Matemática_primaria_5_CT by karin Villanueva

ma te mรกtica

c u a d e r n o de t r a b a j o

© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Asistentes de edición: Giovanna Rojas Jorge Chávez Jhonny Leguía Edson Tacanga Ronald Córdova Eduardo Julca Ulises Laureano Vilma Tipula Betty Araujo Correctora de estilo: Milagros Bueno Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Diseño de interiores: Jorge Huamaní Diagramación: María Isabel Flores, Marco Peña Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado, Will Quispe Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.

Í ndic e Panor á m ic o Unidad

TíTULO

Mis lecturas favoritas

Pág. 6

2 Pág. 28

3 Pág. 52

4 Pág. 74

5 Pág. 98

6 Pág. 120

7 Pág. 144

8 Pág. 174

9 Pág. 208

10 Pág. 230

11 Pág. 260

12 Pág. 300

CONTENIDO

TEMA 1

TEMA 2

TEMA 3

TEMA 4

TEMA 5

TEMA 6

Conjuntos

Operaciones con conjuntos

Relaciones binarias

Cuesta poco … vale mucho más

Sistemas de numeración

Números hasta la centena de millón

Multiplicación y división en N

Potenciación y radicación en N

Nunca un accidente... ¿se puede?

Propiedades de los números

Múltiplos y divisores

Máximo común divisor (mcd)

Mínimo común múltiplo (mcm)

Evitemos la escasez de agua

Fracciones

Multiplicación y división de fracciones

Potenciación y radicación de fracciones

¡Cuidado!... la salud es primero

Representación decimal

Expresión decimal

Operaciones con decimales (I)

Operaciones con decimales (II)

Buenas ideas para vivir mejor

Proporcionalidad numérica

Razones y proporciones

Magnitudes proporcionales y reparto

Regla de tres, porcentajes, si

Cooperamos para vivir mejor

Introducción a los números enteros

Los números enteros en la recta numérica

Adición y sustracción en Z

Multiplicación y división en Z

Coordenadas

Semejanzas que nos acercan

Introducción al Álgebra

Exponentes y radicales

Polinomios

Operaciones con polinomios I

Operaciones con polinomios II

En búsqueda del equilibrio

Ecuaciones e inecuaciones

Ecuaciones de primer grado

Inecuaciones de primer grado

Planteo de ecuaciones e inecuaciones

Medimos el peligro

Estadística y probabilidades

Interpretación y elaboración de gráficos estadísticos

Medidas de tendencia central

Probabilidad

Formas y figuras

Geometría I e Elementos de introducción a Geometría la Trigonometría

Polígonos I

Polígonos II

TransformaCircunferencia ciones y círculo en el plano

Generando bienestar

Geometría II

Estadística

Construcciones geométricas

Sólidos Sólidos geométricos I geométricos II

Introducción a la Trigonometría

ESTRUC T URA L I B RO DE c o n s ult a

C U ADERNO DE T RA B A J O

4 74 74

ALFONSOO ROJAS ALFONS ROJAS PUÉMAP PUÉMAPEE

evit emo s

la esca sez de agu a

ARIT MÉTI CA

Fracciones

EXPL ORAM OS 1

7575

CUIDANDO LAS ÁREAS VERDES Dos niños juegan a las carreras para llegar hasta del parque y Samuel por la sus bicicletas. diagonal. Joel correrá por los lados

LO QUE Y A SABE MOS Conocimiento

s previos

OBSERVAMOS

ARIT MÉTI CA

EL SOL A partir del gráfico:

12:00 p.m. C

¡RECUERDA!

6:00 p.m.

45°

A O 6:00 a.m. Horizontal Responde las siguientes pregunt as: a. ¿Cuál es la medida del ángulo AOC? b. ¿Cuál es la medida del ángulo AOD? . c. ¿Qué hora es cuando la posición del . Sol y la horizont al forman un ángulo de 45°? d. ¿Qué hora es cuando el Sol se encuen . tra en la posición D?

β + α = 180°

e. ¿Crees tú que el Sol

es importante

para la vida?

HAGAMOS DEPORTE Rodrigo debe llegar a la loza deportiva camina un número par. ndo

¡RECUERDA! 3×7−1

5×5+2 72 : 9 − 1

5×6+1 50 : 5 + 1

81 : 9

96 : 4

63 : 9

9×8+2 7×8+1

que debe seguir

que den como

parques son

al parque la

importantes?

vereda diagona

¡IMPORTANTE! Si en un segundo recorre 2 m, entonces en 2 segundo s recorrerá 4 metros. 1s

¿Por qué?

e. ¿Cuál crees que es el camino más corto para césped ? . alcanzar las bicicletas, sin pisar el

resultado

100 : 20

3×4+6

3×9+1

3×3+2

línea el camino

d. ¿Crees que los

5×4:2+1

45 : 9 + 3

...ATERRIZAM OS

2 × 10 : 5

3 × 12 + 8

5×6+1

Marca con una

7×3+2 2×7+4

7×3−2

4×2+4

triángulos divide

36 : 4 + 1

3×8−1

c. ¿En cuántos

¿Por qué?

solo por las calles

5×7+2

2×2+6

Un número par es aquel que tiene por mitad a otro número entero.

Si el parque mostrado es de forma rectang lado mayor mide ular, en el cual 16 m, respond el lado menor e las siguient mide 12 m y es preguntas: a. ¿Cuál de el los dos niños recorre mayor distancia y cuánto recorre cada uno? b. ¿Quién de los dos alcanza primero su bicicleta en dos segund . , si Joel puede os y Samuel 5 recorrer 7 metros metros en dos segundos?

¡ATENCIÓN!

Algunas conclu siones

Amanece a las 6:00 a.m. y anochece 6:00 p.m. a las

Rodrigo.

Practicar algún deporte nos mantend dables. rá salu-

Un ángulo se forma de la intersecc líneas rectas. ión de dos

A D ABCD: rectángu lo BD: diagonal

Los parques son los "pulmones" es por eso que de debemos cuidarlos la ciudad, .

CORTINA Apertura de unidad

EXPLORAMOS LO QUE YA SABEMOS

Análisis de imagen

Prueba diagnóstica de unidad

Sistematización de tema transversal, valor y competencia

237

ACIÓ N ÓN Y EL ABOR I NTER PRE TACI S ESTA DÍST ICOS tración DE GRÁ FICO miento y demos

2 ÁLG EBRA

EX PERI ENCI

PUÉMA PE ALFONS O ROJAS

236

S HORIZONTAL DE BARRA

ES Y VERTIC

es naturales

desastr 2 ¿Cuántos

a: on? Según la historiet cada tipo ocurrier desastres de 1 ¿Cuántos

obteinformación Organiza la barras diagrama de nida en un vertical.

total? ocurrieron en

En cada caso, 1

interpreta y

tarde.

Carrera

Abel

Compara y

Ingeniería

Arquitectura

niño Betty

de ¿Cuál es la talla 3

personas

Número de profesionales

nales ¿Cuántos profesio

Carlos David

Medicina

? cada carrera tenemos en

barras diagrama de El siguiente cia de los nimuestra la preferen por cuatro deños de un colegio (N), fútbol (F), n portes: natació y voley (V). básquet (B)

cada niño? tes más tiene

¿Cuántos habitan Tacna?

responde.

Región

Ayacucho que

N° niños

Habitantes

Tumbes

encuesa realizó una la Una empres de turistas, sobre luta a un grupo de visitar cuatro preferencia Lima, Cajamarca, gares del Perú: Cuzco y Trujillo. a os de la encuest Los resultad a de en el diagram se muestran al. barras horizont

Ica

Arequipa Chiclayo

listas ¿Cuántos especia a Ica?

enviaron

Ciudad Trujillo

más ens especialistas a? 10 ¿Cuánto que a Arequip viaron a Chiclayo

Lima 50

Tacna

tas

= 100 especialis

Cuzco

Apurímac Ayacucho

Perú.

barras diagrama de reElabora un represente los horizontal que os. sultados obtenid

= 12 2

muespictograma El siguiente listas, d de especia tra la cantida envió desastres, que en prevenir r a la para asesora Defensa Civil, s del tres ciudade población de

menos prac¿Cuál es el deporte sus frecuenson ticado y cuáles y relativa? cias absoluta

Profesor 43

Nivel Mañana

responde.

Talla (cm) 130 129 128 127 126 125 124

mas visita¿Cuál es la ciudadfrecuencias las da? Calcula . absoluta y relativa

practideporte más ¿Cuál es el son sus frecuen cado y cuáles y relativa? cias absoluta

los se indican A continuación encuesta reauna resultados de 60 promuestra de de lizada a una la preferencia fesores, sobre o en la la mañana trabajar en

Tarde

tiva es cuantita

la tamaño de Determina el muestra.

Personal Social

RAMAS ALES • PICTOG

¿La variable cualitativa?

grupo de 4

grupo de 2

ejercicio.

luego de cada

la muestamaño de ¿Cuál es el tra?

N° alumnos 75

Curso Matemática

s ¡Sí! ¡Tomemo seguridad!

medidas de

hubo El año pasado Mira, Luchín. ¡Debemos estar muchos sismos. preparados!

MA o DIAGRA

Razona

es un Chicos, este desastres gráﬁco de los ocurrieron naturales que el año pasado.

AS 60

del r la prefere ncia PerPara evalua ática (M) y curso de Matem un colegio se (H) en sonal Social de 120 alumtomó una muestra los siguientes ron nos. Si se obtuvie resultados:

o con un

ÁLG EBRA

Cuadro de capacidades y contenidos

carita con • Completa la

200 000

400 000

600 000

¡ATENCIÓN!

¡IMPORTANTE!

multiplicar ma recuerda En un pictogra ejemplo: indicado. Por por el factor = 10 autos

Número

10 20 30

io entre El valor intermed 10 + 20 = 15 10 y 20 es: 2 20 + 30 = 25 20 y 30 es: 2

N° turistas

Cajamarca

Deportes N

Compara el

105

285

gráfico y respond

José = 10 = 50 autos ⇒ José = 5 ×

PREVIOS TEMAS DE UNIDAD

Historietas: recoge los conocimientos previos y contextualiza el contenido.

Historietas de introducción, mapas con teoría y ejemplos desarrollados por ramas del mapa.

Ejercicios previos a la sección Experie n c i a s con espacios para completar.

Vínculos con CUADERNO DE TRABAJO y páginas web. 127

grupo

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

EX PERI ENCI

AS 33

al día, ¿cuánto se baña tres veces lmente en verano, paga adiciona meses? respecto a otros

un determinado 11 1 EnSeleccio impuesto a na yelescribe cumple que d a la derecha de es IPnúmero, a la cantida pagarcada Si tres números enteros menores que uno posee. de bienes que buses rio tiene 9él: un a. empresa +7 y por ellos interprovinciales S/. 15 000, b. −4 de impuesto paga si tuviese pagaría c.¿cuánto +2 18 buses? d. 0

• Completa la

EXP ERIE carita con un

o con un

149

NCIA S 37

luego de cada

10 Don Paco prometió a su sobrino Memo darle S/. 3 por cada número mayor que que 4 que mencion −5 y menor e. Si Memo mencionó todos correctamente, ¿cuánto recibió?

grupo 1ejercicio. Diferencia los grupo de 2 números positivos de los negativo 4 s, luegodepíntalos de 16 Calcula:color amarillo y rojo, respecti vamente: a. |−3|+|− 5|+|−2| = +3 0 −4 b. |−9|−|− 6|+ 0 + 2= − 7 + 9 −1 c. 2 |+12|−| Se muestran −12| los resultado = s de los partidos por las eliminato d. |−32| : |−4| rias al próximo campeo = nato mundial de 17 Escribe fútbol: el opuesto de cada número: Brasil 3 Bolivia |−3| 1 +4 Uruguay−2 2 Venezuela 1 Perú 3 Chile 0 Colombia|−5| 2 Ecuador 2

147 • Completa la

carita con un

o con un

luego de cada

ejercicio.

c. Perú ganó 2 partidos. d. La tempera tura en Lima llegó a 31°C. e. La tempera tura de Cerro de Pasco es de 3°C bajo cero. f. Alejandro Magno vivió alrededor del año 300 antes de Cristo.

grupo de 2

10 Tomando como A la derecha 11 Escribe el valor referencia el de cada número, nivel del agua absoluto de cada selecciona y del lago, simnúmero: escribe tres números boliza con un mayores que número entero él: S/. 4000 invertidos a. |−7| = la posición de Rodrigo tiene un cada animal: d. |+7|= 12 a. +3 y consigue en su negocio b. |−5| = S/. 1000. Ambos g. Atahualpa e. |+4|= b. −4socio que invierte murió 1500 de A •A la cantidad años después 2m c. |+6| = acuerdan que de Cristo. trabajar, que B f. | 0 | = c. −2 horas que tendrá será IP a sus •B 6 Ubica el número Simboliza y al día b 12 Escribe, en 3m +3 1 a completa la d. +6 cada uno, cada cuadrito luego dos números en una recta y tabla Si Rodrigo trabaja con goles a favor , un número que verifique •C inversiones. que estén a 4 s horas (GF) y goles en la igualdad: unidades de contra (GC): al día, ¿cuánta distancia del 18 Un grupo C su propio3 Escribe 2el horas 4m mismo. de jóvenes opuesto a. | decide abrir de cada núsu socio? •D coopera | = 8 ; d. | en EQUIPO la construc 8 Un joven iones. Si se da mero: trabaja GF GC |=8 ción deEQUIPO D vivienda taller de confecc 3 metros de a. prefabric s GC GF b. Bolivia | adas con −3 | = 15 ; e. | •E +1 −3en Ecuador 1m una zona cuenta de que c. +7 de Lima. Si E | = 15 2m ionar 4 polos, todavía les Brasil F cuadrado 7 Ubica el número c. | tela puede confecc confeccio- b. +20 construir 375 | = 25 ; f. | que A es IP al Perú faltan −3 •F vivienda podrá Cal3 Se sabe | = 25 d. −12 Colombia s y durante luego dos números en una recta y A = 18, B = 4. ¿cuántos polos este mes construir Uruguay de tela? que estén a 5 de B, y cuando = 3. án 98, ¿cuánta 13 Escribe >; <; unidades de 4 Registra los cierA, cuando B Chile nar con 18 metros 11 Selecciona vivienda s =, según correspo distancia del números de menor s aún les faltarán des son DP, es y escribe: cula el valor de Venezue mismo. nconstruir mayor:13 Si dos magnitu la a otra da: el siguiente mes? aumenta, la a. Cinco número to que si una se daa. s impares ubi3 Selecciona −2 a. +7; +2; 0; . ¿En qué forma los cados a la derecha −3 también −4; −3; +1;? −5 completan cada números que de +2: 8 Selecciona este aumento recta numéric b. |−7| todos los número y colócalos en a +5 negativos, empeza ellas: s ndo del −3; c. 0 des DP tal de carga luego conécta b. −10; −12; −6 b. Los número de un camión son dos magnitu los con las líneas −9; −20; −5; lleva 4 Si A y B 9 El chofer s pares positivos −2 , que cuando , d. , …, sin saltar 19 Un señor 0 ubicados a que: se percató de |−1| piensa −1 más de la izquierda 0 un cuadrado: sembrar +2 el camión puede 14 de 2354 árboles para +6: 6 30 toneladas, b e. |−3| contribuir con 2 velocidad máxima A mostrada, ana|−1| medio ambient el 5 una alcanzar una Selecciona14 c Dada la gráfica significado del 252 e. Si luego de y escribe 126 Si transportara el −3 +1 −5 a los números una semana aún f . |−9| B y comenta de 60 km/h. de mayor a menor: ¿cuál liza +3 s, le faltan |−12| tonelada sembrar 179 árboles, ¿cuánto +1 ión y detercarga de 10 que punto P. s árboles sembró? +2 −4 −7 d máxima a. g. |−4| 12 El día lunes Organiza la informac −11; +3; −2; −8; +6 4 Hugo, Paco, será la velocida María 0 de a + b + c. +7; 0; −1 Luis y Donald r? mina el valor el martes recibió tenía S/. 50 y P podrá alcanza registran la hora h. |−10| +8 un premio de 0 +4 −8 en que llegan −10 S/. 60. Si con trabajo. Si la al su dinero compra hora de ingreso plantas y maceta −2 −9 −6 b. −12; −23; 8:00 a.m., coloca es 14 ¿Cuál es el s para su jardín, +9 −1; 0; −20; +1; valor o valores el número de por un valor de +2 que minutos que llegaron puede tomar S/. x, en cada caso? queda? Emplea 95, ¿cuánto le tarde o temprano, con un 9 Los niños de una recta nusigno negativo mérica. 5º grado a. |x|= 10 de que al positivo, respecti o cooperan organiza de primaria 6 El mayor dio cuenta vamente: 5 José se de reconocimiento número 6 horas diarias, lecta para ayudar ndo una coentero s se b. |x|= 10 Una patrulla por 24 soldado negativo es: emplear el televisor electricidad Hora ingreso a niños huércriterio de 18 l en N° minutos fanos. Los de conformada os aplicar el el gasto mensua será el gasto, Hugo 5ºA recolectaron selva con provisiosiguiente 15 ¿Podem 8 : 05 ¿Cuál d a la c. |x|= 25 S/. 3457; los de interna en la se 7 patrulla El es de S/. 40. proporcionalida 5ºB, S/. 3875; 9 horas al Paco 16 días. Si a la menor número entero para televisor el nes los de 7 : 5ºC, 56 cuántos : positivo par es: S/. 3284 y si emplea s, ¿para relación d. |x|= 0 Luis suman 8 soldado regalos − cariño? S/. 3129. Seleccio los de 5ºD, día? rán las provi7 : 52 cantidad de na la sección a. días menos alcanza que recolec respuest Donald tu 20 ¿Es correcto 8 El menor número tó más y la que Justifica 8: 03 15 Carlitos escribió: afirmar siones? recoentero que la suma lectó menos. |−5|+2 y Luchide los valores no negativo 13 ¿Es cierto que to escribió: |−2|+5. absolutos de es: desde −6 hasta dos números 5 Simboliz a con un opuesto +1; existen 8 número s número Escribe >; <; es cero? entero, s Explica cada =, poruna 9 El menor número qué. positivos y negativo enteros entre de las expresio número obtenido según sea el entero nes: s? ¿Por qué? por Carlitos (C) positivo es: se baña a. Debo S/. 5 que cuando o Luchito (L): l a Daniel. C 6 Jorge notó L. Explica el gasto mensua qué ocurre en 2 veces al día, b. Mi tío me ambos casos. 50. Si en el verano dio S/. 10. en agua es S/. 256

16a

Experie n c i a s

MATEMÁTICA DE AYER Y HOY MATEMÁTICA DE VIDA DIARIA Conexiones con otras áreas

Ejercicios básicos para resolver en el aula, algunos sugeridos para trabajar en grupo.

grupo de 4

ÁLG EBRA

decitres amigos y Un grupo de una empresa dieron formar n un estudio para esto realizarodicho estudio En de mercado. día. 15 familias al encuestaron en encuestaron, ¿Cuántas casas días? total en 10

grupo de 4

2 ejercicio. EXP ERIEdeNCIA S 38 país se

luego de cada

ÁLG EBRA

relación ene indica si la 1 Analiza des es directa tre ambas magnitu (I). (D) o inversa ( ) os • Gasto − product ( ) tiempo • Velocidad − ( ) • Tiempo − distancia ba que gráfico, comprue 2 Según el es 16. el valor de b

o con un

ARIT MÉTI CA

126

carita con un • Completa la

DE U NIDAD 252 252

ALFONSO ALFON SO ROJAS ROJAS

PUÉMAPE PUÉMA PE

CONT ROL ÁLG EBR A

• Completa

cO NT RO L

el siguiente

mapa menta

Exploramo 3

Organiza los datos e identif y la media ica la moda na. 15

Responde: a. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolilla, esta sea roja?

