ma te mรกtica
© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Asistentes de edición: Giovanna Rojas Jorge Chávez Jhonny Leguía Edson Tacanga Ronald Córdova Eduardo Julca Ulises Laureano Vilma Tipula Betty Araujo Correctora de estilo: Milagros Bueno Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Diseño de interiores: Jorge Huamaní Diagramación: María Isabel Flores, Marco Peña Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado, Will Quispe Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.
ma te mática PR E S E N T AC I ó N La Colección de Matemática para Educación Primaria que publica EDITORIAL ETM es una propuesta de material didáctico para que niños y niñas de nuestro país ingresen al mundo de las matemáticas y aprendan como jugando. En esta colección de 1° a 6° hay una serie de instrumentos que hacen posible tal intencionalidad. Toda la obra está dividida en 4 LIBROS DE CONSULTA desde 3° hasta 6° y 6 CUADERNOS DE TRABAJO desde 1° hasta 6°. Un LIBRO DE CONSULTA consta de: 1. Una CORTINA, con análisis de imagen, tema transversal, valor, competencia y un cuadro de capacidades y contenidos. 2. DESARROLLO DE LA UNIDAD a partir de una historieta cuya trama se vincula con el contenido del LIBRO DE CONSULTA así como con el del CUADERNO DE TRABAJO. Se pone a disposición mapas mentales y conceptuales que permiten visualizar la relación entre los contenidos que luego se desarrollan. 3. Vínculos con el CUADERNO DE TRABAJO y con páginas WEB para profundizar el tema. 4. Una sección de entretenimiento y de información para niños que en los libros de 3° a 6° se encuentran en las unidades impares y en los CUADERNOS DE TRABAJO de 1° y 2° se encuentran en todas las unidades. En algunas unidades de 3° a 6° en esta sección aparece el USO DE LA CALCULADORA. Un CUADERNO DE TRABAJO consta de: 1. EXPLORAMOS LO QUE SABEMOS, prueba diagnóstica para averiguar conocimientos previos en cada unidad. 2. EXPERIENCIAS, sección de ejercicios y problemas básicos propuestos por lo general desde tres perspectivas: el aspecto algorítmico, el aspecto transferencial y el aspecto crítico del contenido. Previo a esta sección se ha propuesto ejercicios más elementales aún con el propósito que todos hagan matemática desde el inicio. 3. CONTROL, prueba abierta para evaluación de proceso que incluye mapas para completar. 4. SUPERDESAFÍO, grupo de problemas en dos niveles en 1° y 2°, tres niveles desde 3° a 6°.
Estos grupos por nivel de dificultad se llaman EMPEZAMOS, VAMOS BIEN y MUCHO MEJOR.
Este último procura el entrenamiento del pensamiento crítico.
5. AUTOEVALUACIÓN, prueba final que permitirá control cognitivo a modo de evaluación sumativa que incluye una MATRIZ DE METACOGNICIÓN. Tanto los LIBROS DE CONSULTA así como los CUADERNOS DE TRABAJO tienen muchas ilustraciones que ayudarán en su uso pero hago mención principal de lo que llamo DIRECCIONADORES, que son personajes que en una página se encuentran en versión pequeña en el cuerpo de la página y en tamaño más grande en cuadros sintetizadores en la parte inferior o, en otros casos, en los lados laterales de la página en los cuales, ampliamos, recordamos o sintetizamos información. Estos SINTETIZADORES son: USB, LÁPIZ, LAPTOP, RESALTADOR, TABLET y BLOCK. Cualquier otro personaje que acompaña el uso de estos textos cumple solo la función de ilustrar el contenido. Hemos incluido en el grupo de ilustradores EL DELFIN, EL PLANETA, EL OSO PANDA con la idea de ayudar al personal docente a comentar aspectos relacionados con animales en peligro de extinción y al cuidado del planeta. Estoy seguro que la niñez acompañada de padres, maestras y maestros encontrarán en este material mucha ayuda en su diario trabajo.
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
ma te mática
ÍNDI C E
Alfonso Rojas Puémape CORTINA ... antes de cada unidad en el cuaderno de trabajo.
UNIDAD
Título
1
E XPLOR AM OS LO QUE Y A SABE M OS Conocimientos previos
CONTENIDO Conjuntos
Operaciones con conjuntos Intersección; Unión; Diferencia; Diferencia simétrica; Complemento; Problemas con conjuntos
Sistemas de numeración
Números hasta la centena de billón Valor posicional; Relación de orden: comparación y redondeo; Cambio de base; Números romanos menores que 10 000; Adición y sustracción en N; Propiedades; Complemento aritmético
Multiplicación y división en N Multiplicación; Propiedades; Operaciones combinadas: + , - , ×; División; Clases; Operaciones combinadas: + , - , ×, :
Pág. 16
Decisiones convenientes
Pág. 22
3
LEER, COMPRENDER... PREVENIR
Propiedades de los números
Pág. 36
4
Mi porción de agua que debo cuidar
Fracciones
Pág. 52
5
Números que indican salud
Representación decimal
Múltiplos y divisores Propiedades; Números que no son múltiplos; Descomposición de números: números primos, números compuestos y números primos entre sí (PESÍ); Cantidad de divisores
6
Proporcionalidad numérica
Pág. 82
7
Cuidemos el medio ambiente
Números enteros
Pág. 96
8
Ganadores y semejantes
Introducción al Álgebra
Balance saludable
Ecuaciones e inecuaciones
Pág. 132
10
Atrevidos y calculadores
Estadística y probabilidades
Pág. 148
11
Cuidemos las formas
Geometría I e introducción a la trigonometría
Criterios de divisibilidad 2, 4, 8; 3, 6 , 9, 7; 5, 10, 15; 11, 12, 14, 25
Pot Pro pro
MC mc
Multiplicación y división de fracciones Multiplicación; División; Operaciones combinadas
Expresión decimal Comparación; Clasificación; Redondeo; Generatriz de un número decimal
Operaciones con decimales (I) Adición y sustracción de números decimales; Operaciones combinadas; Multiplicación con números decimales; Operaciones combinadas
Razones y proporciones Razón aritmética y razón geométrica; Proporción aritmética: discreta y continua; Proporción geométrica: discreta y continua; Propiedades; Tablas de proporcionalidad
Magnitudes proporcionales y reparto Magnitudes proporcionales: directa e inversa; Gráficas; Reparto proporcional simple: directo e inverso
El conjunto Z y la recta numérica Números positivos y negativos; Representación en la recta numérica: valor absoluto, números opuestos; Comparación y orden de números enteros
Adición, sustracción y multiplicación en Z Leyes de signos; Propiedades de la adición en Z; Sustracción en Z; Operaciones combinadas; Multiplicación en Z; Leyes de signos; Propiedades; Operaciones combinadas
Exponentes y radicales Leyes de exponentes; Leyes de radicales
Polinomios Clasificación; Términos semejantes; Reducción; Signos de agrupación; Polinomios; Valor numérico (VN); GA y GR de un polinomio; Polinomios especiales
Ecuaciones de primer grado Propiedades de igualdad; Resolución de ecuaciones de la forma ax ± b = c por propiedades de igualdad; Resolución de ecuaciones por transposición de términos
Inecuaciones de primer grado Propiedades de las desigualdades; Resolución de inecuaciones de forma ax + b < c; Resolución de inecuaciones de la forma ax - b < c
P Del Pro ecu pla
Estadística Población; Muestra; Variable estadística: cuantitativa, cualitativa; Tabla de frecuencias: frecuencia absoluta y frecuencia relativa
Interpretación y elaboración de gráficos estadísticos Diagrama de barras horizontales y verticales; Pictogramas; Gráfico circular y lineal
Mo Me Me
Elementos de geometría Punto; Recta; Plano; Segmentos; Operaciones con segmentos; Rectas paralelas y secantes; Ángulos; Elementos; Clasificación
Polígonos I Clasificación; Propiedades; Triángulos: Clasificación; Propiedades; Teorema de Pitágoras; Líneas notables; Congruencia de triángulos (4 casos)
Cua Áre Áre
Construcciones geométricas Ubicación del punto medio haciendo uso del compás; Construcción haciendo uso del compás: Bisectriz, Mediana, Altura, Mediatriz; Construcción de un triángulo con compás y transportador
Sólidos geométricos I Poliedros; Elementos; Clasificación: regulares e irregulares; Prisma: área y volumen; Pirámide: área y volumen
Pág. 114
9
Por Por Por Por
Par Rep car ran
Fracciones Fracciones equivalentes; Clasificación; Comparación; Adición y sustracción de fracciones; Operaciones combinadas
Pág. 66
Mientras más ideas... más emprendimiento
TEMA 2
Conjuntos Representación; Relación de pertenencia; Determinación de conjuntos; Cardinal; Clases de conjuntos; Relaciones entre conjuntos
En busca de coincidencias
2
TEMA 1
Pot Pot Rad com
Divi Op Pot dec
Reg inve Tan gen Siste
Div Divi Ley Pro sign
Sum Ope not cub Ide
Pág. 166
12
Organizando los recursos
Geometría II
Pág. 194 cONTRO L
... Luego de EXPERIENCIAS en el cuaderno de trabajo.
