101 grep for å aktivisere elever i matematikk (9788245024524) by Fagbokforlaget

Marianne Maugesten er førstelektor ved lærerutdanningen på Høgskolen i Østfold. Forskningsinteressene er læreres læring og utvikling av læreplaner. Hun har blant annet skrevet læreverk for ungdomstrinnet. Maugesten leder juryen i UngeAbel-konkurransen. Monica Nordbakke er høgskolelektor ved lærerutdanningen på Høgskolen i Østfold. Hun har ansvar for matematikkemner innenfor Master i grunnskolelærerutdanning 5–10 og etterog videreutdanning av lærere. Hun er spesielt opptatt av en problemløsende og tilpasset opplæring i matematikkfaget. Nordbakke sitter i juryen for UngeAbel.

Kjersti Wæge er førsteamanuensis og leder ved Matematikksenteret, NTNU. Wæges forskningsfelt er elevenes motivasjon, undersøkende matematikkundervisning, samt kompetanseutvikling av lærere. Hun har deltatt i flere større forsknings- og utviklingsprosjekter. Seneste bok: Motivasjon i matematikk (2018).

MED BIDRAG AV: Linda Ø. Andersen, adjunkt m/opprykk, Krokemoa skole; Peer Sverre Andersen, førstelektor, USN; Beate Haugom Bigseth, universitetslektor, USN; Svend Kristian Eidsten, utviklingsrådgiver, Kompetansesenteret, Drammen; Brynhild S. Farbrot, områdedirektør i Utdanningsetaten i Oslo; Veronica S. Gunnestad, adjunkt m/opprykk, Haukerød skole; Sigurd Hals, stipendiat, USN; Bente Irby, adjunkt m/opprykk, Krokstad skole; Henrik Kirkegaard, adjunkt m/opprykk, Fiskarstrand skule; Mari Elisabeth Mjerskaug, lærer, Vear skole; Gerd Nilsen, lektor, Furnes ungdomsskole; Inger-Lise Risøy, undervisningsinspektør, Krokstad skole; Siv Svendsen, universitetslektor, USN; Anne-Gunn Svorkmo, universitetslektor, Matematikksenteret, NTNU; Svein Torkildsen, prosjektleder, Matematikksenteret, NTNU

Dette er noen av de sentrale matematikkfaglige spørsmålene som tas opp i boka. Del I består av sju fagfellevurderte vitenskapelige artikler. Del II inneholder 101 metodiske grep til bruk i undervisningen. Her bindes matematikkdidaktisk teori og praksis sammen på bakgrunn av empiriske erfaringer og klasseromsstudier. Med den nye 5-årige lærerutdanningen forventes det at lærere i større grad blir forskere på egen undervisning og kan teoretisere og begrunne sine valg. Boka er en god kilde til å se sammenheng mellom teori og praksis. 101 grep for å aktivisere elever i matematikk bidrar med ny forskning på feltet. Boka er en skattkiste for alle som skal jobbe med å utvikle elevers matematiske kompetanse i hele det 13-årige skoleløpet. Bokas målgruppe er lærere, studenter, lærerutdannere og forskere. Andre bøker i 101-serien: 101 måter å lese leseleksa på (2012) 101 skrivegrep (2014) 101 måter å fremme muntlige ferdigheter på (2016) 101 litteraturdidaktiske grep (2018) 101 digitale grep (2018) 101 Ways to Work with Communicative Skills (2019)

ISBN 978-82-450-2452-4

,!7II2E5-acefce!

Elise Klaveness, Lisbet Karlsen og Kåre Kverndokken (red.)

Mona Nosrati er førsteamanuensis ved Matematikksenteret, NTNU. Hun har blant annet jobbet med utvikling av mattelist.no i samarbeid med NRICH ved University of Cambridge. Ellers er hun spesielt interessert i kognitiv utvikling og nevrovitenskapelige perspektiver på læringsprosessen. Seneste bok: Motivasjon i matematikk (2018).

Kan det være bra å regne feil? Hvordan kan man som lærer skape gode matematiske samtaler som fremmer elevenes læring? Hvordan kan man utvikle dybdelæring og en varig matematikkforståelse slik at elevene evner å se sammenhenger og bruke lærestoffet i nye kontekster?

grep for å aktivisere elever i matematikk

Fride Lindstøl er førsteamanuensis i drama- og teaterpedagogikk ved Universitetet i Sørøst-Norge. Lindstøl disputerte på en avhandling om dramaturgiske perspektiver på lærerutdanneres undervisning og har bidratt i boka 101 litteraturdidaktiske grep (2018). Hun er medarrangør av den årlige profesjonskonferansen på USN.

101

grep for å aktivisere elever i matematikk – matematikkdidaktikk i teori og praksis

Elise Klaveness Lisbet Karlsen Kåre Kverndokken (red.)

Elise Klaveness er førstelektor i matematikkdidaktikk ved Universitetet i Sørøst-Norge, tilknyttet lærerutdanningen. Som lærerutdanner og forsker er hun spesielt opptatt av å gjøre matematikkundervisningen inkluderende for alle. Klaveness har skrevet flere artikler innenfor matematikkdidaktikk og matematikk. Hun sitter i det nasjonale styret i Norsk matematikkråd og i juryen i konkurransen UngeAbel. Lisbet Karlsen er førstelektor i matematikkdidaktikk ved Universitetet i Sørøst-Norge. Hun jobber med grunnskolelærerutdanning 5–10, etterutdanning av lærere og klasseromsforskning. Hun er opptatt av at matematikkundervisningen skal ha vekt på utforskning, problemløsning og samtaler, og har vært med på å utvikle et matematikkverksted. Seneste bokutgivelse: Tenk det! (2014). Kåre Kverndokken er dosent em. i norskdidaktikk ved Universitetet i Sørøst-Norge. Han arbeider først og fremst med grunnleggende ferdigheter i lesing, skriving og muntlighet, læremiddelkunnskap og barnelitteratur, og er engasjert i etterog videreutdanning av lærere innenfor dette feltet. Kverndokken er hovedredaktør for 101-serien. Janne Fauskanger er førsteamanuensis i matematikkdidaktikk ved Universitetet i Stavanger. Hennes interesseområde er læreres undervisningskunnskap i matematikk. Fauskanger har en omfattende publikasjonsliste både nasjonalt og internasjonalt og har deltatt i flere større forsknings- og utviklingsprosjekter. Mona Holmqvist er professor i utdanningsvitenskap ved Malmö universitet og forsker innen pedagogikk, spesialpedagogikk og fagdidaktikk. Hun underviser i lærerutdanningen, spesialpedagogikklærerutdanningen og forskerutdanningen. Holmqvist er vitenskapelig leder for en nasjonal forskerskole for lærerutdannere finansiert av Vetenskapsrådet i Sverige. Signe Holm Knudtzon er førstelektor ved Universitetet i Sørøst-Norge. Hun har ledet læreplanarbeid for lærerutdanning, og hatt ansvar for etterutdanning for lærerutdannere i en årrekke. Spesielle interesseområder er sannsynlighet, geometri, dynamisk geometri, utforskning/ problemløsning/representasjon og lærerstudenters utvikling.

