Bjørn Smestad, Elisabeta Eriksen og Ida Heiberg Solem
TALL OG TANKE AKTIVITETSBOK – Utforsking og argumentasjon
© Gyldendal Norsk Forlag AS 2021 1. utgave, 1. opplag 2021 ISBN 978-82-05-53092-8 Omslagsdesign, layout og sats: Eivind Vetlesen, basta.no Illustrasjoner: Erik Ødegaard, basta.no Figurer: Erik Ødegaard og Eivind Vetlesen, basta.no Brødtekst: Myriad Pro 11/13 pkt Papir: Amber Graphic 80 g Trykk: Dimograf, Polen 2021 Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond. Alle henvendelser om boka kan rettes til Gyldendal Akademisk Postboks 6730 St. Olavs plass 0130 Oslo www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller avtale med Kopinor (www.kopinor.no). Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffeansvar. Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo
3
Innhold A1 Bli kjent med boka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
B Logiske resonnementer og slutninger
15
B1 Noe å tenke over. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 B2 Å trekke slutninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 B3 Fra barnelitteraturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 B4 Nødvendig og tilstrekkelig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 B5 Å sortere opplysninger og se sammenhenger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 B6 Argumentasjon og bevis på 3. trinn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 B7 Sannhet eller løgn?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 B8 Veieproblemer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 B9 Måleutfordringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 B10 Hatteproblemer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 B11 Enkefruens tog-ønske. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 B12 Diagonaler i firkanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 B13 Katt i boks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
C Tall, telling, tallforståelse
43
C1 Tall og tall?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 C2 Lek med tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 C3 Velg et tall – øvelser i tallforståelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 C4 På oppdagelsesreise i de store tallene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 C5 Relasjonell tenkning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 C6 100-nettet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 C7 Fotballag – en oppgave fra 4. trinn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 C8 Resonnementer om oddetall og partall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 C9 Sum og produkt av partall og oddetall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 C10 Pascals trekant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4
D Du kan regne med tallene
67
D1 Innledende øvelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 D2 Den tomme tallinja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 D3 Når elevene regner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 D4 Mange måter – mange strategier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 D5 Subtraksjon basert på grupperingstenkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 D6 Tallene behøver ikke grupperes i tiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 D7 Vårt fantastiske posisjonssystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 D8 Multiplikativ tenkning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 D9 Når elevene regner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 D10 Ulike algoritmer for multiplikasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 D11 Divisjon – innledende oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 D12 Delelighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 D13 Når elevene regner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 D14 Mot en felles algoritme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 D15 Litt av hvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
E Rasjonale tall
119
E1 Innledende oppgaver om brøk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 E2 Halvparten av halvparten av halvparten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 E3 Likeverdige brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 E4 Modeller for brøk, og aspekter ved brøkbegrepet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 E5 Sammenlikning av brøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 E6 Å finne en brøk mellom …. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 E7 Uten å regne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 E8 Sammenhengen mellom brøk, desimaltall og prosent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 E9 Brøkspill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 E10 Brøk og multiplikasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 E11 Rettferdig deling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 E12 Divisjon med brøk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 E13 Om å utnytte sammenhenger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 E14 Litt av hvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
F Geometri
151
F1 Trekanter og firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 F2 Begreper og kategorier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 F3 Å lære «å se» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5
