Indhold Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Intervaller
. . . . . . . . . . . . . . . . 8
Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kvadratrødder . . . . . . . . . . . . . . 12 Kubikrødder . . . . . . . . . . . . . . . 13 Procent og promille . . . . . . . . . . . 14 Rentesregning . . . . . . . . . . . . . . 17 Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Forholdsregning . . . . . . . . . . . . . 21 Forholds- og delingsregning . . . . . . 22 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Pythagoras’ sætning . . . . . . . . . . . 33 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . 35 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 35 To ligninger med to ubekendte . . . . . 38 Andengradspolynomiet . . . . . . . . . 41 Omvendt proportionalitet – Hyperbel
44
Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 Kvadratsætninger . . . . . . . . . . . . 46 Kvadratsætningerne omvendt . . . . . .48 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . 53 Det gyldne snit . . . . . . . . . . . . . 60 Gamle danske mål . . . . . . . . . . . . 62 Metersystemet og måleenheder . . . . .64 Arealberegning . . . . . . . . . . . . . .66 Rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
Tal
5
Tal Naturlige tal: Hele tal:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Rationale tal:
– 2,8
Irrationale tal:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
– 7 –1 10 2
3,95 √2
Alle tal kan anbrings i en gruppe. Tilsammen hedder alle tal ”de reelle tal” og betegnes med bogstavet R.
Naturlige tal (N) Tal du tæller med begyndende med 1. Ulige tal er: 1, 3, 5, 7, 9, . . . Lige tal (delelige med 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . Primtal: Et primtal er et tal, som kun kan deles med tallet selv og 1. De første 25 er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Sammensatte tal er tal, som kan deles op i gangestykker: 119 = 7 × 17, 12 = 2 × 2 × 3 Kvadrattal (tal ganget med sig selv): 1, 4, 9, 16, 25, 36,. . . (f.eks. 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, . . .) Kubiktal (tal ganget med sig selv 3 gange): 1, 8, 27, 64, 125,. . . (f.eks. 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, . . .)
π
55 7
6
Tal
Hele tal Der er hele tal, både positive og negative tal, og tallet 0. Positive tal er alle tal over 0. Negative tal er alle tal under 0.
Rationale tal (Q) Tal med hele tal i tæller og nævner. Kommatal, som er decimalbrøker eller decimaltal. De kan være endelige eller uendelige. Er det en uendelig decimal, skal den være periodisk. Ægte brøk er en brøk, hvor nævner er større end tæller: 59 , 14 Uægte brøk er en brøk, hvor nævner er mindre 8 end tæller: 118 20 , 3 Blandede tal er blandet af et helt tal og en brøk: 31/2 skal læses 3 + 1/2 Decimaltal er tal med komma: 4,5 0,43 48,625 (endelige decimaltal) Uendelige decimaltal 0,3333333. . . 0,6666666. . . Periodiske decimaltal 0,173173. . . 1,2121. . .
Irrationale tal Tal, der hverken kan skrives helt ud som kommatal eller brøker: � � � 3 5 2, 9, 7, π
Reelle tal (R) Alle tal, der ligger på en tallinje. Et tal består af cifre. Tallet 234 består af cifrene 2, 3 og 4.
Tal
Tals delelighed 2 går op i et tal, når sidste ciffer (enerne) er et lige tal eller 0. 3 går op i et tal, når tallets tværsum er delelig med 3 (318’s tværsum: 3 + 1 + 8 = 12). 4 går op i et tal, når tallets sidste to cifre (tiere og enere) er delelige med 4. 5 går op i et tal, hvis tallets sidste ciffer er enten 5 eller 0. 6 går op i et tal, hvis 2 og 3 begge går op i tallet. 7 går op i et tal, hvis alle tallets cifre undtagen enerne minus det dobbelte af enerne er deleligt med 7 (3486/7 er 348 − 6 × 2 = 336 og 33 − 6 × 2 = 21, som 7 går op i. 7 går altså op i 3486). 8 går op i et tal, når tallets tre sidste cifre (hundreder, tiere, enere) er delelige med 8. 9 går op i et tal, når tallets tværsum er deleligt med 9 (243’s tværsum: 2 + 4 + 3 = 9). 10 går op i et tal, hvis tallets sidste ciffer (enerne) er 0. 11 går op i et tal, når summen af hvert andet af tallets cifre (start med enerne) minus summen af de øvrige er delelig med 11 (858/11 er 8 + 8 − 5 = 11). 12 går op i et tal, hvis både 3 og 4 går op.
