درس المتجهات والإزاحة

‫‪3 coll‬‬

‫الجزء األول ‪ :‬المتجهــــات ‪:‬‬

‫‪.I‬‬

‫المتجهــة‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫كل نقطتين مختلفتين 𝐴 و 𝐵 تحددان متجهة يرمز لها بالرمز 𝐵𝐴‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪B‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐵 تسمى طرفها‬ ‫𝐴 تسمى أصل المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫المستقيم )𝐵𝐴( يسمى اِتجاه وحامل المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫المسافة 𝐵𝐴 تسمى منظم أو معيار المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫المنحى من 𝐴 نحو 𝐵 هو منحى المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ليس لها اتجاه و تسمى المتجهة المنعدمة إذن ‪𝐴𝐴 = ⃗0‬‬ ‫𝐴𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ونكتب ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐴𝐵‪𝐴𝐵 = −‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ هي المتجهة 𝐴𝐵‬ ‫مقابل المتجهة 𝐵𝐴‬

‫‪.II‬‬

‫‪A‬‬

‫تساوي متجهتين ‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ إذا كان ‪:‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫تكون 𝐷𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ لهما نفس اإلتجاه أي )𝐷𝐶(‪(𝐴𝐵)//‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐷𝐶‬ ‫‪𝐴𝐵 ‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ لهما نفس المنحى‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐷𝐶‬ ‫‪𝐴𝐵 ‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ لهما نفس المنظم (القياس) أي 𝐷𝐶 = 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐷𝐶‬ ‫‪𝐴𝐵 ‬‬

‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬

‫خاصيات‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ إذا كان 𝐶𝐴 و 𝐷𝐵 لهما نفس المنتصف‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫تكون 𝐶𝐷‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ فإن الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫إذا كان 𝐶𝐷‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫إذا كان الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع فإن 𝐶𝐷‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐷𝐴 ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫إذا كان الرباعي 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع فإن 𝐶𝐴‬

‫‪.III‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫‪D‬‬

‫‪C‬‬

‫مجموع متجهتين ‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ هو المتجهة 𝐶𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐷𝐴‬ ‫مجموع المتجهتين 𝐵𝐴‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐷𝐴 ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫بحيث 𝐷𝐶𝐵𝐴 متوازي أضالع ونكتب 𝐶𝐴‬ ‫‪C‬‬ ‫‪www.hsaina.com‬‬

‫‪1‬‬

‫‪D‬‬

‫عالقة شـــال‬

‫‪ A‬و 𝐵 و 𝐶 نقط من المستوى ‪.‬‬

‫‪B‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐶𝐵‬ ‫𝐶𝐴‬

‫لدينا‬

‫‪C‬‬

‫هذه المتساوية تسمى عالقة شال ‪.‬‬

‫‪A‬‬

‫أمثلة ‪ :‬بسط مايلي ‪:‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫𝐶𝐵 ‪𝐶𝐷 +‬‬ ‫𝐶𝐵 ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐷𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐶 +‬‬ ‫𝐷𝐴 = 𝐷𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 −‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐶𝐵 +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐴𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐵 +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐵𝐶 +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐴𝐶‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐶 +‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐴𝐶‬ ‫‪𝐴𝐴 = ⃗0‬‬

‫‪.IV‬‬

‫ضرب متجهة في عدد حقيقي ‪:‬‬

‫تعريف‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ متجهة غير منعدمة و 𝑘 عدد حقيقي ‪.‬‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ في العدد الحقيقي 𝑘 إذا كانت 𝐶 هي نقطة من‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ هي جداء المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫نقول إن المتجهة 𝐶𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪:‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑘 = 𝐶𝐴‬ ‫المستقيم )𝐵𝐴( بحيث 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ لهما نفس المنحى ‪.‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐶𝐴‬ ‫‪ ‬إذا كان ‪ 𝑘 > 0‬فإن 𝐵𝐴 𝑘 = 𝐶𝐴 و 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ لهما منحيان متعاكسان ‪.‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝐶𝐴‬ ‫‪ ‬إذا كان ‪ 𝑘 < 0‬فإن 𝐵𝐴 𝑘‪ 𝐴𝐶 = −‬و 𝐵𝐴‬

‫مثال ‪:‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝐶 = 3‬‬ ‫𝐵𝐴‬

‫و‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = −2‬‬ ‫𝐶𝐵‬ ‫𝐴𝐵‬ ‫‪B‬‬

‫‪C‬‬

‫و‬

‫‪3‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝐴𝑀 = −‬‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫‪2‬‬

‫‪A‬‬

‫خاصية ‪1‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ فإن ‪ A‬و 𝐵 و 𝐶 نقط مستقيمية ‪.‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑘 = 𝐶𝐴‬ ‫إذا كان 𝐵𝐴‬

