Alfonso Rojas PuĂŠmape
© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní, Iván Tejada, María Isabel Flores Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso en papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.
Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resolución y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colección para la Educación Secundaria presenta una propuesta de razonamiento lógico - matemático por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, matemática recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico. En esta edición se ha diseñado en la parte final de cada unidad una sección denominada AUTOEVALUACIÓN, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya temática cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivel IV es acumulativo total, cuya temática es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posición. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO de ETM ofrece diversos personajes y muñecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchín, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muñecos hemos dado vida a elementos tecnológicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, así como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regla, un block, un clip; además, los acompaña una ilustración del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservación. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tamaño pequeño e indican que alguna idea del contenido se aclarará en un cuadradito de margen. Esa aclaración se ve precedida por un sintetizador en tamaño más grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la práctica del razonamiento lógico-matemático ya que lo consideramos un excelente material que permite un intenso entrenamiento para exámenes de admisión a cualquier centro superior de estudios.
Alfonso Rojas Puémape
UNID AD
E ST RU C TU RA DE U N I DA D
4
APLICAMOS ECUACIONES
INICIO DE UNIDAD S/. 9,00 / kg
S/. 15,00 / kg El kilo de la mezcla costará: 15 + 9 = S/. 12 2
• Nombre de unidad
se No lo creo. Eso sería si mezclasen igual cantidad de ambos.
• Problema motivador • Contenido (temas) 149
CONTENIDO S ► PROMEDIOS Y MEZCLA S. EL TIEMPO ► ADELANTOS Y ATRASO OPERADORES ► ECUACIONES CON
Pie
TO RAZONAMIEN ANALÍTICO
nso m
ientras
O J U E G co Dominó mági sabiendo que los
faltan, de dominó que Coloca las fichas la vertical. la horizontal ni en
fichas no pueden
números de las
repetirse en
Conjunto de situaciones lúdicas que permiten el desarrollo del pensamiento matemático.
Estrategia TEMAS
Conjunto de técnicas que nos guían en la resolución de problemas diversos.
Nombre deL tema
NúMERO DEL TEMA
25 24
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
4
DISTRIBUCIÓN NUMÉRICA
TEMA
3
7
Direccionadores
17
1
4
6
x
Estrategia
y
4
64; 32; 16; x ⇒ x = 8
16
8
z
2
32; 16; y; 4
1
42
5
3
2
4
1
27
6
7
3
2
los números • Relacionamos en cada figura buscade los costados, en parejas, luego como remos una operación que nos de sultado el número central:
4
a
Halla el número que falta. 7
11
5
8
3
6
5
2 2 3.° figura: 11 − 7 = 72
Podemos seguir la misma idea pero aplicando otras operaciones como la potenciación o la radicación.
72 . • Luego, el número que falta es
3.° figura: (7 + 2)(4 + 5) = 81 ⇒ a = 81
9
4 x
¡IMPORTANTE!
2 17
m 5
20 14
26 19
7 3
En muchos de estos casos, debemos relacionar un número que no aparece en la distribución con los que sí aparecen, para poder hallar el número central.
8
13
3
25
y
5
+5 +7 +9 +11 +13
Sigamos la idea del problema 4, pero creo que aquí encontraremos dos posibles resultados según el sentido en el que tomemos la sucesión.
m= 9
Estrategia
Sentido horario:
−7 −5 −3
33;
17;
9;
5;
3;
¡RECUERDA!
⇒ x=1
36; 25; 16; 9; 4; x −11 −9
1.° figura: 7 × 3 = 8 + 13 = 21 2.° figura: 2 × 17 = 20 + 14 = 34 3.° figura: m . 5 = 26 + 19
⇒ x = 49
4; 9; 16; 25; 36; x
9 17
33
36
• En cada figura se cumple que:
Calcula el valor de m.
3
16
figuras, • Formamos sucesiones en ambas antiprimero en sentido horario y luego horario:
y.
Determina el mayor valor de x +
6
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, de acuerdo a una relación, la cual permite determinar los números siguientes.
⇒ y = 65
y
× 2−1 × 2−1 × 2−1 × 2−1 × 2−1
3;
5;
9;
17;
33;
y ⇒ y=2
+1:2 +1:2 +1:2 +1:2 +1:2
(x + y) máx = 49 + 65 = 114
núTambién se pueden relacionar los meros en parejas y comparar ambos resultados en cada figura.
27
Conjunto de ejercicios y problemas resueltos diseñados para mostrar formas de resolución de una gran diversidad de situaciones que exigen razonamiento.
OS STOS UEST OPUE PROP MÁ MÁSS PR
PUÉMAP E ALFONS O ROJAS
TOSS ELTO SUEL RESU MÁ MÁSS RE 1
Calcula el valor 3
19
ANTE! ¡IMPORT En algunos problemas es posible dividir por un valor constante.
7
28
9
x
6
6
14
23
Resolvemos: os la siguiente rela• Analizando, deducim ción en cada figura: − 5 = 19 1.° figura: 3 × 8 − 14 = 28 2.° figura: 7 × 6 ⇒ x = 31 − 23 = x 3.° figura: 9 × 6 2
Halla el valor de 5
1
3
4
15 9
10 8 7
5
y
2
3
3
Determin tima figura: 2
10
8
7
12
2 = 2×2×2= 8 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27 3 4 = 4 × 4 × 4 = 64 3 5 = 5 × 5 × 5 = 125 3 6 = 6 × 6 × 6 = 216
5
úl-
17
11
19
5
23
7
3
7
40
Resolvemos: cumen cada figura se • Observamos que : ple la siguiente relación 8 + 12 + 5 + 17 = 21 2 + 5 + 7 + 10 = 12 2 2 11 + 23 + 7 + 19 = 30 ⇒ 2 el valor de x: 4 Halla x 37 19 6 4 4 3 3 2
12
9
6
24
3
3
19
36
46
Sentido antihorario:
Ideas que resumen, subrayan o recuerdan conceptos que nos ayudan a resolver un problema.
12
16
24
13
11
24
9
120
3
155
186
581
124
228
373
93
138
x
Determina 4 3 2 1 el valor 7 5 3 2 de x.y.
7 2 1 4 5 23 11 3
8
9
21
22
⇒ x.y = 36
5
6
10
12
4
8
12
10
4
2
8
Calcula el valor
5
6
6
2
12
8
7
9
19
7
x
Halla el valor de 11 3 8
7
1
5 4
8
5
5
3
5 13 1
4 1
x
23 9
y 11
Halla el valor que
falta, en: 4
PISTA 7
75 25 10 99 34
Rpta.: 11
x, en: 9 8 21 15 4 7 12 x
PISTA
número.
de x + y?
23 2
95 75
9
5
19 12
11 5
Rpta.: 49 11
3
x y 17 21 27
9
3
16 10
Rpta.: 15
6
Relaciona en cada columna los tres primeros números, mediante operaciones de multiplicación y división, para obtener el 4.°
Rpta.: 39
3 3
de x, en:
4
14 8
¿Cuál es el valor
10
2
4
46
x + y, en: 9
12 9 14 18 6 10 15 12
13 2
3
PISTA 4
x 5
5
25
Halla el valor de
9
9
que falta?
7
14 18
17 5 x 3 11 y 7 2
.y 17 × 2; 5 × 7; x 3.° figura: 3 × 11; 36 35 34 33
9
7
7
de x, en:
Rpta.: 35
Rpta.: 39
× 23 7 × 3; 2 × 11; 1 2.° figura: 4 × 5; 23
20
4
27 4 2
x
11 1
2
12
3
que falta, en:
¿Cuál es el valor
4
Resolvemos: dos núel producto de • En cada figura, aumenpor el vértice, va meros opuestos tando en una unidad. ×5 4 × 2; 3 × 3; 2 1.° figura: 1 × 7; 7
7 5
Determina el valor
8
Rpta.: 96 Halla el número
3
4
8 6
17
13
45
Conjunto de ejercicios o problemas para desarrollar en clase.
Rpta.: 25
x
78
2
3 5
5
x, en: 98 16
7
de x, en:
4
4 2
Rpta.: 32 Halla el valor de
2
20
Calcula el valor
x
16
8
4
que falta?
Resolvemos: : • En cada columna + 124) : 3 = 93 1.° columna: (155 + 228) : 3 = 138 2.° columna: (186 + 581) : 3 = 318 3.° columna: (373 x = 318
7
21
12 ¡RECUERDA!
⇒ y = 12
completa la a el número que
12
Halla el valor de x, en:
6
Resolvemos:
=5+3 1.° figura: 1 × 8 =7+5 2.° figura: 4 × 3 2=8+y 3.° figura: 10 ×
42
10
Resolvemos: tenemos: • En cada figura = 42 (15 − 9) (10 − 3) = 40 (12 − 7) (20 − 12) = 36 (19 − 16) (36 − 24)
y:
8
¿Cuál es el número
5
12
7
de x, en:
9
dos núia de cubos de • Con la diferenc os el tercero, así: meros, obtenem 3 23 = 19 1.° figura: 3 − 3 3 3 = 37 2.° figura: 4 − 3 ⇒ x = 152 3 4 =x 3.° figura: 6 −
de x, en:
5
8
Calcula el valor
1
Resolvemos:
están los números que se • En cada figura, se multiplican y dentro de los círculos números que esde los iguala a la suma cuadrados: tán dentro de los
3
!
M á S pr o pu es to s
M á S RE SUE LTO S 26
¡recuerda
1.° figura: (1 + 5)(3 + 4) = 42 2.° figura: (2 + 1)(6 + 3) = 27
pareRelacionamos los números en jas y ambos resultados los volvemos a relacionar para encontrar el número central.
2 2 1.° figura: 6 − 3 = 27 2 2 2.° figura: 8 − 5 = 39
39
27
A!
¡RECUERD
:2 :2 :2
Estrategia siguiente rela• En este caso, encontramos la ción para cada figura:
⇒ z=4
⇒ x . y. z = 8 . 8 . 4 = 256
¿Cuál es el valor de a?
5
⇒ x= 7
⇒ y=8
16; 8; z; 2
En este tipo de problemas podemos formar sucesiones en filas o columnas, según convenga.
Debemos encontrar alguna relación están común entre los números que el dentro de cada figura, para descubrir número que falta en una de las figuras.
2
:2 :2
:2 :2
:2
1.° figura: (7 + 13 + 5) : 5 = 5 2.° figura: (11 + 1 + 8) : 5 = 4 3.° figura: (17 + 12 + 6) : 5 = 7
12
8
5
Las cuatro operaciones fundamentales son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división. También se pueden aplicar la potenciación y la radicación.
Imágenes que relacionan el contenido en un tema con un sintetizador.
11
13
5
16
Estrategia
los números • Encontramos una relación para Así: que están dentro de cada figura.
Determina el valor de x, en:
1
Sintetizador
• Trabajamos por filas:
32
:2
conjunto de números enteros Una distribución numérica es un fundamentales o que se relacionan mediante las operaciones Resolver una distribución mediante otras operaciones simples. dicha relación para aplicarla numérica consiste en descubrir a otro conjunto de números.
¡ATENCIÓN!
en cada fila • En este caso observamos que, dividiendo o columna, los números se van por 2.
fiHalla el valor de (x . y. z) en la siguiente gura. x 16 32 64
15
12
Calcula el valor 6
9
5
8
6
10
44 50
Rpta.: 16
Rpta.: 13
de x, en:
x
Rpta.: 46
La suma de cuadrados de dos números, es igual a la multiplicación de otros dos.
Una guía o ayuda que permite desarrollar el problema.
ontrol
c
Claves de respuestas
29
se ha Decir la verdad cuando refuerza cometido un error, d. el valor de la honestida
PUÉMAP E ALFONS O ROJAS
28
3
L
CONTRO
Determina el valor
7
Calcula el valor
1
4
3
5
6
1
20
17
x, en: 2
17 3 1
13
12 10
18
Determina el valor 26
9
4
3
17
3
4
7 PISTA 9
51
6
9
5
COMPRUEBA
de x, en:
3
1
11
15
2
4
x
5
10
de x, en:
7
4 4
2 9
7 4
8
Halla el valor de
4
de x, en:
x
3
La suma de dos números de una misma columna es igual al producto de los otros dos.
x
x
3
¡Resuelve aquí!
PISTA 2
Encuentra el valor
8
43 28
45
19
17 47
5
24
4
3
7
6
4
x
4
3
Halla el valor de
x, en:
2
3
4
5
1
4
6
de x, en:
13
17
27
41
89
19
5
6
4
17 x
6
20
10
4
40
16
5
60
y
6
12
de x, en:
Calcula el valor
de y, en: Determina el valor
41
57
53
18
27
32
3
4
16
29
17
2 5
6
6
25
28
x
4
5
x
12) 36
Determina el valor
3
31
11
6
6 x
8
10) 9 11) 69
PISTA 6
36
5
3
8
9
Determina el cociente de los números extremos de una misma fila.
75
9
7
39
x
52
de x, en:
7) 44 8) 33 9) 6
38
Calcula el valor
5
de x, en:
35 24
y
5) 20 6) 20
Determina el valor
2
de y, en:
8) 42
3) 10
9) 3
4) 40
10) 2
5) 40
11) 7
6) 0
12) 6
3) 18 4) 28
Suma los números exteriores al cuadrado.
Calcula el valor
11
de x, en:
7) 6
2) 12
1) 10 2) 69
Conjunto de 12 ejercicios o problemas elaborados para evaluar parcialmente en aula los niveles de razonamiento del tema tratado.
1) 9
COMPRUEBA
180
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
181
CÁLCULO RÁPIDO MULTIPLICANDO POR
1. Don Carlos ha iniciado el trabajo en su fábrica de mesas y el primer pedido es de 73 mesas. Si para cada mesa debe fabricar 4 patas, ¿cuántas serán necesarias?
c á l c u l o r á p id o
Resolvemos: • La cantidad de patas necesarias
MULTIPLICANDO POR
8. Si compro 13 chocolates a S/.0,80 cada uno, ¿cuánto pagaré?
será:
73 × 4 • Multiplicar por 4 es igual que multiplicar 2 veces por 2.
¡IMPORTANTE!
Multiplicar por 8 es igual que multiplicar 3 veces por 2. 13 × 8 13 × 2 × 2 × 2 (10 + 3) × 2
146 (100 + 40 + 6) × 2
26 (20 + 6) × 2
292 Respondemos: Serán necesarias 292 patas.
• 7 × 0,04 = 7 × 4:100
8
Resolvemos: • Pagaré: 13 × 8 : 10 •
73 × 2 × 2 (70 + 3) × 2 × 2
Otra forma de multiplicar por 4 con decimales: • 4 × 0,3 = 4 × 3:10 = 1,2
52 (50 + 2) × 2 104
= 0,28
Procedimientos o artificios de cálculo basados en propiedades matemáticas elementales que nos permiten desarrollar cálculos mentalmente.
¡RECUERDA!
⇒ 104 : 10 = 10,4
Los arácnidos tienen 8 patas.
Respondemos: Pagaré S/. 10,40.
• 0,4 × 9 = 4 × 9:10 = 3,6
Los 67 alumnos de la promoción deciden colaborar, cada uno, con S/. 4 para comprar un nuevo equipo de sonido cuyo precio es de S/. 275. ¿Les sobra o les falta dinero? ¿Cuánto?
2
37 × 4 29 × 4 107 × 4 325 × 4 39 × 0,4
Juan, al recoger las 233 copias, paga con un billete de S/. 10. Si cada copia cuesta S/. 0,04, ¿cuánto recibirá de vuelto?
5
Valentina compró 4 polos a S/. 29,90 cada uno. Si pagó con S/. 100 y el resto lo cargo a su cuenta, ¿cuál es el monto que cargó a su cuenta?
6
La empresa Taxi Eficiente tiene una flota de 56 taxis. Si el gerente decide cambiar las llantas de todas las unidades, para lo cual compra 250 llantas, ¿le será suficiente?
3
Un distribuidor de medicamen tos vende a un centro médico 2758 pastillas de ibuprofeno a S/. 0,40 cada una. ¿Cuál es el monto a cancelar?
4 Efectúa mentalmente:
Una ONG brinda apoyo económico a estudiantes de bajos recursos. Si a cada uno de 4 estudiantes de secundaria le da S/. 726 y a cada uno de 4 estudiantes de primaria le da S/. 250, ¿cuánto dinero dio la ONG?
7
171
9
¿Cuántas patas tienen en total 272 arañas?
10 Para los preparativos de una fiesta de fin de año
se solicita una cuota de cada participante. Si participan S/. 72 a 80 personas, ¿a cuánto asciende la suma?
11 El precio de cada copia dúplex al por ma-
yor es de S/. 0,08. ¿Cuánto pagaré por 574 copias a este precio?
13 Ivana invitó 275 personas a su quinceañero
. Si en el local colocaron 24 mesas con 8 sillas cada una, ¿alcanzarán las sillas?
12 Alonso vende a S/. 80 cada par de zapatos.
Si el lunes vendió 24 pares y el martes 32, ¿cuánto recaudó en esos 2 días?
14 Las entradas al circo cuestan S/. 25 para niños y S/. 35 para adultos. Si a cierta función asisten 80 adultos y 80 niños, ¿cuál es el monto que se recauda?
Efectúa mentalmente: 18 × 8 32 × 8 105 × 8 26 × 0,8 15 × 0,008
PUÉMAP E ALFONS O ROJAS
REC REA TI VA
MA TEM ÁTI CA
TRIÁNGULOS 3. PALITOS Y ro, forun triángulo equiláte harías La figura muestra de fósforo. ¿Cómo mado por seis palitos d de paliesta misma cantida para obtener con los equiláteros? triángu tos, cuatro
R SERÁ? 1. ¿DE QUÉ SABO cuales tes negros, los Se tienen 4 recipien de un sabor uno, caramelos contienen, cada determinado. dos, tes están mal etiqueta se Si todos los recipien ellos de dos abriendo solo ¿es posible que en cada de los caramelos pueda saber el sabor a tu respuesta) recipiente? (Justific
¿Muchos ...?
mate má tica recreati va
AS CON LAS FIGUR 4. ¡JUGANDO GEOMÉTRICAS! 10 cm de do de cartón, de Construye un cuadra indica la figura, tres partes, como lado y córtalo en centro. el donde O es vez, construye: cada piezas tres Ahora, con las − Un rectángulo − Un triángulo − Un romboide − Un trapecio ¡Te vas a divertir!
CTADAS 2. POLEAS CONE as debe jalar la cuerdas indicad ¿Cuál de las dos el balde? persona, para elevar O
Ejercicios de Matemática lúdica concebidos para desarrollar pensamiento creativo.
