Matema10k Matematik for hhx B-niveau
Rasmus Axelsen og Ole Dalsgaard
Matema10k. Matematik for hhx B-niveau 1. udgave, 1. oplag, 2016 © Frydenlund og forfatterne ISBN 978-87-7118-597-3 Redaktion: Morten Overgård Nielsen Korrektur: Peder Norup Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Grafisk produktion: Balto, Litauen Illustrationer: iStock 9, 31, 47, 48, 57, 97, 103, 101, 105, 124, 156, 189, 259 108, 112, 128, 131, 147 og 175 Matematikcenter 13 Miguel Riopa 117 Synergy Printing (udsnit) 33 ZBC Rådet 119 BMW 173 Danmarks Domstole 162 Polfoto 163 Privatfoto 163 Wayne State University 114 Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overens stemmelse med overenskomst mellem Ministeriet for Børn og Undervisning og Copydan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Bogforlaget Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf. 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice
5
Indhold
Indhold
Forord til eleven . . . . . . . . . . . . . . 7 Forord til læreren . . . . . . . . . . . . . 10 1 Funktioner Lineære funktioner . . . . . . . . . . . . Eksponentielle funktioner og logaritmer Potensfunktioner . . . . . . . . . . . . . Polynomier . . . . . . . . . . . . . . . . . Oversigt over funktionernes egenskaber
13 13 17 23 26 29
2 Lineær programmering Funktioner af to variable . . . . . . . . . Polygonområder . . . . . . . . . . . . . Lineær programmering – maksimering Lineær programmering – minimering . Hjørneinspektion og mere om niveaulinjer niveaulinjer . . . . . . . . . . . . . Følsomhedsanalyse . . . . . . . . . . . .
33 34 39 43 48
3 Differentialregning Vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiering af simple funktioner . Ekstrema og monotoniforhold . . . . Krumning og vendetangenter . . . . . Tangentens ligning . . . . . . . . . . . Generelle regneregler for differentialkvotienten . . . . . . . . . . . . . Sammensatte funktioner . . . . . . . Anvendelser i økonomi . . . . . . . . . Oversigt over kapitlet . . . . . . . . . .
. . . . .
57 58 61 68 74 80
. . . .
82 87 90 96
Regneregler for hændelser . . . . . . . . 100 Betingede sandsynligheder . . . . . . . 104 Multiplikationsformlen og omvendingsformlen . . . . . . . . . . . . 105 Uafhængige hændelser . . . . . . . . . . 107 5 Diskrete stokastiske variable
Sandsynlighedsfordeling og fordelingsfunktion . . . . . . . . . . . . 111 Middelværdi, varians og spredning . . 114 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . 116 Binomialfordelingen . . . . . . . . . . . 119 Poissonfordelingen . . . . . . . . . . . . 127 6 Kontinuerte stokastiske variable
51 53
4 Sandsynlighedsteori 97 Stokastiske forsøg og hændelser . . . . 97
111
131
Tæthedsfunktion og fordelingsfunktion 131 Normalfordelingen . . . . . . . . . . . . 133 χ2 -fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . 140 t-fordelingen . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Sammenligning af stikprøver og fordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7 Hypotesetest og konfidensintervaller
147
Stikprøver og estimation . . . . . . . . . 147 Konfidensinterval for middelværdien i en normalfordeling . . . . . . . . . 149 Konfidensinterval for andelen p i en binomialfordeling . . . . . . . . . . 155 Hypotesetest . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Test for uafhængighed af inddelingskriterier . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6 Supplerende materiale 1 – ligninger Grundlæggende principper . . . . Grundmængden . . . . . . . . . . Nulreglen . . . . . . . . . . . . . . . Kvadratrodsligninger . . . . . . . . Pæne andengradsligninger . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
175 175 178 179 179 181
Supplerende materiale 2 – grænsevædier og kontinuitet 183 Grænseværdier . . . . . . . . . . . . . . 183 Kontinuerte funktioner . . . . . . . . . 186 Opgaver Opgaver til kapitel 1 Opgaver til kapitel 2 Opgaver til kapitel 3 Opgaver til kapitel 4 Opgaver til kapitel 5 Opgaver til kapitel 6
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
189 190 192 204 221 226 233
Opgaver til kapitel 7 . . . . . . . . . . Opgaver der kombinerer flere emner Opgaver til ligninger . . . . . . . . . . Opgaver til grænseværdier og kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . Resultater til opgaver Resultater til kapitel 1 . . . . . Resultater til kapitel 2 . . . . . Resultater til kapitel 3 . . . . . Resultater til kapitel 4 . . . . . Resultater til kapitel 5 . . . . . Resultater til kapitel 6 . . . . . Resultater til kapitel 7 . . . . . Resultater til ligninger . . . . . Resultater til grænseværdier og kontinuitet . . . . . . . . . Stikordsregister
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. 235 . 247 . 251 . 255
. . . . . . . .
259 260 261 264 271 273 277 278 282
. . . . . 284 285
33
2 Lineær Lineær programmering programmering
I dette kapitel skal vi se på en optimeringsmetode, der hedder lineær programmering. Den bruges typisk til at maksimere et dækningsbidrag eller minimere omkostningerne ved produktion af to forskellige varer, men har også mange andre meget forskelligartede anvendelser. I virksomhedsøkonomi knytter metoden sig til begrebet knap kapacitet, fordi der er begrænsninger på produktionen.