F4 Hvor mange?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 F5 Geometriske steder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 F6 Enkanter og tohjørner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 F7 Van Hieles nivåer – figurenes egenskaper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 F8 Geometrispill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 F9 Sammenheng mellom begreper – bevis og argumentasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 F10 Er det mulig?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 F11 Formlikhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 F12 To og tre dimensjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 F13 Å bygge klosser – i 2D og 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 F14 Plassering og bevegelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 F15 Papirbretting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 F16 Avbildninger og symmetrier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 F17 GeoGebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
G Måling
197
G1 Innledende måling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 G2 Vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 G3 Å bli bedre kjent med standardmåleenhetene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 G4 A4-arkets hemmeligheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 G5 Areal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 G6 Areal og omkrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 G7 Geobrett (spikerbrett). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 G8 Volum og overflate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 G9 Emballasje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 G10 Formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 G11 Sammensatte måleenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 G12 Måleusikkerhet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
H Algebra
237
H1 Dypdykk i partallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 H2 Utforskning av nettverk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 H3 Parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 H4 Logikken bak tabellene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 H5 Forestill deg at du zoomer inn og ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 H6 Zoom inn og ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 H7 Struktur i regneartene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 H8 Mønster på brett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6
H9 Overlappende mønstre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 H10 Tungekrøller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 H11 Minste felles multiplum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 H12 Tallenes multiplikative struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 H13 Tenke strategisk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 H14 Uten å regne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 H15 Uten å regne – dypdykk i rasjonale tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 H16 Algebraisk symbolspråk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 H17 Fem trinn til null. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 H18 Ninas utfordring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 H19 Nesten magisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 H20 Enkel programmering i Scratch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 H21 Trådproblemer (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 H22 Trådproblemer (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 H23 Blomsterrekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 H24 Teskjekjerringa på blåbærtur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 H25 Taxitur på Gjøvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 H26 Grafer på barnetrinnet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 H27 Utforskning av grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 H28 Proporsjonalitet gjennom hele skoleløpet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 H29 Systematisk søkelys på algebraisk tenkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 H30 Håndtrykkproblemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 H31 Et bredt repertoar av funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 H32 En læringsløype for algebraisk tenkning på barnetrinnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
I Statistikk
305
I1
Jeg ser, og jeg lurer – om å identifisere forskbare spørsmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
I2
Nysgjerrigper-konkurransen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
I3
Energibarer – planlegg og gjennomfør en undersøkelse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
I4
Planlegging og gjennomføring gjennom lærernes øyne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
I5
Lett for andre å lese – om å rapportere resultater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
I6
Om å lese av grafiske framstillinger av et datasett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
I7
Avgjørelser begrunnet med data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
I8
Nødvendige detaljer i rapporter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
I9
Sammenlikne datasett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
I10 Søvn er viktig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 I11 En profil for aktivitet?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 I12 Statistikk og bærekraftig utvikling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
