Clara, Carlos y Pedro suman menos de 35 años.
(
)
(
) ¡Atención!
...ATERRI ZAMOS
Algunas conclusiones
Si contamos de dos en dos a partir de dos obtenemos múltiplos de dos.
elementos decimos que son conjuntos con elementos comunes.
Si contamos de tres en tres a partir de tres obtenemos múltiplos de tres.
Cuando jugamos y utilizamos los números nos damos cuenta de que sirven para contar, ordenar y medir.
Si contamos de cinco en cinco a partir de cinco obtenemos múltiplos de cinco. De dos conjuntos que comparten algunos
Cuando encontramos una afirmación verdadera o falsa hemos encontrado una proposición.
Si una persona es mayor que otra significa que tiene más edad es decir más años.
8
Alfonso Rojas Puémape
1
Conju ntos Comunicación matemática
ARITMéTICA
Nuestros amigos registraron sus deportes favoritos.
¡Algunos practican dos deportes!
http://www.matematica1.com/2012/05/diagramas-de-venn-y-teoria-de-conjuntos.html
Más información sobre este tema en:
o DIAGRAMAS DE VEnN Y RELACIóN DE PERTENENCIA 1 En el siguiente diagrama de Venn, representa a los
2 Según el ejercicio 1
representa la relación de pertenencia entre elementos y conjuntos:
elementos que intervienen en la historieta: D
F
B
o DETERMINACIóN DE CONJUNTOS
j ___ j ___ f ___ m ___
F B B F
c ___ a ___ l ___ b ___
B F F F
b ___ B m ___ B d ___ B a ___ D
3 Expresa el tipo de determinación de cada conjunto:
1
2
Q = {x/x es una letra de aprender}
4
S = {perro; gato; loro}
P = {a; p; r; e; n; d}
3
M = {x/x es par ∧ x < 10}
4 Selecciona el conjunto que no tiene los mismos elementos que los demás: 1 A = {x/x ∈ n ∧ 3 < x < 7} B = {3; 4; 5; 6; 7} C = {x/x ∈ n ∧ 4 ≤ x ≤ 6} D = {4; 5; 6} 3
P = Q= L = E =
{2x/x ∈ n ∧ 2 ≤ x ≤ 5} {4; 6; 8; 10} {2x/x ∈ n ∧ 1 < x < 6} {2; 4; 6; 8; 10; 12} ¡RECUERDA!
Los elementos de un conjunto se escriben una sola vez; no se repiten. Ejemplo: A = {3; 3; 3} ⇒ A = {3} n(A) = 1
2
4
M = {2x + 1/x ∈ n N = {2x - 1/x ∈ n S = {2x + 1/x ∈ n T = {2x - 1/x ∈ n Z T V F
∧ ∧ ∧ ∧
2 < x < 8} 3 < x ≤ 9} 2 ≤ x ≤ 7} 4 ≤ x ≤ 8}
= {x + 2/x ∈ n ∧ 5 ≤ x < 9} = {8; 9; 10 } = {x - 1/x ∈ n ∧ 8 < x < 12} = {x/x ∈ n ∧ 7 < x < 11} ¡importante! símbolo ∨ ∧
se lee o y
9
Experiencias 1
• Completa la carita con un
o con un
1 Representa los conjuntos, empleando diagramas de Venn:
B = {c; d; f; g; h} A
B
II. C = {1; 3; 5; 8; 9} D = {2; 4; 6; 7; 8; 9}
C
D
J = {5x/x∈N ∧ 0 < x < 4}
K = {2x + 1/x∈N ∧ 7 ≤ x < 9}
U = {1; 3; 5; 10; 15; 17; 21; 23}
A={
}
B ={
}
• Por comprensión:
A={
}
B ={
}
L
7 Tenemos que:
d. pertenecen a C y D? 3 Representa por extensión los conjuntos:
A = {3x/x∈N ∧ 3 < x < 10}
A={
B = {4x + 1/x∈N ∧ 2 ≤ x < 9}
B ={
} }
4 Indica el número de elementos que tiene cada conjunto: A = {x/x es una letra de la palabra somos}
B = {2x − 1/x∈N ∧ 1 < x < 13}
C = {x + 3/x∈N ∧ 4 < x ≤ 10} 5 Selecciona cuáles de los siguientes conjuntos tienen los mismos elementos (coloca una ).
A = {x + 2/x∈N ∧ 2 ≤ x ≤ 5}
B = {x − 1/x∈N ∧ 3 < x < 9}
C = {x + 3/x∈N ∧ 1 ≤ x < 6}
D = {x − 2/x∈N ∧ 5 < x ≤ 9}
E = {x + 1/x∈N ∧ 2 ≤ x < 7} 6 Representa en un solo diagrama de Venn los siguientes conjuntos: I. F = {x + 2/x∈N ∧ 3 ≤ x ≤ 7}
G = {x + 1/x∈N ∧ 0 ≤ x ≤ 5}
U = {x − 1/x∈N ∧ 2 ≤ x ≤ 12}
• 16
10 Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
a. pertenecen solo a A?
c. pertenecen a A y B?
B
•9
2 Considerando el ejercicio N.° 1, ¿cuántos elementos...
b. pertenecen solo a D?
grupo de 4
• Por extensión:
II. I = {2x − 1/x∈N ∧ 1 ≤ x ≤ 3}
A
•2 •1 •3 •4 •5
I. A = {a; c; d; e; g}
grupo de 2
luego de cada ejercicio.
•3
•1
•7
•5
N •9
M
•5 • 17
C = {11; 14; 17; 20; 23}
Expresa tal conjunto por comprensión e indica con un ( ) las posibles respuestas:
a. L = {2x − 1/ x∈N ∧ 1 ≤ x < 6}
C = {3x + 2/x∈N ∧ 3 ≤ x ≤ 7}
c. M = {4x + 1/ x∈N ∧ 1 < x ≤ 4}
C = {3x − 1/x∈N ∧ 4 ≤ x ≤ 8}
C = {3x + 2/x∈N ∧ 2 < x < 8}
C = {3x + 1/x∈N ∧ 3 < x < 9}
De modo similar, expresa por compresión el conjunto:
D = {9; 13; 17; 21; 25}
D={
}
D={
}
• 13
b. N = {x 2/ x∈N ∧ 2 < x < 4}
11 El conjunto formado por la palabra ENFERMERÍA, ¿tiene 10 elementos?
8 Se tienen los conjuntos:
A = {x + 1/x∈N ∧ 3 < x < 7}
B = {2x − 1/x∈N ∧ 2 ≤ x ≤ 5}
C = {x − 2/x∈N ∧ 5 ≤ x < 9}
D = {3x/x∈N ∧ 1 ≤ x < 4}
E = {x 2/x∈N ∧ 0 < x ≤ 3}
Representa el nombre del conjunto, donde corresponda:
= {3; 6; 9}
= {3; 4; 5; 6}
= {1; 4; 9}
= {3; 5; 7; 9}
= {5; 6; 7} 9 Expresa por extensión y comprensión los conjuntos dados:
12 Al determinar por extensión: B={x/x∈N ∧ 7 < x < 8}, ¿es B= {7; 5}?
13 El conjunto J = {9; 9; 9; ...}, ¿es infinito?
14 ¿Es correcta la relación a ⊂ B?
15 Si A = {1; 3; 5} y H = {3; 5}, entonces, ¿los elementos 3 y 5, solamente pertenecen a H?
10
Alfonso Rojas Puémape
o CARDINAL DE UN CONJUNTO • CLASES DE CONJUNTOS 5 Expresa la cantidad de elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: 1 F = {2x/x∈n ∧ 6 < x < 7}
ARITMéTICA
2 M = {3x - 1/x∈n ∧ 6 < x ≤ 7}
3 T = {2x + 3/x∈n ∧ 0 ≤ x < 7}
2 Selecciona un valor m para
3 Representa el conjunto univer-
Entre 6 y 7 no hay número natural entonces F no tiene elementos o el cardinal de F es CERO o F es conjunto vacío o F = φ
6 Resuelve las siguientes situaciones: 1 Representa el valor de m si:
E = {5m - 22; 2m + 5} es conjunto unitario.
que el conjunto F sea vacío: F = {3x/x∈n ∧ 0 < x < (m-5)}
sal de A y B: A = {lápices} B = {cuadernos}
http://matematicaabelortega.blogspot.com/2012/02/sesion-determinacion-de-un-conjunto_26.html
Más información sobre este tema en:
o RELACIONES ENTRE CONJUNTOS • CARROLl • CONJUNTO POTENCIA 7 Expresa el valor de m, sabiendo que los conjuntos de E y D son iguales. 1 E = {m + 6; 18}
D = {18; 8}
2 E = {2m - 2 ; 10} D = {6 ; 10 ; 10}
3 E = {5 - 3m + 1 ; 5} D = {5 ; 7 ; 5 ; 5}
8 Explica la cantidad de subconjuntos que tiene un conjunto, resolviendo los siguientes ejercicios: 2 Expresa el conjunto de subconjuntos de B, si:
1 Dado el conjunto A = {1 ; 2}, el conjunto de sub-
conjuntos de A se escribe así: { {1}; {2}; {1 ; 2}; ∅ }
B = {a ; b ; c}
4 ¿Cuántos elementos tiene el conjunto potencia de S?
3 Escribe el conjunto potencia de M, si:
M = {p ; e ; p ; e} P(M) = {
}
S = {x/x es vocal de la palabra AMÉRICA}
n(p(S)) = {
}
9 De 30 alumnos de 6.º grado, 12 Los problemas sobre conjuntos disjuntos los resolvemos empleando el DIAGRAMA DE CARROLL para lo cual usaremos un cuadro como en el siguiente caso:
son niñas. De ellas, 3 no comen chocolate y 12 niños comen chocolate. Si los conjuntos de niños y de niñas son disjuntos, ¿cuántos de los estudiantes no comen chocolate?
Resolvemos: comen chocolate
niños
niñas
total
12
9
21
1
no comen chocolate
3
9
total
12
30
Luego: 9 estudiantes no comen chocolate.
¡recuerda! Dado el conjunto A, el conjunto potencia de A es P(A) y tiene como elementos a los subconjuntos de A. P(A) incluye a φ y al mismo conjunto A.
¡desafío! De 52 personas que viajan en bus, 15 varones duermen y 13 damas no duermen. Si viajan 20 damas, ¿cuántas de las personas que viajan no duermen?
2 3
11
Experiencias 2
o con un
luego de cada ejercicio.
6 Si el conjunto P es unitario, calcula m + n. P = { 3m + 5; 20; 5n + m }
2 Selecciona e indica los conjuntos vacíos:
7 Selecciona un valor para m de tal manera que el conjunto Q sea vacío. Q = { x/x ∈ N ∧ 5m - 3 < x < 3m + 8 }
M = { x /x es par ∧ 4 < x < 6 } N = { x/x ∈ N ∧ 3x + 1 = 4 }
x+1 ∈N 4≤x<7 12 Si: A = / 4 entonces n(A) = 3. ¿Cierto o falso? ¿Por qué?
grupo de 4
13 ¿El conjunto de los números pares mayores que 3 es un conjunto finito? Justifica tu respuesta.
grupo de 2
ARITMéTICA
1 Calcula el cardinal de los siguientes conjuntos: A = { 2x + 1/ x ∈ N ∧ 3 ≤ x < 9 } B = { 3x - 2/x ∈ N ∧ 5 < x < 6 } C = { x + 1 ∈ N/x ∈ N ∧ 7 ≤ x ≤ 10 } 2
• Completa la carita con un
P = { x/x es una vocal }
8 Si: F = { m; 3; t; ... ; 70 } y además n(P(F)) = 210, calcula n(F) + 1.
3 En el siguiente diagrama de Venn grafica los conjuntos: A = { 1; 2; 3 }, B = { 2; 3; 4 } y C = { 3; 4; 5 }. Colorea las zonas que representan un conjunto vacío usando colores diferentes. A
U
15 Todo conjunto está incluido en su conjunto potencia. ¿Cierto o falso? ¿Por qué?
C
A = { 2x + 1/ x ∈ N ∧ 5 ≤ x ≤ 9 } B = { 2x - 1/x ∈ N ∧ 3 ≤ x ≤ 8 },
9 E es un conjunto de alumnos. Si el cardinal de conjunto potencia de E es 2 7, ¿cuál es el doble del número de alumnos del conjunto E?
B
4 Sean los conjuntos:
14 ¿El conjunto de los números impares menores que 24 es finito? ¿Por qué?
exprésalos por extensión e indica los elementos comunes.
5 Si: M = { camisa; pantalón } , representa el conjunto potencia de M y halla el valor de n(P(M)).
10 En un colegio estudian 300 alumnos, de los cuales 180 son niños. En cierto instante se observa que 210 alumnos llevan víveres para colaborar con una comunidad andina y 35 niñas no participan de esta actividad. ¿Cuántos niños estaban haciendo su colaboración en dicho instante?
11 A una conferencia asisten 120 invitados, de los cuales 27 son católicos que no usan corbata y 3 son evangélicos que usan corbata. Si 30 invitados no usan corbata, ¿cuántos de los invitados son católicos?
16 El cardinal del conjunto potencia de un conjunto A es 5. ¿Puede ser esto posible? ¿Por qué?
17 Si: A = { 1; 2: 3; 4; 6 }, entonces ¿ { 2; 3 } es un elemento de A ? ¿ Por qué ?
12
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
2
o pe r ac i o n e s c o n c o nj u n tos Razonamiento y demostración Carmen, Genaro, Rosa, César, Ana y Juan destacan en Comunicación.