101 grep for ĂĽ aktivisere elever i matematikk

Elise Klaveness, Lisbet Karlsen og KĂĽre Kverndokken (red.)

101 grep for ĂĽ aktivisere elever i matematikk â&#x20AC;&#x201C; matematikkdidaktikk i teori og praksis

Copyright © 2019 by Vigmostad & Bjørke AS All Rights Reserved 1.utgave / 1. opplag ISBN: 978-82-450-2452-4 Forsidefoto: © shutterstock / Diane Diederich og shutterstock / Goran Bogicevic Design og omslag ved forlaget Sats: Bøk Oslo A/S Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 Faks: 55 38 88 01 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor

Forord «Hvordan jeg regnet det? Jo, du skjønner at jeg vet jo at det er fem minutter mellom hver store strek på klokka, og hvis langeviseren står på 11, er klokka fem på, 55 minutter av en time. Altså er 11 gange 5 lik 55!»

Denne boka handler om å aktivisere elever kognitivt slik at de ser sammenhenger i matematikk og får en dyp forståelse. Det kan noen ganger være sammenhenger som man som lærer ikke engang har tenkt på selv. I elevens forklaring ovenfor ser han sammenheng mellom den analoge klokka og tallene. Eleven benytter det han vet om tid, til å regne et abstrakt regnestykke. Det å se sammenhenger har mange dimensjoner. Det kan handle om sammenhenger mellom representasjoner som symboler og tegninger, men det kan også handle om å se sammenhenger mellom måter å regne på og sammenhenger mellom fag. Videre kan det dreie seg om sammenhenger mellom det som gjøres på skolen og verden utenfor, og sammenhenger mellom teori og praksis. I den nye lærerplanen LK20 kan kjerneelementene, sammen med de grunnleggende ferdighetene og verdiene og prinsippene i generell del, forstås som hjelp til hvordan vi som lærere skal aktivisere elevene med å se sammenhenger og få dybdeforståelse. Dybdelæring er et sentralt begrep og kan forstås som utvikling av varige ferdigheter og kunnskaper som kan anvendes i nye situasjoner (Pellegrino mfl., 2012). Kjerneelementene baserer seg på hvilken kompetanse det er ønskelig at en elev skal kunne utvikle i hvert fag, slik at han eller hun er best mulig forberedt på den voksne verden og kan klare seg godt. Kjerneelementene viser et tydelig fokus på en mer elevaktiv matematikkundervisning der elever blir invitert til å utforske sammenhenger før de får presentert regler, og til å diskutere sammenhenger før læreren forteller hvordan det henger sammen (Karlsen, 2014). Kjerneelementene i matematikk er (Utdanningsdirektoratet, 2019): • • • • • •

Utforsking og problemløsing Modellering og anvendelser Resonnering og argumentasjon Representasjon og kommunikasjon Abstraksjon og generalisering Matematiske kunnskapsområder

Med utforsking kan eleven få kompetanse til å undersøke verden og fortsette å være nysgjerrig. Med problemløsing kan eleven få kompetanse til å løse problemer

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

og ikke gi opp. Med modellering og anvendelse kan eleven få kompetanse til å se sammenhengen mellom matematikken og den verdenen han eller hun lever i. Med resonnering og argumentasjon kan eleven få trening i å resonnere logisk og argumentere for egne meninger, men også forstå andre bedre. Med representasjon og kommunikasjon kan eleven få kompetanse i å uttrykke seg på former som andre kan forstå, og motsatt å oppfatte hva andre forsøker å kommunisere. Med abstraksjon og generalisering kan eleven få kompetanse i å se mønster og gå fra det generelle til det spesifikke, og motsatt. Med det siste kjerneelementet, matematiske kunnskapsområder, kan eleven få avgjørende matematisk kunnskap (se også Maugesten & Nordbakkes artikkel, s. 57). Vi kan tenke at alle kjerneelementene kan tvinnes sammen som tråder til et tau, inspirert av trådmodellen til Kilpatrick, Swafford & Findell (2001) (se også Nosratis artikkel, s. 77). Kjerneelementene hører sammen og danner en helhetlig kompetanse (se figur 1). Tauet er igjen del av et enda større tau som er elevens totale kompetanse. Med boka ønsker vi å vise hvordan vi kan gjøre elevens «matematiske tau» så sterkt som overhodet mulig. Hvordan kan vi aktivisere og motivere elever til å bygge kompetanse? Og hvordan binder vi kunnskapsområder sammen slik at trådene tvinnes i hverandre og ikke står hver for seg? Hvordan får vi til dybdelæring i matematikk? Bokas overordnede mål er nettopp å vise det, gjennom en syntese av teoretiske, vitenskapelige artikler (del I) og 101 praktiske grep (del II). Målgruppa er lærere, lærerstudenter, lærerutdannere og forskere. Figur 1: kjerneelementene Om bokas oppbygning og innhold Del I består av sju fagfellevurderte, vitenskapelige artikler som bringer ny kunnskap til feltet matematikkdidaktikk. I den første artikkelen skriver Kjersti Wæge om matematiske samtaler og diskusjoner og den store betydning disse har for elevers læring og forståelse av matematikk. Lærernes oppgave er å lede elevene mot målet for timen samtidig som de legger til rette for produktive matematiske samtaler og diskusjoner i klasserommet. Dette er kanskje det mest utfordrende og krevende aspektet ved læreres undervisning. I artikkelen presenteres og diskuteres samtaletrekk og praksiser som lærere kan bruke for å legge til rette for de gode matematiske samtaler, og i større grad involvere elevenes tenking i undervisningen. Eksempler

