3 coll
.I
المعادالت من الدرجة األولى بمجهول واحد :
تعريف كل عبارة رياضية تحتوي على رمز = تسمى متساوية . كل متساوية على شكل 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0تسمى معادلة من الدرجة األولى بمجهول واحد هو 𝑥 . مالحظة : حل المعادلة هو البحث عن جميع قيم 𝑥 إن وجدت .
الحالة : 1معادالت من نوع 𝑐 = 𝑏 𝑎𝑥 + حـــل المعـــــــــــــــــــــــــادالت التالية : −3𝑥 + 4 = 0 −3𝑥 = −4
لدينا يعني أن
لدينا
−4 −3 4 =𝑥 3
=𝑥
إذن ومنه وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو
4
5(𝑥 + 1) = 2𝑥 − 1 5𝑥 + 5 = 2𝑥 − 1 5𝑥 − 2𝑥 = −1 − 5 3𝑥 = −6 −6
=𝑥 3 وبالتالي المعادلة تقبل حل وحيد هو 𝑥 = −2 2𝑥 + 5 = 2(𝑥 + 1) + 3 لدينا 2𝑥 + 5 = 2𝑥 + 2 + 3 2𝑥 − 2𝑥 = 5 − 5 0𝑥 = 0 إذن مهما كان 𝑥 فإن 0 = 0 : وبالتالي جميع األعداد الحقيقية حلول لهذه المعادلة
3
3(2𝑥 − 1) = 6𝑥 + 7 لدينا 6𝑥 − 3 = 6𝑥 + 7 6𝑥 − 6𝑥 = 7 + 3 0𝑥 = 10 وهذا غير ممكن ألن 0 ≠ 10 وبالتالي المعادلة ال تقبل حل .
الحالة : 2معادالت من نوع (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 ) = 0 خاصية 𝑎 و 𝑏 عددان حقيقيان 𝑎 × 𝑏 = 0 :يعني 𝑎 = 0أو 𝑏 = 0
حـــل المعـــــــــــــــــــــــــادلتين التاليتين : لدينا تكافئ إذن
𝑥 2 − 7𝑥 = 0 لدينا 𝑥 (𝑥 − 7) = 0 يعني أن المعادلة تكافئ 𝑥 − 7 = 0أو 𝑥 = 0 𝑥 = 7أو 𝑥 = 0 إذن وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما 0و 7
(𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = 0 2𝑥 − 3 = 0أو 𝑥 + 1 = 0 3 = 𝑥 أو 𝑥 = −1 2
وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما − 1و
3 2 1
الحالة : 3معادالت تحتوي على كســــــــــــــــــور مالحظة :عموما ً لحل هذا النوع من المعادالت نوحد المقام . 𝑥−1
حل المعـــــادلة :
3
=
2𝑥+1 5
)3 × (2𝑥 + 1) = 5 × (𝑥 − 1 6𝑥 + 3 = 5𝑥 − 5 6𝑥 − 5𝑥 = −5 − 3 𝑥 = −8 إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو −8 𝑥−1
حل المعـــــادلة :
3
=−2
𝑥−1 )5×(𝑥−1 15
=
3 15×2 15
= −
2
−
2𝑥+1
5 1 )3×(2𝑥+1 15
6𝑥 + 3 − 30 = 5𝑥 − 5 6𝑥 − 5𝑥 = −5 − 3 + 30 𝑥 = 22 إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو 22
2𝑥+1 5
الحالة : 4معادالت من نوع 𝑎 = 𝑥 2 مالحظة :لحل هذا النوع من المعادالت تذكر المتطابقة )𝑏 . 𝑎2 − 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 −
خاصية إذا كان 𝟎 = 𝒂 المعادلة تقبل حالً وحيداً هو 𝟎 = 𝒙 إذا كان 𝟎 > 𝒂 المعادلة تقبل حلين هما 𝒂√ و 𝒂√− إذا كان 𝟎 < 𝒂 المعادلة ال تقبل حل . 𝑥 2 + 12 = 2 حل المعـــــادلة : 2 𝑥 = 2 − 12 𝑥 2 = −10 إذن المعادلة ال تقبل حل ألن 𝑥 2يكون دائما ً موجبا ً أو منعدما ً 𝑥 2 ≥ 0 حل المعـــــادلة :
(2𝑥 − 1 + 3)(2𝑥 − 1 − 3) = 0 (2𝑥 + 2)(2𝑥 − 4) = 0 2𝑥 − 4 = 0أو 2𝑥 + 2 = 0 −2 4 = 𝑥 أو 2 2
