Matematikk for fagskolen 3 utgave (9788245034196) by Fagbokforlaget

3. utgave

Matematikk for fagskolen er et matematikkverk skrevet for de tekniske linjene på fagskolen. Læreverket er skrevet etter læreplanen i matematikk vedtatt av Nasjonalt utvalg for teknisk fagskoleutdanning 27. april 2005.

3. utgave

ISBN 978-82-450-3419-6

,!7II2E5-adebjg!

Matematikk for fagskolen

Fremst i hvert kapittel står målene i læreplanen som kapitlet dekker. Hvert kapittel inneholder teoristoff, eksempler, oppgaver og sammendrag. I de kapitlene der det er naturlig å bruke digitalt verktøy, er det detaljerte beskrivelser av fremgangsmåtene. Kapitlene avsluttes med repetisjonsoppgaver.

Ekern • Guldahl • Holst

Matematikk for fagskolen

Matematikk for fagskolen Trond Ekern • Øyvind Guldahl • Erik Holst

3. utgave

Matematikk for fagskolen Trond Ekern • Øyvind Guldahl • Erik Holst

3. utgave

Grafisk produksjon: John Grieg, Bergen Omslagsdesign ved forlaget Omslagsfoto: © arturs.stiebrins / Shutterstock Ombrekking: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke)

Spørsmål om denne boken kan rettes til: Fagbokforlaget Kanalveien 51 5068 Bergen Tlf.: 55 38 88 00 e-post: fagbokforlaget@fagbokforlaget.no www.fagbokforlaget.no

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarframstilling bare tillatt når det er hjemlet i lov eller avtale med Kopinor.

Forord Matematikk for fagskolen er et matematikkverk utarbeidet for de tekniske linjene på fagskolen. Læreverket er skrevet etter læreplanen i matematikk vedtatt av Nasjonalt utvalg for teknisk fagskole av 27. april 2005. Fremst i hvert kapittel står målene i læreplanen som kapitlet dekker. Hvert kapittel inneholder teoristoff, eksempler, oppgaver og sammendrag. Alle kapitlene avsluttes med repetisjonsoppgaver. Bakerst i boka er det fasit til alle oppgavene. Det er utarbeidet en tilhørende bok, Matematikk for fagskolen – Løsningsforslag, med løsningsforslag til alle oppgavene i denne boka. Den vil følge opp endringene gjort i denne boka. I boka er det forklaringer og oppskrifter til løsning av oppgaver med digitalt verktøy. Dette er gjort for lommeregner til Casio og programvaren Geogebra. For Casio er fremgangsmåten som er beskrevet gjort for modellen fx-CG50, men vil i stor grad også dekke eldre modeller FX-9750, FX-9850, FX-9860, FX-9950 og FX-CG20. Fremgangsmåten for Geogebra er basert på versjon 5 og 6. På forlagets nettsider er det tilsvarende fremgangsmåter for Texas Instruments til modellene TI83 og TI84. Etter ønske fra brukerne, er det i 3. utgave gjort endringer på digitale løsninger til teori og eksempler. Den store endringen er at det er gjort plass til programvaren Geogebra. Dette har resultert i enkelte oppgraderinger av teori og oppgaver. Kapittelrekkefølgen er ikke endret fra tidligere utgaver. Vi er takknemlige for alle tips og kommentarer som kan føre til forbedringer. Bergen, mai 2020 Trond Ekern

Øyvind Guldahl

Erik Holst

Matematikk for fagskolen

Innhold 1 Regning med tall og bokstaver Innledning 1.1 Tall og regneregler 1.2 Regning med brøk 1.3 Prosentregning 1.4 Likninger 1.5 Regning med formler Sammendrag Repetisjonsoppgaver

2 Geometri Innledning 2.1 Areal og omkrets 2.2 Volum og overflate 2.3 Formlikhet 2.4 Målestokk 2.5 Pytagoras' setning 2.6 Vektorer i planet 2.7 Vektorer i koordinatsystemet Sammendrag Repetisjonsoppgaver

