Γιάννης Νοµικούδης
Όταν οι αριθµοί συνάντησαν ... τα γράµµατα
Μια διαθεµατική προσέγγιση της ύλης της Ε΄ Δηµοτικού σε µορφή κόµικ
Θεσσαλονίκη 2015
«ΟΤΑΝ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΝΤΗΣΑΝ …..ΤΑ ΓΡΑΜΜΑΤΑ» Μια Διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών της Ε΄ Δημοτικού Η συγκεκριμένη εργασία εγκαινιάζει μια σειρά διαδραστικών ηλεκτρονικών βιβλίων, που επιτρέπουν στον μαθητή να εμπεδώσει την ύλη της Ε΄Δημοτικου" διασκεδα" ζοντας. Στο σύνολό της αποτελείται από 2 επίπεδα που παρουσιάζονται ταυτόχρονα: Ι) Στο πρώτο, σε μορφή κόμικ, παρουσιάζονται οι περιπέτειες μιας παρέας παιδιών, μέσα από τις οποίες περιγράφονται και αναλύονται με ψυχαγωγικό αλλά ταυτόχρονα διδακτικό τρόπο οι διάφορες παιδαγωγικές έννοιες, ΙΙ) Στο δεύτερο επίπεδο, αυτό των «Δραστηριοτήτων», περιλαμβάνονται διαθεματικές πρωτοβουλίες, ασκήσεις, προβλήματα και θέματα για ανάπτυξη. Οι αριθμημένες επισημάνσεις και τα «αστεράκια» παραπέμπουν στις αντίστοιχα αριθμημένες δραστηριότητες, στις οποίες ο μαθητής μπορεί να παρεμβαίνει, να καταγράφει και να αποθηκεύει τις απαντήσεις του στις ερωτήσεις. Κύριος άξονας της συγγραφικής αυτής προσπάθειας είναι η διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών. Κατά την ανάπτυξη των διάφορων μαθηματικών εννοιών γίνονται ταυτόχρονα αναφορές στην Γλώσσα, την Ιστορία, τη Γεωγραφία, την Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή, την Αισθητική Αγωγή και τα Θρησκευτικά. Βασικός στόχος του βιβλίου είναι να παρουσιαστούν τα θέματα αυτά ευχάριστα, παραστατικά και με χιούμορ, μέσα από τις ιστορίες μιας παρέας παιδιών, με περιστατικά που θα μπορούσαν να συμβούν στον καθένα. Παίζοντας και κουβεντιάζοντας ανακαλύπτουν μόνα τους τις διαθεματικές έννοιες και τις χρησιμοποιούν για να λύσουν προσωπικές τους απορίες ή για να φτιάξουν κάποιες κατασκευές. Οι ήρωες του βιβλίου, είναι αντιπροσωπευτικοί τύποι μαθητών: Ο Κώστας, είναι ο «πολύ καλός μαθητής», με το μαθηματικό μυαλό και τα ανάλογα ενδιαφέροντα. Η Μαρία, είναι η μελετηρή μαθήτρια, με γνώσεις και ενδιαφέροντα, που προσπαθεί και έχει καλά αποτελέσματα, έστω και αν δυσκολεύεται λίγο στην αρχή. Ο Νίκος, το έξυπνο και ζωηρό παιδί, που έχει ενδιαφέροντα κυρίως έξω από τον κύκλο του σχολείου, γι’αυτό και δεν μελετάει όσο χρειάζεται. Η Ελένη, πειραχτήρι αλλά και ευαίσθητη, συναντά δυσκολίες στα Μαθηματικά, αλλά με την κατάλληλη καθοδήγηση και ενθάρρυνση μπορεί να προχωρήσει ικανοποιητικά.
Θεωρητικά, καθένας απ’ αυτούς μπορεί τελικά να κατανοήσει τις μαθηματικές έννοιες και μάλιστα να παίρνει και πρωτοβουλίες κατά τη διαδικασία. Κάθε παιδί μπορεί να ταυτιστεί με κάποιον από τους ήρωες του βιβλίου. Μ’αυτόν τον τρόπο εξασφαλίζονται το ενδιαφέρον και η συμμετοχή, γίνονται ευκολότερες η κατανόηση και η εμπέδωση και κυρίως ενθαρρύνονται οι αδύνατοι μαθητές. Η διδακτική μέθοδος που χρησιμοποιείται βασίζεται στη θεωρία της ανακαλυπτικής μάθησης του Bruner. Πρόκειται για μια διαδικασία δραστηριοποίησης των μαθητών, που σκοπό έχει να τους υποδείξει τρόπους αντιμετώπισης ρεαλιστικών προβλημάτων, με την ανάπτυξη των δικών τους ιδεών. Δραστηριοποιεί την προσωπική τους κρίση για την αντιμετώπιση παρόμοιων γεγονότων, καλλιεργώντας την κριτική τους σκέψη και όχι την παθητική απομνημόνευση. Στόχο και ταυτόχρονα μοντέλο της συνολικής διαδικασίας αποτελεί η ενεργητική βιωματική μάθηση, που προωθείται με δύο τρόπους : α) με την παρουσίαση προσωπικών αναζητήσεων και ατομικών απόψεων για τη γνώση, που θα μπορούσαν να καλύψουν τα ενδιαφέροντα μιας μεγάλης μερίδας μαθητών. β) με τον ζωντανό διάλογο, την προσωπική επαφή με τα πράγματα και την αναγκαιότητα επίλυσης ρεαλιστικών προβλημάτων. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού σε μια τέτοια διαδικασία περιορίζεται σε αυτόν του συνεργάτη- συντονιστή. Ο έλεγχος των γνώσεων γίνεται έμμεσα και διακριτικά. Ο διάλογος μαθητή – δασκάλου αναπτύσσεται. Αξιοποιείται ακόμα η συνεργατική μάθηση σε μικρές ομάδες. Η διδασκαλία με το συγκεκριμένο τρόπο παρέχει στον δάσκαλο -όπως και στους μαθητές- τη δυνατότητα ανατροφοδότησης, γιατί είναι σε θέση να δει τα αποτελέσματα της πορείας της διδασκαλίας του άμεσα και να επέμβει ρυθμιστικά βελτιώνοντάς την.