Mediana ESTAD ÍSTICA Y PROB ABIL I DADES

b. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bolilla, esta no sea negra?

Medidas de tendencia central

posible

( (

)

Miguel recibió 6 cajas que 47 kg, 54 kg, pesaban: 49 kg, 59 kg, 55 kg y 42 respectivame kg, nte. Calcula el peso prome dio de las cajas.

Suma N° de sumand

El peso indica do es 50 kg. Marian en cada saco de arroz arroz, los pesó a compró 5 sacos de y obtuvo los siguien pesos: tes

49 kg; 48 kg; 49 kg; 50 kg; 49 kg ¿En cuanto varía el peso esperado cada saco en respecto del peso prome real? dio

Promedio: P os

De los siguien tes experimento son aleato s, ¿cuántos rios? a. Extraer un boleto en un sorteo. b. Encender una lámpa ra apagada. c. Asistir al colegio en un día feriado d. Lanzar un . dado sobre una mesa. e. Extraer una bolilla de una caja donde hay 2 bolillas de colores diferentes.

Se tiene el gráfico grupo de person de las edades de un as: N° de persona

30 25 20 15 10

PISTA 6 Para calcula r la probabilidad: P = eventos favorables

5 7

Edad 9 10 Interpreta el 11 gráfico y calcul bilidad de a la proba que al elegir a una person esta tenga a, 9 años.

226 226

225 225

afí o Sup er des

EMPEZAMO

la carita con

¿Cuánto pesa PISTA 2 Si un cono pesa tres lo mismo que s cubos, entonce dos conos pesarán 6 lo mismo que cubos.

matemática

luego de cada

o con un

cada lata?

Si un cono

cubos:

en: ¡OBSERVACIÓN!

b) 3

a) 4

d) 2

c) 5

n: Resuelve la ecuació = 2(x − 1) + 7 4x + 5 − (x + 3) valor de x. e identifica el

calcula x + y.

Resolvemos: ón: cada condici • Resolvemos y x<5 9 + 12x + 2x 3x + 12 + 2x > 5 x>3 y x< =4 3<x<5 ⇒ x 3 +6+4 ey> 4y + 4 +1 < 3y 3 y<5 e y> =4 3 < y< 5 ⇒ y y=4+4= 8 • Luego: x + 14

Resolvemos:

... ; 9; 10; 11; 12

Resolvemos: : simbolicamente • Representamos niña = x niño = 2x + 3

• Resolvemos: <8 2x < 16 ⇒ x

mero entero. b) 12 a)10

c) 14

Entonces, como

•

VA MOS BIE N

PISTA 12 de Elimina signos colección y luego reduce términos semejantes.

7; 6; 5; ... conchitas x máx: x = 7

dinero que ahorrado más como María tiene no tiene tanto Juana, pero S/. 6446, tiene más de S/. 6449. Si Juana María? ¿cuánto tiene b) S/. 6447 a) S/. 6446 d) S/. 6449 c) S/. 6448 el doble es menor que Sara de años, pero 21 La edad tuvo hace 2 dicha de la edad que será mayor que dentro de 2 años Sara? os años tiene edad. ¿Cuánt d) 5 c) 6 b) 4 a) 3

d) 13

PUÉMAPE PUÉMA PE

Razonamiento

do: • Del enuncia x máx 2x + 3 < 19 y

ple que: + 22 + x) < 4(x + 20) 4(x + 3) + 3(15 este es un núvalor de x, si Determina el

Supe r desa fío PISTA 20 Considera la siguiente propiedad:

• Completa 1

la carita con

o con un

Resuelve e identif

y demostra

ción

luego de cada

ica el valor de x: 2(1 − x) + 3(x + 2) = 25 b) 17 c) 18 d) 20 2 Determina el valor de x, en: 5x + 2[3(x −1) − 4(x + 1)] = 4 a)6 b) 7 c) 8 d) 9 3 Si: 2(3x − 2) + 3[2(1 − 2x) + 3(x + halla el valor de x y da como 3)] = 50 la suma de respuesta cifras de x 2 . a) 12 b) 13 c) 10 d) 7 4 Determina el valor de x, en: 3(x + 2) + 4(x − 3) = 5(x + 2) a) 2 b) 5 c) 8 d) 9 5 Resuelve:

Si A > B y B >C entonces

A>B>C

de cacierto número Un camión lleva último lleva de 43. Si este jas y otro, más de las que que el doble como 5 cajas menos , ¿cuántas cajas lleva el primero ? el primer camión mínimo lleva d) 26 25 c) b) 23 a) 22

ALFON SO

ROJAS PUÉMA PE

A U TO E VA LU

ACIÓN

GEO MET RÍA

Metacognición

Estimación de aprendizajes adquiridos. Control cognitivo.

2 3

15°

En la figura,

2 B

H A

R S

20°

30°

130°

ÁLG EBRA

ULADOR

Ejemplo (4): Con

2 42 + 3 Ejemplo (3): dora Con la calcula = + 3 4

la Aprender a usar mente calculadora correcta ventaja nos pondrá en estudiantes. respecto a otros

adas con fraccion

combin 3 Operaciones

Enciende la calculadora

7 −1 +5 Ejemplo (5): 8 4 2 dora Con la calcula 4 − 1 8 7 2 + 5

modo Configura el de trabajo

Activa la segund función

5×8×2+1 la calculadora

5 3 + 2 ×4 Ejemplo (6): 9 8 16 5 dora Con la calcula 8 3 9 5 5 × 4 1 6

de-

a) (25π − 48)

b) 2

a) (50 − 2π) 2 m b) (50 − π) 2 m c) (50 − 4π) 2 m d) (50 − 3π) 2 m

En la figura, A

d) 1

d) 1 2

calcu la senC.

15u

APR E ND Í Marca con

c) 2

a) 15/17

17u

c) 1 3

b) 3 2

b) (25π − 36) 2 u c) (25π − 28) 2 u d) (25π − 40) 2 u

d) 15u

En un triáng ulo rectán gulo AB = 5 m y AC = 13. Repres ABC (m∠B = 90°), enta y determ M = senA ina: cosC

a) 1 22

En un triáng ulo rectán gulo isósce (m∠B = 90°), les ABC se traza la altura BH. Si calcula: E m∠HBC = α, = tgα + tgA.

b) 8u c) 10u

a) 1 2

En la figura, calcula el área de la breada. región somP

a) 12u

a) 50° b) 60° c) 55° d) 65°

b) 8/17 c) 17/8

d) 15/8

A: Metacognición

un 3 según corre

spond

a: 1. Calcular la suma de ángulos interno triángulo y en un cuadri s y externos látero. en un

2. Determ inar el área de regiones cuadrangular es y circula res. 3. Repres entar la figura simétrica respec to a un punto. 4. Calcular las razones trigono y sus lados usando el teoremmétricas en un triángu lo rectángulo a de Pitágo ras.

c) 8 m 2

d) 32°

a) 26° b) 28° c) 24° d) 32°

70°

d) 15 m 2

ÁLG EBRA

LA CALC USO DE

en N

a) 16 m 2 b) 12 m 2

y radicación 2 Potencia

En la circun ferencia de centro O, analiza termina x. y A

En la figura, el punto A se traslada hasta el punto según v (3; A'. Calcula 4) y O. la distancia entre A'

calcula x.

En la circun ferencia de área del rectán centro O, calcula el gulo OPQR.

ina x.

a) 28° b) 24° c) 26°

a O.

a) b) c)

72° 2

a) 28° b) 32° c) 38° d) 30°

analiza y determ C

P 3x

a x.

En la figura,

c) 36 m 2

ca respecto

299

la ﬁgura simétri A

D d) 42 m 2 En la figura, calcula el área de la breada. región som-

En el rombo ide ABCD,

241

analiza y calcul

a) 10° b) 18° c) 12° d) 15°

Selecciona

GEO MET RÍA

• Completa la carita con un A, B, C y D o con un son luego de cada vos de tal forma puntos colineales y ejercicio. consecutique B es punto CD = 5AB. Si medio de AC 9 En el trapec BD = 18 cm, y representa io isósceles, y calcula AC. a) 3 cm AB = CD. Calcul b) 6 cm a x. B c) 8 cm C d) 12 cm 2 En la ﬁgura, a) 76° AB + CD = 15u. Interpreta y b) 60° calcula x. x x+3 x+1 x c) 58° A A 48° B P C d) 66° D D a) 8u 10 En el trapez b) 7u oide ABCD, c) 6u analiza y determ d) 9u 3 En la figura, m∠AOD = ina x. B 142° y m∠BO Analiza y calcul C = x + 10. a x. C a) 65° B x b) 70° a) 52° A 70° P c) 75° 80° D b) 32° A O 11 Analiza y C d) 85° c) 42° determina el área del terreno: D siguiente d) 38° La suma del 4 complement ángulo es igual al triple o y suplemento de un 5 km determina del ángulo a) 60 km 2 la medida . de dicho ánguloAnaliza y 4 km a) 56° b) 70 km 2 . b) 64° c) 38° 5 En la figura, d) 54° c) 65 km 2 4 km calcula x. 10 km d) 62 km 2 B 12 En la figura, 86° P a) 68° AB = 6 m, AP de la región = 5 m. Calcul x sombreada. a el área b) 66° 76° B c) 76° A C Q C a) 40 m 2 45° d) 72° 6 En la figura, calcula β. b) 48 m 2

apr e nd í a :

240

la carita con un o con un luego de cada ejercicio. Resuelve la ecuación: 3x − 5 = 7 e indica el valor de 2x y luego gastar − 1. a S/. 1000, Si todos los solamente quedarían coeficientes le S/. 3500. de la ecuac anterior se ión duplican, ¿el ¿Cuánto dinero valor de x bién se duplic tiene dicha tampersona? a? Justifica. Del enunciado, ¿se podría 2 Resuelve la párrafo y así borrar algún siguiente ecuac poder respon ión: der a la pregunta? x − (3x − 2) = 5 − 3x y determina 8 Calcula el el valor del número de de x. valores En el enunc positivos que iado, indica puede tomar enteros la palabra se borró, si inecuación: x en la que la respuesta es 9. 3 Calcula el x(x + 2) − x(x valor de x, − 2) < 16 si: Si adicionalme nte el valor x( x + 3) − 5 de x fuese número par, = x(x − 2) + un 10 ¿cuántos Si en la ecuac valores podría tomar x? ión anterio r por error borra el valor PISTA 3 se 10, 9 el valor origina ¿en cuánto se reduce Determina la suma l de x? de los posible valores entero 4 s El cuádruple s positivos Se cumple: tomar x en: 2 que puede de mi sueldo x − (x − 4) , disminu S/.500 es equiva (x − 5) < 34. lente a mi sueldo ido en En la inecua a(a + n) tado en S/.7600 ción anterio aumen. r, para que mayor valor = a 2 + an gan un sueldo si por Fiestas Patrias pael positivo de adicional, analiza x cuánto sea 2, ¿en se debe dismin mina cuánto y deterrecibe en Fiestas uir a 34? Patrias. 10 Anton En el enunc io tiene más iado de 17 relojes coma se borra, anterior, si la primer lara 9 tendría . Si regaa ¿la respuesta menos de 10, pero si regacuánto? lara 3 tendría varía? ¿En menos de 16. ¿Cuán relojes tiene 5 tos Antonio? María tiene cierta cantid Del enunc ad de pulsera y Juana tiene iado anterio s r discrimina 3 pulseras dato fundam menos que doble de las el ental o aquel que el que tiene María. debería elimina no se Si Juana tiene r para poder 15 pulseras, a la pregun responder indica cuánta interpreta ta. e s pulseras tiene 11 Resuel María. Según los datos ve la siguien del enunciado, te ecuación: drían realiza 2(4ax − 5) ¿se por otras pregun − 3 = 115, e indica la tas?¿cuáles? sión equiva expre6 lente a x. El lunes Robert PISTA 8 o ganó cierta ¿Por qué el dinero, el valor de x suma de martes ganó no se puede terminar? tanto como deque ganó el lunes y el lo miércoles ganó Si: x<10 tanto como 12 La suma lo que ganó de tres númer en total ganó el martes. os enteros secutivos es Si S/. 450, organi conmenor que 9; 8; 7; 6; …. cuánto ganó za y halla 30. ¿Cuánto marán como el martes. suEl máximo valor máximo dichos ¿Qué signific números? ¿Por qué la entero a ganar tanto que respuesta no puede gané anterio como lo que es 29? tomar es 9. rmente? 13 Se sabe que 4 es el 7 Una person máximo valor que puede a observa que entero tomar x, en: si duplicara dinero y luego su 5x − 3 < 2k, halla recibiera S/. 5000, tendría S/. 8000, en el valor entero cambio si triplica de k. (k > 10) En el enunc ra su dinero iado anterio r, si el valor fuese 6, ¿cuál de k sería el máxim podría tomar o valor que x?

Empezamos; Vamos bien; Mucho mejor.

298

• Completa

máximo valor

Ensayo de evaluación sumativa.

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

Resolución de problem

Si: 3[x(x 2 + 2) − (x 3 + 2) ] < 5(x + 1) y además sabemos que x es mayor 9, determina que el valor entero como respue de x y da sta la suma de cifras de 2 a)4 x. b) 1 c) 6 d) 100 12 Martha respeta la manera de pensar de sus amiga s. PISTA 6 Hoy Martha fue al mercado con sus amigas y compr Realiza la multipli ó 3kg de arroz, cación, monom 2 kg io de azúcar por polinom y 4 kg io y de pollo y luego reduce pagó por todo térS/. 45. Si pagó S/. 3 y S/. 2 minos semeja por kilogra ntes. mo de arroz car, respec y azútivamente, 4(x − 1) + 3(x ¿cuánto cuesta + 1) = 2(x + el kilogramo 2) + 4(5 + x) de pollo? e indica el valor de x. a) S/. 8 a) 12 b) S/. 7 c) S/. 6 b) 15 c) 20 d) 25 d) S/. 10 6 Resuelve: 13 Los alumno s de una promo 4 x(x + 1) +x(x3 ción acorda dar S/.150 cada + 3) = x(3 + x4 ron uno para realiza ) − 2(x −2) − x(1 3 Si 3 alumno y determina r − un x ) viaje. s no pudieron el valor de 10 x . pagar y solo recaudaron a)1 S/.4800, ¿cuán b) 0 c) 1024 tiene dicha tos alumno d) 59049 promoción? s 7 Analiza e a) 30 indica el mayor b) 32 que puede valor entero c) 35 tomar x, en: d) 31 14 Juan 3x + 5 < 20. nació 2 años a) 2 b) 5 antes que tualmente c) 3 Luis y acsus edade d) 4 8 s suman 36 En la inecua ¿Cuál será años. ción: la edad de Luis dentro años? de 2 5(x − 2) + 3(4 − x)< x + 9 a) 17 años ¿Cuál es el PISTA 14 máximo valor b) 19 años c) 20 años puede tomar entero que x? d) 21 años a) 4 15 Luis Si nació 2 años b) 5 es más alto c) 7 que Jaime, antes, entonc d) 6 ga a los 167 pero no lle9 es es Si x es mayor cm. Si Jaime mayor que que 6 y adem mide más 160 cm, ¿cuál Luis por ás se cumpl lo siguiente: de es la mínima 2 años. e puede tener estatura que Luis? 5[3(x − 2) + 4] − 4(3x − a) 163 cm 2) < 2x + 6 Analiza y determ b) 162 cm c) 164 cm ina el valor entero de x. a) 5 d) 161 cm b) 6 c) 16 7 10 Sabem Una empre d) 8 os que x es sa de transp mayor que orte ductores y bién: 3(x + 11 y tamse presentaron solicitó con2) − 3 < 2(x + 8). mayor cantidad de mujere Calcula el s (M) que de valor de x 2 Si además: varones (V). , si x es entero 2V + a)100 . b) 121 ¿cuántas mujere 5 > 59 y 3M + 3 < 93, c) 144 s se presen d 169 taron? a)27 b) 28 c) 29 d) 30

A u to e v al u a c i ó n

227 227

MUCHO MEJ OR

ejercicio.

a)15

Ejercicios y problemas de refuerzo por niveles de dificultad:

cantidad de de clases, la En un salón número al doble del 25 mujeres es igual el salón hay más 4. Si en de varones, s varones hay? alumnos, ¿cuánto

Resolvemos: con un lenel enunciado • Expresamos o: guaje simbólic +4 Mujeres: 2x Varones: x (2x + 4) = 25 También: x + n os la ecuació • Ahora, resolvem 7 formada: x = 7 varones . hay • Luego,

Resolvemos: ades: • Usamos propied − x < x + 20 − 7 − x 2x + 7 − 7 x < 13

• Reducimos: = 2x − 2 + 7 4x + 5 − x − 3 3x + 2 = 2x + 5 propiedades: • Aplicamos +5 − 2 3x + 2 − 2 = 2x =3 3 − 2x ⇒ x 3x − 2 x = 2x + de x es 3 . • Luego, el valor

? como máximo

si es mayor entero de x, Halla el valor (x + 14). s: 5(x + 9) < 4 que 9 y ademá d) 8 c) 15 b) 13 a)10 s se cumque 13 y ademá Si x es mayor

20 Si: 2x + 7< x + entero que máximo valor ¿Cuál es el x? puede tomar

d) 6

ones: siguientes condici Se tienen las y 9 + 2(6 + x) 3(x + 4) + 2x > 3(y + 2) + 4 4(y + 1) + 1 < mayor que 3, que 5 e y es Si x es menor

x: a el valor de Resuelve e identific 2 4 − x (x − 7) 7 ) 6 + 1) = x (1 + 2x 2 (3 + x ) + 2(3x d) 8 c) 5 b) 4 a)1 de x, en: Calcula el valor 4 4) + 5 8 5 5 = x(x6 + x ) + x(x + 2 +x ) x5 (x +1) + x(5 d) 3 c) 5 b) 2 a) 1 x: a el valor de Resuelve e identific 9 8 2 + 4(x +2) x8 ) = x (x + 3) 9 x(x +5) + 3(1 + d) 6 c) 3 b) 5 a) 2

c) 5

b) 4

a)2 13

Resolvemos: iva propiedad distribut • Usamos la ntes: y leyes de expone 4 3 6 +3x 3 4 = x + 2x + 2x4 + x + 4x + s, tenemos: sición de término • Por transpo 4 3 − x3 +4x − 3x = 6 − 4 2x4 − 2x + x . 2 es x de • Luego, el valor

agregar conos se deben indica cuántos en equilibrio, er la balanza para manten

La ecuación parece complicada, pero nota que hay términos semejantes que se cancelan.

puede

grupo de 4

de x, en: Calcula el valor 2 + 3(2 + x) 2 ) +1) = x (x + 2x x3 (2x + 1) + 4(x

Resolvemos: encuentra la balanza se • En el gráfico, d: en equilibrio. cer una igualda Podemos estable x+x+x=6 usando prola ecuación, Resolvemos 3x : 3 = 6 : 3 es: piedad x=2 2 kg . pesa lata • Luego, cada que tres pesa lo mismo

grupo de 2

ejercicio.

n: Resuelve la ecuació 3) + 8 − 3x) = 2 (2x + 2(7x + 1) + 3(2 d) 1 c) 4 b) 5 a) 6 de x, en: Calcula el valor 5 + x) + 4 − (2x + 3) = 3(2 3[2 (x −1)+ 5] d) 2 c) 4 b) 5 a) 6

balanza se mostrado la En el gráfico equilibrio. encuentra en

tomar x:

Total de eventos

ÁLG EBR A

ÁLG EBRA

Comunicación

• Completa

ALFONSO ALFON SO ROJAS ROJAS

ÁLG EBR A

ÁLG EBRA

entero que máximo valor Determina el x, en: puede tomar + 5) 2(x + 2) + 2(x 2x + 3(3 + x) < d) 5 c) 4 b) 3 a) 2 + 3) +(1 + 2x)] < 11(x e: 3[2(x + 4) 12 Resuelv entero que el máximo valor y determina

PUÉMAPEE ROJAS PUÉMAP ALFONSOO ROJAS ALFONS

224 224

sus sobrinos regalos para y 3 muñe17 Mario compró compró 6 carros y sobrinas. Él costó el douna muñeca S/. 360, cas; además Si en total gastó ble que un carro. ? de una muñeca ¿cuál es precio b) S/. 60 a) S/. 58 d) S/. 63 c) S/. 55 cada una 45 3 blusas a s/. S/. 585 18 Lucy compra Si por todo pagó y 5 pantalones. n? cada pantaló ¿cuánto costó b) S/. 80 a) S/. 95 d) S/. 90 c) S/. 60 cierto número juntó en la playa amigo juntó 19 Una niña su Si mar. de de conchitas de lo que que el doble 3 conchitas más menos de representan ella juntó, que juntó la niña s conchitas 19, ¿cuánta

La moda es el dato que más se repite. La median a es el dato que se ubica en el centro, al ordena r los datos de forma ascendente o descendente.

