a e a k
Morten Blomhøj
Fagdidaktik i matematik
Frydenlund
Fagdidaktik i matematik 1. udgave, 1. oplag, 2016 © Forfatteren og Frydenlund ISBN 978-87-7118-673-4 Fagredaktion: Flemming B. Olsen Korrektur: Johan Ibsen Grafisk tilrettelæggelse: Eks-Skolens Trykkeri Grafisk produktion: Balto, Litauen
Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copydan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser.
Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C tlf.: 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice.
INDHOLD FORORD.......................................................................................................... 9 I MATEMATIKDIDAKTIK SOM PRAKSIS OG TEORI......................... 13 1. Matematikdidaktik som praksis..................................................................14 2. Udviklingen af matematikkens didaktik som forskningsfelt.....................16 3. Genstandsfeltet for matematikdidaktisk forskning..................................19 4. Samspil mellem udvikling af praksis og forskning..................................... 21
II MATEMATIKUNDERVISNINGENS BEGRUNDELSESPROBLEM ....................................................................27 1. Begrundelsesproblemet i praksis..............................................................28 2. Tidlige begrundelser for matematikundervisning.....................................32 3. Almendannelse og fagets formål i grundskole og gymnasium..................35 4. Fem principper for alment dannende matematikundervisning................39 5. Eksempel: Summen af de n første naturlige tal — almendannelse i matematik...................................................................... 49
III TEORIER OM LÆRING AF MATEMATIK..........................................63 1. En scene fra differentialregning i gymnasiet........................................... 64 2. Repræsentationernes betydning............................................................. 68 3. Elevers begrebsbilleder.............................................................................74 4. Procesobjekt-aspekter ved matematiske begreber.................................78 5. Hvordan kan teorierne bidrage til udvikling af praksis?............................83 5
IV MATEMATIKUNDERVISNINGENS PRAKSIS............................... 89 1. Den didaktiske kontrakt i traditionel matematikundervisning.................91 2. Konsekvenser af den didaktiske kontrakt................................................ 94 3. Eksempel: Ligningen for den rette linje på 9. klassetrin.......................... 98 4. Eksempel: It-baseret opgaveløsning i geometri i 1. g.............................101 5. Sammenfatning...................................................................................... 104
V IT I MATEMATIKUNDERVISNING................................................... 109 1. Brug af it i matematikundervisningens praksis.......................................112 2. Anvendelser af it i forskellige didaktiske situationer..............................116 2.1. It i klasseundervisning — den elektroniske tavle...................................117 2.2. It i elevernes opgaveløsning.................................................................119 2.3. It i undersøgende arbejde.....................................................................131 3. Brug af it i matematisk modellering........................................................ 139 4. Integration af it i matematikundervisning.............................................. 146
VI UNDERSØGENDE MATEMATIKUNDERVISNING......................151 1. Grundprincipper for undersøgende matematikundervisning................ 154 2. Undersøgende matematikundervisning i praksis....................................155 3. Eksempel: centicubens fødselsdag......................................................... 159 4. Udvikling af undersøgende forløb gennem samarbejde........................ 168
EFTERSKRIFT...........................................................................................171 LITTERATUR..............................................................................................175
6
Ma te ma tik
a e a k
IV
MATEMATIK UNDERVIS NINGENS PRAKSIS
Fagdidaktik i matematik
Matematikundervisningens praksis er på den ene side kompleks, mangfoldig, varierende fra skole til skole, og i høj grad bestemt af den enkelte lærers faglige og fagdidaktiske kompetencer, samt af dennes opfattelse af og holdning til faget, læring og eleverne. På den anden side er praksis underlagt og formet af en række forhold og mekanismer, der virker i undervisningssystemet generelt og specielt i matematikundervisningen. Det er betydningen af disse forhold, der er i fokus i dette kapitel. Matematikundervisning foregår i institutionelle rammer, der fastlægger vilkår for og former praksis. Det drejer sig om blandt andet følgende forhold:
•
Bekendtgørelser, læreplaner med læringsmål på de enkelte klassetrin
•
Eleverne er inddelt i klasser og undervises af én lærer i klasseværelser
•
Skemastrukturen med typiske enheder af 45 eller 90 minutter
•
Brugen af et lærebogssystem til strukturering af undervisningen
•
De resurser, der er til rådighed i form af lærebøger, it-udstyr og programmer samt andre materialer
•
Lærerne har en vis afmålt tid til forberedelse af undervisningen, feedback til eleverne, samarbejde med kollegaer og forældrekontakt med videre
•
Elevernes læring vurderes ved prøver og eksamener med betydning for deres fremtidige muligheder i uddannelsessystemet
I sådanne institutionelle rammer er der udviklet en stærk undervisningstradition i matematikfaget både i grundskolen og i gymnasiet. Den videreføres med stor inerti gennem uddannelsessystemet og ved socialisering af nyuddannede lærere til den eksisterende undervis90
IV Matematikundervisningens praksis
ningskultur. Hvordan man selv er blevet undervist i matematik i skole, gymnasium og lærer- og pædagogikumuddannelse, har større indflydelse på, hvordan man kommer til at undervise som matematiklærer end det indhold af pædagogik, almen- og matematikdidaktik, som man har arbejdet med i lærer- og pædagogikumuddannelsen. Læreres opfattelser af matematikundervisning og -læring formes gennem deres egne oplevelser med faget og ændres kun langsomt på grundlag af nye personlige erfaringer med faget og egen undervisningspraksis, se f.eks. Skott (2001).
