Indhold Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Intervaller
. . . . . . . . . . . . . . . . 8
Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kvadratrødder . . . . . . . . . . . . . . 12 Kubikrødder . . . . . . . . . . . . . . . 13 Procent og promille . . . . . . . . . . . 14 Rentesregning . . . . . . . . . . . . . . 17 Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Forholdsregning . . . . . . . . . . . . . 21 Forholds- og delingsregning . . . . . . 22 Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Cirkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Pythagoras’ sætning . . . . . . . . . . . 33 Koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . 35 Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 37 To ligninger med to ubekendte . . . . 40 Andengradspolynomiet . . . . . . . . . 41 Omvendt proportionalitet – hyperbel . 44 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 Kvadratsætninger . . . . . . . . . . . . 46 Kvadratsætningerne omvendt . . . . . .48 Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 Sandsynlighed . . . . . . . . . . . . . . 53 Det gyldne snit . . . . . . . . . . . . . 60 Gamle danske mål . . . . . . . . . . . . 62 Metersystemet og måleenheder . . . . .64 Arealberegning . . . . . . . . . . . . . .66 Rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3
5
Tal
Tal Naturlige tal: Hele tal:
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Rationale tal:
– 2,8
Irrationale tal:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
– 7 –1 10 2
3,95 √2
Alle tal kan anbrings i en gruppe. Tilsammen hedder alle tal ”de reelle tal” og betegnes med bogstavet R.
Naturlige tal (N) Tal du tæller med begyndende med 1. Ulige tal er: 1, 3, 5, 7, 9, . . . Lige tal (delelige med 2): 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . Primtal: Et primtal er et tal, som kun kan deles med tallet selv og 1. De første 25 er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Sammensatte tal er tal, som kan deles op i gangestykker: 119 = 7 × 17, 12 = 2 × 2 × 3 Kvadrattal (tal ganget med sig selv): 1, 4, 9, 16, 25, 36,. . . (f.eks. 2 × 2 = 4, 3 × 3 = 9, . . .) Kubiktal (tal ganget med sig selv 3 gange): 1, 8, 27, 64, 125,. . . (f.eks. 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, . . .)
π
55 7
6
Tal
Hele tal Der er hele tal, både positive og negative tal, og tallet 0. Positive tal er alle tal over 0. Negative tal er alle tal under 0.
Rationale tal (Q) Tal med hele tal i tæller og nævner. Kommatal, som er decimalbrøker eller decimaltal. De kan være endelige eller uendelige. Er det en uendelig decimal, skal den være periodisk. Ægte brøk er en brøk, hvor nævner er større end tæller: 59 , 14 Uægte brøk er en brøk, hvor nævner er mindre 8 end tæller: 118 20 , 3 Blandede tal er blandet af et helt tal og en brøk: 31/2 skal læses 3 + 1/2 Decimaltal er tal med komma: 4,5 0,43 48,625 (endelige decimaltal) Uendelige decimaltal 0,3333333. . . 0,6666666. . . Periodiske decimaltal 0,173173. . . 1,2121. . .
Irrationale tal Tal, der hverken kan skrives helt ud som kommatal eller brøker: � � � 3 5 2, 9, 7, π
Reelle tal (R) Alle tal, der ligger på en tallinje. Et tal består af cifre. Tallet 234 består af cifrene 2, 3 og 4.
Tal
Tals delelighed 2 går op i et tal, når sidste ciffer (enerne) er et lige tal eller 0. 3 går op i et tal, når tallets tværsum er delelig med 3 (318’s tværsum: 3 + 1 + 8 = 12). 4 går op i et tal, når tallets sidste to cifre (tiere og enere) er delelige med 4. 5 går op i et tal, hvis tallets sidste ciffer er enten 5 eller 0. 6 går op i et tal, hvis 2 og 3 begge går op i tallet. 7 går op i et tal, hvis alle tallets cifre undtagen enerne minus det dobbelte af enerne er deleligt med 7 (3486/7 er 348 − 6 × 2 = 336 og 33 − 6 × 2 = 21, som 7 går op i. 7 går altså op i 3486). 8 går op i et tal, når tallets tre sidste cifre (hundreder, tiere, enere) er delelige med 8. 9 går op i et tal, når tallets tværsum er deleligt med 9 (243’s tværsum: 2 + 4 + 3 = 9). 10 går op i et tal, hvis tallets sidste ciffer (enerne) er 0. 11 går op i et tal, når summen af hvert andet af tallets cifre (start med enerne) minus summen af de øvrige er delelig med 11 (858/11 er 8 + 8 − 5 = 11). 12 går op i et tal, hvis både 3 og 4 går op.
7
8
Intervaller
Intervaller
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Lukkede intervaller: Begge tal i enderne regnes med. [a ; b] −3 ≤ x ≤ 4 eller [−3 ; 4]. Tallet −3 regnes med og tallet 4 regnes med.
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Åbne intervaller: Ingen af endetallene regnes med. ]a ; b[ −3 < x < 4
eller
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0
1
] − 3 ; 4[
2
3
4
5
6
7
8
Halvåbne intervaller: Kun et af endetallene regnes med. [a ; b[ −3 ≤ x < 4
eller
[−3 ; 4[
Intervaller
Intervallerne bruges ofte til at angive tal, der ligger meget tæt på, men ikke er med, f.eks.: tallene fra minus uendeligt op til 400, som et åbent interval, således: ] −∞; 400 [
eller
x < 400.
9
Trekanter
Linjer ved trekanten Midtnormal er en linje vinkelret pĂĽ midten af linjen.
Omskreven cirkel Midtnormalernes skĂŚringspunkt i en trekant danner centrum for trekantens omskrevne cirkel.
Indskreven cirkel Vinkelhalveringslinjernes skĂŚringspunkt i en trekant danner centrum for trekantens indskrevne cirkel.
29
30
Firkanter
Firkanter Se også formlerne på side 66–69. l
Rektangel: Alle vinkler er 90◦ . b Siderne er parallelle og to og to lige lange. Arealet af et rektangel beregnes med formlen: A = l ×b Omkredsen beregnes ved hjælp af formlen: O = 2 × (l + b) Kvadrat: Kvadratet er et rektangel med særlige egenskaber. Alle vinkler er 90◦ . Alle fire sider er lige lange. Parallelogram: Siderne er to og to parallelle og lige lange.
h
A =h×g Rombe:
g
Romben er et parallellogram med særlige egenskaber. Diagonalerne står vinkelret på hinanden og deler hinanden på midten. Diagonal: Er en linje, der går fra vinkelspids til modsatte vinkelspids.
Trapez: b h
a
To af de modstående sider er parallelle. h er højden a og b er de parallelle sider A = 1/2 × h × (a + b)