Super desaf ío A u toe v al u aci ó n
/Evaluación del proceso /Problemas de refuerzo en tres niveles / Evaluación sumativa
Cue def del Con des Esfe áre
s; es;
TEMA 3
TEMA 4
TEMA 5
TEMA 6
Relaciones binarias Par ordenado; Producto cartesiano; Representación gráfica: sagital, cartesiana; Relación binaria; Dominio y rango Potenciación y radicación en N Potenciación; Propiedades; Radicación; Propiedades; Operaciones combinadas y problemas
M a t e m á t i ca d e a y e r y h o y Material M a t e m á t i ca e n l a v i d a d i a r i a recreativo Juegos Co n e x i o n e s c o n o t r a s á r e a s
nes
PANORÁMICO
MCD y mcm MCD; Métodos mcm; Métodos; Propiedades
Potenciación y radicación de fracciones Potenciación; Propiedades; Radicación; Propiedades; Operaciones combinadas; Problemas de aplicación
Operaciones con decimales (II) División de números decimales; Operaciones combinadas: +, -, ×, : ; Potenciación y radicación de números decimales; Operaciones combinadas
rto
Regla de tres, porcentaje y SI Regla de tres simple (RD3S): directa e inversa; Regla de tres compuesta; Tanto por ciento; Interés simple; Impuesto general a las ventas (IGV); Sistema internacional de unidades (SI)
Z ición
División, potenciación y radicación en Z División en Z; elementos; Ley de signos; Potenciación en Z; Propiedades; Radicación en Z; Ley de signos; Propiedades
Coordenadas Coordenadas de un punto; Coordenadas en el plano: Elementos de un SISTEMA DE COORDENADAS
Operaciones con polinomios I Suma; Resta; Multiplicación de polinomios; Operaciones combinadas; Productos notables; TCP; DC; SC; Diferencia de cubos; Desarrollo del cubo de un binomio, Identidades de Legendre
Operaciones con polinomios II Factorización; Métodos de factorización; División de polinomios: Método de Horner - Regla de Ruffini
; s;
Medidas de tendencia central Moda (Mo); Tipos de distribución; Media o promedio aritmético (x); Mediana (Me)
Probabilidad Experimento aleatorio; Suceso o evento; Espacio muestral; Probabilidad de un suceso; Probabilidad interpretando gráficos estadísticos
Poligonos II Cuadriláteros; Elementos; Clasificación; Áreas y perímetros; Trapecios y Trapezoides: Áreas y perímetros
Circunferencia y círculo Propiedades: Posición de una recta respecto a una circunferencia; Ángulos en la circunferencia; Círculo; Semicírculo; Sector circular; Segmento circular; Longitud de una circunferencia; Área de un círculo
Sólidos geométricos II Cuerpos redondos; Cilindro recto: definición, elementos, desarrollo, calculo del área y volumen; Cono recto: definición, elementos, desarrollo, calculo del área y volumen; Esfera: definición, elementos, calculo del área y volumen
Transformaciones en el plano Simetría de un punto y de una figura respecto de un centro; Figuras con centro de simetría; Simetría en el plano cartesiano; Traslación y giro de una figura en el plano cartesiano
Introducción a la trigonometría Ángulo trigonométrico; Triángulo rectángulo; Teorema de Pitágoras; Razones trigonométricas (Rt) de un ángulo agudo; Calculo de las 6 Rt; Rt de ángulos notables 45° - 45°; 30° - 60°; 37° - 53°
CD del docente: Cartel de contenidos en word, Mapas mentales y conceptuales en ppt, Material sobre pruebas PISA.
icos
juegos interactivos
a ax de la
Planteo de ecuaciones e inecuaciones Del lenguaje común al lenguaje simbólico; Problemas que se resuelven planteando ecuaciones; Problemas que se resuelven planteando Inecuaciones
CD del alumno:
GR es
+ libro digital
das
1
comprando frutas en busca de coincidencias Conjuntos
Somos diferentes pero coincidimos en muchas cosas.
¡Qué grande es nuestro PERú!
Es cierto, seamos siempre solidarios entre todos los peruanos.
esto aprenderemos: • Determinación de conjuntos. • Cardinal. Clases de conjuntos. • Relaciones entre conjuntos. Diagramas de Carroll. • Operaciones en conjuntos. • Determinación de zonas. • Relaciones binarias: Representación gráfica. Compe te ncia : • Resuelve y formula, con autonomía y seguridad, problemas que requieren del establecimiento de relaciones entre conjuntos y sus operaciones argumentando los procesos empleados en su solución e interpretando los resultados obtenidos.
Tema transversal
Educación para la convivencia, la paz y la ciudadanía
Valor
Solidaridad
Imaginemos a estudiantes de diferentes regiones del territorio nacional, con diversas costumbres, climas, pasado histórico, pero con el mismo deseo y derecho de aprender. Las personas somos diferentes, pero hay muchas cosas que nos unen como la nacionalidad, cosas que nos relacionan como el estudiar en un mismo colegio, la música, el deporte, etc.
Si pudiéramos vivir sobre la base de lo que nos une.
Tienen razón. Hay que juntarnos sobre lo que nos une y no sobre lo que nos separa.
procesos transversales
Capacidades
Es así que sobre todas estas coincidencias buscamos convivir en paz y armonía, fomentando la solidaridad entre todos. Las coincidencias nos hacen pensar en elementos que son comunes a varios conjuntos.
contenidos
Comunicación matemática
Representa Expresa Selecciona
• Notación de conjuntos, relación de pertenencia, diagrama de Venn • Determinación de conjuntos • Cardinal, clases de conjuntos • Relaciones entre conjuntos - Carroll • Conjunto potencia
Razonamiento y demostración
Argumenta Interpreta Analiza
• Operaciones entre conjuntos (∩; ∪; -; ∆; complemento) • Problemas con conjuntos (2 y 3 conjuntos) • Determinación de zonas
Resolución de problemas
Aplica Organiza Explica
• Par ordenado, producto cartesiano • Representación gráfica, sagital, cartesiana, tablas de doble entrada • Relaciones binarias • Dominio y rango
8
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
1
Conju ntos Comunicación matemática
Nuestros amigos registraron sus deportes favoritos.
¡Algunos practican dos deportes!
• La forma como se agrupan las personas, los objetos y los números nos dan una idea de conjunto.
Hacer el deporte que nos agrade permite dar movimiento a todo tipo de células de nuestro organismo. Hacer deporte significa: disciplina, ceñirnos a reglas, esfuerzo, equipo y solidaridad. ¡Hagamos deporte! ¡Hagámoslo contentos!
MG nombrar uno a uno
• Es importante que en una agrupación o conjunto exista una característica que sea común a todos los integrantes del grupo llamados también elementos del conjunto. • Uno de los conjuntos de la pizarra, tiene como característica común “jugadores de fútbol” y el otro “jugadores de básquet”. • Si no se tiene característica común, la pertenencia o no pertenencia de los elementos debe estar establecida con claridad.
MI RA DA GLOB AL
definida
por extensión
agrupación
4
sin repetición
determinación
figuras cerradas
por comprensión conju ntos
característica común
1
representación 2 3
∈: “pertenece” a ∉: “no pertenece a”
de elementos
diagramas de Venn
entre llaves conjuntos: mayúsculas
relación de pertenencia elemento - conjunto
letras elementos: minúsculas
¡desafío!
¡atención!
¿Cuántos elementos hay en el conjunto conformado por las letras de la palabra ESTEFANíA? La respuesta NO es 9.
Dos o más conjuntos pueden tener elementos comunes. Grafica con diagramas de Venn: A = {1; 6 ; 8}
B = {6; 8 ; 10; 11}
9 P
1 Conjuntos
Recordemos:
b•
r•
c•
Q t•
a•
y• elementos que pertenecen a P y que también pertenecen a Q.
3 Relación de pertenencia
En los ejemplos anteriores:
si 1 pertenece al conjunto A escribimos:
Conjunto es toda agrupación de objetos concretos o abstractos cuyos elementos pueden ser nombrados de modo definido y sin repetición.
1∈A
“... pertenece a ...” si 10 no pertenece al conjunto A escribimos:
10 ∉ A “... no pertenece a ...”
2 Representación
Ya sé ...los símbolos ∈ y ∉ expresan una relación de elemento - conjunto.
Ejemplos anteriores: (1) A = { los países de Sudamérica } (2) P = { perros chihuahua } (3) C = { x / x∈N ∧ 2x + 3 < 10}
(4) D = { o; i; a}
4 Determinación de conjuntos
• Los conjuntos se representan entre llaves y precedidos de letras mayúsculas. • Los objetos que conforman un conjunto son llamados elementos.
• Determinar un conjunto significa nombrar sus elementos.
• Otra forma de representar conjuntos es por diagramas de Venn. Ya recuerdo: los diagramas de Venn son figuras cerradas de cualquier forma.
Muestro aquí algunas figuras cerradas o diagramas de Venn, tomando en cuenta también conjuntos que tienen elementos comunes: •1 •4 •10
•2
(2) A = { c; o} B = { las letras de la palabra coco}
Ejemplos:
A
B
•3
•m •n
•5
•8
RECUERDA SÍMBOLOS ∧ ∨ ∃ ∃
significa significa significa significa
•1 / 2
“y” “o” “existe” “no existe”
Q = { los números impares mayores que 3 y menores que 15 }
Exacto; en el interior representamos los elementos de ese conjunto.
Ejemplos: (1) P = { 5; 7; 9; 11; 13 }
• Cuando los elementos son letras, estas son minúsculas.
¡Muy bien, Maite! Así es.
C
P y Q son un mismo conjunto porque tienen los mismos elementos.
Así es. Lo mismo ocurre con A y B.
Se trata de nombrar los elementos de un conjunto de dos formas: por extensión y por comprensión. Determinación por extensión: nombramos uno a uno todos los elementos sin repetición. Determinación por comprensión: nombrando solo una o más características comunes de sus elementos.
¡IMPORTANTE! Los números impares no son divisibles por 2. Si dividimos un número N por 2 y obtenemos residuo, el número N es impar.