=𝑥
𝑥 = 2أو 𝑥 = −1 وبالتالي المعادلة تقبل حلين هما 2و −1
(2𝑥 − 1)2 − 9 = 0 (2𝑥 − 1)2 − 32 = 0
الحالة : 5حل معادلة بالتعميل إذا ماوجد عامل مشترك حل المعادلة 2𝑥(𝑥 + √2) − √3(𝑥 + √2) = 0 :
(𝑥 + 2)(7(𝑥 + 2)) − (𝑥 − 1) = 0
(𝑥 + √2)(2𝑥 − √3) = 0
(𝑥 + 2)(7𝑥 + 14 − 𝑥 + 1) = 0
𝑥 + √2 = 0
(𝑥 + 2)(6𝑥 + 15) = 0
2𝑥 − √3 = 0 √3
2
أو
= 𝑥 أو
−15 6
𝑥 = −√2
حل المعادلة7(𝑥 + 2)2 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) :
=𝑥
أو
إذن المعادلة تقبل حلين هما − 2و 2
𝑥 = −2 −15 6
الحالة : 6حل معادلة بالنشر إذا لم يوجد عامل مشترك حـل −4(2𝑥 + 1) + 𝑥 = 2(−𝑥 + 5) : 𝑥 (𝑥 + 3) = 𝑥 2 − 15 حل المعادلة : 𝑥 2 + 3𝑥 = 𝑥 2 − 15
−8𝑥 − 4 + 𝑥 = −2𝑥 + 10
𝑥 2 − 𝑥 2 + 3𝑥 = −15
−8𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 = 10 + 4
−15 3
−5𝑥 = 14
=𝑥
14 14 =− −5 5
𝑥 = −5
إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو
إذن المعادلة تقبل حل وحيد هو −5
المســـــألة المرتبطة بالمعادلة :
14 5
=𝑥
−
لحل مسألة نتبع الخطوات التالية : )1 )2 )3 )4 )5
قراءة المسألة بتمعن وتأكد أن المعطيات كافية وفي عالقة في ما بينهم مثل (أحدهم يمثل الضعف- النصف -الربع -السدس – نفس -يزيد عن – ينقص عن ) .....بالنسبة للمعطى األخر. اختيار المجهول 𝑥 من السؤال المطروح . استغالل معطيات نص المسالة وصياغة معادلة . حل المعادلة . التحقق من منطقية الحل .
يصرف أستاذ نصف أجرته في الكراء والمأكل والمشرب ،وثلثها يرسله إلى أمه وسبعها في اللباس والتنقل ويوفر بأعجوبة . 150 𝑑ℎفما هي أجرتــــــه الشهرية ؟ اختيار المجهول :ليكن 𝑥 أجرة هذا األستاذ الشهرية . صياغة المعادلة : بما أن نصف األجرة يصرفه في الكراء والمأكل والمشرب هذا يمثل والثلث يرسله إلى أمه هذا يمثل
𝑥 3
والسبع يصرفه في اللباس والتنقل هذا يمثل ويوفر . 150 𝑑ℎ
𝑥 7
إذن مجموع المصاريف زائد ما يوفر يساوي أجرته الشهرية . إذن المعادلة هي + 150 = 𝑥 : حل المعادلة :المعادلة تكافئ
𝑥 1
𝑥 7
=
+
𝑥 3
150 1
+ +
𝑥 2 𝑥 7
+ 3
𝑥 3
+
𝑥 2
𝑥 2
𝑥 × 21 × 𝑥 14 × 𝑥 6 × 𝑥 42 × 150 42 + + + = 21 × 2 14 × 3 6 × 7 42 × 1 42 × 1 𝑥21𝑥 14𝑥 6𝑥 6300 42 + + + = 42 42 42 42 42 𝑥21𝑥 + 14𝑥 + 6𝑥 + 6300 = 42 𝑥41𝑥 + 6300 = 42 41𝑥 − 42𝑥 = −6300 −𝑥 = −6300 𝑥 = 6300 الرجوع إلى المسألة والتحقق من الحل :إذا كان 𝑥 = 6300فإن : + 150 = 3150 + 2100 + 900 + 150 = 6300
6300 7
+
6300 3
+
6300 2
وبالتالي أجرة هذا األستاذ الشهرية هي 6300 𝑑ℎ مســـــــألة :اإلمتحان الجهوي لجهة مكناس-تافياللت دورة يونيو . 2014 حدد عدد تالميذ ثانوية إعدادية إذا علمت أن نصفهم يدرسون بمستوى األولى األعدادي ،وربعهم بمستوى الثانية و 70تلميذاً يدرسون بمستوى الثالثة إعدادي .