Un niño tiene los siguientes cos en una bloques lógibolsa:

Calcula cuál es la proba bilidad de al extraer una que ﬁcha, esta sea: a. Triangular de color amaril lo a. Cuadrada de color azul a. Circular

PISTA 2

PISTA 3

Registra el espacio muestr guientes experi al de los simentos aleato rios: a. Girar una ruleta con los colores básicos. b. Lanzar una moneda al aire.

Experimento aleatorio (A)

Prueba abierta de evaluación de proceso.

Se tiene la siguiente ánfora bolillas como con las se indica:

ÁLG EBR A

Probabilidad de un suceso

Mapas mentales para completar. Examinan y relacionan contenidos.

253 253

s lo que apren dimos

2 =

Activa la raíz potencias cuadrada y

Desplaza el cursor

Borra el último o dato ingresad

Activa la fracción s

Signo de agrupación: Paréntesis

3 0,343 + 1,3 Ejemplo (8): dora Con la calcula 3 4 3 t 0 3 t + 1

2 1 − 0,8 + 0,4 Ejemplo (7): dora Con la calcula 8 t 1 − 0 4 = t + 0

Teclas para las básicas operaciones

el último Presenta en pantalla a do en la memori dato guarda

Teclado numérico Punto decimal os el uso de la

Ahora mostram

les

adas con decima

combin 4 Operaciones

Borra todo el la contenido de pantalla

Para número negativos

adas en Z

calculadora

adas en N (+; iones combin

en los distintos

−; × ; :)

1 Operac

3 × 13 − 56 : 8 Ejemplo (1): dora Con la calcula 6 ÷ 3 − 5 3 × 1

temas que ya

combin 5 Operaciones

− 4(−3) 12 : 3 + 5(−2) Ejemplo (9): dora Con la calcula 2 3 + 5 1 2 ÷ 3 − 4

do.

hemos estudia

3 5(2 + 3 × 5) + dora Con la calcula × 5 2 + 3

Ejemplo (2): 5

2 (−2) + (−3)(−7) Ejemplo (10): dora Con la calcula + 2 7 3

TE!

¡IMPORTAN

¡ATENCIÓN! realiza la función El punto decimal de la coma decimal.

Nota que se cumple operaciones.

el orden de

Calcula el valor

64 +

CÁLC ULO DE ÁREA S

Trabajamos con los siguientes materiale s:

− Cartulinas de colores − Cartulina dúplex − Tijeras

¡DESAFÍO!

ora para traConfigura la calculad requerido, así: bajar en el modo

CTO

Gran objetivo:

Calcular áreas de figuras geométr icas en función al área del rectángulo.

¡IMPORTANTE!

OY E I

− Lápiz

de:

− Goma − Regla

6561 III

Ejecutamos

i. Dividimos el primer rectángulo de la siguiente manera:

BUSC ANDO PAREJ AS (FIGURAS RECORTA

BLES)

− Así formamos el paralelog

− Observamos que el área del paralelogramo y el área del rectángulo son las mismas, entonces : A� = B × h p ÁREA DEL ROMBO

− Colocamos los triángulos amarillos sobre los blancos.

2. Finalmente recortamos cada una de las piezas y les colocam os lina del color preferido una base de cartu. 3. Sabemos que el área de un h rectángulo es: B

Reconocimiento de teclas, de operaciones y manejo de una de las herramientas tecnológicas más empleadas por los escolares del mundo.

− Trasladamos el triángulo a la derecha.

iii. El tercer rectángu lo lo dividimos en partes iguales, entonces tenemos :

Valoramos lo aprendid o

ramo.

ii. Ahora dividimos el otro rectángu lo, así:

UNIDAD 2

1. Cortamos 3 rectángulos de cartulina dúplex de 24 cm × 10 cm.

USO DE LA CALCULADORA

− Colocamos los triángulos de menor superficie so- h bre el mayor, así:

p ÁREA DEL PARALELO GRAMO

Nos organizamos: Cada grupo deberá tener como máximo tegrantes. 3 in-

p ÁREA DEL TRIÁNGU LO

− Observamos que el área del triángulo es la mitad del área del rectángu lo, entonces: AΔ = B × h 2

A = B ×h

− Observamos que

el área del rombo es la mitad del área del rectángu lo: A◊ = B × h 2

Utilizando el criterio realizado en el ¿podrás calcular proyecto, el área del área del rectángu del trapecio en términos lo?

− Así formamos el rombo.

⇒

A◊ = D × d 2

Recorta las figuras por la línea punteada.

¿Para qué me servirá el proyecto realizado?

ANEXO Juegos, proyectos y recortables que permiten la participación de niños y niñas de modo interactivo y lúdico.

1 6

Alfonso Rojas Puémape

mis lecturas favoritas

ARITMéTICA

Conjuntos

EXPLORAMOS LO QUE Y A SABEMOS Conocimientos previos 1 TRABAJANDO EN EQUIPO Yo armé las columnas de 3 y 4 cubitos.

Yo armé las columnas de 1 y 2 cubitos.

¡atención! Harás más fácil tu conteo si lo realizas por columnas.

Contesta las siguientes preguntas:

a. ¿Cuántos cubitos colocó Maite?

d. ¿Cuántos cubitos no colocó Maite?

b. ¿Cuántos cubitos colocó Skanito?

e. ¿Cuántos cubitos colocaron juntos?

c. ¿Cuántos cubitos no colocó Skanito?

f. ¿Cuál es la diferencia entre las preguntas

¡IMPORTANTE!

2. Entre el 7 y el 9.

3. (5 × 4) ; (16 + 4) ¿cómo son estas cantidades?

4. Un número que no tiene mitad es:

5. 9 + 6 = 15

6. Un número que tiene mitad es:

7. Mayor que 2 pero menor que 4.

8. ¿Cuántas unidades hay en media

1. Número natural par.

CÁLCULO OLUCLÁC

a y b?

Las flechas indican el sentido de la palabra que se debe escribir, así:

2 crucinúmeros

decena?

9. Resultado de una multiplicación. 10. 24 − 9 = 15 11. Doce unidades forman una:

Descubre la palabra escondida en la columna sombreada.

7 3 RUMBO AL ÉXITO

Carlitos, Juan, Ángel, Darío y Luis participan en una carrera.

ARITMéTICA

C L

Agrupar según corresponda: • Los tres participantes más veloces:

• Los tres participantes menos veloces:

, ,

. ,

• Los tres participantes con velocidades intermedias: • El participante más veloz y el menos veloz: • Los dos últimos en llegar a la meta:

, ,

. .

• Los cuatro primeros en llegar a la meta:

¡recuerda!

Un participante es más veloz que otro si está más cerca a la meta.

4 CAMINO A CASA

Luchín va de su casa al colegio por 3 caminos diferentes: Casa

5m 4m

LUNES MARTES

3m 2m

MIÉRCOLES

Colegio

• ¿Cuál es el día en que Luchín recorre más distancia? • ¿Cuál es el día en que recorre menos distancia? ¡atención!

...ATE RR IZ AM O S Es más fácil contar los cubitos agrupándolos por columnas. Los números son muy útiles para medir longitudes. Los números 2 son pares.

Algunas conclusiones Los números que no son 2 son impares. Podemos formar conjuntos a partir de una característica o condición referente a sus elementos. El perímetro y el área son números acompañados por una unidad de medida.

Pueden haber dos caminos diferentes con la misma longitud.

Alfonso Rojas Puémape

C o nj u n tos

ARITMéTICA

Comunicación matemática

En esa zapatería venden zapatos elegantes.

Alguien escribió tu nombre.

o notación DE PERTENENCIA 1 Según la historieta, ¿quién

2 Coloca ∈ o ∉, en cada caso:

hace mención a un conjunto? ¿Skanito o Luchín? ¿Por qué?

•l

•v

•a

•c

o DIAGRAMAS DE VENN

a o u

A A B

•o

v c i

•i

•5

•7 •11

•u

B B A

9 5 10

M D M

•9

6 7 8

3 Representa los conjuntos en un diagrama de Venn:

A = {2; 4; 6; 8}

2 U = {m; u; r; c; i; e; l; a; g; o}

3 U = {a; u; r; e; l; i; o}

P = {a; e; i; o; u}

V = {a; e; i; o; u} C = {l; r}

o Determinación DE CONJUNTOS 4 El conjunto está determinado por: 1 P = {Juan; Luis; Beto}

2 B = {x/x∈N ∧ x<12}

3 M = {x/x es una vocal de la palabra silla}

4 C = {2; 4; 6; 8}

¡nO OLVIDES! Si: A = {1; 2; 3; 4}, entonces: 1 ∈ A

5∉A

¡RECUERDA! Un conjunto se determina por extensión o por comprensión.

•8

•10

1 U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

•6

D M M

Experiencias

• 2

• 9

•b

b. S = {verano; otoño; invierno; primavera}

2 Selecciona y subraya la expresión que no representa a un conjunto. b. Los gatos de la ciudad c. Mis útiles escolares d. Los números naturales 3 Determina por extensión los siguientes conjuntos: a. M = { x/x es número par menor que 10 }

•c •d •f

•g

•h •i

A= {

}

B = {

}

C= {

}

9 Pepito es una persona muy solidaria y comparte con su hermano su lápiz, regla, escritorio, borrador, tajador, lámpara, lapicero y una pelota. Selecciona los objetos que tengan alguna característica en común y agrúpalos en un conjunto determinado por extensión.

c. T = {do; re; mi; fa; sol; la; si}

a. Grandes buses

•a

Indica si pertenece ( ∈ ) o no pertenece ( ∉ ), según corresponda: B

grupo de 4

8 Expresa por extensión los conjuntos A, B y C.

a. M = { 3; 5; 7; 9 }

• 5

grupo de 2

luego de cada ejercicio.

5 Expresa los siguientes conjuntos por comprensión:

B = {2; 3; 6; 7; 8}

o con un

ARITMéTICA

1 Sean los conjuntos: A = {1; 3; 5; 8; 9}

• Completa la carita con un

6 Si los siguientes conjuntos tienen elementos comunes, construye el diagrama de Venn correspondiente: A = { x/ x ∈ N ∧ 0 < x ≤ 6 } B = { 3; 4; 7; 8; 9 }

b. E = { x/x es letra de la palabra ÁNGEL }

10 La característica común de los elementos de:

C = { 4; 5; 6; 10 }

P = { televisor, radio } es “aparatos electrónicos”.

c. H = { x/x es una vocal del abecedario}

4 Escribe los elementos que pertenecen a cada conjunto, según los siguientes diagramas de Venn: I.

A={ B = { II.

•1 •5

; ;

•2 •4 •7

•3 •6 •8

; ;

7 Representa los siguientes conjuntos empleando diagramas de Venn: I. A = { 1; 3; 6; 7; 9 } B = { 1; 2; 4; 5; 6 }

C = { 0; 4; 8 }

Entonces, ¿cuál es la característica común de los elementos de Q?

Q = { uva; plátano; manzana }

11 ¿Cuál de los dos conjuntos no está bien representado? ¿Por qué?

} ;

a = { 1; 3; 5; 7 } ,

B = { 3; 5; 7; 9 }

} U = { x/x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 12 }

•6

•3 •1

•2

•7 •8

•9

II. D = { 1; 2; 3; 8; 9 } E = { 1; 2; 4; 5; 6 }

•5 •4

F = { 1; 5; 6; 7; 8 } E

C= {

;

}

D={

;

}

E = {

;

}

12 ¿El conjunto formado por las letras de la palabra ESTERNOCLEIDOMASTOIDEO tiene 21 elementos? ¿Por qué?

Alfonso Rojas Puémape

o CARDINAL • CLASES DE CONJUNTOS 5 Resuelve en cada caso: 1 Si A = {x /x es vocal de la pa-

2 Si B = {x /x es par ∧ 3 < x < 13},

labra auto}, halla n(A).

3 Del diagrama:

determina: n(B)

ARITMéTICA

5 Si los conjuntos A y B son uni-

4 Del diagrama: A

•4

•6

•10

• 12

•9 •8

•5 B • 11 •7

•1 •5

•2

•4

•6

•8

•3 •9

•7

determina: n(P)

6 Si los conjuntos M y N son va-

tarios, halla: n(A) + n(B)

cío y unitario, respectivamente, determina: n(N) - n(M)

determina: n(U) - n(A)

6 En cada caso, escribe qué clase de conjunto es A: 1 A = {x /x es vocal de la pala-

bra manzana}

2 A = {x /x es impar ∧ 3 < x < 5}

3 •3 A

•6

•5

•1 •2 •8 •9 •7 •4 U

7 Resuelve: 1 Si: A = {3; x; y} es unitario, halla x + y.

2 Si los conjuntos M = {x; 8} y N = {5; y} son iguales,

halla y - x.

3 Los conjuntos A y B son iguales.

Si B = {x /x es par ∧ 2 < x < 4}, representa y determina n(A).

4 Si el conjunto A = {2m -1; 5} es unitario, calcula

m2.

o relación de conjuntos: 8 Selecciona y coloca ⊂ o no ⊄, en cada caso: 1

B •m •i •c

•5

C •l

•a

B _____ A A _____ B C _____ A B _____ C

•7

•9

Q •6 •8

¡RECUERDA!

¡IMPORTANTE!

El cardinal de un conjunto A representa el número de elementos de dicho conjunto, y se representa como: n(A)

Si un conjunto tiene un elemento, el conjunto se denomina unitario.

P _____ Q _____ P _____ P _____

Q U U Q

Experiencias 2

• Completa la carita con un

1 Expresa los siguientes conjuntos por extensión:

•7

• n(P) =

• n(M) =

2 Representa mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos, luego determina el conjunto que contiene a los demás. • B = {x/x es brasileño}

C •4

•3

•0 B •6

• E ⊄ B ( )

•2 ∈E ( )

•1 ∈A ( )

• 3 ∉ C ( )

•5 ∈B ( )

• 3 ∉ B ( )

•C⊂A ( )

•D⊄A ( )

•E ⊄U ( )

•A⊂U ( )

8 Sabiendo que el conjunto P es unitario, calcula el valor de m + n.

15 Si A ⊂ B, entonces, ¿B ⊂ A? ¿Cuándo se cumple esta relación?

P = {3n − 4; 8; 5m + 3} 16 Si A ⊄ B y B ⊄ A, ¿A y B son disjuntos? ¿Por qué?

9 Si los conjuntos A y B son iguales, halla xy.

A = {y − 3; 9}

B = {8; x + 6}

4 Indica en cuál de las siguientes figuras se representa una o más relaciones de inclusión: a. A

b. C

A = {a; a; a}

B = {x/x∈N ∧ 6 < x < 7 }

C = {0; 1; 2; 3; ...} 6 De acuerdo con el siguiente diagrama de Venn, coloca verdadero (V) o falso (F) en cada caso:

17 Si A = {3; 4; 5; 6}, ¿3 ⊂ A? ¿Por qué?

10 Si A ⊂ B y B ⊂ A, calcula p + q.

A = {2p + 7; 11}

B = {3q - 1; 15}

5 Escribe en el recuadro la clase de conjunto que se presenta en cada caso:

es cero?

M = {m + 8; 3m – 4}

• D = {x/x es americano}

3 Un empresario muy solidario donó a un albergue: chompas, camisas, camas, pantalones, sillas, guantes y zapatos. Selecciona los elementos que tengan alguna característica común y exprésalos en un conjunto, luego determina el cardinal de dicho conjunto.

13 ¿El cardinal del conjunto A = {x/x∈N ∧ 20 ≤ x ≤ 20}

14 ¿El conjunto vacío es un conjunto finito? ¿Por qué?

7 Si el conjunto M es unitario, determina el valor de m.

• A = {x/x es peruano}

• C = {x/x es argentino}

•2

Luego, determina el cardinal en cada caso:

•5

grupo de 4

luego de cada ejercicio.

ARITMéTICA

P = {x/x es consonante de la palabra “reconocer”},

D •1

M = {x/x∈N ∧ 0 ≤ x < 1}

o con un

11 Si: A = {x/x∈N ∧ 8 ≤ x < 12} B = {x/x∈N ∧ 7 < x ≤ 11},

expresa por extensión dichos conjuntos y calcula: n(A) − n(B)

18 Completa los elementos que faltan en el diagrama de Venn, teniendo en cuenta las afirmaciones siguientes: • 3 ∉ P (F)

• 3 ∈ N (F)

• 12 ∈ M (V)

• 5 ∉ M (V)

• 12 ∈ N (F)

• 18 ∈ P (V)

• 5 ∉ P (V)

• 21 ∈ M (F)

• 18 ∈ N (F)

• 20 ∉ M (F)

12 Si A ⊂ B, C ⊂ B y además los conjuntos A y C son disjuntos, representa mediante diagramas de Venn los conjuntos mencionados.