3 Trigonometri Innledning 3.1 Sinus 3.2 Cosinus og tangens 3.3 Enhetssirkelen 3.4 Trigonometri i vilkårlige trekanter 3.5 Andre vinkelmål Sammendrag Repetisjonsoppgaver

9 10 10 26 39 52 61 65 68 73 74 74 82 88 93 104 110 116 124 126 135 136 136 145 154 165 177 185 188

4 Rette linjer Innledning 4.1 Lineære funksjoner 4.2 Å bestemme et lineært funksjonsuttrykk 4.3 Lineær regresjon 4.4 Lineære likningssett 4.5 Andre metoder til å løse likningssett Sammendrag Repetisjonsoppgaver

5 Polynomfunksjoner Innledning 5.1 Andregradslikninger 5.2 Andregradsfunksjoner 5.3 Polynomfunksjoner av høyere grad 5.4 Ulikheter Sammendrag Repetisjonsoppgaver

6 Derivasjon og integralregning Innledning 6.1 Veksthastighet 6.2 Derivasjon og derivasjonsregler 6.3 Bruk av den deriverte ved drøfting av funksjoner 6.4 Derivasjon i praktiske situasjoner 6.5 Arealberegning 6.6 Praktisk bruk av integralregning Sammendrag Repetisjonsoppgaver

197 198 198 209 214 223 233 241 242

247 248 248 260 282 287 297 299

305 306 306 315 322 326 341 349 354 356

Matematikk for fagskolen

7 Algebra Innledning 7.1 Kvadratsetningene og konjugatsetningen 7.2 Faktorisering 7.3 Likninger og likningssett av andre grad 7.4 Potenser 7.5 RĂ¸tter Sammendrag Repetisjonsoppgaver

8 Funksjoner i praktiske situasjoner Innledning 8.1 Potensfunksjoner 8.2 Rasjonale funksjoner. Hyperbler 8.3 Eksponentialfunksjoner 8.4 Logaritmer 8.5 Logaritmisk skala 8.6 Regresjon 8.7 Sinusfunksjonen Sammendrag Repetisjonsoppgaver

9 Statistikk Innledning 9.1 Innsamling og bearbeiding av data 9.2 SentralmĂĽl 9.3 SpredningsmĂĽl Sammendrag Repetisjonsoppgaver

363 364 364 371 381 385 392 401 403

409 410 410 415 423 428 431 439 446 450 451

463 464 464 476 481 488 489

Fasit

494

Stikkordregister

525

Bildeliste

529

LĂŚreplanen

530

Formler for areal og omkrets Formler for volum OmgjĂ¸ring av enheter

531 532 533

Regning med tall og bokstaver MÅL Når du har lest dette kapitlet, skal du kunne – bruke reglene for brøkregning – trekke sammen, faktorisere og forenkle bokstavuttrykk – regne med potenser – løse likninger av første grad – løse uoppstilte likninger – bruke prosentregning – tilpasse og omforme formeluttrykk

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

Innledning I vår tid snakker vi om «datarevolusjonen». Ikke minst har det skjedd en revolusjon i bruken av matematikk. Med moderne IKT-utstyr kan vi utføre beregninger som det ikke var praktisk mulig å gjøre tidligere. Matematikkens nytteverdi er større enn noen gang, og denne utviklingen vil fortsette.

Særlig innenfor tekniske fag er matematikk et nødvendig hjelpemiddel. Selv om datamaskiner overtar mer og mer av det faktiske regnearbeidet, er det viktig å forstå matematikken som ligger bak beregningene, slik at vi kan tolke resultatene korrekt. Emnene vi skal gjennomgå i dette kapitlet, er grunnleggende i all tallbehandling og bruk av matematikk. Dersom du behersker dette stoffet, vil det være til stor hjelp i arbeidet med de andre kapitlene.