Καλή ανάγνωση και καλή διασκέδαση
Γιάννης Νομικούδης
Ενότητες 1.Αριθμοί μεγαλύτεροι του 1.000.000 πώς τους διαβάζουμε σύγκριση –διάταξη- στρογγυλοποίηση πρόσθεση και αφαίρεση πολυψήφιων 2.Πολλαπλάσια - Διαιρέτες Πολλαπλάσια αριθμών Κοινά πολλαπλάσια -Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αριθμών Διαιρέτες – ΜΚΔ Κριτήρια διαιρετότητας 3.Κλασματικοί αριθμοί Γνήσια κλάσματα και κλάσματα ίσα με την ακέραια μονάδα Καταχρηστικά κλάσματα Μετατροπή μεικτού ή ακέραιου σε καταχρηστικό κλάσμα Μετατροπή από καταχρηστικό κλάσμα σε μεικτό 4. Ισοδύναμα κλάσματα Ισοδυναμίες κλασμάτων Απλοποίηση κλασμάτων Σύγκριση κλασματικών αριθμών Μετατροπή ετερώνυμων κλασμάτων σε ομώνυμα 5. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασματικών αριθμών Πρόσθεση και αφαίρεση ομώνυμων κλασμάτων Πρόσθεση ετερώνυμων κλασμάτων Αφαίρεση ετερώνυμων κλασμάτων 6. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασματικών αριθμών Πολλαπλασιασμός κλάσματος με ακέραιο Πολλαπλασιασμός κλάσματος με κλάσμα Αντίστροφοι αριθμοί Διαίρεση κλάσματος με κλάσμα 7.Πράξεις δεκαδικών αριθμών πρόσθεση & αφαίρεση δεκαδικών πολλαπλασιασμός ακεραίου με δεκαδικό διαίρεση δεκαδικού με ακέραιο 8. Μέτρηση μήκους, επιφάνειας, όγκου Η μέτρηση του μήκους Η μέτρηση της επιφάνειας Η μέτρηση του όγκου 9. Μέτρηση βάρους και χρόνου Η μέτρηση του βάρους Η μέτρηση του χρόνου (Α) Μετατροπή συμμιγούς σε ακέραιο και δεκαδικό 10. Σχήματα – περίμετρος- εμβαδόν Τετράπλευρα – γενικές ιδιότητες Παραλληλόγραμμα- ομοιότητες, διαφορές Κλίμακα- κατασκευές πολυγώνων Τρίγωνα περίμετρος Εμβαδόν παραλληλογράμμων -τριγώνων Κύκλος - Μήκος κύκλου
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Δείτε πόσο εύκολα μπορεί να βρει κανείς το μπελά του… Το καλοκαίρι είχε μπει για τα καλά. Οι 4 φίλοι, ο Κώστας, η Μαρία, ο Νίκος και η Ελένη, μετά από 3 ώρες κολύμπι, αποφάσισαν να βγουν από τη θάλασσα. Ξάπλωσαν στην αμμουδιά και κουβέντιαζαν απολαμβάνοντας τον ήλιο. Ήταν συμμαθητές και φίλοι από την αρχή του σχολείου. Φίλοι όμως ήταν και οι γονείς τους, οι οποίοι αποφάσισαν να κάνουν διακοπές στο ίδιο νησί. Έτσι τα παιδία βρέθηκαν να είναι και το καλοκαίρι μαζί. Αφού είπαν διάφορα, έφεραν τη συζήτηση στα μαθήματα της προηγούμενης χρονιάς. -Πάντως η Τετάρτη ήταν εύκολη, είπε ο Κώστας, που ήταν το αστέρι της τάξης.
-Όταν διαβάζεις, όλα σου φαίνονται εύκολα, συμφώνησε η Μαρία, που μελετούσε πολύ.
-Εντάξει με τα αλλά μαθήματα. Τα Μαθηματικά όμως αν δεν τα καταλάβεις από την αρχή, μετά όσο και να τα διαβάζεις, δεν μπορείς να τα λύσεις, είπε η Ελένη, που, όπως φαίνεται, δεν συμπαθούσε και πολύ τους αριθμούς. -Γι’ αυτό κι εγώ απ’ όλα τα μαθήματα προτιμώ τη Γυμναστική και το διάλειμμα. Δεν παίζουμε βόλεϊ λέω γω; Για μαθήματα θα μιλούμε τώρα; φώναξε ο Νίκος, που ήταν έξυπνος και ζωηρούλης. Όταν όμως έπρεπε να διαβάσει ή να γράψει, εντελώς τυχαία τον έπιανε ένας πόνος στο κεφάλι ή στο χέρι και δεν μπορούσε να μελετήσει. .......Δίπλα στα παιδιά καθόταν ένας κύριος και άκουγε την συζήτησή τους. Για καλή ή κακή τους τύχη, ο κύριος αυτός ήταν δάσκαλος και έκανε και εκείνος τις διακοπές του. Είναι λίγο περίεργο, αλλά όλοι οι εκπαιδευτικοί όταν ακούνε παιδιά να μιλούν για μαθήματα, νομίζουν ότι έχουν καθήκον να πουν τη γνώμη τους.
