3 coll
الجزء األول :الدالة الخطية :
غالبا ً ما نسمع العبارات التالية : الطاقة المستهلكة بداللة مدة اإلشتغال . الضغط الجوي بداللة اإلرتفاع . أجرة العامل بداللة ساعات العمل . المسافة المقطوعة بداللة المدة . تعريف 𝑎 عدد حقيقي معلوم . العالقة 𝑓 التي تربط كل عدد حقيقي 𝑥 بالعدد الحقيقي 𝑥𝑎 تسمى دالة خطية معاملها 𝑎 ونكتب 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 : العدد 𝑥𝑎 يسمى صورة العدد 𝑥 بالدالة 𝑓 .
مثال : 1 كان معدل الوالدات في عام 2016على مستوى العالم ،أربعة مواليد تقريبا ً كل ثانية )𝑠( .كون جدوالً وأوجد تعبير الدالة . مثال : 2أمثلة لبعض الدوال الخطية : 𝑥𝑓 (𝑥 ) = 3
و
𝑥𝑔(𝑥 ) = 0
1 𝑥 و 2 𝑥𝑓(𝑥 ) = 2
3 12
4 16
1 4
2 8
𝑠 ) 𝑠( 𝑓
إذن تعبير الدالة هو 𝑓 (𝑠) = 4𝑠 : = ) 𝑥(ℎ
𝑥𝑢(𝑥 ) = −
و
مثال : 3لتكن 𝑓 الدالة الخطية المعرفة ب : )1أحسب )𝑓(−1) 𝑓(0 )2حدد صورة العدد 3بالدالة 𝑓 ( أي )) 𝑓(3 )3حدد العدد 𝑥 الذي صورته بالدالة 𝑓 هي العدد −8 الحــــل : )1لدينا 𝑥 𝑓(𝑥 ) = 2إذن 𝑓 (0) = 2 × 0 = 0و 𝑓(−1) = 2 × (−1) = −2 )2العدد هو 𝑥 و الصورة هي ) 𝑥(𝑓 إذن 𝑓(3) = 2 × 3 = 6إذن صورة 3بالدالة𝑓 هي 6 )3لنحل المعادلة 𝑓(𝑥 ) = −8 :إذن
−8 2𝑥 = −8ومنه : 2
=𝑥
وبالتالي
خاصية إذا كانت 𝑓 دالة خطية و 𝑥 عدد حقيقي غير منعدم ،فإن : )𝑥(𝑓 معامل الدالة 𝑓 هو العدد الحقيقي : 𝑥
مثال :
=𝑎
نعتبر الدالة الخطية بحيث . 𝑓(2) = 6 :بين أن 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 :
𝑓(𝑥) 𝑓(2) 6 = الحــــل :بما أن الدالة 𝑓 خطية إذن معاملها هو = = 3 𝑥 2 2
=𝑎
وبما أن صيغة الدالة الخطية تكتب على الشكل 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 :فإن 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 : 1
𝑥 = −4
التمثيل المبياني لدالة خطية : خاصية في معلم )𝐽 ;𝐼 ;𝑂( ،التمثيل المبياني لدالة خطية هو مستقيم يمر من أصل المعلم 𝑂
مثال :
−2 لتكن 𝑔 الدالة الخطية المعرفة ب 𝑥 : 3
= ) 𝑥(𝑔
)1أحسب )𝑔(3 y
)2أنشئ التمثيل المبياني للدالة 𝑔 في معلم متعامد ممنظم )𝐽 ;𝐼 ;𝑂( الحــــل )1 :لدينا إذن
−2 𝑥 3
−2 × 3 = −2 3
4
= ) 𝑥(𝑔
3
) 𝑔𝐶(
2
= )𝑔(3
J
)2لدينا 𝑔(3) = −2
x
5
4
3
2
I
O
-1
-2
-3
-4
-1
ومنه التمثيل المبياني للدالة 𝑔 عبارة عن مستقيم
-2
يمر من النقطتين ) 𝐴(3; −2و ) 𝑂(0; 0أصل المعلم .
