ud vi de 2 de . r og evi aj der ou e rf de ør , te ud ga ve
Matema10k Matematik for stx A-niveau
af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten OvergĂĽrd Nielsen
4 Matema10k. Matematik for stx A-niveau
Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 2. udgave, 1. oplag, 2014 ©Frydenlund og forfatterne, 2007 ISBN: 978-87-7887-306-1 Redaktion: Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematisk korrektur: Stig Luxhøi Korrektur: Bodil Witt Dahlin Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Grafisk produktion: Beltrani, Polen
Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copydan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser.
Bogforlaget Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf. 3393 2212 post@frydenlund.dk www.frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på www.frydenlund.dk/nyhedsservice.
På www.gymportalen.dk
5
Indhold Forord
9
Del 1. Vektorer og analytisk geometri
11
1. Vektorer i 2D Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Regning med vektorer . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Midtpunkt af linjestykke og medianernes skæringspunkt i en trekant . . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Polære koordinater . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Skalarproduktet . . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Projektion af vektor på vektor . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Tværvektor og determinant . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . Løsning af to ligninger med to ubekendte . . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
13 13 18 19 22
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
23 26 27 28 29 35 38 40 41 45
. . . 46 . . . 50
2. Analytisk geometri i 2D Parameterfremstilling og ligning for den rette linje . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Afstand fra punkt til linje . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Skæring mellem to linjer . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Cirklens ligning og parameterfremstilling . . . . .
51 . . . . . .
. . . . . .
52 57 59 61 62 65
. . 66
Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Parabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3. Vektorer i 3D Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Regning med vektorer . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Projektion af vektor på vektor i 3D . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . Krydsproduktet mellem to vektorer Øvelser . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
76 76 79 81 83 84 88 90 91 91 95
4. Analytisk geometri i 3D 97 Linjens parameterfremstilling . . . . . 97 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Planens ligning . . . . . . . . . . . . . . 100 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Afstand fra punkt til plan . . . . . . . . 104 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Planens parameterfremstilling . . . . . 106 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Kuglens ligning . . . . . . . . . . . . . . 107 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Skæring og vinkler mellem forskellige figurer . . . . . . . . . . 110 Skæring og vinkler mellem to linjer 110 Skæring og vinkler mellem en plan og en linje . . . . . . . 112 Skæring og vinkler mellem to planer . . . . . . . . . . . . . 113 Skæring mellem kugle og linje . . 115
6 Skæring mellem kugle og plan – tangentplan . . . . . . . . . 116 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Oversigt over indholdet i Del 1: Vektorer og analytisk geometri Vektorer generelt (gælder både i 2D og 3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer i 2D . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer i 3D . . . . . . . . . . . . . . . . Analytisk geometri i 2D . . . . . . . . . Analytisk geometri i 3D . . . . . . . . .
122 122 123 125 126 128
Del 2. Taltegn og talbegreber
131
5. En historisk rejse Indledning . . . . . . . . . . . . . . Forhistorie . . . . . . . . . . . . . . Tidlige talsymboler . . . . . . . . . Pythagoræerne: Alt er tal . . . . . . Inkommensurable størrelser . . . Diskrete tal og kontinuerte geometriske størrelser . . . . Græske og romerske taltegn . . . . Det hindu-arabiske talsystem . . . Abacus, hindu-arabiske tal og regnemaskiner . . . . . . . . . Generalisering af talbegrebet . . . Umulige opgaver og udvidelser af talbegrebet . . . . . . . . . . . Ligningsløsning . . . . . . . . . . . Algebraens fundamentalsætning . Den geometriske fortolkning af komplekse tal . . . . . . . . . Kvaternioner . . . . . . . . . . . . . Konstruktionen af de reelle tal . . Aksiomatisering . . . . . . . . . . . Mængdelæren . . . . . . . . . . . . Konsistensspørgsmålet . . . . . . .
133 133 133 134 136 137
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . 137 . . . 139 . . . 139 . . . 141 . . . 142 . . . 144 . . . 144 . . . 147 . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
148 149 150 153 153 155
Konklusion . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Del 3. Mere om ...
163
6. Trigonometriske funktioner Harmoniske svingninger . . . . . . . . . Differentiation af sinusfunktionen . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . .
165 169 171 172
7. Mere om regneregler for differentiable funktioner Bevis for produktregel (regneregel 4) . . Redegørelse for differentiation af sammensat funktion (regneregel 6) . . . . . . . . . . . . Differentiation af sammensat funktion Eksempler på differentiation af sammensat funktion . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . .
177 177
179 181 182 185
8. Mere om integralregning 187 Areal af område begrænset af to grafer 190 Integration ved substitution . . . . . . . 194 Integralet som grænseværdi for summer197 Rumfang af omdrejningslegemer . . . . 201 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Oversigt over indholdet i Del 3 Trigonometriske funktioner . . . . . . . Regneregler for differentiable funktioner . . . . . . . . . . . . . . Integralregning . . . . . . . . . . . . . .
208 208
Del 4. Differentialligninger
211
209 209
9. Opstilling af differentialligninger 213 Væksthastighed og differentialligninger 213 Tangenter og differentialligninger af 1. orden . . . . . . . . . . . . . . 221
7
Indhold
Løsning af differentialligninger ved hjælp af CAS-værktøj . . . . . . . . 226 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 227 10. Differentialligningsmodeller 229 SD-diagrammer . . . . . . . . . . . . . . 229 Eksempler på differentialligningsmodeller . . . . 230 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 245 11. Eksakt løsning af differentialligninger 246 Eksakt løsning af lineære differentialligninger af første orden 246 Logistisk vækst . . . . . . . . . . . . . . 255 Den logistiske differentialligning: En vækstegenskab . . . . . . . . . 258 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Oversigt over indhold i Del 4
266
Del 5. Modeller i anvendelse
269
12. Modeller i biologi Introduktion . . . . . . . . . . . . . . . Vægtforhold mellem kerne og strå . . Forurening af en sø . . . . . . . . . . . Matematisk beskrivelse af situationen . . . . . . . . . Fortolkning af resultatet . . . . . Justering af gennemstrømningshastigheden . . . . . . . . Mere generel model . . . . . . . . Model for en sø med ikkekonstant volumen . . . . Øvelser . . . . . . . . . . . . . . .
271 . 271 . 271 . 276 . 277 . 280 . 281 . 282 . 283 . 285
13. Modeller i økonomi 287 F som funktion udelukkende af K . . . 288 F som funktion af K og L . . . . . . . . 289
F som funktion af K og L og med antagelse om homogenitet . . . . 291 Ligevægt af vækstforløb . . . . . . 291 Tilpasning mod ligevægt . . . . . . 294 Fleksibilitet af vækstmodellen . . 296 Øvelser . . . . . . . . . . . . . . . . 297 14. Modeller i fysik – om klassisk mekanik
298
Parameterkurver . . . . . . . . . . . . . 298 Hastighedsvektor og tangent til parameterkurver . . . . . . . . . . 302 Acceleration og Newtons anden lov . . 307 Jævn bevægelse og jævnt voksende bevægelse . . . . . . . . . . . . . . 308 Det skrå kast . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Jævn cirkelbevægelse og andre parameterkurver . . . . . . . . . . 312 Arbejde og energi . . . . . . . . . . . . . 315 Systemer med flere legemer . . . . . . . 318
Opgaver med resultater
323
Opgaver til Del 1
325
Opgaver til vektorer i 2D . . . . . . . . . 325 Opgaver til analytisk geometri i 2D . . . 330 Opgaver til vektorer i 3D . . . . . . . . . 336 Opgaver til analytisk geometri 3D . . . 341 Resultater til opgaver Del 1
345
Opgaver til Del 3
353
Resultater til opgaver Del 3
359
Opgaver til Del 4
365
Resultater til opgaver Del 4
374
8 Resultater til øvelser
381
Resultater til øvelser til Del 1
383
Resultater til øvelser til Del 3
391
Resultater til øvelser til Del 4
396
Stikordsregister
398
Forord Matema10k for A-niveau bygger oven på Matema10k for B-niveau – både for stx og hf. Bogen indeholder kernestoffet på A-niveau og meget supplerende stof. Det supplerende stof uddyber og perspektiverer kernestoffet. A-bogen vil kunne anvendes som del af et stx A-forløb i matematik, som bog til frit valgt stx A-niveau og som bog til gymnasial supplering i matematik A. Matema10k for A-niveau har et bredt indhold, og den indeholder masser af fagligt stof. Stoffet giver udfordringer til både den dygtige og den mindre dygtige elev. Som i bøgerne for C- og Bniveau er bogen skrevet ud fra et princip om at fremlægge stoffet lagvis, dvs. at indgangen til stoffet er så alle elever kan forstå det, og at der derefter er flere typer af forklaringer på forskellige niveauer. Men bogen indeholder også mere krævende stof som vil inspirere og udfordre selv de bedste elever. På denne måde lægger bogen op til differentieret undervisning hvor alle elevtyper kan tilgodeses. Bogen indeholder foruden kernestoffet følgende større perspektiverende afsnit: • Tallenes historie – skrevet af professor Jesper Lützen, Københavns Universitet • Modeller i biologi – skrevet af lektor Thomas Vils Pedersen, Københavns Universitet • Modeller i økonomi – skrevet af docent Lars Lund, Handelshøjskolen, CBS, i København • Modeller i fysik der lægger op til et tæt samarbejde mellem matematik og fysik om klassisk mekanik.