Έτσι κι ο καλός αυτός κύριος, αφού συστήθηκε (λέγομαι Γιάννης και είμαι δάσκαλος), ζήτησε από τα παιδιά να πάρει μέρος στη συζήτησή τους. Εκείνα δεν μπορούμε να πούμε ότι χάρηκαν ιδιαίτερα, αλλά-τι να κάνουν- δέχτηκαν. Ο κ. Γιάννης ρώτησε σε ποια τάξη θα πήγαιναν. Όταν έμαθε, ενδιαφέρθηκε για το ποιο μάθημα τους δυσκόλευε περισσότερο. -Εμένα μ’ αρέσουν όλα τα μαθήματα, είπε ο Κώστας. -Εγώ δεν καταλαβαίνω τα Μαθηματικά, είπε η Ελένη. -Εμένα μ’ αρέσουν τα Μαθηματικά αλλά μου λένε ότι στην Πέμπτη είναι πολύ δύσκολα, είπε η Μαρία. Είδα και το βιβλίο μίας μεγαλύτερης φίλης μου και δεν κατάλαβα τίποτα. -Εγώ όταν ακούω για μαθήματα και δασκάλους, παθαίνω αλλεργία, ψιθύρισε ο Νίκος, που είχε στραβομουτσουνιάσει, καθώς έβλεπε ότι συνεχιζόταν η κουβέντα για το σχολείο. -Ίσως έχετε παρεξηγήσει λίγο τα Μαθηματικά ‘’είπε ο κ. Γιάννης. Οι αριθμοί, οι πράξεις μεταξύ τους, οι ασκήσεις, τα προβλήματα, είναι ένα μέρος από τη ζωή μας. Τα συναντάμε καθημερινά, σ’ όλες τις ασχολίες και σ’ όλα τα επαγγέλματα. Σκεφθείτε μόνο σε πόσες από τις συζητήσεις μας μιλάμε με τη γλώσσα των αριθμών. Και σίγουρα μας βοηθούν ν’ ακονίσουμε τη σκέψη μας και ν’ αναπτύξουμε τη φαντασία μας. Το πιο σπουδαίο όμως είναι ότι μας μαθαίνουν να χρησιμοποιούμε το μυαλό μας μεθοδικά και οργανωμένα, για να καταλάβουμε και να λύσουμε κάποια προβλήματα. Έτσι όμως συνηθίζουμε να βάζουμε στόχους στη ζωή μας και να προσπαθούμε να τους πετύχουμε. Και βέβαια καταλαβαίνετε πόσο μας βοηθάει αυτό να γίνουμε καλύτεροι και πιο ολοκληρωμένοι άνθρωποι. Ο κ. Γιάννης σταμάτησε λίγο. Τα παιδιά τον άκουγαν μ’ ενδιαφέρον. Μόνο ο Νίκος ήταν μουτρωμένος. Να δεις που θα μας χαλάσει τις διακοπές αυτός, σκεφτόταν. -Καταλαβαίνω βέβαια ότι με τον τρόπο που διδάσκεστε τα Μαθηματικά πολλές φορές τα βρίσκετε δύσκολα και βαρετά. Όλα όμως όσα μαθαίνετε είναι παρμένα μέσα από τη ζωή και θα ‘θελα να το διαπιστώσετε και μόνοι σας, συνέχισε ο κ. Γιάννης.
…Γι’ αυτό θα σας κάνω μια πρόταση: Κάποιες ώρες της ημέρας θα τις περνάμε μαζί. Θα δείτε ότι σ’ αυτές τις λίγες μέρες θ’ ανακαλύψετε εσείς οι ίδιοι και θα καταλάβετε, σαν ένα παιχνίδι, όλα όσα θα διδαχτείτε του χρόνου στα Μαθηματικά...Τι λέτε, δέχεστε; Τα παιδιά συνεννοήθηκαν με τα μάτια….
Εγώ δέχομαι!!!
Κι εγώ!
Κι εγώ!
Εγώ πάω να ρίξω μια βουτιά..
Ο Νίκος σηκώθηκε και κατευθύνθηκε προς τη θάλασσα. Κοντοστάθηκε όμωςντράπηκε φαίνεται- ξανακάθισε κι έμεινε λίγο σκεφτικός. - Άντε, δέχομαι κι εγώ, για να μη χαλάσει η παρέα, μίλησε στο τέλος. Θα κάνουμε όμως 4 ώρες μπάνιο, θα παίζουμε άλλο τόσο και θα μας κερνάτε πότε πότε κανένα παγωτό. -Σύμφωνοι, γέλασε ο κ. Γιάννης. «Αύριο λοιπόν, εδώ, την ίδια ώρα...»
4. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ
Ένα άλλο βράδυ ο κ. Γιάννης και τα παιδιά συμφώνησαν να ξαναπάνε για πίτσα. Πήγαν λοιπόν, κάθισαν, παράγγειλαν , ήρθαν οι πίτσες και όλοι κοίταζαν το Νίκο προσεκτικά και καχύποπτα. 1 -
Ε, τι θα γίνει τώρα, έτσι θα µε κοιτάτε όλο το βράδυ; Μη φοβάστε, δεν θα φάω παραπάνω …. σας δίνω το λόγο µου!