.II
المتراجحات من الدرجة األولى بمجهول واحد :
تعريف المتراجحة أو المتباينة هي جملة رياضية تضم > ; ≥ ; < ; ≤ ; ≠. المتراجحة 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0تسمى متراجحة من الدرجة األولى بمجهول واحد . مالحظة : حل المتراجحة هو أي قيمة ل 𝑥 تجعل المتراجحة صحيحة . على سبيل المثال − 2 :و − 1و 0 على سبيل المثال − 1 :و 0
و 1و 70 000هي حلول للمتراجحة 𝑥 ≥ −2
و 1و 70 000هي حلول للمتراجحة 𝑥 > −2
تمثيل حلول متراجحة على مستقيم مدرج : 𝑥 ≥ −2 x
2
x
2
1
0
-1
-2
𝑥 ≤ −2 0
-3
-1
-2
𝑥 < −2
𝑥 > −2 1
0
-1
-3
-4
-5
x -6
-2
0
-3
4
-1
-2
-3
-4
-5
x -6
الحالة : 1إذا كان 𝑎 > 0فإن حلول المتراجحة 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0هي 4𝑥 − 5 ≤ 2𝑥 + 3
حل المتراجحة :
3(𝑥 − 1) > 𝑥 + 5
حل المتراجحة :
4𝑥 − 2𝑥 ≤ 3 + 5
3𝑥 − 3 > 𝑥 + 5
2𝑥 ≤ 8
3𝑥 − 𝑥 > 5 + 3
≤𝑥
2𝑥 > 8
8 2
𝑥>4
𝑥≤4
إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األكبر قطعا ً من 4
إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األكبر أو تساوي 4
الحالة : 2إذا كان 𝑎 < 0فإن حلول المتراجحة 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0هي 2𝑥 − 6 ≥ 7𝑥 − 1
حل المتراجحة :
𝑏− 𝑎
<𝑥
إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األصغر قطعا ً من −6
2𝑥 − 7𝑥 ≥ −1 + 6
نزل − 5وأقلب الرمز
>1
حل المتراجحة :
−5𝑥 ≥ 5 5 −5
𝑏− 𝑎
> 𝑥 نقلب الرمز
≤𝑥
نوحد المقام
𝑥 ≤ −1
6 6
>
𝑥3−4 3
)𝑥2(3−4 6
+
+
𝑥 2
𝑥3 6
3𝑥 + 6 − 4𝑥 > 6
إذن حلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األصغر أو تساوي −1
3𝑥 − 4𝑥 > 6 − 6
𝑥
بما أن
−𝑥 > 0
فإن
𝑥<0
>2
حل المتراجحة :
𝑥 < −3 × 2 −3
−3
× −3
إذن الحلول المتراجحة هي مجموعة األعداد األصغر قطعا ً من 0
𝑥 < −6
الحالة : 3متراجحات التقبل حل 𝑥
حل المتراجحة :
6 𝑥 6
≥
≥
𝑥+1 2
)3(𝑥+1 6 𝑥 6
≥
الحالة : 4متراجحات لها ما النهاية من الحلول
−
−
حل المتراجحة 5(2𝑥 − 1) − 7𝑥 < 3(𝑥 + 1) :
2𝑥−5 3
10𝑥 − 5 − 7𝑥 < 3𝑥 + 3
)2(2𝑥−5
10𝑥 − 7𝑥 − 3𝑥 < 3 + 5
6
0𝑥 < 8
4𝑥−10−3𝑥−3 6
وهذا ممكن ألن مهما كان 𝑥 فإن 0 < 8
4𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 ≥ 10 + 3 وهذا غير ممكن ألن 0 ≤ 13
إذن المتراجحة لها ما ال نهاية من الحلول .
