3 coll
.I
المعادلة المختصرة لمستقيم :
تعريف 𝑝 𝑦 = 𝑎𝑥 + المعادلة المختصرة لمستقيم )𝐷( هي : 𝑎 :يسمى الميل أو المعامل الموجه أو معدل التغير. : pيسمى األرتوب عند األصل.
مثال : (𝐷) ∶ y = 2𝑥 − 3 هي معادلة مختصرة للمستقيم )𝐷( الدي ميله 𝑎 = 2 و أرتوبه عند األصل هو 𝑝 = −3 (∆): 𝑦 = −𝑥 هي معادلة مختصرة للمستقيم )∆( الدي ميله 𝑎 = −1 y
و أرتوبه عند األصل هو 𝑝 = 0
4
حالة خاصة :
3
(𝐷): 𝑦 = 2 هي معادلة للمستقيم )𝐷( المار بالنقطة )𝐴(0; 2
2
J
و يوازي محور األفاصيل. (∆): 𝑥 = 1 هي معادلة للمستقيم )∆( المار بالنقطة )𝐼(1; 0
4 x
3
و يوازي محور األراتيب.
.II
2
I
)∆(
-3 -2 -1 o -1 -2 -3
إنشاء مستقيم معرف بمعادلته :
نعتبر المستوى المنسوب الى المعلم م.م )𝑗 (𝑜. 𝑖. لننشئ المستقيم )𝐵𝐴( الدي معادلته (𝐴𝐵): 𝑦 = −2𝑥 + 3 :
بحيث ) 𝐴𝑦 ; 𝐴(1و ) 𝐵𝑦 ;𝐵(2
y
3
نعوض أفصول 𝐴 و 𝐵 في معادلة المستقيم )𝐵𝐴(
2
𝑦𝐴 = −2 × 1 + 3 = −2 + 3 = 1
A
𝑦𝐵 = −2 × 2 + 3 = −4 + 3 = −1 )𝐴(1; 1 )𝐵(2; −1
𝑦 1 −1
)𝐷(
x
𝑥 1 2
4
2
3 B
1
1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
1
.III
تحديد معادلة مستقيم :
خاصية إدا كانت ) 𝐴𝑦 ; 𝐴𝑥(𝐴 و ) 𝐵𝑦 ; ; 𝐵𝑥(𝐵 نقطتين بحيث 𝐴𝑦𝑦𝐵 − 𝐴𝑥𝑥𝐵 −
فإن ميل المستقيم ) 𝐵𝐴( هو :
𝐵𝑥 ≠ 𝐴𝑥
=𝑎
مثال : لتكن ) 𝐴(−1; −3و )𝐵(−4; 0 (1حدد ميل المستقيم )𝐵𝐴( . (2حدد المعادلة المختصرة للمستقيم )𝐵𝐴( .
الحل : 0+3
)0−(−3
= −4−(−1) = −4+1
(1
𝐴𝑦𝑦𝐵 − 𝐴𝑥𝑥𝐵 −
=𝑎
3 3 = − = −1 −3 3
=
(2لدينا المعادلة المتختصرة ل )𝐵𝐴( تكتب على شكل (𝐴𝐵): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑝 : 𝑝 𝑦 = −1𝑥 +
إذن
لنحدد 𝑝 :بما أن النقطة ) 𝐵(−4; 0تنتمي الى المستقيم )𝐵𝐴( فإن 𝑝 0 = −1 × (−4) +
إذن
و بالتالي المعادلة المختصرة ل )𝐵𝐴( هي :
.IV
𝑝 0 = 4 −و منه
𝑝 = −4
(𝐴𝐵 ): 𝑦 = −𝑥 − 4
توازي و تعامد مستقيمين:
(1شرط توازي مستقيمين: خاصية يكون مستقيمان متوازيان إذا كان لهما نفس الميل . إذا كان لمستقيمين نفس الميل ,فهما متوازيان .
مثال 𝟏: (𝐷1 ): 𝑦 = −2𝑥 + 1
{ (𝐷2 ): 𝑦 = −2𝑥 + 5
لدينا ) (𝐷1و ) (𝐷2لهما نفس الميل إذن فهما متوازيان . 2
مثال 𝟐: (𝐴𝐵): 𝑦 = −3𝑥 + 5
نعتبر المستقيم ) 𝐵𝐴( بحيث :
حدد المعادلة المختصرة للمستقيم )𝐷( المار بالنقطة ) 𝐶(2; 1والموازي للمستقيم )𝐵𝐴( . الحل :بما أن ميل )𝐵𝐴( هو −3و )𝐷( (𝐴𝐵)//فإن ومنه المعادلة المختصرة للمستقيم )𝐷( هي :
𝑎(𝐴𝐵) = 𝑎(𝐷) = −3
𝑝 (𝐷): 𝑦 = −3𝑥 +
لنحدد 𝑝 :بما أن ) 𝐷( يمر من النقطة 𝐶 إذن 𝑝 1 = −3 × 2 +إذن (𝐷): 𝑦 = −3𝑥 + 7
𝑝 = 1 + 6إذن 𝑝 = 7وبالتالي
ومنه
𝑝 1 = −6 +
(2شرط تعامد مستقيمين: خاصية يكون مستقيمان متعامدان ،إذا كان جداء ميلهما يساوي . −1 إذا كان جداء ميلي مستقيمين يساوي ، −1فهما متعامدين .
مثال 𝟐: في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم )𝐽 ;𝐼 ;𝑂( نعتبر النقط ) 𝐴(4; 2و )𝐵(2; −1 و المستقيم )𝐷( ذي المعادلة
2
𝑦 =− 𝑥+1 3
) 1حدد المعادلة المختصرة للمستقيم )𝐵𝐴( )2إستنتج أن المستقيمين )𝐵𝐴( و )𝐷( متعامدان .
الحل: 3
−3
−1−2
= 2−4 = −2 = 2
)1لنحسب الميل أوال
إذن معادلة المستقيم )𝐵𝐴( تكتب :
𝐴𝑦𝑦𝐵 − 𝐴𝑥𝑥𝐵 −
=𝑎
3 2
𝑝𝑦= 𝑥+
لنحدد 𝑝 :بما أن النقطة ) 𝐴(4; 2تنتمي الى المستقيم )𝐵𝐴( فإن 3 2
𝑝2=4× +
إذن
𝑝 2 = 6 +و منه
و بالتالي المعادلة المختصرة ل )𝐵𝐴( هي : )2لدينا ميل )𝐵𝐴( هو وبما أن
3 2
3
2
2
3
− × = −1
وميل )𝐷( هو
3 𝑥−4 2 2 3
−
فإن )𝐷((𝐴𝐵) 3
𝑝 = −4
= 𝑦 (𝐴𝐵 ):