1. Den didaktiske kontrakt i traditionel matematikundervisning Den franske matematikdidaktiker Guy Brousseau har udviklet begrebet den didaktiske kontrakt til beskrivelse af, hvordan der i en sådan institutionaliseret matematikundervisning, hvor den samme lærer underviser de samme klasser i årelange forløb, udvikles en implicit kontrakt mellem læreren og eleverne med det formål at sikre, at undervisningen kan lykkes under de givne rammer. Det vil sige en kontrakt, der, hvis den overholdes af både læreren og eleverne, sikrer, at den enkelte elev bliver i stand til – i rimelig grad – at honorere de krav, der stilles ved de officielle tests og prøver, og at undervisningen dermed kan vurderes som værende lykkedes. Den didaktiske kontrakt indgår som begreb i en større teori om didaktiske situationer i matematik (Brousseau 1997). Teorien behandles ikke her, men er præsenteret på dansk i Winsløw (2006, kap. 7). Etablering af en didaktisk kontrakt er både en forudsætning for og en konsekvens af undervisningen. Det er nødvendigt, at både læreren og eleverne tror på projektet om elevernes læring. Læreren skal føle sig sikker på at kunne tilbyde et læringsmiljø samt at kunne hjælpe og støtte de enkelte elever i tilstrækkelig grad til, at de udviser tegn på læring som tilsigtet. Eleverne skal på deres side føle, at de kan opfylde læringsmålene, hvis de lever op til lærerens anvisninger og forventninger til deres indsats. Undervisningen virker i det lange løb tilbage på lærerens opfattelse af faget, af eleverne og af det at under91
Fagdidaktik i matematik
vise i matematik, samt på elevernes opfattelse af læreren, matematik og matematiklæring, samt på deres forventninger til undervisningen. Det nærmere indhold i en sådan didaktisk kontrakt kan naturligvis være forskelligt, men både i forhold til grundskolen og gymnasiet kan traditionel matematikundervisning karakteriseres ved at:
•
rækkefølge, progression og tilrettelæggelse af de enkelte faglige emner varetages hovedsageligt af det valgte lærebogssystem
•
læreren omhyggeligt gennemgår de metoder og algoritmer, der præsenteres i lærebogen, og som eleverne forventes at kunne bruge i deres opgaveløsning
•
læreren kun stiller opgaver, som eleverne på forhånd har fået redskaber til at løse
•
en opgave er løst, når dens enkelte spørgsmål er besvaret
•
de ønskede svar som regel kan angives i kort form ved f.eks. et tal, et symbolsk udtryk, en figur eller til nød en kort sætning
•
eleverne har krav på lærerens bedømmelse, når en opgave er løst
•
elevernes læring kan bedømmes alene ud fra, om de kan regne de stillede opgaver
•
eleverne på deres side gør deres bedste for at løse de stillede opgaver (Blomhøj 1995)
Den didaktiske kontrakt for traditionel matematikundervisning understøtter i høj grad lærerens klasseledelse. Der indgår typisk tre elementer i den traditionelle matematikundervisning: (1) rettelser og (evt.) gennemgang af (hjemme-)opgaver fra forrige lektion; (2) lærerens præsentation af nye metoder eller nye typer af opgaver med 92
IV Matematikundervisningens praksis
eksempler fra lærebogen; og (3) elevernes individuelle eller parvis arbejde med tilhørende opgaver. De tre elementer giver den didaktiske kontrakt en effektiv organisering af undervisningen. Effektiv i den forstand, at den støtter lærerens klasseledelse, og sikrer, at undervisning kan forløbe som planlagt. Eleverne ved, hvad der forventes af dem, de kan arbejde i forskellige tempi, læreren kan differentiere hjælpen til eleverne efter behov, hurtige elever kan udfordres med flere og/eller sværere opgaver, og læreren har høj grad af kontrol over det faglige indhold og forløbet af lektionen. Disse forhold omkring klasseledelse i matematik er diskuteret i Blomhøj og Højgaard (2011). Læreren har i en sådan undervisning gode muligheder for at sikre, at det store flertal af