¡Resuelve aquí!
a u to e v a l u a ci ó n ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
145
L 2
x
L
5π m 3
b)
9π m 5
d)
8π m 3
e)
7π m 2
c)
4π m 3
a) 100° d) 140° a
a)
10
1
d 11
d 12
b 13
c 14
c 15
2
e 16
4
3 c 17
//
a) 95°
L2
100°
c) −1
a
b) 110°
x
c) 100°
x
b x
d) 120°
c) 130°
b) 120° e) 150°
Si a
2
b , ¿cuál es el valor de x? 30 °
m m
e)
120°
2m
d) 2L( 5 − 1)
2
e
5
6
c) 24m
9
7
2
17
e
2
e) 44m
y
L1
729 b
b) 1 2 e) 1
1 2
d) 2
8
b) 22m
2
a
a) −
x + y.
b
c
2
8
d) 30m
b a el Sabiendo que: 25 = 81 , calcula valor de: 25a
e) 10
d) 12
// b , calcula
7
C
A
a) 20m
c) 40°
d
d 9
a 10
e 11
c 12
b) 30° e) 60°
16
a
L
c) 0
c) 9
b) 11
Si L 1 // L 2 y a
c) S/. 1040
d) S/. 1060 e) S/. 1100
en:
20°
e) 130° b
2n
Se tienen los ángulos consecutivos = 60°; AOB, BOC y COD. Si m∠AOC m∠BOD = 80° y m∠COD = 2m∠AOB, calcula la m∠BOC.
Determina el número que falta, 4 7 6 9 6 15 10 8 16 18 8 x a) 13
11
De lunes a viernes, un restaurante lo atiende a 90 clientes diarios, para de cual invierte S/. 800. Si los fines 30%, semana la clientela aumenta en ¿cuánto dinero invierte el restaurante durante estos días? a) S/. 1050 b) S/. 1200
e)
d) 10
6
n
e) 50° a) 10° b) 20° c) 30° d) 40°
c)
b)
a)
e) 9m a) 2m b) 3m c) 4m d) 6m e) d) c) b) a) las bisectrices OM, OK 14 Se trazan y ON de los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, respectivamente. Si m∠AOK − m∠NOD = 40° y de las medidas de dos cociente la m∠AOB. 4 Elcalcula m∠BOK = m∠CON, ángulos es 2. Si el complemento 50° e) 45° 40°lad) suma de dichos ángulos es el a) 20° b) 25° c) de ellos, doble de la diferencia entre la diferencia el ángulo mayor? mide entre figura, calcula ¿cuánto 15 En la y el perímetro de la región sombreada e) 40° a) 20° b) 30° c) 38° d) 36° no sombreada. el perímetro de la región a) 2L( 5 + 1)5 Calcula sombreada. b) L( 5 + 1)
15
d
B
m∠BOC
L2
5
del En el siguiente gráfico, el área 2 el triángulo ABC es 50m . Calcula área de la región sombreada.
θ
Indica la figura que no guarda relación con las demás.
d
10
θ
e) 80° a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° 9
c) 50 %
AOB, Sean los ángulos consecutivos BOC y COD, se cumple que: m∠AOC + m∠BOD = 80° y la m∠AOD − m∠BOC = 20°. Calcula
14
x
4
2
6+π m2 2
3π 2 e) 4 m e) 30° a) 18° b) 20° c) 22° d) 24° puntos Sobre una recta se ubican los N sonque continúa en la es Mla yfigura C y D. consecutivos 3A, B,¿Cuál y CD, respectivasecuencia? puntos medios de AB = 36m, mente. Si AD = 3BC y AC + BD halla la medida del segmento BC.
L1
80° 20°
L2
b) 60 % e) 80 %
a) 40 % d) 75 %
L 2, determina la medida del
ángulo x. x
180°−θ
x
c
D
//
4m
3
L2
e) 50° a) 10° b) 20° c) 30° d) 40°
b) (π − 2)m d)
13
x
10°
Si L 1
8
C
2π 2 c) 3 mθ
2 d) 2π m 2
L1
20°
L1
2
a
c) 20m
e) 10m
En una fiesta, el 40% de los hombres Luego equivale al 50% de las mujeres. de 2 horas, el número de mujeres aumenta en su 50% y el de hombres disminuye en su 20%. Finalmente, que ¿cuál es el porcentaje del total representan las mujeres?
4m
2
c) 6m 2 d) 8m
8x
60°x O
e) 60° a) 30° b) 37° c) 40° d) 45° 13
2
a) 4m 2 b) 5m
x. Si L 1 // L 2 , calcula el valor de
5π 2 b) 4 m
mencionado.
somCalcula el área de la región breada.
7 7 2 c) m 5
2
2
2π m 2 5
e) 8
d) 6
c) 5
b
2
e) 24m
L 2 , calcula el valor de x.
θ 2θ 2α α
R 24cm π+3 m2 2
e 13
a) 20° d) 50°
C
m
b) 17m
2
Si L 1 //
9
a)
e
5S
m 2
d) 21m
C
π
e)
3n
a) 15m
2
2m 60° A
n
A
a) 3
2m
b) 2(1+ 3 +π)m
y la Si la diferencia de la semisuma y el semidiferencia del suplemento complemento de un mismo ángulo resulta la medida de dicho ángulo, determina la medida del ángulo
12
AD + BE + 2
b) 4
1
B
1m
2 c) 3 − 2 m
P
2
60m 2, Si el área del triángulo ABC mide calcula la medida del área sombreada.
8
los Sobre una recta se ubican Dy puntos consecutivos A, B, C, el E. Si AC + BD + CE = 14, calcula
6
B
b
c 14
c 15
B
T
2 2 la meSi (BC) = (AB) + (CD) , halla dida del segmento BC. e) 5u a) 1u b) 2u c) 3u d) 4u 2
c
2
O
1m
D
A
Q, R y En el cuadrado, los puntos P, lados. S son puntos medios de sus A Determina el área de la superficie 2 a) (π − 1) m sombreada. Q a) 300 cm 2 b) 336 cm 2 c) 240 cm 2 d) 288 cm 2 e) 312 cm
M F
e
c
1
e) 142π
18
A
10
c) 127π d) 137π
e) 48 cm
2m
B 24cm
c) 24π cm d) 24(π + 2) cm
l MT, en cm.
a) 113π b) 117π
B
A
4m 2
2 2m + 1)m 2 c) 3(2 + π − 3 )m d) 4(π − 3 11 m 2 2 9 2 π b) e) 8(2 + 3 − 3 )ma) 5 m 5 12 m 2 8 m 2sombreada. e) el área de lad)región 5 12 Indica 5
D
C
D
c
Calcula:
b 11
e
b
2
d
3
a
4
5
e) 27° a) 23° b) 22° c )24° d) 26°
D
T y F, En la figura, O es centro; M, puntos de tangencia. m∠AOB = 74° y TB = 240 cm
A
a) 8(π − 3 )m
x−2
x
4
el área
valor de:
los Sobre un segmento se ubican y D. puntos consecutivos A, B, C
7
Del gráfico mostrado, calcula de la región sombreada.
1
Acumulativo total
Nivel IV
C
B
4m
c
E
d
m∠QOB.
C
A
L
región
Del gráfico, halla del área de la sombreada.
la Si m∠AOB + m∠COD = 20°, halla medida del ángulo MON. e) 20° a) 8° b) 10° c) 12° d) 16°
16
T
c) 3l 4l d) 5 3l e) 2
2θ
x
11
mente.
b
b) 2l
12
F
B
9
c 12
a 13
a 14
d 15
b 16
d 17
d 18
D
a) l
L1 C
e) 108° a) 72° b) 36° c) 54° d) 90° mide (aprox.) el área de la 3 ¿Cuánto región sombreada? O Sobre la recta AD se ubica el punto de y se traza las semirectas OB y OC, tal forma que: Si m∠AOC = 3m∠BOC − m∠COD.2m media m∠COD = 45°, determina la del ∠BOC. 2m e) 48° 2 2 a) 45° b) 60° c) 72° d) 75° 2 c) 1,79 m a) 1,60 m b) 1,65 m 2el e) 1,58 m2 cuadrado ABCD, determina el En m d) 1,85 17 perímetro de superficie sombreada. ABCD, calcula el área En el cuadrado C B 4 a) 24(π − 2) cm de la región sombreada. b) 18(π + 2) cm
e) π
b
M
c 6
A
c 7
c 8
e) 24
π 2
si Calcula el perímetro del ΔEBF, de D es centro del AC, T punto tiene tangencia y el cuadrado ABCD por perímetro 4l.
11
e) 18° a) 24° b) 26° c)16° d) 14° e) 60° a) 36° b) 42° c) 48° d) 54° y U, son puntos colineales y 6 P, E, R P, Q y R talessique: cuadrado ABCD, 16 En el consecutivos, 2 determina el son puntos 50 cm y además : PE.RU =medios, de la región sombreada. perímetro PE.EU + PR.RU = ER.PU Q C B en cm. 2) cm ER, a) 8(π +Calcula c) 10 d) 20 e) 5 b) 8(π −a)2)9 cm b) 8 R 8cm c) 4(π − 2) cm P AOB Sean los ángulos consecutivos cm d)76(π +y 2) BOC, tales que: D ON e) 8π cm m∠AOB A= m∠BOC + 92°; OM, ∠BOC y OQ bisectrices de ∠AOB, y ∠MON, respectivamente. Calcula
c) 3π d)
8
C
B
c) 26 d) 28
a) 2π b) 4π
a
Si el área de la región cuadrada 2 ABCD es 72 cm y M punto medio, calcula el área de la región sombrea2 da en cm . a) 25 b) 20
c) 120°
d 9
b 10
b) 124° e) 90°
En la figura: y AC = BC, FG // AC, EF ⊥ BC m∠B = 80°, calcula m∠EFG.
2
Calcula el área (en cm ) de la corona circular determinada por la circuna un ferencia inscrita y circunscrita cuadrado de 2 cm de lado.
10
7
11
L2
L2
e) 36° a) 33° b) 38° c) 32° d) 35°
c
a) 112° d) 110°
e 11
a 12
c 13
e 14
d 15
7
L1
3x
4
3
B
L1
2x + 30°
1
F
O
5x
C que expresa la medida de 5 54°El número exun ángulo es el cuadrado del que su complemento. B presa la medida de del Calcula el suplemento del Ldoble 2 L mayor de dichos ángulos. L
C
A
En la figura, L 1 // de x.
9
θ A
2 recta se determina los puntos 14 En una de tal consecutivos A, B, C, D y E, = 92. Si c) 120° manera que AC + BD + CE b) 110° a) 100° la medi- e) 150° AE = 62cm y DE = 3AB, halla d) 140° da de AB. el complemento del suplemento c) 4cm b) 6cm 2 Si a) 8cm un ángulo de medida la del doble de e) 12cm d) 10cm es al suplemento del complemento ángulo como 1 es a 8, halla de dicho supleque dos ángulos de la mitad de dicho 15 Sabiendo el suplemento calmentarios se diferencian en 36°, ángulo. del cula la suma del complemento de b) 153° c) 144° 137° menor y el suplemento dela)mayor e) 150° d) 135° los ángulos.
L 2 . Calcula el valor
6
52°
D
D
A ándoble del complemento de un 2 El una recta se ubica los puntosentre el 13 Sobre gulo es igualCa ylaD,diferencia tal maA, B, de la de del ángumitad consecutivos complemento y 48°. = 17cm BDángulo = 19cm,del sobre nera que el exceso lo yAC del medida la de tal ángulo. AD = 5(BC). la medida CalculaCalcula segmento AD, en centímetros.d) 82° e) 66° a) 72° b)76° c) 84° e) 9 7 d) c) 6 b) 4 a) 2 una recta se ubican los pun3 Sobre ángulos consecutivos A, B, y C, tales consecutivos tos los 14 Se tienen modo de Si y −COD, punto meM es que BOCAB AOB, que BC = 36. 90°. m∠AOD AC, calcula MB. dio=de halla m∠BOD = 150°, Si m∠AOC + b) d) 27 e) 24 18 c) 9 a) 36 la m∠BOC. 60° ángulos dos 96°de e) uno ded) c) 120° la medida a)430° Sib)a75° para suplementarios se le resta 32° de medida L 3 // laL 4 , AB L 2 ,otro, agregárselos si L 1 // al figura; 15 En la los 2 / 3 de lo que este último aresulta L 1 y BCLaperpenes perpendicular diferencia de queda del primero. de x.originales es: ángulos losvalor de el a L 3 , halla dicularmedidas c) 132° b) 120° a) 90° x e) 140° A d) 100° L
COD, Sean los ángulos AOB, BOC y ON de se traza las bisectrices OM y los ángulos AOC y BOD, respectiva-
6
Si: L 1 // L 2, calcula x.
1
c) 2(π + 3 ) d) 3(π + 3 ) e) 4(π + 3 )
147
Acumulativo parcial
Nivel III
B
a) 2(π + 3 3 ) b) 3(π + 2 3 )
L2
e
2β
16°
O
E
β
5
β 50° β + 10
40°
44°
A
= 1 y En la figura, O es centro, EC región OE = 4. Calcula el área de la sombreada.
d) 21 e) 20
Calcula α + β, si L 1 // L 2 . α−2
F
a) 24 b) 26 c) 22
e) 65° a) 80° b) 70° c) 60° d) 75° 6
E
2x
e) 51° a) 56° b) 58° c) 52° d) 54°
d
10
C
B
c) 4 / 5 d) 1 e) 5 / 6
L1
α
3x
100° 45°
c) 92°
4
a) 2 / 3 b) 3 / 4
x C
96° b) O e) 102°
la reCalcula el perímetro, en cm, de equigión sombreada, si el ΔABC es látero y el radio de la circunferencia mide 1 cm.
b
9
e) 36° a) 44° b) 48° c) 21° d) 42° le disSi a la medida de un ángulo se de minuye el complemento de la mitad la didicho ángulo, resulta un tercio de ferencia del suplemento y complemento del ángulo. Calcula dicho ángulo.
B
O
En la figura, ABCD es un cuadrado, O y D centros de los arcos. Calcula de los la relación de las longitudes arcos AF y AE, en ese orden.
FOM, Sean los ángulos consecutivos MOA y AOG, tales que: m∠FOM + m∠AOG = 84°. Calcula las la medida del ángulo que forman bisectrices de ∠AOF y ∠MOG.
5
R A
e) 4πR
P
L
c) 30% 2 d) 20%a) 98° d) 94° e) 27%
13
3
c) 2πR d) πR
B
L y Calcula el valor de x, si L 1 // 2 α + β = 250°.
8
ALFONSO ROJAS PUÉMAPE
c
a) 6πR b) 3πR
//laL 2 . si Lde delx,área el valor de el porcentaje Calcula 1 ¿Cuál 1 es ABCD que represenregión cuadrada L1 2α ta el área de la región sombreada?3α a) 25% b) 33%
C
región Calcula el perímetro de la diásombreada, si AO, OB y AB son metros.
8
e) 25° a) 24° b) 28° c) 26° d) 22° 4
G
F E
A
e) 125°
conLos ángulos AOB y BOC, son trasecutivos y suplementarios. Se ∠BOC za OD y OE, bisectrices de y ∠AOD, respectivamente. Calcula m∠AOB, si el ∠EOB mide 24°.
3
B
c) 110° d) 105°
de P, Q, R, y S son puntos consecutivos PQ QR = RS una recta, tales que 2 = 5 9 eny PS = 96 cm. Calcula la distancia y RS, tre los puntos medios de PQ en cm. 63 e) 59 d) 61 c) a) 65 b) 58
2
12
146
2
a) 115° b) 120°
Acumulativo parcial
Nivel II
Acumulativo parcial
Nivel I Sobre una recta se ubican los puntos que consecutivos A, B, C y D, tales 43cm. AC = 24cm, BD = 27cm y AD = Calcula BC, en cm. e) 5 d) 9 c) 8 b) 7 a) 6
1
Páginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II y III) y el último es acumulativo total (nivel IV).
CIÓ N
a
AU TOE VA LUA
e
144
1
a 16
170
El cálculo rápido es para dominarlo y esto se consigue solo practicando una y otra vez... mentalmente
4
Í ndice panor á m ic o JUEGO
TEMA 1
TEMA 2
CáLCULO RáPIDO
Buscando figuras simétricas
Sucesiones gráficas PR y PP* Control 1
Analogías de figuras y diferencias gráficas PR y PP* Control 2
• Multiplicando por 99 • Multiplicando por 98
Proporcionalidad
Sopa de números
Proporcionalidad PR y PP* Control 4
Regla de tres PR y PP* Control 5
• Multiplicando números de dos cifras que empiezan en uno • Multiplicando números de dos cifras que terminan en uno
Exponentes y radicales
Ordenando por diferencias
Leyes de exponentes PR y PP* Control 7
Leyes de radicales PR y PP* Control 8
• Cuadrados mentales • Multiplicando dos números que empiezan con la misma cifra
Concentración deportiva
Promedios y mezclas PR y PP* Control 10
Adelantos y atrasos El tiempo PR y PP* Control 11
Multiplicando números de dos cifras que terminan en cinco. • Cuando la suma de sus decenas es par • Cuando la suma de sus decenas es impar
Agrupando
Segmentos y ángulos PR y PP* Control 13
Perímetros PR y PP* Control 14
Razonamiento analítico
Dominó mágico
Orden de información PR y PP* Control 16
Cuadros de doble entrada I PR y PP* Control 17
7
Comparaciones cuantitativas
Pintando, pintando ...
Comparaciones cuantitativas Control 19
8
Suficiencia de datos
Fichas en mesa
Suficiencia de datos Control 20
UNIDAD
1 Pág. 8
2
TíTULO
Buscando patrones
Pág. 36
3 Pág. 64
4
Aplicamos ecuaciones
Pág. 92
5
Razonamiento geométrico
Pág. 120
6 Pág. 148
Pág. 176
Pág. 190
Anexo Pág. 204
o Problemas propuestos en concursos interescolares o Pruebas de evaluación
• Sacando la mitad • Multiplicando cualquier número por cinco
• Multiplicando por 11 • Multiplicando por 15
• Multiplicando por 4 • Multiplicando por 8
• División por 25 • División por 250
TEMA 3
MATEMáTICA RECREATIVA
AUTOEVALUACIóN Acumulativo parcial
Acumulativo total
Distribución numérica PR y PP* Control 3
• Despachando agua • Un extraño dado • Cuestión de monedas • ¿Cuál de las frutas pesará más?
Nivel I (18 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (18 problemas)
Nivel IV (18 problemas de unidad 1)
Porcentaje PR y PP* Control 6
• Puntos de contacto • El libro que no cae • ¡Un bloque a la vez! • Amigos solidarios
Nivel I (21 problemas) Nivel II (22 problemas) Nivel III (20 problemas)
Nivel IV (19 problemas de unidad 1 y 2)
Ecuaciones exponenciales PR y PP* Control 9
• Un examen oftalmológico curioso • ¡Siempre seis! • Cosa de monos • ¡Cinco cuadrados!
Nivel I (24 problemas) Nivel II (22 problemas) Nivel III (23 problemas)
Nivel IV (20 problemas de unidad 1, 2 y 3)
Ecuaciones con operadores PR y PP* Control 12
• En la cafetería • Ordenando el gallinero • A mover los números • Moviendo más números
Nivel I (21 problemas) Nivel II (23 problemas) Nivel III (17 problemas)
Nivel IV (16 problemas de unidad 1, 2, 3 y 4)
Áreas de regiones sombreadas PR y PP* Control 15
• Controlemos el tiempo • ¿Cuál es la simetría? • Palitos y cuadrados • ¡Un cuadrado muy especial!