Eksempel 1 Betragt følgende optimeringsproblem: En virksomhed producerer to slags havestole, LUX og SPRING. Dækningsbidraget er 300 kr. for en LUX og 200 kr. for en SPRING. • Det tager 1 time at producere dele til en LUX og 1 time at producere dele til en SPRING. • Det tager 5 minutter at samle en LUX og 15 minutter at samle en SPRING. • Det tager 12 minutter at pakke en LUX og 6 minutter at pakke en SPRING. • Den maksimale kapacitet pr. dag er 80 timer i produktionsafdelingen, 17,5 timer i samleafdelingen og 12 timer i pakkeafdelingen.
34 Hvor mange LUX og hvor mange SPRING skal der produceres pr. dag for at få det størst mulige dækningsbidrag? Ovenstående eksempel er ret komplekst og svært at løse. Prøv at se, om du kan gætte eller prøve dig frem til et svar. Eksemplet er et typisk lineært programmeringsproblem, så du kan senere vende tilbage og se, om du gættede rigtigt. Grunden til, at det er svært at løse, er, at der er to variable at skrue på. Lineær programmering er en meget smart grafisk måde at løse problemstillingen på. Som nævnt anvendes metoden både til maksimering og minimering. Begge situationer gennemgås i alle detaljer, men det skal nævnes, at med et CAS-værktøj bliver problemerne endnu lettere at løse. For at kunne løse et lineært programmeringsproblem er der to matematiske værktøjer, der er vigtige at kunne først. Derfor er der afsnit om henholdsvis Funktioner af to variable og Polygonområder. Efter gennemgang af dette kommer en præsentation af selve metoden.
Funktioner af to variable Normalt er vi vant til at betragte funktioner af én variabel. Til hver x-værdi knyttes netop én y-værdi, y = f (x). Grafen giver som bekendt en kurve: y
y = f (x) x
x
Figur 11: Funktion af én variabel.
Når vi har en funktion af to variable, så sættes der både en x- og en y-værdi ind. Dette giver funktionsværdien z = f (x, y). Grafen
2 Lineær programmering bliver ikke en kurve i et todimensionalt koordinatsystem, men en flade i et tredimensionalt koordinatsystem.
Figur 12: Grafen for en funktion af to variable.
Det kan være lidt svært at forestille sig disse funktioner og deres grafer. Vi skal heldigvis kun betragte nogle særligt pæne af dem, som er givet ved følgende forskrift:
Definition 1 En lineær funktion af to variable er en funktion med forskriften f (x, y) = ax + b y + c . Til hvert talpar (x, y) knyttes funktionsværdien f (x, y).
35
36
Figur 13: Funktionsværdi for funktion af to variable.
Eksempel 2 Betragt funktionen f (x, y) = 4x + 2y + 28. Hvad er funktionsværdien i punktet (3, 5)? f (3, 5) = 4 · 3 + 2 · 5 + 28 = 50 Det vil sige, at over punktet (3, 5) har grafen (fladen) højden 50. Tilsvarende kunne man prøve med punktet (−1, 8): f (−1, 8) = 4 · (−1) + 2 · 8 + 28 = 40 I punktet (−1, 8) har grafen højden 40. Hvis man gør dette for alle punkterne i x y-planen (i princippet), så får man en sammenhængende flade, som er grafen for f . Man kunne spørge sig selv, om der er andre punkter end (−1, 8), der giver højden 40.
37
2 Linæer programmering Vi stiller ligningen op for at finde højdeniveauet 40. N (40) :
f (x, y) = 40
Vi vil finde alle punkter i højden 40
2y = −4x + 40 − 28
Vi trækker − 4x + 40 fra for at isolere y
y = −2x + 6
Vi dividerer med 2
4x + 2y + 28 = 40
Forskriften sættes ind
2y = −4x + 12
Vi reducer højresiden
Det viser sig altså, at grafen har højden 40 i alle de punkter, der ligger på linjen y = −2x + 6. N (40) kaldes derfor for en niveaulinje for f.
8
y
7 6 5 4
N (40)
3 2 1 −2
−1
−1
x 1
2
3
4
5
−2
Figur 14: Niveaulinje markeret i x y-koordinatsystem. Figur 15: Niveaulinje markeret på grafen.
Det viser sig, at uanset hvilken lineær funktion af to variable man vælger, så vil den have samme højde langs sådanne niveaulinjer. Endnu mere interessant er dog følgende:
38 Sætning 1 Niveaulinjerne for funktionen f (x, y) = ax + b y + c er parallelle linjer i x y-planen.
Eksempel 3 Parallelle niveaulinjer Betragt funktionen f (x, y) = 5x + 10y + 60. Vi beregner tre tilfældige niveaulinjer (mellemregningerne er udeladt): 1 N (80) : f (x, y) = 80 ⇔ 5x + 10y + 60 = 80 ⇔ y = − x + 4 2 1 N (100) : f (x, y) = 100 ⇔ 5x + 10y + 60 = 100 ⇔ y = − x + 8 2 1 N (80) : f (x, y) = 110 ⇔ 5x + 10y + 60 = 110 ⇔ y = − x + 10 2 12
y
10 8
N (110)
6
N (100)
4 2 −2
N (80) 2
4
x 6
8
10
12
−2
Figur 16: Niveaulinjer for samme funktion er parallelle.
Vi ser her, at alle niveaulinjerne for denne funktion er parallelle med en hældning på a = − 12 .