7
8
Intervaller
Intervaller
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Lukkede intervaller: Begge tal i enderne regnes med. [a ; b] −3 ≤ x ≤ 4 eller [−3 ; 4]. Tallet −3 regnes med og tallet 4 regnes med.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Åbne intervaller: Ingen af endetallene regnes med. ]a ; b[ −3 < x < 4
eller
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
] − 3 ; 4[
2
3
4
5
6
7
8
Halvåbne intervaller: Kun et af endetallene regnes med. [a ; b[ −3 ≤ x < 4
eller
[−3 ; 4[
Intervaller
Intervallerne bruges ofte til at angive tal, der ligger meget tæt på, men ikke er med, f.eks.: tallene fra minus uendeligt op til 400, som et åbent interval, således: ] −∞; 400 [
eller
x < 400.
9
10
Potenser
Potenser Potenser er et produkt (gange) af ens faktorer (tal) 3 × 3 × 3 × 3 = 34
5 × 5 = 52
a × a × a × a × a × a = a6 b × b × b × . . . × b = bn
læses 3 i fjerde og giver 81, altså 3 gange med sig selv 4 gange læses 5 i anden og giver 25, dvs. 5 ganget med sig selv 2 gange læses a i sjette læses b i n‘ te
an : a kaldes roden og n kaldes eksponenten
Regneregler for potenser 0n = 0 a 0 = 1 (a må ikke være 0) a1 = a
100 = 1, 180 = 1 41 = 4
Lægge potenser sammen a 2 +a 2 = 2a 2 42 + 42 = 2 × 42 = 2 × 4 × 4 = 2 × 16 = 32 Trække potenser fra hinanden 4a 2 − 2a 2 = 2a 2 . Har tallene samme eksponent, kan de trækkes fra hinanden og lægges sammen som almindelige tal, bare man beholder eksponenten. Gange potenser med hinanden, når roden er ens a 5 × a 3 = a 5+3 = a 8 35 × 33 = 3 8 . Er roden ens, kan man lægge eksponenterne sammen.
Potenser
Gange potenser, når roden er forskellig, men eksponenten ens 23 × 43 = (2 × 4)3 = 83 = 512. a 3 × b 3 = (a × b)3 Har tallene samme eksponent, kan man gange tallene med hinanden og derefter opløfte til potens. Division med potenser a5 a3
5
4 = a 5−3 = a 2 = 45−3 = 42 = 16. 43 Roden beholdes, og eksponenterne trækkes fra hinanden.
a −7 = a17 7−7 = 717 Negativ eksponent betyder, at 1 skal deles med tallet. Opløftning af brøk til potens 2 2 3 = 342 Når en brøk skal opløftes i en 4 potens, skal tæller og nævner opløftes hver for sig. Opløftning af potens til ny potens (a 3 )2 = a 3×2 = a 6
(33 )2 = 33×2 = 36
Tierpotenser Store tal skrives som tierpotenser. 106 læses 10 i sjette og er et ettal med 6 nuller, altså 1.000.000. Rundt om jorden er der ca. 40.000 km. Det skrives som 4 × 104 km. 1, 67 × 108 = 167.000.000 (kommaet flyttes otte pladser til højre).
11
12
Kvadratrødder
Kvadratrødder Kvadratroden af et tal er et positivt tal (eller 0), der ganget med sig selv giver tallet under kvadratrodstegnet (roden). � Kvadratrodstegnet er: � 9 = 3 fordi 32 = 9 � a = x hvis x2 = a Der kan aldrig stå et negativt tal under kvadratrodstegnet.