•4 •

•

•2 •

• 14

•7

• 11 •9 • N

•

P • • 16

Alfonso Rojas Puémape

O pe r ac i o n e s c o n c o nj u n tos Razonamiento y demostración

ARITMéTICA

En el aula somos 30 alumnos, de los cuales 15 comen manzanas.

...Y 18 comen peras.

Pero de todos ellos, 10 gustan de ambas frutas.

o intersección • UNIóN 1 Representa con un diagra-

2 En cada caso, escribe la operación que representa el diagrama de

ma de Venn la situación de la historieta.

Venn: 1

o DIferencia

3 Interpreta y determina lo pedido, en cada caso: 1 Si:

•2 •4

•6

•8 •10

•7 •5 •9

2 Si: p = {x/x es impar ∧ x<9} R = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, halla: P - R = 3 Se tiene los conjuntos: p = {x/x es letra de la palabra “pelota”} t = {x/x es vocal de la palabra “poeta”} determina: T - N =

determina: M - N = N-M= o DIferencia simétrica 4 Analiza y resuelve cada caso: 1 En el diagrama de Venn, pinta

la región representada por: (A∪B) - (A∩B) A

2 Colorea la región representa-

da por: (A-B) ∪ (B-A) A B

3 Si:

•m •l

•t •v

Colorea M∆N

¡OBservación!

¡ATENCIóN !

•2 B •1 •3 • 4 •5 •6 entonces: A∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

La diferencia simétrica está definida así: • A∆B = (A∪B) - (A∩B) • A∆B = (A-B) ∪ (B-A)

Si: A

•a •u •o

•e

•i

Experiencias 3

1 Se tiene los conjuntos: A = {2x/x∈N ∧ 1< x ≤ 5} y

B = {x/x∈N ∧ 3 ≤ x ≤ 9}

Representa la operación A∩B mediante un diagrama de Venn.

B = { 2x/x ∈ N ∧ 6 ≤ x ≤ 10 }

5 A partir del diagrama de Venn mostrado: • 1 • 4 • 6 • 7 • 8 • 10 • 11

• 2 • 5

• 3

9 De un grupo de 38 turistas se tiene la siguiente información: 24 visitaron Brasil, 22 visitaron España y 8 visitaron Brasil y España. ¿Cuántos turistas visitaron solo un país?

• 9

Relaciona empleando una línea:

I. P ∪ Q •

II. P ∩ Q •

III. P - Q •

IV. Q - P •

Determina: A – B

• a. { 1; 4; 7; 10 } • b. { 2; 3; 5; 9 } • c. { 6; 8; 11 } • d. { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 }

6 De un grupo de 30 alumnos que practican deportes, 13 practican solo natación y 15 practican solo fútbol. Si todos practican al menos un deporte, ¿cuántos practican 2 deportes?

10 El siguiente diagrama: M

3 A partir de los conjuntos:

M = { 16; 18; 20; 22; 24 } Indica los elementos de:

a. M - N =

b. N - M =

c. elabora un diagrama de Venn para M – N.

4 Analiza y determina la operación que genera cada uno de los siguientes diagramas de Venn. a.

7 Los 120 habitantes de una comunidad promueven la paz mediante una caminata. Para esto, 45 elaboran pancartas y volantes, mientras que 29 elaboran solo pancartas. Si todos elaboraron al menos una publicidad, analiza y calcula cuántos elaboran solo volantes.

•k •1

N = { 15; 18; 21; 24; 27 }

grupo de 4

víveres y ropa. Determina cuántas personas recibieron solo víveres o ropa.

A = { x/x ∈ N ∧ 13 < x ≤ 20 }

grupo de 2

luego de cada ejercicio.

2 Sean los conjuntos:

o con un

ARITMéTICA

• Completa la carita con un

8 Un empresario muy solidario donó víveres y ropa a los 26 pobladores de una comunidad, de los cuales algunos recibieron víveres, 14 recibieron ropa y 8 recibieron

•b

•5 •n

¿Representa un conjunto? Argumenta tu respuesta.

11 La siguiente relación:

n(M ∪ P) = n(M) + n(P) − n(M ∩ P)

¿Es correcta o no? Argumenta tu respuesta.

Alfonso Rojas Puémape

o PROBLEMAS CON DOS CONJUNTOS 5

Analiza cada diagrama y responde:

ARITMéTICA

n(A) = 12

n(A∩B) = 3

Calcula: n(A∪B)

Resolvemos:

n(B) = 8

n(C) = 13

n(F - E) = 11 n(E - F) = 13 n(E∩F) = 5

n(A∪B) = 22

n(D) = 17

Determina el cardinal de (C∩D).

Calcula: n(E∪F)

• n(A - B) = n(A) - n(A∩B) n(A - B) = 12 - 3 = 9 • n(A∪B) = n(A - B) + n(B)

n(A∪B) = 9 + 8 = 17

6 En cada caso, representa y responde: 1 Si: n(A∪B) = 36 y n(A - B) = 13, calcula n(B).

2 Si: n(C) = 21, n(D) = 17 y n(C∩D) = 4, calcula

n(C∪D). n(A - B) = 13

⇒ n(B) = n(A∪B) - n(A - B)

n(B) = 36 - 13 = 23 3 Si: n (L∪M) = 47 y n(L∩M) = 14 , determina el

cardinal de (M∆L).

4 De 20 alumnos, 12 practican fútbol y 13 practican

básquet. ¿Cuántos practican los 2 deportes?

5 De un grupo de turistas, 58 visitarán el Cuzco y 40

visitarán Puno. Si solo 13 turistas visitarán ambas ciudades, interpreta y calcula el número de turistas.

6 En una oficina donde se trabaja con lápices y/o

lapiceros, 15 personas utilizan lapicero y 17 utilizan solo lápiz. ¿Cuántas personas trabajan en dicha oficina?

¡ATENCIÓN! Para los conjuntos A y B, se cumple: n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

¡recuerda! Dados los conjuntos C y D C D elementos solo de C

elementos solo de D

Experiencias 4

2 Dados los conjuntos P y S, se cumple que: n(P∪S) = 24; n(P∩S) = 5 y n(S) = 13. Calcula n(P).

3 Tenemos los conjuntos M y P, además se cumple que: n(U) = 20; n(M) = 14; n(P) = 13 y n(M∩P) = 9. Halla n(M∪P).

4 Si: n(P∪R) = 34; n(U) = 46; n(P) = 24 y n(R) = 18, determina n(P∩R).

o con un

luego de cada ejercicio.

7 En una encuesta realizada a 80 personas, 48 afirmaron que les gusta solo el cine peruano, 12 que les gusta solo el cine extranjero

grupo de 4

y 8 que no les gusta el cine. ¿A cuántas personas les gusta el cine peruano y extranjero a la vez?

12 Sean A y B dos conjuntos diferentes, ¿en qué caso se cumple que A∪B = A? 8 En un salón de clases, 30 alumnos elaboraron frases alusivas a la solidaridad y 20 elaboraron frases alusivas a la paz. Si 15 alumnos elaboraron frases de ambos temas y 2 no elaboraron frases, analiza la información y determina cuántos alumnos hay en dicho salón.

9 En un concurso de belleza participan 40 señoritas, de las cuales 30 son rubias y 6 tienen solo ojos verdes. ¿Cuántas no son rubias ni tienen ojos verdes?

13 De la pregunta anterior, ¿en qué caso se cumple que A∩B = A?

14 Si A∪B = A, ¿se cumplirá que n(A∪B) = n(A)? Argumenta tu respuesta.

15 ¿Cuándo se cumple que la unión de dos conjuntos es igual a su intersección? Da un ejemplo.

5 Sean los conjuntos A y B tal que n(A∪B) = 42, n(A∩B) = 12 y n(A) = n(B), calcula n(A) + n(B).

6 A una reunión asistieron 30 personas. De ellas, 20 usaban saco, 25 usaban corbata y 3 ni saco ni corbata. Interpreta e indica cuántas personas usaban ambas prendas.

grupo de 2

ARITMéTICA

1 Se tienen los conjuntos A y B. Además: n(A) = 12; n(B) = 18 y n(A∪B) = 27. Determina n(A ∩ B).

• Completa la carita con un

10 A un paseo asistieron 100 viajeros. Se supo que 80 llevaron carpas y linternas y que 10 no llevaron ninguno de estos objetos. ¿Cuántos llevaron solo un objeto?

11 Luisito es un niño muy solidario. Cierto día compartió sus plumones con 15 de sus compañeros y sus lápices, con 13 de ellos. Si prestó sus lápices y plumones a 5 compañeros, determina con cuántos compañeros Luisito compartió en su salón.

16 Analiza gráficamente si se cumple que: A∆B = (A∪B) − (A∩B).

17 Argumenta y grafica el caso en el que A − B = A se cumple.

Alfonso Rojas Puémape

R e l ac i o n e s b i n a r ia s Resolución de problemas

ARITMéTICA

¿De cuántas maneras podría comprar un pantalón y un polo en esta tienda?

Glub...

Los pantalones deben ser de color distinto y los polos con diferentes tonalidades del color verde.

o PAR ORDENADO Y PRODUCTO CARTESIANO 1 Según la historieta, indica

un par ordenado:

(

)

2 Completa los recuadros:

1 (

3 Si: A = {a; b} y B = {m; n} ; entonces:

; 5 ) = ( 7 ; 5 )

2 ( 3 ; 9 ) = ( 3 ;

)

A × B = {

; m), (a;

), (b;

), (

; n)

o representación gráfica, Sagital, cartesiana y tablas de doble entrada 3 Organiza y grafica los elementos en cada caso: 1 Si: A = {m; n; p; q}

y B = {a; b; c}

Representa mediante un diagrama sagital A × B.

2 Si: C = {1; 3; 5}

3 Si: E = {a; e; i; o; u}

y D = {2; 4} Representa mediante un diagrama cartesiano D × C.

y F = {1; 3; 5; 7; 9} Representa mediante un cuadro de doble entrada E × F.

4 Si: A = {0; 2; 4; 6; 8} , B = {2; 3; 5; 7} y C = {3; 6; 8} 1 ¿ Cuántos

elementos presenta el producto cartesiano A × B ?

2 ¿ Cuántos elementos presenta el producto car-

tesiano C × B ?

¡IMPORTANTE! Dos pares ordenados son iguales si sus respectivos componentes son iguales. (a; b) = (m; n) ⇔ a = m y b = n

¡Recuerda! Si: n(A) = a y n(B) = b Entonces: n(A × B) = a × b

Experiencias 5

• Completa la carita con un

• B ( ;

)

• C( ;

)

• D ( ;

)

• E ( ;

)

4 3 2 1

D B

E C

A 1 2 3 4

2 Dados los conjuntos: A = { 1; 3; 5}, B = {2; 4} y C = {0; 3; 6}, aplica y halla el producto cartesiano de:

B×A =

C× B =

A×A o A = 3 Aplica y determina el producto cartesiano de: I

H a•

•d

b•

•e

c•

6 Representa empleando diagramas sagitales, el producto cartesiano de C × D, D × E y C × E, si:

C = {x/x es una vocal fuerte o abierta}

D = {a; e; i}

C × D:

E = {o; u}

H ×I =

II.

a b

IV.

D × E:

C × C o C2:

3 4

8 Si el producto cartesiano de los siguientes conjuntos es:

M × N = {(3; 7), (3; 9), (4; 7), (4; 9)}

O × P = {(5; 8), (5; 3), (6; 8), (6; 3)}

organiza y halla los elementos de: • M = {

}

• N = {

}

• O = {

}

• P = {

}

9 Escribe (V) verdadero o (F) falso, según corresponda: • E es (1; 0) • F es (2; 0)

5 4 3 2 E 1

H G

F 1 2 3 4 5 6

A 1 2 3

c a

7 Determina por extensión el producto cartesiano de:

A × B = {(1; a), (1; b), (2; a),

3 2 1

(2; b), (3; a), (3; b)}

A × B = {(1; c), (1; d), (2; c), (2; d), (3; c), (3; d)}

A × B = {(a; 3), (a; 4), (b; 3),

o p

10 Dados los conjuntos A = {1; 2; 3} y B = {2; 3}, entonces, ¿el producto cartesiano de A × B es igual al de B × A? Explica tu respuesta.

B a b c

I. Q

l m n

• I es (6; 3)

(b; 2), (c; 1), (c; 2)}

A × B = {(a; 1),(a; 2), (b; 1),

II.

1 2

A 1 2 3

• H es (4; 5)

A a b c

II.

• G es (3; 2)

4 Relaciona cada diagrama sagital con su producto cartesiano:

grupo de 4

ARITMéTICA

)

grupo de 2

luego de cada ejercicio.

5 La señora María, muy solidaria, realiza un almuerzo para los niños de bajos recursos. Las entradas fueron: sopa y ensalada y los segundos: estofado, carapulcra y chaufa. Si cada niño debe escoger una entrada y un segundo, organiza los datos y determina de cuántas maneras podrá escoger su menú.

1 Dado el siguiente plano cartesiano, coloca los pares ordenados que corresponden a cada letra. • A( ;

o con un

(b; 4), (c; 3), (c; 4)}

1 2 3 4

11 Si M = {a; b; c} y N = {a; b; c}, ¿el producto cartesiano de M × N es igual al de N × M? ¿Por qué?

12 ¿El par ordenado A(3; 5), es igual al par ordenado B(5; 3)?Justifica.

Alfonso Rojas Puémape

o relaciones Binarias, dominio y rango 5 Según los conjuntos, organiza y determina el producto cartesiano que se indica:

ARITMéTICA

1 A = {x - 2 / x∈N ∧ 3 < x < 6}

2 C = {2x / x∈N ∧ 0 < x < 3}

3 E = {x - 2 / x∈N ∧ 5 < x < 8}

B = {x + 3 / x∈N ∧ x < 3}

D = {x + 1 es par / x∈N ∧ 1 < x < 8}

F = {x es impar / x∈N ∧ 2 < x < 9}

Determina D × C

Encuentra F × E

Expresa A × B

A = {2; 3} y B = {3; 4; 5}

A × B = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 3), (3; 4),(3; 5)}

6 Organiza e indica los pares ordenados en cada relación: 1 A = {2; 3} y B = {1; 2; 5}

R1 = { (x; y) ∈ A × B / x . y < 10 }

A × B = {(2; 1), (2; 2), (2; 5), (3; 1),(3; 2), (3; 5)}

2 C = {4; 5} y D = {4; 5; 6}

R2 = {(x; y) ∈ C × D / x + y = 10 }

⇒ R1 = {(2; 1), (2; 2), (3; 1), (3; 2)} 3 E = {x / x ∈ N ∧ 2 < x < 5 } y

F = {x + 1/ x ∈ N ∧ 5 < x < 9}

R3 = {(x; y)∈E × F / x + 5 = y }

4 G = {8; 9; 10} y H = {x - 3 /x ∈ N ∧ 11 < x < 15}

R4 = {(x; y) ∈ H × G / x = y }

7 Aplica el concepto de Dominio y Rango, en cada caso: 1 Si A = {7; 8; 9}, B = {12; 13} y R1 = { (x; y) ∈ B × A / x - y < 5 },

R2 = {(x; y) ∈ C × D / x = y },

determina el Rango (R1)

halla el Dominio (R2)

B × A = {(12; 7), (), (), (13; 7), (13; 8), ()}

2 Si C = {3; 4; 5} , D = {3; 5} y

R1 = {(12; ), (12; ), (13; )}

⇒ Rango (R1) = {8; 9}

3 Si E = {7; 10; 13}, F = {x es par / x ∈ N ∧ 4 < x < 10} y R3 = {(x; y)∈F × E / x + y > 17 }, indica el Rango (R3)

4 Si G = {3; 5; 8} , H = {x / x ∈ N ∧ 5 < x < 8} y R4 = {(x; y) ∈ G × H / x . y es impar } , calcula el Dominio (R4)

¡CUIDADO! Sean los conjuntos: A = {1; 2} y B = {3; 4} Ahora: • A × B = {(1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4)} • B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2)} ⇒ A × B ≠ B × A

RECUERDA Sea la relación: R1 = {(3; 1), (5; 2), (8; 5), (8; 6)}

• Dominio (R1) = {3; 5; 8} • Rango (R1) = {1; 2; 5; 6}

Experiencias 6

• Completa la carita con un

Aplica la condición y determina por extensión cada relación.

a. R1 = {(x; y) ∈ A × B / x + y = 9}

b. R2 = {(x; y) ∈ B × A / x = y + 1}

B 8 7 6 5 4 3 2 1

7 Miguel tiene una camisa blanca, una roja, una azul y otra negra. Además tiene una corbata azul, una roja y otra morada. Si nunca usa camisa y corbata del mismo color, ¿ de cuántas maneras puede vestirse con camisa y corbata?

grupo de 4

c. R3 = {(x; y) ∈ A × A / x + y = 10}

B 8 7 6 5 4 3 2 1

2 Sean los conjuntos: D = {9; 10; 11} E = {10; 12; 14} F = {6}

Determina el dominio y rango de cada relación:

a. R1 = {(x; y) ∈ D × E / x + y = 21}

b. R2 = {(x; y) ∈ E × F / 2x + y ≤ 27}

c. R3 = {(x; y) ∈ D × F / (x - y) es par}

1 2 3 4 5 6 7 8 9

b. {(10; 10), (9; 9), (7; 7)}

c. {(3; 5)}, (4; 4), (7; 1), (2; 6)}

8 El salón de quinto grado, en el cual hay 12 hombres y 13 mujeres, se caracteriza por la buena convivencia de sus alumnos. Si cierto día por la mañana todos los alumnos del salón se saludaron, excepto Pepe con Luana y Luis con Bety, pues viven juntos, determina cuántos saludos entre un hombre y una mujer hubo ese día.

3 Para cada conjunto de pares ordenados, escribe una posible regla de correspondencia. a. {(3; 4), (5; 6), (6; 7), (9; 10)}

5 Escribe una posible regla de correspondencia para cada diagrama sagital:

grupo de 2

4 Organiza la información de cada diagrama y escribe una posible regla de correspondencia:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

luego de cada ejercicio.

ARITMéTICA

1 Dados los conjuntos. A = {1; 3; 5; 7} B = {4; 8}

o con un

2• 3• 5• 6•

•1 •3 •4 •8

1• 3• 5• 7•

9 Para un conjunto de pares ordenados, ¿solo se puede establecer una posible regla de correspondencia? Explica.

T •2 •4 •6 •8

6 En un restaurante sirven como entrada sopa, ensalada u ocopa y como segundo, arroz con pollo o lomo saltado. Si nunca sirven ensalada con lomo saltado, organiza los datos en un diagrama sagital y determina de cuántas maneras se puede servir un menú.

10 Sean los conjuntos A y B, entre los cuales se establece una relación (R ⊂ A × B). ¿Será posible que n(R) = n(A × B)? Menciona un ejemplo.

Alfonso Rojas Puémape

c O N T R OL ARITMéTICA

• Completa el siguiente mapa mental:

conju ntos tienen relación de

formados por

elementos con pertenencia

se determinan por

inclusión

se representa

no inclusión

se representa

Conjuntos

1 Considerando el siguiente diagrama de Venn: P

•1 •2

PISTA 1 •8 Sea: A = {1; 2; 3; 4; 5} ⇒ Algunos subconjuntos de A, son: {1; 2}, {2; 3; 4}, {3; 4; 5; 1}, etc.