Nivel I (16 problemas) Nivel II (18 problemas) Nivel III (15 problemas)
Nivel IV (17 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 y 5)
Cuadros de doble entrada II PR y PP* Control 18
• ¿De qué sabor será? • Poleas conectadas • Palitos y triángulos • ¡Jugando con las figuras geométricas!
Nivel I (11 problemas) Nivel II (11 problemas) Nivel III (10 problemas)
Nivel IV (15 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 y 6)
• Partes iguales • Formando una cadena • Más luz para todos • Soldados ...¡en filas de 3!
Nivel I (25 problemas) Nivel II (28 problemas) Nivel III (21 problemas)
Nivel IV (21 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7)
• Una búsqueda a medias • ¿Dónde nos sentamos? • ¡Adivina, adivinador ...! • ¡Busca la ruta!
Nivel I (19 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (16 problemas)
Nivel IV (16 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8)
*PR: Problemas resueltos PP: Problemas propuestos
u nidad
1
BUSCANDO PATRONES es a
A mí me parece que la figura se ha inflado. como
a)
b)
Bueno, yo creo que solamente se ha desdoblado.
es a
c)
d)
e)
CONTENIDO ► Sucesiones gráficas ► analogías de figuras y diferencias
gráficas ► Distribución numérica
9
so Pien
mientras
J U E G O Buscando figuras simétricas
Ayuda a Luchín a encontrar las figuras que no permiten que la alfombra sea simétrica.
10
Tema
Alfonso Rojas Puémape
1
sucesiones gráficas • Observamos que la segunda figura resulta de girar la primera 90° en sentido antihorario y la tercera figura resulta de girar la segunda 90° en ese mismo sentido.
1 Encuentra la figura que continúa, en:
...
• Luego, la figura que continúa es:
Estrategia 90°
¡Recuerda! En este tipo de problemas debemos analizar el giro de toda la figura, es decir, cuántos grados gira y en qué sentido lo hace.
Sentido convencional de giro:
L Sentido horario L Sentido antihorario
• Podemos observar que todas las figuras giran un lugar en sentido horario.
2 Determina la figura que sigue, en:
...
• Entonces, la figura que sigue es:
Estrategia
Ahora debemos analizar el giro de las figuras que se encuentran en el interior de la figura mayor.
¡atención!
3 ¿Cuál es la figura que continúa?
...
90°
90°
90°
90°
90° 90°
90° 90°
Estrategia Para este tipo de ejercicios debemos descubrir cuál es la característica que varía en una misma figura o de una figura a otra.
• En este caso observamos que en cada nube el número de lados de las figuras de la izquierda aumenta de uno en uno y de las figuras de la derecha disminuye de uno en uno. • Luego, la figura que continúa es:
11
4 Descubre la figura que sigue, en:
...
¡Ya sé! En estos casos hay figuras que se trasladan y también que desaparecen. Pero, ¿cuáles son?
• Notamos que la bolita roja va avanzando un lugar. • Además, va desapareciendo una bolita desde el extremo derecho: • Por lo tanto, la figura que sigue es:
¡importante!
5 Completa la siguiente sucesión:
• Podemos ver que el número de figuras va aumentando de uno en uno. • Además, el número de lados de cada figura también aumenta de uno en uno.
Estrategia
Además de desaparecer, en otros problemas se observa elementos que aparecen de una figura a otra.
• Luego, la figura que completa la sucesión es:
Ahora debemos descubrir todas las características que cambian de una figura a otra.
6 Encuentra la figura que falta, en:
• Observamos lo siguiente. − En cada fila aparecen triángulos, círculos y exágonos. − Cada una de estas figuras aparece 2 veces. − Una figura aparece dentro de otra igual o diferente. • En ninguna fila o columna se repite una figura exterior o una figura interior.
Estrategia Para este tipo de problemas, primero debemos reconocer las figuras que aparecen en cada fila o columna, luego cuántas veces aparecen y por último, cómo se relacionan entre ellas.
• Luego, la figura que falta es:
¡atención !
En un ordenamiento matricial, identificamos: a d g
b e h
c f i
Columnas
Fila Fila Fila
12
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 Determina la figura que continúa, en:
Resolvemos: • En cada cuadro hay dos figuras, una exterior y otra interior. • De un cuadro a otro la figura interior pasa a ser exterior.
• El sombreado de cada figura interior se alterna.
a)
b)
Resolvemos:
c)
d)
• Luego, la figura que continúa está en a.
e)
4 Encuentra la figura que continúa en la si-
• En cada cuadro desaparece la figura principal y se sustituye por una figura pequeña de menor número de segmentos.
guiente sucesión:
• Las figuras pequeñas avanzan un lugar en sentido horario. • La figura que continúa está en e. a)
2 Encuentra la figura que continúa.
b)
c)
d)
e)
Resolvemos: • En cada cuadro aparece una figura de trazo continuo y abierto.
¡importante!
• Luego, la figura que continúa está en d.
No olvides los sentidos para los giros:
a)
- Horario
b)
c)
d)
e)
5 Determina la figura que falta, en:
Resolvemos: • La bolita sombreada gira 90° en sentido horario.
- Antihorario
• El asterisco gira un lugar en sentido antihorario. • La región “rayada” gira un lugar en sentido horario. • Luego, la figura que continúa está en c. 3 Indica la figura que continúa, en:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolvemos: • Notamos que cada figura representa un rostro, donde se combinan: - tres tipos de “ojos”: - tres tipos de “nariz”: - tres tipos de “boca”:
a)
b)
c)
d)
e)
; ;
y y
;
y
• Luego, la figura que falta está en d.
13
M á S p ro p uestos r Determina la figura que continúa en cada caso: 1
a)
b)
c)
d)
e)
6
a)
c)
d)
Analiza el movimiento de la región sombreada y el de la bolita.
e)
2
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
7
a)
b)
c)
d)
e)
3 8
a)
b)
c)
d)
PISTA 9 Distingue la cantidad de formas de ojos y bocas.
e) a)
c)
d)
e)
9
e)
b)
c)
d)
e)
CLAVES DE RESPUESTAS
a)
6) d
1) b
7) d
2) d
d)
8) e
c)
3) d
b)
9) e
a)
5
b)
4) c
4
5) c
b)
PISTA 1
14
Alfonso Rojas Puémape
control
1 Encuentra la figura que continúa, en:
1
4 Determina la figura que continúa, en:
a)
b)
e)
c)
a)
d)
b)
c)
PISTA 3
d)
Identifica la forma de los ojos y de la boca, en cada columna o fila. 2 Determina la figura que continúa, en:
e)
5 Indica la figura que continúa, en:
a)
b)
d)
e)
c)
a)
b)
d)
e)
c)
PISTA 4 3 Indica la figura que falta, en:
6 Encuentra la figura que sigue, en:
Observa cuántos grados gira cada figura y en qué sentido.
a)
b)
d)
e)
c)
a)
b)
d)
e)
c)
15 Hacer nuestras tareas por cuenta propia, desarrolla el valor de la honestidad.
7 Determina la figura que continúa, en:
10 Encuentra la figura que continúa:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
e)
d)
PISTA 7
d)
e) Determina la cantidad de cubitos que hay en cada figura.
8 ¿Cuál es la figura que falta?
c)
e)
d)
e)
c)
12 ¿Cuál es la figura que continúa?
d)
e)
c)
d)
e)
COMPRUEBA
c)
7) d
b)
1) c
b)
8) e
a)
2) a
a)
9) b
3) d
10) d
9 Indica la figura que falta, en:
4) d
b)
11) b
d)
b)
12) a
a)
5) b
a)
6) c
11 Determina la figura que continúa, en:
16
Alfonso Rojas Puémape
Tema
2
analogías de figuras y diferencias gráficas ANALOGÍAS DE FIGURAS
En este tipo de problemas se presentan dos figuras que guardan cierta relación entre ellas. Para solucionar estos ejercicios debemos, primero, encontrar dicha relación, luego aplicamos la misma a una tercera figura, para encontrar la cuarta. Veamos algunos ejemplos: 1 Completa la siguiente analogía:
es a
como
es a:
NOTITA
• Se observa que la segunda figura es la mitad de la primera y además el interior se ha sombreado. • Luego, la figura que completa la analogía es:
giro antihorario
Estrategia
Observamos cómo se genera la segunda figura a partir de la primera.
giro horario
2 Encuentra la figura que completa la analogía.
es a
como
es a:
Estrategia Este caso es típico. Analicemos el giro de las figuras interiores y su color.
• Notamos que el asterisco se traslada 2 lugares en sentido horario o 4 lugares en sentido antihorario. • La bolita y su entorno intercambian colores y se trasladan 2 lugares en sentido antihorario o 4 lugares en sentido horario. • Luego, la figura que completa la analogía es:
¡observación! 3 ¿Cuál es la figura que completa la analogía?
figura interior
figura exterior
es a
como
es a:
Estrategia
• Observamos que el círculo interior se divide en 2 partes iguales, las cuales se colocan arriba y abajo de la figura exterior. Además, el círculo cambia de color. • Entonces, la figura que completa la analogía es:
En estos casos, una de las figuras se traslada, se divide y/o cambia de color.
17 DIFERENCIAS GRÁFICAS Estos problemas presentan un conjunto de cinco figuras, de las cuales cuatro tienen características similares o guardan una relación que la quinta figura no cumple. Un ejercicio de este tipo estará resuelto cuando logremos identificar la figura que presenta detalles diferenciales y que, por lo tanto, no guarde relación con las otras cuatro. Veamos: 4 Indica la figura que no se relaciona con las
otras.
a)
b)
c)
d)
e)
• Si tomamos como base la figura a, al rotarla obtenemos las figuras c, d y e, pero no la figura b. • Luego, la que no guarda relación con las demás es la figura b: ¡ATENCIóN!
Estrategia
• Líneas continuas:
Se toma como referencia una de las figuras, luego se le hace rotar y se compara con las otras figuras.
• Puntos de corte: A
5 Determina la figura que no guarda relación
con las demás:
a)
b)
c)
d)
e)
Hay una característica común a todas, pero hay otra que solo se cumple en cuatro figuras.
B C
D
• Podemos notar que todas las figuras son líneas continuas, pero solo las figuras a, b, c y d tienen un punto de corte, lo cual no sucede con la figura e. • Entonces, la que no se relaciona con las demás es la figura e:
6 ¿Cuál es la figura que no guarda relación
con las demás?
a)
b)
c)
d)
e)
Bueno, veo que cada figura está formada por dos figuras iguales. Pero, ¿qué características presentan estas figuras?
• En este caso, podemos observar que las figuras están formadas por 2 figuras geométricas regulares, excepto la figura d.
¡recuerda!
• Por lo tanto, la figura que no guarda relación con las demás, es la d:
Un polígono regular es equilátero (medida de lados iguales) y equiángulo (medida de ángulos iguales).
18
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS
1
a)
como
b)
c)
es a:
d)
2
5 Señala la figura que no guarda relación
con las demás.
III
II
I
Resolvemos: • Las figuras ( y ) se cortan a la mitad y se une la mitad de abajo de la figura superior ( ) y la mitad de arriba de la figura inferior ( ). • Luego, de la tercera figura se obtendrá la figura en c.
e)
• La relación que se cumple entre la primera y la segunda figura es que la circunferencia interior se agranda y el punto rota 180°. Análogamente, si en la tercera figura sucede lo mismo, obtendremos la figura en a.
¡ATENCIóN!
Resolvemos:
La figura gira 180° en sentido horario.
es a
a)
b)
c)
d)
e)
Resolvemos: • La línea roja, la línea azul y la parte sombreada giran 45° en sentido horario de una figura a otra, pero la que rompe dicha secuencia es la figura en d.
La figura I es a la figura II, como la figura III es a la figura:
6 Identifica la figura que no guarda relación
a)
b)
c)
d)
e)
Resolvemos: • La figura II es el resultado de girar, en sentido antihorario, las líneas interiores (+) al rectángulo y a la circunferencia de la figura I. También giran las partes sombreadas. Luego, a partir de la figura III, obtenemos la figura en d. 3
¡ATENCIÓN! Mitad de arriba Mitad de abajo
con las demás.
es a
como
c)
d)
e)
Resolvemos:
es a:
7 ¿Cuál de las figuras no guarda relación
a)
b)
c)
d)
e)
con las demás?
Resolvemos: • La figura exterior se invierte y se duplica mientras que la interior solo se invierte. Luego, a partir de la tercera obtenemos la figura en b. 4
b)
• Observamos que en las 4 primeras el círculo avanza un lugar, la cruz dos lugares y el cuadrado tres lugares, todos en sentido horario, pero la figura que rompe esta secuencia es la figura en e.
Mitad de arriba Mitad de abajo
a)
es a
a)
como
b)
c)
es a:
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Resolvemos: • Las figuras en el interior de la circunferencia grande giran 90° en sentido horario. Las divisiones horizontales y verticales interiores a cada una de las figuras se mantienen según su ubicación. La figura en d es la que rompe la secuencia.
19
M á S p ro p uestos 1
es a
como
7
es a:
a)
b)
2
es a
c)
e)
d)
como
es a
como
es a:
a)
es a:
8
b) es a
c)
d)
como
e)
PISTA 7
es a:
desaparece
a) 3
b)
es a
c)
como
e)
d)
es a:
a)
9
b)
c)
es a
como
d)
e)
⇒
es a:
10 Señala la figura que no guarda relación
con las demás.
a)
b)
c)
d)
e)
11 ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda
es a
c)
es a:
a)
b)
c)
d)
e)
12 Identifica la figura que no guarda relación
con las demás.
e)
d)
como
relación con las demás?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
CLAVES DE RESPUESTAS
6
b)
es a:
7) b
a)
como
8) b
es a
1) b
5
Observa cómo se desplazan las figuras interiores al pentágono.
2) a
e)
PISTA 10
9) d
es a:
d)
e)
3) a
c)
d)
10) e
b)
c)
4) d
a)
b)
11) c
como
a)
e)
d)
5) c
es a
c)
12) b
4
b)
6) b
a)
20
Alfonso Rojas Puémape
control 1 La figura I es a la figura II, como la figura
4 ¿Cuál es la figura que no tiene relación
III es a la figura:
con las demás?
I
II
a) PISTA 1
d)
b)
III
c)
e)
(1)
(4)
La segunda figura es una vista diferente de la primera figura.
(2)
(3)
a) 2
(5) b) 4
c) 1
d) 3
e) 5
5 Indica la figura que no tiene relación con
las demás.
2
I
II
III
Si la figura I es a la figura II, la figura III es a la figura:
a)
d)
PISTA 6
Observa con cuidado el giro de la parte sombreada.
2
b)
a)
b)
c)
c)
e)
d)
e)
6 ¿Cuál de las figuras no tiene relación con
3
es a
como
las demás?
es a:
a)
b)
d)
e)
c)
a)
d)
b)
e)
c)
21 Aconsejar a nuestros compañeros a que no copien las tareas, nos hace más honestos.
10 ¿Cuál es la figura que no tiene relación
7
es a
con las demás?
como
es a:
a)
b)
d)
a)
b)
c)
c)
e)
8
d)
e)
11 Señala la figura que no tiene relación con
las demás.
es a
como
PISTA 8
es a:
a)
+
b)
c)
a)
b)
d)
e)
=
c)
d)
e)
12 Identifica la figura que no tiene relación
9
con las demás.
es a
como
8) a 7) b
1) c
COMPRUEBA
e)
2) d
d)
9) a
3) b
e)
c)
10) b
d)
c)
11) a
b)
b)
4) b
a)
a)
5) d
12) e
es a:
6) e
22
Alfonso Rojas Puémape
c á l c ulo r á p id o MULTIPLICANDO POR 99
Sea el número de dos cifras ab
Luego ab × 99 = ab(100 - 1) = ab00 - ab arreglando: ab × 99 = (ab - 1)00 + (100 - ab)
E!
¡IMPORTANT
1. Un empleado recibió su sueldo en 99 billetes de S/. 50 y pagó una deuda de S/. 560. ¿Cuánto dinero le queda?
Resolvemos: • Multiplicamos mentalmente 50 × 99, así: 50 - 1
Solo para números de dos cifras.
4950
100 - 50 Respondemos: Como pagó S/. 560 de inmediato, tendrá ahora S/. 4950 - S/. 560, es decir: S/. 4390
2 María ahorra diariamente S/. 18. ¿Cuánto
3 Un vendedor gana semanalmente S/. 99.
4 Un comerciante compra pulseras al por
5 El agua del mar de nuestro país contiene
6 Carlos viajó al norte en automóvil y ya
7 Una empresa que produce vino, utiliza
habrá ahorrado durante 99 días?
¿Cuánto ganará luego de 32 semanas?
¡atención!
Interpretamos este resultado del siguiente modo: Al número (ab) que fue multiplicado por 99 le restamos 1 y ya tenemos las dos cifras de la izquierda en el resultado. Luego a 100 le restamos el número ab y obtenemos las últimas dos cifras del resultado.
mayor, en el mercado de joyas. Si por cada S/. 99 le dan 12 pulseras, ¿cuánto tendrá que pagar por 156 pulseras?
recorrió 99 km gastando 2 galones de gasolina. ¿Cuántos kilómetros más podrá recorrer si le quedan 18 galones de gasolina?
una gran cantidad de sal. Si en 99 litros de agua hay 108 gramos de sal, ¿cuál es la cantidad de litros de agua de mar que contiene 2592 gramos de sal?
100 toneles de 99 litros cada uno. Si el precio de venta de cada litro es de S/. 24, ¿cuál será la recaudación total si se vende el vino de los 100 toneles?
23
El cálculo rápido emplea artificios extraídos de las propiedades de las matemáticas más elementales.
MULTIPLICANDO POR 98
Multipliquemos ab × 98
Caso 1: ab ≤ 50
8. Calcula el área de un terreno rectangular de 36 m de ancho por 98 m de largo. Resolvemos: •
Solo multiplicamos: 36 × 98 = 3528 m2 = 36(100 - 2) = 3600 - 2 × 36 = 3500 + (100 - 2 × 36) = 3528
REGLA PRáCTICA • Restamos la unidad de ab y el número obtenido representa las dos primeras cifras de la izquierda del resultado. • Restamos de 100 el doble de ab y el número obtenido representa las dos últimas cifras del resultado.
Caso 2: ab > 50 9. Si compramos 98 pantalones a S/. 63, ¿cuánto tenemos que invertir en total? Resolvemos: • Basta con multiplicar: 63 × 98 = S/. 6174 = 63(100 - 2) = 6300 - 2 × 63 = 6100 + (200 - 2 × 63) = 6100 + 2(100 - 63) = 6174
¡importante! Solo para números de dos cifras.
REGLA PRáCTICA • Restamos 2 unidades a ab y el número obtenido representa las dos primeras cifras de la izquierda del resultado. • El número obtenido del doble de (100 - ab) constituyen las dos últimas cifras del resultado.
