3 coll
الجزء األول :المتجهــــات :
.I
المتجهــة:
تعريف ⃗⃗⃗⃗⃗ كل نقطتين مختلفتين 𝐴 و 𝐵 تحددان متجهة يرمز لها بالرمز 𝐵𝐴
B
⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐵 تسمى طرفها 𝐴 تسمى أصل المتجهة 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ المستقيم )𝐵𝐴( يسمى اِتجاه وحامل المتجهة 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ المسافة 𝐵𝐴 تسمى منظم أو معيار المتجهة 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ المنحى من 𝐴 نحو 𝐵 هو منحى المتجهة 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ليس لها اتجاه و تسمى المتجهة المنعدمة إذن 𝐴𝐴 = ⃗0 𝐴𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ونكتب ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵𝐴𝐵 = − ⃗⃗⃗⃗⃗ هي المتجهة 𝐴𝐵 مقابل المتجهة 𝐵𝐴
.II
A
تساوي متجهتين :
تعريف ⃗⃗⃗⃗⃗ إذا كان : ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 تكون 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ لهما نفس اإلتجاه أي )𝐷𝐶((𝐴𝐵)// ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐷𝐶 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ لهما نفس المنحى ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐷𝐶 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ لهما نفس المنظم (القياس) أي 𝐷𝐶 = 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐷𝐶 𝐴𝐵
B D
A C
خاصيات
⃗⃗⃗⃗⃗ إذا كان 𝐶𝐴 و 𝐷𝐵 لهما نفس المنتصف ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 تكون 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ فإن الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 إذا كان 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 إذا كان الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع فإن 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴 𝐴𝐵 + إذا كان الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع فإن 𝐶𝐴
.III
A
B
D
C
مجموع متجهتين :
تعريف ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ هو المتجهة 𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐷𝐴 مجموع المتجهتين 𝐵𝐴
A
B
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴 𝐴𝐵 + بحيث 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع ونكتب 𝐶𝐴 C www.hsaina.com
1
D
عالقة شـــال
Aو 𝐵 و 𝐶 نقط من المستوى .
B
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵 𝐶𝐴
لدينا
C
هذه المتساوية تسمى عالقة شال .
A
أمثلة :بسط مايلي : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 𝐶𝐷 + 𝐶𝐵 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 + 𝐷𝐴 = 𝐷𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 + ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶 𝐴𝐴 = ⃗0
.IV
ضرب متجهة في عدد حقيقي :
تعريف ⃗⃗⃗⃗⃗ متجهة غير منعدمة و 𝑘 عدد حقيقي . 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ في العدد الحقيقي 𝑘 إذا كانت 𝐶 هي نقطة من ⃗⃗⃗⃗⃗ هي جداء المتجهة 𝐵𝐴 نقول إن المتجهة 𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘 = 𝐶𝐴 المستقيم )𝐵𝐴( بحيث 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ لهما نفس المنحى . ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐶𝐴 إذا كان 𝑘 > 0فإن 𝐵𝐴 𝑘 = 𝐶𝐴 و 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ لهما منحيان متعاكسان . ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝐶𝐴 إذا كان 𝑘 < 0فإن 𝐵𝐴 𝑘 𝐴𝐶 = −و 𝐵𝐴
مثال :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = 3 𝐵𝐴
و
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = −2 𝐶𝐵 𝐴𝐵 B
C
و
3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 = − 𝐵𝐴 2
A
خاصية 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ فإن Aو 𝐵 و 𝐶 نقط مستقيمية . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘 = 𝐶𝐴 إذا كان 𝐵𝐴
M
C
A
B
خاصية 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ متجهتان مستقيميتان . ⃗⃗⃗⃗⃗ و 𝑁𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ فإن )𝑁𝑀( (𝐴𝐵)//نقول إن 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑘 = 𝐵𝐴 إذا كان 𝑁𝑀
.V
B
المتجهة والمنتصف :
N A
Aو 𝐵 و 𝑀 ثالث نقط . 𝑀 منتصف B
𝐵𝐴 يعني أن : M
A
1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝑀 𝐵𝐴 2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 = ⃗0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝑀𝑀𝐴 = −
www.hsaina.com
2
M
الجزء الثاني :اإلزاحة : تعريف Aو 𝐵 نقطتان من المستوى . ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ فإن 𝑀𝑀′ : النقطة 𝑀′هي صورة النقطة 𝑀 باإلزاحة 𝑇 ذات المتجهة 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ هي المتجهة التي تحول Aإلى 𝐵 بحيث 𝐵 تسمى صورة A مالحظة :المتجهة 𝐵𝐴 خاصية 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴 𝑢 فإن 𝐴′𝐵′ : إذا كانت 𝐴′و 𝐵′صورتي Aو 𝐵 على التوالي بإزاحة ⃗ خاصية 2 𝑢 هو مستقيم ) (𝐴′𝐵′يوازيه صورة مستقيم ) 𝐵𝐴( بإزاحة ⃗ خاصية 3 𝑢 هي قطعة 𝐴′𝐵′تقايسها صورة قطعة 𝐵𝐴 بإزاحة ⃗
B A
𝑢 ⃗
'B
خاصية 4 صورة زاوية بإزاحة هي زاوية تقايسها
'A B
مثال :
'B A
𝑢 متجهة غير منعدمة و 𝐶̂𝐵𝐴 زاوية . ⃗
𝑢 ⃗
'A
لننشئ الزاوية ̂′ 𝐶′ 𝑢 𝐵 𝐴′صورة الزاوية 𝐶̂𝐵𝐴 باإلزاحة ⃗ C
خاصية 5 𝑢 هي دائرة ) (𝐶′لها نفس الشعاع صورة دائرة ) 𝐶( بإزاحة ⃗
'C
⃗⃗⃗⃗⃗ متجهة غير منعدمة و ) 𝐶( دائرة مركزها 𝑂 وشعاعها 𝑟 مثال 𝐴𝐵 : ⃗⃗⃗⃗⃗ ( اإلزاحة التي تحول 𝐴 إلى 𝐵 ) لننشئ الدائرة ) (𝐶′صورة الدائرة ) 𝐶( باإلزاحة ذات المتجهة 𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ أوالً ننشئ المركز 𝑂′صورة المركز 𝑂 باإلزاحة ذات المتجهة 𝐵𝐴 ثانيا ً نحتفظ بنفس الشعاع ونرسم الدائرة )(𝐶′ B
)(𝐶′
𝑟
A
) 𝐶(
'O
www.hsaina.com
𝑟 O
3