A -3 -4
الجزء الثاني :الدالة التآلفية : تعريف
𝑎 و 𝑏 عددان حقيقيان معلومان . العالقة 𝑓 التي تربط كل عدد حقيقي 𝑥 بالعدد الحقيقي 𝑏 𝑎𝑥 +تسمى دالة تآلفية معاملها 𝑎 ونكتب 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏 : العدد 𝑏 𝑎𝑥 +يسمى صورة العدد 𝑥 بالدالة 𝑓 . مثال : 1أمثلة لبعض الدوال التآلفية : 3 ℎ(𝑥 ) = −2𝑥 − 2 و 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 − 1 و 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 − 3 2 مثال : 2يصل ارتفاع نبتة إلى 𝑚𝑐 4وينمو 𝑚𝑐 2كل يوم . )1أكتب دالة تعبر عن المسألة ؟ )2توقع طول النبتة بعد مرور 8أيام ؟ الحــــل : )1لدينا معامل الدالة (معدل التغيراليومي) هو 𝑚𝑐 𝑎 = 2والطول األصلي للنبتة هو 𝑚𝑐 𝑏 = 4 إذن المسألة عبارة عن دالة تآلفية صيغتها هي 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 + 4 : )2لدينا 𝑥 هو عدد األيام إذن طول النبتة بعد 8أيام هو )𝑓(8 إذن 𝑓(8) = 2 × 8 + 4 = 16 + 4 = 20 : وبالتالي طول النبتة بعد 8أيام هو 20 𝑐𝑚 : 2
مثال : 3لتكن 𝑔 دالة تآلفية بحيث 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥 − 4 : )1أحسب ) 𝑔(0و )𝑔(1 )2أحسب صورة العدد 2بالدالة 𝑔 )3حدد العدد الذي صورته 6بالدالة 𝑔 الحــــل : 𝑔(1) = 2 × 1 − 4 = 2 − 4 = −2 و 𝑔(0) = 2 × 0 − 4 = −4 )1 𝑔(2) = 2 × 2 − 4 = 4 − 4 = 0 إذن )2لدينا 𝑔(𝑥 ) = 2𝑥 − 4 2𝑥 = 6 + 4 )3لدينا 𝑔(𝑥 ) = 6إذن 2𝑥 − 4 = 6ومنه يعني أن خاصية
10 2
=𝑥
𝑥=5
وبالتالي العدد هو
𝑓 دالة تآلفية و 𝑥1و 𝑥2عددان حقيقيان : معامل الدالة 𝑓 هو :
)𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2 𝑥1−𝑥2
مثال 𝑓 :دالة تآلفية بحيث :
=𝑎
𝑓 (1) = 5
𝑓(0) = 3
و
)1حدد معامل الدالة 𝑓 )2حدد صيغة الدالة ) 𝑥(𝑓 الحــــل : 𝑓(1)−𝑓(0) 5−3 = )1لدينا 𝑓 دالة تآلفية إذن = 2 1−0 1−0
=𝑎
وبالتالي معامل الدالة 𝑓 هو 𝑎 = 2 :
)2لدينا 𝑓 دالة تآلفية إذن صيغتها تكتب على الشكل 𝑓(𝑥 ) = 𝑎𝑥 + 𝑏 : لنحدد العدد الحقيقي 𝑏 :بما أن 𝑓(0) = 3
إذن
إذن 𝑏 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 +
𝑓(0) = 2 × 0 + 𝑏 = 3
إذن 𝑏 = 3و 𝑎 = 2وبالتالي صيغة الدالة 𝑓 هي 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 + 3 :
لتمثيل المبياني لدالة تآلفية : تعريف التمثيل المبياني لدالة تآلفية هو مستقيم يمر من نقطتين )) 𝐴(𝑥1 ; 𝑓(𝑥1و )) 𝐵(𝑥2 ; 𝑓(𝑥2
مثال :
نعتبر الدالة التآلفية 𝑓 بحيث 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 − 1 :
والنقطتين ))𝐴(0; 𝑓(0
y 4 B
و )). 𝐵(2; 𝑓(2
3 2
أحسب ) 𝑓(0و ) 𝑓(2وأنشئ المستقيم )𝐵𝐴( التمثيل المبياني للدالة 𝑓 الحــــل : 𝑓(0) = 2 × 0 − 1 = 0 − 1 = −1
إذن
)𝐴(0; −1
𝑓(2) = 2 × 2 − 1 = 4 − 1 = 3
إذن
)𝐵(2; 3 3
J
x
3
2
I
-1 O -1 A -2 -3 -4
-2