Forord

6 | 7

fra forskningsprosjektet «Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning (MAM)» blir brukt for å illustrere samtaletrekkene og praksisene. Den neste artikkelen, skrevet av Janne Fauskanger og Fride Lindstøl, tar for seg bridging eller brobygging som handler om å binde elevers tidligere erfaringer sammen med ny fagkunnskap. Det å kunne se ny kunnskap i sammenheng med det man tidligere har erfart og lært, løftes i flere sammenhenger fram som avgjørende for å kunne utvikle dybdeforståelse innenfor et fagområde. Det er imidlertid behov for mer kunnskap og diskusjoner om hvordan en kan planlegge og bygge broer mellom elevers erfaringer og ny fagkunnskap. I denne artikkelen fokuseres det på brobygging mellom elevenes praktiske erfaringer med måling og skriftlig oppgaveløsning i mer tradisjonell «skolematematikk». Det finnes mange måter å konstruere broer på mellom ulike kunnskapspraksiser, og en måte er å bruke matematiske samtaler. Slike samtaler kan rammes inn av lærere gjennom bevisst bruk av samtalemønstre. Gjennom å bruke praktiske eksempler fra klasserommet diskuteres hvordan ulike samtalemønstre kan støtte elevenes forflytninger fram og tilbake mellom erfaringer og kunnskaper. Artikkelen kan dermed gi mer kunnskap om hvordan lærere kan bruke samtalemønstre til å bygge bro mellom ulike kunnskapspraksiser og erfaringer i matematikkundervisningen. Dybdelæring er et sentralt begrep både i den overordnede delen av læreplanen og i fagplanen for matematikk. Det innebærer blant annet utvikling av varig forståelse – å se sammenhenger i og mellom fag, å anvende lærestoffet i nye situasjoner og å reflektere over egen læring. I artikkelen til Marianne Maugesten og Monica Nordbakke er formålet å vise hvordan kjennetegn på dybdelæring kan identifiseres i elevers arbeid med en undersøkende oppgave på 9. trinn. 17 besvarelser på denne oppgaven fra den nasjonale konkurransen UngeAbel relateres til kjerneelementene i matematikk og til annen litteratur om dybdelæring. Gjennom artikkelen presenteres ulike oppgavetyper og eksempler på kjerneelementene i matematikkfaget. Det pekes på hvordan det kan tilrettelegges for dybdelæring ved elevsamarbeid med diskusjoner, refleksjoner og ved at elevene motiveres for utholdenhet i sin utforsking. I artikkelen til Mona Nosrati settes fokus på matematiske aktiviteter med lav inngangsterskel og stor takhøyde (LIST-aktiviteter). I slike nøye utformede aktiviteter kan matematisk (ut)forskning ta utgangspunkt i et relativt enkelt tema og begynne på et nivå der tilnærmet alle elever kan sette i gang og bli motivert. Samtidig gir aktivitetene rom for kreativitet og svært avansert og elegant matematisk tenking for de elevene som blir ekstra nysgjerrige. LIST-aktiviteter kan dermed i stor grad imøtekomme både faglige behov og sosiale verdier i heterogene klasserom. Gjennom drøfting av et eksempel fra barnetrinnet med utvalgte elevløsninger vil artikkelen se nærmere på hva som karakteriserer LIST-aktiviteter, og hvordan de kan brukes i den matematiske læringsprosessen. Læreres kunnskapsfokus er å «lære andre å lære» et spesifikt innhold på avgrenset tid i dekontekstualiserte miljøer. Lærerparadokset innebærer å vite hva det er man ikke vet, når man ikke vet, til tross for at man allerede vet. Å beherske

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

det dilemmaet er kjernen i å undervise framgangsrikt. Læreres dyktighet i ikke bare å kunne, men også presisere hva som kreves for å utvikle elevers evner, er helt avgjørende for hva slags læring som kan være mulig i undervisningssituasjonen. I artikkelen til Mona Holmqvist beskrives på hvilken måte teoretiske antakelser om læring, ut fra et variasjonsteoretisk perspektiv, kan anvendes som verktøy av lærere for å utvikle matematikkundervisningen i skolen. Gjennom nøye analyser av elevenes læring i matematikk kan skoletimer designes for å møte den aktuelle elevgruppas behov. I enhver læreprosess er det essensielt at man ikke må ha alt riktig eller forstå alt med en gang. Slik er det også i matematikken. Det er derfor viktig at det skapes normer i klasserommet som gir rom for å feile, der feil ses som læringsmuligheter og ikke nederlag, og der feil ses som uttrykk for at lærer og elever forhandler om mening, og ikke nødvendigvis som mangel på prestasjon. I artikkelen til Lisbet Karlsen og Elise Klaveness studeres undervisning der det blir tatt utgangspunkt i feil. De ser på hvilke muligheter dette gir for forhandling av mening, og hva som begrenser læringsmulighetene. Blant annet viser oppgaveformuleringen seg å være viktig, samt valget av hvilke feil man tar utgangspunkt i, og hvilke man velger å ikke sette fokus på. Feil som mange har gjort, og som er essensielle for forståelsen, er gode utgangspunkt, mens for eksempel feil som skyldes unøyaktighet, ikke er det. Normene i klasserommet vil kunne være en begrensning for det å kunne se feil som læringsmuligheter. Derfor studeres også hvilke normer en ser tegn på. Normene Karlsen og Klaveness fant, støttet opp under det å ta utgangspunkt i feil. De fant tegn på normene «Det er greit å gjøre feil i matematikk, og feil er verdifulle fordi vi lærer av dem» og «Det er viktig å begrunne, diskutere og lytte til andre». Forfatterne kan ikke si at disse normene skyldes lærerens fokus på å ta utgangspunkt i feil, men de kan si at de fant tegn på disse normene i klasser hvor læreren var opptatt av at klasserommet er en læringsarena og ikke en prestasjonsarena. Signe Holm Knudtzon viser i sin artikkel hvilke skriftlige representasjoner elever på 7. og 10. trinn produserer når de arbeider med en rik oppgave. Oppgaven som presenteres, kalt Froskeoppgaven, inviterer til handling – å flytte frosker. Hvordan fanger elever handlingen? Situasjonen(e) forandrer seg hver gang en frosk blir flyttet. Analyse av elevarbeidene førte til seks forskjellige representasjonskategorier for flytting av frosker, der figurer, symboler og tekst er dominerende. Videre vises hvordan elevene anvender tabeller når de skal finne en sammenheng mellom antallet frosker de starter med, og hvor mange flytt som trengs. Noen elever finner også generelle uttrykk. Del II består av 101 matematikkdidaktiske grep til bruk i klasserommet. Hensikten er å skape en syntese av teoretiske belegg og et didaktisk repertoar. Didaktikk dreier seg i særlig grad om å reflektere over undervisningspraksis og kunnskapsformidling – i et faglig fellesskap i klasserommet mellom lærer og elever. Det dreier seg om hva det undervises i, hvorfor en underviser i nettopp det, og hvordan læreren underviser og tar