Felipe, José, Juan y Rosa destacan en Matemática.
o intersección • unión 1 Completa los espacios en blanco: 1 Si : A = {a; m; o; r} http://www.matematica1.com/2012/05/operaciones-entre-conjuntos-ejercicios_18.html?spref=bl
Más información sobre este tema en:
2 Del gráfico:
•5
B = {r; a; m; o; s}
•7
•9
•11
B
3 Se tienen los conjuntos:
•13
•15
M = {s; a; r} N = {s; a; n; d; r} P = {s; a; m; r},
Encuentra los elementos de:
A∪B=
• A ∪ B =
determina:
A∩B=
• A ∩ B =
n(M∪N) =
n(N ∩ P) =
• n(A ∪ B) =
n(M∪P) =
n(M∩P) =
o diferencia 2 Resuelve en cada caso:
halla:
A
que representa: A - B.
encuentra: P - Q =
2 Pinta la región
3 Se tienen los conjuntos: P = {13; 14; 15} y Q = {5; 10; 15},
Q- P =
B
A
B
1 Analiza y pinta la región
A
que representa: B - C.
4 De los conjuntos: halla: n(A - B) =
C
P = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} P = {2; 4; 6; 8; 10},
n(B - A) =
o diferencia simétrica • complemento 3 Resuelve en cada caso: 1 Pinta la región
que representa: (A ∪ B) - (A ∩ B).
A
B
2 Si: M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
P = {1; 3; 5; 7}, determina: n[(M∪P) - (M∩P)].
3 Del diagrama
de Venn:
A 9
•
10
1
•
3
•
5
•
•
halla: A' = B' =
importante En conjuntos: A-B≠B-A
¡RECUERDA ! A' es el complemento del conjunto A y está formado por los elementos que no pertenecen a A.
2 4
6 8
•
•
•
•
B u
13
Experiencias 3
• Completa la carita con un
1 Dados los conjuntos: A = {3x + 1/x∈N ∧ 1 ≤ x ≤ 7}
B = {x + 2/x∈N ∧ 6 ≤ x ≤ 14} a. Analiza y determina las operaciones: • A∪B = • A∩B = b. Interpreta en un diagrama de Venn la operación A∩B.
Q
luego de cada ejercicio.
5 Se tienen los conjuntos: P = {2x/x∈N ∧ 5 < x < 11}
S = { 3x - 1 ∈N/ x∈ N ∧ 5 ≤ x < 14}, 2 determina:
a. n(P∪S) = b. n(P∩S) =
2 Se tienen los conjuntos: M = { x ∈N/x∈N ∧ 15 ≤ x ≤ 23} 2 x N = { + 1 ∈N/x∈N ∧ 26 ≤ x ≤ 35}, 3 determina:
grupo de 4
9 De 120 personas solidarias que ayudan a niños en los hospitales A y B, se sabe que 60 visitan el hospital A. ¿Cuántas personas visitan solamente el hospital B?
R
grupo de 2
ARITMéTICA
c. P
o con un
10 En una urbanización acuerdan que cada mes, dos familias se encargarán de darle mantenimiento diario al parque central. Durante el mes de agosto, los Flores y los Poma limpiaron el parque durante 15 y 26 días, respectivamente. Si las familias coincidieron durante 10 días, ¿durante cuántos días solo la familia Poma limpió el parque?
6 Un grupo de amigos realizó una fiesta para apoyar a Luis, quien se encuentra delicado de salud. A la fiesta asistieron 120 varones, de los cuales 65 usaban saco y 56 usaban corbata. Si 20 varones no usaban saco ni corbata, ¿cuántos varones usaban saco y corbata?
a. M − N = b. N − M = 3 A partir de los conjuntos:
P = {12; 14; 16; 18; 20}
Q = {11; 12; 13; 14; 15}
R = {10; 13; 16; 19; 21} ,
completa: a. n(P∩R) = b. n(Q∪P) =
7 En una competencia participan 80 deportistas. De ellos, 40 participan en atletismo, 38 participan en natación y 10 no participan en ninguna de estas dos disciplinas. ¿Cuántos participan en atletismo y natación?
11 Si n(A) = 3 y n(B) = 5, entonces, ¿en qué caso se cumple que n(A ∪ B) = 8? Argumenta por qué.
12 ¿Por qué decimos que los elementos de la diferencia simétrica son solo elementos que pertenecen a un conjunto?
c. n(R∩Q) = d. n(P∩Q) = e. n(Q∪R) = 4 Interpreta cada gráfico e indica la operación que da lugar al diagrama de Venn: A
a.
C
B
b.
P R
Q
8 De un grupo de 36 personas que viajan al interior del país; 21 van al Cuzco, 18 a Tumbes y 20 a Arequipa, 7 a Cuzco y Arequipa; 4 a Cuzco, Tumbes y Arequipa. Si 2 van solo a Tumbes y 6 solo a Arequipa, ¿cuántos van solo al Cuzco?
13 La diferencia simétrica también se puede expresar así:
A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
Lo anterior es verdadero o falso. Explica gráficamente.
14
Alfonso Rojas Puémape
o Problemas con conjuntos 4 Analiza y resuelve en cada caso:
ARITMéTICA
1 Se tienen los conjuntos M y N. Si sabemos que:
n(M∪N) = 6; n(N - M) = 1 y n(M - N) = 3, determina n(M ∩ N).
Resolvemos:
Sabemos: n(M∪N) = n(M - N) + n(N - M) + n(M∩N)
Reemplazamos: 6 = 3 + 1 + n(M∩N)
Luego: n(M∩N) = 2
2 Se tienen los conjuntos A y B, además sabemos
3 Tenemos los conjuntos P y Q; además se sabe
que: n(P∩Q) = 8; n(P) = 14 y n(P∪Q) = 20. Halla n(Q).
4 De los conjuntos A y B sabemos que:
5 En los conjuntos M y N se cumple que:
n(M∪N) = 6 ; n(N - M) = 2 y n(M∩N) = 1. Determina n(P(M)).
que: n(A∩B) = 6; n(A - B) = 4 y n(B - A) = 5. Encuentra n(A∪B).
n(A∪B) = 38; n(B) = 26 y n(A) = 28. Determina el valor de: n(A∩B).
6 Tenemos los conjuntos P y Q; además se sabe
que: n(S∪Q) = 9 ; n(S) = 7 y n(S∩Q) = 3. Halla n(P(Q)).
o DETERMINACIÓN DE ZONAS 5 1 Rocío notó que de sus 10 profesores, 4 son casa-
3 En un salón de 18 alumnos, 8 practican fútbol y
dos y 8 siempre van a trabajar con terno. ¿Cuántos profesores casados no usan terno?
básquet. Si todos practican al menos uno de estos deportes y 10 practican básquet, ¿cuántos practican fútbol?
2 De un grupo de 30 turistas, 18 no conocen Truji-
4 En el 5.° A hay 27 alumnos, de los cuales 15 no
llo y 5 no conocen Cuzco. Si todos conocen al menos uno de estos lugares, ¿cuántos conocen Trujillo y Cuzco?
estudian francés, 18 no estudian inglés y 10 no estudian estos idiomas. ¿Cuántos estudian ambos idiomas?
¡recuerda! n(P∪Q) = n(P) + n(Q) - n(P∩Q)
¡muy IMPORTANTE! P(M) es el conjunto potencia del conjunto M.
15
Experiencias 4
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio.
grupo de 2
grupo de 4
8 Si: n (B - A) = n(B), n (A∪B) = 12 y n(A) = 7, interpreta y halla n(P(B)).
13 De un lote de 1000 polos, donados a un albergue, se observó que 500 no tenían estampados en la parte de adelante y 400 no tenían estampados en la parte de atrás. Si 100 polos no tenían estampado alguno, ¿cuántos polos tenían estampado adelante y atrás?
2 Dados los conjuntos A y B, tal que B ⊂ A, además: n(A) + n(B) = 13 y n(A - B) = 7. Interpreta y
calcula n(B):
3 Tenemos los conjuntos M y N, tal que N ⊂ M. Si se cumple que: n(M - N) = 4 y n(M ∩ N) = 9, analiza y halla n(M ∪ N).
4 Sean los conjuntos R y S, tales que: n(P(R)) = 32 , n(P(S)) = 64 y n(R - S) = 3.
Calcula n(R∪S).
5 Dados los conjuntos A y B. Si se cumple que n(P(A ∪ B)) = 128 y n(A ∩ B) = 2, interpreta y determina n(A B).
9 En el Congreso de la República los 130 congresistas discutían una ley a favor de la seguridad ciudadana, mientras ello ocurría se observó que 72 tenían reloj y 87 tenían anillo. Si 10 no tenían ni anillo ni reloj, ¿cuántos tenían solo reloj?
ARITMéTICA
1 Sean los conjuntos P y Q. Si se sabe que: n(P - Q) = 5, n(P ∪ Q) = 17 y n(Q - P) = 7, determina n(P ∩ Q).
14 Si B es un conjunto unitario, ¿se cumple que P(B) = B ?
10 A un concurso de matemáticas asisten 300 participantes, de los cuales 138 fueron solo con sus profesores, 77 fueron solo con sus padres y 50 fueron solos. ¿Cuántos participantes fueron con sus padres y profesores?
15 Si M es un conjunto vacío, ¿ P(M) = ∅ ?
16 ¿En qué caso A - B = A B ? 11 A un paseo de excursión asistieron 80 niños. De ellos, 50 llevaron mochila y 60 llevaron maleta. Si 10 no llevaron ni mochila ni maleta, ¿cuántos llevaron solo un equipaje?
17 ¿En qué caso A
B = A ∪ B ?
6 Si A tiene 4 subconjuntos y B tiene 8 subconjuntos, analiza y determina n(A) + n(B).
7 Sea M un conjunto que tiene 16 subconjuntos y N otro conjunto con 8 subconjuntos. Si n(M ∩ N) = 1, analiza y calcula n(M N).
12 En un campeonato de fútbol participan 20 equipos. De estos, 15 tienen o un buen arquero o un buen delantero y 5 no tienen algún jugador sobresaliente. ¿Cuántos equipos tienen un buen arquero y un buen delantero?
18 ¿El conjunto potencia de un conjunto cualquiera puede ser vacío? Argumenta tu respuesta.
16
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
3
r e l ac i o n e s b i n a r ia s Resolución de problemas
¿Cuántas combinaciones de desayuno tenemos a disposición?
o PAR ORDENADO • PRODUCTO CARTESIANO 1 Completa los espacios en blanco:
1 (2; 3) = (2;
)
2 (5; 1) = (
; 1 )
3 (7; 4) = (
;
4 (
2 Calcula a + b en cada ejercicio:
;
)
) = ( 2; 2 )
1 (5; 7) = (a; b)
2
(3; a) = (b; 4)
3 (a; b) = (8; 7)
4
(a - 3; b + 2) = (5; 9)
3 En los siguientes ejercicios, desarrolla A × B y da como respuesta el número de pares ordenados. 1 A = {1; 2; 3}
B = {3; 5; 7}
⇒ A × B = {(1; 3), (1; 5), (1; 7), (2; 3),
2 A = {2; 4; 6}
B = {3; 5}
3 A = {a; b; c}
⇒ A × B =
B = {f; g}
⇒ A × B =
(2; 5), (2; 7), (3; 3), (3; 5), (3; 7)}
Son
pares ordenados.
pares ordenados.
Son
pares ordenados.
Son
o representación gráfica, Sagital y cartesiana 4 Representa los productos cartesianos en gráficos o viceversa. Luego escribe los conjuntos. 1 T × V = {(1; 2), (1; 3), (3; 2), (3; 3),(4; 2), (4; 3)} V 4 3
1
1 2 3 4 5
T
⇒ T = { ____ ; ____ ; ____ } V = { ____ ; ____ }
3
H
(d; b), (d; f)} C
2
2 C × D = {(a; b), (a; f), (c; b), (c; f),
a• c• d•
•b
D
•f
⇒ C = { ____ ; ____ ; ____ } D = { ____ ; ____ }
a=5 b=4
•4 •5
H × I = {(2; 4), ( ; ), (3; 4), ( ; ), ( ; ),( ; )} H={ I = {
¡RECUERDA ! (a; b) = (5; 4 )
I
2• 3• 5•
importante (c; d)
d b
(a; b) a
c
Sean los pares ordenados (a; b) y (c; d).
17
Experiencias 5
• Completa la carita con un
• D = {
1 Indica en los recuadros los pares ordenados correspondientes. y
)
(
5 4 3
(
luego de cada ejercicio.
grupo de 2
}
5 Si los pares ordenados: (x + 4; 6 − x) y (10 − 2x; 2 + y) son iguales, determina el valor de x – y.
11 Una agencia de viajes tiene reservados los siguientes vuelos en dos de sus sucursales:
)
)
(
(
2 1 1
2
II.
) 6 Sean los conjuntos: A = {2; 6; x + 4; y − 5; 7}
)
( 3
4
A
5
6
7
8
x
9
B
a
B = {8; 2; 6; x + 3; 7}
Si se cumple que A × B = B × A, halla el valor de xy.
d e
b c
grupo de 4
Lima Ica
Trujillo Chiclayo Piura
ARITMéTICA
I. 6
o con un
¿Cuántos posibles viajes puede ofrecer dicha agencia?
Los pares ordenados son: 7 Si n(A) = 7 y el conjunto B tiene 3 elementos menos que el conjunto A, halla n(B × A).
