1.7 Estimaciones y cálculos de Fermi

En muchas ocasiones, los físicos, otros científicos e ingenieros necesitan hacer estimaciones para una cantidad en particular. Otros términos utilizados a veces son estimaciones aproximadas, aproximaciones de orden de magnitud, cálculos de respaldo de la envolvente o cálculos de Fermi2 . ¿Encajará ese equipo en la parte trasera del automóvil o necesitamos alquilar un camión? ¿Cuánto tiempo llevará esta descarga? ¿Qué tan grande será la corriente en este circuito cuando esté encendido? ¿Cuántas casas podría una planta de energía soportar? Ten en cuenta que estimar no significa adivinar un número o una fórmula al azar. Más bien, la estimación significa usar la experiencia previa y un razonamiento físico sólido para llegar a una idea aproximada del valor de una cantidad. Debido a que el proceso de determinación de una aproximación confiable generalmente implica la identificación de principios físicos correctos y una buena suposición acerca de las variables relevantes, la estimación es muy útil para desarrollar la intuición física. Las estimaciones también nos permiten realizar "controles de cordura" sobre los cálculos o las propuestas de políticas al ayudarnos a descartar ciertos escenarios o números poco realistas. Nos permiten desafiar a otros (así como a nosotros mismos) en nuestros esfuerzos por aprender verdades sobre el mundo.

Muchas estimaciones se basan en fórmulas en las cuales las cantidades de entrada son conocidas solo con una precisión limitada. A medida que desarrollas habilidades de resolución de problemas de física, también desarrollarás habilidades para estimar. Desarrollas estas habilidades pensando más cuantitativamente y estando dispuesto a asumir riesgos.

2 El físico Enrico Fermi era famoso por su capacidad para estimar diversos tipos de datos con sorprendente precisión.

Como con cualquier habilidad, la experiencia ayuda. La familiaridad con las dimensiones y las unidades también ayudan. Para avanzar en la estimación, debes tener algunas ideas claras sobre cómo se relacionan las variables. Las siguientes estrategias pueden ayudarte a practicar el arte de la estimación: Al estimar longitudes, recuerde que cualquier cosa puede ser una regla. Por lo tanto, imagina dividir una cosa grande en cosas más pequeñas, estimar la longitud de una de las cosas más pequeñas y multiplicar para obtener la longitud de la cosa grande. Por ejemplo, para estimar la altura de un edificio, primero cuenta cuántos pisos tiene. Luego, calcula qué tan grande es un solo piso al imaginar cuántas personas tendrían que pararse sobre los hombros para llegar al techo. Por último, estima la altura de una persona. El producto de estas tres estimaciones es tu estimación de la altura del edificio. Es útil haber memorizado algunas escalas de longitud relevantes para los tipos de problemas que te encuentras resolviendo. Por ejemplo, conocer algunas escalas de longitud en la Figura 1.4 puede ser útil. A veces también ayuda a hacer esto en reversa, es decir, para estimar la longitud de una cosa pequeña, imagina que un grupo de ellos hace una cosa más grande. Por ejemplo, para estimar el grosor de una hoja de papel, estima el grosor de una pila de papel y luego divide por el número de páginas en la pila. Estas mismas estrategias de dividir cosas grandes en cosas más pequeñas o agregar cosas más pequeñas en una cosa más grande a veces se pueden usar para estimar otras cantidades físicas, como las masas y los tiempos. Obten áreas y volúmenes a partir de longitudes. Al tratar con un área o un volumen de un objeto complejo, introduce un modelo simple del objeto, como una esfera o una caja.

Luego, primero calcula las dimensiones lineales (como el radio de la esfera o la longitud, el ancho y la altura de la caja) y utiliza sus estimaciones para obtener el volumen o el área a partir de las fórmulas geométricas estándar. Si tienes una estimación del área o volumen de un objeto, también puedes hacer lo contrario; es decir, usa fórmulas geométricas estándar para obtener una estimación de sus dimensiones lineales.

Obten masas de volúmenes y densidades. Al estimar masas de objetos, primero puede ayudar a estimar su volumen y luego estimar su masa a partir de una estimación aproximada de su densidad promedio (recuerda, la densidad tiene como dimensión la masa sobre la longitud al cubo, entonces la masa es densidad por volumen). Para esto, es útil recordar que la densidad del aire es de alrededor de , la densidad del agua es de y los sólidos más densos alcanzan un máximo de alrededor de . Preguntándote si un objeto flota o se hunde en el aire o en el agua, obtienes una estimación aproximada de su densidad. También puedes hacer esto al revés; si tienes una estimación de la masa de un objeto y su densidad, puedes usarlos para obtener una estimación de su volumen.