¡IMPORTANTE! Mentalmente: 36 × 98 = 3528
10 Una camioneta recorre 98 km por cada
galón de combustible. Si para un viaje emplea 33 galones, ¿cuántos km recorre en dicho viaje?
12 Un avión de la empresa Aero Sur tiene
una capacidad para 98 pasajeros. Si durante enero realizó 45 viajes, ¿cuántas personas transportó dicho mes?
11 Un grifo vierte 98 litros de agua por
minuto. Si el grifo se abre durante 68 minutos, ¿cuántos litros de agua vierte dicho grifo?
36 - 1 100 - 2 × 36 = 100 - 72
13 Un comerciante recarga el precio de una
lavadora en un 35 % del costo. ¿Cuál es el precio de venta, si la compró a S/. 980?
¡RECUERDA! Mentalmente: 14 El largo de un rectángulo aumentó en2
65%. Si el área del rectángulo era 980 m inicialmente, ¿cuál es el nuevo valor del área del rectángulo?
15 El peso de una persona es de 98 kg. Si el
75% de dicho peso corresponde a la masa corporal, ¿a cuánto equivale, en kilogramos, la masa corporal de esa persona?
63 × 98 = 6174 63 - 2 2(100 - 63) = 2 × 37
Alfonso Rojas Puémape
3
Tema
24
distribución numérica Una distribución numérica es un conjunto de números enteros que se relacionan mediante las operaciones fundamentales o mediante otras operaciones simples. Resolver una distribución numérica consiste en descubrir dicha relación para aplicarla a otro conjunto de números.
1 Determina el valor de x, en:
¡ATENCIóN!
7
13
5
11
5 Las cuatro operaciones fundamentales son: suma o adición, resta o sustracción, multiplicación y división. También se pueden aplicar la potenciación y la radicación.
1
4
17
8
x
6
12
Estrategia
2 Halla el número que falta.
6
2.° figura: (11 + 1 + 8) : 5 = 4 3.° figura: (17 + 12 + 6) : 5 = 7
Debemos encontrar alguna relación común entre los números que están dentro de cada figura, para descubrir el número que falta en una de las figuras.
• Encontramos una relación para los números que están dentro de cada figura. Así: 1.° figura: (7 + 13 + 5) : 5 = 5
8
3 27
5
11
7
39
⇒ x = 7
• En este caso, encontramos la siguiente relación para cada figura: 1.° figura: 6 2 - 3 2 = 27 2.° figura: 8 2 - 5 2 = 39 3.° figura: 112 - 7 2 = 72
Podemos seguir la misma idea pero aplicando otras operaciones como la potenciación o la radicación.
¡IMPORTANTE! En muchos de estos casos, debemos relacionar un número que no aparece en la distribución con los que sí aparecen, para poder hallar el número central.
3 Calcula el valor de m.
7 3
8
13
2 17
m 5
20 14
26 19
Estrategia También se pueden relacionar los números en parejas y comparar ambos resultados en cada figura.
• Luego, el número que falta es 72 .
• En cada figura se cumple que: 1.° figura: 7 × 3 = 8 + 13 = 21 2.° figura: 2 × 17 = 20 + 14 = 34 3.° figura: m . 5 = 26 + 19
m = 9
25
4 Halla el valor de (x . y. z) en la siguiente fi-
gura.
64
32
16
x
32
16
y
4
16
8
z
2
• En este caso observamos que, en cada fila o columna, los números se van dividiendo por 2. • Trabajamos por filas: 64; 32; 16; x ⇒ x = 8 :2
32; 16; y; 4
Estrategia En este tipo de problemas podemos formar sucesiones en filas o columnas, según convenga.
5 ¿Cuál es el valor de a?
1 5
42
3
2
4
1
27
6
7
3
2
:2 :2
a
4 5
:2
:2 :2
16; 8; z; 2 :2 :2 :2
⇒ y=8 ⇒ z=4
⇒ x . y. z = 8 . 8 . 4 = 256
• Relacionamos en cada figura los números de los costados, en parejas, luego buscamos una operación que nos de como resultado el número central:
3.° figura: (7 + 2)(4 + 5) = 81
6 Determina el mayor valor de x + y.
4 x
36
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, de acuerdo a una relación, la cual permite determinar los números siguientes.
1.° figura: (1 + 5)(3 + 4) = 42
⇒ a = 81
Relacionamos los números en parejas y ambos resultados los volvemos a relacionar para encontrar el número central.
9
!
2.° figura: (2 + 1)(6 + 3) = 27
Estrategia
¡recuerda
16
3
25
y
5
9 17
33
• Formamos sucesiones en ambas figuras, primero en sentido horario y luego antihorario: 4; 9; 16; 25; 36; x ⇒ x = 49
Sigamos la idea del problema 4, pero creo que aquí encontraremos dos posibles resultados según el sentido en el que tomemos la sucesión.
Sentido horario:
+5 +7 +9 +11 +13
36; 25; 16; 9; 4; x -11 -9
3;
5;
⇒ x=1
-7 -5 -3
9;
17;
33;
y
⇒ y = 65
× 2-1 × 2-1 × 2-1 × 2-1 × 2-1
33;
17;
¡recuerda!
9;
5;
3;
y ⇒ y=2
+1:2 +1:2 +1:2 +1:2 +1:2
(x + y) máx = 49 + 65 = 114
Sentido antihorario:
26
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS
1 Calcula el valor de x, en: 3
19
5
8
7
28
• Con la diferencia de cubos de dos números, obtenemos el tercero, así:
23
6
14
6
9
x
Resolvemos: • Analizando, deducimos la siguiente relación en cada figura:
E! ¡IMPORTANT
En algunos problemas es posible dividir por un valor constante.
3
10 8 4
7
5
y
2
3
1.° figura: 1 × 8 = 5 + 3 2.° figura: 4 × 3 = 7 + 5 3.° figura: 10 × 2 = 8 + y
⇒ y = 12
tima figura: 10
8
12
¡RECUERDA! 23 = 2 × 2 × 2 = 8 33 = 3 × 3 × 3 = 27 43 = 4 × 4 × 4 = 64 53 = 5 × 5 × 5 = 125 63 = 6 × 6 × 6 = 216
2
5
17
11
19
21 7
12
5
3 Determina el número que completa la úl-
Resolvemos: • En cada figura, los números que están dentro de los círculos se multiplican y se iguala a la suma de los números que están dentro de los cuadrados:
23
7
Resolvemos:
8 + 12 + 5 + 17 = 21 2 + 5 + 7 + 10 = 12 2 2 ⇒ 11 + 23 + 7 + 19 = 30 2
10
12
3
7
40
20
19
36
12
16
24
Resolvemos:
4 Halla el valor de x: 19
37
x
3 2
4 3
6 4
(15 - 9) (10 - 3) = 42 (12 - 7) (20 - 12) = 40 (19 - 16) (36 - 24) = 36 6 Halla el valor
de x, en:
155
186
581
124
228
373
93
138
x
Resolvemos:
• En cada columna: 1.° columna: (155 + 124) : 3 = 93 2.° columna: (186 + 228) : 3 = 138 3.° columna: (373 + 581) : 3 = 318 x = 318
• Observamos que en cada figura se cumple la siguiente relación:
9
42
• En cada figura tenemos:
8
⇒ x = 31
⇒ x = 152
5 ¿Cuál es el número que falta?
2 Halla el valor de y: 5
1.° figura: 3 3 - 23 = 19 2.° figura: 4 3 - 33 = 37 3.° figura: 6 3 - 43 = x
15
1.° figura: 3 × 8 - 5 = 19 2.° figura: 7 × 6 - 14 = 28 3.° figura: 9 × 6 - 23 = x
1
Resolvemos:
7 Determina
el valor de x.y.
1 5
4 3 3 2
2 7
7 2 4 1 23 5 11 3
17 5 x 3 y 11 7 2
Resolvemos: • En cada figura, el producto de dos números opuestos por el vértice, va aumentando en una unidad. 1.° figura: 1 × 7; 4 × 2; 3 × 3; 2 × 5
7 8 9 10 2.° figura: 4 × 5; 7 × 3; 2 × 11; 1 × 23 20 21 22 23 3.° figura: 3 × 11; 17 × 2; 5 × 7; x . y
33
34
⇒ x.y = 36
35
36
27
M á S p ro p uestos
1 Calcula el valor de x, en: 9
9
12
3
3
7 Calcula el valor de x, en:
12
8
4
4 2
x
6
24
4
16
5
2
3 5
8 6
17
x
Rpta.: 25
Rpta.: 32
8 Determina el valor de x, en:
2 Halla el valor de x, en: 46
45
13
x
98 16
7
11
78
13
24 3
120
9
3 Halla el número que falta, en:
3
9
5
27 4 2
7
7
6
4
12
11 2
1
x
25
5
12 9 18 14 10 6 15 12
9
14 8
9
3
16 10
11 5
12
8
12
10
4
2
8
14 18
Rpta.: 39
3 3
13 2
7
1
23 2
5 4
8
5
5 3
13 1
Rpta.: 15 5 Calcula el valor de x, en:
2
9
6
6
2
12
3
8
7
5
9
19
4
7
x
6 Halla el valor de x, en: 11 15 9
5
x
23 9
y 11
Rpta.: 49
95 75
4
75 25 10
PISTA 7
99 34
Rpta.: 11
8
Rpta.: 13 12 Calcula el valor de x, en: 6
9
5
6
10
3
21 15
4
8
8
7
x
44 50
12
4 1
11 Halla el valor que falta, en:
9 x y 19 12 17 21 27
Relaciona en cada columna los tres primeros números, mediante operaciones de multiplicación y división, para obtener el 4.° número.
3
4
10 ¿Cuál es el valor de x + y?
4 ¿Cuál es el valor que falta?
7
PISTA 4
46
9 Halla el valor de x + y, en:
Rpta.: 39
5
Rpta.: 35
Rpta.: 96
7 5 4
4
Rpta.: 16
x
Rpta.: 46
La suma de cuadrados de dos números, es igual a la multiplicación de otros dos.
28
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Calcula el valor de x, en:
4
3
7 4
17
9 5
8
6
5
4 Halla el valor de x, en:
20 x
12 10
3
1
2
17
4
13
2
1
3 3
x
¡Resuelve aquí!
PISTA 2 Suma los números exteriores al cuadrado.
2 Determina el valor de x, en:
5 Calcula el valor de x, en:
35 24
38
43 17
19
45
28
47 52
PISTA 6 Determina el cociente de los números extremos de una misma fila.
x
7
5
24
4
3
7
6
4
x
39
3 Determina el valor de x, en:
6 Determina el valor de y, en:
13
17
5
6
20
10
4
27
41
4
17
40
16
5
89
19
6
x
60
y
6
4 2
18
29 Decir la verdad cuando se ha cometido un error, refuerza el valor de la honestidad.
7 Determina el valor de x, en:
4
7
10 Determina el valor de x, en:
3
15
4 11
5
26
9
1
9
3
3 51
6
x
17
7
4
PISTA 9
x
3
La suma de dos nĂşmeros de una misma columna es igual al producto de los otros dos.
8 Encuentra el valor de x, en:
9
75
3
5
8
11 Calcula el valor de y, en:
36
6
11
6 8
x
1
3
31 2
4
y 3
5
4
4
12 Halla el valor de x, en:
4
5
x
16
29
17
25
28
x
COMPRUEBA
6
7) 44
6
1) 10
5
8) 33
2) 69
4
9) 6
3
53
3) 18
2
57
10) 9
41
4) 28
32
11) 69
27
5) 20
18
12) 36
6) 20
9 Calcula el valor de x, en:
30
Alfonso Rojas Puémape
matemática recreati va 1. Despachando agua
Eduardo tiene 3 bidones de 16 l, 10 l y 6 l, de los cuales el primero está totalmente lleno de agua y los otros están vacíos. Intercambiando solamente 6 veces los contenidos, ¿cómo podrá Eduardo despachar 8 litros de agua?
2. Un extraño dado
¿Desde cuántas posiciones como mínimo debes ver el dado para saber cuáles son las imágenes en cada cara?
Cada posición del dado es como se muestra en la figura.
¡Resuelve aquí!
31
3. CUESTIÓN DE monedas
Luchín tiene en el bolsillo cuatro monedas y la suma de sus valores es una cantidad impar de nuevos soles. Si al sacar una de ellas nota que es de S/. 5, ¿cuál es el monto máximo de dinero que le puede quedar en el bolsillo? y ¿cuál es el mínimo?
Considera monedas de S/. 1; S/. 2 y S/. 5.
4. ¿cuál de las frutas pesará más?
Betty fue al mercado a comprar 1 kg de peras, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. La vendedora, al verla le dice: “Voy a colocar las frutas que quieres, en tres balanzas, si logras deducir cuál de las frutas pesa más, te regalaré las frutas que deseas”.
32
Alfonso Rojas Puémape
a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial
Nivel I 1 ¿Cuál es la figura que falta en la imagen?
7 En la siguiente secuencia, señala la figura que continúa:
13 Determina cuál es la figura que no guarda relación con las demás:
a)
b)
c)
d)
e)
b)
e)
2
2
4 8
3
a) 32 b) 8
a)
d)
b)
a)
d)
1
5 27
3
4
x
c) 64 d) 2
e) 16
...
3
a)
b)
d)
e)
d)
e)
c)
d)
1
4
6
4
2
5
4 2
e) 4
b)
a)
b)
c)
d)
e)
17 Indica la figura que no forma un patrón con las demás:
c)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
18 Identifica el número que falta, en: 5 3 2
a) 21 b) 19 c) 15 d) 11 e) 6
12
a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) 16
5
a) 36 b) 25 c) 16 d) 9
c)
12 Identifica el valor de x, en: 7 (13) 6 9 (17) 8 5 (x) 2
a
a 13
b 14
d 15
c 16
c 17
a)
6 Infiere el valor de x, en: 2 6 22 3 5 21 4 3 x
x
16 Discrimina la figura que falta en la siguiente secuencia:
11 Indica cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás:
es a ...
como
11
es a
b)
10
5
9
e)
a)
8
7
d)
c)
c
25
b
b)
c)
e)
2
4
d
16
10 Señala la figura que completa la secuencia:
d
a)
15 Halla el valor de x, en:
9 Halla el valor de x, en: a) 2 x 5 b) 3 440 11 c) 441 24 217 d) 887 106 51 e) 896
e
b)
es a:
e)
4 Indica la figura que continúa, en:
como
c)
c)
3 Halla el valor de x, en: 5
2 4 2
a) 10 b) 9
6
d)
es a
5
es a ...
como
14 Indica la figura que falta, si:
4
es a
a)
e)
8 ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás?
2 La figura:
c) 8
3
e)
d)
19 17
d) 7
e) 6
2
1
d)
c)
c)
d
d
b)
b)
b
e
a)
a)
a
d
a 18
33
Acumulativo parcial
Nivel II 1 Indica la figura que completa la secuencia, en:
7 ¿Cuál es la figura que sigue la secuencia mostrada?
b)
d)
e)
2 La figura: es a ...
como
es a
b)
b) 11 c) 14 d) 15 e) 20
b)
a)
e)
e)
5 4 11
7 1 10
9 5 x
a) 14 b) 15 c) 16 d) 19 e) 21
c)
a)
b)
d)
e)
d)
e)
a)
b)
c)
c)
d)
25
(40)
8
49
(14)
2
64
(
3
e)
)
a) 96 b) 56 c) 48 d) 32 e) 24
a)
b)
d)
e)
c)
17 Determina la figura que no corresponde a la secuencia:
e)
x
5
3
2
6
a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
b)
c)
d)
e)
18 Calcula el número que falta en el paréntesis:
4
7
8
9
10
11
d 12
d) 13 e) 8
4
2
5
c
a 13
c 14
b) 14 c) 9
3
a
17
2
c
1
7
e
1
6
b
3
8
a)
10
6 Determina el valor de x, en:
e 15
b 16
a) 7
d)
35
c 17
c)
11 Indica la figura que no guarda relación con las demás:
c)
23
b)
16 Identifica la figura que completa la secuencia:
3
a)
15 ¿Cuál es el número que falta?
12 Determina el número que falta en la última figura:
2
c)
c)
10 Señala la figura que continúa la secuencia indicada:
e)
b)
14 Determina la figura que no está en relación con las demás:
9
(6)
20
(10)
5
18
(
8
a) 13 b) 5
6
5 ¿Cuál de las siguientes figuras no guarda relación con las demás?
5
d)
d)
4
...
d)
a)
9 Halla el valor de x, en:
4 Determina la figura que continúa en la secuencia:
b)
e)
a) 9
b)
c)
3 Halla el valor de x, en: 6 (11) 5 4 (7) 3 6 (x) 4
)
c) 9
3
d)
a)
es a ...
como
a)
a)
c)
8 La figura:
es a
4
d) 10 e) 12
2
e)
a)
1
b
d)
c)
a
c
b)
e
d
a)
e
13 Señala la figura que continúa en la secuencia:
e 18
34
Alfonso Rojas Puémape
Acumulativo parcial
Nivel III 1 ¿Cuál es la figura que falta?
5 Identifica la figura que continúa en la secuencia.
3
a)
b)
;
a)
b)
;
c)
d)
d)
2 Señala la figura que continúa en la secuencia:
a)
b)
d)
e)
c)
a)
b)
c)
d)
e)
7 Señala la figura que no corresponde:
a)
b)
d)
e)
5
6
c) 2
1
d) 3
9
3
e) 4
8
7 x
9
b) 7
c) 9
d) 11 e) 12
2
1
x
4 6
7 8
9 2
a) 8
b) 3
c) 4
d) 7
e) 6
14 Calcula x. 5 9 8 7 3 7
c)
3 Indica la figura que falta colocar:
3 35
7
b) 1
a) 6
x
13 Descubre el valor de x.
...
2
a) 0
es a ...
como
2
12 Halla x. 6 4 6
e)
6 16
5
e)
es a
4 21
...
6 Completa la analogía:
c)
11 Determina el valor de x.
a) 5
6 8 x 2 7 5
b) 4
6 2 4 4 6 3
c) 3
d) 2
e) 1
15 Indica el valor de 2x. 8 Indica la figura que continúa la secuencia.
8
7
3
a)
b)
c)
a) 8
9 10
d) 10 e) 8
9
6 8
8 2
b) 16 c) 32 d) 64 e) 128
3 6 8
5
7
b) 1
x 8 8
9
c) 2
212
e) 31
322
7
c) 13 d)
3 12
18 6
18 Calcula el valor de x. 2 17 3 5 57 2 3 x 4
4
d) 4
2 7 2
3
e) 3
a) 120 b) 130 c) 145 d) 150 e) 160
6
x
a) 5
5
8
9
a) 10 b) 7
10
e 11
c
e)
222
c
112
45 243
a
d 12
d 13
a 14
e 15
e 16
e
123 d)
c) 1 y 1
10 Halla x, en:
c)
b 17
b) 0 y 1 e) 2 y 2
d
a) 1 y 2 d) 2 y 1
b
b)
7
17 Halla x.
9
5 x
8 4
e)
4
c) 6
3
d)
9 En la figura que continúa la secuencia, ¿cuántos círculos y estrellas se observan?
a)
4
2
e)
4 Identifica la figura que falta.
b) 5
5
1
d)
a) 4
3
b
c)
6
a
b)
5
2
d
a)
6
4
b
13
16 Determina el valor de x.
8
x
9
c 18
35
Acumulativo total
Nivel IV
6 Indica el valor de x, en:
1 Señala la figura que continúa en:
...
c)
3 2
a)
e)
12
...