•6

Determina:

• 10

•9 •7

•x

•3

2 Representa, determinando por extensión los siguientes conjuntos y luego calcula la suma de sus cardinales. A = {x /x∈N ∧ 11 ≤ x < 16}

• 11 • 4 •5 S

a. El cardinal del conjunto T. b. Los elementos que pertenecen a P, pero no a S. c. Los elementos que pertenecen a P y T. d. Un subconjunto de S.

B = {( x + 2 )∈N / x∈N ∧ 10 ≤ x ≤ 18} 3 x -1 C = {( )∈N / x∈N ∧ 8 ≤ x ≤ 18} 4

21 Exploramos lo que aprendimos.

3 Sean los conjuntos: M = {x/x∈N ∧ 12 < x ≤ 18} S = {x + 1/x∈N ∧ 16 ≤ x < 21}

Representa y determina:

ARITMéTICA

6 El señor Pérez es dueño de 5 caballos y el señor Rodríguez es dueño de 4 yeguas. Si desean cruzar sus animales para mejorar las razas, analiza y determina de cuántas maneras se pueden cruzar.

(M ∪ S) - (S ∆ M)

PISTA 3

4 En un centro de esparcimiento habían 73 personas. De ellas se observó que 47 jugaban con sus celulares, 51 bebían gaseosa y 11 dormían. Interpreta y calcula cuántas personas bebían gaseosa mientras jugaban con sus celulares.

7 En el siguiente problema alguien borró un dato; debemos encontrarlo:

Raúl, para compartir sus útiles con su hermano menor, necesita comprar un lápiz o un lapicero o un plumón. Sabemos además que solo existen dos marcas de estos productos. Si elige primero , ¿de cuántas maneras diferentes podrá realizar la compra?

5 Representa los pares ordenados A(7 ; 1), B(3 ; 4) , C(6 ; 8) , D(10 ; 5) y luego une los puntos formando la figura ABCD.

En el siguiente diagrama: A

La región sombreada representa: A∆B

8 Sean los conjuntos:

P = {2; 5; 7; 8; 12} S = {2; 5; 6; 7; 9; 15} R1 = {(x, y)∈S × P/ x - y ≥ 4}

PISTA 8

Determina: Dominio(R1) ∩ Rango(R1).

Sea la relación: R = {(a; b), (c; d), (e; f)} El dominio es: Dominio(R) = {a; c; e} El rango es: Rango(R) = {b; d; f}

Alfonso Rojas Puémape

Su pe r de sa fí o

ARITMéTICA

Empezamos Comunicación matemática

• Completa la carita con un

o con un

A = { 2x / x∈n ∧ 1 < x < 11 }

A •1

Resolvemos: A = { 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20 }

¡IMPORTANTE!

20 − 3 + 1 = 18 números

(23 - 5) + 1

18 − 9 = 9

19 números

D = { 3x - 2 / x∈n ∧ 6 < x < 13 }

Selecciona e indica cuántos de los números del 25 al 35 pertenecen al conjunto D.

a) 6

c) 5

¡RECUERDA!

Si un elemento pertenece a dos conjuntos, entonces pertenece a la intersección de ellos.

B = { 2x +1 / x∈n ∧ 1 < x < 6 } y

C = { x/x∈n ∧ 0 < x < 12 } Grafica y expresa los elementos del conjunto universal (U) que los contiene y da como respuesta la suma del mayor y menor elemento de U, si 12 ∈ U.

Resolvemos: • Determinamos por extensión los conjuntos:

A = {1; 3; 5; 7; 9}

B = {5; 7; 9; 11}

C = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 }

• 10 • 12

⇒ U = {x/x∈N ∧ 0 < x < 13}

M = { 2x-1 / x∈n ∧ 1 < x < 7 }

P = { 2x+1 / x∈n ∧ 3 < x < 8 }

S = { 4x-1 / x∈n ∧ 1 < x < 6 }

a) 11

b) 13

c) 7

d) 9

5 Durante 90 días llegaron donaciones des-

de Lima e Ica para los pobladores de un pueblo de la sierra. Si durante 50 días se registraron donaciones de Lima y durante 70 días se registraron donaciones de Ica, ¿cuántos días se registró donaciones de solo una ciudad?

3 Si tenemos los conjuntos:

A = { 2x -1 / x∈n ∧ 0 < x < 6 }

•4

•8

donde 17∉M, 17∉P y 17∉S. Expresa los elementos del conjunto universal que los contiene y da como respuesta el elemento de valor intermedio.

d) 3

•9

• 11

2 Sea el conjunto:

b) 4

•3

•7

4 Se tienen los conjuntos:

• Luego, la cantidad de números que no pertenecen al conjunto A es:

5; 6; 7... ; 23

•5

•6

• Luego, sumamos el mayor y menor elemento de U: 1 + 12 = 13

• Calculamos la cantidad de números que hay del 3 al 20:

•2

• Determinamos A por extensión:

Cálculo de la cantidad de números. Sean los números consecutivos:

Selecciona los números del 3 al 20 que no pertenecen al conjunto A.

grupo de 4

• Graficamos los conjuntos:

1 Si se tiene el conjunto:

grupo de 2

luego de cada ejercicio.

a) 70 días c) 60 días

b) 40 días d) 35 días

6 Si el conjunto: E = { 4x − 1; 11; 5y + 1 }

es unitario, identifica x e y; y da como respuesta x + y.

a) 6

b) 4

c) 5

d) 7

7 Si se sabe que el conjunto:

12 Sean los conjuntos:

A = { x 2 / x∈n ∧ 0 < x ≤ 2 } y B = { x + 1/ x∈n ∧ 1 < x < 4 }

B = { 5x / x ∈ n ∧ 9 < x < 15 }

tiene (3b − 16) elementos, indica el valor de b.

establece el producto cartesiano A × B y selecciona los pares ordenados cuyas componentes suman 4. Da como respuesta la cantidad de pares que cumplen con esta condición.

a) 1

Resolvemos: • Determinamos B por extensión:

⇒ A = { 50; 55; 60; 65; 70 }

10; 11; 12; 13; 14

• Ahora: n(A) = 5 • Luego: 3b − 16 = 5

⇒

b= 7

A = { 2x / x∈n ∧ a < x < 12 }

tiene 8 elementos, selecciona los valores de x e indica el valor de a.

a) 1

8 Si el conjunto:

13 Si:

b) 2

c) 3

/ x es par ∧ 2 ≤ x < 10 } / x es impar ∧ 1 < x ≤ 9 } = {(x; y)∈P × S / y - x = 3 }

P = { x∈n S = { x∈n

y R

selecciona los elementos del dominio de la relación e indica su producto.

a) 48

d) 4

b) 24

c) 60

d) 64

14 Si: A = { 2x + 1 / x∈n ∧ 1 < x < 9 }

B = { 3x / x∈n ∧ 0 < x < 7 }

días a estudiar y 26 días a trabajar. Representa en un diagrama de Venn e indica la cantidad de días que trabajó y estudió.

expresa por extensión cada conjunto e indica el número de elementos de R.

a) 9

Resolvemos:

R = {(x; y)∈ A × B

b) 10

/ x + y = 3}

c) 11

d) 12

E∩T

F = { 2x - 1 / x∈n ∧ 4 < x < 10 }

R = {(x; y)∈ E × F

/ x + 2 = y}

calcula el número de elementos de R.

• Como no se menciona días en los cuales no trabajó ni estudió, debemos asumir que son 0 (cero).

a) 6

• n(E − T) = n(U) − n(T) = 31 − 26 = 5

• n(E ∩ T) = n(E) − n(E − T) = 28 − 5 = 23

y R = {(x; y) A × B/ x = y}

Representa el dominio R.

a) {11; 15}

b) {11; 15; 35; 39}

c) {35; 39}

d) {19; 23; 27; 31}

n(U) = 31

⇒ Trabajó y estudió durante 23 días. 10 Leonardo durante el mes de agosto,

ayudó 23 días a Pepe con sus tareas y 19 días ayudó a Carlos. Si todos los días apoyó al menos a uno, grafica e indica cuántos días apoyó a los dos. a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

11 Representa en un diagrama cartesiano

los pares ordenados (2; 6), (6; 5) y (2; 1), luego une dichos puntos e indica el área de la figura formada. a) 10 u 2 b) 8 u 2

Conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos que intervienen en un problema determinado.

E = { 2x + 1 / x∈n ∧ 2 < x < 7 }

¡recuerda!

15 Si se sabe que:

n(T) = 26

n(E) = 28 E-T

d) 4

9 Durante el mes de mayo, Carlos fue 28

c) 3

• Graficamos según los datos:

b) 2

ARITMéTICA

c) 12 u 2 d) 9 u 2

b) 5

c) 4

d) 3

16 Si: A = {4x − 1/x∈n ∧ 4 < x < 11},

B = {4x + 3/x∈n ∧ 1 < x < 8} !

¡IMPORTANTE

17 Si: C = {3x + 1/x∈n ∧ 0 < x < 10},

D = {4x/x∈n ∧ 0 < x < 9}

y R = {(x; y) ∈ C × D/x + y = 32}

determina cuál de los siguientes elementos no pertenecen al dominio de R.

a) 40

b) 28

c) 16

d) 4

Para saber cuántos elementos tiene un conjunto determinado por comprensión basta con averiguar la cantidad de valores que puede tomar x.

Alfonso Rojas Puémape

Vamos b ie n Razonamiento y demostración

ARITMéTICA

• Completa la carita con un

o con un

luego de cada ejercicio.

1 Sean los conjuntos:

A = { 2 x - 1 / x ∈N ∧ 0 < x < 6 } y B = { 3 x / x ∈N ∧ 0 < x < 6 }

7 Según los conjuntos:

Analiza y halla cuántos elementos del conjunto B no pertenecen al conjunto A. a) 2

b) 3

c) 4

C = { 4 x / x ∈N ∧ 0 < x < 7 } y D = { 2 x / x ∈N ∧ 5 < x < 13 }

cuenta cuántos elementos del conjunto C pertenecen al conjunto D.

a) 2

b) 3

c) 4

3 En un vecindario, un grupo de 5 muje-

res y un grupo de 4 hombres se comprometen a la limpieza del parque. Si cada semana limpia una pareja mixta, ¿cuántas parejas se podrá formar como máximo?

Expresa los conjuntos por extensión.

a) 10

b) 9

c) 20

nen, respectivamente, 6 y 9 elementos, cuenta cuántos elementos como máximo puede tener (C ∩ D). a) 3

b) 6

c) 9

reconoce los elementos del dominio de la siguiente relación e indica cuántos son.

R = {(x ; y)∈E × F / y = x}

d) 5

PISTA 4 Dos conjuntos se pueden relacionar, así:

c) (D - C)'

b) (C - D)'

d) (C ∪ D)'

U = { x / x∈n ∧ 1 < x < 21 } , C = { 2x / x∈n ∧ 2 ≤ x ≤ 6 } y D = { 4x / x∈n ∧ 1 ≤ x ≤ 5 }

R = {(x; y)∈ A × B / x + y = 15}

interpreta y determina el número de elementos del rango.

a) 3

d) 6

R1 = {(x; y)∈ A × B / x + y = 10}

R2 = {(x; y)∈ A × B / xy = 16} R3 = {(x; y)∈ A × B / x + y > 20}

interpreta e identifica la relación que presenta el siguiente dominio y rango.

Dominio = {4; 6; 9}

Rango = {1; 4; 6}

b) R2

a) R1 10 Si:

c) R3

d) R2 y R3

R1 = {(x; y)∈ M × P / y - x = 7} R2 = {(x; y)∈ M × P /

1 y = } 3 x

R3 = {(x; y)∈ M × P /

x+y = 4} 5

analiza e indica la relación que puede tener como dominio y rango a: Dominio = {9; 15; 21}

a) 20

d) 23

c) 5

c) 22

b) 4

9 De las siguientes relaciones:

selecciona el mayor y menor elemento de (C ∪ D)' y da como respuesta la suma de ellos. b) 21

d) 3

A = {x / x∈n ∧ 4 < x < 9}

6 Sabiendo que:

a) (C ∩ D)'

c) 6

b) 4

B = {x / x∈n ∧ 6 < x < 12} y la relación

5 Identifica e interpreta la operación que

corresponde a la región sombreada en el diagrama. C D

a) 5

8 Siendo los conjuntos:

d) 12

4 Sabiendo que el conjunto C y D tie-

y F = {2x + 1 / x∈n ∧ 0 < x < 7}

d) 5

E = {2x - 1 / x∈n ∧ 0 < x < 7}

d) 5

2 Sean los conjuntos:

PISTA 2

Rango = {3; 5; 7} a) R1

b) R2

c) R3

d) R1 y R2

25 MUCHO MEJOR Resolución de problemas

o con un

luego de cada ejercicio.

1 Si sabemos que:

5 Raúl necesita comprar un lápiz o un la-

n(A) = 35, n(B) = 40, n(A ∪ B) = 60 y n(U) = 63, organiza y determina el valor de n(A ∩ B).

Si no se conociera el dato n(B) = 40, ¿podría conocerse el número de elementos que no pertenecen a los conjuntos A y B? Explica tu respuesta. 2 Dada la expresión:

examínala y exprésala en su forma más simple.

Si en la expresión se cambia el símbolo de unión por el de intersección, ¿cuál sería la respuesta? 3 Durante 28 días, una empresa donó

para un albergue de niños, carne de res y/o pollo.

picero o un plumón. Además solamente existen dos marcas (A y B) de estos productos. Si elige primero , indica de cuántas y luego maneras diferentes podrá realizar la compra.

[(M ∪ T) - T] ∪ M

Si durante 10 días donó carne de res, 23 días donó carne de pollo, 5 días donó los dos productos y 18 días donó solo carne de pollo, organiza y halla cuántos días donó solo carne de res. De los datos anteriores, ¿cuál podría obviarse?

forman parte de diferentes equipos como el de fútbol (F) y natación (N). Si se sabe que:

En el problema anterior se borró algunos datos, ¿se podrá resolver el problema sin ellos? Explica por qué. 6 Una jovencita piensa salir a pasear.

Para ello se compró una blusa, un polo, una camiseta, un pantalón, un jean, un short y una falda. Si solo dispone de esta ropa, además de sus zapatos,

Indica una posible pregunta para el enunciado y respóndela.

Me gusta la Matemática. y

7 Se tiene los conjuntos:

C = {Panamá, Ecuador, Perú, Chile}

D = {Lima, Asunción, Santiago, Quito}

determina la relación R tal que e indica los elementos de C y D que no forman parte de la relación?

¿Puedes indicar la frase que se borró?

F = { John; Piero; Daniel; Juan; Ángel }

N = { Carlos; Daniel; Piero; Silvia }

E = { Ana, María, Rosa }

Organiza y señala:

F = { Juan, Martín, Beto }

a. ¿Quiénes forman parte de los equipos de fútbol y natación?

y las relaciones:

R1 = { parejas de esposos }

R2 = { compañeros de trabajo }

R3 = { hijos únicos }

Elabora un diagrama sagital con cada relación.

Indica cuál de las relaciones no se puede graficar y explica por qué.

c. ¿Cuántos estudiantes practican deportes en dicho colegio? d. ¿Cuántas damas conforman el equipo de natación? ¿Cuál de las preguntas anteriores está mal propuesta?

Solamente me gusta la Matemática.

8 Se tiene los conjuntos:

b. ¿Cuántos estudiantes conforman solamente el equipo de natación?

PISTA 3 Recuerda que hay una diferencia en decir:

4 En cierto colegio, algunos estudiantes

ARITMéTICA

• Completa la carita con un

PISTA 4

Usa un diagrama de Venn para organizar la información.

Alfonso Rojas Puémape

A u to e va luac i ó n ARITMéTICA

• Completa la carita con un

1 Según el diagrama: A

2 3

7 Del gráfico:

• 8∈A( )

a) F V F

B 9 8

• 6∈A( )

b) F F F

• 9∉B( )

c) V F F

representa la operación correspondiente a la región sombreada.

a) A ∩ B c) A - B

b) (A ∪ B) - A d) (A ∩ B) ∪ A

8 Representa la operación del siguiente gráfico:

d) V F V

P = {vocales de la palabra murciélago} y L = {vocales de la palabra amauta}, coloca verdadero (V) o falso (F), en: • e ∈ L ( )

a) V V V

• u ∉ P ( )

b) F F F

c) V F F

• o∈L( )

representa y coloca verdadero (V) o falso (F), en:

• l ∈ M ( ) • a ∉ P ( ) • M ∩ P = {o; r; d} ( ) b) F V V

c) V F V

9 Si:

determina: P ∆ S

a) {6; 20} c) {6; 21}

d) F F F

c) 10

expresa y halla n(M - P).

a) 5 6 Si:

b) 8

determina n[(P ∪ T) - S].

a) 6

b) 8

d) 8

a) 5

b) 2

c) 3

d) 4

de la siguiente operación: (A ∪ B) - (A - B)

d) 4

P = {x + 5 / x∈N ∧ 4 < x ≤ 9}, T = {2x / x∈N ∧ 6 < x ≤ 11} y S = {3x + 5 / x∈N ∧ 2 ≤ x < 8},

c) 6

12 Analiza y determina la forma más simplificada

c) 6

b) 4

elementos de: (M ∪ P) - (M ∩ P)

M = {3x + 1/ x∈N ∧ x ≤ 6} y P = {x + 4 / x∈N ∧ 6 ≤ x ≤12},

M = {27; 30; 33; 36; 39} y P = {27; 33; 39; 45; 51},

11 Del problema anterior, determina el número de

d) 14

5 Sean los conjuntos:

b) {18; 21} d) {9; 21}

determina el número de elementos de: (M - P) ∪ (P - M) a) 3

representa y determina n(A ∪ B). b) 12

b) (A - B) ∪ B d) (A ∪ B) - (A ∩ B)

P = {9; 12; 15; 18; 21} y S = {6; 9; 12; 15; 18},

A = {x / x∈N ∧ 27 ≤ x < 34} y B = {x / x∈N ∧ 30 < x ≤ 36}, a) 8

a) (A ∩ B) - (A ∪ B) c) (B - A) ∪ A

10 Sean los conjuntos:

4 Se tienen los conjuntos:

d) V V F

3 Si: U = { letras de la palabra cardiólogo}, M = { letras de la palabra gordo} y P = {letras de la palabra cocodrilo},

a) F V F

2 Se tienen los conjuntos:

luego de cada ejercicio.

analiza y luego coloca verdadero (V) o falso (F), en cada caso:

o con un

a) B

b) A

c) A ∩ B

d) B – A

13 Según la operación: B - (A ∩ B), ¿cuál es su

equivalente?

a) B

b) A - B

c) A

d) B - A

14 Si: n(P) = 20, n(S) = 30 y n(P ∪ S) = 42, orga-

niza y calcula n(P ∩ S).

c) 10

d) 4

a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

15 Si: n(U) = 100, n(A ∪ B) = 90, n(A) = 50

n(A ∩ B) = 20, organiza y calcula n(B).

a) 60

b) 50

c) 40

b) 20

c) 30

a) 60

d) 25

a) 20

b) 15

c) 5

A = {2; 3; 5; 7; 11}, B = {x + 1/ x∈N ∧ 5 ≤ x < 8}

y la relación R = {(x; y)∈B × A / x - y = 1}, selecciona y calcula la suma de los elementos del rango de R.

a) 15

b) 16

c) 20

a) 16

a) 40

b) 36

c) 56

a) 4

B = {x + 3/ x∈N ∧ 12 ≤ x ≤ 21} x C = {( )∈N/ x∈N ∧ 2 < x ≤ 11} 2

c) 62

d) 63

b) 5

c) 6

d)3

24 Miguel va a un restaurante donde sirven como

entrada sopa, crema de rocoto o ceviche; y como plato de fondo lentejas, frijoles o arroz con pollo. Si a Miguel no le gusta tomar sopa junto con las menestras, ¿de cuántos maneras podrá pedir su menú?