7
I13 Sannheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 I14 Å sammenlikne datasett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 I15 Et eksperiment om plantenes vekst (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 I16 Et eksperiment om plantenes vekst (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 I17 De gode badestedene (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 I18 De gode badestedene (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 I19 De gode badestedene (III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 I20 Grønne fingre (I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 I21 Grønne fingre (II). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Litteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 Kopioriginaler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
9
Forord Bøkene i serien Tall og tanke er skrevet for lærere – både lærere som tar videreutdanning, lærerstudenter i lærerutdanning og lærere som på egen hånd vil se nye ideer og drøfte didaktiske og faglige problemer med sine kollegaer. Vi har fått mange oppfordringer om å lage en tilleggsbok til Tall og tanke 1 og 2. De to bøkene, som handler om matematikkundervisning på hhv. 1.–4. trinn og 5.–7. trinn, kombinerer innsikter fra matematikkdidaktisk forskning med konkrete eksempler på elevenes tenkning og lærernes strategier i arbeid med matematikk. Bøkene inneholder mange aktiviteter og oppgaver som egner seg godt til å jobbe med på egen hånd og så prøve ut i klasserommet. Lærere har ønsket seg en bok som inneholder enda flere aktiviteter og eleveksempler som egner seg for å prøve ut og diskutere. Denne boka er vårt svar på dette ønsket. I likhet med Tall og tanke 1 og 2 legger denne boka vekt på hvor sentral læreren er for elevenes læring. Før og under hver matematikktime gjør matematikklæreren en rekke valg som påvirker hvordan elevene ser på faget, og hvordan de ser på sitt eget forhold til faget. Bøkene gir inspirasjon til å legge til rette for et utforskende matematikkfag, hvor elever utvikler sine forståelser og sine egne og hverandres resonnementer og argumentasjon, og hvor de velger egnede representasjonsformer. Dette er perspektiver som er styrket i grunnskolens læreplaner gjennom kjerneelementene i Fagfornyelsen (LK20). Boka er organisert ut fra faglige temaer. Kapittel A skiller seg ut – hensikten med det korte kapitlet er å vise hvordan andre perspektiver, for eksempel kjerneelementene og de flerfaglige temaene, er innvevd i de andre kapitlene. Forfatterne har bidratt like mye til tekstene i boka som nå foreligger. I arbeidet med denne og de tidligere bøkene i serien Tall og tanke har en rekke lærere og elever bidratt. De har turt å prøve ut ideer og aktiviteter, de har delt, og de har latt oss bruke eleveksempler i boka. Dette har vært uhyre verdifullt for oss, og dette er vi veldig takknemlige for. Det er i dette samspillet med praksisfeltet at bøkene har vokst fram. Når lærere nå går i gang med å diskutere de spørsmålene vi har stilt gjennom boka, vil sikkert mange få gode ideer til ting vi også kunne ha spurt om, og andre perspektiver som kunne ha vært trukket inn. Ved utprøving i klasserommet vil det sikkert skje uventede ting. Vi er takknemlige for å få høre om erfaringer dere har med boka. Oslo, februar 2021 Bjørn Smestad, Elisabeta Eriksen og Ida Heiberg Solem
A
Bli kjent med boka
12
A1 Bli kjent med boka På disse to sidene går vi inn på noen av våre tanker bak boka, utformet som oppgaver. Vi tenker at det kan være fint å se på disse for å bli kjent med boka, men det kan også være interessant å komme tilbake til disse spørsmålene etter å ha utforsket boka ei stund.
A1.1 Alderstrinn Boka er rettet mot hele barnetrinnet. Naturligvis vil det være noen aktiviteter som egner seg bedre på noen klassetrinn enn på andre, men aktivitetene i denne boka kan ofte fungere like godt på mange ulike trinn. Vi har erfaring med at mange vil egne seg godt også på ungdomstrinnet. Se for eksempel på aktivitet E8.2. a) Vurder hvordan elever på ulike trinn vil tilnærme seg aktiviteten. Eksemplet er fra 7. trinn. Tenk over hvordan elever på andre trinn ville ha tilnærmet seg den samme utfordringen. b) Hvordan bør du tilpasse oppgaven for at den skal egne seg bedre på lavere eller høyere trinn? c) Hvilke av tilpasningene i b) kan du også gjøre for å tilpasse til mangfoldet innad i en klasse?
A1.2 Kjerneelementene Boka er organisert etter tradisjonelle matematiske temaområder, med de øvrige kjerneelementene i faget integrert i hvert tema. Vi er opptatt av at elevene skal beholde nysgjerrigheten de alltid har hatt, og utvikle seg som utforskende problemløsere gjennom hele skolegangen. Elevene skal få resonnere og argumentere om matematikkens indre mysterier, men også arbeide med hvordan man kan anvende matematikken for å forstå verden rundt oss bedre. Elevenes resonnementer og argumenter kan uttrykkes gjennom en mengde ulike representasjonsformer og måter å kommunisere på, og i boka er vi opptatt av å få tak i elevenes tankegang der utsagnene deres i første omgang kan være litt kryptiske for oss. Og ikke minst er vi opptatt av hvordan man kan ta et skritt videre: Nå har vi funnet ut dette, men hva hvis vi endrer på noe? Gjelder dette for alle tall? Se for eksempel på oppslaget H24. a) Vurder hvordan ulike kjerneelementer er i spill gjennom de ulike aktivitetene. b) Velg et kjerneelement og tenk over hvordan du vil jobbe med og eventuelt justere aktivitetene for å legge mest vekt på dette kjerneelementet.