; ...
a)
b)
c)
d)
...
c)
d)
e)
3 Determina el valor de x: 6
4
17 2
3
7
2 12
x
2
3 2
5
o -n
O -n
n -n
n -o
n -O O -O o -O o -N
n -N n -O
b)
b)
c)
e)
4
...
9
a) 2
1
7
3
5
4
8
12 10
6
b) 4
0
c) 5
x
9
d) 10 e) 32
10 ¿Cuál es la figura que no guarda relación con las demás?
N -o
o -o
N -O
o -n
11 Indica cuál es la figura que continúa:
e)
N -N
5 Determina la figura que continúa, en:
a)
b)
c)
d)
a)
d)
b)
...
e)
b)
15
es a a)
d)
es a ...
como
b)
a) 8
c)
d)
e)
4
9
8
b) 3
3
10
c) 4
4
d) 5
3 x
31
e) 6
17 Determina la figura que no corresponde:
a)
b)
d)
e)
18 Halla x.
e)
7
8
a 9
d 10
c 11
c 12
d 13
d)
c)
c)
e)
d
b 14
c)
es a ...
c)
d
b 15
b)
a)
7
...
d 16
a)
e)
12 Determina la figura que continúa, en:
c 17
como
16 Descubre el valor de x. 3 4
c)
o -O
e) 9
7
n -n
d)
d) 8
9 ¿Cuál es el valor de x?
o -N
N -N
a)
d)
o -o
O -O
e) 9
4 ¿Cuál es la figura que continúa? n -n
a)
4 11
a) 16 b) 18 c) 10 d) 8
c) 7
es a
a) 4
6
b)
b) 6
14
a)
7 6 3 5 x 7
e)
8 Completa la serie:
a) 5
5
;
e)
10
3 1 6
21 11 6 18 9 12 19 6 x
b) 6
4
;
8
8 2
c) 7
3
9
11
7 3
6 9 8
2 Encuentra la figura que continúa:
d)
d) 8
e) 10
2
c)
1
d)
d
b)
13 Determina el valor de x.
7 Indica la figura que continúa, en:
c
e) 8
x 1
e
b)
c) 20 d) 24
8 12
a
a)
6 4
d
a) 15 b) 18
b
a 18
u nidad
2
PROPORCIONALIDAD
¡Espera! Te harán un descuento del 40% del precio mostrado.
Parece que tendré que pagar S/. 200 por esta casaca.
s/.200,00 dscto: 40%
CONTENIDO ► PROPORCIONALIDAD ► REGLA DE TRES ► porcentaje
37
so Pien
mientras
J U E G O Sopa de números
Encuentra grupos de 3 números seguidos cuya suma en una horizontal, vertical o diagonal sea un cuadrado perfecto.
Veamos cuántos grupos encuentras.
13
2
10 12
9
17
4
19
6
5
6
5
1
13 19
11
9
8
7
6
22
4
23
9
10
38
Tema
Alfonso Rojas Puémape
1
proporcionalidad
RAZÓN Cuando comparamos dos cantidades, dicha comparación se podrá efectuar mediante una diferencia, donde la razón se denominará aritmética o mediante una división, donde la razón se denominará geométrica. Veamos un ejemplo: ¡IMPORTANTE! Elementos de una razón: • Aritmética: a-b=R
María tiene 36 pulseras y Carola tiene 12 pulseras. • Comparando el número de pulseras que tienen por diferencia: 36 - 12 = 24 donde 24 es la razón aritmética y se interpreta como: 36 es mayor que 12 en 24 unidades.
consecuente antecedente
• Ahora comparamos por división: 36 =3 12 donde 3 es la razón geométrica y se interpreta como: 36 es el triple de 12, o 36 contiene a 12 tres veces o también 12 esta contenido tres veces en 36.
PROPORCIÓN
• Geométrica: a =q b
Es la igualdad de dos razones. Al igualar dos razones aritméticas se genera una proporción aritmética (equidiferencia) y al igualar dos razones geométricas se genera una proporción geométrica. Veamos algunos ejemplos:
consecuente
antecedente
1 Arturo tiene 30 caramelos y Benito 24 cara-
¡atención!
Elementos de una proporción. • Aritmética: a - b = c - d términos medios términos extremos
• Geométrica: a=c b d
melos, además Carlos tiene 21 caramelos y Daniel 15 caramelos. Comparando por diferencia • Lo que tiene Arturo y Benito: Arturo - Benito = 30 - 24 = 6 • Lo que tiene Carlos y Daniel: Carlos - Daniel = 21 - 15 = 6 • Como ambas diferencias son iguales (razones aritméticas) al igualar obtenemos una proporción aritmética. 30 - 24 = 21 - 15
Bety 16, mientras que Carmen prepara 20 tortas y Doris 10. Comparando por división 32 =2 • Lo que preparan Ana y Bety: 16 20 =2 • Lo que preparan Carmen y Doris: 10 • Como ambos cocientes son iguales (razones geométricas) al igualar obtenemos una proporción geométrica. 32 20 = 16 10
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS PROPORCIONES
términos medios
términos extremos
2 En una semana Ana prepara 32 tortas y
En toda proporción aritmética la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios. Ejemplo: Sea la proporción aritmética: 45 - 36 = 27 - 18 se cumple que: 45 + 18 = 36 + 27 63 = 63
En toda proporción geométrica el producto de sus términos extremos es igual al producto de sus términos medios. Ejemplo: Sea la proporción geométrica: 40 16 = 35 14 se cumple que: 40 × 14 = 35 × 16 560 560
39 CLASIFICACIóN DE LAS PROPORCIONES
Proporciones continuas (medios iguales)
Proporciones discretas (términos diferentes)
23 - 15 = 15 - 7
32 - 27 = 23 - 18
45 15 = 15 5
(proporción aritmética continua)
42 24 = 8 14
(proporción geométrica continua)
(proporción aritmética discreta)
(proporción geométrica discreta)
PROPIEDADES BÁSICAS DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS En la proporción: 1
a c = , se cumplen las siguientes propiedades: b d
a±b c±d a c = ⇒ = b d b d
2
a+b c+d a c = ⇒ = a-b c-d b d
a+c a c a c = ⇒ = = b+d b d b d
3
En general una proporción continua:
Veamos algunos ejemplos: 1 álvaro y Rita tienen ahorrados S/. 144. Si lo que tiene álvaro es a lo que tiene Rita como 5 es a 3, ¿cuánto tiene ahorrado Rita?
Estrategia Si en un enunciado identificamos la razón de dos cantidades así como la suma o diferencia de las mismas, se podrán aplicar las propiedades básicas de una proporción geométrica .
2 Cuando Ana nació Clara tenía 12 años. Si
actualmente sus edades están en la razón de 5 / 8, ¿cuánto suman sus edades actualmente? • Del enunciado: Clara 8 = Clara - Ana = 12 y 5 Ana
Clara + Ana 8+5 • Propiedad 2 : = Clara - Ana 8-5 ⇒
Clara + Ana 13 = ⇒ Clara + Ana = 52 años 3 12
Serie de razones iguales: 1
2
3
a c e = = =k b d f
a+c+e ⇒ =k b+d+f
a c e = = =k b d f
⇒
a c e = = =k b d f
⇒
3 razones
an + cn + en = kn bn + d n + f n a×c×e = k3 b×d×f
¡IMPORTANTE!
• Del enunciado:
5 álvaro = 3 Rita
Rita + álvaro = 144 y
• Ya que conocemos la suma y la razón de las cantidades, aplicamos la propiedad 1 : 5+3 144 8 álvaro + Rita = ⇒ = 3 Rita 3 Rita
• Aritmética: a-b=b-c • Geométrica: a = b b c
⇒ Rita = S/. 54
2 3 Juana y Lucy compraron 240 m de
terreno. Si la parte del terreno que pertenece a Juana es a 3 como lo que le pertenece a Lucy es a 2, ¿cuántos m 2 le pertenecen a Lucy?
• Del enunciado: Lucy Juana = Juana + Lucy = 240 y 2 3 Juana + Lucy Lucy • Propiedad 3 : = 3+2 2
⇒ Lucy = 96 m2
b c a = = 3 5 2
Si: a + b + c = 150 y Halla a:
150 a = ⇒ a = 30 2+3+5 2 a b c = = 3 4 5
Si: a2 + b 2 + c 2 = 200 y Halla b:
200 b = 4 3 + 42 + 52 2
960 c = 4×5×6 6
⇒ b=8
a b c = = 4 5 6
Si: a × b × c = 960 y Halla c:
2
3
⇒ c = 12
¡recuerda! En una serie de razones iguales. antecedentes
a = c= e =k b d f consecuentes constante de proporcionalidad
40
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 La cantidad de canicas que tienen Car-
los y Juan son entre sí como 4 es a 5. Si juntos tienen 180 canicas, calcula la cantidad de canicas que tiene Carlos.
¡ATENCIÓN! Otra forma:
• Carlos = Juan = k 5 4
⇒ Carlos = 4k Juan = 5k
Resolvemos: • Del enunciado: Carlos Juan = y Carlos + Juan = 180 4 5 • Por propiedad 3 : Carlos + Juan Carlos 180 Carlos = ⇒ = 4+5 4 9 4 Carlos = 80
• Reemplazamos: E1 + E2 + E3 = 180 E1 180 = ⇒ E1 = 45 3 12 decenas • Luego, la cifra es 4 . 5 La cantidad de caramelos que tiene Nick,
José, Luis y Raúl son proporcionales a los números 2; 4; 6 y 8 respectivamente. Si el producto de la cantidad de caramelos que poseen los amigos es 98 304, ¿cuántos caramelos más que Nick, tiene Raúl?
de a la de Mario en 50. Si las cantidades de libros están en la relación de 7 a 2 respectivamente, ¿cuántos libros tienen en total?
Resolvemos: • Del enunciado: Luis 7 Luis - Mario = 50 y = Mario 2 • Por propiedad 2 : Luis + Mario 7 + 2 Luis + Mario 9 = ⇒ = Luis - Mario 7 - 2 50 5 Luis + Mario = 90 • Luego, entre ambos tienen 90 libros .
¡RECUERDA!
• Luego, Rául tiene 24 caramelos más.
que tiene ahorrado Edgar. Si sus ahorros son proporcionales a los números 8 y 5, ¿cuánto tiene ahorrado Edgar?
a c e = = =k b d f
Se cumple que:
Resolvemos: • Del enunciado: David David - Edgar = 15 y = Edgar • Por propiedad 1 : David - Edgar 8 - 5 15 = ⇒ = 5 Edgar Edgar
8 5 3 5
Edgar = 25 • Luego, Edgar tiene ahorrados S/. 25 . 4 Las edades de tres hermanos son pro-
porcionales a los números 3; 4 y 5 .Sabiendo que la suma de las edades es 180,
Resolvemos: N J L R • La serie es: = = = = k 2 4 6 8 Aplicamos N × J × L × R N 4 R 4 : • = = la propiedad 2 × 4 × 6 × 8 2 8 • Reemplazamos y efectuamos para cada persona: N=8 98 304 N 4 R 4 = = ⇒ R = 32 384 2 8 • Ahora: R - N = 24
3 David tiene ahorrado S/. 15 más de lo
Propiedades de las series de razones iguales:
an + cn + en = kn bn + dn + fn c) a × c × e = k3 b× d× f
Resolvemos: E1 E2 E3 • La serie es: = = =k 3 4 5 menor E1 + E2 + E3 E1 • Por propiedad: = 3 + 4 + 5 3
2 La cantidad de libros que tiene Luis exce-
b)
• Luego, Carlos tiene 80 canicas.
• 4k + 5k = 180 k = 20 Luego, Carlos tiene 80 canicas.
a) a + c + e = k b+d+f
indica la cifra de la decena de la edad del hermano menor.
6 La suma de los cuadrados de tres
números es 1250. Determina la suma de las cifras del mayor de los números, si estos son proporcionales a 3, 4 y 5.
Resolvemos: N1 N2 N3 • La serie es: = = =K 3 4 5 •
2 2 2 2 Aplicamos (N1) + (N2) + (N3) (N3) : = la propiedad 32 + 42 + 52 52
• Sabemos que: N1; N2 y N3 = 1250 2
• Reemplazamos:
1250 (N3) = ⇒ N3 = 25 25 50
• Luego, el número mayor es 25 .
41
M á S p ro p uestos 1 Las edades de dos hermanos se encuen-
tran en la relación de 5 a 7. Si la suma de sus edades es 60, halla la edad del menor. Rpta.: 25 años
2 Juan requiere comprar un iPod y una
memoria USB. Si se sabe que el costo de los artículos es proporcional a los números 5 y 1 respectivamente, además la suma de ambos es S/. 180, determina el precio del iPod. Rpta.: S/. 150
3 La cantidad de amigos que Katia tiene
en el Facebook excede a la de María en 1350. Si la cantidad de amigos que tienen son entre sí como 7 es a 2 respectivamente, halla la suma de las cifras de la cantidad de amigos que tiene Katia, en dicha red social. Rpta.: 18
4 Emily averiguó los precios de dos marcas
de pantalones. Si el precio de la marca A excede al precio de la marca B en S/. 64 y además dichos precios están en la relación de 9 a 5, ¿cuánto dinero necesita Emily para comprar uno de cada marca? Rpta.: S/. 224
5 La cantidad de lápices de la caja A es a
4 como la cantidad de lápices de la caja B es a 7. Si la diferencia entre las cantidades de ambas cajas es 219, determina la cantidad de lápices de la caja A y da como resultado la cifra de las decenas. Rpta.: 9 6 Sabiendo que el cuadrado de la suma de
los ahorros de Luis y Brenda es S/. 16 900, además sus ahorros están en la relación de 5 a 8 respectivamente, determina la diferencia de los ahorros de ambos. Rpta.: S/. 30
7 Un Ingeniero fue contratado para cons-
truir dos edificios. El primero ya está terminado y el segundo no. Determina la altura actual del segundo edificio, si se
sabe que el primero tiene 120 metros de altura y dichas alturas son entre sí como 8 es 3 respectivamente. Rpta.: 45 m 8 Las edades de tres hermanos son pro-
porcionales a los números 4; 7 y 9. Halla la diferencia de las edades del mayor y menor, si la suma de las edades de los tres hermanos es 140 años. Rpta.: 35 años
9 Si el producto de los precios de cuatro
artículos es 241 920 y dichos artículos son proporcionales a los números 3; 5; 7 y 9, halla la suma de las cifras del menor precio. Rpta.: 3
PISTA 3 Para llegar a la respuesta de manera rápida podemos usar las propiedades básicas. En este caso conviene usar: a±c =a=c b±d b d
10 Gladys va al mercado y compra 3 kg de
papas, 4 kg de arroz y 2 kg de carne. Si el costo total de la compra es S/. 72, además la relación de lo pagado por cada producto es de 7; 8 y 9 respectivamente, ¿cuánto costó el kilogramo de carne? Rpta.: S/. 13,5
11 Romeo le regala a Julieta una caja de
chocolates cuyo volumen es 1944 cm3. Si las dimensiones de la caja son proporcionales a los números 3, 4 y 6, determina las dimensiones de la caja. Rpta.: 9; 12 y 18 cm
12 La cantidad de figuritas que tienen José,
Jaime y Julio, son proporcionales a los números 3, 5 y 7. Halla la suma de las cifras de la cantidad de figuritas que tiene Jaime, si la suma de los cuadrados de la cantidad de figuritas que tiene cada uno es 5312. Rpta.: 4
¡RECUERDA! El volumen de un cubo está dado por el producto de sus tres dimensiones. H
13 Se tienen 4 cuadrados, cuyos lados son
proporcionales a los números 3, 5, 6 y 8 respectivamente. Si la suma de las áreas de dicho cuadrado es 536 cm2, determina la suma de las cifras del área del cuadrado de menor superficie. Rpta.: 9
A
L
V = A.L.H
42
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Antonio y Benito juntos han cosechado
384 kg de papas. Si lo que cosechó Antonio es a lo que cosechó Benito como 7 es a 9, ¿cuántos kg cosechó Benito?
4
4 Un sastre confeccionó 18 pantalones
más que otro. Si lo que confeccionó uno es a lo que confeccionó el otro como 5 es a 3, ¿cuántos pantalones confeccionaron en total?
PISTA 4 Recuerda: Si: a = c b d
¡Resuelve aquí!
entonces: a+c = a = c b+d b d
2 Las edades de Carla y Daniela son entre
5 Dos cisternas pueden contener un total
3 Eduardo vive en un edificio que tiene 8 pi-
6 Roberto pesa 20 kg más que Hugo. Si
sí como 9 es a 5. Si hace 2 años sus edades sumaban 94 años, ¿cuál es la edad que tiene Carla actualmente?
PISTA 4 Si: a = c b d entonces: a+b = c+d a-b c-d
sos más que el edificio donde vive Fredy. Si el número de pisos de cada edificio esta en la razón de 7 a 5, ¿cuántos pisos tiene el edificio donde vive Fredy?
de 2850 litros de agua. Si lo que contiene una cisterna es a lo que contiene la otra como 8 es a 11, ¿cuántos litros contiene la cisterna que contiene más?
el peso de Roberto es al peso de Hugo como 18 es a 13, ¿cuánto pesa Roberto?
43 Compartir lo que tenemos con los demás, nos hace más solidarios.
PISTA 10 7 La suma de las edades de tres amigos es
10 Sabiendo que el producto de cuatro nú-
meros es 9720 y son proporcionales a los números 2; 3; 4 y 5, halla la suma de los dos primeros números.
Recuerda: si: a1 a2 a3 a4 = = = =k b1 b2 b3 b4 entonces: a1 . a2 . a3 . a4 4 =k b1 . b2 . b3 . b4
8 Tres amigos compran diferentes can-
tidades de naranjas. César y Manuel compraron en total 84 naranjas. Si lo que compran César, Manuel y Arturo es proporcional a los números 2; 5 y 9 respectivamente, ¿cuántas naranjas compró Arturo?
11 Tres cantidades son proporcionales a los
números 3; 5 y 9. Si la suma de sus cuadrados es igual a 1035, halla la diferencia entre la mayor y menor cantidad.
PISTA 12 Si: a = b = c = k n m p entonces: a = nk b = mk c = pk
12) 9 7) 24 años 6) 72 kg 5) 1650 litros 4) 72 pantalones 3) 20 pisos 2) 63 años 1) 216 kg COMPRUEBA
meros es proporcional a los números 13; 7 y 90. Halla el menor de los números.