0𝑥 ≥ 13
إذن المتراجحة ليس لها حل 5
โ ซุงู ู ุณู ู ู ู ู ุฃู ุฉ ุงู ู ุฑุชุจุทุฉ ุจุงู ู ุชุฑุงุฌุญุฉ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซู ู ู ู ุงู ุญู ุงู ุช ู ู ุชุฑุญ ุงู ุตู ุบุชู ู ุงู ุชุงู ู ุชู ู ู ู ุฑุงุก ุงุฃู ู ุงู ู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุตู ุบุฉ ุงุฃู ู ู ู โ ช 100๐ โ :โ ฌุฅุถุงู ุฉ ุฅู ู โ ช 30๐ โ โ ฌู ู ุณุงุนุฉ ุงู ู ุงุญุฏุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุตู ุบุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ โ ช 200๐ โ :โ ฌุฅุถุงู ุฉ ุฅู ู โ ช 20๐ โ โ ฌู ู ุณุงุนุฉ ุงู ู ุงุญุฏุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )1โ ฌุชุฑู ุฏ ุงุณุชุบุงู ู ุงุฃู ู ุงู ู ู ู ุฏุฉ โ ช 6โ ฌุณุงุนุงุช ุฃู ุงู ุตู ุบุชู ู ุชุฎุชุงุฑ ุ โ ฌ โ ซโ ช )2โ ฌุญุฏุฏ ุนุฏุฏ ุงู ุณุงุนุงุช ุงู ู ู ู ู ุฉ ุจุญู ุซ ุชู ู ู ู ู ุตู ุบุชู ู ุงู ู ู ุชุฑุญุชู ู ู ู ุณ ุงู ู ู ู ุฉ ุ โ ฌ โ ซโ ช )3โ ฌุญุฏุฏ ุนุฏุฏ ุงู ุณุงุนุงุช ุงู ู ู ู ู ุฉ ุจุญู ุซ ุชู ู ู ุงู ุตู ุบุฉ ุงุฃู ู ู ู ุฃู ู ู ู ู ุฉ ุ โ ฌ
โ ซู ุงู ุญุธุฉ โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซุนู ุฏู ุง ู ุณุชุฎุฏู ุชุนุจู ุฑุงู ู ุซู (ุนู ู ุงุฃู ู ู โ ุฃู ุซุฑ ู ู โ ุฃู ุถู โ ุฃุฏู ู โ ุฃู ุตู โ ช ) ...โ ฌู ุฅู ู ุง ู ุชู ู ู ุนู ู ุชุฑุงุฌุญุฉ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช )1โ ฌู ู ู ู ๐ ฅ ุนุฏุฏ ุงู ุณุงุนุงุช ุฅุฐู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุตู ุบุฉ โ ช 1โ ฌู ู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช30๐ ฅ + 100 = 30 ร 6 + 100 = 280 ๐ โ โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุตู ุบุฉ โ ช 2โ ฌู ู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช20๐ ฅ + 200 = 20 ร 6 + 200 = 320 ๐ โ โ ฌโ ฌ
โ ซุจู ุง ุฃู โ ฌ
โ ซโ ช 280๐ โ < 320๐ โ โ ฌุฅุฐู ุณุฃุฎุชุงุฑ ุงู ุตู ุบุฉ โ ช1โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช )2โ ฌุชู ู ู ู ู ุตู ุบุชู ู ู ู ุณ ุงู ู ู ู ุฉ ุฅุฐุง ู ุงู โ ช30๐ ฅ + 100 = 20๐ ฅ + 200 :โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช30๐ ฅ โ 20๐ ฅ = 200 โ 100โ ฌโ ฌ โ ซู ุนู ู ุฃู โ ช10๐ ฅ = 100โ ฌโ ฌ โ ซุฅุฐู โ ฌ
โ ซโ ช100โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= 10โ ฌโ ฌ โ ซโ ช10โ ฌโ ฌ
โ ซ=๐ ฅโ ฌ
โ ซุงู ุชุญู ู ู ู ุงู ู ุนุงุฏู ุฉ โ ช :โ ฌุฅุฐุง ู ุงู โ ช ๐ ฅ = 10โ ฌู ุฅู ุชู ู ู ุฉ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุตู ุบุฉ โ ช 1โ ฌู ู โ ช = 30 ร 10 + 100 = 400 ๐ โ :โ ฌุงู ู ุจู ุบโ ฌ โ ซุงู ุตู ุบุฉ โ ช 2โ ฌู ู โ ช = 20 ร 10 + 200 = 400 ๐ โ :โ ฌุงู ู ุจู ุบโ ฌ
โ ซู ุจุงู ุชุงู ู ุนุฏุฏ ุงู ุณุงุนุงุช ู ุชู ู ู ู ู ุตู ุบุชู ู ู ู ุณ ุงู ู ู ู ุฉ ู ู โ ช. 10โ ฌโ ฌ โ ซโ ช )3โ ฌุชู ู ู ุงู ุตู ุบุฉ โ ช 1โ ฌุฃู ู ุชู ู ู ุฉ ู ู ุงู ุตู ุบุฉ โ ช ุ 2โ ฌุฅุฐุง ู ุงู โ ฌ โ ซู ุนู ู ุฃู โ ฌ
โ ซุฅุฐู โ ฌ โ ซู ู ู ู โ ฌ
โ ซโ ช30๐ ฅ + 100 < 20๐ ฅ + 200โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช30๐ ฅ โ 20๐ ฅ < 200 โ 100โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช10๐ ฅ < 100โ ฌโ ฌ โ ซโ ช๐ ฅ < 10โ ฌโ ฌ
โ ซุฅุฐู ุณุชุตุจุญ ุงู ุตู ุบุฉ โ ช 1โ ฌุฃู ู ู ู ู ุฉ ู ู ุงู ุตู ุบุฉ โ ช 2โ ฌุนู ุฏู ุง ู ู ู ู ุนุฏุฏ ุณุงุนุงุช ุงุณุชุบุงู ู ุงุฃู ู ุงู ู ุฃู ู ู ู โ ช 10โ ฌุณุงุนุงุชโ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