A1.3 Lærernes valg Det er lærerne som gjennom sin tilrettelegging motiverer, utfordrer og støtter elevene. Matematikkundervisning innebærer kontinuerlige valg. Gjennom boka setter vi søkelys på de mange valgene lærerne gjør: Hvordan jobber du videre med denne eleven? Hvordan kan denne elevens forslag utnyttes til klassens beste? Det er også mange tilfeller hvor vi ikke eksplisitt stiller slike spørsmål, men hvor det likevel går an å gjøre slike vurderinger. Se for eksempel på aktivitet C1.2. a) Tenk gjennom hvilke valg du som lærer må gjøre underveis i arbeidet med aktiviteten. b) Tenk gjennom hvilke forberedelser du kan gjøre for å kunne gjøre hensiktsmessige valg under arbeidet med denne aktiviteten.
13
A1.4 Klassekultur Ulike klasser har ulike klassekulturer. Noen elevgrupper har ikke tro på at de kan arbeide med oppgaver hvor de ikke har lært en løsningsstrategi på forhånd. I andre klasser er det å stille spørsmål, svare feil, tørre å prøve seg og å forklare og begrunne en naturlig del av undervisningen. Vi vet at det kan ta flere måneder å snu en klassekultur – men vi vet også at det er mulig ved hjelp av systematisk arbeid. Se for eksempel på oppslag F4. a) Tenk gjennom hvilke av aktivitetene som egner seg å gå i gang med i en klasse som foreløpig er lite utforskende. b) Hva slags grep vil du gjøre som lærer for å utvikle kulturen – med bruk av disse aktivitetene?
A1.5 Høye kognitive krav Vi legger vekt på aktiviteter som stiller høye kognitive krav – altså hvor poenget ikke er å huske fakta eller bruke etablerte prosedyrer isolert, men å se kunnskap og prosedyrer i sammenheng og bruke disse matematisk. Se for eksempel på aktivitet B8.1. a) Hvilke elementer i aktiviteten er det som gjør at den stiller høye kognitive krav? b) Hva må du som lærer tenke på for å beholde de høye kognitive kravene gjennom arbeidet med denne aktiviteten?
A1.6 De tverrfaglige temaene I Fagfornyelsen er de tverrfaglige temaene folkehelse og livsmestring og demokrati og medborgerskap knyttet til matematikkfaget. I tillegg er bærekraftig utvikling et tverrfaglig tema hvor matematikk har viktige bidrag å komme med. a) Se på oppslag I10. Vurder hvordan disse aktivitetene kan inngå i et tverrfaglig tema om folkehelse og livsmestring. b) Se på oppslag I14.2. Vurder hvordan denne aktiviteten kan inngå i et tverrfaglig tema om demokrati og medborgerskap. c) Se på oppslag G11.4. Vurder hvordan denne aktiviteten kan inngå i et tverrfaglig tema om bærekraftig utvikling.
A1.7 Programmering Arbeid med programmering skal inngå i matematikkfaget. I denne boka er det noen eksempler på arbeid med programmering knyttet til geometri og tall, for eksempel E7.8. Men i mye av den andre matematikken som utforskes i boka, kan også programmering være et verktøy. Vurder hvordan programmering kan kobles til andre aktiviteter i boka, for eksempel D12.1.
B
Logiske resonnementer og slutninger
16
B1
Noe å tenke over
Diskuter utsagnene under og skriv ned deres argumenter. Sammenlikn argumentasjonen deres – har dere noen favoritter? Er det noe dere ville revidert?
B1.1 Om å tenke … Kan du tenke med lukkede øyne? Kan du lukke øynene uten å tenke? Kan du tenke uten å puste? Kan du puste uten å tenke? Kan du tenke uten å huske? Kan du huske uten å tenke? Kan du hoppe uten å tenke? Kan du tenke uten å hoppe?