8) 108 naranjas
12 La suma, diferencia y producto de dos nú-
9) S/. 125
compras y gastan un total de S/. 475. Si el gasto de cada una es proporcional a los números 3; 4; 5 y 7 respectivamente, ¿cuánto gastó Paola?
10) 15
9 Margarita, Naomi, Paola y Luisa van de
11) 18
132 años. Sabiendo que dichas edades son proporcionales a los números 2; 3 y 6, ¿cuántos años tiene el menor?
Alfonso Rojas Puémape
2
Tema
44
regla de tres
Analizamos las magnitudes proporcionales:
¡recuerda!
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Son aquellas en las cuales las razones correspondientes a cada par de valores son iguales. Sean las magnitudes A y B, y sus correspondientes valores: magnitud A: a 1; a 2; a 3; a 4; …; a n magnitud B: b 1; b 2; b 3; b4; …; bn
Cuando nos referimos a una razón, sin indicar el tipo, hacemos referencia a la razón geométrica.
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
= ... =
an
bn
= k, entonces
A y B son magnitudes directamente proporcionales (DP). Gráficamente: magnitud B b3
b2 b1
a1 a2 a3
¡atención !
Si un móvil aumenta su velocidad, requiere menos tiempo para recorrer una misma distancia.
magnitud A
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Son aquellas en las cuales los productos correspondientes a cada par de valores son iguales. Sean las magnitudes A y B, y sus correspondientes valores: magnitud A: a 1; a 2; a 3; a 4; ...; a n magnitud B: b 1; b 2; b 3; b 4; ...; bn Si se cumple que: a1 × b1 = a2 × b2 = a3 × b3 = … = an × bn A y B son magnitudes inversamente proporcionales (IP). Gráficamente: magnitud B b3 b2 b1
×5
mag. A mag. B
Si se cumple que:
a1
Dada una tabla de valores se observa que si uno de los valores correspondiente a una magnitud se multiplica o divide por una constante, el valor correspondiente a la otra magnitud también se multiplica o divide por la misma constante.
a3
a2
a1
magnitud A
2 3
4 6
6 9
8 10 12 12 15 18
×5
Afirmamos que la magnitud A es directamente proporcional a la magnitud B y lo representamos así: A DP B Cuando uno de los valores correspondientes a una de las magnitudes aumenta, el valor de la otra magnitud también aumenta. Intuitivamente podríamos determinar que el trabajo es directamente proporcional al número de obreros, o que el consumo de combustible de un auto es proporcional a la distancia que recorre.
Dada una tabla de valores se observa que si uno de los valores correspondientes a una magnitud se multiplica por una constante, el valor correspondiente a la otra queda dividido por la misma constante. ×4
Ejemplo:
mag. A mag. B
1 2 3 4 6 72 36 24 18 12 :4
8 9
Afirmamos entonces que la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y lo representamos: A IP B Cuando los valores correspondientes a una de las magnitudes aumenta, el correspondiente valor de la otra magnitud disminuye. Serán magnitudes inversamente proporcionales: la cantidad de días que se emplea para realizar un trabajo u obra y el número de obreros; la velocidad y el tiempo, etc.
45 REGLA DE TRES SIMPLE Es el procedimiento que permite calcular uno de cuatro términos que presentan dos magnitudes proporcionales. Si las magnitudes son directamente proporcionales (DP) la regla de tres simple es directa y si las magnitudes son inversamente proporcionales la regla de tres simple es inversa. Veamos algunos ejemplos: 1 En un establo, el costo de 210 litros de le-
che es de S/. 315. Si se compran 300 litros de leche, ¿cuánto se pagará?
Estrategia
• Las magnitudes son: el volumen y el costo. • Analizamos: A más litros de leche se pagará más, entonces son magnitudes DP. • Aplicando la regla práctica:
Se determinan las magnitudes y luego se establece de que tipo son (DP o IP). Según el tipo de relación que presentan se procede a resolver la regla de tres.
3
2 Para cavar una zanja de 480 m se contra-
taron a 18 obreros. Si ahora se quiere cavar otra zanja de 640 m3, ¿cuántos obreros se deberán contratar?
S/. 315 210 litros 300 × 315 x ⇒x= 300 litros 210 DP x = S/. 450
• Las magnitudes son: el volumen y el N.° obreros. • Analizando: A más volumen se necesitarán más obreros, entonces son magnitudes DP. • Plantemos y efectuamos:
480 m3 640 m3
18 obreros 640 × 18 x ⇒x= 480
DP
3 Para construir una vereda en 12 días se
emplearon 36 trabajadores. Si ahora se planea construir otra vereda con las mismas características pero en 9 días, ¿cuántos trabajadores se emplearán?
para un paseo que durará 6 días. Si al partir se les unen 16 Scouts más, ¿cuántos días durará el agua que llevan?
REGLA PRáCTICA • Si A y B son magnitudes DP. mag.A a1
mag.B b1
a2
x
x=
a2 .b1 a1
• Si A y B son magnitudes IP. mag.A a1
mag.B b1
a2
x
x=
a1 .b1 a2
• Las magnitudes son: el tiempo y N.° trabajadores. • Analizando: como la vereda se debe terminar en menos días se necesitarán más trabajadores, entonces las magnitudes son IP. • Planteamos y efectuamos: 36 trab. x
4 Un grupo de 80 Boys Scouts llevan agua
x = 24 obreros
¡ATENCIóN!
12 días 36 × 12 9 días ⇒ x = 9 IP x = 48 trabajadores
• Las magnitudes son: el N.° personas y el tiempo. • Analizando: si van más, es evidente que el agua durará menos días, entonces las magnitudes son IP. • Planteamos y efectuamos: 80 Scouts 96 Scouts IP
6 días 80 × 6 x ⇒x= 96 x = 5 días
¡IMPORTANTE! En algunos problemas al trabajador se le relaciona con su rendimiento, si esto no se precisa, se asume que todos tienen el mismo rendimiento.
46
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS • Calculamos A: A - 3 = 48 ⇒ A = 51 • Luego, el valor de A es 51 .
1 Sabemos que las magnitudes A y B son
directamente proporcionales y que A = 24 cuando B = 42. Halla el valor de A, cuando B = 28.
Las magnitudes DP también se pueden llamar magnitudes proporcionales.
• Como A y B son DP, se cumple: 24 A A = k ⇒ = 42 28 B 24 × 28 • Efectuamos: A = = 16 42
2
2 Siendo M y N dos magnitudes propor-
S/. 2700. ¿Cuál será el costo de 9 docenas de camisas?
Resolvemos:
• Luego, el valor de A es 16 . ¡RECUERDA!
5 El costo de 5 docenas de camisas es
• Analizamos: a más camisas, mayor será el costo, entonces son magnitudes DP. • Planteamos y efectuamos:
cionales, se cumple que si M = 15, entonces N = 25. Halla el valor de N, cuando M = 9.
Resolvemos:
N =
25 × 81 = 9 225
8m × 15m 12m × 25m
• Como C y D 2 son IP, se cumple:
La magnitud que se compara es el área de la superficie, es decir el largo por el ancho.
magnitud B. Si A = 9, el valor de B es 6, halla el valor de A, cuando B es 3.
a un paseo que durará 12 días. Si luego de 3 días se encuentran con 6 jóvenes extraviados, ¿cuántos días menos durarán los alimentos?
(A - 3)(B3) = k ⇒ (9 - 3)(63) = (A - 3)(33) • Efectuamos: 6 × 216 = (A - 3)(27)
Resolvemos: • Los alimentos luego de 3 días, durarán solo para 9 días más.
Resolvemos: • Si (A - 3) es IP a B3, se cumple:
x = $ 7500
7 Un grupo de 48 jóvenes llevan alimentos
18 × 576 = 128 81
4 La magnitud (A - 3) es IP al cubo de la
• Luego, su precio será $ 7500 .
C × D2 = k ⇒ 18 × 242 = C × 92
• Luego, el valor de C es 128 .
$ 3000 300 × 3000 ⇒x= x 120 DP
Resolvemos:
• Efectuamos: C =
Resolvemos:
• Planteamos y efectuamos:
drado de la magnitud D; además C = 18 cuando D = 24. Calcula el valor de C, cuando D = 9.
S/. 4860 .
• A más superficie, mayor costo, entonces son magnitudes DP.
3 Se sabe que la magnitud C es IP al cua-
¡IMPORTANTE !
x = S/. 4860
go se vendieron en $ 3000. Si otro terreno con las mismas características, pero de 12 m de ancho y 25 m de largo se desea vender, ¿cuál será su precio?
• Luego, el valor de N es 9 .
DP
6 Un terreno de 8 m de ancho y 15m de lar-
M2 = k ⇒ 152 = 9 2 N 25 N
S/. 2700 9 × 2700 ⇒x= x 5
5 docenas 9 docenas
• Luego, el costo de las 9 docenas será
• Determinamos que M y N son DP y efectuamos:
Resolvemos:
• 48 jóvenes 54 jóvenes IP
9 días 48 × 9 ⇒ x = 54 x x =8
• Luego, durarán un día menos .
47
M á S p ro p uestos 1 Las magnitudes A y B son DP. Si además
A = 45 cuando B = 65, calcula el valor de A, cuando B = 39. Rpta.: 27
2 Dos magnitudes C y D son DP. Si se cum-
ple que C = 38 cuando D = 57, halla el valor de D, cuando C = 10. Rpta.: 15
12 Dieciocho pintores se comprometen a
pintar una fachada de 360 m2 de superficie. ¿Cuántos de estos pintores se necesitarán para pintar una fachada de 540 m2 de superficie en el mismo tiempo? Rpta.: 27 pintores
3 Si E varía proporcionalmente con F y
además cuando E = 32 entonces F = 44, determina el valor de E, cuando F = 55. Rpta.: 40
13 En una construcción se requieren 60
obreros para cavar una zanja en 18 horas. Si se quiere cavar una zanja en 12 horas, ¿cuántos obreros más se deberán contratar? Rpta.: 30 obreros
2 4 Se sabe que A es DP a 2B. Halla el valor de
B, cuando A = 4, si A = 12 cuando B = 54. Rpta.: 6
5 El precio de una piedra preciosa es DP
al cubo de su peso. Si una piedra preciosa de 15 gramos cuesta $ 6750, ¿cuánto costará una piedra preciosa que pesa 25 gramos? Rpta.: $ 31 250
15 El precio de un terreno de forma cuadra-
da de 20 m de lado es de $ 14 000. ¿Cuál será el precio de otro terreno de forma cuadrada pero de 25 m de lado? Rpta.: $ 21 875
3 7 Si A varia en forma IP a B , cuando A = 56
16 Por la tarde un árbol de 3 metros de altura
2 3 8 A varia IP a B . Si A = 4 cuando B = 36,
halla el valor de B, cuando A = 108. Rpta.: 4
9 Una empresa bonifica mensualmente a
sus empleados. Si la bonificación es IP al número de tardanzas y un empleado recibió S/. 50 por tener solo 2 tardanzas, ¿cuánto recibirá un empleado que tiene 5 tardanzas? Rpta.: S/. 20
10 Sabiendo que se necesitan 540 gramos
de azúcar para preparar 3 tortas, entonces determina cuántos gramos de azúcar se necesitará para preparar 10 tortas. Rpta.: 1800 g
11 Para cosechar un terreno en 6 días se han
empleado 18 agricultores. Si dicho terre-
En este problema la magnitud que debes comparar es el área.
pueden coser 840 camisas. Si se requiere coser 1120 camisas, ¿cuántas costureras se requieren adicionalmente? Rpta.: 8 costureras
6 Sabiendo que la magnitud A es IP a la
y B = 6 , halla el valor de A, cuando B = 4 Rpta.: 189
PISTA 15
14 En una fábrica de camisas, 24 costureras
magnitud B. Halla el valor de A, cuando B = 56 si sabemos que cuando A = 42 y B = 40. Rpta.: 30
no se debe cosechar en 4 días, ¿cuántos agricultores se emplearán? Rpta.: 27 agricultores
describe una sombra de 5m de longitud. ¿Cuál es la longitud de la sombra que determina, a esa misma hora, una persona que mide 1,80m de altura? Rpta.: 3m
17 Sabiendo que 18 vacas pueden consumir
todo el pasto almacenado en un granero en 24 días, ¿cuánto duraría dicho pasto si ahora hay 16 vacas? Rpta.: 27 días
18 En la base de una cisterna se coloca cin-
co cañerías para desagüe y abriendo todas, la cisterna completamente llena se vacía en 12 horas. Si solamente se colocan tres cañerías, ¿en cuánto tiempo la cisterna se podrá vaciar? Rpta.: 20 horas 19 Una máquina puede sellar 480 latas de
conserva en 15 minutos. Si hay 1856 latas de conserva para sellar, ¿cuánto tiempo emplearía? Rpta.: 58 min.
PISTA 18 Si hay menos cañerías de desagüe la cisterna se vaciará en más tiempo.
48
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Dos magnitudes M y N son directamente
PISTA 1
proporcionales (DP). Si M = 24 cuando N = 75, calcula el valor de N, cuando M = 16.
5
4 El triple de A es DP al quíntuple de B. Si
A = 50 cuando B = 54, halla el valor de A, cuando B = 81.
¡Resuelve aquí!
Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP) si su cociente es una constante. 2 El precio de un diamante es DP al cuadra-
2 5 A varía en forma IP a B . Si A = 4 cuando
3 Sabemos que el rendimiento de un gru-
6 Se sabe que
do de su peso. Sabiendo que un diamante de 5 gramos cuesta $ 12 000, ¿cuánto costará un diamante de 8 gramos?
B = 6, halla el valor de A, cuando B = 4.
PISTA 3 Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP) si su producto es una constante.
po de obreros es IP a su tiempo de trabajo. Si un grupo de obreros con un rendimiento del 80 % puede realizar un trabajo en 30 días, ¿cuánto demorarían si su rendimiento fuese del 60 %?
A varía IP a B 2. Además cuando A = 144, B = 3. Halla el valor de B (B>0), cuando A = 9.
49 Colaborar y ayudar con el trabajo de otros refuerza el valor de la solidaridad.
7 En una travesía, 240 marinos cargaron en
su barco, víveres para 60 días. Si antes de partir suben a dicho barco 60 marinos más, ¿para cuántos días les durarán los víveres?
2 10 Para poder pintar 210 m de la superficie
de un muro se requieren 35 galones de pintura. ¿Cuántos galones de pintura serán necesarios para pintar una superficie de 240 m 2 del mismo muro?
PISTA 7 Si dos magnitudes aumentan o disminuyen son DP y si una aumenta y la otra disminuye o viceversa son IP.
PISTA 9
8 Un terreno de forma rectangular de 16 m
11 Un auto que se desplaza a 90 km/h em-
9 Se requiere de 40 obreros para terminar
12 Una piscina se puede llenar en 12 horas,
de ancho y 35 m de largo tiene un valor de S/. 14 000. ¿Cuál será el valor de otro terreno de 20 m de ancho y 45 m de largo en la misma zona?
plea 4 horas para ir del pueblo A al pueblo B y de regreso emplea una velocidad de 72 km/h. ¿Cuánto tiempo empleó en el viaje de regreso?
Se comparan las magnitudes considerando a los obreros que trabajan en ambos casos.
12) 18 horas 10) 40 galones 9) 4 días 8) S/. 22 500 7) 48 días 6) 6 5) 9 4) 75 3) 40 días 2) $ 30 720 1) 50 COMPRUEBA
empleando 6 grifos de igual caudal. Si al iniciar dicha operación dos de estos grifos se malogran y dejan de funcionar, ¿en cuánto tiempo se llenaría dicha piscina?
11) 5 h
una obra en 12 días. Si al iniciar la obra se retiran 10 obreros, ¿cuántos días más emplearán para culminar la obra?
50
Alfonso Rojas Puémape
c á l c ulo r á p id o MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DE DOS CIFRAS QUE EMPIEZAN EN UNO
1. Ciento noventa estudiantes de un instituto acuerdan asistir a una conferencia cuyo ingreso tiene un costo de S/. 150 por estudiante. ¿Cuál es la inversión total de los estudiantes?
Resolvemos: Solo hay que multiplicar… mentalmente. 190 × 150 Pero dejemos los dos ceros para el final, entonces primero multiplicaremos: 19 × 15 Procesamos solo en la mente: • Sumamos 19 + 5 = 24 • Multiplicamos por 10 este resultado: 240 • Agregamos el producto de las unidades: 240 + (9 × 5) = 285 ¡Listo! ¿Recuerdas los dos ceros?, entonces: 190 × 150 = 28 500 Respondemos: La inversión total es S/. 28 500.
¡ATENCIóN! En realidad solo aplicamos la siguiente identidad (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab O también: x(x + a + b) + ab
2 Trece amigos van a cenar a un restauran-
3 En una caja se puede guardar 16 lámparas.
4 Un salón de conferencias tiene forma
5 Un comerciante compra 14 pares de za-
6 Una empresa de transportes tiene una
7 Carlos tiene un celular prepago y men-
te. Al terminar la cena se dividen los gastos en partes iguales, pagando cada uno S/. 18. ¿A cuánto asciende la cuenta?
Si disponemos de 15 cajas, ¿cuántas lámparas se podrán guardar?
En este ejemplo: 19 × 15 (10 + 9)(10 + 5) 10 2 + 14 × 10 + 9 × 5 O también: 10(10 + 9 + 5) + 9 × 5
rectangular y sus medidas son 17 m de largo y 16 m de ancho. ¿Cuántos m 2 de tapizón se deben comprar si se desea tapizar todo el piso?
flota de 13 buses. Si el costo de mantenimiento por bus es de S/. 140, ¿cuánto gastará la empresa por el mantenimiento de toda la flota?
patos a S/. 110 cada par. Si desea ganar S/. 1000 al vender los 14 pares, ¿cuánto tendrá que recaudar en la venta?
sualmente compra 10 tarjetas telefónicas. Si compra solo tarjetas de S/. 15, ¿cuánto habrá gastado en tarjetas en un año?
51 Empleando técnicas o artificios de cálculo rápido solo en la mente, tendremos más tiempo para cuestiones más difíciles en un examen.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DE DOS CIFRAS QUE TERMINAN EN UNO
8. En un colegio del estado se tienen 81 aulas y en cada una de ellas estudian 31 alumnos. Si en un evento se prepararon para ellos 2520 raciones de alimento, ¿cuántas raciones sobraron?
Resolvemos: Solo tenemos que multiplicar… mentalmente… 81 × 31, y luego comparar el resultado con las 2520 raciones ofrecidas. Multipliquemos 81 × 31: • La última cifra del resultado siempre es 1. • Sumamos decenas: 8 + 3 = 11
“Uno va a decenas del resultado y llevamos uno”.
• Multiplicamos decenas y agregamos el UNO que llevábamos y lo que obtenemos será la cifra de la izquierda del resultado. 8 × 3 = 24 • Entonces: 81 × 31 = 2511 Respondemos: Sobraron 2520 − 2511 = 9 raciones.
