3 coll
مقدمة : أحيانا نصادف بعض التمارين العلمية الصعبة ألن المعطيات غير كافية ولدينا مجهولين أو أكثر نريد أن نحسب أحدهما بطريقة غير مباشرة ،لذلك سوف نحتاج النظمــــــــات .
.I
نظمة معادلتين من الدرجة األولى بمجهولين :
تعريف 𝑐 = 𝑦𝑏 𝑎𝑥 + الكتابة : 𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ 𝑦 = 𝑐′
{
تسمى نظمة معادلتين من الدرجة األولى بمجهولين وحلها هو
تحديد األزواج )𝑦 (𝑥,التي تتحقق معها المتساويتان معا.
.II
الحل الجبري لنظمة :
طريقة التعويض تعتمد هذه الطريقة على عزل أحد المجهولين في طرف لوحده في إحدى المعادلتين ،ويعوض عن قيمته في المعادلة األخرى . 𝑥 − 2𝑦 = 0 مثال :نعتبر النظمة 2𝑥 − 7𝑦 = 12
𝑦𝑥 = 2 4𝑦 − 7𝑦 = 12
{
𝑦𝑥 = 2 نعزل 𝑥 في المعادلة األولى { 2𝑥 − 7𝑦 = 12 𝑦𝑥 = 2 نعوض 𝑥 بقيمتها في الثانية 2(2𝑦) − 7𝑦 = 12
𝑦𝑥 = 2 يعني −3𝑦 = 12
{
)𝑥 = 2 × (−4 { 𝑦 = −4 {
يعني
𝑥 = −8 { 𝑦 = −4
نقول :النظمة تقبل حالً وحيداً هو الزوج )(−8, −4
طريقة التأليفة الخطية تسمى كذلك طريقة الحل بالحذف حيث تستخدم العمليات الحسابية مثل الضرب بمعامل الجمع والطرح لحذف أحد المجهولين . 𝑥 − 3𝑦 = 1 مثال :نعتبر النظمة 2𝑥 + 3𝑦 = 20
{
من أجل حذف المجهول 𝒙 : نضرب طرفي المعادلة األولى في المعامل −2وطرفي المعادلة الثانية في المعامل : 1 𝑥 − 3𝑦 = 1 { 1 × 2𝑥 + 3𝑦 = 20
×)(−2
www.hsaina.com
{
−2𝑥 + 6𝑦 = −2 2𝑥 + 3𝑦 = 20
فنحصل على
1
{
ثم نجمع المعادلتين طرفا ً بطرف فنحصل على −2𝑥 + 2𝑥 + 6𝑦 + 3𝑦 = −2 + 20 : يعني 9𝑦 = 18
إذن
𝑦=2
من أجل حذف المجهول 𝒚 : 𝑥 − 3𝑦 = 1 { ال نحتاج لضرب طرفي المعادلتين في معامل ألن المجهول 𝑦 له نفس المعامل وهو : 3 2𝑥 + 3𝑦 = 20
إذن يكفي بجمع المعادلتين طرفا بطرف فنحصل على 𝑥 + 2𝑥 − 3𝑦 + 3𝑦 = 1 + 20 : يعني 3𝑥 = 21إذن 𝑥 = 7 𝑥=7 وبالتالي 𝑦=2
.III
{ نقول :النظمة تقبل حالً وحيداً هو الزوج )(7; 2
الحل المبياني أو الهندسي لنظمة :
كل معادلة من النظمة مرتبطة بمستقيم يجب تحديد معادلته المختصرة وتمثيله 3𝑥 + 𝑦 = 10 . { مثال :حل مبيانيا النظمة −𝑥 + 2𝑦 = −1 الخطوة : 1إعزل 𝑦 في كلتا المعادلتين : 𝑦 = −3𝑥 + 10 2𝑦 = 𝑥 − 1
{
يعني
𝑦 = −3𝑥 + 10
{ 𝑥−1 =𝑦
𝑦 = −3𝑥 + 10
{ 1 1 𝑦= 𝑥−
يعني
2
2
2
الخطوة : 2مثل مبيانيا المستقيمين في نفس المعلم : ليكن ) (𝐷1المستقيم الذي معادلته (𝐷1 ) ∶ 𝑦 = −3𝑥 + 10 : 1 ليكن ) (𝐷2المستقيم الذي معادلته : 2
1 2
(𝐷2 ) ∶ 𝑦 = 𝑥 − ) (𝐷1
نختار بالنسبة ل ) (𝐷1نقطتين : 4 −2
3 1
3 1
1 0
5
𝑥 𝑦
نختار بالنسبة ل ) (𝐷2نقطتين : 𝑥 𝑦
y 6 4 3
) (𝐷2
2
J 7 x
6
5
4
3
2
-4 -3 -2 -1 O -1 -2
نالحظ مبيانيا أن ) (𝐷1و ) (𝐷2يتقاطعان في
-3
النقطة ذات اإلحداثيات )(3; 1
-4
إذن حل النظمة هو الزوج )(3; 1
-5
www.hsaina.com
2
.IV
مسألة :
واجب المشاركة في رحلة ترفيهية هو 200درهم للكبار و 150درهم للصغار ،شارك في الرحلة 35فردا فكان المبلغ اإلجمالي المحصل عليه هو 6250درهما . ماهو عدد المشاركين الكبار وعدد المشاركين الصغار في الرحلة ؟ لحل هذه المسألة نتبع الخطوات التالية : )1اختيار المجهولين : ليكن 𝑥 عدد المشاركين الكبار . و ليكن 𝑦 عدد المشاركين الصغار . )2صياغة النظمة : شارك في الرحلة 35فردا يعني 𝑥 + 𝑦 = 35 : واجب المشاركة في الرحلة هو 200درهم للكبار و 150درهم للصغار والمبلغ اإلجمالي المحصل هو 6250درهم يعني 200𝑥 + 150𝑦 = 6250 : 𝑥 + 𝑦 = 35 وبالتالي نحصل على النظمة : 200𝑥 + 150𝑦 = 6250
{
)3حل النظمة : لدينا
𝑥 + 𝑦 = 35 200𝑥 + 150𝑦 = 6250
{
𝑦 𝑥 = 35 − أي 200(35 − 𝑦) + 150𝑦 = 6250
يعني {
𝑦 𝑥 = 35 − 200 × 35 − 200 × 𝑦 + 150𝑦 = 6250
{
𝑦 𝑥 = 35 − 7000 − 200𝑦 + 150𝑦 = 6250
{
إذن
ومنه إذن
𝑦 𝑥 = 35 − { −200𝑦 + 150𝑦 = 6250 − 7000
𝑦 𝑥 = 35 − { −50𝑦 = −750 𝑦 𝑥 = 35 − −750 { =𝑦 −50 𝑥 = 35 − 15 { 𝑦 = 15 𝑥 = 20 { 𝑦 = 15
)4التحقق من المسألة : لدينا
20 + 15 = 35و 200 × 20 + 150 × 15 = 6250إذن الزوج ) (20; 15حل للنظمة.
)5الرجوع إلى المسألة : عدد المشاركين الكبار هو 20 :فرداً عدد المشاركين الصغار هو 15 :فرداً www.hsaina.com
3