3 coll
مقدمة : طـــاليس Thalèsهو فيلسوف ورياضي يوناني ,ولد في ميليتس من عائلة فنيقية .وهو أول الحكماء السبعة لدى األغــريــق .آشتهر بإكتشافاته الهندسية. توفي نحو 548قـبل الميالد .تستعمل نظريته للبرهنة على التوازي ولقياس األطوال والمسافات الكبيرة كطول برج إيـڤـل وطول الـهـرم المصري وذلك بإستخدام قياسات غير مباشرة .
.I
مبرهنة طاليس المباشرة :
نعتبر األشكال التالية بحيث (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶) :والنقط 𝐴 و 𝐵 و 𝑀 في نفس ترتيب النقط 𝐴 و 𝐶 و 𝑁 A
A
M
N
M
C
N
B A
الوضع األول
C
N
B
𝑁𝑀
في كــــل وضــع لــــديــنــــا :
𝐶𝐵
الوضع الـثـاني
=
𝑁𝐴 𝐶𝐴
=
M
C
𝑀𝐴
الوضع الـثـالث
B
𝐵𝐴
خاصية 𝐶𝐵𝐴 مثلث و 𝑀 نقطة من المستقيم ) 𝐵𝐴( و 𝑁 نقطة من المستقيم ) 𝐶𝐴(. إذا كان ) 𝐶𝐵( (𝑀𝑁)//فإن :
مثال :
𝑁𝑀 𝐶𝐵
=
𝑁𝐴 𝐶𝐴
=
𝑀𝐴 𝐵𝐴
نعتبر الشكل التالي بحيث (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶) :
)1أوجد 𝑑 طول البركة ؟ )2إذا كان 𝑚 , 𝐴𝑁 = 255فأوجد 𝐶𝐴 ؟ ]𝑀𝐵[ 𝐴 الحــــل )1 :لدينا )𝐶𝐵( (𝑀𝑁)//و ] 𝐶𝑁[ 𝐴
{
إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن : 𝑁𝑀 𝐶𝐵
=
𝑁𝐴 𝐶𝐴
=
𝑀𝐴 𝐵𝐴
إذن
𝑁𝑀
225
= 240 150
إذن 𝑀𝑁 × 150 = 225 × 240
إذن = 360 1
225×240 150
= 𝑁𝑀 وبالتالي 𝑚 𝑑 = 360
] 𝐶𝑁[ 𝐴 )2لدينا )𝐶𝐵( (𝑀𝑁)//و ]𝑀𝐵[ 𝐴 𝑁𝑀
إذن
𝐶𝐵
=
𝑁𝐴 𝐶𝐴
إذن 𝑚 = 170
{ إذن حسب مبرهنة طاليس المباشرة فإن :
360
= 240
إذن 255×240 360
255
= 𝐶𝐴
𝑁𝑀 𝐶𝐵
=
𝑁𝐴 𝐶𝐴
=
𝑀𝐴 𝐵𝐴
إذن 𝐴𝐶 × 360 = 255 × 240
𝐶𝐴
𝑚 𝐴𝐶 = 170
وبالتالي
مالحظة : تستعمل خاصية طاليس المباشرة لحساب األطوال .
.II
مبرهنة طاليس العكسية :
خاصية 𝐶𝐵𝐴 مثلث و 𝑀 نقطة من المستقيم ) 𝐵𝐴( و 𝑁 نقطة من المستقيم ) 𝐶𝐴(.
إذا كان :
𝑁𝐴 𝐶𝐴
𝑀𝐴
=
𝐵𝐴
والنقط المستقيمية 𝐴 و 𝑀 و 𝐵 في نفس ترتيب
النقط المستقيمية 𝐴 و 𝑁 و 𝐶 فإن (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶 ) : A
مثال :1هل )𝑁𝑀( يوازي ) 𝐶𝐵( ؟ في المثلث 𝐶𝐵𝐴 لدينا )𝐵𝐴( 𝑀و ) 𝐶𝐴(𝑁 1
3×1
3
3
2×1
2
2×3
= =
2
6
= 3+6 = 9 = 3×3 = 3 1 3
=
2+4
=
𝑀𝐴
N
1
𝐵𝐴 𝑁𝐴 { إذن = 3
𝑁𝐴 𝐶𝐴
=
𝑀𝐴 𝐵𝐴
𝐶𝐴
وبما أن النقط المستقيمية 𝐴 و 𝑀 و 𝐵 في نفس ترتيب النقط المستقيمية 𝐴 و 𝑁 و 𝐶 إذن حسب مبرهنة طاليس العكسية فإن (𝑀𝑁)//(𝐵𝐶 ) :
C B
مثال :2هل )𝑁𝑀( يوازي ) 𝐶𝐵( ؟
M
في المثلث 𝐶𝐵𝐴 لدينا )𝐵𝐴( 𝑀و ) 𝐶𝐴(𝑁 لدينا
1
2×1
2
1
3×1
3
=
𝑀𝐴
= 4 = 2×2 = 2 = 6 = 3×2 = 2
إذن لدينا
𝑁𝐴 𝐶𝐴
𝐵𝐴
M
A
𝑀𝐴 1
𝐵𝐴 𝑁𝐴 { إذن = 2
𝑁𝐴 𝐶𝐴
=
𝑀𝐴 𝐵𝐴
N
𝐶𝐴
ومع ذلك )𝑁𝑀( ال يوازي ) 𝐶𝐵(
ألن النقط المستقيمية 𝐴 و 𝑀 و 𝐵 ليست في نفس الترتيب مع النقط المستقيمية 𝐴 و 𝑁 و 𝐶 . مالحظة : تستعمل خاصية طاليس العكسية للبرهنة على التوازي . 2
B C