elever bliver i stand til at honorere kravene til deres opgaveløsning. Ved introduktion af nye begreber og metoder kan læreren give klare og præcise instruktioner til eleverne om, hvordan de skal arbejde med disse nye elementer i de tilhørende opgaver. Når eleverne efterfølgende regner opgaver, kan læreren koncentrere sig om at hjælpe de elever, der har vanskeligheder med at følge de anviste fremgangsmåder. Den erfarne lærer udvikler i en sådan undervisning et stort beredskab for, hvordan elever, der går i stå forskellige steder under arbejdet med de enkelte typer af opgaver, kan hjælpes videre, samt til hvordan udfordringer til de forskellige grupper af elever kan differentieres gennem valg af opgaver. I en matematikundervisning præget af ovenstående kontrakt og organisering bliver den såkaldte opgavediskurs let dominerende, både i lærerens samtale med eleverne i klassen og i kommunikationen om elevernes læring med kollegaer og forældre. Begrebet opgavediskurs er introduceret af den norske matematikdidaktiker Stieg Mellin-Olsen (1990). Det er udviklet ud fra, hvordan lærere opfatter og taler om undervisnings- og læreprocesser i matematik. Mellin-Olsens interviewstudie fra 1990 viste dengang, at norske matematiklærere i vidt omfang vurderede elevernes læring, og dermed undervisningens succes, på elevernes besvarelser af i hovedsagen skriftlige opgaver. Studiet viste også, at lærerne ofte betjente sig af en rejsemetafor, når de beskrev processen i undervisningen og elevernes læring. I denne metafor er lærerbogen rejseplanen og opgaveløsningen transportmidlet. 93
Fagdidaktik i matematik
Hvis eleverne løser opgaverne som forventet tages det som udtryk for, at de er, hvor de skal være eller at de er godt med. Elever, der ikke løser opgaverne hurtigt nok – i forhold til resten af klassen – kommer bagefter og kan ikke følge med på rejsen. Der kan blive brug for særlige hjælpeforanstaltninger, andre opgaver eller at justere rejsetempoet. Elever, der løser opgaverne for hurtigt kommer foran eller begynder at kede sig på rejsen. Opgavediskursen er således med til at styrke den ovenfor skitserede didaktiske kontrakt for traditionel matematikundervisning, både hvad angår lærerens og elevernes opfattelser af matematikundervisningen. Samtidig kan opgavediskursen – bort set fra rejsemetaforen – også ses som en teoretisk konsekvens af den didaktiske kontrakt. Opgavediskursen er nærmere analyseret i Niss (2007b), der også ser på de mulige grunde til, at den er dominerende i matematikundervisningen. Set fra et matematikfagligt synspunkt er der således gode grunde til at lade arbejdet med opgaver i bred forstand spille en hovedrolle i almen matematikundervisning. Arbejde med matematisk problemløsning forstået som opgaver, hvor eleverne udfordres til selv at være matematisk aktive ved at kombinere tidligere tilegnet viden og metoder og ved selv at foretage forskellige undersøgelser, er anerkendt som et velegnet didaktisk middel til matematiklæring. Samtidig er det en selvstændig matematisk kompetence at kunne løse problemer på forskellige niveauer jævnfør figur 3 og læringsmålene for både for grundskolens og gymnasiets matematikundervisning (UVM 2013c og 2014). Det didaktiske problem opstår, når de opgaver, som eleverne arbejder med i undervisningen, er reduceret til øvelsesopgaver, der kan besvares, ved at eleverne følger og indsætter tal i skabeloner, der er gengivet i lærebogen og/eller som læreren på forhånd har vist, hvordan de skal anvende på tilsvarende eksempler.
2. Konsekvenser af den didaktiske kontrakt Der er stor risiko for, at der i en matematikundervisning, der udvikler sig inden for rammerne af en didaktisk kontrakt som beskrevet ovenfor, sker en forskydning i de læringsmål, der reelt forfølges, væk fra udvikling af matematiske kompetencer, som er generelt anvendelige 94