ARITMéTICA
Ejemplos: (1) Los países de Sudamérica (2) Los perros chihuahua (3) Los números naturales menores que 10 y que tienen la forma 2x + 3; x∈N (4) Las vocales de la palabra SOLIDARIDAD
10
Alfonso Rojas Puémape
• Al determinar conjuntos numéricos por comprensión también empleamos la siguiente notación: x/x
ARITMéTICA
¡Muy bien! eso significa que ya puedes realizar los ejercicios de EXPERIENCIAS 1.
la cual se lee: “x tal que x”
Experiencias 1
Otra forma de escribir por comprensión el conjunto Q, del ejemplo anterior, será:
Q = { x/x∈N ∧ 3 < x < 15 }
1 Escribe por extensión los siguientes conjuntos: a. A = { x/x∈N ∧ x ≤ 11}
b. T = { x + 1/x∈N ∧ 17< x < 27 }
c. M = { 2a/a es impar ∧ 4 < a < 13}
Déjame interpretar. Aquí dice: los elementos x tal que x son números naturales comprendidos entre 3 y 15.
MG
MI RA DA GLOB AL
5
expresa cantidad de elementos no repetidos del conjunto A. o ∅ 6
7
n(A) = 0
n(A) = 1
es
es
entre 2 y 7 se tienen los números naturales:
3; 4; 5 y 6
pero según la característica 3x, multiplicamos cada número natural por 3 y el conjunto P determinado por extensión será:
P = { 9; 12; 15; 18 }
no hay número mayor que n(A) es
conjunto finito
Si un conjunto está determinado por comprensión se escribe así: P = { 3x/x∈N ∧ 2 < x < 7 }
9
hay un número mayor que n(A)
conjunto unitario
5 Cardinal de un conjunto
P tiene 4 elementos o simplemente digo: "cardinal de P es 4".
8
es
conjunto vacío
Encontrarás más ejercicios en tu CUADERNO DE TRABAJO .
Experie n c i a s 1
cardi nal n(a)
se representa
{}
de
conjunto infinito
Es decir: Cardinal n(A) de un conjunto A es el número de elementos sin repetición de dicho conjunto. 6 Conjunto vacío
¡Claro que sí! Simbólicamente: n(P) = 4
Si tenemos el conjunto M y n(M) = 0, el conjunto M es vacío.
Un conjunto vacío se representa también así: M={ } o M=φ Ejemplo: E = { x/x es rey del Perú } Como en el Perú no hay rey entonces: E = φ o también E = { }
¡MÁS DESAFÍO!
¡más desafío!
¿Cuál es el cardinal del aula de clase?
¿Cuál es el cardinal del conjunto de los números naturales?
11 7 Conjunto unitario
8 Conjunto finito e infinito
Conjunto con un solo elemento.
Ejemplo:
D = { x / x∈N ∧ 18 < x < 20 }
entre 18 y 20 hay un solo número natural entonces:
n(D) = 1; D es conjunto unitario.
MI RA DA GLOB AL
MG
y 9
Dado un conjunto A: si es posible contar sus elementos, el conjunto A es finito, de lo contrario es infinito. Así: A = { p; e; p; e } n(A) = 2 ⇒ A es conjunto finito B = { 0; 1; 2; 3 4; ... }
terminar de contar los elementos de B, de modo que B es conjunto infinito.
rel aciones e ntre conju ntos
inclusión
11
no inclusión tienen
tienen B⊂A “B contenido en A”
“un conjunto dentro de otro”
A
caso especial 12
conjunto universal
Relación de algunos elementos intersección comunes
B
A A
El conjunto B “está incluido o contenido en A”,
representamos así:
B⊂A se lee: B contenido en A.
Todos los elementos de B también son elementos de A.
También decimos: “B es subconjunto de A”
Conjunto potencia
Si A es un conjunto, entonces P(A) es el conjunto potencia de A. El conjunto potencia de A tiene como elementos a los subconjuntos de A que incluye al conjunto vacío, a los conjuntos con las combinaciones de los elementos de A y al mismo conjunto A.
A
B
Ejemplos: (1) A = {5; 7} escribiremos el conjunto potencia de A. P(A)= {φ; {5 }; {7 }; {5; 7}} n(P(A)) = 4
Inclusión 11
B
B
B⊄A “B no está contenido en A”
U
Hay dos: inclusión y no inclusión
A
ningún elemento conjuntos común disjuntos
B
Relaciones entre conjuntos 10
⇒ no es posible
(2) B = {a; b; c}, el conjunto potencia de B será: P(B) = {φ ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {b; c}; {a; c}; {a; b; c}} n(P(B)) = 8
observa: si : n(A) = 2 ⇒ n(P(A)) = 2
si : n(B) = 3 ⇒ n(P(B)) = 2 3
si : n(D) = m ⇒ n(P(D)) = 2 m
luego,
Conjunto universal (U) 12
Es el conjunto que sirve de referencia para el estudio de otros conjuntos incluidos en él.
Lo representamos con un rectángulo. Graficando: Ejemplo:
M = { x / x es un cerdo}
R = { x / x es una vaca}
Luego:
U = { x / x es un mamífero}
M
Dos conjuntos S y T son iguales si se cumple que: S ⊂ T y T ⊂ S; además S y T tienen los mismos elementos.
R
U Ir a Experie n c i a s 2 de tu CUADERNO DE TRABAJO .
¡DESAFíO! ¡importante!
2
Dados los conjuntos S = {6; 7; 8; 9} T = {8; 9; 5; 11} M = {15; 20} Señala los pares de conjuntos disjuntos y los que tienen relación de intersección.
ARITMéTICA
12
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
2
OPERACIONES CON CONJU NTOS Razonamiento y demostración Carmen, Genaro, Rosa, César, Ana y Juan destacan en Comunicación.
Felipe, José, Juan y Rosa destacan en Matemática.
¡Es muy bueno saber quiénes son los alumnos que destacan en el aula de clase! Pero también es bueno saber que quienes destacan en diversas materias deben compartir solidariamente lo que saben con todos sus compañeros.
• En la historieta se nos presentan a dos alumnos que destacan a la vez en Matemáticas y en Comunicación: Rosa y Juan. • En un diagrama de Venn tendremos:
M
• Felipe • José
C • Rosa • Carmen • Genaro • Ana • Juan • César
• Rosa y Juan conforman el conjunto intersección de M y C. • Operar con conjuntos significa encontrar uno a partir de otros.
MG
MI RA DA GLOB AL A
4 Diferencia
simétrica A∆B
B
A⊂B B B⊂A A
A
B
A
B B
A
B
A
B A y B disjuntos
3
Diferencia A-B
2 Unión
A∪B
A
A⊂B
B
A
A y B disjuntos A
O PERAC IO N ES CON C O NJ U N TOS
A y B disjuntos
B⊂A
A A⊂B
B
B
Intersección A∩B
A
A
A⊂B
1
B
B B
A
A y B disjuntos A
B
13
Volvamos a la historieta: Graficamos en un diagrama de Venn:
M • Rosa • Juan
C
A partir de los conjuntos M y C, obtenemos los siguientes conjuntos como resultado de operar:
Operación intersección (∩):
M∩C = {Rosa; Juan}
M∪C = {Felipe; José; Rosa; Juan; Carmen; Genaro; César; Ana}
Operación diferencia (M - C) o (C - M):
Operación diferencia simétrica (∆):
M - C = {Felipe; José}
C - M = {Carmen; Genaro; César; Ana}
M∆C = {Felipe; José; Carmen; Genaro; César; Ana}
Operación unión (∪):
Si sombreamos el conjunto que resultó de las operaciones señaladas tendremos:
Intersección de conjuntos (M∩C) M •Felipe •José
•Carmen •Rosa •Genaro •Juan •César •Ana
C
Diferencia de conjuntos (M-C) M •Felipe •José
•Rosa •Juan
C •Carmen •Genaro •César •Ana
Unión de conjuntos (M∪C) M •Felipe •José
•Rosa •Juan
C •Carmen •Genaro •César •Ana
Diferencia simétrica de conjuntos (M∆C) M •Felipe •José
•Rosa •Juan
C •Carmen •Genaro •César •Ana
Resumiendo: 1 Intersección de conjuntos (M∩C)
En el mapa de la página anterior se ha sombreado el conjunto intersección. Observa que lo primero que se debe hacer es dibujar la relación entre conjuntos y luego sombreamos lo que corresponde a la operación que se pide.
Ejemplo: Sean: P = {Lima; Cuzco; Puno; Moquegua} Q = {Cuzco; Moquegua} argumenta, grafica y determina P∩Q.
Resolvemos: • Establecemos gráficamente la relación entre P y Q: P
•Lima •Puno
Q •Cuzco •Moquegua
P∩Q • Luego graficamos la operación sombreando los elementos comunes a P y Q.
Dados los conjuntos M y C, el conjunto intersección M∩C está formado por los elementos comunes de M y C.
¡IMPORTANTE!
¡DESAFíO!
Cuando tengas ideas que coincidan con las ideas de los demás, recuerda: INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
Si M y P son conjuntos disjuntos, halla M∩ P.
ARITMéTICA
• Felipe • José
• Carmen • Genaro • César • Ana
14
Alfonso Rojas Puémape
2 Unión de conjuntos (M∪C)
ARITMéTICA
Analiza, grafica y sombrea S∪E. Resolvemos: Luego de observar los elementos de S y E, graficamos: S∪E S E •2 •6 •1 •7 •0 •4 •8 •3 •5 •9
Sabemos que dos conjuntos se pueden relacionar de diferentes maneras, luego de graficar dichos conjuntos se procederá a sombrear las zonas correspondientes a la operación que se pide. Ejemplo: Dados dos conjuntos S y E: S = {0; 2; 4; 6; 8} y E = {1; 3; 5; 7; 9}
Dados dos conjuntos M y C, el conjunto unión M∪C está formado por todos los elementos de M y C.