20 Sean los conjuntos:

A = {x /x∈N ∧ 7 ≤ x < 12}

b) 54

y Juana, cuyas edades son 9; 10 y 7 años, respectivamente; y otro grupo lo conforman Mía, Mary y Marco, cuyas edades son 6; 11 y 8 años, respectivamente. Si se desea formar equipos de 2 niños de grupos diferentes, cuyas edades no sumen más de 17 años, ¿cuántos equipos se podrá formar?

d) 60

d) 10

23 Un grupo de niños está formado por Luis, Leo

d) 18

son iguales, interpreta y calcula el valor de ab.

c) 12

y está planeando cómo vestirse. Si ella cuenta con 7 blusas y 9 pantalones, todos distintos, ¿de cuántas maneras se podrá vestir Lidia?

d) 10

19 Si los pares ordenados (6 + 2a; 7) y (16; b - 1)

b) 14

22 Lidia irá mañana a una fiesta de cumpleaños

días del mes de mayo. Si durante 20 días compró pollo y durante 15 días compró pescado, ¿cuántos días compró solo pollo?

a) 12

d) 40

18 La mamá de Luis fue al mercado todos los

c) 70

21 Según los conjuntos:

17 A los 25 alumnos de un salón de clase se les

preguntó sobre los idiomas que estudian. Si 15 alumnos estudian inglés, 10 estudian chino y 5 no estudian alguno de estos idiomas, ¿cuántos alumnos estudian solo chino?

b) 90

a)7

b) 6

c) 5

d)9

apr e nd í a : Metacognición

Marca con un 3 según corresponda: 1. Reconocer conjuntos de objetos, animales, personas, etc. 2. Establecer la relación de pertenencia e inclusión. 3. Realizar operaciones con conjuntos y resolver problemas cotidianos. 4. Establecer una relación entre dos conjuntos.

ARITMéTICA

gue. Sabemos que 40 donaron chompas y 30 donaron polos. Si todos donaron al menos una de estas prendas, ¿cuántos jóvenes donaron ambas prendas? a) 10

calcula: n(B × A) + n(C × B)

d) 55

16 Un grupo de 50 jóvenes donó ropa a un alber-

2 28

Alfonso Rojas Puémape

cuesta poco... vale mucho más

ARITMéTICA

Sistemas de numeración

EXPLORAMOS LO QUE Y A SABEMOS Conocimientos previos 1 ¡cómo pasan los años!

Don Carlos 60 años

César 10 años

Daniel 40 años

Ana 24 años

Coloca los signos (>, < o =) según corresponda:

¡RECUERDA! El cuádruple lo obtienes multiplicando por 4; el triple, por 3 y el doble, por 2.

a. Edad de don Carlos.

Doble de la edad de Ana.

b. Cuádruple de la edad de César.

Edad de Daniel.

c. Suma de edades de don Carlos y César.

Suma de edades de Daniel y Ana.

d. Doble de la edad de Daniel.

Suma de la edad de don Carlos y el doble de la edad de César.

e. Edad de Ana dentro de 20 años.

Edad de don Carlos hace 18 años.

2 de compras en el sÚper

¡IMPORTANTE! Las prendas que se puedan comprar deben costar igual o menos que el dinero que se tiene.

Es el cumpleaños de Luchín y su mamá lo lleva de compras a un centro comercial. Luchín ve ropa muy bonita y le pide a su mamá que le compre algunas prendas. La mamá de Luchín cuenta con 2 billetes de S/. 100, 2 billetes de S/. 50, 2 billetes de S/. 20 y 3 billetes de S/. 10. Buenos días, Buenos a. ¿El dinero que posee la mamá de señora. días, señor. Luchín le alcanzará para comprar todas las prendas que observa en el estante? . b. Al comprar el jean y el polo, la mamá de Luchín recibió S/. 20 de vuelto. ¿Esto es justo?, ¿cuánto debe recibir en realidad? . c. ¿Cuántas prendas como máximo podrá comprar la mamá de Luchín? . d. Indica cuánto gastaría; cuánto le faltaría o cuánto le sobraría a la mamá de Luchín en cada caso:

29 Precio:

Precio:

Sobra:

Falta:

ARITMéTICA

3 sacando cuentas

Seis amigos tienen un negocio de venta de CD y al final del día se sientan alrededor de una mesa circular para sacar cuentas: B

¡ATENCIÓN! C

Existen solo 3 posibilidades: 1° Sobra dinero. 2° Falta dinero. 3° No falta ni sobra.

Responde las siguientes preguntas: d. ¿Cuántos tienen solo monedas?

a. ¿Cuántos tienen monedas?

. e. ¿Cuántos tienen solo billetes?

b. ¿Cuántos tienen billetes?

f. ¿Cuántos no tienen billetes?

c. ¿Cuántos tienen monedas y

billetes?

...ATERR IZ AMOS

¡RECUERDA! Algunas conclusiones y: intersección

Entre dos números naturales se puede establecer solo una de 3 relaciones: mayor, menor o igual. La intersección de dos conjuntos está formada por los elementos comunes de dichos conjuntos.

La unión de dos conjuntos está formada por los elementos comunes y no comunes de dichos conjuntos.

o: unión

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

nÚMEROS HASTA L A CE NTE NA DE MILLÓN Comunicación matemática Hola, Luchín. Todo va muy bien, ya estamos produciendo 1 550 000 caramelos al mes.

Buen día, don Pepe; ¿cómo va la fábrica?

o Valor posicional • Relación de orden • comparación de números 1 Completa el tablero posicional.

1 Según la historieta, ordena el número de

2 5U, 9Um, 6DM, 7C

caramelos producidos en el tablero posicional.

1 2

2 En cada caso, completa: 1 Completa con: >; =; <

33 152

33 252

2 Indica un número para que se cumpla que:

13 712

13 717

3 Tres números mayores que:

4 Tres números menores que:

18 315; ____________;______________ ;_____________

54 217 =

36 243 <

20 189 ; ____________ ; ____________ ; ___________

o Otros sistemas de numeración • cambio de base 3 En cada caso completa: 1 123 = 1 × 4 (4) 3

4 1 4 0

+2×

2 5216 = 5 × 7 (7)

⇒ 41 =

(8)

5 5 4

72 + 1 ×

9 Luego: 55 =

o nÚMEROS ROMANOS MENORES QUE 10 000 4 Representa en números romanos y en el sistema decimal:

1 348 : ______________________

2 2432 : ______________________

3 DCXXXIX : ______________________

4 MCDXCIV : _____________________

¡recuerda! • 233(4) = 2 × 42 + 3 × 4 + 3 • 1221(3) = 1 × 33 + 2 × 32 + 2 × 3 + 1

¡importante! Las divisiones sucesivas se emplean para llevar un número en base decimal a otra base.

(9)

Experiencias

• Completa la carita con un

7 Al llegar a casa de mis tíos, saludé a todos y mi primo Elías comentaba que él tiene 3 centenas de canicas, Joel decía que tiene 9 decenas y Bryan que tiene una centena y 3 decenas. Si yo tengo 8 decenas y 7 unidades, ¿cuántas canicas tenemos en total?

a. 1; 7; 5; 9 b. 8; 2; 0; 9; 7 c. 7; 7; 5; 5; 8; 0; 1 2 Escribe el número que corresponde, en cada caso: a. 3U; 4C; 7Dm; 5UM b. 6U; 9DM c. 4C; 1Um; 2CM

8 Indica la suma de valores de n, en cada caso:

3 Escribe el número que corresponde:

a. 5n34(8)

a. Trescientos cuarenta y tres mil siete.

b. (2n)324(5) c. 2(n - 3)7(9)

b. Ciento cincuenta y cuatro millones setecientos veinte mil ocho.

b. 694

c. 456

b. 1253(7) = c. 47 821 = 10 Representa el numeral que genera cada descomposición polinómica:

5 Representa en el sistema decimal los siguientes números: a. LXXIV

b. CDXLIX

c. CCCIX

d. CMLIX

428 •

• MMCCCXXIX

a. 341(5) a base 3. b. 101(4) a base 7. c. 134(6) a base 9. 14 En un monumento, en honor a Miguel Grau, se colocó el año de su nacimiento y fallecimiento: MDCCCXXXIV y MDCCCLXIXX, respectivamente. Escribe en el sistema decimal la edad a la que falleció Miguel Grau.

15 Luis escribió el siguiente número: MMDCCXCV, pero luego se dio cuenta de que no era el número que él quería expresar. Entonces intercambió de lugar dos “letras” y corrigió su error. ¿Cuál es el número que Luis quiso expresar? Explica.

11 Representa, cada número, en la base indicada: a. 795 a base 6. b. 1212 a base 9. c. 476 a base 12.

• MDXLV • MMDCCCLXXIX

13 Convierte a la base indicada:

c. 7 × 9 5 +6 × 9 3 +5 × 9+6 =

6 Relaciona correctamente: 999 •

a. 3 × 72 + 5 × 7 b. 2 × 5 + 3 × 5 + 1

e. MMDCXCVI =

2879 •

grupo de 4

a. 3472(8) =

4 Representa en números romanos los siguientes números: =

grupo de 2

9 Realiza la descomposición polinómica de los siguientes numerales:

c. Tres millones cuarenta mil cuatro.

a. 98

según corresponda.

ARITMéTICA

1 Representa el mayor número que se puede formar con las cifras indicadas, en cada caso:

o con un

12 Convierte cada numeral a base 10:

a. 785(9) =

1545 •

• IV DCLII

4652 •

• CDXXVIII

b. 1243(7) =

2329 •

• CMXCIX

c. 203(4) =

16 Si se cumple que: 31(n) = 24 (n + 1) ; halla el valor de n.

Alfonso Rojas Puémape

o ADICIÓN EN

n • PROPIEDADES • sUMA DE PRIMEROS NÚMEROS NATURALES

5 Efectúa las siguientes operaciones:

39 + 24 + 11 + 16

ARITMéTICA

2 5 + 22 + 38 + 15

3 7 + 14 + 18 + 23 + 46

5 5 + (15 + 24) + 46

6 1 + 7 + 9 + 23 + 31 + 19

(39 + 11) + (24 + 16)

40 = 90

4 13 + (17 + 18) + 22

6 Completa adecuadamente: 1

5 +

2 6 5

5 0 2 2

2 1 +

+ ... + 6 +

+ 8 + ... +

15 ×

) - (1 + 2 + ... + ×

120

) 7

2 21

7 1

5 3

= (1 +

7 2

5 N = 7 + 8 + 9 + ... + 14 + 15

3 8 +

o sustracción • propiedades • complemento aritmético 7 Completa los espacios: 1

3 -

4 2

4 1 4

2 4 6 -

- 73 = 27

8 CA(

) = 100 - 39 =

6 CA( 8 ) =

-8=2

9 CA(723) =

1 9 6

7 CA(247) =

- 247 = 753

10 CA(921) =

2 1

o Operaciones combinadas

- 723 =

9 3 7 4

5 CA(73) =

2 1 7

1 3 2

+; -

8 Resuelve, en cada caso: 1 P = 85 - { 46 - [ 35 - (17 + 12 )]}

2 Q = 100 - {88 - [46 - (6 + 7)]}

3 R = 300 - {112 - [36 - (415 - 385) + 6]}

4 Sara compró una casaca a

5 Luego de recibir S/. 600; María

6 La suma de las edades de

S/. 150, un pantalón a S/. 89 y una blusa a S/. 39. ¿Cuánto gastó Sara ?

compró un celular a S/. 325. ¿Cuánto le quedó a María?

tres primos es 54 años. Si los dos mayores tienen 20 y 18 años, ¿cuál es la edad del menor ?

P= P= P= P=

85 - {46 - [ 35 - 29 ]} 85 - { 46 - 6 } 85 - 40 45

¡recuerda! Si: N = 1 + 2 + 3 + ... + n n (n + 1) ⇒ N= 2

¡importante! En operaciones combinadas con signos de agrupación, unos dentro de otros, empezamos a operar desde el signo más interno.

Experiencias 8 1 Usa la propiedad conmutativa para encontrar el valor de N:

o con un

según corresponda.

7 Determina el complemento aritmético (CA) en cada uno de los casos: a. CA (53)

grupo de 2

11 La suma de las edades de Juan, Hugo, Pedro y Piero es 52 años. Si Piero es el menor de todos y la edad de cada uno de los demás es de 14 años, determina la edad de Piero.

b. CA (233) = c. CA (722) = d. CA (3581) =

2 Selecciona los números que debes colocar en los recuadros vacíos para completar la operación.

5 5

8 Calcula el valor de:

{[(88 − 16) + 35] − 13} − {12

12 Un carpintero cobra S/. 50 por fabricar una silla, S/. 80 por una mesa, S/. 120 por un sillón y S/. 40 por un estante para vasos. Si la señora Lupe le encargó fabricar una silla, una mesa, un sillón y un estante, ¿cuánto pagó?

+ [32 − (26 - 13)]}

4 2

3 Usa la propiedad asociativa para encontrar, de manera rápida, el valor de R. Explica. R = 13 + 5 + 3 + 8 + 7 + 2 + 11 + 7 + 4

9 Marcelo compra sus artefactos en la tienda Casaoka, pues lo tratan muy bien y atienden sus reclamos de manera rápida. Él compró un TV a S/. 7000, una PC a S/. 3000, una refrigeradora a S/. 2000 y un reproductor de DVD a S/. 400. ¿Cuánto gastó Marcelo al comprar estos productos?

13 Sara gastó S/.179 en un restaurante. Si pagó con un billete de S/.200 e indicó que el mozo por ser atento y respetuoso, recibiera una propina de S/.20, ¿cuánto recibió de vuelto?

4 Selecciona e indica los números que se deben colocar en los recuadros vacíos. a. 8 1

8 3 3

b. 4 2

5 5 3

5 Calcula el valor de M, en:

grupo de 4

ARITMéTICA

N = 24 + 33 + 12 + 16 + 7 + 28

• Completa la carita con un

M = {62 − [(38 − 19) − (46 − 34)]} − (47 − 14)

6 Calcula el valor de N, en: N = 3 + 4 + 5 + ... + 20

10 Luis compró un departamento valorizado en S/. 60 000, pero presentó un reclamo a Indecopi, pues la empresa que le vendió el inmueble omitió información sobre algunos detalles. Si pagó como cuota inicial S/. 25 000, ¿cuánto debe aún?

14 La siguiente información: CA(9) = 91,

¿es correcta? Explica.

15 Si:

a 6 b + 7 c d 984 ¿Cuáles son los valores que puede tomar a + b + c + d?

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

m u lt i pl i c ac i ó n y di vi s i ó n e n N Razonamiento y demostración Hola, Skanito; voy a cambiar estos zapatos, pues compré 25 pares para mi negocio, pero estos 2 pares están fallados.

Hola, señor Juan, ¿dónde va con esas cajas?

o Multiplicación • PROPIEDADES 1 Resuelve: 1 Según la historieta, si cada zapato costó S/. 127,

2 Completa:

¿cuánto pagó el señor Juan?

2 7 8 1 0 4 5

3 • 7 × 2 × 9 = 7 ×

•3×9+3×7+3×4=

• 3(128) = 3(100 +

(9 +

+ 8)= 3 ×

2= + 4) = + 3 × 20 +

o OPERACIONES COMBINADAS

15 × 42 + 15 × 31 + 27 × 15

(42 + + 27) 15( )

+; - ; ×

2 Resuelve en cada caso: 1

480 - [25(48 + 12) - 18 × 60] 480 - [25 × 60 - 18 × 60] 480 - [60(25 - 18)] 480 - 7 × 60 = 480 - 420 =

3{[5(12 + 4) - 3 × 16] - 7}

3 Para cancelar una deuda, cada uno de los 8

4 Ana quiere comprar 22 conejos y 14 gallinas. Si

integrantes de la familia Pérez aportó S/. 15 243. ¿Cuánto es el monto de la deuda?

cada conejo cuesta S/. 28 y cada gallina cuesta S/. 20, ¿cuánto dinero necesita Ana?

¡IMPORTANTE! • a ×b = b ×a • a(m + n) = am + an • am + an = a(m + n)

¡IMPORTANTE! Cuando se tienen signos de agrupación "unos dentro de otros" se empieza a operar desde los más internos.

Experiencias 9

a. 5501 × 40 = b. 2103 × 30 = c. 4905 × 25 =

o con un

luego de cada ejercicio.

R = 5 × [8769 + (3 × 50 + 8)] + 2 × [580 × 4 − 3 + 15 × 8],

calcula: R - P

e. 3582 × 250 =

a. 8 4 + 3 5

6 =101

b. 2 8

8 × 5 =110

c. 7 7

13 + 15

4 =124

3 Si: I.

325 × 121

a. 45 080

II.

432 × 163

b. 39 325

III.

245 × 184

c. 82 764

IV.

627 × 132

d. 70 416

indica la relación correcta.

grupo de 4

7 Si: P = 2 × [820 + (3 × 72 − 1)] + 3 × [(225 × 6 + 1) − 7 × 40]

d. 5161 × 150 =

2 Coloca los signos +, - o ×, de tal manera que se cumpla la igualdad:

grupo de 2

8 Luis es muy respetuoso de los derechos laborales y de las normas tributarias. Tiene una empresa que otorga a cada uno de sus 84 trabajadores, S/.125 por las utilidades anuales. ¿Cuál es el total de dinero que representan las utilidades?

9 Un grupo de 15 personas decide prestarse S/. 180 500, cada uno, de un mismo banco y así formar una empresa. ¿Cuánto dinero, en total, prestará dicho banco?

12 Saúl trabaja en un grifo, el cual se preocupa por atender bien y brindar un buen servicio a sus consumidores. Él vende, diariamente, 3500 galones de petróleo y 4200 galones de gasolina. ¿Cuántos galones de combustible venderá en 160 días?

ARITMéTICA

1 Emplea propiedades para calcular el producto de manera rápida:

• Completa la carita con un

13 Beto tiene una flota de 45 autos, 80 camionetas y 95 combis. Si alquila cada uno de sus vehículos a una empresa minera en S/. 150, S/. 200 y S/. 300 diarios, respectivamente, ¿cuánto recibirá luego de 5 días?