Έχει δίκιο ο Νίκος , ας µην το παρακάνουµε µαζί του. Πιστεύω ότι κατάλαβε το λάθος του. Ξέρει τα δικαιώµατά του όταν είναι µέσα σε µια παρέα και πιστεύω ότι τώρα κατάλαβε ότι πρέπει να τηρεί και τις υποχρεώσεις του. 2 Καλύτερα να παρατηρήσουµε τον τρόπο µε τον οποίο είναι χωρισµένες οι πίτσες και πώς τις µοιράζονται στα τραπέζια γύρω µας… (χαµηλόφωνα) Για κοιτάξτε αριστερά µας. -
Αριστερά καθόταν μια παρέα με 4 άτομα. Είχαν μοιράσει εξίσου την πίτσα τους και είχε πάρει ο καθένας τα κομμάτια που του αναλογούσαν στο πιάτο του. - Θα παρατηρήσατε ότι η παρέα στο τραπέζι αυτό µοιράστηκε την πίτσα και πήρε ο καθένας από 2/8.
-
Εγώ θα έλεγα ότι πήρε ο καθένας από
-
¼.
Έχεις δίκιο. Για κοιτάξτε όµως και λίγο δεξιά. 1
Δεξιά καθόταν ένα ζευγάρι . Και ο άντρας και η γυναίκα ήταν λίγο ... στρουμπουλούτσικοι κα ι συζητούσαν δυνατά για μια δίαιτα που θα ξεκινούσαν τη Δευτέρα και με την οποία θα έχαναν 5 κιλά μέσα σε μια βδομάδα. 3 Στο μεταξύ είχαν μοιράσει την πίτσα στη μέση και την κοιτούσαν με τρυφερότητα αλλά και πάθος 4 ... -
Βρε παιδιά, αυτοί θα φάνε ο
καθένας
-
5
από
½ της πίτσας.
Εγώ θα έλεγα ότι θα φάνε από
Έτσι όπως είναι χωρισµένη η πίτσα,
θα φάνε ο καθένας από τα
-
2 . 4
4 της. 8
Έχετε όλοι δίκιο σε αυτά που είπατε.
Στην πρώτη περίπτωση τα κλάσµατα
1 2 και 4 8
εκφράζουν την ίδια ποσότητα. Στη δεύτερη περίπτωση την ίδια ποσότητα εκφράζουν τα κλάσµατα 4 1 2 , και . 2 4 8 Λέµε λοιπόν ότι τα κλάσµατα αυτά είναι στην κάθε περίπτωση ισοδύναµα µεταξύ τους και γράφουµε: 2 4 1 2 1 = και = = 4 8 4 8 2
Ισοδύναµος 6 είναι αυτός που έχει ίση δύναµη µε κάποιον άλλον , ο ίσος µε άλλον σε αξία, σηµασία ή σπουδαιότητα. Στα Μαθηµατικά δύο αριθµοί θεωρούνται ισοδύναµοι όταν έχουν την ίδια αξία. Ειδικότερα δύο κλάσµατα είναι ίσα ή ισοδύναµα όταν εκφράζουν το ίδιο µέρος ενός µεγέθους.
2
-Ξέρετε τι παρατήρησα ; Αν πολλαπλασιάσω και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του πρώτου κλάσµατος µε το 2, παίρνω το ισοδύναµό του κλάσµα. -Πολύ σωστή η παρατήρησή σου, Μαρία . Αυτός άλλωστε είναι και ο πιο εύκολος τρόπος για να δηµιουργήσουµε ισοδύναµα κλάσµατα . Πολλαπλασιάζουµε δηλαδή ή διαιρούµε και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή του µε τον ίδιο αριθµό:
- Αυτά τα σχήµατα µου θύµισαν µια αφίσα που είχαµε αναρτήσει έξω από το σχολείο µας και µιλούσε για την
ανακύκλωση.
-
-
7
Πολύ πετυχηµένο το παράδειγµά σου. Πραγµατικά, όπως µε την ανακύκλωση που ξέρουµε ξαναδηµιουργούµε τα διάφορα υλικά, έτσι και µε τον τρόπο αυτό ανακυκλώνουµε την αξία ενός κλάσµατος.
Τώρα µας µπερδέψατε λίγο, αλλά δεν πειράζει.. Ακούγεται ωραία έτσι όπως το είπατε..
3
Μµµ ..ναι …Έλεγα λοιπόν ότι στη δεύτερη περίπτωση διαιρούµε και τους δύο όρους του κλάσµατος µε έναν κοινό διαιρέτη τους, δηλαδή µε έναν αριθµό που διαιρεί ταυτόχρονα και τους δύο. Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση. 8 Απλοποίηση δηλαδή λέγεται η διαδικασία κατά την οποία από ένα κλάσµα καταλήγουµε σε ένα άλλο κλάσµα, ισοδύναµο µε το πρώτο και µε όρους πιο απλούς, πιο µικρούς, από αυτούς του πρώτου κλάσµατος.