B1.2 Ute av øye, ute av sinn …? Hvis du ikke kan se en ting lenger, er den da forsvunnet? Hvis du ikke kan se en ting lenger, eksisterer den likevel? Hvis du ikke kan se en ting lenger, kan du likevel forestille deg den? Kan du forestille deg noe som ikke eksisterer?
B1.3 Bevis …? Kan du bevise at du hører med ørene og ikke med øynene? Kan du bevise at du ser med øynene og ikke med ørene? Kan du bevise at skyene er nærmere jorda enn sola er?
B1.4 Er det en nødvendig sammenheng? Må en ball være rund? Må en blyant være til å skrive eller tegne med? Må man spise frokost før man spiser middag? Må det være sommer før det blir høst? Kommer dagen før eller etter natten? Kan man være først og sist på samme tid? Kan man være tung og lett på samme tid? Kan noe bli for mye og for lite samtidig? Må man være ute for å kunne gå inn? Må man være bak for å komme foran? Må man være nede for å komme opp? Må man være over for å komme under? Må man gå på skole for å lære å tenke? Må man tenke for å gå på skole? (delvis etter Solem & Reikerås, 2017)
17
B1.5 Elever diskuterer: «Er det en nødvendig sammenheng?» Tre elever på 7. trinn samtalte om noen av spørsmålene. Diskuter argumentasjonen deres: • • •
Er den overraskende? Hvilke utsagn gjelder det i så fall, og hvorfor? Er den holdbar? Har dere andre argumenter? Har dere motargumenter? Må en ball være rund? – Ja, fordi ellers klarer den ikke å trille like bra. – Og når den skal sprette, så spretter den feil veier og sånt. Må man spise frokost før man spiser middag? – Nei – man MÅ ikke spise frokost. – Og begge deler er jo mat – man kan jo spise rester fra middagen til frokost. Må det være sommer før det blir høst? – Nei, for når det var istid, var det vinter hele tida. – Og kanskje noen steder er det ikke høst. Kommer dagen før eller etter natten? – Begge deler. – Det spiller ingen rolle, for det kommer etter hverandre – Nei, natta kommer først, for når det begynner en ny dag, er det jo midt på natta. Kan man være først og sist på samme tid? – Ja, hvis du er i en konkurranse bare med deg selv. – Og hvis man for eksempel er i en mattekonkurranse, kan man være først til å løse en oppgave, men sist til å bli ferdig med alle. Kan man være tung og lett på samme tid? – Ja, man kan være lett i forhold til en elefant for eksempel og tung i forhold til en maur. – Ja og når man går – hvis man skal gå uti vannet, så blir man tung, men når man begynner å svømme, blir man lett. Kan noe bli for mye og for lite samtidig? – Ja, hvis ehm – du lager cookies og så har du for lite – så synes du at det smaker for lite sukker, men tannlegen synes det er for mye. Må man være ute for å kunne gå inn? – Eh nei, for hvis du er inne i et rom, så kan du gå inn i et annet rom. – Men – også ja, for hvis du er ute i gangen, så går du jo inn i et annet rom. Må man være nede for å komme opp? – Ja, for man kan ikke gå opp fra samme høyde. – Nei, ikke hvis du er – hvis du blir født som en fisk, så må du ikke være over vann for å komme under vann.
18
B2
Å trekke slutninger
B2.1
Når barn resonnerer
Maria, snart fire år, er ute på tur i parken. Hun stanser for å se på noen spurver som tripper omkring på bakken. Plutselig nærmer det seg en katt som gjør et raskt utfall mot fuglene. I samme øyeblikk letter fuglene og flyr i sikkerhet. Maria ser fra katten til fuglene som har satt seg i en busk lenger bort. Så kommer det: – Mamma. Fugler har vinger fordi det fins katter. Pio (5 år Pio: Onkel: Pio:
og fra Stavanger) diskuterer fotball med onkel (fra Haugesund): Viking er bedre enn Haugesund! Nei ... Haugesund vant over Viking 2–0. Jamen Viking er best fordi at Stabæk vant over Haugesund (1–0), og Viking vant over Stabæk 5–1! Derfor må Viking være best!