9 Arturo compró 41 metros de tela a S/. 71
el metro. ¿Cuánto dinero invirtió en la compra?
10 Un edificio tiene 32 pisos y las escaleras
tienen 21 peldaños. ¿Cuántos peldaños tendrá que subir una persona para ir al último piso?
11 En un cajón se pueden colocar 81 paque-
12 Un comerciante le compra a un mayoris-
2 13 Se desea colocar losetas de 1 m a un
14 Sofía solicitó un préstamo al banco por
tes de galletas. Si en un empaque comercial se han colocado 51 cajones, ¿cuántos paquetes de galleta se tiene en todo el empaque?
piso de forma rectangular con dimensiones de 41 metros de largo por 31 metros de ancho. ¿Cuántas losetas se requieren para dicho piso?
ta 110 camisas a S/. 51 cada una. Si llevó S/. 8600 para la compra, ¿le alcanza el dinero que llevó?
S/. 7100. Si el 51 % lo devuelve en medio año, ¿a cuánto asciende lo que aún le debe al banco?
¡cuidado ! Este artificio resulta de desdoblar cada número así: (80 + 1)(30 + 1) y aplicar la propiedad distributiva así: 80 × 30 + 80 + 30 + 1 11 24 centenas decenas 10 decenas pasan al grupo de centenas, es decir: 1 centena Entonces: 25 1 1 Es decir: 81 × 31 = 2511
Alfonso Rojas Puémape
3
Tema
52
porcentaje
El cálculo de un porcentaje consiste en determinar las partes indicadas, de cien iguales, en las que se ha dividido una cierta cantidad. 32 25 × 360 = 90 • El 32 % de 400 = × 400 = 128 • El 25 % de 360 = 100 100
Calculamos el porcentaje de un porcentaje
¡IMPORTANTE! Los términos de, del, de los, equivalen, en matemática, a multiplicar.
1. Calcula el 15 % del 24 % de 1500 24 15 × × 1500 = 54 100 100 2. Calcula el 35 % del 60 % de 2500 60 35 × × 2500 = 525 100 100
I. Caso en el cual no se conoce la cantidad afectada por un porcentaje. Si x representa el P% de un número, ¿cuál es dicho número?
Calculamos porcentajes con fracciones
1. Calcula el 40 % de los 3 / 5 de 400 3 40 × × 400 = 96 5 100 2. Calcula el 65 % del 60 % de los 3 / 4 de la tercia de 1200 65 60 3 1 × × × × 12000 = 1170 100 100 4 3 1. ¿Cuál es el número de estudiantes, donde su 5% representa 36 estudiantes?
Se puede interpretar así: el 5% de qué número es 36:
Estrategia Para situaciones como esta se procede interpretando la pregunta así: el P % de un número es x y planteamos: P . Nx 100
36 × 100 5 × N = 36 ⇒ N = = 720 5 100 2. Si 3 autos representan el 15% de los que tengo, ¿cuántos autos tengo?
¡atención!
• Número o cantidad inicial equivale a 100% • Aumentar a % equivale a (100 + a)% • Disminuir b% equivale a (100 − b)%
II. Caso en el cual no se conoce el porcentaje que afecta al número. ¿Cuál es el porcentaje de N que representa x? Estrategia Interpretamos y despejamos P: 100x P . N=x ⇒ P= N 100
3× 100 15 × N = 3 ⇒ N = = 20 15 100
De 560 estudiantes matriculados, 196 son de primaria y el resto de secundaria. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes matriculados en secundaria? • Del enunciado: Total = 560 estudiantes Secundaria = 560 - 196 = 364 • Calculando el porcentaje:
P=
364 × 100 = 65 % 560
Para calcular aumentos o descuentos en términos de porcentajes, podemos efectuarlos así: 1. Calcula 280 aumentado en su 15 %. 115 % de 280 = 115 × 280 = 322 100 2. Calcula 450 aumentado en su 32 %. 132 % de 450 = 132 × 450 = 594. 100
3. Calcula 540 disminuido en su 30 %. 70 % de 540 = 70 × 540 = 378 100 4. Calcula 630 disminuido en su 60%. 40 % de 630 = 40 × 630 = 252 100
53 Calculo de la cantidad inicial conociendo la cantidad aumentada o disminuida. 1. ¿Cuál es el número donde 350 es su 40% más? Se interpreta así: el 140% de un número es 350. 140 . N = 350 140 % de N = 350 ⇒ 100 N = 250
2. ¿Cuál es el número donde 270 es su 25% menos? Se interpreta así: el 75% de un número es 270. 75 . N = 270 75 % de N = 270 ⇒ 100 N = 360
PROBLEMAS DE PORCENTAJES RELACIONADOS CON LA COMPRA Y VENTA Para la solución de problemas emplearemos los siguientes términos:
Pc: precio de costo o de compra Pv: precio de venta Pl: precio de lista
g: ganancia p: pérdida d: descuento
Identifica los términos que se emplean y elige la expresión a usar en la solución.
y aplicaremos cualquiera de las siguientes expresiones. 1
Pv = Pc + g
2
Pv = Pc - p
3
Pl = Pv + d
1. ¿A cuánto debo vender algo que me costó S/. 400 para ganar el 28% de su costo? • Del enunciado: Pc = S/. 400 g = 28% del Pc Pv = x • Aplicando 1 : 28 . 400 ⇒ x = S/. 512 x = 400 + 100
2. ¿En cuánto se deberá vender un reloj cuyo costo es de S/. 150 para obtener una ganancia del 36% de su costo? • Del enunciado: Pv = x Pc = S/. 150 g = 36 % del Pc • Aplicando 1 : 36 . 150 ⇒ x = S/. 204 x = 150 + 100
3. Una licuadora cuyo costo es de S/. 210 se vendió con una pérdida del 20 % de su costo. ¿A cuánto se vendió? • Del enunciado: Pc = S/.210 p = 20 % del Pc Pv = x • Aplicando 2 : 20 . 210 ⇒ x = S/. 168 x = 210 100
4. Una lavadora cuesta normalmente S/. 900, pero como estuvo de muestra, se vende con una pérdida del 15%. ¿En cuánto se vendió dicha lavadora? • Del enunciado: Pc = S/. 900 p = 15 % del Pc Pv = x • Aplicando 2 : 15 . 900 ⇒ x = S/. 765 x = 900 100
DESCUENTOS SUCESIVOS
D t = (D1 + D2 -
D1 .D2 )% 100
donde:
D1; D2 : descuentos sucesivos D t: descuento total
a% de Pc = a . Pc 100
NOTITA Otra forma de hallar el D t •
100 - D1 100 - D2 100
×
100 = m 100
• 100 - m = D t
Sean dos descuentos sucesivos del D1 % y el D2 %, ambos descuentos son equivalentes a un único descuento (D t), cuyo cálculo se realiza por medio de la siguiente expresión:
¡recuerda!
Ejemplo: Halla el descuento equivalente a dos descuentos sucesivos del 30 % y 40 %. D t = (30 + 40 -
30 × 40 )% = 58% 100
54
Alfonso Rojas Puémape
MáS RESUELTOS 1 Calcula el 35 % del 40 % de 6500.
Resolvemos: • Expresamos los porcentajes como fracciones y efectuamos: 35 × 40 × 6500 = 910 100 100 2 Calcula el 30 % del 50 % del 70 % 21000.
¡IMPORTANTE !
La interpretación equivalente al enunciado es: El 36 % del 24 % de los 5 / 6 de un número N, es 18.
cuales 30 son de naranja y 54 de limón. Si el resto de caramelos son de fresa, ¿cuál es el porcentaje de los caramelos que son de fresa?
te de los 5 / 7 de 300.
Resolvemos: • Efectuamos adecuadamente: 35 × 60 × 1 × 5 × 300 = 5 7 100 100
9
Resolvemos: • Sea el número N, planteamos: 36 × 24 × 5 × N = 18 6 100 100 • Despejamos y efectuamos: N = 18 × 100 × 100 × 6 ⇒ N = 250 36 24 5 5 ¿Cuál es el número donde 675 es su 35%
Pv = Pc + g Pv = Pc - p Pl = Pv + d
Donde:
Resolvemos: • Como es el 35% más, entonces será el: (100 + 35) % = 135 % del número • Ahora efectuamos adecuadamente: 135 (número) = 675 ⇒ número = 500 100
9 Un juego de ollas me costó S/. 120. Si lue-
go lo vendo, ganando el 30 % del precio de costo y el 20 % del precio de venta, ¿a cuánto lo vendí?
80 % Pv = 130 % Pc • Efectuando: Pv = 130 × 120 = 80
S/. 195
10 Un saco se vende en S/. 168, luego de
hacerle un descuento del 30 % del precio de lista. ¿Cuál fue el precio de lista de dicho saco?
cuales 66 van sentadas. ¿Cuál es el porcentaje de los que van de pie respecto a los que viajan?
Resolvemos:
• Calculamos el % de los que van de pie: % (pie) = 120 - 66 × 100 120
Resolvemos: • Reemplazando la ganancia en la expresión: Pv = Pc + g ⇒ Pv = Pc + 30 % Pc + 20% Pv
6 En un autobús viajan 120 personas de las
Resolvemos: • Como: g = 25% Pv, tenemos: Pv = Pc + g ⇒ Pv = 90 + 25% Pv
• Efectuando: (100 - 25)% Pv = 90 Pv = S/. 120
más?
¡RECUERDA!
• Calculamos el % de caramelos de fresa: 36 × 100 = 30 % 120 do ganando el 25 % del precio de venta, ¿a cuánto la vendí?
24 % de los 5 / 6 del mismo.
Resolvemos: • Calculamos el número de caramelos de fresa: 120 - (54 + 30) = 36
8 Si compro una camisa en S/. 90 y la ven-
4 Halla el número donde 18 es el 36 % del
Pc: precio de costo Pv: precio de venta Pl: Precio de lista g: ganancia p: pérdida d: descuento
7 En un envase hay 120 caramelos, de los
Resolvemos: • Trasformando los porcentajes, efectuamos: 30 × 50 × 70 × 21 000 = 2205 100 100 100 3 Calcula el 35 % del 60 % de la quinta par-
% (pie) = 54 × 100 = 45 % 120
Resolvemos: • Como: Pl = Pv + D, tenemos: Pl = 168 + 30% Pl ⇒ 70% Pl = 168 • Efectuando: 70 . Pl = 168 ⇒ Pl = S/. 240 100
55
M á S p ro p uestos 1 Halla el 25 % del 40 % de 960.
Rpta.: 96 2 Calcula el 30 % del 45 % de 2400.
Rpta.: 324
el 50 % de las damas, ¿cuál es el porcentaje de los asistentes que representan los varones? Rpta.: 75 % 14 ¿En cuánto se debe vender una calcula-
Rpta.: 150
dora cuyo costo es de S/. 250 para ganar el 40 % de su costo? Rpta.: S/. 350
4 Indica el 35 % de 60 % de la cuarta parte
15 Una mesa me costó S/. 560. Para ganar
3 Determina el 50% del 60 % de la tercera
parte de 1500.
de los 16 / 21 de 750.
Rpta.: 30
5 Halla el 10 % del 20 % de los 3 / 5 de los
8 / 9 de 375.
6 Calcula el 15 % más de 240.
Rpta.: 4 Rpta.: 276
7 ¿Cuál es el número donde 814 es su 48 %
más?
Rpta.: 550
8 Determina el 24 % menos de 450.
Rpta.: 342 9 ¿Cuál es el número donde 369 es su 18 % menos? Rpta.: 450 10 En un estacionamiento hay 96 vehículos.
Si 72 son autos y el resto camionetas, ¿cuál es el porcentaje de los vehículos que son camionetas? Rpta.: 25%
11 Se han mezclado 120 litros de alcohol
puro con 40 litros de agua. ¿Cuál es el porcentaje de alcohol en la mezcla? Rpta.: 75%
12 A una fiesta asisten 87 damas y 63 varo-
nes, ¿cuál es el porcentaje de los asistentes que son damas? Rpta.: 58%
13 En un colegio estudian 800 niños, de los
cuales el 60 % son varones. Si no asiste
un 30 % del precio de venta, ¿a cuánto la debo vender? Rpta.: S/. 800
16 El costo de una lavadora es de S/. 950.
Si al venderla se desea ganar el 5 % de costo más el 5 % del precio de venta, ¿en cuánto se debe vender? Rpta.: S/. 1050
¡RECUERDA!
En problemas relacionados con compra y venta se debe tener en cuenta que: Pv = Pc + g
17 Determina el costo de cierto artículo, que
al venderse en S/. 550 se está ganando el 10 % de su costo. Rpta.: S/. 500
18 Un ropero se vendió en S/. 450 ganando
el 30 % de su precio de venta. ¿Cuál será su precio de costo? Rpta.: S/. 315
19 Vendí un teléfono celular en S/. 625 ga-
nando el 25 % del precio de costo y el 15 % del precio de venta. ¿Cuál fue el costo de dicho teléfono? Rpta.: S/. 425
20 Carlos vendió su computadora en
S/. 3000, ganando el 20 % de su precio de costo y el 10 % de su precio de venta. ¿Cuál fue el precio de costo de la computadora? Rpta.: S/. 2250
21 Un comerciante de electrodomésticos lo-
gró vender una refrigeradora cuyo costo es S/. 3400. Si obtuvo una ganancia del 20 % de su costo y el 15 % de su precio de venta, ¿a cuánto la vendió? Rpta.: S/. 4800
PISTA 6 El x % más de N equivale a decir: (100 + x)%N
56
Alfonso Rojas Puémape
control 1 Calcula el 40 % del 45 % de 3000.
PISTA 1
6
4 Manuel tiene 180 libros, de los cuales 60
son de historia, 75 de geografía y el resto de matemáticas. ¿Cuál es el porcentaje de libros que son de matemáticas?
¡Resuelve aquí!
El término de, del o de los, equivale a multiplicación. Ejemplo: La mitad de 12: 1 2
×
12 = 6
2 Determina el 20 % del 35 % de los 5 / 7 de
5 ¿Cuál es el número del cual 340 es su
3 Sumar el 20 % del 30 % de 150 más el
6 En un ómnibus viajan 80 pasajeros de
la mitad de 160.
25 % del 40 % de 100.
PISTA 2 Recuerda: 20% = 20 100 35% = 35 100
36 % más?
los cuales el 60 % van sentados. Si se baja el 50 % de los parados, entonces de los pasajeros que quedan en el ómnibus, ¿cuál es el porcentaje que representa a los que van sentados?
57 No debemos ser egoístas, se debe preferir el interés del grupo, así reforzamos el valor de la solidaridad.
7 El costo de un ventilador es S/. 105. Si lo
vendo con una pérdida del 40 % de su costo, ¿cuál será el precio de venta?
8 ¿En cuánto debo vender un reloj que me
costó S/. 240, para ganar el 20 % de su precio de venta?
PISTA 7
10 El precio de venta de una laptop es
S/. 4500. Si en la venta se gana el 25 % del precio de costo, ¿cuál es su precio de costo?
11 Sabiendo que al venderse un juego de
dormitorio por S/. 1800 se gana el 35 % de su precio de venta, ¿cuál es el precio de costo de dicho juego?
Pv = Pc - p donde: Pv: precio de venta Pc: precio de costo p: pérdida
PISTA 8 Pv = Pc + g donde: Pv: precio de venta Pc: precio de costo g: ganancia
12) S/. 300 8) S/. 300 7) S/. 63 6) 75% 5) 250 4) 25% 3) 19 2) 4 1) 540 COMPRUEBA
ganando el 30 % de su precio de costo y el 25 % de su precio de venta. ¿Cuál fue el precio de costo del escritorio?
9) S/. 2400
12 Antonio vendió un escritorio en S/. 520,
10) S/. 3600
S/. 1700. Si al venderla se obtiene una ganancia del 20 % de su costo y el 15 % de su precio de venta, ¿cuál fue su precio de venta?
11) S/. 1170
9 Una cámara fotográfica tiene un costo de
Alfonso Rojas Puémape
matemática recreati va 1. Puntos DE CONTACTO
¿Cuál es la menor cantidad de bolitas idénticas necesarias para que al juntarlas sobre una superficie podamos tener 12 puntos de contacto entre ellas?
¡Resuelve aquí!
2. El libro que no cae Señala cuál es el libro que nunca se caerá al empujar cualquiera de los libros que están a los extremos. 4
8 cm
6 cm
6 cm 14 cm
16 cm
5
5 cm
1
10 cm
20 cm
3
12 cm
1
6
30 cm
2
18 cm
10 cm
58
9 cm
59
3. ¡Un bloque a la vez!
Tres bloques de metal han sido colocados por un empleado, sobre una mesa, en la posición A. Sin embargo, se le ha indicado que deben colocarse en C, en el mismo orden. ¿Cómo lo hará, si solo puede mover un bloque a la vez y puede usar la posición B como puente? ¡Con el menor número de movimientos posibles y además arriba de cada bloque siempre debe haber un número menor!
A
1 2 3 B C
4. Amigos solidarios
Dos amigos toman un taxi de Lima a La Molina, acordando con el taxista en pagar S/. 40. Exactamente a la mitad del camino, se baja uno de ellos, entregando al otro S/. 20, para que al final pague al taxista.
Sin embargo, el taxista opina que el que bajó primero debió pagar S/. 10, con justicia. ¿Tú qué opinas?
60
Alfonso Rojas Puémape
a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial
10 En un corral hay 180 aves, entre pavos y patos. De estos, el 45 % son pavos. ¿Cuántos patos hay que sacar y en su lugar colocar pavos, para que haya la mitad de cada especie?
c) 1296
a) 30 b) 50 c) 60 d) 40 e) 20 d 15
b 16
e 17
c 18
a 19
e 20
a) S/. 225 d) S/. 270
b) S/. 240 e) S/. 210
c) S/. 9,60
b) 8
c) 10 d) 12 e) 9
a) 7
b) 8
c) 6
d) 5
e) 4
20 Sembrar un terreno cuadrado de 24 m de lado, le demanda 4 horas de trabajo a un campesino. ¿Cuántas horas tardará en sembrar un terreno de 36 m de lado?
a) 8
b) 7
c) 6
d) 10 e) 9
21 Una vaca sujeta a una estaca mediante una cuerda de 8 m de longitud puede comer todo el pasto que está a su alcance en 3 horas. Si la cuerda fuera de 16 m, ¿cuánto tiempo le tomaría comer todo el pasto a su alcance?
c) S/. 250
15 El impuesto grabado a las ventas (IGV) es aplicado al valor de venta de los artículos que se venden, obteniendo así el precio de venta, al sumar el valor de venta y el IGV.
14
8 En 80 litros de agua se han disuelto 6 kg de azúcar. ¿Cuántos litros de agua pura debe agregarse para que en cada 20 litros de mezcla haya 1 kg de azúcar?
13
d) 2,5 e) 4
12
c) 3
c) S/. 600
14 ¿A cuánto debo vender lo que me costó S/.120, para ganar el 50% del costo, más el 20% del precio de venta?