3 Diferencia de conjuntos (D - G)
Ejemplo: Dados dos conjuntos D y G: D = {a; b; c; d; e; f; g; h; i} G = {a; e; i},
D
•b •f •a •e •i •c •h G •g •d
grafica y sombrea D - G.
D-G
Como la diferencia está determinada por los elementos de D, pero que no son de G, dicha diferencia es: D - G = {b; c; d; f; g; h}
Resolvemos: Observamos los elementos y graficamos:
Dados dos conjuntos M y C, el conjunto diferencia M - C está formado por todos los elementos de M, pero que no pertenecen a C. 4 Diferencia simétrica (M∆C)
Resolvemos: De acuerdo a los elementos, graficamos:
Ejemplo: Dados dos conjuntos F y H: F = {2; 4; 6; 8; 10; 12} y
F
H = {3; 6; 9; 12; 15}, grafica y sombrea F∆H.
•4 •2 • 8 • 10
•6 • 12
•3 • 15
•9
H
⇒ F ∆ H = {2; 3; 4; 8; 9; 10; 15}
Dados los conjuntos M y C, el conjunto diferencia simétrica M∆C está formado por los elementos de M y N, pero no de ambos. Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s 3 en tu
Experiencias 3 Resolvemos: Graficamos:
1 Sean los conjuntos:
A = { 2; 4; 6; 8; 10; 12} B = { 1; 2; 3; 4; 5; 6} C = { 3; 6; 9; 12}
Analiza y calcula: B∩ (A∆C)
A∆C B∩ (A∆C)
A
•8 •2 •1 •4 • 12 •5 •6 •3 • 12
⇒ B∩ (A∆C) = {2; 3; 4}
¡IMPORTANTE! Primero graficamos la relación entre los conjuntos y luego sombreamos la operación solicitada. En este caso, S∪E está conformada por todos los elementos de S y E. Gráficamente, S∪E es la parte sombreada.
•9
B
CUADERNO DE TRABAJO
C
¡RECUERDA! Cuando todos los elementos de un conjunto A, pertenecen también a un conjunto B, se puede afirmar que A está incluido en B (A ⊂ B).
.
15
MG
MI RA DA GLOB AL
Compl emento de un conjunto a
ARITMéTICA
conjunto formado por: elementos que no pertenecen a A. se simboliza A' o Ac o A por ejemplo (A∪B)'
A' A
A A'
U
(A∩B)'
B
A
(A∪B)'
U
(A - B)'
B (A∩B)'
U
A
B (A - B)'
U
U: conjunto universal
5 Complemento de un conjunto A (A')
1. Si U = {0; 1 ; 2; 3; ... ; 8; 9} y A = {3; 6; 9}, calcula A'.
o PROBLEMAS CON CONJUNTOS
Resolvemos:
1. Si n(U) = 35, n(A) = 20, n(B) = 22 y n(A∩B) = 12, interpreta y calcula el n(A∪B)'. Resolvemos: n(A)=20 n(B)=22 • Graficamos: (A∪B)'
• Graficamos e identificamos A':
• 0 •1 •7 A •3 Luego: •9 •5 •8 •6 A' = {0; 1; 2; 4; 5; 7; 8} •2 •4 U
Si tenemos un conjunto A, el complemento de A es otro conjunto de elementos que no pertenecen a A. Complemento de A A'
2. Si U = {a; b; c; d; e; f; g; h; i}, B = {a; b; c; d; e} , C = {a; e; i},
calcula (B∆C)'. Resolvemos: • Graficamos la relación y reconocemos B∆C som-
breando:
•g •f U
•h
B
• b •a •c •i • d •e
C (B∆C)'
Luego: (B∆C)' = {a; e; f; g; h}
n(A - B) = 20 - 12 = 8
• Entonces: n(A ∪ B)' = 35 -(8 + 22) • Luego: n(A ∪ B)' = 35 - 30 = 5
Lo cual representa la cantidad de elementos que no pertenecen a A∪B.
2. En un instituto de idiomas estudian 150 personas, de las cuales 90 hablan inglés y 80 hablan francés. Si todas hablan al menos uno de estos idiomas, analiza e indica cuántas personas estudian solo francés. Resolvemos: • Graficamos la relación
n(I)=90
entre I y F y luego n(U)=150 sombreamos F - I: • Del gráfico, podemos afirmar que: n(F - I) = n(U) - n(I) n(F - I) = 150 - 90 = 60 personas ¡IMPORTANTE!
¡importante! Una manera sencilla de identificar dos elementos del complemento es determinando los elementos que le faltan al conjunto para ser el CONJUNTO UNIVERSAL.
12
n(U) = 35
Si n(A∪ B)' ≠ ∅ ⇒ n (A∪B)' = n(U) - n(A∪B) además: n (A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
I
n(F)=80
F-I
F
16
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
3
rel aciones bi narias Resolución de problemas
¿Cuántas combinaciones de desayunos tenemos a disposición?
Debemos tomar un buen desayuno todos los días, pues es la comida más importante del día y la que nos permitirá mantenernos con energías todo el día. ¡Alimentémonos bien para tener energías!
MG
MI RA DA GLOB AL
• Cada una de las maneras en las que podemos elegir nuestro desayuno nos da la idea de par ordenado, por ejemplo (leche; pan con queso) y el conjunto de todas las maneras posibles nos da la idea de un producto cartesiano. • Ahora, si a Skanito no le gustaría el café ni el pan con huevo, sus posibilidades se verían limitadas por una condición o regla de correspondencia. Esto nos da la idea de relación binaria.
PAR ORDENADO es una representación (a; b)
da lugar a
en la cual a y b son componentes y se separan con punto y coma
el orden de los componentes es inalterable: (a; b) ≠ (b; a)
es decir
(a; b) = (c; d)
⇒ a=c y b=d
se denota
Producto cartesiano es un
A × B
conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b), donde: a∈A y b∈B se representa Diagrama sagital
Diagrama cartesiano
A
B 2• 3• 4•
•5 •6
A × B = {(2; 5), (2; 6), (3; 5), (3; 6), (4; 5), (4; 6)}
Tabla de doble entrada
B
B A
6 5 4 3 2 1
A × B
1 2 3 4
A
2
3
4
5
(2; 5) (3; 5) (4; 5)
6
(2; 6) (3; 6) (4; 6)
17
1 Par ordenado
En el ejemplo de la historieta, podemos formar pares ordenados para cada manera de elegir el desayuno:
Sean los conjuntos: A = {1; 2} B = {3; 4; 5}
- (leche; pan con queso) - (café; pan con huevo) - (leche; pan con chorizo)
Entonces el producto cartesiano A × B será: A × B = {(1; 3),(1; 4),(1; 5),(2; 3),(2; 4),(2; 5)}
Ahora, veamos qué sucede al calcular el producto cartesiano B × A: B × A = {(3; 1),(3; 2),(4; 1),(4; 2),(5; 1),(5; 2)}
Entonces:
Un par ordenado es una representación en la cual: • Las componentes se separan por punto y coma; agrupándose entre paréntesis, así: (3; 4) o (5; 6). • El orden de las componentes es inalterable. Por ejemplo: (1; 5) ≠ (5; 1) De lo anterior podemos deducir que 2 pares ordenados son iguales, si sus primeras componentes son iguales y sus segundas componentes también. Esto es: (a; b) = (c; d) ⇒ a = c y b = d
A × B ≠ B × A
3 Representación gráfica del producto cartesiano
Podemos representar el producto cartesiano de dos conjuntos mediante diversos tipos de gráficos: diagrama sagital, diagrama cartesiano y cuadro de doble entrada.
Para el ejemplo anterior tenemos:
o Diagramo sagital
Por ejemplo: (3; m) = (n; 6) ⇒ 3 = n y m = 6
Observamos que A × B y B × A no son iguales. Entonces podemos afirmar que:
A
B
¡Qué interesante! No podemos invertir el orden de las componentes de un par ordenado. 2 Producto cartesiano
Ahora, en el mismo ejemplo de la historieta, podemos agrupar todas las maneras posibles en que se puede pedir el desayuno.
2•
Este conjunto formado por pares ordenados se denomina producto cartesiano de los conjuntos bebidas y sándwiches.
Entonces:
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B se denota A × B y es el conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b), donde a∈A y b∈B. A × B = {(a; b)/ a∈A ∧ b∈B} ¡atención! Sea el par ordenado: (3; 7) 1.º°componente 2.º°componente
A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}
•5
o Diagrama cartesiano
B
A × B
5 4
Veamos: {(leche; pan con huevo), (leche; pan con chorizo), (leche; pan con queso), (café; pan con huevo), (café; pan con chorizo), (café; pan con queso)}.
•3 •4
1•
A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}
3 2 1 1
A
2
o Cuadro de doble entrada B A 3
1
2
(1; 3)
(2; 3)
4
(1; 4)
(2; 4)
5
(1; 5)
(2; 5)
A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)} ¡importante! Se cumplirá que: A × B = B × A siempre y cuando: A=B
ARITMéTICA
Veamos un ejemplo:
18
Alfonso Rojas Puémape
Experiencias 5
ARITMéTICA
Ahora ya tenemos claro que:
1 Si: (m; 8) = (7; n),
• Un par ordenado es una representación (a; b), tal que si: (a; b) = (c; d) ⇒ a = c y b = d
calcula m + n.
Calcula M × N. Encontrarás más ejercicios de Experie n c i a s 5 en tu CUADERNO DE TRABAJO .
• Un producto A × B es el conjunto de todos los pares ordenados (a; b), tal que a∈A y b∈B.
