Mogens Niss & Uffe Thomas Jankvist (red.)
Læringsvanskeligheder i matematik – hvordan kan de forstås og afhjælpes?
FRYDENLUND
Læringsvanskeligheder i matematik – hvordan kan de forstås og afhjælpes © Forfatterne og Frydenlund, 2017 ISBN 978-87-7118-794-6 Forlagsredaktion: Sigrid Kraglund Adamsson Korrektur: Mette Fuglsang Jensen Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle Omslag: Maija Hejgaard Grafisk produktion: Pozkal, Polen
Redaktørerne vil gerne takke Augustinus Fonden for økonomisk støtte til forskning i tilknytning til temaerne og kapitlerne i denne bog.
Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copydan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser.
Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf.: 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice
|5
Indhold Introduktion........................................................................... 9 Baggrunden for bogen..........................................................10 Bogens kapitler.....................................................................13 Referencer............................................................................18
1. Begrebsafklaring og struktur som metode.....................19 Indledning............................................................................19 Vigtigheden af begrebsafklaring............................................21 Struktur...................................................................................24 Lighedstegnet og dets betydning...........................................34 Konklusion...........................................................................36 Referencer............................................................................37
2. Brøker! – hvordan forstår man dem?..............................39 Indledning............................................................................39 Udvælgelse af elev...................................................................42 Hvordan forstår man brøker?.................................................43 Diagnosticering af elevens brøkvanskeligheder.......................46 Intervention............................................................................50 Evaluering af elevens øgede forståelse af brøkbegrebet..........................................................................54 Afslutning – eleven videre frem..............................................55 Referencer...........................................................................56
6 |
3. Modellering, matematisering og symbolog formalismekompetence................................................59 Indledning...............................................................................59 Teori....................................................................................60 Cases...................................................................................63 Diagnosticering....................................................................64 Posttest...................................................................................74 Diskussion...........................................................................74 Konklusion..............................................................................77 Referencer...........................................................................78
4. Matematisering i modelleringssammenhænge................81 Indledning...............................................................................81 Teorier.................................................................................83 Fra teori til praksis..................................................................87 Case fra matematikvejledningen.............................................88 Opsamling og anbefalinger.................................................106 Referencer.........................................................................107
5. Kompetenceskala som redskab......................................109 Indledning..........................................................................109 Ræsonnementskompetence og kommunikationskompetence................................................110 Progression i kompetencen.................................................111 Anvendelse af kompetenceskalaen ved diagnosticering...............................................................119 Anvendelse af kompetenceskalaen ved intervenering......................................................................128 Erfaringer indtil nu.............................................................132 Referencer.........................................................................134
|7
6. Matematikken pü spil.....................................................137 Indledning..........................................................................137 Guy Brousseaus teori om didaktiske situationer...................138 Skitse til spil til brug ved etableringen af et v ariabelbegreb.............................................................140 Bogstavspillet.....................................................................142 Modelleringsspillet.............................................................150 Referencer.........................................................................155
Forfatterne...............................................................................157
| 39
2. Brøker! – hvordan forstår man dem? Christian Christiansen & John Sorth-Olsen