2 Escribe (V) verdadero o (F) falso, según corresponda.
El par ordenado de: 5 4 B 3 2 A 1
D
F
C
• A es (1; 0) • C es (3; 2)
8 Sabiendo que A ⊂ B, B ⊂ A y además n(A) = 7, calcula el cardinal de B × A.
• F es (6; 5) E
1 2 3 4 5 6 7
• D es (3; 5) • B es (0; 4)
3 Dados los conjuntos:
L = {1; 2; 3},
M = {x/x∈N ∧ 3 ≤ x < 5}
9 El cardinal de un producto cartesiano A × B es 11. Explica la suma de los cardinales de A y B. ¿Cuántos valores puede tomar?
y
P = {x − 1/x∈N ∧ 4 < x < 7}, organiza la información y determina:
• L × P = • P × M = • M × M o M 2 =
10 El restaurante Sabor Peruano, presenta el siguiente menú:
4 Encuentra los conjuntos que determinan el producto cartesiano y explica.
• E = {
}
• F = {
}
C × D = {(Luis; José), (Luis; Lía), (John; José), (John; Lía}
}
13 Sean A y B dos conjuntos, ¿puede ocurrir que n(A × B) = n(A)? Explica en qué caso.
14 Tres bomberos se encuentran a la misma distancia de un amigo a quien desean rescatar y ayudar. Si sabemos que el amigo está en un punto con coordenadas (0; 0), ¿podremos conocer las coordenadas de los otros tres bomberos?
MENÚ Entrada - Causa rellena - Papa a la huancaína
E × F = {( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )}
• C = {
12 Un mismo punto en el plano cartesiano es representado por los pares ordenados (x + 4; 12 −x) y (7; y + 4). Calcula el valor de xy.
Segundo - Tallarines verdes - Arroz con pollo - Estofado
Analiza y determina de cuántas maneras una persona puede seleccionar un menú.
15 ¿El cardinal de un producto cartesiano puede ser un número primo? ¿En qué caso ocurre así?
18
Alfonso Rojas Puémape
o relaciones Binarias 5 En cada ejercicio grafica y escribe la relación. 1 A = {gato; perro; caballo; pato}
2 C = {Perú; Italia; Brasil; España;
China} D = {América; África; Europa}
ARITMéTICA
B = {relincha; maúlla; ladra; rebuzna}
R1= {sonido}
R2 = {continente al que pertenece}
R1
gato
•
• relincha
perro
•
• maúlla
caballo • pato
F = {1; 2; 3; 5; 7}
R3 = {(x; y) ∈ A × B/ x = y}
• ladra
•
• rebuzna
R1 = {(gato; maúlla), (perro; ladra), (caballo; relincha)}
3 E = {3; 4; 5; 7}
6 Dados los conjuntos A y B, determina las relaciones: 1 A = {1; 2; 4}
2 A = {2; 4; 5}
B = {2; 3; 5}
R1 = {(x;y)∈ A × B/ x + y < 7}
3 A = {1; 2; 4}
B = {3; 4; 6} R2 = {(x,y)∈ A × B/ x + y = 8}
B = {4; 8; 9} R3 = {(x, y) ∈ A × B/ x . y < 10}
A × B = {(1; 2), (1; 3), (1; 5), (2; 2), (2; 3), (2; 5), (4; 2), (4; 3), (4; 5)} ⇒ R1 = {(1; 2), (1; 3), (1; 5), (2; 2),
(2; 3), (4; 2)}
o dominio y rango 7 Determina el dominio o rango según lo indica el ejercicio. 1 Si : A = {5; 7; 9; 10}
B = {2; 3; 4; 7} y R1 = {(x, y) ∈ A × B/ x - y = 3} , determina dominio(R1). R1 5• 7• 9• 10 •
•2 •3 •4 •7
,
2 Si: C = {1; 2; 4; 5; 7} , D = {1; 4; 5; 6}
R1 = {(5; 2), (7; 4), (10; 7)}
Dominio R1 = {(5; 7; 10)}
3 Si : A = {a; b; c; d; e} , F = {a; e; i; o; u}
y R2 = {(x; y) ∈ C × D/ x + y = 8 }, determina: rango(R2).
y R3 = {(x; y) ∈ A × B/ x = y }, encuentra: rango(R3).
4 Si : G = {3; 5; 6; 7; 9} , H = {4; 5; 7; 11; 18}
y R4 = {(x; y) ∈ G × H/ x + y es impar }, encuentra: dominio(R4).
¡IMPORTANTE! Sea la relación binaria: R = {(x; y) ∈ A × B/ x = y} x∈A ∧ y∈ B y se cumple: x = y
RECUERDA Sea la relación: R = {(3; 4), (7; 5), (10; 1)} ♠⇒ Dominio (R) = {3; 7; 10} ⇒ Rango (R) = {4; 5; 1}
19
Experiencias 6
• Completa la carita con un
B
R = {(x; y) ∈ A × B/x - y = 0}
(1; 3)
10 Manuel observa que en su refrigeradora hay jamón, queso, mermelada y mantequilla y que en su mesa hay pan francés, integral y tolete. Si a él no le gusta ni el queso ni el pan tolete, ¿de cuántas maneras puede prepararse un sándwich?
(2; 2)
Determina los siguientes productos cartesianos:
3 Si M = {3x + 1/x∈N ∧ 3 < x < 9}
P = {3x - 2/x∈N ∧ 4 < x < 10}
Determina los elementos de R:
R = {(x; y) ∈ M × P / x - y = 3},
su dominio y rango.
grupo de 4
(3; 3) R
2 Sean los conjuntos: A = {2x - 1/x∈N ∧ 5 < x < 10} Indica los elementos de: R = {(x; y) ∈ A × A/x + y = 28}
grupo de 2
5 En la relación R expresada en el siguiente plano cartesiano, calcula el producto de los cardinales de A y B.
Determina los elementos de la relación:
luego de cada ejercicio.
A
6 Determina el rango de la relación R = {(x; y) ∈ A × B / x + y <12} siendo A = {2x + 1 / x∈N ∧ 0 < x < 5} y B = {3x/x∈N ∧ 0 < x < 4}
7 Juan toma en el desayuno jugo de papaya o fresa o piña y come pan con palta o pan con pollo. ¿De cuántas maneras puede tomar desayuno?
ARITMéTICA
1 Si A = {2x/x∈N ∧ 3 < x < 9} B = {x - 1/x∈N ∧ 9 < x < 15}
o con un
11 Sea R1 = {(2;3), (3;2), (3;3), (4;1)}, ¿el cardinal de R1 es 8? Explica.
12 Sea R1 una relación en A×B. Si A=B, ¿D(R1) = R(R1)? Explica un ejemplo que justifique tu respuesta.
4 Sean los conjuntos:
S=
x + 1 ∈N x∈N ∧ 12 ≤ x ≤ 15 / 2
T=
x + 1 ∈N x∈N ∧ 14 ≤ x ≤ 17 / 2
U = {x /x∈N ∧ 11 ≤ x ≤ 11}
Aplica y determina el dominio y rango de las siguientes relaciones: • R1 = {(x; y) ∈ S × U/x + y ≥ 18}
• R3 = {(x; y) ∈ U × T / x = y
13 Si A × B = B × A, ¿A ⊂ B? ¿B ⊂ A? ¿Por qué?
9 En el siguiente diagrama sagital de la relación R, indica el dominio de la relación
R
• R2 = {(x; y) ∈ T × U/x = y + 1}
8 Edison vive en un albergue y su madrina le regalará o un polo o un pantalón o un par de zapatillas y su padrino, le regalará o un short o una chompa o un par de zapatos. ¿De cuántas maneras puede recibir sus regalos, de tal forma que pueda usarlos diariamente?
0 1 2 3 4
1 4 9 16 25
14 Si: A ⊂ B, ¿n(A × B) = n(B)? ¿Por qué? Explica tu respuesta.
20
Alfonso Rojas Puémape
1
c O N T R OL • Completa el siguiente mapa mental: tienen elementos cuyas características son
a conjunto
se determinan por de elemento
tienen relación de
conju ntos
que se grafica
B
A
inclusión cantidad de elementos
que se simboliza
no repetidos
no inclusión
algunos elementos
ningún elemento común
1 Dados los conjuntos:
Si n(A) = 8 y n(B) = 13, ¿cuántos elementos podría tener como máximo A∪B?
B
comunes
se expresa por el
¡DESAFíO!
A
A
2 De los conjuntos:
A = {x/x es una sílaba de la palabra soldado}
D = {x/x es una consonante de la palabra marinero}
B = {x/x es una sílaba de la palabra laminado}
E = {x/x es una consonante de la palabra armario}
C = {x/x es una sílaba de la palabra soldadores}
Selecciona e indica cuántas de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
• do ∉ B
• re ∈ C
• do ∈ C
• mi ∉ B
• na ∈ A
• sol ∈ A
• mi ∈ B
• do ∉ C
Representa y halla: n(E - D).
B
21 Exploramos lo que aprendimos.
3 Sean los conjuntos iguales:
6 Álex compra un polo, una sudadera,
una casaca, un chaleco, un short, una bermuda y una bicicleta.
A = {13; 4; b} y B = {2a + 3; 9; 4},
• Interpreta y determina de cuántas maneras se puede vestir Álex, si primero se pone la prenda inferior y luego la prenda superior.
interpreta y calcula el valor de b - a.
• En el enunciado, ¿cuál es el dato que está de más?
PISTA 4 4 Se tienen los conjuntos:
7 Determina el dominio y rango de la
relación representada en el siguiente diagrama cartesiano.
C = {3x/x∈N ∧ 1 ≤ x ≤ 4} D = {2x + 1/x∈N ∧ 1 ≤ x ≤ 5}
Calcula: n[(C ∆ D) - (C - D)]
R
3
E
F G
6
9
12
8 A partir de los conjuntos:
siguiente diagrama de Venn:
A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
A∆B= (A - B) ∪ (B - A)
Y 4 3 2 1
5 Representa la operación indicada en el
Recuerda que:
Señala los pares ordenados que pertenecen a las relaciones: R1 = {(x; y) ∈ A × B / y = 2x - 1} R2 = {(x; y) ∈ B × A / x + y = 8} e indica los pares comunes.
X
PISTA 7
Ten presente que en una gráfica los valores del dominio los ubicamos en el eje X.
22
Alfonso Rojas Puémape
Su pe r de sa fí o
1
Empezamos Comunicación matemática
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio.
S = { x / x∈N, es impar ∧ 1 ≤ x ≤ 9 } K = { 2x + 1 / x∈N ∧ 2 ≤ x < 6 } T = { x - 1 / x∈N, es par ∧ 3 ≤ x ≤ 7 },
expresa los elementos en un diagrama de Venn e indica cuántas de las proposiciones son falsas.
Un conjunto es unitario cuando tiene un solo elemento o cuando todos sus elementos son iguales.
• 9∈T • 5∉K
• 11∈S • 4∉T
• 3∉K • 5∈S
Resolvemos:
• Representamos los conjuntos en un diagrama de Venn - Euler. S
K •7 • 9 • 11 •5
•1
•3 •2 T
PISTA 6
• 9∈T (F) • 5∉K (F)
• o∉G • e∈B
a) 2
• 3∉K (V) • 5∈S (V)
c) 4
N = { x / x∈N ∧ 9 < x < 12 } b) 5
c) 8
d) 9
una fiesta, en la cual participaron 75 personas, con el fin de reunir dinero y donarlo a un albergue de niños abandonados. En un determinado momento de la fiesta se observaron a 25 parejas en la pista de baile y 10 mujeres sentadas. Registra la información en un diagrama de Carroll y calcula el número de varones que no bailaban en ese momento.
Resolvemos:
Hombres
Mujeres
Total
Bailan
25
25
50 1
No bailan
15
10
25 2
3
• Luego, el número de varones que no bailaba en ese momento es 15 . 6 El profesor Mario entró al aula de
G = { a; e; t; r ; b } H = { t; r; e; o; b } B = { i; b; o; r; n },
b) 3
M = { x + 3 / x∈N ∧ b < x < b + 3 }
• Elaboramos un diagrama de Carroll.
•6
• a∉H • n∈G
5 Los alumnos de 6º grado organizaron
clases y notó que solo se pusieron de pie, para saludarlo, 15 de los 25 alumnos del aula. Si de los que se pusieron de pie, 9 son niñas y de los que se quedaron sentados, 6 son niños, grafica un diagrama de Carroll y determina, cuántas niñas hicieron mal en no saludar al profesor.
representa dichos conjuntos en un diagrama de Venn y determina cuántas de las proposiciones son verdaderas.
d) 25
a) 6
2 Se tiene que:
c) 20
• Luego, 4 proposiciones son falsas. Usamos el diagrama de Carroll cuando empleamos conjuntos disjuntos.
b) 15
son iguales, ¿cuál es el valor de b?
•4
• 11∈S (F) • 4∉T (F)
a) 9
• Analizamos las proposiciones:
M = { 3a + 2; 2b + 4; 14 } es unitario.
4 Si los conjuntos:
• Determinamos los conjuntos por extensión: S = { 1; 3; 5; 7; 9 } K = { 5; 7; 9; 11 } T = { 2; 3; 4; 5; 6 }
grupo de 4
3 Calcula el valor de a . b, si:
1 Se tienen los conjuntos:
PISTA 3
grupo de 2
• t∈B • i∈H d) 5
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
23
7 Si sabemos que:
n(B) = 40; n(C) = 32 y n(B ∩ C) = 16,
determina el valor de: n( B ∪ C).
a) 24
b) 40
c) 56
indica el valor de: n(D ∩ E).
a) 20
b) 7
c) 14
d) 8
9 De 90 personas que viajan a Europa, 60
visitan Alemania, 51 visitan Francia y 32 visitan ambos países. ¿Cuántas personas no visitan Francia?
a) 19
b) 32
c) 28
d) 39
10 Los compañeros de Pepe realizaron una
colecta durante una semana, como un acto de solidaridad. Durante 6 días recolectaron dinero y durante 4 días, víveres. Representa la información en un diagrama e indica cuántos días se recolectaron dinero y víveres, si todos los días recibieron algo.
c) 2
d) 3
14 Sean los conjuntos:
A = { x /x∈N ∧ 6 ≤ x < 9 }
B = { x /x∈N ∧ 4 < x ≤ 10 }
R = { (x ; y)∈ A × B / x + y < 13 },
identifica los elementos del dominio de R e indica la suma de ellos.