MG
MI RA DA GLOB AL
2 Sean los conjuntos: M = {7; 8; 9} N = {10; 11}
rel ación Bi naria es un subconjunto de un producto cartesiano. R⊂A×B se denota R:A
B además posee
Dominio de R D (R)
Rango de R R (R)
formado por
formado por
primeras componentes de los pares ordenados de la relación. 4 Relación binaria
Según la historieta, en la pizarra se presentan dos tipos de alimentos (bebidas y panes). Pero si no nos gusta la leche ni el pan con chorizo, tendremos una forma particular de elegir los alimentos que nos gustan. Esta forma especial de elegir lo que nos gusta (bebida y pan) la denominaremos relación binaria entre los conjuntos bebidas y panes. Dados los conjuntos A y B, una relación binaria entre A y B, es cualquier correspondencia de A en B, es decir, cualquier subconjunto R del producto cartesiano A × B: R⊂ A × B
¡IMPORTANTE! En una relación el orden de los componentes de sus pares ordenados es el orden de presentación de los conjuntos: (x; y)A ∈ B ⇒ x ∈ A ∧ y ∈B
segundas componentes de los pares ordenados de la relación.
Veamos algunos ejemplos: 1. Si: C = {Perú, Nigeria, España, China} y D = {Europa; América; Asia; África}
Indica la relación R(país; continente), que se obtiene a partir de C y D.
Resolvemos:
• Graficamos:
R C
D Perú • Nigeria • España • China •
• Europa • América • Asia • África
• Entonces la relación R será: R = {(Perú; América), (Nigeria; África), (España; Europa), (China; Asia)} ¡importante! Lo primero será obtener el producto cartesiano y luego determinar los pares ordenados que conforman la relación según la condición: (país; continente).
19 2. Sean los conjuntos:
H
E = {2x + 1/ x∈N ∧ 3 < x < 10}
F = {3x / x∈N ∧ 2 < x < 8},
calcula el número de elementos de R, si:
9
R = {(x; y)∈E × F / x + y = 27}
6
Resolvemos:
• Determinamos los conjuntos por extensión: E = {9; 11; 13; 15; 17; 19} y
F = {9; 12; 15; 18; 21}
1
R
E
11 • 13 •
9•
17 •
15 • 19 •
• Graficamos e identificamos:
•9 • 18 •2
F
• 15
Dominio de una relación
Dominio(R) = { x∈A / (x; y)∈R } Ejemplo:
Sean los conjuntos:
G = {x / x∈N ∧ 0 < x < 7}
H = {3x / x∈N ∧ 0 < x < 5},
determina el dominio de R, si:
R = {(x; y)∈G × H / xy = 12 }
Resolvemos:
• Determinamos los conjuntos por extensión:
G = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
H = {3; 6; 9; 12}
4
5
6
Rango de una relación
Sea una relación R de A en B, el rango de dicha relación es el conjunto de los elementos de B que se relacionan con A. Rango(R) = { y∈B / (x; y)∈R }
Ejemplo:
Dados los conjuntos: J = {2x +1/ x∈N ∧ 3 < x < 9} K = {2x - 1/ x∈N ∧ 5 < x < 11}
y R = {(x; y)∈K × J / x = y}, indica el número de elementos del rango de R.
Resolvemos:
• Determinamos los conjuntos por extensión:
J = {9; 11; 13; 15; 17}
K = {11; 13; 15; 17; 19}
• A simple vista podemos identificar los elementos que son iguales, entonces: R = {(11; 11),(13; 13)(15; 15),(17; 17)} • Luego, el rango de R será: ⇒ Rango (R) = {11; 13; 15; 17} Trabajando ordenadamente se resolverán con facilidad los problemas. Te invito a resolver más en Experie n c i a s 6 de tu CUADERNO DE TRABAJO .
• Graficamos empleando un diagrama cartesiano:
¡RECUERDA! Para determinar un conjunto por extensión, lo primero será averiguar los valores de x y luego reemplazar en la condición: Para F: x → 3; 4; 5; 6; 7 ⇒ F = {3(3); 3(4); 3(5); 3(6); 3(7)}
G
R = {(1; 12),(2; 6),(4; 3) } ⇒ Dominio (R) = {1; 2; 4}
3
• Identificamos los pares ordenados que cumplen con la relación:
R = {(9; 18), (15; 12)} • Luego, R tendrá 2 elementos .
2
• Entonces, la relación R según la condición, será:
Sea una relación R de A en B, el dominio de dicha relación es el conjunto de los elementos de A que se relacionan con B.
• 21
5 Dominio y rango:
3
¡importante! En muchos casos, es más sencillo reconocer los elementos de una relación empleando diagramas como el sagital o el cartesiano.
ARITMéTICA
12
20
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
matemática de ayer y hoy JOHN VON NEUMANN
ENERGÍA SOLAR
John Von Neumann nació en Budapest, Hungría, el 28 de diciembre de 1903; de niño mostraba una memoria sorprendente y era muy rápido con el cálculo mental.
¿Sabías que la energía que desprende el sol bastaría para sostener 31 billones de planetas como la Tierra? La energía proveniente del Sol es gratuita, limpia (no contamina) e inagotable. Decimos inagotable porque el Sol brillará por aproximadamente 6000 millones de años.
Fue uno de los matemáticos más importantes del siglo pasado pues realizó un gran avance en la evolución de las computadoras electrónicas, al ser el primero en usar el sistema binario y desplazar al sistema decimal usado hasta ese entonces. Con ello logró una mayor velocidad en el procesamiento de datos, es decir, las computadoras realizaban más operaciones en el mismo tiempo.
Si aprovechamos y almacenamos de forma adecuada la energía solar, podremos obtener calor y electricidad. El calor se obtiene mediante colectores térmicos y la electricidad a través de los módulos fotovoltaicos, es decir, placas solares. Una vez obtenida la electricidad podemos usarla en nuestro hogar y reducir el monto a pagar en nuestros recibos convencionales.
Gracias al sistema binario, Neumann desarrolló el concepto de almacenamiento de programas y datos en la memoria de la computadora, el cual es empleado hasta el día de hoy.
La energía solar ya se aprovechaba en los primeros satélites espaciales.
MULTIPLICACIÓN GRÁFICA Aquí aprenderás una manera rápida y curiosa de multiplicar, con la cual podrás sorprender a tus amigos.
1 y 3), espaciadas; luego contamos los puntos de intersección, así: 2
Para multiplicar: 23 × 13, procederemos de la siguiente manera: 1.° Colocamos líneas verticales, tantas como nos indiquen las cifras del multiplicando (en este caso 2 y 3), espaciadas así:
3+6=9
9
3.° Luego, el resultado es: 23 × 13 = 299 4.° Otro ejemplo: 24 × 14 2
2.° Colocamos líneas horizontales, tantas como nos indican las cifras del multiplicador (en este caso
+12
Luego: 24 × 14 = 336
+16
Si el número es de 2 cifras, el de las decenas pasa a sumar al anterior; como lo indican las flechas.
21
l a vi da em tiEcTaA m AI Rdiar AID ia ADeIVn AlLa NmEat AC ITAáM
Su confeccionista le vende cada polo en S/. 5, cada camisa en S/.10 y cada blusa en S/.8. Si vende cada polo a S/. 8, cada camisa a S/. 15 y cada blusa a S/. 12 y además logra vender toda su mercadería, ¿cuánto paga por IGV? IGV: Impuesto general a las ventas; equivale al 18% de la venta. Es decir: si el precio de venta al público es S/. 8 este ya incluye el IGV. Por lo tanto S/. 8 es el 118% del precio de venta real. Resolvemos: • Calculamos el total de la venta: 4500 × 8 = S/. 36 000 2500 × 15 = S/. 37 500 2500 × 12 = S/. 30 000
⇒ 36 000 + 37 500 + 30 000 = S/. 103 500 • Calculamos el IGV: 18 × 103 500 = S/. 15 788,14 118
CO NE XI O NE S la carrera espacial Así se llamó al conjunto de esfuerzos y acciones realizadas por algunos países en el intento de ser los primeros en llegar a la Luna. En el año 1969 los Estados Unidos de América, luego de años de investigación y planeamiento con sus científicos, logró que un grupo de astronautas a bordo de un cohete llegaran a la superficie lunar. Tal acontecimiento fue posible gracias a un trabajo en conjunto en el que participaron científicos y matemáticos. Fueron estos últimos, quienes desarrollaron programas de computación para sincronizar y controlar cada etapa de la misión; también participaron físicos, quienes tenían la tarea de encontrar una trayectoria, o camino, por donde viajaría el cohete para llegar a la Luna en el menor tiempo y también aprovechar la ingravidez del espacio.
Todo el esfuerzo de años de investigación hizo posible que el 21 de julio de 1969 la humanidad fuera testigo de uno de los acontecimientos más importantes de la historia del hombre. Neil Armstrong se convirtió en el primer hombre en pisar la Luna. A esta misión se la denominó Apolo 11. La Matemática y la Aeronáutica hicieron en conjunto un gran trabajo para la humanidad.
3
ARITMéTICA
El señor Reyes, dueño de una tienda de ropa para escolares, requiere que le confeccionen por campaña 4500 polos, 2500 camisas y 2500 blusas.
22
Decisiones convenientes Sistemas de numeración
Aquí siempre encuentro lo que necesito.
Eso es lo que busco en una tienda, por eso traje a mis amigos.
Sé que aquí respetan al cliente... ¡aquí elegiré lo que necesito!
esto aprenderemos: • Valor posicional de números hasta la centena de billón. • Comparación y redondeo. • Otros sistemas de numeración. Cambio de base. • Números romanos. • Adición y sustracción en N. Propiedades, complemento aritmético. • Multiplicación y división en N. • Potenciación y radicación de N. • Operaciones combinadas. • Notación científica. Compe te ncia : • Resuelve y formula, con autonomía y seguridad, problemas que requieren del establecimiento de sistemas de numeración y su transformación entre ellos, argumentando los procesos empleados en la resolución de problemas e interpretando los resultados obtenidos.