Forord

8 | 9

i bruk ulike ressurser fra en stor og variert didaktisk verktøykasse. I 101 oppslag bindes teori og praksis sammen på bakgrunn av empiriske studier og klasseromsobservasjoner og -studier. Denne delen består av bidrag fra en rekke matematikkdidaktikere. Takk Denne boka tilhører 101-serien, som Kåre Kverndokken er serieredaktør for. Det er så langt kommet ut bøker om didaktikk innenfor lesing, skriving, muntlighet, digital kompetanse, engelsk og litteratur. Arbeidet med dette bokprosjektet – som med de tidligere – har sitt utspring i forskergruppa «Klasseromforskning og kvalitet i undervisning» ved Universitet i Sørøst-Norge. Bokas tre redaktører tilhører denne forskningsgruppa. En slik faglig forankring er god å ha! Vi takker ellers alle gode samarbeidspartnere og medskrivere. Vi føler oss privilegerte som har de beste matematikkdidaktikere vi kunne ønske oss, med i dette bokprosjektet. Flere er kolleger ved Universitetet i Sørøst-Norge, men ellers kommer bidragsytere fra ulike universitet i Norge og Sverige, fra andre utdanningsinstitusjoner og fra Matematikksenteret. En spesiell takk går til forlagets redaktør, Kristin Eliassen, som har fulgt 101-serien helt fra starten av. Nok en gang har hennes faglige blikk og gode administrasjon brakt prosjektet vel i havn! Campus Vestfold, Universitetet i Sørøst-Norge, juni 2019 Elise Klaveness Lisbet Karlsen Kåre Kverndokken Litteratur Karlsen, L. (2014). Tenk det! Utforsking, forståelse og samarbeid – elever som tenker sjæl i matematikk. Oslo: Cappelen Damm Akademisk. Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (red.) (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. National Research Council. Washington DC: National Academy Press. Pellegrino, J.W., Hilton, M.L. (red.).(2012). Education for life and work. Developing transferable knowledge and skills in the 21st century. Washington, D.C: The National Academies Press. Utdanningsdirektoratet (2019). Matematikk fellesfag. Hentet fra: https://hoering.udir.no/Hoering/ v2/286?notatId=573

Inhold Del I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Samtaler i matematikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kjersti Wæge

«Det ser ut som om de har glemt alt vi gjorde i forrige uke». . . . . . . .

– om samtaler og kvikkbilder som brobyggere i matematikkfaget Janne Fauskanger og Fride Lindstøl

Å identifisere dybdelæring i en undersøkende matematikkoppgave på ungdomstrinnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Marianne Maugesten og Monica Nordbakke

Matematiske aktiviteter med lav inngangsterskel og stor takhøyde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mona Nosrati

Matematikkundervisning fra et variasjonsteoretisk perspektiv. . . . .

Mona Holmqvist

Favorittfeil og forhandling om mening. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

Lisbet Karlsen og Elise Klaveness

Elever representerer sine matematiske ideer når frosker hopper. . . Signe Holm Knudtzon

133

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

Del II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

I de 101 grepene bindes teori og praksis sammen. Denne delen består av bidrag fra en rekke matematikkdidaktikere, lærere og forskere som til sammen har lang erfaring fra matematikkundervisning på alle trinn i skolen, på universitet og høgskoler. Det er markert på hvilke klassetrinn de matematikkdidaktiske grepene passer best. De fleste grepene egner seg likevel på de fleste klassetrinn – det er mer snakk om hvordan de transponeres opp og ned når det gjelder matematikkfaglig innhold, og hvilken kommunikasjonsform som velges i møte med elevene. I noen grep kan det overordnede perspektivet passe alle trinn, mens eksemplifiseringen av grepet passer best på et spesifikt trinn. Det er derfor mange grep som for eksempel er markert for mellomtrinn, men som likevel også vil passe godt på småskoletrinn eller ungdomstrinn/videregående skole. – småskoletrinn – småskoletrinn og mellomtrinn – mellomtrinn (iblant på slutten av trinnet) og ungdomstrinn/videregående – alle trinn (småskoletrinn, mellomtrinn, ungdomstrinn/videregående) Vi har valgt å dele inn grepene under syv overskrifter – seks av disse er kjerneelementer. Det betyr at grepene passer spesielt godt for å jobbe med det gitte kjerneelementet, men det betyr ikke at det ikke også jobbes med andre kjerneelementer i samme grep. De fleste grepene kunne blitt plassert under mange forskjellige kjerneelementer og også under den syvende overskriften – «Motivasjon, mestring og å lære å lære». For eksempel kunne grepene om samtaletrekk vært plassert både i delen «Resonnering og argumentasjon» og «Representasjon og kommunikasjon». Under kjerneelementet «Utforsking og problemløsing» har vi også satt fokus på skaperglede, engasjement, utforskertrang, spill og lek. Kjerneelementet «Representasjon og kommunikasjon» er koplet til de grunnleggende ferdighetene lesing, skriving, muntlige og digitale ferdigheter. Innenfor kjerneelementet «Matematiske kunnskapsområder» har vi valgt å ha fokus på utvidelse av sentrale strategier innenfor aritmetisk og algebraisk tenkning. Utforsking og problemløsing – skaperglede, engasjement, utforskertrang, lek og spill 1 Utforsking 2 Å lære seg utforsking: Hvilke tall passer sammen? 3 Utforsking som grunnlag for forståelse av multiplikasjon 4 Utforskende samtaler 5 Utforsking med GeoGebra 6 Åpne oppgaver 7 LIST-oppgaver 8 Å løse oppgaver uten modellering og eksempler