1.1 Tall og regneregler De positive hele tallene 1, 2, 3, . . . som vi bruker når vi teller, kaller vi naturlige tall.

Mengden av naturlige tall: N ¼ f1; 2; 3; . . .g

Et tall som er delelig med 2, kaller vi et partall. Det er 2, 4, 6 osv. De andre naturlige tallene, det vil si 1, 3, 5, . . ., er oddetall.

Tallinja Det er vanlig å plassere tallene på en linje. Da starter vi med å velge et nullpunkt (origo). Avstanden fra et helt tall til det neste, enheten, er like stor langs hele tallinja. 0

origo

Vi blir lettest kjent med regnereglene for addisjon og multiplikasjon dersom vi bare ser på de naturlige tallene til å begynne med. Men reglene gjelder for alle slags tall.

Addisjon Når vi adderer to tall, har ikke rekkefølgen noe å si. For eksempel er både 4 þ 11 og 11 þ 4 lik 15. Regelen skriver vi slik: aþb¼bþa Ofte må vi addere tre eller flere tall. Når vi gjør utregningen, adderer vi alltid bare to tall om gangen, aldri tre eller flere. Vi kan bruke parenteser for å vise det, for eksempel ð3 þ 8Þ þ 5 ¼ 11 þ 5 ¼ 16 Men adderer vi 8 og 5 først, får vi samme resultat: 3 þ ð8 þ 5Þ ¼ 3 þ 13 ¼ 16 Regelen skriver vi slik: ða þ bÞ þ c ¼ a þ ðb þ cÞ Vi bruker alltid slike grupperinger når vi utfører addisjoner, selv om vi ikke skriver parentesene.

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

Multiplikasjon Ved multiplikasjon har vi denne regelen: a b¼b a Når vi skal multiplisere tre eller flere tall med hverandre, bruker vi denne regelen: ða bÞ c ¼ a ðb cÞ

Fordelt multiplikasjon Til et tak trengs det seks bærebjelker som hver veier 205 kg. Hvor mye veier de seks bjelkene til sammen? Vi regner i hodet og tenker på 205 kg som summen av 200 kg og 5 kg. Deretter fordeler vi multiplikasjonen på de to leddene: 6 ð200 þ 5Þ ¼ 6 200 þ 6 5 ¼ 1200 þ 30 ¼ 1230 Til sammen veier bjelkene 1230 kg. Vi har brukt denne regelen: a ðb þ cÞ ¼ a b þ a c Vi kan ha flere ledd inne i parentesen. EKSEMPEL Multipliser, løs opp parentesene og trekk sammen: 6 þ 3 ða þ 5Þ þ a ð1 þ bÞ Løsning: 6 þ 3 ða þ 5Þ þ a ð1 þ bÞ ¼ 6 þ 3a þ 15 þ a þ ab ¼ 21 þ 4a þ ab

Vi multipliserer inn og løser opp parentesene. Vi trekker sammen ledd av samme type.

Negative tall Dersom du tar ut mer enn du har på bankkontoen, skylder du banken penger. Et slikt beløp oppfatter vi som negativt. De negative tallene setter vi av til venstre for null på tallinja. De naturlige tallene, null og de negative hele tallene utgjør tallmengden Z, som vi kaller hele tall:

Mengden av hele tall:

Z ¼ f. . . ; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4 . . .g

-5

-4

-3

-2

-1

Legg merke til at pila til et negativt tall alltid peker mot venstre, mens pila som svarer til et positivt tall, peker mot høyre.

Å addere negative tall De negative tallene skal følge alle regnereglene foran. Figurene nedenfor viser hvordan vi adderer med negative tall.

-3 -2 -1 5 + (- 3) = 2

-3 -2 -1 3 + (- 5) = - 2

På den øverste figuren ser vi at 5 þ ð 3Þ ¼ 2, altså det samme som 5 3. Derfor bruker vi vanligvis den siste skrivemåten i stedet for den første. Vi ser at å addere 3 er det samme som å subtrahere 3.