Π.χ. Στο κλάσµα 9/15 αν διαιρέσουµε και τους δύο όρους µε το 3 , θα πάρουµε το ισοδύναµο κλάσµα 3/5. Είναι δηλαδή : 9:3 = 3 15 :3 5 Για πείτε µου όµως κάτι άλλο …ξέρετε τι σηµαίνει το επίθετο ανάγωγος; Πώς δεν ξέρουµε… είναι αυτός που δεν έχει αγωγή, που δεν έχει σωστή συµπεριφορά , 9 που κάνει ό,τι θέλει χωρίς να ρωτάει κανέναν… Κάτι σαν το Νίκο δηλαδή…
- Πραγµατικά, Ελένη , ανάγωγος είναι αυτός που δεν έχει αγωγή, ο ατίθασος, αυτός που δεν µπορούµε να του αλλάξουµε το χαρακτήρα, κάτι που σε καµιά περίπτωση δεν συµβαίνει µε το Νίκο. Στα Μαθηµατικά όµως λέµε ανάγωγο το κλάσµα που δεν µπορούµε να το αλλάξουµε , να το µετατρέψουµε σε πιο απλό. Ανάγωγο λέγεται το κλάσµα που δεν µπορεί να απλοποιηθεί , γιατί ο αριθµητής και ο παρονοµαστής του είναι αριθµοί πρώτοι µεταξύ τους, δεν έχουν δηλαδή κοινούς διαιρέτες.
π.χ. τα κλάσµατα
5 12
2 5
7 8
13 κ.λ.π. 6
είναι ανάγωγα , γιατί δεν υπάρχουν αριθµοί που να διαιρούν ταυτόχρονα και τους δύο όρους του κάθε κλάσµατος. Αντίθετα τα κλάσµατα
3 4 και δεν είναι ανάγωγα, 6 12
γιατί υπάρχουν αριθµοί που διαιρούν και τους δύο όρους τους και έτσι µπορούν να απλοποιηθούν. π.χ. 3:3 = 1 4: 4 = 1 6: 3 2 12 : 4 3 4
Και πώς µπορούµε να κάνουµε ένα κλάσµα ανάγωγο;
- Ο καλύτερος τρόπος είναι να βρούµε τον Μ.Κ.Δ. των όρων του. Πχ στο κλάσµα 12/16 το Μ.Κ.Δ. (12, 16) = 4, εποµένως :
12 : 4 16 : 4
= 3 4
- Μου φαίνεται όµως ότι δεν µπορούµε πάντοτε να φτιάχνουµε ισοδύναµα κλάσµατα διαιρώντας τους όρους ενός κλάσµατος. Αν δηλαδή µας δώσουν ένα ανάγωγο κλάσµα , όπως το 1/3 τότε δεν θα µπορούµε να βρούµε ισοδύναµά του διαιρώντας τους όρους του µε έναν αριθµό. - Έχεις απόλυτο δίκιο, Κώστα, γι’αυτό όταν θέλουµε να βρούµε ισοδύναµα µε ένα κλάσµα αρχίζουµε να πολλαπλασιάζουµε τους όρους του µε το 2, µε το 3, το 4 κλπ . Τα κλάσµατα που προκύπτουν είναι όλα ισοδύναµα µε το αρχικό και επίσης είναι ισοδύναµα µεταξύ τους. Α, αυτό είναι εύκολο. Θα φτιάξω µια σειρά από κλάσµατα που θα είναι ισοδύναµα µε το ¾. *2 6
3 _____
*3 _____
=
8
4 *2
*4 9
=
_____
*5 12
=
_____
12
15 =
_____
16
*3
20
*4
*5
Αυτό τώρα µου θυµίζει µια
πηγή φωτός .
15
, που ξεκινά από την εστία και ανοίγει όσο αποµακρύνεται από αυτήν. 5
=
- Δε µου είπατε όµως τι ακριβώς έγινε την προηγούµενη φορά που ήρθαµε εδώ……Γιατί µαλώσατε;
- Να, ο κύριος από δω,
την ώρα που συζητούσαµε , βρήκε την ευκαιρία και µου πήρε και το δικό µου κοµµάτι… Δεν µπορεί βλέπετε να χορτάσει µε 2 κοµµάτια…
-
Ορίστε αχαριστία ! Αλλά δεν φταίει κανένας άλλος! Εγώ φταίω που πίεσα τον εαυτό µου να φάει και το δικό σου κοµµάτι, αν και δεν το ήθελα. Και ξέρεις γιατί το έκανα; Για να µην φας εσύ κυρία Ελένη πολύ φαγητό και χαλάσεις τη δίαιτα και τη σιλουέτα σου! 16 -
Έχεις δίκιο, Νίκο ! Τέτοια αυτοθυσία µόνο η Ιφιγένεια 17 έχει δείξει στην Ιστορία.
3 της πίτσας, 8 2 1 ο Κώστας και η Μαρία από και η καηµένη η Ελένη µόνο το . 8 8
-
Δηλαδή απ’ ότι κατάλαβα, εσύ Νίκο έφαγες τα
Ναι , εγώ έφαγα το λιγότερο και ο Νίκος το περισσότερο από όλους µας, όπως πάντα ..