Inhold

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Den umulige oppgaven – løsningsrom Problemløsing som innledning til tema Problemløsing underveis i et tema Faser i problemløsing Å lære seg strategier for problemløsing Problemløsingsstrategier (1): Å forenkle problemet Problemløsingsstrategier (2): Å prøve og feile Problemløsingsstrategier (3a): Å tegne for å løse problemer Problemløsingsstrategier (3b): Visualisering ved hjelp av blokktegninger Problemløsingsstrategier (4a): Å studere tallfølger ved å lage en systematisk tabell Problemløsingsstrategier (4b): Å bruke strukturerte tabeller til å finne sammenhenger Problemløsingsstrategier (5): Å se etter mønster Problemløsingsstrategier (6): Å tenke baklengs Å holde ut Lek i småskolen (1): Kyllerylle Lek i småskolen (2): Først til femti Å arbeide med hoderegningsstrategier og spill Sannsynlighet og spill

Modellering og anvendelse 27 Matematikkmorgen 28 Show me your maths – jeg og matematikken 29 Sammenhenger (1): Å skissere grafer 30 Sammenhenger (2): Å tolke grafer 31 Hva kan tall og regnestykker bety i virkeligheten? (1): Elevene kontekstualiserer 32 Hva kan tall og regnestykker bety i virkeligheten? (2): Læreren kontekstualiserer 33 Matematikk i tre akter Resonnering og argumentasjon 34 Samtaletrekk (1 og 2): Gjenta og repetere 35 Samtaletrekk (3 og 4): Resonnere og tilføye 36 Samtaletrekk (5 og 6): Vente og snu og snakk 37 Samtaletrekk (7): Endre 38 «The when» – å begrunne strategivalg 39 Argumentasjon og bevis – imaginære samtaler 40 Resonnere, argumentere, bevise og overbevise 41 Moteksempel

12 | 13

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

Representasjon og kommunikasjon – muntlig, skriftlig og digitalt 42 Bruke materiell til å finne system – abstraksjonsmateriell 43 Bruk av konkretiseringsmateriell 44 Å bruke objekter fra andre arenaer 45 Formålstjenlige representasjoner 46 Å representere telling 47 Presentasjon av felles oppgave (1): Muntlig 48 Presentasjon av felles oppgave (2): Tegning og bilde 49 Presentasjon av felles oppgave (3): Oppdrag 50 Naming and labelling 51 Å lytte til andre 52 Telleregler 53 Å være en god coach 54 Lesing som grunnleggende ferdighet i matematikk 55 Å lese et matematisk bevis 56 Biografier over kjente matematikere 57 Tenkeskriving 58 Å lage, vurdere og skrive definisjoner 59 Koding i barneskolen uten pc 60 Koding med pc 61 Bruk av skjermopptak i matematikkundervisningen 62 Bruk av klikkere for økt elevaktivitet i matematikktimen 63 Bruk av digitale ressurser i reproduktiv praksis 64 Bruk av QR-koder Abstraksjon og generalisering 65 Algebraisk tenkning, modellering og prediksjon 66 Mønster og algebraisk tenkning 67 Telle i kor 68 Kvikkbilde 69 «Silent teaching» – å undervise uten å snakke 70 Å reversere en prosedyre 71 Å forstå variabler (1): Å veksle mellom å skrive algebra med ord og symboler 72 Å forstå variabler (2): Kalkulatorutforsking 73 Mentale bilder 74 Dualitet Matematiske kunnskapsområder – med fokus på utvidelse av strategier innen aritmetisk og algebraisk tenkning 75 Likhetstegnet betyr lik verdi 76 Å gange og dele med ti

Inhold

77 «Number talks» 78 Skriftlig hoderegning 79 Rekkefølge på oppgaver – oppgavestrenger 80 Regning på tallinje 81 Åpen tallinje med tau i skolegården 82 Doble tallinjer 83 Multiplikasjon i rutenett 84 Multiplikasjon og sammenheng mellom metoder 85 Divisjon med mening (1) 86 Divisjon med mening (2): Ulike divisjonsalgoritmer 87 Divisjon med mening (3): Korsdivisjon 88 Likninger med fyrstikker 89 Hold-over-metoden Motivasjon, mestring og å lære å lære 90 Dynamisk tenkesett 91 Matematisk identitet 92 Refleksjonsnotat 93 Regnehull 94 Tren tanken 95 Å lære av egne og andres feil: «Min favorittfeil» 96 Etter en prøve: Hvordan komme videre? 97 Begrepstegneserie 98 Parprøver i matematikk 99 Lekser som grenseobjekt og brobygger 100 Variasjonsteori (1): Kritiske faktorer 101 Variasjonsteori (2): Variasjonsmønstre

14 | 15

Del I

Samtaler i matematikk Av senterleder og førsteamanuensis Kjersti Wæge, Matematikksenteret, NTNU

Innledning

Å delta i matematiske samtaler og diskusjoner har stor betydning for elevers læring og forståelse i matematikk. Elever som lærer å formulere og begrunne sine egne matematiske ideer, resonnere ved hjelp av egne og andre elevers matematiske forklaringer og gi en begrunnelse for sine svar, utvikler en dyp forståelse som er avgjørende for deres videre suksess i matematikk og relaterte områder (Carpenter, Franke & Levi, 2003, s. 6, min oversettelse).