Resolvemos: • Determinamos por extensión A y B.
A = {6; 7; 8}
y
B = {5; 6; 7; 8; 9; 10}
• Determinamos R según la condición x + y < 13: R = {(6; 5), (6; 6), (7; 5)}
• Ahora identificamos los elementos del dominio: Dominio (R) = {6; 7} • Luego: 6 + 7 = 13 15 Se tienen los conjuntos:
R = {(x; y) ∈ M × N / y - x > 6 }
selecciona y calcula la cantidad de números de dos cifras diferentes que se pueden formar, si la primera cifra pertenece a M y la segunda a P.
Determina los elementos del rango de R e indica la suma de ellos.
a) 19
a) 11
S = { 1; 3; 5; 7 }
Q = { 2x-1 / x∈N ∧ 3 ≤ x ≤ 6 },
determina:
a) 8
M = { 0; 1; 4; 6 } P = { 1; 2; 3; 4; 7 },
b) 12
c) 13
d) 14
B
0
2
6
1
(1; 0)
(1; 2)
(1; 6)
2
(2; 0)
(2; 2)
(2; 6)
4
(4; 0)
(4; 2)
(4; 6)
A
a) 1
b) 2
c) 3
b) 22
c) 18
d) 24
16 Sean los conjuntos:
n[P (S)] + n(Q) n(A ∩ B)
b) 7
c) 5
d) 6
17 Alex, Juan, Pedro, María, Elena, Luis,
Sara y Camila, asisten a una fiesta. ¿Dé cuántas maneras se pueden formar parejas de baile?
PISTA 16 El cardinal es el número de elementos de un conjunto y el cardinal de un conjunto S se denota por: n(S)
d) 4
A × B = { (2; 3), (a; a), (3; 3), (a + 1; a) }
B × A = { (a; a + 1), (3; 2), (a + 1; a + 1), (2; 2) }
Sea la relación: R = {a; b}, {c; d}, {e; f} Entonces:
Rango: R (R) = {b; d; f}
13 Si los siguientes productos cartesianos:
PISTA 14
Dominio: D (R) = {a; c; e}
N = { 2x / x∈N ∧ 4 ≤ x < 8 }
d) 4
y expresa R = { (x ; y)∈ A × B / x = + 1 } 2 por extensión y da como respuesta n(R).
b) 1
c) 3
12 De la siguiente tabla:
a) 0
M = { x + 2 / x∈N ∧ 2 ≤ x < 6 }
b) 2
a) 1
11 A partir de:
son iguales, determina el valor de a que cumple con esta condición.
d) 16
8 Si: n(D ∪ E) = 41; n(E) = 21 y n(D) = 27,
a) 18
b) 16
c) 9
d) 12
24
Alfonso Rojas Puémape
Vamos b ie n Razonamiento y demostración
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio.
1 Si: A = { 15x - 9 ∈N / x∈N ∧ 1 ≤ x ≤ 5 },
7 Un grupo de 50 jóvenes universitarios
2
analiza el conjunto y halla el número de elementos que tiene.
a) 5
b) 4
c) 2
d) 3
2 Si: P = { 2x + 1 ∈N / x∈N ∧ 3 ≤ x ≤ 7 } ,
¡RECUERDA!
3 identifica los elementos de P y determina su cardinal.
a) 2
b) 3
c) 4
a) 2
B = { x - 2 / x∈N ∧ 3 ≤ x ≤ 5 },
II) B = { 3x + 3 ∈N / x∈N ∧ 4 ≤ x ≤ 6 } 2
a) 1
III) C = { 3x - 3 ∈N / x∈N ∧ 9 ≤ x ≤ 13 }, 4
interpreta e indica el unitario.
a) I y III
d) III
opera:
M=
PISTA 10
5x - 2 ∈N / x∈N ∧ 4 < x ≤ 7 } 3
I) S = {
II) K = {
III) A = { 3x + 4 ∈N / x∈N ∧ 2 ≤ x ≤ 7 }, 5
identifica el conjunto unitario.
a) I
c) III
M = { (x + 1) / x∈N ∧ 9 ≤ x < 15 }
P = { x + 1 ∈N / x∈N ∧ 17 ≤ x < 32 }, 2 determina el valor de:
y determina el valor de a + b.
a) 3
b) 4
c) 5
determina el valor de x . y
a) 4
b) 6
c) 10
b) 2
c) 3
d) 4
pices, borradores o tajadores a 30 niños. Regaló 18 lápices, 19 borradores y 19 tajadores. Si 10 niños recibieron lápices y borradores, 11 recibieron borradores y tajadores, 9 recibieron tajadores y lápices, y además 4 niños recibieron los tres útiles, analiza y halla la cantidad de niños que recibieron un solo útil. a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
tieron a un congreso por la paz, se sabe que 28 son varones y de estos, 12 son solteros. Si la cantidad de varones casados es igual a la de mujeres solteras, ¿cuál es la cantidad de mujeres casadas?
P = { 3x + 5; 14 } y Q = { 11; 4y + 2 } ,
a) 1
n(M∩P) + n(P-M) n(M∪P)
11 De un grupo de 66 jóvenes, que asis-
d) 6
6 Sean los conjuntos iguales:
R=
10 Juan demostró solidaridad regalando lá-
d) II y III
M = { 2a + 3; 13 } y B = { 9; 5b - 2 } ,
d) 4
5 Analiza los conjuntos iguales:
Empleando diagramas de Venn, grafica los conjuntos e indica el de cada zona determinada.
c) 3
9 Sean los conjuntos:
2x + 3 ∈N / x∈N ∧ 5 < x ≤ 9 } 3
b) II
n(A ∪ B) - n(A - B) n(A ∩ B)
b) 2
4 De los conjuntos:
d) 8
A = { x / x∈N ∧ 1 ≤ x < 6 }
I) A = { x + 2 ∈N / x∈N ∧ 7 ≤ x < 11 } 3
c) II
c) 4
b) I
b) 3
8 A partir de los conjuntos:
d) 5
3 A partir de los conjuntos:
Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos.
visitaron el albergue de niños abandonados La Casa del Niño. Si del grupo, 27 son mujeres y de ellas 19 llevaron donaciones al igual que 20 de los varones, ¿cuántos de los varones no llevaron donaciones?
d) 12
a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
25 MUCHO MEJOR Resolución de problemas
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio.
1 A partir de los conjuntos: 2
/ x∈N
C = { 3x
D = { 4x / x∈N ∧ 1 ≤ x < 7 },
∧ 1<x<6}
calcula: n (C) + n (D).
De lo anterior, ¿cuál es el dato fundamental para determinar el número de elementos de los conjuntos? 2 Sean los conjuntos:
E = { a; b; c; d; e }
F = { d; e; f; g; h }
G = { a; e; i; o; u },
organiza los conjuntos en un diagrama de Venn y determina (E - F) ∪ (F - E).
¿Cuál es el dato que está de más? 3 Si: A = { 2x + 1 / x∈N ∧ 3 < x < 9 }
y
7 Si los conjuntos: { 2x - 1; x } y { 3x - 4; y }
son iguales, calcula la suma de los valores de x e y.
¿Es posible que los valores de x e y sean iguales? Explica tu respuesta. 8 Sean los conjuntos:
A = { 3x + 1 / x∈N ∧ 5 < x < 10 } B = { 2x / x∈N ∧ 10 < x < 15 } C = { x / x∈N ∧ 19 < x < 26 }
Determina: (A ∪ C) ∩ B
¿De qué otra forma se podría enunciar la indicación? 9 Sean los conjuntos:
determina: (A ∩ B)'.
¿Cuál es el dato que falta para que la pregunta tenga respuesta?
y
aplica y halla los elementos de las siguientes relaciones:
R1 = { (x; y)∈A × B / x + y = 22 }
R2 = { (x; y)∈A × B / x - y = 1 }
Indica si es posible determinar otra relación y cual sería esta.
4 Si el conjunto:
A = {5a - 3; 3b; 27; 3a + b } es unitario, halla el valor de a + b.
En el proceso de solución, ¿cuáles son las igualdades entre dos elementos que no se consideran?
Del enunciado, indica otras preguntas que se podrían formular. 6 Sea: n(A ∩ B) = 8, n(A) = 19 y n(B) = 23.
Aplica alguna propiedad inmediata para hallar n(A ∪ B).
Si el primer dato se cambia por n(A B) = 26 y se mantienen los demás datos, ¿se obtendría el mismo resultado?
Un conjunto se denomina unitario, si posee un solo elemento.
10 En un acto de solidaridad, una empresa
donó a un asilo de ancianos chompas, polos y casacas. Si 11 ancianos recibieron casacas y chompas, 8 recibieron polos y casacas , 13 recibieron chompas y polos, y 5 recibieron las tres prendas, ¿cuántos ancianos recibieron solo dos prendas?
5 En un centro de idiomas, donde las
clases se desarrollan armoniosamente, estudian 60 personas, de las cuales 41 estudian inglés, 38 estudian francés y 4 no estudian estos idiomas. Organiza e indica cuántas personas estudian solamente inglés.
B = { 3x / x∈N ∧ 0 < x < 7 },
B = { x / x∈N ∧ 8 < x < 15 } ,
A = { 2x / x∈N ∧ 0 < x < 6 }
PISTA 4
Si las frases borradas son números, ¿son fundamentales para resolver el problema? 11 Se tienen los conjuntos:
A = { rojo, verde, azul, amarillo, negro } y
B = { orange, blue, red, brown, yellow} ,
con los que se forma la relación:
R = { … }. Identifica los elementos de su rango.
¿Cuál es la relación más apropiada que se debe establecer entre los conjuntos A y B?
PISTA 10 Elabora un diagrama de Venn y organiza los datos en él.
26
Alfonso Rojas Puémape
A u to e va luac i ó n
• Completa la carita con un
1 Sean los conjuntos: M = {x / x∈N ∧ 3 ≤ x < 8},
N = {2x / x∈N ∧ 1 ≤ x < 4} y P = {3x - 1/ x∈N ∧ 0 < x ≤ 4},
representa y determina: n [P (M ∩ N)].
a) 3
b) 5
c) 6
¿Cuántas personas no consumen papaya? ¿Cuántas personas consumen 2 o 3 frutas?
a) 60 y 53 c) 50 y 78
sombreada.
b) 4
c) 6
d) 7
E = {x + 1/ x∈N ∧ 6 ≤ x <10}, F = {x - 1/ x∈N ∧ 4 ≤ x < 11} y G = {2x + 1/ x∈N ∧ 2 ≤ x ≤ 6} ,
selecciona y coloca V si la proposición es verdadera o F si es falsa. I. E ⊂ F III. {5; 6; 7} ∈ F II. D ⊄ G IV. D ⊄ F a) FVVF
b) VFFV
c) VVFF
a) 7
a) 24
b) 26
c) 28
d) 30
organizar un plan de ayuda solidaria a un país víctima de un terremoto. De ellos, 30 no hablan ingles y alemán; 20, no hablan francés e ingles; 40, no hablan francés y alemán; 10, no hablan estos idiomas. Selecciona e indica cuántos hablan al menos 2 de estos idiomas.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
10 Se encuestó a cierto número de jóvenes sobre
sus preferencias musicales. Y se determinó que a 50 les gusta el rock, a 40 el pop, a 70 la salsa y a 20 ninguno de estos géneros. Además a 12 les gustan solo el rock y el pop; a 10 solo el pop y la salsa; a 18 solo la salsa y el rock. Si a 60 no les gusta el rock ni el pop, ¿cuántos jóvenes fueron encuestados?
a) 146
b) 180
c) 136
d) 160
11 Sean A y B dos conjuntos tales que:
Melón 8 18 10 25 12 23 30 Fresa
d) 5
9 Se reúnen representantes de 100 países para
5 El siguiente diagrama de Venn representa el
20
c) 6
químicos, 15 industriales y 18 de sistemas. Además 5 eran solo de sistemas e industriales; 4 solo industriales y químicos; 3 solo químicos y de sistemas. Si solo uno tiene las tres carreras, organiza e indica cuántos tienen solo una carrera.
a) Alumnos que aprobaron un examen. b) Alumnos que aprobaron dos exámenes. c) Alumnos que aprobaron solo uno o dos exámenes. d) Alumnos que desaprobaron un examen. consumo de diversas frutas por un grupo de personas. Analiza y determina:
b) 8
8 En una reunión de ingenieros, 20 eran ingenieros
d) FVFV
CTA
Papaya
C
Comunicación
Alumnos
B
n(A ∩ C) = 4; n(A - B) = 8 y n(U) = 15, calcula n(B C).
la parte sombreada.