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

Å multiplisere med negative tall På samme måte som at 3 4 ¼ 4 þ 4 þ 4 ¼ 12, kan vi sette 3 ð 4Þ ¼ ð 4Þ þ ð 4Þ þ ð 4Þ ¼ 12

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

(- 4) + (- 4) + (- 4) = - 12

Hva med produktet ð 4Þ 3? Vi kan ikke si at det skal være «en sum av minus fire 3-tall». I stedet setter vi ð 4Þ 3 ¼ 3 ð 4Þ. Det er i samsvar med multiplikasjonsregelen a b ¼ b a. Etter det vi nettopp så, får vi den første av fortegnsreglene nedenfor: To like fortegn gir pluss. To ulike fortegn gir minus.

Produktet av et positivt og et negativt tall er negativt. Produktet av to negative tall er positivt.

EKSEMPEL Regn ut produktene: a) ð 7Þ 4

b) ð 7Þ ð 4Þ

c) ð 7Þ ð 4Þ ð 5Þ

Løsning: a) ð 7Þ 4 ¼ 28 b) ð 7Þ ð 4Þ ¼ 28 1.1.1–1.1.5

c) ð 7Þ ð 4Þ ð 5Þ ¼ 28 ð 5Þ ¼ 140

Tall på standardform Av og til må vi regne med svært store eller svært små tall, eller med tall som er nesten lik null. Jordas gjennomsnittsavstand til sola er 149,6 milliarder meter, det vil si 149;6 1 000 000 000 m. Slike tall kan skrives kortere ved hjelp av potenser.

Potenser Tallet 1 000 000 000 er det samme som 10 multiplisert med seg selv ni ganger. For et produkt som består av mange like faktorer, innfører vi en enklere skrivemåte: 9 faktorer

zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ 10 10 10 10 10 10 10 10 10 ¼ 109 Gjennomsnittsavstanden til sola kan skrives kortere som 149;6 109 m. 109 er ikke en ny type tall, det er bare en måte å skrive et produkt på. Når et tall er skrevet på denne måten, har vi en potens.

eksponent grunntall potens

Dersom a er et fritt valgt tall og n er et naturlig tall, setter vi n faktorer

zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ a ¼ a a ... a n

Vi kaller an en potens, der a er grunntallet, og n er eksponenten.

EKSEMPEL Regn ut potensene: a) 34

b) ð 5Þ3

c) 3;145

Løsning: a) 34 ¼ 3 3 3 3 ¼ 9 9 ¼ 81 b) ð 5Þ3 ¼ ð 5Þ ð 5Þ ð 5Þ ¼ ð 5Þ 25 ¼ 125 c) 3;145 ¼ 3;14 3;14 3;14 3;14 3;14 ¼ 305;24

Nevneren i en brøk kan være en potens. Da bruker vi en skrivemåte med negativ eksponent: 1 1 10 5 ¼ 5 ¼ 100 000 10 En potens med negativ eksponent kan ikke ha null som grunntall. Det skyldes at vi ikke kan dividere med null.

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

EKSEMPEL Skriv potensene som brøker: a) 10 1

b) 10 2

c) 10 6

Løsning: a n ¼

1 an

1 1 ¼ 1 10 10 1 1 ¼ 2¼ 100 10 1 1 ¼ 6¼ 1 000 000 10

a) 10 1 ¼ b) 10 2 c) 10 6

De positive tallene 20 og 520 kan vi skrive med tierpotenser slik: 20 ¼ 2 10

520 ¼ 5;2 100 ¼ 5;2 10 2

Når det bare er ett siffer forskjellig fra null foran kommaet i den første faktoren, sier vi at tallet er skrevet på standardform. Negative tall kan skrives på tilsvarende måte. Legg merke til at eksponenten viser hvor mange plasser kommaet i tallet er flyttet mot venstre eller høyre.

For små tall blir eksponenten i tierpotensen negativ: 5 2;33 2;33 0;5 ¼ 0;0233 ¼ ¼ 2;33 10 2 ¼ 5 10 1 ¼ 10 100 10 2

Når et tall a er skrevet på standardform, har vi a ¼ k 10 n

der k er et tall med ett siffer forskjellig fra null foran kommaet, og n er et helt tall.