Vi finner utallige eksempler på gode matematiske diskusjoner i artikler, bøker og videoer. Men hvordan kan matematikklærere legge til rette for samtaler i eget klasserom? Hvordan kan hun få frem elevenes tenkning? Hvordan kan hun orientere elevene mot hverandres ideer? Hvordan kan hun bruke elevenes bidrag til å lede dem mot læringsmålene for timen? Målet for læreren er ikke å øke mengden samtaler i klasserommet, men å øke mengden samtaler med høy kvalitet – matematisk produktive samtaler. Å lede elevene mot målet for timen samtidig som en legger til rette for produktive matematiske samtaler og helklassediskusjoner, er kjernen i god matematikkundervisning (Lampert, Beasley, Ghousseini, Kazemi & Franke, 2010). Det er kanskje også det mest utfordrende og krevende aspektet ved lærerens undervisning (Jansen, 2006; Sherin, 2002). Å lede matematiske samtaler er et interaktivt arbeid som krever at læreren tar avgjørelser og responderer på elevenes bidrag der og da, i øyeblikket (Lampert et al., 2010; Leinhardt & Steele, 2005; Nathan & Knuth, 2003). I denne artikkelen beskriver jeg to ulike former for klasseromdiskusjoner og presenterer samtaletrekk som læreren kan bruke for å gjennomføre diskusjoner i matematikk og i større grad involvere elevenes tenkning i undervisningen. Til slutt presenterer jeg fem praksiser som kan hjelpe læreren med å lede produktive matematiske diskusjoner.

Mål for elevenes læring

Hiebert et al. hevder at «å formulere tydelige, eksplisitte læringsmål setter scenen for alt annet» (Hiebert, Morris, Berk & Jansen, 2007, s. 57, min oversettelse). For

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

å kunne lede matematisk produktive diskusjoner må læreren formulere tydelige mål for timen (Smith & Stein, 2011; Stein, Engle, Smith & Hughes, 2008). Læreren må ha det klart for seg hva elevene skal lære i løpet av timen, slik at hun vet hva hun skal se etter i elevenes ideer, hvilke strategier hun vil se nærmere på, og hvilke matematiske ideer hun vil fremheve i diskusjonen. Å formulere tydelige læringsmål kan være utfordrende for læreren. Læreren fokuserer ofte på hva han skal be elevene gjøre, i stedet for hva elevene skal lære og forstå ved å arbeide med en matematisk aktivitet (Smith & Stein, 2011). Følgende spørsmål kan være til hjelp for læreren i arbeidet med å formulere tydelige læringsmål (NCTM, 2014; Wæge & Nosrati, 2018): • Hvilke matematiske begreper og ideer skal elevene lære? • Hvorfor er de viktige? • Hvordan henger de sammen med det elevene har lært tidligere? Læreren må forsøke å plassere målene i det matematiske landskapet og se dem i sammenheng med de store overhengende ideene («big ideas») i matematikk – for eksempel mønster og generalisering. Dette kan hjelpe læreren og elevene med å se hvordan de matematiske ideene bygger på og er forbundet med hverandre (NCTM, 2014). I helklassediskusjoner vil lærerens rolle være å hjelpe elevene til å se sammenhenger mellom strategiene de har brukt selv, og andre elevers strategier, og å se strategiene i sammenheng med de matematiske ideene som utgjør læringsmålene for timen (Smith & Stein, 2011). Valg av oppgaver har stor betydning for kvaliteten på matematiske diskusjoner og for elevenes læring. Oppgaver som tar utgangspunkt i elevenes tenkning, og som fremmer resonnering og problemløsning, danner et godt grunnlag for produktive samtaler i matematikk (NCTM, 2014; Wæge & Nosrati, 2018). Samtidig må oppgavene ha potensial til å hjelpe elevene med å nå målene for timen. I Mona Nosratis artikkel (s. 77) kan en lese om oppgaver som gir rom for gode klasseromsdiskusjoner. Matematiske samtaler kan ha forskjellig mål og struktur. Jeg vil presentere to former for samtaler: 1) åpen strategideling og 2) målrettet diskusjon (Kazemi & Hintz, 2014).

Åpen strategideling

Noen ganger er målet med den matematiske samtalen å la elevene dele så mange ideer som mulig. Dette kaller vi for åpen strategideling (Kazemi & Hintz, 2014). Denne diskusjonsformen kan bidra til å utvide elevenes repertoar av strategier. I en åpen strategideling stiller læreren spørsmål som: «Hvordan tenkte du?» og «Hvem har løst oppgaven på en annen måte?». Læreren forsøker også å orientere elevene

Samtaler i matematikk

20 | 21

mot hverandres ideer, ved for eksempel å be elevene om å repetere en annen elevs strategi. For å få frem ulike elevstrategier må læreren velge en oppgave som elevene kan løse på forskjellige måter. Hun kan for eksempel velge en LIST-oppgave. LIST-oppgaver er oppgaver som har Lav Inngangsterskel – slik at alle elever kan få til noe – og Stor Takhøyde – slik at alle elever kan få utfordringer (se også Nosratis artikkel). Lærerens jobb i diskusjonen blir å få frem flest mulig av elevenes strategier. Senere i artikkelen presenterer jeg samtaletrekk som læreren kan bruke i dette arbeidet. I etterkant av en åpen strategideling kan læreren bruke elevstrategiene som har kommet frem, som grunnlag for videre arbeid. Hun kan for eksempel velge ut noen elevstrategier som hun vil gå videre med i neste time for å fremheve bestemte matematiske ideer. Et støttende og trygt klasseromsmiljø er en forutsetning for å gjennomføre matematiske diskusjoner med høy kvalitet (Chapin, O'Connor & Anderson, 2009). Læreren kan bruke åpen strategideling til å etablere og øve på normer for matematikksamtaler og elevenes deltakelse i samtalene (Cobb, Boufi, McClain & Whitenack, 1997; Yackel & Cobb, 1996). Tabell 1 viser en liste over normer som kan fremme et støttende og trygt klasseromsmiljø og gode matematiske diskusjoner: Tabell 1. Liste over normer for deltakelse i matematikksamtaler (Kazemi & Hintz, 2014, s. 19–20, min oversettelse). I klassen vår gjør vi dette: • Vi gir matematikken mening. • Vi fortsetter å prøve, selv når oppgavene er utfordrende. • Vi husker at det er i orden å gjøre feil og endre tenkning. • Vi deler våre matematiske ideer med hverandre. • Vi prøver å forstå andre elevers ideer og gir hverandre tid til å tenke. • Vi stiller spørsmål som hjelper oss til bedre å forstå matematikken. • Vi er enige eller uenige om matematiske ideer, og ikke med hverandre. • Vi husker at alle har gode matematiske ideer.