Marte (4 år) – en altfor tidlig søndagsmorgen i begynnelsen av oktober: Mamma, er det ikke jul snart? Mamma (i halvsøvne): Å nei, først må jo snøen komme. To morgener senere: Mamma, mamma – det er jul!! Marte da ... Jo – se, det snør! Drøft Marias, Pios og Martes resonnementer og slutninger: • Hva vil dere si om holdbarheten i deres resonnementer? • Hvordan vil dere møte barnas resonnementer, og hvordan spinne videre på dem?
B2.2 Er det en sammenheng?1 a) Mor til Ludvig: Kaniner er flinke til å hoppe. Ludvig: Jeg er også flink til å hoppe, så jeg er også en kanin! Hva kan være grunnlaget for Ludvigs konklusjon? Hvordan vil dere møte hans argumentasjon? Lag noen tilsvarende utsagn og drøft hvordan dere kan spille videre på dette sammen med elevene. b) Ellinor er glad i å spille fotball i friminuttene, og hver gang hun klarer å score, kommer hun hjem i godt humør. I dag kom Ellinor hjem i godt humør. Betyr det at hun har scoret? Begrunn. Hva forventer dere at elever i grunnskolen vil svare på dette spørsmålet? Hvordan vil dere arbeide videre med slike oppgaver med elevene? c) Petra og Pontus har en papegøye, Polly, som alltid nyser dagen før det kommer uvær. I dag nøs Polly. Pontus pekte på papegøyen og sa: I morgen får vi uvær! Det er vel ikke sikkert, svarte Petra. Hvem har rett? Begrunn. Lag en tilsvarende oppgave, bytt med hverandre og diskuter oppgave og konklusjon.
1
Inspirert av Burago (2013) og Rozhkovskaya (2014)
19
d) Martin, lærer, kommer med følgende påstand til sine elever: Alle sebraer har striper. Det viser seg at elevene trekker ulike slutninger på bakgrunn av lærerens utsagn. Fanny: Hvis et dyr har striper, da er det en sebra. Iben: Hvis et dyr har striper, kan det være at det er en sebra. Ailo: Hvis et dyr ikke har striper, kan det ikke være en sebra. Diskuter tankegangen bak de tre elevenes utsagn: Har noen av elevene rett? Og hvorfor eller hvorfor ikke? Lag en tilsvarende oppgave med forslag til elevutsagn. e) Neste dag kommer Martin med følgende påstand til sine elever: Alle dyr med tre hoder er smarte. Når dere nå vet dette, kan dere da finne ut hvilke av påstandene under som er sanne? • • •
Alle smarte dyr har tre hoder. Hvis et dyr ikke er smart, har det ikke tre hoder. Hvis et dyr ikke har tre hoder, er det ikke smart.
Hva tenker dere kan være mulige elevsvar her? Og hvorfor? Hvordan vil dere møte elevenes svar? f ) Ella Maria forteller elevene sine at det tvers over gaten for henne bor en dame som heter Merve. Og –, sier hun: Når det regner, bruker Merve alltid paraply. Fanny: Bruker hun aldri regnfrakk? Ole: Og gummistøvler? Ella Maria: Det vet jeg ikke, for det eneste jeg vet om Merve, er at hun bruker paraply når det regner. Fredrik: Dumt når det blåser. Ella Marie nikker: Nå har jeg skrevet noen påstander på tavla. Diskuter om noen av disse påstandene alltid er sanne. Svaret deres skal begrunnes. – Når Merve bruker paraply, regner det. – Når Merve ikke bruker paraply, regner det ikke. – Når det er sol, bruker ikke Merve paraply. – Når det ikke regner, bruker ikke Merve paraply. Gjør oppgaven selv – diskuter deres egen tenkning og egne resonnementer. Er vurderingene deres kun basert på lærerens utsagn – eller trekker dere inn erfaringer fra «dagliglivet»? Hva forventer dere at elever vil svare på denne oppgaven? Hvordan arbeider man med slike oppgaver med elevene?