EKSEMPEL Skriv på standardform: a) lysfarten i tomt rom ¼ 299 800 000 m=s b) bølgelengden til lyset fra en laser ¼ 0,000 000 63 m

Løsning: Vi flytter kommaet åtte plasser mot venstre i a og sju plasser mot høyre i b.

a) 299 800 000 m=s ¼ 2;998 100 000 000 m=s ¼ 2;998 10 8 m=s b) 0;000 000 63 m ¼ 6;3

1 6;3 m ¼ 7 m ¼ 6;3 10 7 m 10 000 000 10

Regning på standardform med lommeregner På lommeregneren har vi en egen tast for tierpotenser. Nedenfor viser vi et eksempel der vi bruker denne tasten. EKSEMPEL Bruk lommeregneren til å regne ut: a) 2;5 10 6 4;8 10 5

b) 6;23 10 23 : 2;07 10 5

Løsning: Vi regner ut på lommeregneren og får: Casio

Tasten for tierpotenser er EXP eller 10x . Legg merke til at vi ikke taster inn gangetegn eller tallet 10. Husk å bruke fortegnsminus ved den negative eksponenten. Se bildet nedenfor:

Svarene skriver vi slik: a) 1;2 10 12 b) 3;01 10 28

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

EKSEMPEL Mjøsa er Norges største innsjø. Arealet av overflata er 365 km2, og den største dybden er 449 m. a) Uttrykk arealet av Mjøsas overflate i kvadratmeter. b) Gjør et overslag over hvor mange kubikkmeter vann det er i Mjøsa. En kubikkmeter er volumet av en terning der alle sidene er 1 m lange. Amazonas, som er verdens mest vannrike elv, fører ca. 10;5 milliarder kubikkmeter, det vil si 10;5 10 9 m3 , vann i Atlanterhavet hvert minutt. c) Hvor lang tid ville Amazonas bruke på å tømme Mjøsa? Løsning: a) Fordi 1 km ¼ 1000 m, er 1 km2 ¼ 1 km 1 km ¼ 1000 m 1000 m ¼ 10 3 10 3 m2 ¼ 10 6 m2 Derfor er 365 km2 ¼ 365 10 6 m2 ¼ 3;65 10 8 m2. b) Vi får en tilnærmingsverdi for volumet ved å multiplisere overflatearealet med den største dybden og dividere med 2: 3;65 10 8 m2 449 m 8;2 1010 m3 2 Volumet er ca. 8;2 1010 m3 . c) Tida (regnet i minutter) blir da

1.1.6–1.1.12

8;2 1010 m3 8 min ¼ 8 min 10 3 1;05 10 m =min 1 Amazonas ville trenge om lag åtte minutter på å tømme Mjøsa.

Nøyaktighet Hvor mange siffer vi tar med i en målt størrelse, sier noe om hvor nøyaktig størrelsen er målt. Når vi oppgir en lengde til å være 2,3 m, sier vi at lengden er oppgitt med to siffer. Alle målte størrelser har en viss usikkerhet. Denne usikkerheten bør ligge i det siste sifferet.

Vi definerer gjeldende siffer slik:

De gjeldende sifrene i et tall er de sifrene vi bruker når vi skriver tallet på standardform.

Etter definisjonen ovenfor har 8;20 10 4 tre gjeldende siffer. På samme måte har 8;2 10 5 to gjeldende siffer. Merk at 0;000 25 ¼ 2;5 10 4 ikke har seks, men to gjeldende siffer. Når vi skriver 113,5, går vi ut fra at alle sifrene gjelder, ettersom 113;5 ¼ 1;135 10 2 . I tabellen nedenfor finner du eksempler på antall gjeldende siffer i en del målte størrelser: Størrelse

