3 coll
مقدمة : المصريون القدامى هم أول من استخدم الحساب المثلثي لبناء األهرامات والمعابد الفرعونية ولدراسة الفلك وحساب المسافات الجغرافية وقياس زوايا اإلرتفاع واإلنخفاض .
.I
النسب المثلثية لزاوية حادة :
تعريف في مثلث ABCقائم الزاوية في ، Aالنسب المثلثية للزاوية 𝐵 𝐶𝐴 هي :
النسبة
𝐵𝐴
𝐶𝐵
بتعبير آخر النسبة
𝐶𝐴 𝐶𝐵
بتعبير آخر النسبة
𝐵𝐴 𝐶𝐴
بتعبير آخر
تسمى جيب الزاوية 𝐵 𝐶𝐴 ونرمز لها ب 𝐵 𝐶𝐴 𝑛𝑖𝑠 الضلع المقابل ل ̂ 𝐶 𝐵𝐴 = 𝐶𝐵 الوتــــــــــــــــر
C
= 𝐵 𝐶𝐴 𝑛𝑖𝑠
تسمى جيب تمام الزاوية 𝐵 𝐶𝐴 ونرمز لها ب 𝐵 𝐶𝐴 cos الضلع المحاذي ل ̂ 𝐶 𝐶𝐴 = 𝐵 𝐶𝐴 cos = 𝐶𝐵 الوتــــــــــــــــر
تسمى ظل الزاوية 𝐵 𝐶𝐴 ونرمز لها ب 𝐵 𝐶𝐴 tan الضلع المقابل ل ̂ 𝐶 𝐵𝐴 = الضلع المحاذي ل ̂ 𝐶𝐴 𝐶
A
B
= 𝐵 𝐶𝐴 tan
مثال :
C
ABCمثلث قائم الزاوية في Aبحيث : 𝑚𝑐 AB = 3و 𝑚𝑐 AC = 4و 𝑚𝑐 BC = 5 أحسب النسب المثلثية للزاوية 𝑪 ̂ 𝑩𝑨 : أ -لنحسب 𝐶̂𝐵𝐴 𝑛𝑖𝑠 : ̂
= 𝐴𝐶 = 4 = 0,8الضلع المقابل ل 𝐵 = 𝐶̂ 𝐵𝐴 sin الوتــــــــــــــــر 𝐶𝐵 5 ب -لنحسب 𝐶̂𝐵𝐴 : cos ̂
= 𝐴𝐵 = 3 = 0,6الضلع المحاذي ل 𝐵 = 𝐶̂ 𝐵𝐴 cos الوتــــــــــــــــر 𝐶𝐵 5 ت -لنحسب 𝐶̂𝐵𝐴 : tan ̂
= 𝐴𝐶 = 4 = 1,33الضلع المقابل ل 𝐵 = 𝐶̂ 𝐵𝐴 tan الضلع المحاذي ل ̂𝐵 𝐵𝐴 3 www.hsaina.com
1
B
A
مالحظة :
☆ ☆
الوتر هو أكبر ضلع في المثلث القائم الزاوية ويكون مقابل للزاوية القائمة .
إذا كان 𝛼 قياس زاوية حادة ) (0° < 𝛼 < 90°فإن : 0 < sin 𝛼 < 1و 0 < cos 𝛼 < 1الحظ ذلك في المثال ) أ( و )ب( أعاله
.II
عال قات بين النسب المثلثية لزاوية حادة :
خاصية 1 إذا كان 𝛼 قياس زاوية حادة فإن : 𝛼 sin و = 𝛼 tan 𝛼 cos
sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1
مثال : 2
αقياس زاوية حادة بحيث :
3
= 𝛼 cos
أحسب 𝜶 𝐧𝐢𝐬 و 𝜶 𝐧𝐚𝐭 لنحسب 𝛼 : sin sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 نعلم أن 𝛼 sin2 𝛼 = 1 − cos2
إذن 4 9
2 2 3
=1−( ) =1− 5 9 5
إذن
√ = 𝛼 √sin2وبالتالي
√5
3
5 9
= √ = 𝛼 sin
لنحسب 𝛼 : cos 𝛼 sin 𝛼 cos
نعلم أن
إذن
= 𝛼 sin2
9 5 9
=
9−4 9
=
√5
2
وبالتالي
3 2
= × √5 2
www.hsaina.com
وبما أن 0 < sin 𝛼 < 1
= 𝛼 tan √5
3
إذن يمكن أن ندخل الجذر
√5
=
3 2 3
عليها من أجل التخلص
= 𝛼 tan
من المربع ألنها موجبة
= 𝛼 tan
2
خاصية 2 إذا كان αو βقياسي زاويتين حادتين متتامتين أي α + β = 90°فإن : 1
𝛽 sin 𝛼 = cos 𝛼 sin 𝛽 = cos
𝛽 tan 1
و
𝛼 tan
= 𝛼 tan = 𝛽 tan
www.hsaina.com
أمثلة : sin 70° = cos 20°
1 tan 75°
sin 80° = cos 10°
1 𝑡𝑎𝑛 79°
cos 30° = sin 60°
= 𝑡𝑎𝑛 15° = tan 11°
cos 45° = sin 45° أحسب مايلي 𝐴 = cos2 30° + cos 10° + tan 20° × tan 70° + sin2 60° − sin 80° :
.III
إليجاد الزاوية 𝛼 بحيث sin 𝛼 = 1
جدول النسب المثلثية لزوايا خاصة :
90° 1
60° √3 2 1 2
45° √2 2 √2 2 1
30° 1 2
0° 0
α 𝛼 sin
1
𝛼 cos
باستخدام اآللة الحاسبة إضغط بالترتيب على shift
لتشاهد على الشاشة 90°
0 √3 2 غير 𝛼 tan 0 √3 √3 معروف 3 تطبيق :إذا كنت تسكن بالقرب من المطار وشاهدت طائرة تحلق على ارتفاع 𝑚 1000وقمت بتقدير زاوية إرتفاعها فكانت . 30° أحسب 𝑑 مسافة بعد الطائرة عن مكان الهبوط ؟
الحـــــــــل :
1000 لدينا 𝑑
= sin 30°
1000 1000 2 × = 1 = 1000 إذن 𝑠𝑖𝑛 30° 1
www.hsaina.com
=𝑑
2
وبالتالي
ثم
Sins
ثم
𝑚𝑘 𝑑 = 2000𝑚 = 2
3
1