Indledning Hvornår har en elev vanskeligheder med matematik i gymnasiet? I vores indledning til den afsluttende rapport på matematikvejlederuddannelsen (Christiansen, Sorth-Olsen & Torp 2015) har vi, med henvisning til de otte matematiske kompetencer beskrevet i KOM-rapporten (Niss & Jensen 2002), prøvet at komme nærmere ind på en definition. Kort fortalt har vi defineret fænomenet således: En elev har matematikvanskeligheder, hvis forskellen mellem elevens aktuelle besiddelse af de otte matematiske kompetencer og under visningstrinets forventede kompetencebesiddelse er så stor, at eleven ikke med en rimelig grad af succes kan indgå i de matematiske aktiviteter, der lægges op til i elevens aktuelle læreplan i matematik. Sagt lidt mere enkelt har en elev matematikvanskeligheder, hvis eleven med en ’rimelig’ forventet arbejdsindsats ikke kan følge med i den daglige matematikundervisning. I gymnasiematematikken indgår brøker, brøkudtryk og regning med brøker, uden at man nødvendigvis har egentlig brøkregning på skemaet. Som elev har man behov for en vis forståelse af brøker, og hvad en brøk
40 | Christian Christiansen & John Sorth-Olsen
udtrykker. F.eks. i procentregning, relativ vækst, forstørrelse i geometri eller hældningskoefficient i lineære sammenhænge, differenskvotient og differentialkvotient. Generelt vil det ved alle forholdsvise betragtninger med talstørrelser være nødvendigt med en form for brøkforståelse. Forholdsvise betragtninger af talstørrelser kan man støde på i mange forskellige sammenhænge. Det gælder både i matematik og andre fag, men også i ens dagligdag. Så en form for brøkforståelse vil for mange mennesker være et nødvendigt element i en generel talforståelse. Ud fra vores generelle definition af matematikvanskeligheder kan man sige, at en elev vil have matematikvanskeligheder med brøker, hvis manglen på brøkforståelse er så stor, at eleven ikke kan indgå i de matematiske aktiviteter, undervisningen lægger op til ud fra matematiklæreplanerne. I forbindelse med vores matematikvejlederuddannelse var vi tre, som gerne ville undersøge nærmere, hvorfor mange elever har vanskeligheder med brøker. Hvad er det ved brøker, der gør, at selv elever, der i andre dele af matematikken klarer sig udmærket, har vanskelighed med dette begreb, og hvori består vanskelighederne? Udover direkte vanskeligheder med brøkregning og bogstavregning, hvori brøker indgår, har vi også i vores daglige undervisning oplevet elever, der ikke var klar over, at 52 og 2:5 kan udtrykke det samme. F.eks. ved omregning af 52 til decimaltal har vi oplevet elever, der ikke var klar over, at de på en lommeregner kan omregne brøktallet 52 til decimaltallet 0,4 ved at indtaste 2:5. I gymnasiematematisk sammenhæng udtrykker vi divisionsstykker og brøker primært ved brug af brøkstregen »–«, hvorimod det i folkeskolesammenhænge er mere normalt, at begge notationer, brøkstregen »–« og divisionstegnet »:«, bruges. F.eks. kan man i folkeskolens afgangsprøves færdighedsdel fra maj 2010 finde opgaver som »udregn 33:4« og »omskriv 5 2 til decimaltal« (Hansen, Skott & Jess 2011). Hvis man gerne vil have eleven til at forstå et brøkudtryk som et divisionsstykke, kan det være fornuftigt at angive det med et divisionstegn. Omvendt kan det blive en vanskelighed for en elev, hvis eleven ikke både kan læse 33 4 som et brøkudtryk og som et divisionsstykke. Det kan betyde, at eleven måske dermed ikke har en klar fornemmelse af, hvilket rationalt tal brøken repræsenterer, eller hvilket decimaltal brøken svarer til. Det kan f.eks. være, at en elev ikke har en klar fornemmelse af, at 33 4 repræsenterer et rationalt tal mellem 8 og 9, eller at det svarer til decimaltallet 8,25. Dette kan også være årsag til, at en elev ikke kan afgøre, om forskellige brøker
2. Brøker! – hvordan forstår man dem? | 41
udtrykker samme rationale tal, f.eks. om brøkerne 52 og 10 4 repræsenterer samme rationale tal. Noget tyder således på, at der er mange elever, der har vanskeligt ved at forstå, hvilket decimaltal en brøk repræsenterer. F.eks. havde kun 31 elever besvaret nedenstående opgave korrekt i en screening af 173 1. g-elever på Odsherred Gymnasium i september 2014:
I en anden screening af 195 1. g- og 1. hf-elever på Campus Bornholm i august 2015, hvor eleverne endda måtte bruge lommeregner, havde ca. 22 % af eleverne ikke løst nedenstående opgave korrekt: Sæt nedenstående tal i rækkefølge med det mindste først og det største sidst 0,48
5 14 0,99 8 13
At elever ikke forstår, hvilket decimaltal en brøk repræsenterer, betyder ikke, at de overhovedet ikke forstår brøker. Dette kom vi bl.a. frem til i vores arbejde med diagnosticeringen af en elevs brøkvanskeligheder, som vi beskriver nærmere senere i kapitlet. At brøker kan forstås på forskellige måder, kommer også til udtryk, når man betragter, hvordan man verbalt udtrykker en brøk. F.eks. kan en brøk verbalt udtrykkes som: 5 tallet fem syvendedele 7~ 5 brøken med 5 i tælleren og 7 i nævneren 7~ 5 5 divideret med 7 7~ 5 5 ud af 7 7~ 5 5 i forhold til 7 7~
42 | Christian Christiansen & John Sorth-Olsen
Hver af de verbale måder at udtrykke sig på kan for en person være et indirekte eller et direkte udtryk for personens forståelse af brøken i den givne situation. I forbindelse med et projekt om begreber og begrebsdannelse i matematik under matematikvejlederuddannelsen ville vi, som allerede nævnt, gerne fokusere på elevers vanskeligheder med brøker. På baggrund af en generel detektionstest (Niss & Jankvist 2013a) om forståelse af grundlæggende matematiske begreber gik vi derfor efter elever, der udviste vanskeligheder med brøker og brøkudtryk. I dette projekt om brøkvanskeligheder (Christiansen, Sorth-Olsen & Torp 2015) arbejdede vi primært med en bestemt elevs vanskeligheder med brøker. Dette arbejde har givet os mere indsigt i, hvad der kan være årsagen til, at mange elever har vanskeligheder med brøker.