Nøyaktighet

10;80 V 0;100 km 1;99 10 30 kg 0;010 A

4 3 3 2

gjeldende gjeldende gjeldende gjeldende

siffer siffer siffer siffer

Minste verdi

Største verdi

10;795 V 0;0995 km 1;985 10 30 kg 0;0095 A

10;804 V 0;1004 km 1;994 10 30 kg 0;0104 A

Avrunding Når vi regner med målte størrelser, må vi alltid runde av svaret til et fornuftig antall gjeldende siffer. Vi skal runde av 3985,75 til tre gjeldende siffer. Da er det siffer nummer fire som avgjør om vi skal runde av oppover eller nedover. Dersom det fjerde sifferet er 5 eller større, runder vi av oppover. Her er det fjerde sifferet 5, og vi runder opp til 3990. Ønsker vi å presisere at tallet har tre gjeldende siffer og ikke fire, må vi skrive det på standardform: 3;99 10 3 . Vi bruker disse reglene til å avgjøre hvor mange gjeldende siffer vi skal ha: Ved multiplikasjon og divisjon av tilnærmingsverdier oppgir vi svaret med like mange gjeldende siffer som det er i tallet med færrest gjeldende siffer. Svaret må likevel ha minst to gjeldende siffer.

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

Ved addisjon og subtraksjon av tilnærmingsverdier oppgir vi svaret med like mange desimaler som det er i leddet med færrest desimaler. EKSEMPEL a) En rektangulær treplate har tykkelsen 2,4 cm, bredden 62,1 cm og lengden 3,579 m. Finn volumet av plata. b) Trekk sammen 40;2 m 37;45 m þ 0;768 m.

1 l ¼ 1 liter ¼ 1 dm3

Løsning: a) Vi gjør om alt til centimeter og multipliserer sammen lengden, bredden og tykkelsen: V ¼ 357;9 cm 62;1 cm 2;4 cm ¼ 53 341;416 cm3 Tykkelsen har bare to gjeldende siffer, så vi runder av svaret til to gjeldende siffer. Volumet blir da 53 000 cm3 , det vil si 53 liter.

¼ 1000 cm3

1.1.13–1.1.15

b) Vi trekker sammen tallene og får 40;2 m 37;45 m þ 0;768 m ¼ 3;518 m Svaret skal ha én desimal, og vi runder derfor av til 3,5 m.

Regnerekkefølge Vi kan ikke alltid utføre operasjonene i den rekkefølgen de står. Den riktige måten å regne ut 5 þ 3 7 på er slik: 5 þ ð3 7Þ ¼ 5 þ 21 ¼ 26 Vi kan bruke parenteser til å bestemme hva som skal regnes ut først. Men vi ønsker å unngå parenteser dersom vi kan. Derfor gir vi regneoperasjonene ulik prioritet. Nedenfor har vi satt opp regnerekkefølgen, det vil si en liste med den riktige rekkefølgen for ulike regneoperasjoner: 1 2 3 4

Gjør innholdet i parentesene så enkle som mulig. Regn ut potenser. Utfør multiplikasjon og divisjon. Utfør addisjon og subtraksjon.

EKSEMPEL Regn ut og skriv svarene så enkelt som mulig: a) 2 þ 3 23

c) ð2a bÞ b a ða 2b þ aÞ

b) ð2 þ 3Þ 2

Løsning: a) 2 þ 3 23 ¼ 2 þ 3 8 ¼ 2 þ 24 ¼ 26 b) ð2 þ 3Þ 23 ¼ 5 8 ¼ 40 c) ð2a bÞ b a ða 2b þ aÞ ¼ ð2a bÞ b a ð2a 2bÞ ¼ ð2ab b2 Þ ð2a2 2abÞ ¼ 2ab b2 2a2 þ 2ab ¼ 2a2 b2 þ 4ab Hvordan skal vi tolke uttrykket 100 : 10 2? Fordi multiplikasjon og divisjon har like høy prioritet, kan vi ikke avgjøre om det er ð100 : 10Þ 2 ¼ 20 eller 100 : ð10 2Þ ¼ 5 som er riktig. I tilfeller der det oppstår tvil, må vi bruke parenteser.