‫‪M‬‬

‫‪C‬‬

‫‪A‬‬

‫‪B‬‬

‫خاصية ‪2‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ متجهتان مستقيميتان ‪.‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ و 𝑁𝑀‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ فإن )𝑁𝑀(‪ (𝐴𝐵)//‬نقول إن 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 𝑘 = 𝐵𝐴‬ ‫إذا كان 𝑁𝑀‬

‫‪.V‬‬

‫‪B‬‬

‫المتجهة والمنتصف ‪:‬‬

‫‪N‬‬ ‫‪A‬‬

‫‪ A‬و 𝐵 و 𝑀 ثالث نقط ‪.‬‬ ‫𝑀 منتصف‬ ‫‪B‬‬

‫𝐵𝐴 يعني أن ‪:‬‬ ‫‪M‬‬

‫‪A‬‬

‫‪1‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝑀𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝑀‬ ‫𝐵𝐴‬ ‫‪2‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ‪𝑀𝐴 +‬‬ ‫‪𝑀𝐵 = ⃗0‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫𝐵𝑀‪𝑀𝐴 = −‬‬

‫‪www.hsaina.com‬‬

‫‪2‬‬

‫‪M‬‬

‫الجزء الثاني ‪ :‬اإلزاحة ‪:‬‬ ‫تعريف‬ ‫‪ A‬و 𝐵 نقطتان من المستوى ‪.‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ فإن ‪𝑀𝑀′ :‬‬ ‫النقطة ‪ 𝑀′‬هي صورة النقطة 𝑀 باإلزاحة 𝑇 ذات المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ هي المتجهة التي تحول ‪ A‬إلى 𝐵 بحيث 𝐵 تسمى صورة ‪A‬‬ ‫مالحظة ‪ :‬المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫خاصية ‪1‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ = 𝐵𝐴‬ ‫𝑢 فإن ‪𝐴′𝐵′ :‬‬ ‫إذا كانت ‪ 𝐴′‬و ‪ 𝐵′‬صورتي ‪ A‬و 𝐵 على التوالي بإزاحة ⃗‬ ‫خاصية ‪2‬‬ ‫𝑢 هو مستقيم )‪ (𝐴′𝐵′‬يوازيه‬ ‫صورة مستقيم ) 𝐵𝐴( بإزاحة ⃗‬ ‫خاصية ‪3‬‬ ‫𝑢 هي قطعة ‪ 𝐴′𝐵′‬تقايسها‬ ‫صورة قطعة 𝐵𝐴 بإزاحة ⃗‬

‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫𝑢‬ ‫⃗‬

‫'‪B‬‬

‫خاصية ‪4‬‬ ‫صورة زاوية بإزاحة هي زاوية تقايسها‬

‫'‪A‬‬ ‫‪B‬‬

‫مثال ‪:‬‬

‫'‪B‬‬ ‫‪A‬‬

‫𝑢 متجهة غير منعدمة و 𝐶̂𝐵𝐴 زاوية ‪.‬‬ ‫⃗‬

‫𝑢‬ ‫⃗‬

‫'‪A‬‬

‫لننشئ الزاوية ‪̂′ 𝐶′‬‬ ‫𝑢‬ ‫𝐵‪ 𝐴′‬صورة الزاوية 𝐶̂𝐵𝐴 باإلزاحة ⃗‬ ‫‪C‬‬

‫خاصية ‪5‬‬ ‫𝑢 هي دائرة )‪ (𝐶′‬لها نفس الشعاع‬ ‫صورة دائرة ) 𝐶( بإزاحة ⃗‬

‫'‪C‬‬

‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ متجهة غير منعدمة و ) 𝐶( دائرة مركزها 𝑂 وشعاعها 𝑟‬ ‫مثال ‪𝐴𝐵 :‬‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ( اإلزاحة التي تحول 𝐴 إلى 𝐵 )‬ ‫لننشئ الدائرة )‪ (𝐶′‬صورة الدائرة ) 𝐶( باإلزاحة ذات المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫⃗​⃗​⃗​⃗​⃗‬ ‫‪ ‬أوالً ننشئ المركز ‪ 𝑂′‬صورة المركز 𝑂 باإلزاحة ذات المتجهة 𝐵𝐴‬ ‫‪ ‬ثانيا ً نحتفظ بنفس الشعاع ونرسم الدائرة )‪(𝐶′‬‬ ‫‪B‬‬

‫)‪(𝐶′‬‬

‫𝑟‬

‫‪A‬‬

‫) 𝐶(‬

‫'‪O‬‬

‫‪www.hsaina.com‬‬

‫𝑟‬ ‫‪O‬‬

‫‪3‬‬