4 Organiza los sumandos y emplea propiedades para calcular: a. 15 ×13+43 × 87+13 × 28 = b. 71 × 77+23 × 39+23 × 32 = c. 42+ 39 × 58 + 42 × 38

d. 99 × 37 + 66 + 99 × 29

5 Calcula el valor de M, si:

10 Un caminante recorre 54 025 m diariamente. Si caminó durante 120 días, ¿cuál es la longitud total que caminó?

M = [259 × 11 + (960 × 2 − 25 × 30)]

14 Cinco pueblos del interior del país denunciaron a una minera por contaminar los ríos y el medio ambiente. La minera tuvo que pagar S/. 10 556 a cada persona de dichos pueblos. Si los cinco pueblos tienen 998; 775; 623; 432 y 224 habitantes cada uno, ¿cuánto dinero pagó la minera?

− 122 × 12

6 Determina el valor de N, si:

N = 3 × [7144 × 3 + 4399 × 5] + 5 × [7871 × 3 − 2 × 743]

11 Rodrigo es dueño de una tienda que vende artefactos eléctricos. Uno de sus camiones puede transportar, en un viaje, 42 televisores o 144 licuadoras. Si realizó 55 viajes llevando televisores y 85 viajes llevando licuadoras, ¿cuántos artefactos transportó?

15 Si en una multiplicación el multiplicando disminuye en 5, interpreta e indica en cuánto variará el producto.

Alfonso Rojas Puémape

o división • CLASES 3 Completa, comprueba y luego indica el cociente y el residuo:

ARITMéTICA

7 4

8 6

1 -

15 1

4 0

6 3

1 q=

r =

4 Desarrolla las divisiones e indica si son exactas o inexactas: 1 528

La división es: ________

o operaciones combinadas

1357

La división es: ________

3401

La división es: ________

+; - ; ×; :

5 Organiza y efectúa en cada caso: 1 { 4[5 + (35 - 15) : 2] - 10 } : 5

2 85 - 5 {17 - [3 × (4 + 8) : (5 + 4)]}

{ 4[ 5 + 20 : 2 ] - 10 } : 5 { 4[5 + 10] - 10 } : 5 { 4 × 15 - 10 } : 5 { 60 - 10 } : 5 = 50 : 5 = 10 3 48 : 8 × 3 - 36 × 5 : 18

4 10 × 6 : 3 + 32 : 4 × 2 + 45 : 5 × 3

5 Carolina desea guardar su colección de 144

6 Las ganancias de una empresa ascienden a

libros en cajas. Si en cada caja entran 18 libros, interpreta e indica cuántas cajas necesitará Carolina.

S/. 590 618. Si son 13 los socios de dicha empresa, ¿cuánto recibirá cada uno?

¡Recuerda! En toda división: D d r q • Si r = 0; la división es exacta • Si r ≠ 0; la división es inexacta

¡Importante! IMPORTANTE

Cuando se tengan operaciones combinadas de multiplicación y división, se efectuarán de izquierda a derecha. • 3×6:9 • 36 : 4 × 3 18 : 9 9×3

E x p e r i e n c i a s 10

• Completa la carita con un

2 Indica la relación correcta:

II. 89 887 968 : 12 a. 7 490 664 c. 34 748 358

3 Interpreta el algoritmo mostrado en cada caso y determina los números que faltan (da como respuesta el mayor de ellos): a. 6

;

M = 3(35 × 29 + 29 × 18) + (169 × 97 - 44 × 169) : 13

N = 4(47 × 54 - 47 × 38) + (36 × 54 + 40 × 36) : 2

7 Organiza los términos en cada expresión y calcula el valor de A - B, si:

4 0 0 8

A = 16 × 34 + 15 × 28 + 62 × 84 + 28

B = 61 + 45 × 24 + 61 × 54 + 37 × 45

1 6

8 Un millonario dejó S/. 34 371 590 de herencia para ser repartido entre sus 11 hijos. Si uno de los hijos renunció a la herencia, ¿cuánto más recibió cada uno de los otros hijos?

2 9

4 0 1 3

12 Determina, lo más rápido que puedas, si la división es exacta:

b. 1 2

11 Diez socios invertirán igual cantidad de dinero en un negocio, como uno de ellos se retira, otro de los socios aporta dicha suma y el negocio se lleva a cabo, obteniéndose una ganancia de S/. 530 742 870. ¿Cuánto dinero le corresponde al que invirtió más?

grupo de 4

6 Organiza y calcula el valor de M + N, si:

b. 6 311 578

;

c. 8 121 516 : 32

III. 94 673 670 : 15

b. 5 559 983 : 24

I. 312 735 222 : 9

10 Una empresa productora de arroz quiere distribuir 237 952 kg, pero debido a un reclamo realizado por los consumidores se impidió la distribución de 4160 kg, pues al parecer estaban en mal estado. Si para la distribución se usaron sacos de 52 kg, ¿cuántos sacos se usaron?

a. 1 730 534 : 16

grupo de 2

ARITMéTICA

a. 5 056 932 : 6 = b. 18 126 955 : 7 =

luego de cada ejercicio.

5 Encuentra el cociente (q) y el residuo (r) en cada caso:

1 Realiza cada una de las divisiones: b. 2 799 696 : 8 =

o con un

412 830 : 9

13 En una división inexacta, si: d = 85; q = 6986 y además sabemos que el residuo es mínimo, halla el dividendo e interpreta el concepto de residuo mínimo.

3 4 5 1 4 Comprueba si la información es correcta o incorrecta colocando respectivamente ( ) o una( ), respecto a cada división:

a. 2 293 984 : 16; es exacta ( b. 159 525 : 12; es exacta ( c. 292 446 : 14; es inexacta (

) ) )

9 Un comerciante importa polos de China. Si en el último pedido le llegaron 437 610 polos y además sabemos que los polos llegan en cajas de 30 unidades cada una, ¿cuántas cajas llegaron para él?

14 Un joven respetuoso ayudó a una señora a cruzar la calle, para que pueda ir al banco y hacer un depósito de S/. 12 480 distribuidos en 6 sobres que contenían la misma suma de dinero. ¿Cuánto dinero contiene cada sobre?

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

mATEMATICA M AT E M á T IEN C A LA E NVIDA L A vDIARIA i d a d ia r ia 1

Para la olimpiada interescolar, el colegio Santa Rosa ha seleccionado 25 de sus mejores deportistas para participar en aquellas disciplinas donde tiene mayor oportunidad de obtener medallas, tales como el ajedrez y karate. De los seleccionados sabemos que 17 alumnos participan en la competencia de karate y 15 alumnos en ajedrez. ¿Cuántos de los seleccionados participan en ambas disciplinas?

La mamá de Carlitos tiene un negocio; ella prepara alfajores y los vende en el colegio de su hijo. Para el aniversario del colegio le hicieron un pedido de 20 docenas. La señora ante esta situación le pide a su hijo que la ayude con las cuentas. Si Carlitos observa que para preparar una docena de alfajores su mamá hacía una inversión de 15 soles y los vendía en 23 soles, ¿cuál será la ganancia que dejará este pedido?

¡Resuelve aquí!

En este juego pueden participar dos o tres alumnos como máximo. ¡Presta atención a las reglas!

1 Sortea el orden de juego, puedes usar un dado (puntaje mayor, juega primero). 2 Se ubican las 24 fichas en forma arbitraria, con las figuras volteadas, de modo que no se vean. 3 Si al levantar dos fichas coinciden las figuras, dichas fichas quedan para ti y sigues jugando. Si las figuras no coinciden se dejarán donde estaban y le tocará al siguiente jugador.

4 Gana el que acumula más fichas.

¡Mucha concentración!

• Las fichas las encontrarás al final del libro.

ARITMéTICA

BUSCAND O PAREJAS

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

P O T E NC IAC I ó N Y R ADI C AC I ó N en N Resolución de problemas

Sí, en un día siempre leo el doble de páginas del día anterior...

Rodrigo, he notado que tienes una manera muy peculiar de leer.

o POTENCIACIÓN • PROPIEDADES 1 Según la historieta, resuelve: 1 Si el primer día Rodrigo leyó 2 páginas, ¿cuántas

2 Si Rodrigo terminó de leer el libro en 6 días, ¿cuán-

páginas leyó el 4° día?

tas páginas leyó el último día?

2 Completa los espacios vacíos, en cada caso: 1 32 . 3 = 3

3 3 1000 =

2 5

125

= 53 + 2 = 5

64 =

3×

64 =

125

3 Calcula el valor de las siguientes expresiones: 1

= 2 2 × 12 3-2 = 4 × 12 =

22 × 33 × 43 2 2 × (3 × 4)3 = 12 2 12 2

12 3 × 25 3 55 × 33 × 26 20 5

× ×

52 × 32 × 24 15 × 8

4 32 + 30

27 3

¡IMPORTANTE! Otra manera de resolver sería: 2 2 × 3 3 × (2 2 ) (2 2 × 3) 2

22 × 26 × 33 = 24 × 32

⇒ 2 2 + 6 - 4 . 3 3 - 2 = 16 × 3 =

20 3

24 5 ¡RECUERDA! 3

◘ • 2 2 ≠ (2 2 )

⇒

2 2 ≠ 2 2 ×3

= 2 8 ≠ 2 6

E x p e r i e n c i a s 11

• Completa la carita con un

1 Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: 2

(

)

= (2 )

(

)

c. 112 + 115 = 117

(

)

d. (m + n)2 = m2 + n2 ;m≠0yn≠0

(

)

b. 2

II.

III.

B. 4

IV. 15

a. 3 3 2

C. < D.

8 Si:

b. 13 5

= 27

12 Carlos quiere llegar al otro extremo del parque donde hay una sucursal de Indecopi, en la que presentará un reclamo en contra de un supermercado que omitió información al venderle un producto.

= 13

c. 7

A. >

N=2

calcula:

M=3

M2 - N2

10 m

24 m

3 Reduce la expresión:

Indecopi

24 × 72 × 12

grupo de 4

7 Dados los números: 0 y 1, selecciona cuál de ellos usarías para que se cumpla la igualdad en cada caso.

2 Selecciona la relación correcta: 3

grupo de 2

luego de cada ejercicio.

ARITMéTICA

a. (3 2) = (3 3)

o con un

64 × 82 × 32

9 Reduce la expresión: 52

Selecciona la ruta que debe seguir para llegar en el menor tiempo e indica cuánto camina.

4 Resuelve y halla el valor de A, en: A=

20 × 18 × 48 × 27 ×

13 Los sobrinos de Martha son muy respetuosos y ella decidió premiarlos. Martha obsequió a cada uno de ellos tantos polos como sobrinos tiene. Si en total regaló 25 polos, ¿cuántos sobrinos tiene?

10 Si:

P=5

Q=5

halla el valor de Q :

5 Resuelve y determina el valor de a, en: 303 × 203 × 104 × 25a 150 = 402 × 504 × 36 11 Un bombero, que respeta las normas de seguridad, intenta llegar a la azotea y así rescatar a una niña. Determina la longitud de la escalera.

14 Juan escribió un libro de la siguiente manera:

6 Resuelve e indica el valor de a, en:

a × 80 × 72 × 28 54 × 140

= 40

Día

N.° de páginas

1º

2º

3º

4º

5º Total de páginas

Si Juan terminó de escribir el libro en 5 días y lo puso a la venta, registra y determina el número de páginas que tiene el libro.

Alfonso Rojas Puémape

o OPERACIONES COMBINADAS 4 En cada caso, efectúa las operaciones combinadas: 1 (21 + 2 × 3) × 4 - 291 : 97

(21 + 6)

ARITMéTICA

× ×

3 = 105

108

(7 2 )(6 3 ) 6 5 × 93 + 3 16 × 27 6 × 21

2 23 × 34 : (32 + 2 × 32)

502 × 362 182 × 202

18 × 24 6 12

20 2 × 30 2 30 2 × 40 2 + 502 60 2

2 2 + 32 + 42 + 52 3+4+5+6

o PROBLEMAS CON TODAS LAS OPERACIONES 5 Resuelve en cada caso: 1 La edad de Pedro y la edad de Pablo suman 36

2 Paola tiene ahorrado en el banco S/. 98 más que

años. Si Pablo nació cuando Pedro tenía 8 años, ¿cuántos años tiene el mayor?

Susan. Si entre las dos tienen ahorrado un total de S/. 904, ¿cuánto tiene ahorrado Susan?

Registramos los datos: Pedro + Pablo = 36 años Pedro - Pablo = 8 años

Por operaciones combinadas:

Pedro = 36 + 8 = 22 años 2 -8 36 Pablo = = 14 años 2 Luego, el mayor tiene 22 años .

3 El producto de dos números es 64 y su cociente

4 Un número contiene 9 veces a otro, pero al mul-

tiplicarlos se obtiene 144. Calcula la diferencia de dichos números.

es 4. Calcula la suma de dichos números.

¡ATENCIÓN!

¡IMPORTANTE! 3

(3 × 4) = 3 × 4

6 3

62 = 32

(N° mayor) (N° menor) = P

⇒

N° mayor =

N° mayor =q N° menor P.q ; N° menor =

P q

E x p e r i e n c i a s 12

• Completa la carita con un

a. 32 + 23 > 22 + 33 b. 3

( )

c. 5 = 5 d. e.

20 × 30 3

2 ×

> 3 >

20 × 50 30 3

( )

6 En mi caja fuerte tengo 50 billetes de S/. 50, 20 billetes de S/. 20, 10 billetes de S/. 10, 25 monedas de S/. 5 y 256 monedas de S/. 2. Si extraigo 60 billetes y 100 monedas, ¿cuánto me podría quedar como mínimo?

2 Resuelve, en cada caso:

202 × 303 × 504

12 × 125

3 5 + 34

3 5 - 34 2

3 20 +4 45 +5 80 +6 125

grupo de 2

grupo de 4

y el resto gana S/. 949 al mes. ¿Cuál será el pago total de los trabajadores en abril?

( ) 2

505 3

5 A Manuel le regalaron 200 canicas por ser un niño muy respetuoso. Él le regala 84 a su primo, pero luego su papá le duplica las que le quedaban. Si le regala 100 canicas más a su primo, ¿cuántas le quedan?

( )

luego de cada ejercicio.

11 La hija de Julisa es muy respetuosa y ella decide premiarla con caramelos, así: 2 caramelos el lunes, 4 caramelos el martes, 8 caramelos el miércoles y así sucesivamente. Registra e indica cuántos caramelos le dará el domingo.

ARITMéTICA

1 Registra en los paréntesis verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

o con un

6 24 +5 54 +4 96 +3 150 +10 6

7 Selecciona el mayor: 2

o 3 .

12 Cada día, Leo triplica el número de figuritas que tiene. El lunes empezó comprando 9 figuras. Registra y determina cuántas tendrá el viernes.

3 Determina el perímetro de las siguientes figuras: P=

80 u

45 u

8 Cinco socios forman un capital. El primero aporta S/. 94 388, el segundo S/. 99 947, el tercero S/. 142 340, el cuarto S/. 88 900 y el quinto aporta S/. 74 398. ¿Cuál es el capital?

125 u

27 u 108 u

72 u

4 Registra los signos >; < ; =, en los recuadros vacíos, según corresponda.

a. 12 9 − 12 8

12 × 16

d. 5 0

182 45

12 10 − 12 9 3

6 3

9 Un anciano dejó una fortuna de S/. 346 928 para sus 4 hijos. Al mayor le corresponde S/. 68 945, al segundo, S/. 45 388, al tercero, S/. 52 045, y al último, el resto. ¿Cuánto le corresponde al último?

124 × 83 92 54

×2

10 En una empresa trabajan 100 personas. De ellas, 50 ganan S/. 752 al mes, 20 ganan S/. 6784 al mes, 10 ganan S/. 1543 al mes

13 Un terreno cuadrado tiene un área de 108 m2. Juanito, todas las mañanas, corre 8 vueltas alrededor de dicho terreno. ¿Cuántos metros recorre en 5 días?

14 Miguel realizó una actividad y pidió, en una avícola, 20 pollos de 2500 g cada uno. Cuando llega a casa se da cuenta de que le despacharon solo 15 pollos de 2100 g cada uno, por lo que fue y reclamó la diferencia. ¿Cuál fue dicha diferencia?

Alfonso Rojas Puémape

ARITMéTICA

c O N T R OL 1 • Completa el siguiente mapa mental:

valor

Potenciación

posicional Números hasta

Operaciones en N

la CM

otros sistemas de numeración

Sistemas de numeración

exacta

Adición clases Operaciones en N

Operaciones en N

Multiplicación

Complemento aritmético (CA)

1 Dados los números: PISTA 2 El tiempo que vivió lo podemos obtener mediante una diferencia entre el año de su muerte y el año de su nacimiento.

• 26 437 383 • 104 616 501

Selecciona la cifra cuya posición es DM del primer número y Cm del segundo número; y da como respuesta la suma de ellas.

2 En la lápida de un escritor muy famoso se indicaba el año de nacimiento y fallecimiento, así:

MXXVIII – MCXVII

¿Cuántos años vivió aproximadamente?

45 Exploramos lo que aprendimos.

3 Si la igualdad: 632(8) + 452(8) = baa(9)

es correcta, resuelve y halla el valor de a + b.

ARITMéTICA

6 Cierto día en un salón de clases se observa que María lleva de propina el doble de lo que lleva Sara y esta lleva el triple de lo que lleva Sonia. Si Sonia lleva S/. 8 y dicho día deciden juntar sus propinas, ¿cuánto juntarán en total?

PISTA 3

4 A Juan le dejaron una tarea de matemáticas, él decide realizarla de la siguiente manera: el primer día un problema; el segundo día, 2; el tercero, 3 y así sucesivamente, ¿cuántos problemas tenía dicha tarea, si la terminó en 9 días?

7 Indecopi premió a varias empresas con S/.15 000 a cada una por respetar los derechos de los consumidores y no haber presentado quejas durante 5 años consecutivos. Si Indecopi disponía de S/.200 000 para tales premios, ¿cuántas empresas se premiaron como máximo?

Expresa los sumandos en base 10, luego expresa el resultado en base 9.

PISTA 5 Recuerda que: CA( ab ) = 100 - ab

5 Si:

8 Si : CA(29) + CA(52) - CA( aa ) = CA(48)

interpreta y calcula el valor de a.

-1

4 × 3n + 3 n + 2 + 3n + 1 2 × 3n + 1+ 2 × 3n + 2 + 8 × 3 n

PISTA 8

indica el valor de N. No olvides que: • a n + m = an .am br • q = b r - q b

Alfonso Rojas Puémape

Su pe r de sa fí o1

ARITMéTICA

Empezamos Comunicación matemática

• Completa la carita con un

o con un

1 Si un número presenta el valor posicio-

nal: 5D, 1Dm, 3Cm, 8U, 7Um y 9C, identifica el valor de dicho número.

PISTA 4

Resolvemos:

Para que un número sea el menor posible, las cifras que se encuentren más a la izquierda del tablero posicional deben ser las cifras de menor valor.