11
b) 2
b) S/. 520 e) S/. 640
10
a) 1
a) S/. 540 d) S/. 720
9
8
7 En 60 litros de agua, se han disuelto 5 kilogramos de sal. Si se agregan 20 litros de agua, ¿cuántos kilogramos de sal habrán en cada 32 litros de esta nueva mezcla?
b) S/. 12 e) S/. 9
19 Veinticuatro obreros pueden realizar una obra en 32 días. Luego del cuarto día de trabajo se integran ocho obreros igualmente hábiles a los anteriores. ¿Con cuántos días de anticipación terminarán la obra?
7
b) 841 e) 1089
13 El precio de costo de un televisor es de S/. 360. ¿A cuánto debe ser vendido, para ganar el 40 % del precio de venta?
a) 6
a) 10h d) 16h
6
a) 576 d) 1024
a) 16 b) 18 c) 15 d) 14 e) 12
a
c) S/. 400
18 Doce obreros inician una obra que pueden terminar en 24 días. Luego del cuarto día de trabajo se retiran cuatro obreros. ¿En cuántos días más terminarán la obra el resto de obreros?
b) 11h e) 20h
5
6 El cuadrado de M es proporcional a la raíz cuadrada de N. Si M = 6 cuando N = 16, calcula el valor de N, cuando M = 18.
a) S/. 10,62 d) S/. 11,25
4
a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18
c
b
5 El cubo de A es proporcional a (B + 2) y si A = 6, B = 10. Calcula el valor de A, cuando B = 322.
12 A una fiesta asistieron 90 personas, de las que el 60 % eran mujeres. ¿Cuántas parejas de esposos deben retirarse para que en la fiesta, el número de hombres que quede sea el 1 33 3 % de los presentes?
e
a) 10 b) 15 c) 12 d) 13 e) 16
a) S/. 100 b) S/. 112 c) S/. 118 d) S/. 114,30 e) S/. 115,20
e
a
4 El cuadrado de X es proporcional a (Y - 1). Además, cuando X = 6, Y = 10. Calcula el valor de X, cuando Y = 26.
b) S/. 472 e) S/. 456
c) 12h
3
11 El precio de un polo de la selección de fútbol, en enero, era S/. 120. En febrero bajó en un 20 % y en marzo aumentó en 20 %. ¿Cuál fue el precio en marzo?
a) 48 b) 55 c) 60 d) 32 e) 36
a) S/. 480 d) S/. 496
17 El precio de venta de un pantalón es S/. 59. Calcula el IGV.
b) 18 c) 11 d) 12 e) 9
d
a) 8
2
3 Dos números son entre sí como 7 es a 4 y su producto es 700. La suma de estos números es:
c) S/. 619
1
a) 10 b) 11 c) 12 d) 18 e) 9
b) S/. 612 e) S/. 679
16 Calcula el precio de venta de un terno, si el IGV es S/. 72
b
a) S/. 451 d) S/. 649
c
2 Dos números son entre sí como 9 es a 7 y la suma de sus cuadrados es 8320. La suma de cifras del número mayor es:
a) 24 b) 20 c) 26 d) 28 e) 32
e
a
a) 16 b) 13 c) 12 d) 11 e) 10
Actualmente el IGV es el 18 % del valor de venta. ¿Cuál es el precio de venta de un Ipod, cuyo valor de venta es S/. 550?
b
9 Se mezclan 14 litros de vino con 2 litros de agua. ¿Cuántos litros de vino hay que agregar, para que por cada 2 litros de la nueva mezcla se obtenga un decilitro de agua?
e
1 Dos números son entre sí como 3 es a 7 y la suma del triple del mayor con el cuádruple del menor, es 396. Calcula la suma de cifras del mayor de dichos números.
c
Nivel I
c 21
61
Acumulativo parcial
11 Se sabe que la raíz cuadrada de A es inversamente proporcional al cuadrado de B, halla el valor de A, cuando B = 4, si A = 16 cuando B = 6.
a) 15 b) 24 c) 48 d) 63 e) 99
c) S/. 27 a) S/. 31,86 b) S/. 34 d) S/. 23 e) S/. 29,40 19 Calcula el valor de x en la factura: Cantidad Descripción Precio Unit.
b) 6
c) 9
d) 8
a) S/. 59 998 c) S/. 59 997 e) S/. 60 002
01
Tóner
S/. 247,00
02
Papel bond × 100
S/. y
Importe
Subtotal
Importe
IGV
S/. 45
TOTAL
S/. x
a) 250 b) 275 c) 205 d) 295 e) 315 20 Del problema anterior, ¿cuál es el valor de y?
a) 25 b) 28 c) 26 d) 21 e) 24 21 José acuerda con el jefe del personal, el sueldo que va a recibir. ¿Cuál debe ser el monto de tal sueldo, si luego del descuento del 12 %, quiere recibir S/. 1320 líquido?
e) 5
a) S/. 1162 b) S/. 1500 c) S/. 1400 d) S/. 1620 e) S/. 1540 22 ¿A cuánto debo vender la computadora que me costó S/. 2400 para ganar el 20% del precio de costo y 10% del precio de venta?
b) S/. 59 996 d) S/. 59 994
17 Al colocar la información en una factura, el IGV es el 18 % del subtotal y
10
11
12
13
14
a) 15 b) 16 c) 13 d) 14 e) 12 d 15
c 16
b 17
c 18
d 19
e 20
b 21
¿Cuánto es el IGV?
a) 32 b) 12 c) 10 d) 15 e) 13
a) 7
Importe
c) S/. 468
16 Cuando un cliente cobra un cheque en el banco, le descuentan el 0,005 % por concepto de impuesto a las transacciones financieras (ITF). ¿Cuánto recibirá por un cheque de S/. 60 000?
8 Se sabe que A + 1 es proporcional a (B - 3). Calcula el valor de A, cuando B = 9, si A = 35 cuando B = 12.
9 Sabiendo que (A + 2) es inversamente proporcional a (B - 1) y que A = 10, cuando B = 9, calcula el valor de A, cuando B = 7.
S/. 17
TOTAL
15 Un batallón conformado por 32 soldados pueden mantenerse en campaña bien alimentados durante 12 días. Si luego del tercer día se incorporan 4 soldados más, ¿para cuántos días tendrá alimento ahora el nuevo batallón?
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
b) S/. 324 e) S/. 486
9
Pantalón corto
Importe
IGV
14 Se sabe que 24 obreros pueden realizar una obra en 24 días de trabajo. Luego de estar laborando con normalidad durante 4 días, se retiran 9 obreros. ¿Cuántos días más demandará la entrega de la obra?
a) 12 b) 18 c) 15 d) 10 e) 16 7 Sabiendo que (A + 6) es proporcional a (B - 4) y que A = 3 cuando B = 10, calcula el valor de B cuando A = 12.
05
e) 7
8
6 La suma, el producto y el cociente de dos números son proporcionales a los números 7; 18 y 2, respectivamente. Calcula la diferencia de dichos números.
a) S/. 216 d) S/. 648
b
e) 3
e
d) 4
a) 45 b) 80 c) 75 d) 125 e) 180
d) 3
13 Moldear un cubo de cobre de 6 cm de arista, cuesta S/. 144. ¿Cuánto costará moldear un cubo de 9 cm de arista, del mismo metal?
5 La suma, diferencia y el producto de dos números son proporcionales a los números 5; 1 y 24 respectivamente. Calcula la diferencia de cuadrados de dichos números.
c) 4
c
c) 6
b) 5
c
a) 12 b) 8
a) 6
b
d
calcula: 3a + 5c - 2e 3b + 5d - 2f
S/. 46
Subtotal
a) S/. 3000 b) S/. 4000 c) S/. 3200 d) S/. 2800 e) S/. 3600
7
c = e d f ce + ae = 48, df bf
a
a 4 Si: b = y ac + bd
Polos de algodón
6
a) 960 b) 840 c) 720 d) 540 e) 630
a) 100 b) 36 c) 81 d) 49 e) 64
02
5
Cantidad Descripción Precio Unit.
12 Un grupo de jardineros tarda 9 horas en sembrar un jardín de forma cuadrada, de 18 m de lado. ¿Cuántas horas tardarán en sembrar otro jardín de forma cuadrada, de 12m de lado?
3 Siendo:
c) S/. 640
18 Completa la factura, recordando que los precios ya incluyen IGV:
4
2a + 3b = 7 y a + b = 76, 2a - 3b 3 calcula ab.
b) S/. 750 e) S/. 710
3
a) 35 b) 49 c) 42 d) 56 e) 63
a) S/. 720 d) S/. 740
2
2 Tres números son entre sí como 2; 3; y 5. Si el producto de ellos es 6480, calcula la suma del menor y el mayor.
a) 16 b) 18 c) 14 d) 12 e) 10
1
e
e) 12
c
d) 9
b
c) 8
d
a) 15 b) 6
el total es la suma del subtotal con el IGV. Si el total es de S/. 885, ¿a cuánto equivale el subtotal?
a
10 Si (M - 2) es inversamente proporcional a N + 1 y M = 8 cuando N = 63, calcula el valor de M cuando N = 8.
c
1 Dos números son entre sí como 2 es a 5 y la suma de los cuadrados es 464. Calcula la diferencia de dichos números.
e
Nivel II
c 22
62
Alfonso Rojas Puémape
Acumulativo parcial
d2 + b 2
e) 1
2 2 = a +b 97
determina el valor de: 3a 2 + 2b 2
2a 2 - 7b 2 c) 11/2
24x
c) 3
d) 5
e) 2
b) 5
c) 6
d) 4
c) 25%
16 Si 2Q + 3P es el 50% de 9Q - 2P, halla cuántas veces P es el 25% de 5Q. a) 3
b) 1
c) 2
d) 4
e) 5
a) 9 / 8 d) 12 / 11 18 Si:
b) 8 / 9 e) 1
c) 11 / 12
8A + 2B + 3 3 = 7A + 13B + 7 7
calcula el porcentaje que 2A - B representa de A + B. a) 10% d) 25%
b) 20% e) 50%
c) 15%
19 Si Daniel coloca cada una de sus llaves en un llavero diferente, x% de sus llaveros quedarían sin usar. Pero si intentara hacerlo teniendo 50% más de llaves, necesitaría x% más de llaveros. Calcula cuántas llaves tiene Daniel, sabiendo que tiene x llaveros.
e) 2
a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 25 20 En el salón de Alonso hay 15 alumnos y 60% de ellos son damas; además, si se juntan con los 20 alumnos del salón de Carla y se retiran 3 damas, el porcentaje de varones anterior aumenta en 25%. ¿Cuál es el porcentaje de damas en el salón de Carla?
d) 25 e) 100
14 Se tiene H2SO4 diluido al 12%; luego, se le agrega cierta cantidad de agua y la concentración baja a 8%. ¿A cuánto bajará la concentración si
c) 4
14
b 15
b) 6 e) 3
96
a) 64 b) 36 c) 8
a
c 16
a 17
a) 5 d) 2
72
13 Halla el número para el que se cumple que el 5% de su 250% es igual a su raíz cuadrada.
7 Las cantidades 2A+3 y nB+2 son directamente proporcionales. Si A = 21 cuando 2B = 22 y A/2 = 24 cuando B = 25, calcula el valor de n.
d 18
b 19
a) 3
13
b) 2/3 e) 29/5
24
b) 6
12
a) 1/3 d) 5/3
B
11
9x 2
10
5m
2
-1
9
9
a-b
16
8
=
7
2
a
a+b 13m
60min
144
b) 20% e) 40%
17 Se vende una casaca ganando el 20% del costo y el 10% del precio de venta. Además, se vende un par de zapatillas ganando 10% del costo y 20% del precio de venta. Si las ganancias fueron iguales, ¿cuál es la razón de costos entre la casaca y las zapatillas?
12 A partir de los 30 años, el cuadrado de la cantidad de kilómetros que Juan puede correr, sin descansar, comenzó a variar en forma IP con su edad. Si cuando tenía n + 30 años, podía correr 7km, calcula los n km que podía correr a los 49 años.
6 Se cumple que:
a) 4
c
d) 8
c)
A
e
c) 4
11 Entre las magnitudes A y B existe una relación de proporcionalidad. Halla x.
a
a) 10 b) 2
b) 50min e) 30min
d
a) 15% d) 30%
a) 20% d) 50%
6
d) 12 d) 10 e) 5
a2 + c 2
calcula:
5
a) 20min d) 40min
y a 2c = 8db 2
e) 8
a) 30 b) 36 c) 40 d) 48 e) 54
5 Se sabe que: (a - d) - (c - b) b - d = c+d d
d) 6
b) 30% e) 60%
4
= 65 y ab = 135 b + 3a b 63 2
b) 6
c) 5
10 Para llenar un cilindro se debe dejar abierto un caño que lo alimente durante una hora y media. Si se quiere llenar otro cilindro cuya altura y radio, son la mitad y los 2/3 del anterior, respectivamente, ¿cuánto tiempo habría que dejar abierto el mismo caño?
a 3 + 3ab 2 a) 8
b) 4
15 Una empresa de panetones logró vender el 80% de su producción con 20% de ganancia. Si al final obtuvo 12% de ganancia, ¿cuál es el porcentaje de pérdida con el que se vendió el resto?
3
4 Halla el producto de cifras de a, sabiendo que:
2x 2
c) 40%
2
b) 10 c) 14 d) 15 e) 18
3
4
9 En una imprenta se tiene una máquina que puede producir 625 separatas de 80 hojas en 2 horas y 5 minutos. ¿Cuántas hojas debería tener una separata de la cual se puedan producir 250 ejemplares en media hora?
3 Calcula b + c, si: bc = 1650 y b + 11 = c + 6 11 - b 6 - c a) 40 b) 50 c) 75 d) 85 e) 95
6
b
a) 6
a) 2
8
e
B
a) 6% b) 5% c) 7% d) 4% e) 3%
1
2 Dos números son entre sí como 9 es a 7; además al sumar el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dichos números se obtiene 2340. Calcula la diferencia de dichos números.
3
c
24
c
c) 10 d) 12 e) 15
16
e
b) 6
12
d
a) 4
A
a
se agregara nuevamente la misma cantidad de agua?
8 Las magnitudes A y B guardan una relación de proporcionalidad. Calcula x.
1 El producto de la suma y la diferencia de dos números que son entre sí como 8 es a 5, es 624. ¿Cuál es el producto de cifras del número mayor?
b
Nivel III
d 20
63
Acumulativo total
8 Determina la figura que continúa en la secuencia:
2 13 Se sabe que M es DP a N e IP a P y a Q. Cuando P aumenta tres veces más, N se duplica y Q se triplica, entonces M ...
...
a) 3 / 2 b) 2 / 3 c) 4 / 5 d) 5 / 3 e) 3 / 7
2 Encuentra la figura que continúa en:
e)
5 Halla el valor de k, si: m+1= n+3 y m= p =k n q p+2 q+6
mp mr pr m p r 6 Si: n = q = s y nq + ns + qs = 75 13m + 7p - 4r 13n + 7q - 4s a) 10 b) 20 c) 15 d) 25 e) 5
c) 5 / 4
C2 100 - C
e)
b) 11 / 12 e) 9 / 13
P=
Determina
a)
a) 4
8 6
7 5
5
b) 6
c) 3
d) 7
C2 100 + C
G= P= R.
b)
a) S/. 975 d) S/. 819
c)
d)
e)
b) S/. 936 e) S/. 728
c) S/. 910
18 Determina un número tal que: el 40% del 50% de dicho número es igual a la raíz cuadrada del mismo número.
a) 16 b) 25 c) 12 d) 9
e) 36
19 Vendí mi bicicleta y gané el triple de lo que rebaje. Si inicialmente pensaba ganar el 80% del precio del costo, ¿cuál es la razón entre el precio de costo y el precio de venta final?
9 5 3
100C
c) 100 - C
17 Se pide calcular el precio de costo de una mesa; la ganancia es 12,5% del precio de costo y el precio de venta es N. Un alumno asume que la ganancia es 12,5% del precio de venta, por lo cual obtiene S/.13 menos que el resultado real. Calcula N.
c) 11 / 13
12 Determina el valor de x: 15 x 8 7
G=
a) 14 b) 16 c) 20 d) 28 e) 24
4
13
14
d 15
b) 16 / 25 e) 3 / 5
a
c 16
a) 3 / 2 d) 2 / 5 b 17
b 18
12
7 Mariela tiene 2 modelos de portavasos circulares del mismo material, pero de distintas medidas, además el radio de uno de los modelos es 4 / 5 del otro y la misma razón se observa para los pesos. Si el volumen es DP al peso, ¿cuál es la razón de espesores?
d) 16 Si:
11 La eficiencia de un grupo de empleados varía en forma IP con la raíz cuadrada del tiempo que laboran cada día. Si este grupo terminó un trabajo en 14 días laborando 6 horas continuas, ¿cuántos días les tomará realizar un trabajo doblemente difícil que el anterior, si laboran 9 horas con un descanso de 50 minutos cada día?
determina el valor de:
a) 12 / 13 d) 11 / 14
11
e) 1 / 6
a
d) 2
10
a) 1 / 2 b) 1 / 3 c) 3
9
9 6
a) 4/5 d) 5/8
e) 5
8
d)
a) 98 b) 82 c) 90 d) 10 e) 72
7
b) 100 + C
6
b) c)
100 + C 100 - C
5
a)
a)
A
10 Se vende una cámara fotográfica ganando el 32% del costo y el 20% del precio de venta. También se vende una laptop ganando el 24% del costo y el 20% del precio de venta. Si las ganancias fueron iguales, ¿cuál es la razón de costo de la cámara y la laptop?
27
bm
x
100C
b) 8/5 e) 5/13
4
?
m2 b 4
3
15 Un comerciante compra un televisor en C nuevos soles. Calcula la ganancia que obtuvo al vender dicho televisor, si esta fue C% del precio de venta.
B
a
4 Determina la figura que falta:
a) 12 b) 10 c) 15 d) 14 e) 16
c) 3 / 8
2
3 Calcula C / A, si se sabe que: A + B = 11 y B + C = 13 3 C-B 7 B-A a) 4 / 7 b) 7 / 4 c) 10 / 3 d) 6 / 35 e) 35 / 6
1
e)
e
c
d)
b
14 Si se cumple que 7R + 3M es el 50 % de (13M - 2R), determina cuántas veces R es el 75% de 7M.
e)
c
b) c)
d)
c
a)
c)
9 En la figura se muestran las gráficas de dos relaciones IP y una relación DP. Calcula el área, en u 2, de la región sombreada disminuida en x u2.
b)
e
a)
b
b
e
a) Se reduce en 2 / 3 de su valor. b) Aumenta 3 veces su valor. c) Se triplica. d) Se reduce a 2 / 3 de su valor. e) Se reduce en 1 / 3 de su valor.
c
1 En una reunión, las personas casadas son 4 / 7 del total. Luego llegan 9 personas casadas de modo que ahora estos son 3 / 5 del total. Calcula la razón actual entre personas casadas y no casadas en la reunión.
a
Nivel IV
a 19