20
B2.3 Hvis – så Under følger et sett med utsagn der de som står på samme linje, hører sammen. Dere skal avgjøre om det er noen sammenheng mellom disse to utsagnene. Stemmer det at hvis det ene utsagnet er sant, så er det andre utsagnet sant? Og omvendt? Konklusjonen skal gjelde i alle tilfeller. Et eksempel: Ellens tall er større enn 20.
Ellens tall er større enn 16.
Hvis Ellens tall er større enn 20, så er Ellens tall større enn 16?
Det stemmer.
Hvis Ellens tall er større enn 16, så er Ellens tall større enn 20?
Det stemmer ikke, Ellens tall kan f.eks. være 18.
Konklusjonene skal begrunnes. a)
Tromsø er en katt.
Tromsø er en gråstripete katt.
b)
Figuren har fire hjørner.
Figuren er et kvadrat.
c)
Sol har fire ben.
Sol er en katt.
d)
Sekken veier mindre enn 20 kg.
Sekken veier mer enn 10 kg.
e)
x2 = 25.
x = 5.
f)
Sarakka bor i Karasjok.
Sarakka bor i Norge.
g)
Summen av to terninger er 7.
Terningene viser 3 og 4.
h)
Amanda bor ikke i Svolvær.
Amanda bor ikke i Norge.
i)
Trude er yngre enn Yousef.
Yousef er eldre enn Trude.
j)
x = 2 + 8.
x = 10.
k)
Inge er død.
Inge puster ikke.
Drøft hvilke av oppgavene som ga dere størst utfordringer. Hvorfor? Lag noen tilsvarende oppgaver og bytt med hverandre.
21
B2.4 Kontrapositive slutninger Hvis Sarakka bor i Karasjok, så kan vi trekke den slutningen at Sarakka bor også i Norge. Derimot kan vi ikke slutte den omvendte veien: Hvis Sarakka bor i Norge, så bor hun ikke nødvendigvis i Karasjok. Hun kan like gjerne bo i Bodø eller i Flekkefjord eller … Men vi kan trekke en annen slutning, nemlig den at hvis Sarakka ikke bor i Norge, så bor hun ikke i Karasjok. Dette kalles den kontrapositive slutningen. a) Finn de kontrapositive slutningene til påstandene under: i)
Når Olav leser, bruker han briller.
ii)
Hvis x = 5, er x2 = 25.
iii)
Når Sira vasker huset, står radioen på.
iv)
Hvis firkanten er et rektangel, er alle vinklene like store.
v)
Når Ante sykler, bruker han hjelm.
vi)
Når bussen ikke går, kommer Camilla ikke på jobb.
vii)
Hvis x ikke er større enn 56, er x ikke større enn 81.
viii)
Hvis x2 ikke er lik 36, er x ikke lik 6.
ix)
Når Selina skal på jobb, sykler hun.
x)
Hvis Gerd ikke spiser opp middagen sin, får hun ikke dessert.
Velg deretter ut noen av utsagnene og drøft hvordan dere kan arbeide med slike slutninger på barnetrinnet. • Hvilke forventninger har dere til elevenes argumentasjon og begrunnelser? • Lag tilsvarende oppgaver selv og prøv dem ut. b) En kjent norsk (?) barnesang går slik: Min hatt den har tre kanter Tre kanter har min hatt Og har den ei tre kanter Da er den ei min hatt Vis at teksten faktisk inneholder en kontrapositiv slutning. c) Kan dere finne flere sanger, rim, regler som gjør bruk av tilsvarende slutninger? d) Prøv om dere kan lage en tekst selv.