9
10 Disse afsnit danner solidt grundlag for studieretnings- eller ATforløb i samarbejde med biologi, samfundsfag og fysik. I bogen er der øvelser til stoffet i umiddelbar forlængelse af kapitlerne – og facit til øvelserne findes bag i bogen. Desuden findes opgaver bag i bogen til al bogens stof – også med facit. Til bogen hører den gratis hjemmeside www.matema10k.dk. Vi vil gerne varmt takke Jesper Lützen, Thomas Vils Pedersen og Lars Lund for deres bidrag til bogen. Vi ønsker dig god fornøjelse med bogen. Hvis du har kommentarer eller gode råd til bogen, er du velkommen til at sende en mail på matema10k@frydenlund.dk Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen
Forord til 2. udgave Denne 2. udgave er gennemgående forbedret i forhold til 1. udgave. Layoutet er markant forbedret – bl.a. med mange flere figurer – og der er nu resultater også til øvelserne i bogen (s. 383-397). Sidehenvisningerne til Matema10k B er til førsteudgaven af bogen. København, november 2013 Claus Jessen, Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Del 1 Vektorer og analytisk geometri
Del 1. Vektorer og analytisk geometri
11
12
Del 1. Vektorer og analytisk geometri
13
1. Vektorer i 2D Et skib der sejler på havet, har en hastighed. Den angives oftest i knob der fortæller hvor mange sømil skibet tilbagelægger pr. time. Når to skibe mødes på havet, kan det være afgørende at vide hvor hurtigt begge skibe bevæger sig. Men lige så afgørende er det at vide i hvilken retning de bevæger sig. Er de på kollisionskurs eller ej? Et skibs hastighed fastlægges præcist hvis vi ved hvor hurtigt det bevæger sig og i hvilken retning. Hvis skibet bevæger sig lige ud med konstant hastighed, vil ethvert punkt på skibet bevæge sig lige langt og i samme retning i løbet af et sekund. Alle punkter på skibet bevæger sig med samme hastighed. Hvis vi tegner en pil der viser hvordan forskellige punkter på skibet har bevæget sig f.eks. i løbet af et sekund, vil alle disse pile have samme retning og samme længde. Hvis vi har en tegning i planen, kan vi skubbe tegningen i en bestemt retning. Hvis vi skubber alle punkter lige langt og i samme retning, siger vi at vi har foretaget en parallelforskydning. Vi kan illustrere parallelforskydningen af et punkt ved at tegne en pil i den retning som punktet har bevæget sig under parallelforskydningen. Alle de pile som vi kan tegne mellem startpunkt og slutpunkt for figurens bevægelse, vil være lige lange og have samme retning. De repræsenterer alle den samme parallelforskydning.