Når læreren gjennomfører en åpen strategideling, kan hun modellere normene og gjøre elevene oppmerksomme på hvordan de kan bruke normene når de deltar i diskusjoner.

Målrettet diskusjon

Andre ganger ønsker læreren å få frem en bestemt matematisk idé, og hun styrer diskusjonen mot bestemte matematiske ideer og læringsmålene for timen. Dette kaller vi en målrettet diskusjon (Kazemi & Hintz, 2014). Denne målrettede formen for deling og diskusjoner av elevstrategier tar utgangspunkt i tydelig formulerte

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

læringsmål. Det kan for eksempel være å definere, bruke og forstå sentrale matematiske begreper, å sammenligne ulike strategier eller å forstå hvorfor en strategi virker. Lærerens oppgave blir da å lede elevene mot læringsmålene for timen ved å ta utgangspunkt i elevbidragene. Det er ikke nødvendig at læreren presenterer læringsmålene for den enkelte time for elevene. Noen ganger kan det tvert imot være hensiktsmessig at læreren ikke gjør det. Men elevene må vite hva hensikten med aktiviteten er (Wæge & Nosrati, 2018). Å lede matematiske samtaler, både åpne strategidelinger og målrettede diskusjoner, kan være krevende for læreren. Jeg presenterer syv samtaletrekk som kan hjelpe læreren i dette arbeidet. Jeg bruker eksempler fra prosjektet Mestre Ambisiøs Matematikkundervisning (MAM)1 for å eksemplifisere den teoretiske beskrivelsen av samtaletrekkene. Jeg presenterer derfor MAM-prosjektet ganske kort.

MAM-prosjektet

I MAM-prosjektet utviklet vi en modell med tilhørende ressurser for kompetanseutvikling av matematikklærere. Et sentralt mål i prosjektet var at lærerne skulle lære å legge til rette for og lede matematiske samtaler som tar utgangspunkt i elevenes tenkning. Prosjektet varte i to år og besto av totalt 12 seminarer. På 9 av seminarene gjennomførte lærerutdannerne og lærerne en syklus av utprøving og utforskning. Denne modellen eller syklusen bygger på flere års forskning (Kazemi & Wæge, 2015; Lampert et al., 2013; Leinhardt & Steele, 2005). Før seminaret leste lærerne en artikkel om matematiske og matematikkdidaktiske tema, og de så en video fra klasserommet. Seminaret startet med en felles analyse av artikkelen og videoen. Deretter ble lærerne delt inn i fire undervisningsgrupper, og de gjennomførte felles planlegging, øving, utprøving med en gruppe elever (hver elevgruppe besto av 10–15 elever fra 7. trinn) og analyser av utprøvingen. Til slutt samlet alle seg til en felles refleksjon og oppsummering (for en nærmere beskrivelse av syklusen, se Fauskanger, 2019; Wæge & Fauskanger, in review). Valg av informanter 30 lærere fra 10 forskjellige barneskoler deltok i prosjektet. Alle barneskolene i en større bykommune ble invitert til å delta. 10 skoler søkte om å få delta, og alle søknadene ble innvilget av kommunen. Rektorene på hver skole valgte ut tre lærere som de mente kunne være ressurslærere i matematikk på skolen. Rektorene ble invitert til å delta på samlingene, og det gjorde de ofte. De 30 lærerne ble delt opp i 4 undervisningsgrupper. Vi valgte ut 2 av gruppene tilfeldig, og informantene i studien består av 14 barneskolelærere (trinn 1–7). Noen av lærerne i de to gruppene

Du kan lese mer om MAM-prosjektet på www.matematikksenteret.no

22 | 23

Samtaler i matematikk

hadde bare noen få år med undervisningserfaring, mens andre var erfarne lærere. Lærerne hadde også ulik utdanning i matematikk og fra lærerutdanning. Datainnsamling Vi observerte og videofilmet alle seminarene og har analysert store deler av data materialet. Vi brukte videoanalyseprogrammet Studiocode som gir oss mulighet til å gjennomføre detaljerte kodinger av hvert videoklipp og på tvers av videoklippene (for en nærmere beskrivelse av analysemetodene, se Fauskanger, 2019; Wæge & Fauskanger, in review). Eksemplene i denne artikkelen er hentet fra og bygger på analysene våre av videoklippene av felles planlegging, øving og utprøving med elever i hver av de to fokusgruppene.

Samtaletrekk

Samtaletrekk er svært nyttig for å få i gang matematiske samtaler i klasserommet (se tabell 2). Læreren kan bruke samtaletrekk til å få frem elevenes tenkning og orientere elevene mot hverandres ideer. Mange av lærerne som Matematikksenteret og jeg samarbeider med, har laget en plakat med samtaletrekkene på som hjelper dem med å legge til rette for diskusjoner i klasserommet. Jeg presenterer syv samtaletrekk som kan hjelpe lærere i arbeidet med å lede diskusjoner (Chapin et al., 2009; Kazemi & Hintz, 2014). Disse samtaletrekkene kan brukes på alle klassetrinn, også i videregående skole. Bruk av samtaletrekk var en sentral del av MAM-prosjektet, og jeg bruker eksempler fra MAM-prosjektet for å illustrere noen av samtaletrekkene. Tabell 2. Samtaletrekk for å støtte klasseromsdiskusjoner (Kazemi & Hintz, 2014; Wæge & Nosrati, 2018, s. 130). Samtaletrekk

Hvordan det kan høres ut

Beskrivelse

Gjenta

«Så du sier at …?»