Si todo lo demás falla. Para cantidades físicas para las que no tienes mucha intuición, a veces lo mejor que puedes hacer es pensar algo así como: Bueno, debe ser más grande que esto y más pequeño que eso. Por ejemplo, supongamos que necesitas estimar la masa de un alce. Tal vez tengas mucha experiencia con alces y conozcas su masa media de forma espontánea. Si es así, genial. Pero para la mayoría de las personas, lo mejor que pueden hacer es pensar algo así como: debe ser más grande que una persona ( 2 ) y menos que un automóvil ( ).

1 kg/m3 103 kg/m3

104 kg/m3

10 kg 103 kg

Si necesitas un solo número para un cálculo posterior, puedes tomar la media geométrica del límite superior e inferior, es decir, multiplicarlos juntos y luego tomar la raíz cuadrada. Para el ejemplo de masa de alce, esto sería

Cuanto más ajustados sean los límites, mejor. Además, no hay reglas irrompibles en lo que respecta a la estimación. Si crees que el valor de la cantidad es probable que esté más cerca del límite superior que el límite inferior, entonces puedes querer aumentar su estimación de la media geométrica en un orden o dos de magnitud. No es necesario ir más allá de una cifra significativa al hacer cálculos para obtener un estimado. En la mayoría de los casos, el orden de magnitud es suficientemente bueno. El objetivo es solo obtener la figura del estadio, así que mantenga la aritmética lo más simple posible. Pregúntate: ¿tiene sentido esto? Por último, verifica si tu respuesta es razonable. ¿Cómo se compara con los valores de otras cantidades con las mismas dimensiones que tu ya sabes o puedes buscar fácilmente? Si obtienes alguna respuesta absurda (por ejemplo, si estima que la masa del Océano Atlántico es más grande que la masa de la Tierra, o que algún lapso de tiempo es más largo que la edad del universo), primero verifica si tus unidades son correctas. Luego, verifica los errores aritméticos. Luego, reconsidere la lógica que usaste para llegar a tu respuesta. Si todo se comprueba, es posible que hayas demostrado que una nueva idea ingeniosa es en realidad falsa.

(102 × 103)0.5 = 102.5 = 100.5 × 102 ≈ 3 × 102 kg

Ejemplo 1.6

Masa de los océanos de la tierra

Estima la masa total de los océanos en la Tierra.

Estrategia Sabemos que la densidad del agua es aproximadamente , por lo que comenzamos con el consejo de "obtener masas a partir de densidades y volúmenes". Por lo tanto, necesitamos estimar el volumen de los océanos del planeta. Usando el consejo de "obtener áreas y volúmenes a partir de longitudes", podemos estimar el volumen de los océanos como el área de la superficie por la profundidad promedio, o . 102 kg/m3 V = AD

Conocemos el diámetro de la Tierra de la Figura 1.4 y sabemos que la mayor parte de la superficie de la Tierra está cubierta de agua, por lo que podemos estimar que el área de la superficie de los océanos es aproximadamente igual a la superficie del planeta. Siguiendo el consejo de "obtener áreas y volúmenes de longitudes" de nuevo, podemos aproximar a la Tierra como una esfera y usar la fórmula para el área de superficie de una esfera de diámetro d, es decir, , para estimar el área de la superficie de los océanos. Ahora, solo tenemos que estimar la profundidad promedio de los océanos. Sabemos que los puntos más profundos del océano están a unos 10 km y que no es raro que el océano esté a más de 1 km, por lo que la profundidad promedio puede estar alrededor de ( A = π; d2 103 × 104)0.5 ≈

3 × 103 m

Ahora, sólo tenemos que poner todo junto.

Estimamos que el área de superficie de la Tierra (y por lo tanto el área de la superficie de los océanos de la Tierra) es aproximadamente

A continuación, utilizando nuestra estimación de profundidad promedio de 3 , que se obtuvo mediante el límite, estimamos que el volumen de los océanos de la Tierra será

Por último, estimamos que la masa de los océanos del mundo será

Por lo tanto, estimamos que el orden de magnitud de la masa de los océanos del planeta es . Verificación Para verificar nuestra respuesta lo mejor que podamos, primero debemos responder a la pregunta: ¿Tiene sentido esto? De la Figura 1.4, vemos que la masa de la atmósfera de la Tierra es del orden de y la masa de la Tierra es del orden de . Es tranquilizador que nuestra estimación de para la masa de los océanos de la Tierra se encuentre entre estos dos. Entonces, sí, parece tener sentido.

A = πd2 = π(107 m)2 ≈ 3 × 1014 m2 A = πd2 = π(107 m)2 ≈ 3 × 1014 m2

D = 3 × 10 m

V = AD = (3 × 1014 m 2)(3 × 103 m) = 9 × 1017 m3 V = AD = (3 × 1014 m2)(3 × 103 m) = 9 × 1017 m3

M = ρV = (103 kg/m3)(9 × 1017 m3) = 9 × 1020 kg M = ρV = (103 kg/m3)(9 × 1017 m3) = 9 × 1020 kg

1021 kg

1019 kg 1025 kg 1021 kg