-
- Τότε έχεις δίκιο να φωνάζεις… Εκτός απ’αυτό όµως κατάφερες να συγκρίνεις αυτά τα κλάσµατα µεταξύ τους. - Μµµ, ναι…το κατάλαβα , αλλά πείτε µας τι ακριβώς έκανα για να το καταλάβουν και τα παιδιά….. 6
3 2 είναι µεγαλύτερο και από το και από το 8 8 1 3 2 και ότι το είναι µικρότερο από τα άλλα δύο κλάσµατα: > > 8 8 8
-
Μου είπες ότι το
1 8 1 8
Πώς το συµπέρανες αυτό;
- Ε , θέλει και ρώτηµα; Αφού 3>2>1 . Δηλαδή σύγκρινα τους αριθµητές …αυτό δεν έκανα;
- Αυτό ακριβώς έκανες . Σε περιπτώσεις όπως αυτή που τα κλάσµατα έχουν τους ίδιους παρονοµαστές η σύγκριση των κλασµάτων είναι εύκολη, αφού µεγαλύτερο είναι αυτό που έχει το µεγαλύτερο αριθµητή. Τα κλάσµατα αυτά, που έχουν ίδιο παρονοµαστή λέγονται οµώνυµα. 18 19
-
Τι ακριβώς θα πει αυτό;
- Λέµε ότι κάποιος είναι όµοιος µε έναν άλλο όταν έχει κοινά ή παρόµοια στοιχεία µε αυτόν στη µορφή, το σχήµα, ή την ποσότητα. Ώνυµα είναι το όνοµα. Εποµένως, οµώνυµος είναι αυτός που έχει ίδιο όνοµα µε κάποιον άλλο. Το αντίθετο είναι η λέξη ετερώνυµος. Π.χ. , τα κλάσµατα Ενώ τα
5 3 και είναι οµώνυµα. 6 6
5 3 και είναι ετερώνυµα. 6 8
7
Το άλλο απόγευµα τα παιδιά ξεκίνησαν για το σπίτι του κ.Γιάννη. Τους είχε καλέσει να φάνε µαζί µια τούρτα παγωτό µε σοκολάτα. 23 Ο Κώστας τραβούσε το Νίκο από το µανίκι. - Στο λέω για τελευταία φορά, Νίκο: Αν πέσεις πάλι µε τα µούτρα στο παγωτό- όπως το συνηθίζειςεγώ δεν θα σου ξαναµιλήσω ! Δεν θα µας κάνεις συνέχεια ρεζίλι! Έλα, βρε Κωστάκη, αφού τα είπαµε αυτά… Θα είµαι κύριος, σας το υποσχέθηκα.. Άσε που µε πονάει το δόντι µου και δεν µπορώ να φάω γλυκά… 23 -
Ο κ.Γιάννης τους υποδέχτηκε χαμογελώντας. Μπήκα , κάθισαν μέσα, εκείνος έφερε την τούρτα και την έκοψε σε 4 ίσα κομμάτια. - Παιδιά , θέλω να δείτε κάτι… Ας πούµε ότι αυτά τα κοµµάτια είναι ακέραιες µονάδες… (µουρµουρίζοντας)
Άντε πάλι, θα µας το βγάλει ξινό το παγωτό.
Ο Νίκος όμως δεν συνέχισε, γιατί ο Κώστας τον αγριοκοίταζε.
24
Από την πρώτη αυτή ακέραια μονάδα παίρνω τα 2/9 , από τη δεύτερη τα 2/3 , από την τρίτη τα 2/6 και από την τέταρτη τα 2/4. Ποιο κλάσμα σας φαίνεται μεγαλύτερο και ποιο μικρότερο;
8
Το
2 2 είναι το µεγαλύτερο και το το µικρότερο… 3 9
όµως αυτά τα κλάσµατα δεν είναι οµώνυµα..
-
Σωστά ! Σας είπα χθες ότι τα κλάσµατα που έχουν διαφορετικό παρονοµαστή λέγονται ετερώνυµα. Εποµένως τα κλάσµατα
2 2 2 2 , , , είναι ετερώνυµα.. 9 3 6 4
Όµως τα συγκεκριµένα κλάσµατα τυχαίνει να έχουν τον ίδιο αριθµητή . Σε αυτή την περίπτωση µεγαλύτερο είναι το κλάσµα µε τον µικρότερο παρονοµαστή: 2 3
> 24 > 62 >
2 9
- Κ.Γιάννη, το παγωτό άρχισε να λιώνει…… θα γίνει γαλατάκι…… Τα στερεά όταν ζεσταίνονται γίνονται υγρά… Και αν ζεσταθούν κι άλλο γίνονται αέρια ….. δεν φοβάστε µήπως το παγωτό γίνει αέριο και µας φύγει;
9
27
- Δεν έχουν όµως όλα τα κλάσµατα τον ίδιο αριθµητή . Για παράδειγµα από τα κοµµάτια που έχω µπροστά µου θα µπορούσαµε να πάρουµε 3/4 και 4/6 αντίστοιχα. - Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε να πούµε µε σιγουριά ποιο κοµµάτι είναι το µεγαλύτερο;
- Σίγουρα όχι . Για να τα συγκρίνουµε πρέπει να µετατρέψουµε τα ετερώνυµα κλάσµατα σε οµώνυµα. Η µετατροπή αυτή γίνεται µε τον ακόλουθο τρόπο: Α. Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π των παρονοµαστών 4 6 : Εποµένως Ε.Κ.Π. ( 4, 6) = 12 Β. Εδώ είναι το πιο δύσκολο σηµείο της διαδικασίας. Βάζουµε πάνω από το κάθε κλάσµα ένα καπελάκι. Μετά διαιρούµε το ΕΚΠ µε τον παρονοµαστή του κάθε κλάσµατος και αυτό που βρίσκουµε το βάζουµε στο αντίστοιχο καπελάκι.