A
4 Representa los elementos que corresponden a Matemáticas
a) (A B) ∪ (A C) b) (A - B) ∩ (C - B) c) (A ∪ B) ∩ (B ∩ C) d) (A B) ∩ (B C)
7 Sabiendo que B ⊂ A y además: n(B ∩ C) = 2;
3 De los siguientes conjuntos: D = {5; 6; 7; 8},
calcula el número de elementos de: (A - B) - (B - C) a) 3
b) 50 y 53 d) 60 y 78
6 Indica la operación que representa la parte
2 Dados los conjuntos:
A = {2x + 1 / x∈N ∧ 7 ≤ x ≤ 12}, B = {3x - 2 / x∈N ∧ 5 ≤ x ≤ 9 } y C = {x + 1 / x∈N ∧ 12 ≤ x < 16} ,
luego de cada ejercicio.
d) 2
o con un
n[P(A ∪ B) ] = 64, n[P(A)] = 8 y n(A
Determina n[P(B)].
a) 8
b) 32
c) 64
B) = 4. d) 16
27
17 Sean los conjuntos: A = {x/ x∈N ∧ 6 ≤ x < 10} y
12 A una fiesta asistieron 40 personas entre varo-
nes y mujeres. Se sabe que 9 varones fueron con sus respectivas esposas y 2 sin ellas; 4 mujeres fueron sin sus esposos y en total habían 18 hombres. ¿Cuántas mujeres solteras asistieron a la fiesta?
a) 9
b) 10
c) 11
determina: n(B × A) + n(A × B).
a) 10
a) 36
b) 39
c) 49
d) 45
14 A la fiesta de Pedro asistieron 20 invitados entre
niños y niñas. Si de los invitados 10 usan zapatos, 4 niños zapatillas, 2 niñas zapatos y además Pedro usa zapatos, ¿cuántos niños habían en la fiesta?
a) 13
b) 12
c) 14
a) 25
a) 10
b) 20
c) 30
determina: D(R) ∩ R(R).
a) φ c) {4}
b) 4
c) 2
b) {3; 4} d) {2; 3; 4}
a la misma altura del eje de las abscisas y los puntos (a + 6; 8) y (13; 7) están en una misma línea vertical, determina a + b.
a) 9
b) 7
c) 11
d) 13
21 Marina tiene en su armario una blusa blanca,
una roja, una celeste y una rosada. Además tiene un pantalón negro, uno rojo, uno blanco, uno azul y uno plomo. Para ir a una entrevista decide vestirse con una blusa y un pantalón pero de colores diferentes. ¿De cuántas maneras se puede vestir Marina?
d) 15
d) 6
d) 20
20 Si los puntos (3; a + 4) y (6; 9 + b) se encuentran
representan un mismo punto en el plano cartesiano, interpreta y halla el valor de ab. a) 8
c) 24
16 Si los pares ordenados (20 + b; 3 + a) y (a + 5; 7)
b) 30
B = {x - 1/ x∈N ∧ 2 < x ≤ 6} y la relación R = {(x; y)∈B × A / x + y ≤ 8},
d) 11
n(A ∪ B ∪ C) = 40, n(A ∩ B ∩ C) = 2, n[A - (B ∪ C)] = 4, n[ B - (A ∪ C)] = 6 y n[C - (A ∪ B)] = 8, calcula: n[(A B) C ].
d) 40
19 Sean los conjuntos: A = {x + 1 / x∈N ∧ 3 ≤ x < 6},
15 Sean A, B y C conjuntos tales que:
c) 30
Pablo, Vivi, Carlos, Melina, Juan y Sandra. Analiza y determina cuántas posibles parejas de baile podrán formar.
13 A un congreso internacional asistieron damas
b) 20
18 A una fiesta asisten Leo, Marco, Jazmín , Lola,
d) 8
rubias y pelirrojas entre americanas y europeas. Se observa que 14 europeas no son rubias, las americanas pelirrojas son 4 más que las europeas en total y las rubias que no son americanas son 7. Si en total hay 10 rubias, ¿cuántas damas asistieron al congreso?
B = {2x + 1/x∈N ∧ 2 ≤ x ≤ 6},
a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
apr e nd í a : Metacognición
Marca con un 3 según corresponda: 1. Denotar y determinar conjuntos. 2. Relacionar conjuntos y a emplear el diagrama de Carroll. 3. Resolver problemas empleando operaciones entre conjuntos. 4. Determinar relaciones binarias, dominio y rango.
MB
B
R
2 28
Alfonso Rojas Puémape
decisiones convenientes Sistemas de numeración
EXPLORAMOS LO QUE Y A SABEMOS Conocimientos previos 1 Colócalos en su lugar
• 14
¡recuerda!
N significa "múltiplo de N" en lenguaje matemático.
•9
• 11
• 12
•5
• 10
•3
•8
•7
• 15
•6
• 24
•4
• 16 • 40
• 35 • 30
• 28
• 21 • 19
• 27
• 36
• 20 • 39
• 25
º el Coloca estos números en el diagrama de Venn. El conjunto A deberá contener los 2, º conjunto B los 3º y el conjunto C los 5.
A
u
B
C
29 º º º a. ¿Cuántos números no son 2, 3 ni 5?
º c. ¿Cuántos números son 2º y 3?
n[(A ∪ B ∪ C)’] =
º º 3º y 5? b. ¿Cuántos números son a la vez 2,
n( A ∩ B ) =
º d. ¿Cuántos números son 2º o 5?
n(A ∩ B ∩ C) =
n( A ∩ C ) =
2 Buscando la raíz
En cada recuadro se indica una operación. Realiza dicha operación con los números de las ramas que llegan al recuadro y coloca el resultado en la parte inferior de este. ¿Cuál será el resultado final?
6
2
12
4 6
: 8
: 5 +
8
3
+ 6
×
4
+
5
3 ×
4
Se divide el mayor por el menor y se resta el menor del mayor.
9
5
3
7
7
PISTA 3
+
+
2
2 8
+
Fíjate qué pasa cuando calculas la suma (S) y la diferencia (D).
1
+
3 De regreso al comienzo Escribe la edad de tu papá:
A =
Escribe tu edad:
B =
Halla la suma de S = ambas edades:
Ahora usa S y D para calcular ambas edades: ¡RECUERDA ! A=
B=
Halla la diferencia: D =
...ATERR IZ AM OS La intersección de dos conjuntos está conformada por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. La unión la conforman los elementos que pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos.
Algunas conclusiones Dada la suma (S) y la diferencia (D) de dos números es posible hallar tales números. Dado el conjunto A, entonces n(A) es el cardinal de A, que indica el número de elementos de A.
Para calcular A y B: A=
S+D 2
B=
S-D 2
30
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
1
nÚMEROS HASTA L A CE NTE NA DE BILLÓN Comunicación matemática
Y de toda esa producción resultaron 124 botones defectuosos, que se desecharon.
Desde su fundación han producido 12 480 540 botones.
o Valor POSIcional 1 Selecciona y responde en cada caso: 1 Elige el número mayor.
a. 12 480 450
2 Ordena de menor a mayor.
b. 12 480 540
c. 12 480 504
• 67 541
3 Menor número posible mayor que 786 203.
• 67 451
• 65 741
4 Mayor número posible menor que 910 396.
o Relación de orden • otros sistemas de numeración 2 En cada recuadro, coloca mayor ( > ) o menor ( < ), según corresponda: 1
876 852
876 842 57 100 101
57 100 011
2 1DM 3Um 5C 1U 3D
3U 1D 1DM 5C 3Um
6Dm 2C 5Um 2U
6Dm 2U 5C 2Um
3 En cada recuadro, indica el número que falta:
1 254 = 2 × (7) 2 1323 = 1 × 4 (4)
2
+5×7
+
+3×
2
3
+
×
4+
3
4 5
(9)
6
(
)
2
=2×
=
× 82 +
+
×
9+7
4×8+
o NÚMEROS ROMANOS MENOreS QUE 10 000 4 Representa en cada caso: 1 En números romanos:
2 En el sistema decimal:
• 527 =
• DCCCXXXIII =
• 5 341 =
• MMVIII =
• 7 210 =
• VIICCCLIX = ¡RECUERDA!
¡IMPORTANTE! Tablero de valor posicional: CM DM UM Cm Dm Um
C
D
U
En números romanos: L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
31
Experiencias 7 1 Con las cifras 7; 0; 8; 2; 5 y 1, representa:
o con un
luego de cada ejercicio.
6 ¿Cuántas decenas hay en el menor número formado por los cinco primeros números naturales?
grupo de 2
grupo de 4
Villarreal se encuentra escrito lo siguiente: MDCCCL - MCMXXIII. ¿Cuántos años vivió dicho matemático?
b. El menor número posible mayor que 103 000. c. El mayor número posible menor que 875 200.
7 Calcula la suma de los valores de n, en cada caso: 12 El virreynato en el Perú se inició en el siglo XIV y finalizó en el siglo XVII. ¿Cuántos siglos duró, aproximadamente, dicha etapa de nuestra historia?
a. (n + 4)78(n - 2)(12)
2 Selecciona y coloca el signo mayor, menor o igual, según corresponda: a. 7Dm; 3UM; 2Um
5Um; 7Dm; 3UM
b. 3Cm; 8D; 5UB
5Um; 5C; 5UB
c. 5C; 4UB; 3Dm
3Dm; 5C; 4UB
d. 6Cm; 8D; 8CM
8CM; 8D; 5Cm
3 Redondea a la centena:
b. (2n)53(n + 7)(11) n c. 7 3 6(n - 4)2 (9) 8 Realiza la descomposición polinómica de cada numeral:
b. 50 403(8)
b. 67 423
c. 870 403(9) 9 En cada caso convierte y representa en la base indicada:
4 Representa los siguientes números romanos en el sistema decimal: a. VII DIX
13 Sabiendo que los numerales 34a (b), 431(a) y 5b2 (7) están correctamente escritos, determina el valor de a + b.
a. 7 400 209
a. 5473
c. 1 834 751
ARITMéTICA
a. El mayor número posible menor que 865 000.
• Completa la carita con un
=
a. 213(5) a base 10.
14 En un museo de cera, al pie de la estatua de un poeta romano, figura lo siguiente:
b. 153 a base 4.
b. MMCMXCIX =
c. MCMLXXXIX =
c. 5 (10)4(11) a base 12.
d. XLIV
=
e. DCCCXCIV = 5 Representa los siguientes números empleando números romanos :
MCMXXXVI a.C. - MDCCCXXVIII a.C.
¿A los cuántos años falleció dicho poeta?
10 Selecciona entre > ; < ; = y coloca el signo adecuado en cada caso: a. 94(11)
1213(4)
a. 645
=
b. 356(8)
452(7)
b. 3689
=
c. 88(9)
225(6)
c. 88
=
d. 932(11)
3346(7)
d. 7045
=
e. 222 222(3)
888(9)
e. 2997
=
11 En la escultura en honor al matemático peruano Federico
15 Si los numerales: aaaa(3) y (3a + 2)(3a + 2) ( ) son iguales, 9 representa en el sistema decimal y calcula el valor de a.
32
Alfonso Rojas Puémape
o aDICIóN Y SUSTRACCIóN • pROPIEDADES • COMPLEMENTO ARITMÉTICO 5 Completa en cada caso: 1 2
5 + 3 7
2
7 4 2
9 1
ARITMéTICA
30 + 13 + 18 + 27 + 42 + 50 +
7
3 7
7
5 8 5
+
+
CA(35) = 100 -
8 - 5 2
5
4 1 6
3 2
74 + 51 + 35 + 49 + 26 + 65
6
+
=
=
9 3 -
4
8 CA(
) =
+
=
- 42 = 58
o SUMAS ESPECIALES 6 Calcula la suma de los números, en cada caso: 1 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 25 =
2 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 31 =
3 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 36 =
4 1 + 4 + 9 + 16 + ... + 169 =
o variaciones en la diferencia 7 Explica e indica en cuánto varía la diferencia, si: 1 El minuendo y el sustraendo aumentan en 8 uni-
dades. M - S = D ⇒ (M + 8) - (S + 8) = ? M-S + 8 - 8 =? D ⇒ Como el resultado es D, entonces la diferencia no varía. 3 El minuendo disminuye en 8 unidades y el sus-
traendo aumenta en 8 unidades.
2 El minuendo aumenta en 8 unidades y el sus-
traendo disminuye en 8 unidades.
4 El minuendo y el sustraendo disminuyen en 8
unidades.
¡RECUERDA! 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n(n + 1)
¡IMPORTANTE! M - S = D donde: M: minuendo D: diferencia
MS D S: sustraendo
33
Experiencias 8
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio.
grupo de 2
grupo de 4
N = 151 + 125 + 137 + 175 + 163 + 149
2 Identifica las cifras que faltan, en:
9
6 7
2
8
8
1
11 Cierta cantidad de mamás se saludan entre ellas al llegar a una fiesta infantil y se observa que cada una asiste con su hijo. Primero llega una, luego llegan 2, luego 3 y así hasta que finalmente llegan 10. ¿Cuántas personas asisten a la fiesta?
6 Cierto mes, Indecopi premió a los dueños de tres bodegas por el buen trato brindado al consumidor. Luis recibió S/. 5170, Juan S/. 1330 más que Luis y Roberto S/. 2300 menos que Juan. ¿Cuánto dinero recibieron los tres juntos?
+
4
ARITMéTICA
1 Explica como sumar de manera sencilla y determina el valor de N, si:
5
y da como respuesta la suma de las dos cifras de menor valor.
7 Cuando Marlene nació, Karina tenía 11 años. Si actualmente sus edades suman 59 años, ¿cuál es la edad que tendrá Karina dentro de 3 años?
3 Sabiendo que: a + 2b + 3c + 4d = 24 + b + 2c + 3d,
calcula:
aabc + cddb + bcad + dbca
12 Determina el valor de B, si:
8 Calcula el valor de N, si: N = CA(123) + CA(5428) + CA(64)
13 Halla el valor de C, en:
4 Si en una sustracción el minuendo excede a la diferencia en 36 unidades, representa y halla la suma de las cifras del sustraendo.