Vektorer Et linjestykke mellem to punkter P og Q i planen siges at være et orienteret linjestykke hvis det har retningen fra P til Q. Vi angiver et orienteret linjestykke som en pil der begynder i P og slutter i Q. Hvis vi har en parallelforskydning, vil alle de pile der angiver punkternes bevægelse, være lige lange og parallelle. En vektor i planen er samlingen af alle de orienterede linjestykker i planen der har samme retning og samme længde. En vektor består altså af uendeligt mange pile. Hver pil kaldes for en repræsentant for vektoren. Vektorer angives f.eks. med små “fede” bogstaver → − → − forsynet med en pil over: a , b osv. Man kan også angive en vektor ved at angive begyndelses- og endepunkt for en af vektorens −−→ repræsentanter f.eks. PQ. Hvis der er tegnet et koordinatsystem i planen, kan vi beskrive en vektor ved dens koordinater. Vi ser → − på vektoren a og tegner den repræsentant der begynder i koor-
Q P
14
Del 1. Vektorer og analytisk geometri dinatsystemets begyndelsespunkt O = (0, 0). Denne vektor har endepunkt i punktet A med koordinaterne A = (a 1 , a 2 ). Altså er → − −−→ −−→ a = O A. Vi kalder vektoren O A for en stedvektor til punktet A. Ko→ − ordinaterne for vektor a defineres som punktet A’s koordinater. Vi skriver: → − a1 a= . a2
(2)
A a1 , a2
→ − a
(1)
O
→ − Vektor a er stedvektor for punktet A og har a1 koordinaterne . a2
Vektorer med eller elleruden udenkoordinater koordinater Vektorer med I denne bog fremlægges vektorer ved hjælp af koordinater. Dette er valgt for at lette forståelsen. Man kan imidlertid også foretage mange udregninger med vektorer uden brug af koordinater. Før i tiden foregik en stor del af vektorregningen uden brug af koordinater fordi det blev opfattet som vigtigt at fastholde at en vektor netop er en samling af pile med samme længde og retning. En fare ved at anvende koordinater til vektorregningen er at man kan tro at en vektor med et koordinatsæt kun kan placeres ét sted.
F B D E
→ − a A C
→ − Koordinaterne for vektoren a angiver at vi skal bevæge os stykket a 1 i x-aksens retning og stykket a 2 i y-aksens retning for at beskrive det orienterede linjestykke der repræsenterer vektoren. Hvis vi −−→ ser på vektoren PQ hvor P = (p 1 , p 2 ) og Q = (q 1 , q 2 ), kan vi se at det stykke vi skal bevæge os i x-aksens retning, må være q 1 − p 1 . Derfor er dette vektorens førstekoordinat. Tilsvarende ser vi at det stykke vi skal bevæge os i y-aksens retning, er q 2 − p 2 . Derfor er:
→ − −→ −−→ −→ På figuren ses at a = AB = C D = E F fordi
de fire pile har samme retning og samme længde.
(2)
q2 p2
−−→ PQ P p1 , p2 p1
Q q1 , q2
q1
(1)
Koordinaterne til en vektor mellem to punkter findes ved at trække startpunktets koordinater fra endepunktets.
−−→ q1 − p 1 PQ = . q2 − p 2
Den særlige vektor hvor start og slutpunkt er det samme, kaldes for nulvektoren. Som den eneste vektor har den ikke nogen retning. Alle andre vektorer kaldes egentlige vektorer. Nulvektoren → − betegnes med o . Koordinaterne for nulvektoren er: → − 0 o = . 0
15
1. Vektorer i 2D
→ − u
→ − a
→ − c → − v → − b
→ − → − a og b er ensrettede → − → − a og c er modsatrettede
→ − w
→ − → − u og v er modsatrettede → − → − v og w er ensrettede
Hvis to vektorer er parallelle og har samme retning (men ikke nødvendigvis samme lĂŚngde) kaldes de for ensrettede vektorer. Hvis de er parallelle og har modsat retning, kaldes de for modsat → − a1 rettede vektorer. Ser vi pĂĽ vektoren a = , kan vi beregne dens a2 lĂŚngde ved at benytte Pythagoras’ sĂŚtning. Der gĂŚlder derfor følgende sĂŚtning:
(2)
→ − a a = 1 a2 a1
SĂŚtning 1
→ − → − a1 LĂŚngden af en vektor a = angives som | a | og udregnes som: a2 → − |a|=
(a 1 )2 + (a 2 )2 .
LĂŚngden af en vektor er afstanden mellem dens startpunkt og dens slutpunkt. Ved at kombinere formlen for koordinaterne til −−→ vektoren PQ med formlen for lĂŚngden af denne vektor, kan vi finde en formel for afstanden mellem to punkter:
a1 (1) I den retvinklede trekant ses at → − 2 (a 1 )2 + (a 2 )2 = a .
(2)
SĂŚtning 2 — Afstandsformlen Afstanden mellem punkterne P = (p 1 , p 2 ) og Q = (q 1 , q 2 ) kan beregnes som: 2 2 −−→ |PQ| = q1 − p 1 + q2 − p 2 .
P p1 , p2
Q q1 , q2
(1)