Udvælgelse af elev Den elev, vi arbejdede med, havde hf-matematik på B-niveau i begyndelsen af andet år. Eleven klarede sig til daglig nogenlunde i matematik og lå omkring middel i karakter. I standardiserede opgaver havde eleven ikke udprægede vanskeligheder, men i mere problemorienterede opgaver, hvor en løsningsmetode ikke umiddelbart er givet, og hvor der kræves en nærmere analyse, havde eleven ofte udfordringer. Som det formentlig gælder for mange elever, blev de udfordrende matematikopgaver for vores elev ikke mindre udfordrende af, at eleven måske manglede tiltro til egne evner i forhold til at kunne løse sådanne opgaver og faktisk helst ville holde sig til standardiserede matematikopgaver, hvor læreren på forhånd havde givet en anvisning af, hvordan opgaverne skulle løses. I den stillede detektionstest udviste eleven vanskeligheder med brøker ved at have en overvægt af fejl eller mangler i besvarelsen af opgaver, hvor brøker indgik. F.eks. havde eleven fejl i følgende opgaver, her vist med elevens egne svar på spørgsmålene (Christiansen, Sorth-Olsen & Torp 2015):
2. Brøker! – hvordan forstår man dem? | 43
Selv om eleven udviste vanskeligheder i opgaver med brøker, havde vedkommende en vis forståelse for forholdsbetragtninger, bl.a. ved at svare korrekt på følgende opgave fra samme detektionstest:
Vi fortalte eleven, at hun havde en overvægt af fejl i opgaver, hvor brøker indgik, og at dette kunne tyde på en mere grundlæggende vanskelighed med brøker. Vi spurgte hende derfor, om hun ville være med i et videre forløb omkring brøker, vel vidende at det for mange elever ikke nødvendigvis er det mest interessante emne at bruge sin tid på. Som en glædelig overraskelse var hun meget positivt interesseret i projektet. Det kom overhovedet ikke bag på hende, at hun havde udvist vanskeligheder med brøker. Eleven var selv helt klar over, at brøker ikke var hendes stærke side. Hun fortalte, at hun aldrig havde kunnet finde ud af det med brøker, og at hun aldrig rigtig havde fået det lært. Eleven ville derfor gerne deltage i det videre forløb, hvor vi skulle undersøge, hvorfor hun havde vanskeligheder med brøker, og ud fra dette prøve at hjælpe hende med at blive bedre til brøkregning og -forståelse. Inden en nærmere afdækning af, hvilke vanskeligheder eleven havde med brøker, havde vi selv behov for en nærmere forståelsesramme omkring opfattelsen og forståelsen af brøker.
Hvordan forstår man brøker? I arbejdet med, hvordan man opfatter og forstår brøker og brøkudtryk, var vi inspireret af det amerikanske The Rational Number Project*. Vi lod brøkudtryk omfatte alle matematiske udtryk, der kan skrives med brøknotation, dvs. alle udtryk, hvor brøkstegen indgår. Brøkudtryk vil for os derfor ikke kun omfatte rationale tal. F.eks. er r2 et brøkudtryk, som er et ikke-rationalt tal, men et tal skrevet med brøknotation.
Flere oplysninger om The Rational Number Project findes på hjemmesiden www.cehd.umn.edu/ci/rationalnumberproject/default.html.
*
44 | Christian Christiansen & John Sorth-Olsen
I vores arbejde med elevernes opfattelse og forståelse af brøker og brøk udtryk har vi anvendt syv aspekter af det rationale talbegreb (Behr, Lesh, Post & Silver 1983). På dansk har vi oversat de syv aspekter til: Brøkmål/ en-del-af-en-helhed, forhold, operator, kvotient, mål-på-tallinje, decimalbrøk og ændringsrate*.
Brøkmål/en-del-af-en-helhed Med brøkmål/en-del-af-en-helhed-aspektet beskrives det, hvor meget der er af en helhed i forhold til en angivet enhed af denne helhed. F.eks. kan vi opfatte de ti smileys som en helhed bestående af ti 1 -enheder. Men de ti smileys kan også opfattes 10 som en helhed bestående af fem 15 -enheder. Fire smileys kan derfor ’måles’ som 4 ud af 10 eller som 2 ud af 5. Forhold Med forhold forstås ratioen mellem to størrelser. F.eks. kan 45 angive læng13 deforholdet mellem to linjestykker på henholdsvis 4 cm og 5 cm, eller 15 kan angive (tal)forholdet mellem 13 drenge og 15 piger i en klasse. Operator Med operator forstås brøken som noget, der virker på en størrelse, f.eks. en transformation af en enhed eller geometrisk figur. Dette kan i gymnasiematematiksammenhæng f.eks. være en skalafaktor i forbindelse med ensvinklede trekanter eller en fremskrivningsfaktor i procent og rentesregning. Kvotient Med kvotient af to tal forstås brøken som det tal, den repræsenterer, dvs. som resultatet af en uudført division eller som et algebraisk element i et brøklegeme. F.eks. kan brøken 29 forstås som (d)et tal, der løser ligningen 9x = 2. Kvotienten 29 kan også forstås som den mængde pizza, hver person får, hvis 9 personer ligeligt skal dele 2 pizzaer.