Γ. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουµε και τους δύο όρους του κάθε κλάσµατος µε τον αριθµό στο αντίστοιχο καπελάκι και δηµιουργούµε δύο νέα κλάσµατα ισοδύναµα µε τα αρχικά και οµώνυµα:
9 12
και
8 12
10
5. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Τελικά έχω αρχίσει να ζηλεύω τον πατέρα µου και τους συνοµήλικούς του. Μου λέει ότι δεν ήταν τόσο δύσκολα αυτά που µάθαιναν στο σχολείο τότε, σε σχέση µε αυτά που µαθαίνουµε εµείς σήµερα 1 . Βέβαια, έχει και τα καλά του το σχολείο… ωραία -
περνάµε, γελάµε, παίζουµε…
2
- Ε, δεν είναι πια και τόσο δύσκολα αυτά που είδαµε µέχρι τώρα, εδώ που τα λέµε .. .. για παράδειγµα, αυτά που είπαµε για τα οµώνυµα κλάσµατα µου φάνηκαν αρκετά εύκολα..
Πραγµατικά! Το ίδιο εύκολες είναι η πρόσθεση και η αφαίρεσή τους … Ας πούµε κάτι γι΄αυτές : Για πες µου, Νίκο, τι µέρος της πίτσας φάγατε εσύ και ο Κώστας µαζί , την πρώτη φορά που είχαµε πάει στην πιτσαρία; -
Εγώ έφαγα τα 3/8 και ο Κώστας τα 2/8. Εποµένως και οι δυο µαζί φάγαµε 5/8. -
1
Σωστά ! Εσύ , Μαρία , πόσα κοµµάτια έφαγες µαζί µε τον Νίκο και την Ελένη ; - Εγώ έφαγα 2/8 , η Ελένη 1/8 και ο Νίκος 3/8 . 3 Συνολικά δηλαδή 6/8.
-
Ακριβώς! Βλέπετε δηλαδή ότι για να προσθέσουµε οµώνυµα κλάσµατα , απλά προσθέτουµε τους αριθµητές τους και αφήνουµε τον ίδιο παρονοµαστή. -
Κατάλαβα . Εποµένως αν είχαµε να προσθέσουµε 3/6 + 2/6 , θα προσθέταµε τους αριθµητές τους 3+2 και θα αφήναµε τον ίδιο παρονοµαστή, δηλαδή το 6. 3/6+2/6 = 5/6
Μάλιστα .. και αν είχαµε την πρόσθεση 2/4+1/4+3/4 , θα βρίσκαµε: 2/4+1/4+3/4 = 6/4 ; -
Αυτό θα βρίσκαµε. Στην συγκεκριµένη περίπτωση µάλιστα το αποτέλεσµα 6/4 είναι καταχρηστικό κλάσµα. Μπορούµε όµως να το µετατρέψουµε σε µεικτό , όπως έχουµε µάθει:
Έτσι η πράξη µπορεί να γραφεί:
2
- Και η αφαίρεση έτσι γίνεται ; - Ναι. Μπορείς, Κώστα, να βρεις τι µέρος της πίτσας έφαγε ο Νίκος παραπάνω από σένα; - Νοµίζω ότι µπορώ. Ο Νίκος έφαγε 3/8 και εγώ 2/8 . Ο Νίκος δηλαδή έφαγε 1/8 παραπάνω. - Μάλιστα .Έκανες δηλαδή την αφαίρεση: 3/8 – 2/8 = 1/8.
-
Ααα, ώστε κι εδώ κάνουµε το ίδιο µε την πρόσθεση!
Αφαιρούµε τους αριθµητές και αφήνουµε παρονοµαστές.
4
τους ίδιους
- Τότε θα κάνω κι εγώ τότε µια αφαίρεση που σκέφτηκα: 5/7 – 3/7 = 2/7. Σωστά ; - Πολύ σωστά . Για πες µου όµως εσύ, Νίκο: Τελικά πόσα κοµµάτια της πίτσας άφησες για τους άλλους;
- Εγώ έφαγα 3/8 . Άρα για τους άλλους έµειναν… 5/8 ……Χε,χε… Αυτό το προβληµατάκι ήταν αστείο Πώς βρήκα τη λύση όµως;
- Μήπως σκέφτηκες ότι ολόκληρη η πίτσα είναι 8/8 και ότι αν αφαιρέσεις τα 3/8 βρίσκεις 5/8;
3
5
για µένα…
- Ναι, σιγά µη σκέφτηκε ο Νίκος αυτό το πράγµα…
Κι όµως, Ελένη , αυτό ακριβώς είχα σκεφτεί … Απλώς ο κ. Γιάννης µε βοήθησε να το εκφράσω. - Δηλαδή έχουµε :
-Ακριβώς… Δε µου λες, Ελένη, αν είχες µια σοκολάτα και έτρωγες τα
¾ της τι θα περίσσευε;
- Μµµ, πολύ γλυκιά ερώτηση . Θα σκεφτόµουν ότι ολόκληρη η σοκολάτα είναι 4/4 . Αν λοιπόν ήθελα να φάω τα ¾ (και θα το ήθελα στ’αλήθεια) τότε θα έκανα την αφαίρεση:
Θα περίσσευε δηλαδή ¼ , το οποίο θα έδινα στον φίλο Νίκο, γιατί τον αγαπάω κι ας µαλώνουµε ….δηλαδή συνέχεια …
10
4
9
8
πότε πότε
µου το
- Πολύ ωραία… είµαι σίγουρος ότι έτσι νιώθετε ο ένας για τον άλλον… Αν είχαµε τώρα 3 τέτοιες σοκολάτες και έτρωγα εγώ τα ¾ τι θα περίσσευε για σας; - Νοµίζω ότι θα κάνουµε κάτι παρόµοιο µε αυτό που είπε η Ελένη . Ο ακέραιος 3 µπορεί να µετατραπεί σε κλάσµα : 3 = 12/4. Μετά µπορούµε να κάνουµε την αφαίρεση κανονικά:
-
Πολύ ωραία . Τόσο θα έµενε 11 για τους υπόλοιπους … ας µην σας κουράζω όµως άλλο . Είναι ώρα να φάµε το παγωτό µας..