5 Pepito es muy respetuoso y siempre saluda a sus vecinos. El lunes saludó a 5 vecinos menos que el martes y el martes a 9 vecinos más que el miércoles. Si el lunes saludó a 18 de sus vecinos , ¿a cuántos saludó el miércoles ?
B = 17 + 19 + 21 + ... + 33
C = 64 + 81 + 100 + ... + 576
9 Sabiendo que el complemento aritmético de un número de tres cifras es igual a tres veces dicho número, representa tal número y calcula la suma de sus cifras. 14 Si en una sustracción el minuendo aumenta en 275 unidades, ¿en cuánto varía la diferencia?
10 Calcula la suma y explica cómo hacerlo:
51 + 52 + 53 + ... + 99
34
Alfonso Rojas Puémape
2
m u lt i pl i c ac i ó n y di vi s i ó n e n N Razonamiento y demostración
ARITMéTICA
Pero en febrero el doble y marzo el triple, según tus comprobantes.
En enero según mis comprobantes gasté S/. 846
o multiplicación 1 Según la historieta: 1 ¿Cuánto gastó en
2 Completa en cada caso: 2 ¿Cuánto gastó en
febrero?
1
2 4
marzo?
×
2
4 3
7 1 7
o propiedades • operaciones combinadas
8 ×
8 5 2
2 3
1
2
1 0 2
1
6
8 9
3 Organiza los números y efectúa empleando propiedades: 1 345 × 102 = 345 × (100 + 2)
2 426 × 301 =
3 216 × 199 =
5 48 × 32 + 48 × 24 + 52 × 56 =
6 35 + 35 × 47 + 48 × 65 =
= 34 500 + 690 = 35 190
4 320 × 298 =
4 Resuelve cada uno de los siguientes problemas:
1 Un camión compactador de basura logra reco-
2 En una fábrica de galletas se producen diaria-
ger diariamente 1254 kg de basura. ¿Cuántos kg recogerá en 25 días?
mente 14 400 paquetes de galletas. ¿Cuántos paquetes se producirán en una semana?
¡atención! Algunos números se pueden descomponer así: • 301 = 300 + 1 • 399 = 400 - 1 • 502 = 500 + 2 • 798 = 800 - 2
¡importante! Propiedad distributiva: a × m + a × n = a(m + n) a × m - a × n = a(m - n)
35
Experiencias 9 1 En cada caso calcula el producto aplicando una propiedad:
o con un
luego de cada ejercicio.
R = 34 × 36 + 61 × 66 + 25 × 34
P = 43 × 18 + 47 × 57 + 43 × 29 10 Una empresa dedicada a la extracción de petróleo registra una producción de 327 526 698 barriles al mes. Si la producción se ha mantenido constante, ¿cuántos barriles se extrajeron el año pasado?
c. 39 887 × 401 = d. 46 971 × 798 =
a. 132 421 × 12 030= b. 100 243 × 10 201= c. 20 302 × 200 401=
grupo de 4
6 Determina el valor de R + P, si:
b. 17 154 × 299 =
2 Calcula el resultado de efectuar:
grupo de 2
7 Una empresa transnacional de telefonía celular tiene 37 523 138 clientes en América, 85 507 367 en Europa y 222 631 252 en Asia. ¿Cuántos clientes tiene dicha empresa en estos tres continentes?
ARITMéTICA
a. 20 873 × 102 =
• Completa la carita con un
d. 402 001 × 10 020= 11 Veinte amigos forman una organización que defiende los derechos de los niños de todo el país. Si dicha organización recibe donaciones mensuales de S/. 361 568, S/. 359 323, S/. 192 036 y S/. 646 074 desde Italia, Canadá, Alemania y Francia, respectivamente, ¿cuánto recauda dicha organización en un año?
3 Completa los recuadros en blanco y comprueba la multiplicación: 1 2
1
1 2
5 7 3 4 5
6 2 8 6 5 1 4 2 9 2 5 7 1 5 5
×
+
1 4
8 Un parque que abre sus instalaciones solamente los domingos, recibe un total de 7 532 visitantes por día. Si dicho parque viene abriendo sus instalaciones durante 125 domingos, ¿cuál fue el total de boletos vendidos en el parque?
4 Organiza y efectúa:
5 × 3 × (25 + 3 × 35 ) + 2 × (32 × 6 + 3)
12 Tenemos lo siguiente: (25 × 32) + 51 = 25 × (32 + 51) Es ¿ correcto afirmar que se ha aplicado la propiedad asociativa? ¿Por qué?
5 Organiza y calcula el valor de N - M, si: M = 4532 + 2 × (235 + 380 + 385) + 3468 × 3 N = 12 × 849 + 3 × (127 + 130 + 243)+ 651
9 Una compañía exportadora registra un ingreso de S/.6 903 765 al mes. Si en cierto año tuvo dos reclamos sobre la calidad de su producto, motivo por el cual tuvo que devolver S/.19 874475 y S/.3 947001, respectivamente, ¿cuánto fue el ingreso real en este año?
13 Interpreta la siguiente expresión: 23 + 27 × 45 = 27 + 23 × 45 , ¿será correcto afirmar que hemos aplicado la propiedad conmutativa? ¿Por qué?
36
Alfonso Rojas Puémape
o DIVISIÓN: CLASES 5 En cada caso, comprueba que: 1 La siguiente división es exacta:
ARITMéTICA
589 : 19 Resolvemos: 589 57 19 19 0
2 El residuo es cero, en:
416 : 13
7590 : 23
19 31
El residuo es cero, luego la división es exacta. 4 El residuo es 15, en:
3 La siguiente división es exacta:
5 El residuo es 21, en:
3567 : 24
6 El residuo es 3, en:
8421 : 25
7651 : 32
o OPERACIONES COMBINADAS 6 Si M = 126 ; S = 288 y Q = 806, determina el valor de R, en cada caso: 1 R = 5M - 2S
2 R = Q - 6M
3 R = 2S + M : 3
4 R = Q : 13 + M : 6
7 Interpreta y resuelve los siguientes problemas: 1 En una caja se pueden colocar 30 chocolates.
2 Siete hermanos deben pagar una deuda de
Si se tienen 1050 chocolates, ¿cuántas cajas se necesitan?
S/. 2485. Si pagan en partes iguales, ¿cuánto debe aportar cada uno?
3 Carlos le debe S/. 918 a Luis y S/. 632 a Roy. Si
4 Rodrigo compró 25 plumones y 15 lapiceros
este mes piensa pagarle a Luis la tercera parte de lo que le debe y a Roy la mitad de lo que le debe, ¿cuánto pagará en total?
por S/.150 y S/.75, respectivamente. Si quisiera comprar 2 plumones y 3 lapiceros, ¿cuánto gastaría?
¡OBSERVACIóN!
¡recuerda! Elementos de la división: • D d • q r • ⇒ D = dq + r •
D: d: q: r:
dividendo divisor cociente residuo
Si pagan en partes iguales, cada uno aportará: 2485 7
37
E x p e r i e n c i a s 10 1 Relaciona adecuadamente mediante una línea: •
• 2879
292 446 : 154
•
• 4454
359 875 : 125
•
• 1899
o con un
grupo de 2
luego de cada ejercicio.
vestir, 450 376 a Norteamérica y 250 354 a Asia. Si este año tiene proyectado duplicar las ventas en Europa, triplicarlas en Norteamérica y cuadruplicarlas en Asia, organiza y determina cuántas prendas deberá confeccionar.
10 Se sabe que la suma de los cuatro términos de una división es 773. Si el cociente es 27 y el residuo es 4 unidades menor que el cociente, organiza y calcula el valor del dividendo.
2 Efectúa, en cada caso: a. 384 258 325 : 25
grupo de 4
ARITMéTICA
164 798 : 37
• Completa la carita con un
b. 416 420 928 : 16 11 Indica, de manera rápida, si la siguiente división es exacta o no. 3 Interpreta e indica si la división es exacta (E) o inexacta (I): a. 138 770 : 90
(
)
b. 21 391 442 : 87
(
)
c. 8 942 464 440 : 105
(
)
4 Determina el cociente (q) y el residuo (r), en cada operación: a. 6 427 416 006 : 112
q=
7 Los clientes de una empresa de telefonía son: la tercera parte de los habitantes de Brasil, la mitad de los de Colombia, la cuarta parte de los de México y la mitad de los habitantes de Perú. Si estos países tienen 190 010 646, 44 227 550, 108 700 892 y 28 674 756 habitantes, respectivamente, ¿cuántos clientes tiene en total dicha empresa en estos países?
525 984 127 : 8
12 De una división sabemos que el divisor es 75, el residuo es 32 y el cociente es la suma de ambos términos. Determina el valor del dividendo.
; r=
b. 4 589 730 816 : 237 5 Si:
q=
; r= A = 145 992 B = 487 222 C = 886 564
determina el valor de: M = 3B + A : 154 - C : 28
8 Interpreta y halla la suma de las cifras del dividendo de una división, en la cual el divisor es 36, el cociente es 149 y el residuo es máximo.
13 Sabemos que: 1. 8 4 9 3 9
2. 8 4 9 ⇒ 84 = 9(10) - 6 - 6 10
6 Una empresa peruana, formal y respetuosa de las políticas económicas, el año pasado exportó a Europa 640 560 prendas de
9 En una división, el dividendo es 1560. Si el divisor es 32 y el cociente es el doble del residuo, calcula el cociente.
⇒ 84 = 9(9) + 3
Realiza un comentario breve acerca de cada división.
38
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
mATEMATICA M AT E M á T IEN C A LA E NVIDA L A vDIARIA i d a d ia r ia 1
2
El señor Antonio desea construir un albergue para turistas en Máncora; dicho albergue tendrá 8 bungalows, cuyo costo es S/. 20 000 cada uno, un restaurante de S/. 40 000 y una pequeña casa de playa para él a un costo de S/. 30 000. Sabiendo que los permisos de construcción y licencia tienen un costo de S/. 5000, ¿cuál será la inversión total del señor Antonio?
Un mayorista debe surtir de mercadería a un conjunto de librerías, para tal efecto fue a un almacén y compró 20 cientos de cuadernos rayados, 8 cientos de cuadernos cuadriculados, 3 cientos de fólderes, 30 millares de papel bond y 50 cuadernos de dibujo. Si los precios están indicados en la siguiente tabla: Artículos
COSTO
Cuaderno rayado
S/. 300 / ciento
Cuaderno cuadriculado
S/. 350 / ciento
Cuaderno de dibujo
S/. 400 / ciento
Papel bond
S/. 25 / millar
Fólderes
S/. 250 / ciento
¿Cuánto gastó en la compra?
¡Resuelve aquí!
39
• Dalma tiene cierta cantidad de fichas , las cuales va a colocar en los casilleros vacíos (estas fichas puedes recortarlas de las páginas finales del libro). • ¡Ayuda a Dalma!, a identificar qué ficha va en el casillero sombreado; sabiendo que una misma fila, columna o diagonal no debe contener dos fichas iguales.
Tú puedes... ¡Utiliza tu ingenio!
ARITMéTICA
ORDE NAND O MIS FIC HAS
40
Alfonso Rojas Puémape
3
P o t e nc iac i ó n y r adi c ac i ó n e n N
ARITMéTICA
Resolución de problemas
... el jueves el doble del miércoles y el viernes el doble del jueves. El lunes se presentaron dos reclamos, el martes el doble, el miércoles el doble del martes...
o POTENCIACIÓN • PROPIEDADES 1 Resuelve y determina el número que falta en cada recuadro: 1 Según la historieta, el
2 23 × 26 = 2
3 33 × 92 = 3
6 5 2 × 2 2 = 10
7 25
4 4 5 =5 2
5
número de reclamos el viernes es: 2 =
2 5 16 = 2
23
=1
8 5
43
o radicación • propiedades • radicación en n 2 Registra el número que corresponde, en cada caso: 1 13 × 5 = 2
4 3
4
4
5
8
6
3
13
3
×
3
5 = 3
=
5 4
6
27 = 27 = 8 3 36 + 3 =
22 =
2
7 8+
144 +
64 =
9
9 -
25 + 36 = 121 ¡observación!
¡RECUERDA! • (a)0 = 1 • b1 = b
; a≠0
4 =
No olvides las propiedades: a × b = a
•
n p
•
a =
n . p
×
a
b
54
=5
41
E x p e r i e n c i a s 11
• Completa la carita con un
)
b. 82 × 86 = 812
(
)
(
)
(
)
(
)
c.
7m + 1
= 72
71 - m
d. 12 2 e. 20
3
= 12 3
53
= 25
2
03
11 Resuelve y halla el valor de a, en: (4 2 )(a 5 )(12 10 )
(10 3 )(2 6 )(3 18 )
a. ¿Cuántos alumnos hay en el salón?
12 Un ingeniero, respetando las normas técnicas, determinó que la altura de un edificio se puede calcular mediante:
a 2a b 7 Resuelve: 16 . 9 = 6 y encuentra una relación entre a y b.
2 2 h2 = d - s
A
d: distancia AB
3 Resuelve: 2m
4
= 8
y
2 16 2n
2
= 16,
y calcula: m + n.
8 Según la expresión: 7 = 7 + 7 + 7 ... +7 ,
a. 5
4
registra para qué valores de n (n∈N) se cumple la igualdad.
13 Un agricultor tiene un terreno cuadrado ABCD de 576 m2.
b. 12
= 625 4
9 Coloca verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
2
= 1
a. 5 + 7 = 12
5 En cierta semana, Indecopi pudo atender los 225 reclamos de los consumidores de algunos distritos de Lima. Si se sabe que en cada distrito se atendió tantos reclamos como distritos atendió, ¿a cuántos distritos atendió?