Gjentar deler av eller alt en elev sier, og ber deretter eleven respondere og bekrefte om det er korrekt eller ikke.

Repetere

«Kan du gjenta hva han sa, med dine egne ord?»

Spør en elev om å gjenta en annens elevs resonnering.

Resonnere

«Er du enig eller uenig, og hvorfor?» «Hvorfor gir det mening?»

Spør elevene om å bruke sin egen resonnering på noen andres resonnering.

Tilføye

«Har noen noe de vil føye til?»

Prøver å få elevene til å delta i en videre diskusjon.

Tenketid

«Ta den tiden du trenger …» (Tell sakte til 10 inni deg.)

Gir elevene tid til å tenke.

101 grep for å aktivisere elever i matematikk

Samtaletrekk

Hvordan det kan høres ut

Beskrivelse

Snu og snakk

«Snu deg og snakk med sidemannen din.»

Sirkulerer og lytter til samtalene mellom elevene. Bruker informasjonen til å velge hvem du skal spørre.

Endre

«Har noen av dere forandret tenkningen deres?» «Ønsker dere å endre tenkningen deres?»

Tillater elevene å endre tenkningen etter hvert som de får ny innsikt.

Samtaletrekk: Gjenta («Så du sier at …?») Det kan noen ganger være vanskelig å forstå hva elevene sier når de snakker om matematikk. Selv om elevene resonnerer på en fornuftig måte, kan det være vanskelig for dem å gjøre tankene om til ord og forklare hvordan de tenker. Det er viktig at det ikke bare er de bidragene som er umiddelbart forståelige, som blir presentert i diskusjonene. Læreren må forsøke å fremme matematisk tenkning og resonnering for alle elever. Samtaletrekket «Gjenta» kan hjelpe læreren med å håndtere uklarheter i elevenes forklaringer. Læreren gjentar deler av eller alt en elev sier, og ber så eleven gi tilbakemelding på om det er korrekt eller ikke. Det kan bidra til å få klarhet i hvordan elevene tenker, og hjelpe andre elever til å følge med på elevens resonnering (Chapin et al., 2009). I MAM-prosjektet arbeidet lærerne med å lære å uttrykke elevenes ideer ved hjelp av ulike former for representasjoner, som den åpne tallinja, arealmodellen og tabeller. Lærerne brukte ofte gjenta-trekket for å få frem detaljene ved elevenes tenkning for å uttrykke elevenes ideer mest mulig nøyaktig. I eksemplet nedenfor teller elevene i kor med fire fra fem. De har stoppet tellingen på 45, og læreren spør elevene om de kan finne ut hvilket tall det blir i ruten merket med et kryss (se figur 1). En av elevene svarer at tallet blir 57, og forklarer hvorfor. Læreren vil gjerne ha flere innspill fra Figur 1. Læreren tegner det elevene. elevene sier, på tavla. Lærer: Kunne vi tenkt på en annen måte? Lise: Vi kunne ha plusset på fire fra 45 og så med fire frem til 57 (peker på tavla). Lærer: For vi vet at det er fire bortover. Er det det du mener? Lise: Ja. Læreren: Så da blir det fire på hver av disse bortover? (Tegner piler på tavla, se figur 1.)

24 | 25

Samtaler i matematikk

Læreren kan bruke dette samtaletrekket for å klargjøre, forsterke eller fremheve en idé. Elevenes ideer blir lettere tilgjengelig for læreren og elevene, og elevene får tid til å tenke, slik at de lettere kan følge med på det matematiske innholdet (Kazemi & Hintz, 2014). Det bidrar også til at flere elever kan bidra i samtalen og dermed oppleve mestring og faglig anerkjennelse fra læreren og medelevene (Wæge & Nosrati, 2018). Samtaletrekk: Repetere («Kan du gjenta hva han sa, med dine egne ord?») Læreren kan også be en elev om gjenta hva en annen elev har sagt, for å hjelpe elevene med å forstå og få klarhet i hva eleven har sagt. MAM-lærerne brukte for eksempel dette samtaletrekket når de ville fremheve bestemte strategier. Læreren kan be elever om å gjenta viktige deler av en kompleks idé slik at de får mulighet til å stoppe opp og gå nærmere inn på viktige matematiske ideer eller bestemte strategier (Kazemi & Hintz, 2014). For eksempel: Kristin: Lærer: Tore:

Du har firegangen, og så kan du plusse på én for hvert tall. Tore, kan du repetere det Kristin sa? Hun tok firegangen og plusset på én.

Dette samtaletrekket gir elevene tid til å fordøye en idé ved at de får høre den på nytt og ofte på en annen måte. Dette kan være spesielt nyttig for elever som ikke har norsk som førstespråk. Ved å bruke repetere-trekket kan læreren få vite om de andre elevene har hørt ideen til eleven, hun involverer flere elever, og hun viser elevene at ideene deres er viktige (Chapin et al., 2009). Samtaletrekk: Resonnere («Er du enig eller uenig, og hvorfor?») Etter at elevene har fått tid til å fordøye en påstand eller et resonnement fra en medelev, kan læreren be elevene sammenligne sin egen resonnering med medelevenes resonnering. Dette samtaletrekket kalles resonnering. Læreren ber elevene om å forklare hvordan de tenker og hvorfor (Chapin et al., 2009). For eksempel: Lærer: Tomas sa at det økte med 24 på skrått nedover. Var det det du mente, Tomas? Tomas: Ja. Lærer: På skrått her blir det 24 (tegner en pil mellom 5 og 29 på tavla, og skriver 24 på

Figur 2. Læreren tegner og skriver med blått det eleven sier.

ISBN 978-82-450-2452-4

,!7II2E5-acefce!

Elise Klaveness, Lisbet Karlsen og Kåre Kverndokken (red.)

grep for å aktivisere elever i matematikk

101

grep for å aktivisere elever i matematikk – matematikkdidaktikk i teori og praksis

Elise Klaveness Lisbet Karlsen Kåre Kverndokken (red.)