- Ποιο παγωτό ; Το γαλατάκι 12 µας πείτε καλύτερα..
5
Έφαγαν λοιπόν όσο παγωτό ήθελαν και το υπόλοιπο το έβαλαν στο ψυγείο. - Σπουδαία εφεύρεση το ψυγείο τελικά . Τρως όσο θέλεις και το υπόλοιπο το συντηρείς , χωρίς να φοβάσαι µήπως χαλάσει.Και όλες οι ηλεκτρικές συσκευές 16 είναι πολύ σπουδαίες και χρήσιµες. Θαυµάζεις το µυαλό του ανθρώπου που χρησιµοποιεί τον ηλεκτρισµό 17 µε τέτοιο τρόπο… - Ωχ, παιδιά , το στοµάχι µου. …. ή κάτι άλλο γύρω από το στοµάχι µου 18 .. Μου φαίνεται ότι το παράκανα πάλι… Πρέπει να έφαγα περίπου το 1/3 του παγωτού..
- Είδες τι παθαίνεις µε τη λαιµαργία σου; Ενώ εγώ έφαγα κανονικά όσο έπρεπε, γύρω στο 1/5 του παγωτού.
- Δηλαδή πόσο φάγατε και οι δύο µαζί;
6
Ωχ µη µιλάτε για αριθµούς , γιατί πονάω περισσότερο.., ωχ, ωχ , το στοµαχάκι µου ..
Καηµένε Νίκο, πώς σε καταλαβαίνω… Μα και σεις κ.Γιάννη, τι είναι αυτά που µας ρωτάτε; Πώς να προσθέσουµε δυο κλάσµατα που είναι ετερώνυµα; -
Βέβαια έτσι όπως είναι δεν µπορούµε να τα προσθέσουµε . Μπορούµε όµως να τα µετατρέψουµε σε οµώνυµα και µετά να κάνουµε την πρόσθεση. -
Εσύ Νίκο, ξάπλωσε αν θέλεις στον καναπέ … 19 Εµείς οι υπόλοιποι θα πούµε πώς το κάνουµε αυτό…. Έχουµε λοιπόν να προσθέσουµε τα κλάσµατα 1/3 + 1/5 . Η διαδικασία αποτελείται από τρία βήµατα. 20
Α. Βρίσκουµε το ΕΚΠ των ̟αρονοµαστών 3 και 5 : 5 3 10 15 Ε̟οµένως Ε.Κ.Π. ( 3,5) = 15 Β. Βάζουµε ̟άνω α̟ό το κάθε κλάσµα ένα κα̟ελάκι και διαιρούµε το ΕΚΠ µε τον ̟αρονοµαστή του κάθε κλάσµατος και αυτό ̟ου βρίσκουµε το βάζουµε στο αντίστοιχο κα̟ελάκι.
Γ . Πολλα̟λασιάζουµε τους όρους του κάθε κλάσµατος µε τον αριθµό στο αντίστοιχο κα̟ελάκι και δηµιουργούµε δύο νέα κλάσµατα ισοδύναµα µε τα αρχικά και οµώνυµα. Αυτά τα κλάσµατα τα ̟ροσθέτουµε µε τον τρό̟ο ̟ου ξέρουµε:
7
- Ωχ, τι έχουµε να τραβήξουµε φέτος µ’αυτούς τους σιδηρόδροµους… …. Και µε πονάει και το στοµάχι µου ! …. Όι , όι µάνα µου…..
- Παιδιά, ο Νίκος άρχισε να απαγγέλνει Ελύτη .
- Εγώ πάντως καταλαβαίνω τον πόνο του… Φέτος στα Μαθηµατικά θα πάθουµε µια πανωλεθρία χειρότερη από αυτήν που έπαθαν οι Πέρσες και οι
Άβαροι όταν πολιόρκησαν την Κωνσταντινούπολη.
23
24
25
Ηρεµήστε παιδιά . Ό,τι βλέπουµε ή ακούµε για πρώτη φορά µας φαίνεται δύσκολο. Όταν όµως καταπιαστούµε µε αυτό και το µελετήσουµε αρκετά , το συνηθίζουµε και µας φαίνεται πιο εύκολο 26 -
- Και οι άλλες πράξεις έτσι γίνονται στα ετερώνυµα κλάσµατα;
- Η αφαίρεση γίνεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο που γίνεται και η πρόσθεση. Ας χρησιµοποιήσουµε πάλι το ίδιο παράδειγµα µε πριν. Αν θέλουµε να βρούµε πόσο περισσότερο παγωτό έφαγε ο Νίκος από την Ελένη θα πρέπει να αφαιρέσουµε το 1/5 από το 1/3. Η διαδικασία είναι η ίδια:
8