Tema transversal
En defensa del consumidor
Valor
Respeto
Respetos guardan respetos. Este es un dicho común, más aún cuando se trata de la relación entre proveedores y consumidores. Los proveedores son las tiendas de juguetes; las tiendas de productos tecnológicos como USB, PC, CD, DVD; tiendas de ropa, restaurantes o también cines, zapaterías, oficinas de servicio público como entidades del estado, bancos y otros más. Los consumidores somos todos los que hacemos uso de lo que ofrecen los proveedores. Si el respeto es mutuo entre unos y otros, todos vamos a ganar y todos nos sentiremos más contentos. Imaginemos que al entrar a una tienda para comprar ropa deportiva, saludamos a la persona que nos atiende, quien a su vez se acerca amablemente a darnos la información que necesitamos… eso es respeto mutuo.
¡Qué bueno! Es un ambiente de respeto.
procesos transversales
Capacidades
contenidos
Comunicación matemática
Representa Explica Selecciona
• Números hasta la centena de billón • Valor posicional, comparación y redondeo • Otros sistemas, cambio de base • Números romanos • Adición y sustracción de N
Razonamiento y demostración
Organiza Comprueba Interpreta
• Multiplicación y división en N • Propiedades, operaciones combinadas • Clases de división
Resolución de problemas
Resuelve Selecciona Registra
• Potenciación en N; propiedades • Radicación en N; propiedades • Operaciones combinadas • Notación científica
24
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
1
Números hasta l a ce nte na de bil lón Comunicación matemática
Y de toda esa producción resultaron 124 botones defectuosos, que se desecharon.
Desde su fundación han producido 12 480 540 botones.
Si se busca la mejor forma de fabricar cualquier producto o servicio, los consumidores llamados también clientes o compradores se verán beneficiados. Este beneficio se notará en el precio menor de los productos y en los productos muy bien confeccionados. ¡Hagamos siempre lo que tengamos que hacer de la mejor manera posible!
MG
• En la historia hubo muchas formas de representar y operar los números. • La civilización romana utilizó los números romanos que todavía se emplean en casos especiales. • El sistema decimal es el más empleado; es de base 10 y es un sistema posicional.
MI RA DA GLOB AL
cambio de base
∈ al
5
• Binario • Ternario • Cuaternario • Quinario, etc
Sistema decimal (Base 10)
1
presentan
se hace
6
Números romanos
NÚMEROS HASTA LA CE NTE NA DE BILLÓN tiene
como 4
• Para ordenar, contar y medir empleamos los números naturales (N).
Otros sistemas de numeración
¡IMPORTANTE!
se pueden
Valor posicional VA: valor absoluto VR: valor relativo
Relación de orden
3
se comparan
2
a<b a>b a=b
expresar
¡Atención!
VA: valor de la cifra sin considerar su posición en el tablero posicional.
• De base n a base 10
VR: valor de la cifra considerando su posición en el tablero posicional.
• De base n a base m
• De base 10 a base m
25 1 Sistema decimal
Es el sistema de base 10, que emplea las cifras del 0 al 9 y cuyas unidades, según el orden que ocupan, se agrupan de 10 en 10.
Donde:
...e d c b a
Unidades Decenas Centenas Unidades de millar Decenas de millar
10 unidades 10 decenas 10 centenas 10 millares
= 1 decena = 1 centena = 1 unidad de millar = 1 decena de millar
2 Valor posicional
VALOR ABSOLUTO (VA) y VALOR RELATIVO (VR) Tablero posicional Billones
Millares de millones
Millones
Millares
Unidades
CB
DB
UB
CmM
DmM
UmM
CM
DM
UM
Cm
Dm
Um
C
D
U
4
7
6
3
4
2
8
1
5
3
4
7
9
6
2
VA = 4 VR = 400 000 000 000 000
Clase Orden
VA = 9 VR = 900
VA = 5 VR = 5 000 000
• Si dos números tienen diferente cantidad de cifras, el que tiene más es el mayor. 5428 es mayor que 548
• Si dos números tienen igual cantidad de cifras, comparamos cifra a cifra de izquierda a derecha. 7454 7445 = = ≠ ⇒ Como 5 es mayor que 4, 7454 es el número mayor. 4 Otros sistemas de numeración
Se diferencian según las cifras que se emplean para escribir los números.
Ejemplos: Ordenar de menor a mayor: 34 576; 34 765; 34 675
1.
• Observamos las cifras de izquierda a derecha, comparamos y ordenamos: 34 576; 34 675; 34 765 REDONDEO • Redondeamos 576 a decenas: 570
576
580 ⇒ 580
más próximo
• Redondeamos 3642 a centenas:
3500
3600 ⇒ 3500
3542
más próximo
• Redondeamos 5487 a centenas: 5 4 8 7 ⇒ 5500
SISTEMA
BASE
BINARIO
2
0; 1
TERNARIO
3
0; 1; 2
CUATERNARIO
4
0; 1; 2; 3
¡Atención! Para redondear una cifra según su valor posicional, observamos la cifra inmediata a su derecha: • Si es menor que 5, la cifra a redondear no cambia. • Si es mayor o igual a 5, la cifra a redondear aumenta una unidad. En ambos casos, las demás cifras de la derecha son CEROS.
CIFRAS QUE SE EMPLEAN
¡Importante! Los números, según la base se denotan y leen así: 132(5) → uno tres dos en base 5 3456(7) → tres cuatro cinco seis en base 7
http://www.rinconmaestro.es/matematicas/actividades/actividades473.pdf
comparación Cuando comparamos dos números, estos pueden ser iguales o diferentes. Si son diferentes, ¿cuál es el mayor? ¡FáCIL!
Más información sobre este tema en:
3 Relación de orden
ARITMéTICA
U: D: C: Um: Dm:
26
Alfonso Rojas Puémape
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO: abcde(n) = a × n4 + b × n3 + c × n2 + d × n + e 5 Cambio de base
ARITMéTICA
De base n a base 10
De base n a base m
Algunos ejemplos: (1) Convertir: 342(5) a base 10
(4) Convertir 546(7) a base 9
• Empleamos descomposición polinómica:
• Primero, de base 7 a base 10:
342(5) = 3 × 52 + 4 × 5 + 2 = 92
(2) Convertir 1232(4) a base 10 1232(4) = 1 × 43 + 2 × 42 + 3 × 4 + 2
279 9 27 31 09 27 9 4 0
= 64 + 32 + 12 + 2 = 110
De base 10 a base m
Ejemplo:
(3) Convertir 71 a base 3 • Mediante divisiones sucesivas:
71 6 11 9 2
3 23 21 2
3 7 6 1
⇒ 71 = 2122(3) 3 2
546(7) = 5 × 72 + 4 × 7 + 6 = 279 • Luego de base 10 a base 9:
• Efectuamos la descomposición polinómica:
Ejemplo:
Fin de divisiones sucesivas por que (2 < 3)
(3 < 9)
9 3
⇒ 546(7) = 340(9)
En resumen, para convertir: De base n a base 10
⇒ Descomposición polinómica
De base 10 a base m
⇒ Divisiones sucesivas
De base n a base m
⇒ 1.° Descomposición polinómica
2.° Divisiones sucesivas
6 Números romanos
Sistema numérico que empleaba siete signos para representar números: N.° ROMANO
I
V
X
L
C
D
M
SIST. DECIMAL
1
5
10
50
100
500
1000
Para representar números en el sistema romano, consideramos que: • Los signos I; X; C, y M se pueden repetir hasta 3 veces.
Ejemplos: III, XX, CCC, MM, II, XXX, … • Los signos V; L y D no se pueden restar de signos mayores a ellos.
Ejemplos: VC ≠ 95 ;
LM ≠ 450
• Si a la izquierda de una cifra se coloca otra de menor valor, dicha cifra se resta de la primera.
Ejemplos: IV; IX; XL; CD; CM; XC; …
Algunos números se expresan de forma incorrecta, veamos:
¡Importante! En base 10: 953 = 900 + 50 + 3 = 9 × 100 + 5 × 10 + 3 = 9 × 102 + 5 × 10 + 3 En base 7: 526(7) = 5 × 72 + 2 × 7 + 6
CORRECTA
XLIX
XCIX
CDXC
CMXC
INCORRECTA
IL
IC
XD
XM
• Par números mayores a mil se coloca una barra sobre el signo que se indica, esto multiplicará por 1000 tal signo. Ejemplos: V = 5000 ; X = 10 000 D = 500 000 ; VII = 7000 Completa el equivalente en cada caso:
• 354 = CCCLIV
• XXIX
• 581 =
• CDXCV = 495
DLXXXI
= 29
Experiencias 7 1 Calcula la suma del valor absoluto y relativo de la cifra de las Um del número 43 586.
de
Encontrarás más ejercicios en tu CUADERNO DE TRABAJO .
Experie n c i a s 7
¡Recuerda! • I solo reduce en 1 a V o X • X solo reduce en 10 a L o C • C solo reduce en 100 a D o M ¿IC = 99?