5
b. )
3 =3
c. d. 2
2 + ×
(
5×2
3
5 =
4
2 +
6
5
3 = 6
(7 3 )(8 2 )(10 6 ) (2 5 )(6 7 )( 35 )
(
)
(
)
N
B S
C T
M
) (
10 Efectúa:
6 Los alumnos de 6.° grado organizaron una campaña escolar para promover el respeto. Cada alum-
s: longitud de la sombra
¿Cuál es la altura del edificio, si se sabe que s = 14 m y d = 50 m?
n sumandos
32
3
B
s
n
4 Resuelve y completa los recuadros en blanco, en cada caso:
Donde:
d
h
7 08
=4
b. ¿Cuántas frases elaboró cada alumno?
2 Determina el valor de N, en: 82 × 93 × 54 N= 75 × 72 × 36
grupo de 4
ARITMéTICA
(
grupo de 2
luego de cada ejercicio.
no elaboró tantas frases sobre el respeto como alumnos hay en el salón. Si en total elaboraron 256 frases, responde:
1 Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: a. 34 × 24 = 64
o con un
P R
A
U Q
D
Si M, N, P, Q, R, S, T y U son puntos medios, ¿cuál es el área del terreno cuadrado RSTU?
3
14 Dados los números: 3 y 2 , selecciona e indica cuál de los dos es mayor.
42
Alfonso Rojas Puémape
o Operaciones combinadas 3 Resuelve y calcula el valor de P, en cada caso: 2
1 P = (5 × 2)1 +
5
36
2 P = ( 32 )2 + 2054 0
ARITMéTICA
3 P = 100 3
02
-
3
4
64
4 P =
625 + 3
25
60
1000
o Notación científica 4 Expresa los siguientes números en notación científica:
1 240 000
2 576 000
3 1 200 000
4 1 440 000
5 32 000 000
6 44 100 000
o PROBLEMAS 5 Resuelve en cada caso: 1 Roberto compró 6 kg de carne a S/. 29 el kg
2 Mariela gana mensualmente S/. 1200, Ana gana
y 5 kg de chorizos a S/. 34 el kg. ¿Cuál es el alimento que demandó más gastó?
S/. 200 más que Mariela y Julia gana S/. 300 menos que Mariela. ¿Cuánto ganan entre las tres mensualmente?
3 Un comerciante invirtió S/. 432 en comprar jarras
4 Mi papá recibió S/. 8460 de gratificación. Si la
a S/. 12 cada una y S/. 720 en comprar floreros a S/. 15 cada uno. ¿Cuál es la suma de los artículos comprados?
mitad la gastó en un televisor 3D y de lo que aún le quedaba gastó la tercera parte en reparar el auto, ¿cuánto dinero todavía le queda?
¡RECUERDA! Exponente nulo 0
a =1
¡ImporTANTE!
No olvides la regla práctica: 5200 = 5,2 × 10 3
43
E x p e r i e n c i a s 12 1 Simplifica: 4002 × 5003 × 7203
3
5
3
75 + 12 + 27 + 109 3
b.
5
5
2
o con un
3
2 Registra Vo F, según corresponda: 02
03
a. 33 > 32
100
b. (3 2 ) c.
6
( ) 100
= (2 3 )
( )
5
3 - 3 < 37 - 3 6
8
4
b. 9 c. d. 5
6
7 9
5
5
3
2
6
4
1= 1=
4
3
2
8 Para mantener el respeto y la seguridad de los vecinos de un distrito, se compró 28 patrullas a S/. 30 584 cada una, 37 motos a S/. 5 947 cada una y 500 uniformes a S/. 250 cada uno. ¿Cuánto se invirtió en equipo nuevo?
1=
=
b. 200 000 000 000 = c. 37 300 000 000 = d 243 000 000
b. 2,4 × 10
= 6
= 8
c. 5,33 × 10 =
24 13 La expresión: 24 × 10 , ¿está representada en notación científica? ¿Por qué?
9 En cada una de 2 cajas negras hay 2 cajas rojas, en cada caja roja hay 4 cajas blancas y en cada caja blanca hay 16 cajas azules. Si además tengo 180 cajas verdes, registra y determina cuántas cajas tengo en total.
= 14 ¿Cuál de los números es mayor:
5 Escribe el número que corresponde a cada notación científica: a. 3 × 10 9
12 La ciudad A dista 520 km de otra ciudad B y esta 408 km de otra ciudad C. Un bus, en 15 años de funcionamiento, cubrió 360 veces la ruta de A hacia B y 240 veces la de B hacia C (ambas ida y vuelta). ¿Cuántos km por mes recorrió el bus en promedio?
2=
4 Expresa en notación científica. a. 7 000 000 000
11 En cada cajón de naranjas hay 30 unidades. Una empresa adquirió 36 cajones mensuales durante 6 años. Si la empresa vendió cada naranja a S/. 0,50, ¿cuál fue el ingreso promedio diario en esos 6 años? (Considera: 1 año = 360 días)
( )
3 Ubica los signos (+; - ; × ; :) en cada recuadro para que el resultado obtenido sea el mayor posible. a.
7 Una empresa invertirá S/. 684 408 444 en 5 compañías: 3 europeas y 2 asiáticas. La mitad de la inversión la repartirá equitativamente entre las compañías europeas y el resto entre las asiáticas. Registra y halla cuánto le corresponderá a una compañía europea y a una asiática en total.
grupo de 4
de su localidad. Si por cada 6 bolsas compradas se obsequian 2, ¿cuántas bolsas de caramelos recibieron en total los dueños de las tiendas?
6 Piero saluda al vendedor y le pide 1530 g de carne de res, 7894 g de carne de cerdo, 10 579 g de carne de cordero, 35 757 g de carne de pollo y 17 494 g de carne de gallina. Al llegar a casa notó que solo habían 72 958 g de carne y regresó a reclamar la diferencia. Registra cada pedido y determina cuál era dicha diferencia.
8 + 18 + 32 - 375 2
grupo de 2
luego de cada ejercicio.
ARITMéTICA
1603 × 1802 × 2003 × 753
a.
• Completa la carita con un
10 En un almacén se vendieron 12 bolsas de caramelos en buen estado a cada uno de los 12 dueños de las tiendas
4
3
3 4 o 4 3 ?
44
Alfonso Rojas Puémape
1
ARITMéTICA
c O N T R OL • Completa el siguiente mapa mental:
valor posicional
Potenciación ( )2
<
Números hasta
>
relación de orden
la CB
Asociativa
=
Propiedades Multiplicación ×
otros sistemas de numeración
Sistemas De Numeración
I ; V; X; L; C; D; M Conmutativa Propiedades
Clases
Adición +
División :
Sustracción -
PISTA 1 Recuerda que: M: 1000 D: 500 C: 100 L: 50
1 En la base de la estatua en honor a Jose Olaya, se indican los años de su nacimiento y muerte de la siguiente manera: MDCCLXXXII − MDCCCXXIII
¿Cuántos años vivió?
2 Juan caminaba por un parque y notó que sobre un muro había una placa recordatoria que decía:
“Este parque se inauguró en el año MDCCLXXXII”.
¿Cuántos años cumplió el parque en el año 2012?
45 Exploramos lo que aprendimos.
3 Representa el resultado de efectuar: 118(9) + 724(9) + 673(9),
en el sistema indicado y da como respuesta la suma de cifras.
ARITMéTICA
6 En la pirámide:
F1 F2 F3 F4
4 Carla compró un par de zapatos a S/. 80, una cartera a S/. 72 y una blusa a S/. 43. Si ella pagó con un billete de S/. 200, interpreta e indica cuánto recibió de vuelto.
¿Cuántas bolitas pintadas hay hasta la fila 31?
7 Un comerciante, que respeta las normas tributarias, entrega una factura a un cliente. En ella se consigna: 20 cuadernos a S/. 8 cada uno, 4 diccionarios a S/. 32 cada uno y 48 lapiceros a S/. 2 cada uno. Si dichos precios incluyen el IGV, ¿cuánto pagó el cliente?
PISTA 3 Te sugiero sumar directamente formando grupos de nueve.
PISTA 6 No olvides que: 1+3+5+…+(2n-1) = n2
5 Rodrigo fue al cine con su esposa y sus dos pequeños hijos. El costo de la entrada de un adulto es de S/. 14 y la de un niño, S/. 10. Si pagó con un billete de S/. 100, organiza y determina cuánto recibió de vuelto.
8 Si:
CA(abc) − CA(575) = CA(675),
resuelve y calcula el valor de: (a + b)c.
PISTA 8 Recuerda: CA( abc ) = 1000 - abc
46
Alfonso Rojas Puémape
Su pe r de sa fí o
1
Empezamos Comunicación matemática
• Completa la carita con un
o con un
a) 1936
Descomposición polinómica En una base n: abc(n) = an2 + bn +c abcd(n) = an3 + bn2 + cn + d
Resolvemos: Enero: 13 893 Febrero: 13 893 + 9671 = 23 564 Marzo: 23 564 - 4795 = 18 769 13 893 + 23 564 + 18 769 = 5 6 226 • Se abastecieron 56 000 galones aproximadamente.
a) b) c) d)
S = 1 + 2 + 3 + ... + 10 10(11) = 55 2 • Luego, saludó a 55 vecinos. S=
6 Un comerciante vendió cierto día 45
manzanas, después 47, luego 49 y así sucesivamente hasta el día que llegó a vender 91 manzanas. Determina cuál es el total de manzanas que llegó a vender.
5Um, 7D, 8Cm, 3U, 7Dm, 4C 9U, 7Dm, 5Um, 3C, 8Cm, 7D 9D, 7U, 7Dm, 8Cm, 5Um, 4C 3C, 8D, 5Um, 4U, 7Dm, 8Cm
3 En la expresión: a(a − 1)1(6) = 315 (8),
= n(n + 1) 2
Resolvemos:
2 Selecciona, según su valor posicional,
1 + 2 + 3 + ... + n
d) 133
• Sumamos el número de vecinos que saludó cada día:
el menor número:
¡RECUERDA!
c) 1935
gio, saluda a sus vecinos que va encontrando, como muestra de respeto. Si el primer día saludó a un vecino, el segundo a 2, el tercero a 3 y así sucesivamente durante 10 días, ¿a cuántos vecinos en total ha saludado en dicho tiempo?
• Sumamos y aproximamos a miles:
b) 1934
5 Luisito, cada vez que se dirige al cole-
• Según los datos: ¡RECUERDA! PISTA 6
grupo de 4
¿En qué año se fundó dicho club?
1 Un grifo abastece, en enero, 13 893 ga-
lones de combustible; en febrero, 9671 galones más que en enero; y en marzo 4795 galones menos que en febrero. Calcula cuántos miles de galones abastecieron aproximadamente durante los 3 meses.
grupo de 2
luego de cada ejercicio.
b) 1334
c) 1462
d) 1632
halla el valor de (a + 1). 7 En una sustracción, el minuendo se au-
Resolvemos:
menta en 143 unidades y el sustraendo se disminuye en 318 unidades. Representa simbólicamente la sustracción y calcula en cuánto varía la diferencia.
• Descomponemos polinómicamente:
a) 1564
a × 6 2 + (a − 1) × 6 + 1 = 3 × 8 2 + 1 × 8 + 5 36a + 6a − 6 + 1 = 3 × 64 + 8 + 5 42a = 210 a=5
• Simbolizamos: M − S = D
• Luego: (a + 1) = 6 4 En la celebración por los LXXV años
de vida institucional de cierto club, se entregó una placa recordatoria en la que se indicaba el año actual: MMXI.
Resolvemos:
• (M + 143) − (S − 318) M + 143 − S + 318 = (M − S) + 461 D + 461 • Luego, la diferencia aumenta en 461 unidades.
47
8 Si sabemos que en una sustracción al
minuendo le aumentamos 273 unidades y al sustraendo 196, ¿en cuánto varía la diferencia?
a) Aumenta en 77 b) Disminuye en 77 c) Aumenta en 469 d) Disminuye en 469
233 280 consumidores por ser puntuales en sus pagos. La mitad de ellos recibió planchas, la tercera parte recibió licuadoras y el resto recibió ventiladores. Selecciona el mayor y el menor número de personas que recibieron algún artefacto y halla su diferencia. a) 38 808
b) 77 760
c) 83 380
d) 67 730
• Usamos la propiedad distributiva:
N=
N=
1 + 15
a) 20
⇒ N= 4
5 2 × 4 - 25 × 3 + 5 2 × 7 23 × 7 - 24 b) 25
c) 5
+ 20 d) 15 ¡recuerda!
13 ¿Cuál es el valor de P?
P=
25
a) 2
7
0
4
2
1
+
19
3
b) 4
4
2
5
+ 22
8
0
3
6
c) 6
- 80
3
5
7
d) 5
14 Al dividir un número de 3 cifras por 5,
1.° minuto: 2(1) = 2
2.° minuto: 2(2) = 22
3.° minuto: 2[2(2)] = 23
4.° minuto: 2 × 23 = 24
a) 103
b) 100
c) 104
d) 99
a) 1009
b) 1019
c) 1099
d) 1010
bia de lugar el 6 y el 8, ¿en cuántas decenas aumenta dicho número?
a) 190
b) 198
c) 19
d) 248
17 Si al número 9 732 564 se le borra la
cifra 3, explica y determina en cuántos millares disminuyó dicho número.
8
8.° minuto: 2 = 256 • Luego, al terminar el octavo minuto habrá 256 bacterias.
2 - 5 ×2 + 6 ×2 2 3 × 11 + 24
b) 8760 d) 6780
número 76 549 para que disminuya 690 centenas?