Regning med bokstavuttrykk Et regneuttrykk inneholder ofte bokstaver der hver bokstav står for et tall. Vi prøver å skrive slike bokstavuttrykk på enkleste måte. Da bruker vi de samme regnereglene som når vi regner med tall.

Å trekke sammen ledd av samme type Et ledd i et bokstavuttrykk kan være et produkt av tall og bokstaver. Vi skiller leddene fra hverandre med pluss ðþÞ eller minus ð Þ. Disse uttrykkene inneholder bare ett ledd: 4ab 5 Disse uttrykkene inneholder to ledd: 1 a 1; 3ab þ a2 b; þ x 2a;

16b4 ;

Matematikk for fagskolen

REGNING MED TALL OG BOKSTAVER

Ledd av samme type kan trekkes sammen til ett ledd: a þ 2a 4a ¼ a xy þ 3xy x2 y ¼ 4xy x2 y

Å løse opp parenteser Når det står minustegn foran en parentes, gjelder minustegnet alle ledd inni parentesen. Når vi fjerner parentesen, må vi derfor skifte fortegn på alle ledd i parentesen: 3 ð2a þ b 5Þ ¼ 3 2a b þ 5 ¼ 8 2a b Står det plusstegn foran parentesen, kan vi bare sløyfe den: a þ ð2a 4Þ ¼ a þ 2a 4 ¼ a 4 Når parentesen skal multipliseres med et tall eller et uttrykk, må vi huske på å multiplisere med alle leddene i parentesen (fordelt multiplikasjon). Vi multipliserer ut og skifter fortegn i samme operasjon: 4a2 2a ð2a b þ 1Þ ¼ 4a2 4a2 þ 2ab 2a ¼ 2ab 2a Når vi løser opp en parentes med minustegn foran, må vi endre fortegn på alle ledd i parentesen: ða bÞ ¼ a þ b

Å multiplisere sammen to Når vi multipliserer sammen to parenteser, bruker vi egentlig fordelt multiplikasjon to ganger: ða þ 2Þðb 3Þ ¼ ða þ 2Þ b ða þ 2Þ 3 ¼ ab þ 2b ð3a þ 6Þ ¼ ab þ 2b 3a 6

1.1.16–1.1.22

Vi multipliserer sammen to parenteser ved å multiplisere alle ledd i den ene parentesen med alle ledd i den andre parentesen.

ØVINGSOPPGAVER

1.1.1 Hvilke av tallene nedenfor er oddetall, og hvilke er partall? a) 42 b) 71 c) 55

1.1.2 Blir summen a þ b et partall eller et oddetall dersom a) a og b er partall c) a er oddetall og b er partall b) a og b er oddetall d) a er partall og b er oddetall (Du kan velge konkrete verdier for a og b i hvert tilfelle, men prøv også å vurdere hva resultatet ville blitt med andre tall enn dem du valgte.)

1.1.3 Hvilket av de fem tallene 1;1, 1;01, 1;001, 1;0101 og 1;001 01 er minst?

1.1.4 a) Gjør om rekkefølgen og grupper leddene i summen 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 slik at du i stedet får summen 7 þ 7 þ 7. b) Hva blir de tilsvarende omskrivingene av summene 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 og 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8? c) Foreslå en omskriving av summen 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ . . . þ 100. Bruk den endrete skrivemåten til å regne ut summen.

1.1.5 Regn ut uten å bruke lommeregner: a) ð 3Þð 2Þ 4 c) 12 ð7 2Þ b) ð 1Þð 2Þð 3Þð 4Þ

d) 12 ð 7 þ 2Þ

1.1.6 Skriv produktet 7 7 7 7 7 7 7 7 7 på en enklere måte.

1.1.7 Regn ut potensene: a) 23

b) ð 3Þ4

c) ð 5Þ3

d) 106

3. utgave

ISBN 978-82-450-3419-6

,!7II2E5-adebjg!

Matematikk for fagskolen

Ekern • Guldahl • Holst

Matematikk for fagskolen

Matematikk for fagskolen Trond Ekern • Øyvind Guldahl • Erik Holst

3. utgave