27 10
A+B+C=S S: suma
7
sumas especiales (n > 0 )
adición
propiedades
3
M - S = D (M ≥ S) D : diferencia
8
sustracción
complemento aritmético (CA)
Variación de la diferencia
7 Adición
Algunos ejemplos: (1) Indica el número que falta en cada recuadro: 1
2
4 +
2 12 + 15 + 18 + 25 =
Sumando por columnas:
3 5
• 4 + 5 + 6 = 15
2 6 8 4 5
• 1 + 6 + 5 + 2 = 14
(3) 15 +
• 1+2+3+ 2 =8
(P. clausura, conmutativa, asociativa)
30 + 40 = 70 = 18 + 15 + 12
(P. cancelativa, asociativa)
30
8 Sustracción
Ejemplos: (5) Determina en cuanto varía la diferencia si:
(4) Completa:
7
3
-
Restando por columnas:
6 8
•
2 7 1 3
• (3 - 1) - 1 = 1
•
• (7 - 1) - 4 = 2
− 8 = 3 ⇒ 1 = 10 + 1
1 El minuendo y sustraendo aumentan en 10 unidades. M - S = D ⇒ (M + 10) - (S + 10) = (M - S) + 10 - 10 = D
⇒ La diferencia no varía. 2 El minuendo aumenta en 10 unidades y el sustraendo disminuye en 5 unidades.
− 6 = 7 ⇒ 3 = 10 + 3
M - S = D ⇒ (M + 10) - (S - 5) = (M - S) + 10 + 5 = D + 15
9 Complemento aritmético (CA)
Sumas especiales (n > 0) 10
CA(a) = 10 - a ab significa "número CA (ab) = 100 - ab ⇒ de dos cifras". CA (abc) = 1000 - abc CA(abcd) = 10 000 - abcd CA(378) = 1000 - 378 = 622 Encontrarás ejercicios de
⇒ La diferencia aumenta en 15 unidades.
Experie n c i a s 8
¡Recuerda! Si a∈N, b∈N y c∈N, tenemos: P. clausura: (a + b)∈N P. monotonía: a = b ⇒ a + c = b + c P. cancelativa: a + c = b + c ⇒ a = b
• Suma de los n primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) 2 • Suma de los n primeros números impares: 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n2 • Suma de los n primeros números pares:
2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
en tu CUADERNO DE TRABAJO
.
¡Importante! • Suma de los cuadrados de los n primeros números naturales. 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n(n+1)(2n + 1) 6
ARITMéTICA
OPERACION ES EN N
28
Alfonso Rojas Puémape
ARITMéTICA
2
m u lt i pl i c ac i ó n y di vi s i ó n e n N Razonamiento y demostración Pero en febrero el doble y marzo el triple, según tus comprobantes.
En enero según mis comprobantes gasté S/. 846.
Quienes acudimos a una tienda a comprar lo que necesitemos, tenemos el derecho de ser amablemente atendidos.
• En nuestra historieta se sabe cuánto se gastó en enero.
¡Esto se llama respeto al consumidor!
• Según el gasto de enero calcularemos el gasto en febrero y marzo.
Pero una cosa también podemos hacer los consumidores: respetar a quienes nos atienden para ser igualmente respetados.
• Entonces para calcular cuánto se gastó en estos meses debemos conocer la MULTIPLICACIÓN.
MG
MI RA DA GLOB AL
es
Forma abreviada de la adición.
1
Se efectúan también en
se representa
Multi pl icación 3
Propiedades
¡importante! 7 × 5 × 3 = 105 producto
m =P donde
2
son • • • • •
×
factores
tiene
Operaciones combinadas +; -; ×
factores
M
Clausura • Conmutativa Asociativa • Distributiva Monotonía • Cancelativa Elemento neutro (1) Elemento absorbente (0)
M: multiplicando m: multiplicador o factores p: producto
¡recuerda! Orden de operaciones 1.º Signos de agrupación: ( ), [ ], { } 2.º Multiplicaciones 3.º Adiciones y sustracciones
29 1 Multiplicación
Resolvemos:
Ejemplos: (1) Completa las cifras que faltan en: ×
7 7
2
9
• El valor de la cifra que verifica el producto del multiplicando por 7 es 2.
1
y calcula la suma de todas ellas. 2 Propiedades
• Clausura
a.b=b.a
(3) Efectuar: 7 × 2
⇒ 7 × 2 = 2 × 7 = 14
• Elemento neutro (6) Efectuar: 35 × 1
⇒ 35 × 1 = 35 • Elemento absorbente
(7) Efectuar: 576 × 0
⇒ 576 × 0 = 0
7
2
7
3
8
9
1
0
⇒ (2 × 8) × 7 = 2 × (8 × 7) = 112
a (b + c) = ab + ac
si a = b ⇒ a × c = b × c m (8) Resolver: =4 2 ⇒ m × 2 = 4 × 2 ⇒ m = 8 2
• Cancelativa
si c × a = c × b ⇒ a = b
(5) Efectuar: 24 × 103
( 9 ) Resolver: 2n = 6
⇒ 24(100 + 3) = 2400 + 72 = 2472
⇒ 2n= 2
×
3⇒n=3
3 Operaciones combinadas hasta multiplicación
(11) Efectuar: [13 - (4 × 7 - 3 × 6)] × 2 + 1
Algunos ejemplos:
(10) Efectuar: 3 × 5 - 2 × 4 + 6 Según el orden de operaciones: 3×5 - 2×4 + 6 15
- 7
8 + 6
= [13 - ( 4 × 7 - 3 × 6 )] × 2 + 1
28
-
18
10 = [13 - 10] × 2 + 1 = 3 × 2 + 1 = 7
+ 6 de
= 13
¡importante! Sumamos ambos productos parciales.
2
si a ∈ N ⇒ a × 0 = 0
• Monotonía
(a . b) . c = a . (b . c)
(4) Efectuar: 2 × 8 × 7
2
1
si a ∈ N ⇒ a × 1 = a
7
6
Encontrarás ejercicios en tu CUADERNO DE TRABAJO .
Experie n c i a s 9
¡RECUERDA!
1
1
1
7
2
7
3
8
9
1
0
2 ×+
N = { 0; 1; 2; 3; 4 ... } conjunto de números naturales
2
http://www.interpeques2.com/peques5/problemas/multidivi.htm
• Conmutativa
3
×
a ∈ N, b ∈ N y c ∈ N
(2) Si 5 ∈ N y 8 ∈ N ⇒ 5 × 8 = 40; 40 ∈ N
• Distributiva
6
• Observamos que la primera cifra del multiplicador será 3, verificamos con el producto 246 × 3 = 738.
Si a ∈ N y b ∈ N ⇒ (ab) ∈ N
• Asociativa
4
Más información sobre este tema en:
2
• En el último casillero del multiplicando, ¿cuál es el número que multiplicado por 7, termina en 2? La cifra será 6.
2
8
7
• Completamos los casilleros de los productos parciales (empleando adiciones): 0; 3; 1.
ARITMéTICA
4
• El último casillero de productos se completa con 2.
30
Alfonso Rojas Puémape
MG
MI RA DA GLOB AL
Operación inversa de la multiplicación
ARITMéTICA
4
se efectúan también
es se
di visión 6
representa
D r
existen
Operaciones combinadas +; -; ×; :
se cumple
5
Clases
D= d= q= r=
dividendo divisor cociente residuo
D= d×q+r
según el residuo
Exacta, si r = 0
donde
d q
Inexacta, si r ≠ 0
4 División
• Efectuamos:
(12) Un camión cisterna transporta 6481 galones de combustible. Si distribuye en partes iguales dicho volumen en 15 fábricas, ¿cuántos galones le corresponden a cada fábrica? • Para saber cuánto le corresponde a cada fábrica, dividimos 6481 por 15, así:
6
4
6
0
-
4
8
4
5
-
3
1
3 -
0 1
1° Como 6 no se puede dividir por 15, se toman dos cifras. (Si las dos primeras cifras no se pudieran dividir por el divisor se tomarían tres cifras).
8
15 4 3 2
2° Ahora dividimos 48 por 15.
1
cociente
residuo
• Entonces, a cada fábrica le corresponden 432 galones, sobrando un galón.
3° Luego dividimos 31 por 15. 5 Clases
• División inexacta (r ≠ 0)
• División exacta (r = 0) 5
6 1 6
4
8
0
8 1
24
4
2 9 5
234
3
2
1
0 9
7 2
134
9 6 0
9 6 9 6 0
32
r=0
¡IMPORTANTE! Al resultado de cada diferencia se le coloca al lado la siguiente cifra del dividendo.
1 3 5 1 2 8 0 7
r≠0
¡Atención! En una división el residuo es máximo, si es una unidad menor que el divisor. ¿Por qué?
31 6 Operaciones combinadas hasta división
Recordemos: Primero:
2
2 -
+ 36 : 3 12
+ = 16
⇒ 6
[ 9 - 7]
-
4
2
3 6 × 9 - (2 × 6 + 24 : 4 × 6)
- [ 9 - ( 2 + 5 )]
2
×
⇒ 18 : 9 - [ 3 × 3 - ( 12 : 6 + 5)]
2
18 : 9 - [ 3 × 3 - (12 : 6 + 5) ]
⇒ 12 : 6 × 2 + 2 × 18 : 3
Segundo: Orden de operaciones: - Multiplicación y divisiones - Adiciones y sustracciones - Operamos de izquierda a derecha 2
1 12 : 6 × 2 - 2 × 18 : 3
ARITMéTICA
Efectuamos las operaciones bajo signos de agrupación empezando por el más interno.
2
=0
9 - (2
×
54
6 + 24 : 4 × 6)
×
- ( 12
+
54 - ( 12
+
54
48
-
6
×
6 )
36 )
=6
(13) Resolvamos cada uno de los siguientes problemas: 1 Roberto compró 12 relojes a S/. 36 cada uno y le
2 Un comerciante tenía S/. 350 y compró 7 lámparas
sobraron S/.48, ¿cuánto dinero tenía inicialmente?
a S/. 26 cada una, ¿cuánto dinero aún le queda?