N=
a) 7860 c) 6870
18 ¿Cuál es la cifra que se debe borrar del
11 Calcula el valor de N, en: 3
32 . 3 = 33
PISTA 14
16 Si en el número 3 456 784, se intercam-
7
b8. b10 = b18
se obtiene residuo máximo y como cociente un número de 3 cifras menor que 101. ¿Cuál es el dividendo?
1
a2. a6 = a8
15 Al dividir un número de 4 cifras por 10,
Resolvemos: • La bacteria se duplica cada minuto:
• am.an = am+n Ejemplo:
se obtiene residuo máximo y como cociente un número de 2 cifras menor que 21. Halla el dividendo.
• Inicialmente tiene una bacteria.
+ 15
23 × (11 + 3)
M=
de bacteria se duplica cada minuto. Si inicialmente solo tiene una bacteria de este tipo, determina cuántas bacterias habrá al terminar el octavo minuto.
23 × (24 - 5 + 3)
10 Un biólogo se dio cuenta de que un tipo
Resolvemos:
12 Halla el valor de M, si:
9 Un supermercado regaló artefactos a
2
+ 3 ×5
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
En una división inexacta, el residuo es máximo cuando es una unidad menos que el divisor.
48
Alfonso Rojas Puémape
Vamos b ie n Razonamiento y demostración
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio. la última S/. 46, calcula cuánto recaudó dicho circo, si respetando las normas tributarias, pagó S/. 141 427 de impuestos.
1 Interpreta la igualdad: 3a(2a)(6) =17(2a)(8)
y halla a(3a) en base 9.
a)43(9)
b) 28(9)
c) 14(9)
d)82(9)
a) S/. 493 654 c) S/. 564 398
2 El complemento aritmético de un nú-
mero de dos cifras es un número de una cifra. Determina la máxima suma de las cifras de dicho número. PISTA 8
a)10
b) 16
c) 18
7 Juan pagó su deuda a un supermer-
cado durante 10 meses. El primer mes pagó S/. 16, el segundo S/. 17, el tercero S/. 18 y así sucesivamente. Luego de pagar todo, el supermercado le informó que aún debía S/. 25, para lo cual Indecopi intervino en defensa de Juan logrando que el supermercado se rectifique. Según el supermercado, ¿cuánto era la deuda de Juan?
d) 17
3 Un campesino siembra su terreno de
cultivo de la siguiente manera: el lunes siembra un cuadrado de 1 m de lado; el martes un cuadrado de 2 m de lado; el miércoles un cuadrado de 3 m de lado y así sucesivamente. Organiza y determina cuál es el área que habrá sembrado en total hasta el viernes de la próxima semana.
Suma especial: S = 12 + 22 + 32 + ... + n2 ⇒ S = n(n + 1)(2n + 1) 6
a) 506 m2 c) 560 m2
a) S/. 230 b) S/. 205 c) S/. 235 d) S/. 203 8 El lunes un albañil coloca losetas en un
área de 16 m2, el martes en un área de 25 m2, el miércoles en un área de 36 m2 y así sucesivamente. Calcula cuántas losetas habrá colocado hasta el domingo, si cada una tiene 1 m2 de área.
b) 650 m2 d) 385 m2
4 En una sustracción, si se le aumentan 2
decenas al minuendo y una decena al sustraendo, interpreta y determina en cuánto varía la diferencia.
PISTA 9
a) Aumenta en 10 decenas b) Disminuye en 1 unidad c) Disminuye en 10 unidades d) Aumenta en 1 decena
b) S/. 653 949 d) S/. 563 494
a) 334
B) 284
c) 371
d) 500
9 Sabiendo que:
1296 1296
P= 3
3
halla el valor de: Q =
a) 7
3
1296 .. .
P
P...
5 ¿Cuál fue la edad en el año MCDLIX
Si: M=n
n
A A n A
⇒ Mn = A M Otro caso: n
n
de un hombre que nació en el año MCCCXCIX?
a) 60 años c) 55 años
b) 70 años d) 50 años
6 Un circo se presentó 4 veces en cierta n
N = B B B ... ⇒ N n = BN
ciudad. Se supo que a la primera función asistieron 3487 personas; a la segunda, 2937 personas; a la tercera, 4057 personas y a la última, 6894 personas. Si la entrada para cualquiera de las tres primeras funciones costaba S/. 37 y para
B) 8
P
c) 6
d) 10
10 Halla el valor de E, si: 3
E=
4
3
8
36 4
8
3
36 ...
4
8 ...
Luego, comprueba que: 3
36
a) 2
E5 . 3(62 - 3E) = 27
B) 3
c) 4
d) 6
49 MUCHO MEJOR Resolución de problemas
• Completa la carita con un
o con un
luego de cada ejercicio. lo que le prestó y al prestarle todo su capital a Pedro, este le aumentará en S/. 12 500. Si le a , obtiene su mayor ganancia. ¿Cuál fue su ganancia?
1 Un hombre nació en el año MCMXXVI y
falleció en el año MMIX. Si su hijo mayor, quien muestra siempre respeto y admiración por él, tiene actualmente 46 años, resuelve y calcula la edad que tenía dicho hombre cuando nació su hijo.
7 Un cultivo de bacterias está formado
¿Falta algún dato? ¿Cuál?
por 7 × 10 13 de ellas, otro por 1,4 × 1014 bacterias y un tercero por 2,7 × 1015 bacterias.
2 De un libro que tiene cierta cantidad
de páginas se arranca la hoja central y en consecuencia el número total de cifras empleadas para enumerar las páginas de todo el libro disminuye en 5. Determina cuántas páginas tenía originalmente el libro.
8 Una empresa indemnizó con un total
de S/.1 500 000 a cuatro de sus consumidores por la venta de productos vencidos. El primero recibió S/. 950 486; el segundo, S/. 320 000; el tercero, S/. 70 500 y el cuarto recibió el resto. Registra la información en el siguiente cuadro y calcula cuánto más recibió el primero que los otros tres juntos.
¿Cree Ud. que falta algún dato? 3 Un comerciante compra 3 docenas de
blusas y observa que le sobran S/. 75 del dinero que tenía, pero le faltarían S/. 15 para poder comprar media docena más, resuelve y determina cuánto cuesta cada blusa.
fras y el otro de dos. Si la suma de sus complementos aritméticos es 430, determina dichos números.
Personas
a + b + c = 11, halla el numeral abc.
una condición, descubre cuál es.
Un prestamista cuenta con un capital de S/. 24 560. Sabe que al prestar la mitad de su capital a Juan, este duplicará
100 - ab • De abc: 1000 - abc
4.°
¿Cuál es la parte del enunciado que se podría borrar y aún así el problema pueda ser resuelto?
se obtuvo 345 de cociente y el residuo fue el máximo posible. Selecciona el dividendo y el residuo de dicha operación y halla la suma de ambos.
Sabiendo que uno de los datos se puede descartar, ¿cuál es el dato que necesariamente no puede ser descartado? 6 En el siguiente problema se ha borrado
• De ab :
Total
9 Al dividir un número de 5 cifras por 87,
5 De los siguientes datos:
aaa(5) = bbab(4); ab(c) = 24(9) y
Complemento aritmético
2.° 3.°
Discrimina el dato necesario para responder a la pregunta.
Indemnización
PISTA 4
1.°
Según el enunciado, indica otra pregunta que se podría hacer. 4 Se tienen dos números, uno de tres ci-
Formula las posibles preguntas que podrías plantear para este enunciado.
¿Cuál es el dato que está de más? 10 Sabemos que: B =
y Q =
2+ 2+
B- B- B-
2 + ...
B ...
estima el valor de: 3Q + 2.
Si la expresión B, fuese:
B = 6 - 6 - 6 - ... ¿en cuánto variaría el valor de 3Q + 2?
PISTA 9 División inexacta: D d r q rmáx = d - 1
50
Alfonso Rojas Puémape
A u to e va luac i ó n ARITMéTICA
• Completa la carita con un
1 Una persona nacida en el año 19ab cumple
a) 79 años c) 83 años
b) 81 años d) 80 años
tres cifras excede al triple de su complemento aritmético en 780 unidades, resuelve y determina la cifra de las centenas de dicho número.
a) 3
b) 2
c) 4
a ( )(a + 1)(7) 2
¿Cuántos números de esta forma existen?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
4 Si los numerales: a12 (4); b2c (a) y b0b0 (c),
b) 13
c) 15
d) 12
a354 + 2b57 + 38c6 = 913d , resuelve y calcula el valor de: a + b + c + d.
a)20
b)17
c)19
d)18
13 Si: a352b - 4c3d6 = 35e49 ,
halla a - b + c - d + e. Comprueba tu respuesta.
a) 3
b) 5
a) 1
c) 6
d) 7
b) 2
ab c
c) 3
halla el valor de a. b) 4
c) 3
d) 2
octubre del año MDCCCLXXIX. Hasta el año MMVII, ¿cuántos años transcurrieron? a) CXXVI c) CXXVIII
agosto de MDXL. ¿En qué año cumplió su 463 aniversario? b) MMIII d) MMVI
c) S/. 378
d) S/. 392
S = 1(2) + 10(2) + 11(2) + 100(2) + …. + 100001(2) a) 544
b) 561
c) 565
d) 545
a) 462
b) 472
c) 456
d) 448
17 En una diferencia, si al minuendo lo disminuimos
ple de su complemento aritmético, resuelve y determina cuál es la suma de sus cifras. c) 9
b) S/. 390
de trabajo logra fabricar 19 bancas, en el segundo día fabrica 21, en el tercero, 23 y así sucesivamente hasta que el último día fabrica 45 bancas. Interpreta y calcula cuántas bancas fabricó en total durante estos días.
en 345 unidades y al sustraendo lo aumentamos en 415 unidades, representa la sustracción y determina cómo varía la diferencia.
9 Si un número de dos cifras es igual al cuádru-
b) 6
a) S/. 388
16 Un aprendiz de carpintero, en su primer día
8 Arequipa, la Ciudad Blanca, se fundó el 15 de
a) 7
d) 6
15 Calcula el valor de S en el sistema decimal, si:
b) CXXV d) CXXXI
a) MMIV c) MMXI
c) 5
midor, ofrecen un descuento de S/. 2 por cada S/. 30 de consumo. Si una señora compró productos por un monto de S/. 420, ¿cuánto pagó realmente?
d)4
6 Si se cumple que: a54 (7) = 16a (9), resuelve y
a) 5
b) 4
14 En una tienda, considerando al buen consu-
7 El combate naval de Angamos ocurrió el 8 de
a) 14
a) 4
calcula el valor de:
d) 8
siendo 0 = cero, están correctamente escritos, interpreta y calcula el valor de a + b + c.
c) 6
12 Si se cumple que:
5 Si: abc (9) = 89(12), resuelve y
b) 5
mento aritmético de un número de dos cifras y el doble de dicho número equivale a 31 unidades, ¿cuánto suman las cifras del número?
d) 5
3 Se tiene un número de la forma:
a) 7
11 Si la diferencia entre el quíntuplo del comple-
2 ¿Cuántos números de la forma a(2a)(3a) hay?
luego de cada ejercicio.
10 Sabiendo que el cuádruplo de un número de
(a + 3b) años en el año 19ba. Interpreta y halla cuál será la edad que tendrá en el año 2015.
o con un
d) 8
a) Aumenta en 70 c) Aumenta en 760
b) Disminuye en 70 d) Disminuye en 760
51
18 La suma del minuendo, sustraendo y diferencia
a)7
b) 9
c) 8
d) 10
Representa dicha cantidad mediante notación científica.
a) 5,4 × 10 21 c) 5,4 × 10 20
b) 5,4 × 1019 d) 5,4 × 10 22
ARITMéTICA
en una sustracción es 648. Si el minuendo es el triple del sustraendo, ¿cuánto suman las cifras del sustraendo?
24 Halla el valor de la expresión: 19 En una división, el residuo es el máximo posible
5b + 3 + 5b + 4 5b + 2 + 5b + 1
y el cociente es el doble del residuo. Si el divisor es 19, selecciona el valor del dividendo.
a) 703
b) 667
c) 740
d) 702
20 La diferencia de dos números naturales es 431.
Al dividir el mayor por el menor se obtiene por cociente 24 y el residuo es el máximo posible. Representa y halla el número menor.
a) 18
b) 19
c) 20
a) 1
b) 5
25 Efectúa:
d) 17
39 27
a) 1 26 Efectúa:
a) 42
b) 36
c) 45
8
E= a) 18
b)6
2a - 1 4
3a + 2 5
15a + 8
8a - 6
(2
(3
) (3
)(2
a) 2
c) 24
a) 4
3
132 - 12 2 - 1 c) 6
9
12 3
9
b) 2
3
8 6
de:
540 000 000 000 000 000 000 células
d) 4
d) 8
12 ... 3
9 ... c) 3
d) 6
28 Reduce la siguiente expresión:
d) 36
23 Con el microscopio se llegó a observar un total
c) 3
60 32
2
12
E=
)
1+
d) 2
27 Calcula el valor de E, si:
)
× ×
b) 4
d) 30
22 Halla el valor de E, en:
72 65
b) 2
21 En una multiplicación, si al multiplicando se le
disminuyen 4 unidades, el producto disminuye en 36 unidades y si al multiplicador le aumentamos 3 unidades, el producto aumenta en 15 unidades. ¿Cuál es el producto?
× ×
c) 25
a) 7
724
b) 72
6
.
8 6
724
c) 73
6
d) 74
apr e nd í a : Metacognición
Marca con un 3 según corresponda: 1. Comparar números según la posición de sus cifras. 2. Representar números romanos. 3. Calcular el complemento aritmético. 4. Reconocer y operar sumas especiales.
MB
B
R
c u a d e r n o de t r a b a j o
6
ma te mรกtica