• Ahora determinamos el número: 317 958

2 Al comprar un artículo me dan una bo-

59 5 4 11 5

a) 3 Cm, 8C, 4U, 7Dm, 5D, 4Um b) 4Um, 5D, 3Dm, 8C, 7U, 4Cm c) 4U, 3Dm, 8C, 7Cm, 5Um, 4D d) 8C, 4Um, 5D, 3Dm, 4U, 7Cm leyes paga sus impuestos a tiempo. Si anualmente paga S/. 542 380 y su empresa ya tiene 8 años funcionando, halla cuánto ya pagó por impuestos hasta el momento y da como respuesta la cifra cuya posición es Cm. b) 9

c) 4

d) 3

4 Con las cifras 3, 2, 4, 7, 6 y 1, selecciona el

menor número de cinco cifras diferentes e indica la cifra de la unidad de millar.

PISTA 8 Para convertir un numeral al sistema de base 10 (decimal) se emplea la descomposición polinómica.

a) 4

b) 3

c) 2

a) 345(8)

b) 355(8)

c) 342(8)

d) 347(8)

8 Expresa en el sistema decimal, el nu-

meral 231(4).

a) 45 9

b) 6

c) 5

d) 39

En una imprenta ordenan que a los diplomas se les coloque el año 1981 en números romanos. ¿Cómo se representa tal año?

Resolvemos: M = mil

C = cien

D = quinientos

L = cincuenta

X = diez

I = uno

• Entonces: 1981 = MCMLXXXI 10 Identifica el año de la independencia del

Perú expresado en números romanos.

a) MVIII XXI

b) MCCMXXI

c) MVIII XXI

d) MDCCCXXI

11 Mi papá compró el auto en el año 2007 y

terminó de pagarlo cinco años después. Representa en números romanos el año en que se terminó de pagar el auto.

d) 4

Representa el numeral 59 en el sistema de base 5.

c) 41

presenta el mayor número de 6 cifras diferentes y selecciona la cifra de las decenas de millar. a) 8

b) 43

• Recordemos:

d) 1

5 Empleando las cifras 4, 5, 8, 2, 6 y 3, re-

⇒ 214(5)

de base 8.

3 Un empresario muy respetuoso de las

a) 5

• Luego: 59 = 214 (5)

leta de venta cuyo número es 734 854, representa dicho número según su valor posicional:

grupo de 4

7 Representa el número 237 en el sistema

(Trescientos diecisiete mil novecientos cincuenta y ocho).

grupo de 2

Resolvemos: • Mediante divisiones sucesivas:

• Ordenamos según su valor posicional: 3Cm, 1Dm, 7Um, 9C, 5D, 8U

luego de cada ejercicio.

a) MMIIX

c) MMVIII

c) MMVII

d) MMXII

47 12 Si se sabe que el complemento aritméti-

19 A un número le sumamos 25 unidades y

co (CA) de un número de la forma abc es 247, calcula el valor de a - b + c.

Resolvemos:

• De la definición de CA: 1000 - abc = 247

⇒ abc = 753

cula el valor de m × n - p. b) 1

c) 2

d) 3

14 Si a un número de tres cifras se le resta

su complemento aritmético, se obtiene 490. ¿Cuánto suman las cifras de dicho número?

a) 14 15

b) 18

c) 12

En la siguiente igualdad: 21(

d) 16 )

= 32 (5),

identifica el número que se debe escribir en el recuadro.

a) S/. 1 330 452 b) S/. 1 303 245 c) S/. 1 330 425 d) S/. 1 033 425

2( 8 ) + 1 = 17

b) 2

)

c) 4

a) S/. 659 430 b) S/. 695 430 c) S/. 659 340 d) S/. 695 340

CA (abc)

(3 × 5)(25 × 5)(23 × 3)

= 1000 − abc

(52)(2 × 32)(26)

(26 × 2)(32)(52)

B= a) 1

28 × 35 × 40 × 54 50 × 98 × 18 × 24 b) 2

c) 3

d) 4

¡ATENCIóN!

Descomposición polinómica

50 + 72 + 32 F= 18 + 8

a) 1

b) 2

c) 3

En base 10:

d) 4

24 Se tiene un número de cinco cifras que

empieza en 4 y termina en 8. Si reemplazamos 4 y 8 por nueves, ¿en cuánto aumenta dicho número?

por cociente 144 y como residuo la mitad del divisor. Determina dicho número. b) 3468 d) 3448

(25 × 23)(3 × 3)(5 × 5)

23 Indica el valor de F, en:

18 Al dividir un número por 24 se obtiene

a) 3668 c) 3648

CA (ab) = 100 − ab

22 ¿Cuál es el valor de B?

d) 1

terrenos a S/.47 540 cada uno. Si luego los vende ganando en total S/.124 860, halla cuánto dinero obtuvo la inmobiliaria en la venta.

CA (a) = 10 − a

8 • Luego: E = 27 = 2 2

= 42(8),

17 Una empresa inmobiliaria compró 12

además:

• Agrupando y reduciendo:

halla el número que se debe colocar en el recuadro. a) 3

abcd: N°° de 4 cifras

Efectuamos:

• Luego, el número que debe ir es 8. 16 Si se sabe que: 54(3 ×

ab: N°° de 2 cifras abc: N°° de 3 cifras

• Descomponemos los términos como el producto de factores primos:

)+ 1 = 5 × 3 + 2

¡RECUERDA!

E = 15 × 160 × 24 25 × 18 × 64

• Descomponemos polinómicamente ambos miembros de la igualdad: 2(

d) 12

21 Halla el valor de E, si:

Resolvemos:

c) 11

maras de seguridad a S/. 9855 cada una, con la finalidad de garantizar el bienestar de sus clientes. Si le hacen un descuento de S/. 147 825, ¿cuánto pagó la empresa por la compra?

13 Si se sabe que el CA( mnp ) es 752, cal-

a) 0

b) 10

20 Un centro comercial compra 150 cá-

• Luego: a - b + c = 7 - 5 + 3 = 5

a) 9

ARITMéTICA

al dividir dicha suma por 36, obtenemos por cociente 26. Si la división es exacta, ¿cuánto suman las cifras del número?

a) 50 001 c) 50 011

b) 5011 d) 5001

• ab = 10a + b • abc = a.10 2 + b.10 + c En base n: • ab(n) = a.n + b • abc(n) = an2 + bn + c

Alfonso Rojas Puémape

Vamos b ie n Razonamiento y demostración

ARITMéTICA

• Completa la carita con un

o con un

luego de cada ejercicio.

1 De la siguiente lista de países y sus res-

7 Cuatro vagones de un tren llevan 9580 kg

pectivas superficies:

Congo

→

2345 km2

II.

Arabia Saudita

→

2149 km2

III. Sudán

→

2505 km2

IV. Groenlandia

→

2166 km2

organiza de menor a mayor.

a) II; IV; I; III c) III; II; I: IV

de mineral cada uno y otros siete vagones 7250 kg del mismo mineral. Si el último vagón lleva 8730 kg de mineral, ¿cuántos kilogramos de mineral lleva dicho tren?

b) I; III; IV; II d) III; I IV; II

y acuerdan pagar los gastos equitativamente. Si compran 12 kg de lomo a S/. 25 el kg, 8 kg de chuletas a S/. 20 el kg y 15 kg de embutidos a S/. 18 el kg, indica cuánto debe pagar cada familia.

aab (6)= 47

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

3 María convoca a sus amigos para ayu-

Para convertir un número del sistema decimal a otro sistema, se emplean las divisiones sucesivas.

dar a un joven con problemas de salud. Si se sabe que ella contribuye con S/. 208, Julia con S/. 24 más que ella, Ana con S/. 32 más que Julia, Carla con S/. 18 más que Ana y Diana con S/. 36 más que Carla, organiza los datos e indica a cuánto equivale la contribución total.

a) S/. 1292 c) S/. 1298

a) 8854

b) 8855

c) 8853

d) 8852

Pagar equitativamente significa pagar en partes iguales.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

d) 505

a) 322

b) 328

c) 382

d) 388

ve veces su complemento aritmético. Comprueba que la suma de cifras de dicho número es 9 y da como respuesta la mayor de las cifras.

a) 5

b) 9

c) 4

d) 3

12 Sonia presentó un reclamo a Indecopi,

pesan 15 452 kg cada uno y 5 autobuses que pesan 10 548 kg. Si solo transporta estos vehículos, ¿cuántos kilogramos transporta? a) 90 996 b) 99 906 c) 98 096 d) 99 096

c) 535

11 Un número de tres cifras equivale a nue-

6 Un barco transporta 3 camiones que

b) 515

de 353 llaveros. Si lo que tiene Juana se divide por lo que tiene Ada, resulta 13 de cociente y 3 de residuo. ¿Cuántos llaveros tiene Juana?

cifras es igual al complemento aritmético del mismo número, halla la diferencia de sus cifras.

a) 525

10 Juana y Ada han logrado juntar un total

5 Si la tercera parte de un número de dos

PISTA 8

b) S/. 146 d) S/. 126

gallinas en cada uno. Si para transportar todas las gallinas emplea jaulas que contienen 12 gallinas, ¿cuántas jaulas serán necesarias?

4 Determina el mayor y menor número de

a) S/. 136 c) S/. 156

9 Cierta granja tiene 5 galpones con 1260

b) S/. 1296 d) S/. 1304

4 cifras diferentes y calcula la diferencia entre ellos.

b) 97 860 kg d) 98 680 kg

8 Cinco familias organizan una parrilla

2 Identifica el valor de a + b, en:

PISTA 2

a) 98 700 kg c) 97 800 kg

pues una tienda le vendió artefactos con fallas. Ella compró 4 TV, 5 lavadoras y 10 hornos microondas. Si cada TV, lavadora y horno cuestan S/. 1899; S/. 1589 y S/. 359 respectivamente, ¿cuánto gastó en total?

a) S/. 19 113 c) S/. 11 931

b) S/. 19 311 d) S/. 19 131

49 MUCHO MEJOR Resolución de problemas

1 Si:

o con un

resuelve y calcula el valor de a + n.

En el enunciado, ¿cuál es el dato que está de más? 2 En una campaña solidaria se logró re-

84 725 personas y al segundo asistieron 74 597 personas. Si en los 4 conciertos la asistencia fue de 428 794 personas, resuelve e indica cuántos asistieron al último concierto.

a35 (8) = 4a1 (n) y 3 < n < 7,

luego de cada ejercicio.

unir S/. 9 345 696. La mitad de este monto se envió a Puno, se envió a Apurímac y el resto se envió a Cusco. ¿Cuánto se envió a Cusco? Si la respuesta es S/. 1 557 616, ¿cuál es el dato que se ha borrado?

¿Cuál es el dato que falta para poder responder la pregunta? 8 Se desea convertir el numeral 537(8) al

sistema decimal y luego al sistema quinario. Calcula la suma de cifras del numeral en este sistema.

¿Cuál es la parte del enunciado que podría borrarse y aún así poder resolver el problema?

3 Para llenar su álbum, Leo debe com-

prar figuritas durante 2 semanas. El primer día comprará un sobre; el segundo día 2 sobres, el tercer día 3 sobres y así sucesivamente. Si cada sobre trae 5 figuritas,

resuelve y halla el valor de ab.

do él invirtió todo su dinero en un negocio obtuvo el triple de su capital y cuando prestó todo su dinero obtuvo S/. 1000 más de lo que prestó. Si primero , ¿cuánto ganó?

Todas las cifras de un sistema de numeración son menores que la base de dicho sistema.

10 En el acta de nacimiento de un roma-

7 6 7

no consta que nació en el año MDCCLXXXVIII. ¿Cuál fue su edad en el año MDCCCLIV?

3 5 6

selecciona los números que se deben colocar en los recuadros y luego halla la suma de ellos.

¿Tiene solución este problema?

Si no la tiene, ¿cómo podrías plantearlo para poder hallar una solución?

S/. 18, pero si Luis aportara el doble de lo que aporta en realidad, juntarían S/. 24. ¿Cuánto aporta Leo? ¿Se podría proponer otra pregunta? 7 Un grupo de rock realizó 4 conciertos

durante su estadía en cierto país. Se supo que al primer concierto asistieron

Indica el dato fundamental para responder la pregunta. 11 Resuelve:

6 Si Luis y Leo unen sus propinas juntan

PISTA 1

Si Leo ganó S/. 77 382, ¿cuál es el dato que se borró?

¿Cuál es el dato que está de más? 5 En la sustracción:

9 Leo tiene en su cuenta S/. 24 794. Cuan-

¿Cuál sería una pregunta apropiada para este enunciado? 4 Si: CA( a95 ) + CA( 5a3 ) = 96b y b es par,

ARITMéTICA

• Completa la carita con un

20 2 × 30 × 40 2 50 2 × 60 2

Si la respuesta es 1920, ¿cuál es el número que colocarías en el recuadro?

12 Si:

A = 30

+ 15 1

3 20

− 7 3 : 49,

resuelve y determina el exceso de A sobre 27.

¿Esta pregunta está bien formulada?

¡RECUERDA! La edad de una persona se determina como la diferencia entre el año actual y el año de nacimiento.

Alfonso Rojas Puémape

A u to e va luac i ó n ARITMéTICA

• Completa la carita con un

1 Representa los números según su valor posicio-

y ordénalos de menor a mayor.

a) I; II; III c) III; I; II

mésticos es un número formado por siete cifras, todas ellas diferentes. Si dicho número es el menor posible, ¿cuál es la cifra de las decenas?

2 Organiza el valor posicional en cada número y

determina el que continúa en la sucesión:

7D, 6Um, 6C, 3Dm, 8U 8U, 5C, 3Dm, 7Um, 2D 3C, 8U, 8Um, 7D, 3Dm 3Dm, 2D, 8U, 2C, 9Um

y representa el resultado en números romanos.

a) MMLIX c) MMXLVII

b) MMXLIII d) MMLVIII

b) 1010(6)

c) 1001(6)

d) 1011(6)

II. 43(5)

B. 40(8)

III. 52(6)

C. 111(5)

a) IA, IIB, IIIC c) IC, IIA, IIIB

a) 212 c) 221

ordena las ciudades, según su altura, de menor a mayor.

a) III, V, I, II, IV c) III, I, V, II, IV

b) 222 d) 211

c) 8

bolsas que contienen respectivamente en nuevos soles, 65Cm, 720Dm y 45 800C. Interpreta y calcula cuánto dinero transporta la camioneta. b) S/. 18 284m d) S/. 1828Dm

b) S/. 13 643 d) S/. 13 633

diariamente por más de 1000 personas. Sabemos que durante 4 días consecutivos la visitaron un total de 6386 turistas. Si el lunes la visitaron 1263 turistas, el martes, 1869 y el miércoles, 1432, ¿cuántos la visitaron el jueves?

d) 5

7 En una camioneta de caudales se transportan tres

a) S/. 183Cm c) S/. 184Cm

a) S/. 13 343 c) S/. 13 463

12 La ciudadela de Machu Picchu es visitada

41(n) = 34(7) b) 6

b) III, I, II, V, IV d) III, V, II, I, IV

fierros de construcción y S/. 7240 en cemento, pero le ofrecen un descuento de S/. 452, por ser un cliente constante. Si desea hacer valer su derecho como consumidor, ¿cuál debe ser el monto total de la factura en dicha compra?

6 Halla el valor de n, si:

a) 9

b) IB, IIC, IIIA d) IA, IIIB, IIC

11 Roberto gasta S/. 2100 en ladrillos, S/. 4575 en

5 Convierte 1342(5) al sistema de base 10.

A. 32(7)

4 Expresa el número 216 en el sistema de base 6.

a) 1000(6)

d) 16

I. Cusco: 3399 msnm II. Puno: 3827 msnm III. Arequipa: 2335 msnm IV. Pasco: 4338 msnm V. Huancayo: 3271 msnm

MCLV + DCCCXXIV + LXXIX

c) 3

I. 37(8)

a) 4Dm, 5C, 7D, 8U b) 4Dm, 7D, 8U c) 4Dm, 8Um, 7D, 8U d) 4Dm, 2D, 8U

b) 5

10 Sean las alturas de las siguientes ciudades:

3 Efectúa la siguiente operación:

a) 4

9 Relaciona correctamente ambas columnas:

b) II; I; III d) I; III; II

• • • •

luego de cada ejercicio.

8 El ingreso anual de una tienda de electrodo-

nal:

I. 3U, 4C, 2D, 7Cm, 2Um, 5Dm II. 1Um, 5D, 6Cm, 3C, 8U, 8Dm III. 4D, 9Dm, 1C, 9U, 6Um, 7Cm

o con un

a) 1282

b) 1828

c) 1288

d) 1822

13 Si: a + b + m + n = 24 356 y b + n = 9798,

organiza y halla el valor de a + m.

a) 14 548 c) 14 458

b) 14 558 d) 14 448

14 El propietario de un edificio decide venderlo

a) S/. 4 394 246 c) S/. 5 084 600

Interpreta y calcula la suma de las cifras que deben ir en los recuadros.

a) 13

a) S/. 35 000 c) S/. 31 000

ahorrar. El primer día ahorra S/. 1 y cada día que pasa S/. 1 más que el día anterior. Si ahorró durante todos los días del mes de mayo, resuelve y determina cuánto dinero ahorró.

a) S/. 496

b) S/. 465

c) S/. 528

sumar el mayor número de seis cifras diferentes con el menor número de cinco cifras diferentes.

a) 45

b) 49

c) 48

2 3

b) S/. 375

c) S/. 420

d) S/. 435

20 Un comerciante gastó S/. 834 en comprar 18

lámparas a S/. 25 cada una y 12 ventiladores. Resuelve e indica cuál es el costo de cada ventilador.

a) S/. 32 21 Efectúa:

a) 1 22 Efectúa:

b) S/. 30

c) S/. 27

d) S/. 31

c) 3

d) 5

36 × 28 × 35 49 × 16 × 45 b) 2

5 + 6 7

1 4 8

a) 3

32 + 42 + 22 + 3

b) 4

c) 5

d) 6

23 En una división el divisor es 23. Halla el dividen-

d) 46

do si se sabe que el cociente es 15 y el residuo es el máximo posible.

18 Si se cumple la operación:

a) S/. 360

d) S/. 435

17 Calcula la suma de las cifras del resultado de

b) S/. 37 000 d) S/. 33 000

16 Una persona tiene una forma particular de

d) 16

camisetas a S/. 15 cada una y dos docenas de polos a S/. 10 cada uno, ¿cuánto gasta en la compra?

15 El Sr. Tello dejó S/. 120 000 de herencia, la cual

c) 15

19 La dueña de un bazar compra una docena de

b) S/. 4 349 426 d) S/. 5 048 060

será repartida entre sus tres hermanos. Si al mayor le corresponde S/. 48 000 y al menor S/. 9000 menos que al mayor, registra e indica cuánto le corresponde al de edad intermedia.

b) 14

a) 346

b) 361

c) 367

d) 368

24 Efectúa: { 5 + 2 × [1 + (5 2 - 2 2) : 3 ]} : 7 + 7

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

apr e nd í a : Metacognición

Marca con un 3 según corresponda: 1. Comparar números hasta la centena de millón. 2. Expresar números en otros sistemas de numeración. 3. Efectuar adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones en N. 4. Efectuar potenciación y radicación en N.

ARITMéTICA

en S/. 4 739 423, perdiendo en dicha venta S/. 345 177. ¿Cuál es el precio real de dicho edificio?