• Gasto = 12 × 36 = S/. 432 • Al inicio = 432 + 48 = S/. 480
• Gasto: 7 × 26 = S/. 182 • Sobra: 350 - 182 = S/. 168
⇒ Tenía inicialmente S/. 480 .
⇒ Aún le quedan S/. 168 .
3
Anita tiene 6 pulseras, Martha el doble de las que tiene Anita y Carmen el triple de las que tienen ambas. ¿Cuántas pulseras tienen las tres?
• • • •
⇒ Tienen 72 pulseras entre las tres.
Ana = 6 pulseras Martha = 2 × 6 = 12 pulseras Carmen = 3 (6 + 12) = 54 pulseras Total = 6 + 12 + 54 = 72 pulseras
de
4 Juan tiene 36 soldaditos, Roberto la tercera par-
te de los que tiene Juan y Pedro la mitad de los que tienen Juan y Roberto. ¿Cuántos soldaditos tienen los tres?
• • • •
⇒ Tienen 72 soldaditos entre los tres.
Juan = 36 soldaditos Roberto = 36 : 3 = 12 soldaditos Pedro = (36 + 12) : 2 = 24 soldaditos Total = 36 + 12 + 24 = 72 soldaditos
Encontrarás ejercicios en tu CUADERNO DE TRABAJO .
Experie n c i a s 10
¡Importante!
¡ATENCIÓN!
Cuando se presentan simultáneamente multiplicaciones y divisiones, se opera de izquierda a derecha:
En algunos casos se pueden efectuar simultáneamente varias operaciones: 5 × 3 - ( 4 × 3 - 8)
48 : 12
×
4 = 4 × 4 = 16
⇒ 15
-
(12 - 8) = 15 - 4 = 11
32
Alfonso Rojas Puémape
3
P o t enciaci ó n y radicaci ó n en N
ARITMéTICA
Resolución de problemas
... el jueves el doble del miércoles y el viernes el doble del jueves. El lunes se presentaron dos reclamos, el martes el doble, el miércoles el doble del martes...
Si los productos que compramos y los servicios que nos brindan son de calidad, nos sentiremos respetados. ¡Un cliente satisfecho es un cliente contento! Recuerda que: si no estás conforme con un producto o servicio, tienes derecho a reclamar. ¡Fomenta la cultura del reclamo!
MG
• De la historieta, notamos que el lunes se hacen dos reclamos en dicha oficina. • Día a día el número de reclamos se duplica. • El cálculo del número de reclamos que se podrán realizar el viernes se efectuará mediante una POTENCIACIóN.
MI RA DA GLOB AL
base términos 2
raíz de una potencia raíz de un producto raíz de una división
propiedades
exponente fraccionario índice
raíz
exponente nulo
1
producto de potencias de bases iguales radicación
propiedades
4
3
potencia de una división
5
Decir "exponente nulo" es equivalente a decir "exponente CERO".
división de potencias de bases iguales potencia de un producto
términos
¡ATENCIÓN!
potencia exponente unitario
potenciación
6
raíz de raíz
radicando
POtE NCIACIóN Y RADICACIóN E N N
exponente
potencia de potencia
¡Desafío! Expresa como potencia el numero 64.
33 Ejemplos:
1 Potenciación en N
Según la historieta, calculemos cuántos reclamos se realizaron el viernes.
Lunes 2
×
martes 2
×
miércoles jueves 2 × 2
×
viernes 2
• Observamos que es una multiplicación indicada donde el factor 2 se repite 5 veces.
¿Se podrá abreviar dicha multiplicación?
¡Claro que sí!... Ahora emplearemos la operación POTENCIACIÓN, así:
2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25 = 32
• Como cada hora se produce el triple de la hora anterior:
1.° hora
3
×
3
3.° hora ×
3
4.° hora ×
3
• Ahora abreviamos dicha multiplicación y efectuamos: 34 = 81
• Entonces, en la cuarta hora de trabajo se producen 81 kg de mermelada.
Factores 2 Términos
2.° hora
ARITMéTICA
• Como cada día se realizaron el doble de reclamos que el día anterior, tenemos:
(1) Una señora produce 3 kg de mermelada en su primera hora de trabajo y por cada hora que pasa produce el triple de lo que produjo la hora anterior, ¿cuántos kg se producen en la cuarta hora de trabajo?
En general:
PROPIEDAD
EJEMPLO
1.
a1 = a
31 = 3; 251 = 25; 36481 = 3648
2.
a0 = 1 ; a ≠ 0
20 = 1; 370 = 1; 12 4560 = 1
3.
am × an = am + n
3 4 × 33 = 34 + 3 = 37
4.
am : an = am - n
7 5 : 7 = 7 5 - 1 = 74
5.
(a × b)m = am × bm
(24 × 8)2 = 242 × 82
6.
(a : b)m = am : bm
(64 : 4)5 = 645 : 45
7.
(am) = am × n
n
5
(34) = 34 × 5 = 320
¡ATENCIÓN!
¡IMPORTANTE!
El exponente nos indica la cantidad de veces que se va a multiplicar la base.
00 no está definido.
http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-005.htm
3 Propiedades de la potenciación
Más información sobre este tema en:
a × a × a × ... × a = an exponente base n factores
34
Alfonso Rojas Puémape 0
(2) Efectuar: 182
Aplicamos la propiedad 5: 182 = (9 × 2)2 = 92 × 22
ARITMéTICA
(3) Reducir: 34 En estos casos efectuamos de arriba hacia abajo:
= 81 × 4
= 324
0
)2
)4
(2 × 10 (4 × 10 (5 × 10)3
=
2
2
4
× 10 × 4 × 10 53 × 103
4
La radicación es la operación inversa de la potenciación: 34 = 81 ⇒
4
81 = 3
5 Términos
Radicando = 81
Raíz = 3
= 24 × 24 × 29 × 24
= 24 + 4 + 9 + 4 =
3
(6)
27 = 3 ; porque 33 = 27
(7) 16 = 4 ; porque 42 = 16 (8)
5
32 = 2 ; porque 25 = 32 ¿Por qué no es posible calcular ? -16
¿Cómo extraemos la raíz cuadrada de un número?
Ejemplo:
Calcular
PROCEDIMIENTO
Sigamos el procedimiento:
1°
1764
2°
3°
1764 16 1
4°
1° Separamos el número (indicando) en grupos de dos cifras a partir de la derecha. 2° Se tantea la raíz cuadrada aproximada del primer grupo de la izquierda. 3° Se eleva al cuadrado el valor aproximado y se resta del primer grupo.
(24)
22 × 28 × 23 × 53 = 22 × 28 × 23 = 213 = 8192 53
=
De la operación radicación: Índice = 4
×
Por ejemplo:
4 Radicación en N
3
22 × (22) × 106 22 × 28 × 103 22 × 28 × (2 × 5)3 = = = 53 × 103 53 53
2
24 × (22)2 × (23)
4
202 × 404 503
Operamos así:
3 4 = 31 = 3
(5) Efectuar aplicando propiedades:
(4) Reducir: 24 × 42 × 83 × 16 Aplicamos la propiedad 7 y la 3
4° Se baja el siguiente grupo al lado de la diferencia.
5° Duplicamos la primera cifra de la raíz y tanteamos según los recuadros.
Luego de obtener el valor del recuadro (segunda cifra de la raíz) el producto se resta del grupo evaluado y se repite la operación hasta que el residuo sea cero o menor que la raíz. ¡ATENCIÓN! Las propiedades se pueden usar en ambos sentidos. Es decir: (3 × 2)3 = 33 × 23, pero también: 33 × 23 = (3 × 2)3
⇒
1764
4
4 ×2 1764 5° 16 8 2 × 2 164 164 0 1764 = 42
¡IMPORTANTE! Cuando el índice de la raíz es dos no es necesario escribirla: 2
9=
9
221
35 6 Propiedades
PROPIEDAD m
n
am = ( a )
2.
n
a×b=
n
a
3.
n
a:b =
n
a:
n
m n
a =
m
m ×n
×
93 = n
b
n
b
3
4
3
3
8
×
4
256 : 81 = 64 =
= 33 = 27
2 ×3
3
27 = 2 × 3 = 6 4
256 :
64 =
3
n
a n = am
5.
8 × 27 =
3
a
9
36 2 = 363 =
6
81 = 4 : 3 = 4 / 3
64 = 2 3
36
= 63 = 216
Veamos más ejemplos: 4
49 = ( 4 )9 = 29 = 512
4
1296 =
4
4
81 = 2 × 3 = 6
16
×
4
16 × 81
E x p e r i e n c i a s 11 1 Efectúa:
3
216
de
Encontrarás más ejercicios en tu CUADERNO DE TRABAJO .
Experie n c i a s 11
7 Operaciones combinadas y problemas
(12) Juan lee cada día el doble de páginas que el día anterior. Si el primer día leyó 2 páginas, ¿cuántas leyó el 6.° día?
(11) 35 × 9: 27 + 32 × 3 - 21
35 × 32 : 33 +
33 - 2
37 : 33 + 25 4
3 + 5 = 81 + 5 = 86
1.° día: 2
2.° día: 2 × 2
3.° día: 2 × 2 × 2
⇒ 6.° día = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26 = 64 páginas
E x p e r i e n c i a s 12 1 Efectúa:
6
3
2
2
×3
3
de
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Experie n c i a s 12
¡Atención! El número de días coincide con el exponente de la base 2.
¡DESAFÍO! Calcula: 345 0
4
5
0
7
1
http://www.genmagic.net/mates2/nc1c.swf
(10) 1296 Aplicamos la propiedad 3:
Más información sobre este tema en:
(9) Efectuar: 49 Aplicamos la propiedad 1:
ARITMéTICA
1.
4.
EJEMPLO