De engelske ord er: fractional measure/part-whole, ratio, operator, quotient, linear coordinate, decimal, rate.
*
2. Brøker! – hvordan forstår man dem? | 45
Mål-på-tallinje Med mål-på-tallinje forstås brøken som et punkt på en tallinje. Decimalbrøk Med decimalbrøk forstås summen af brøker med tallene fra 0 til 9 i tælleren og 10’er-potenser i nævneren, og som udtrykkes i decimaltalsnotation. 1 5 + = 0,15. 0, 15 F.eks. 10 10 2
Ændringsrate Med ændringsrate forstås, at en brøk måles i en ny enhed ved et forhold mellem to andre enheder. F.eks. hastighed, som er defineret som forholdet mellem strækning og tid. Det kan diskuteres, om de syv underbegreber egentlig udtrykker syv forskellige forståelser af brøker (se figur 2.1). F.eks. om mål-på-tallinje og decimalbrøk udtrykker to forskellige forståelser, eftersom inddelinger på en tallinje ofte er angivet med decimaltal. Denne diskussion vil vi ikke komme videre ind på her. En pointe hos Behr, Lesh, Post & Silver (1983) er, at en komplet forståelse af rationale tal ikke kun kræver en forståelse af de forskellige underbegreber, men også hvordan disse begreber hænger sammen. Dette bruger vi til at sige, at en fuld forståelse af brøker omfatter alle underbegreberne af en brøk samt deres indbyrdes sammenhæng. Endvidere siger vi, at en person har brøkvanskeligheder, hvis personen har vanskeligheder med en eller flere dele af den fulde forståelse af brøker. Brøkmål/En-del-af-en-helhed
Forhold
Ækvivalens
Operator
Multiplikation
Kvotient
Problemløsning
Mål-på-tallinje
Addition
Figur 2.1. Forståelse af brøker (baseret på Behr, Lesh, Post & Silver 1983).
46 | Christian Christiansen & John Sorth-Olsen
En anden vigtig pointe, som Cramer, Behr, Post & Lesh (2009) fremhæver, er, at det er af stor betydning for eleven, at der i læringen og i den videre brug af brøker først er fokus på at få opbygget et solidt brøkbegreb med fuld brøkforståelse. En opbygning, der omfatter alle underbegreberne og deres indbyrdes sammenhænge, hvor underbegrebet en-del-af-en-helhed både som et kontinuum og som en diskret enhed repræsenterer et fundament i denne opbygning. Figur 2.1 viser, hvordan Behr, Lesh, Post & Silver (1983) forestiller sig denne opbygning. De fuldt optrukne pile viser forbindelser, der skal etableres hos eleven, og de stiplede pile viser, hvad der antages nødvendigvis at blive etableret i en videre brug af brøker.
Diagnosticering af elevens brøkvanskeligheder En opgave for en matematikunderviser er ifølge Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen »at kunne trænge ind bag facaden af de måder, hvorpå den enkelte elevs matematiklæring, -forståelse og -beherskelse kommer til udtryk i konkrete situationer, i det øjemed at forstå og fortolke den kognitive og affektive baggrund for disse« (Niss & Jensen 2002, s. 78). I den videre undersøgelse af, hvilke vanskeligheder eleven havde med brøker og brøkbegrebet, udarbejdede vi en test. Testen bestod af opgaver, der omfattede hele brøkbegrebet, på nær underbegrebet ændringsrate, og med brug af forskellige repræsentationsformer. Eleven blev i besvarelsen af testen bedt om at tænke højt. En af os observerede elevens besvarelse af testen og stillede opklarende spørgsmål til elevens tankegang. Det hele blev videofilmet til nærmere analyse af, hvad eleven gjorde og tænkte. På baggrund af denne test samt en mindre tilsvarende test blev det forsøgt at stille en diagnose for elevens vanskeligheder med brøker. De to tests viste bl.a., at eleven havde vanskeligheder med opgaverne på s. 47, her vist med elevens svar (Christiansen, Sorth-Olsen & Torp 2015).