2.2.2 Álgebra de vectores en dos dimensiones

Comprueba tu aprendizaje 2.2

Un buzo de cueva entra en un túnel submarino largo. Cuando su desplazamiento con respecto al punto de entrada es de , accidentalmente deja caer su cámara, pero no nota que falta hasta que está a unos más adentro del túnel. Él nada hacia atrás pero no puede encontrar la cámara, por lo que decide terminar la inmersión. ¿Qué tan lejos del punto de entrada está él? Tomando la dirección positiva del túnel, ¿cuál es su vector de desplazamiento en relación con el punto de entrada? 20m 6m 10m

2.2.2 Álgebra de vectores en dos dimensiones

Cuando los vectores se encuentran en un plano, es decir, cuando están en dos dimensiones, pueden multiplicarse por escalares, sumarse a otros vectores o restarse de otros vectores de acuerdo con las leyes generales expresadas por la Ecuación 2.1, Ecuación 2.2, Ecuación 2.7 y ecuación 2.8. Sin embargo, la regla de adición para dos vectores en un plano se vuelve más complicada que la regla para la adición de vectores en una dimensión. Tenemos que usar las leyes de la geometría para construir los vectores resultantes, seguidos de la trigonometría para encontrar las magnitudes y direcciones del vector. Este enfoque geométrico se usa comúnmente en navegación (Figura 2.9). En esta sección, necesitamos tener a mano dos reglas, un triángulo, un transportador, un lápiz y un borrador para dibujar vectores a escala mediante construcciones geométricas. Para una construcción geométrica de la suma de dos vectores en un plano, seguimos la regla del paralelogramo. Supongamos que dos vectores y están en las posiciones arbitrarias que se muestran en la Figura 2.10.

A B

Figura 2.9. En navegación, las leyes de la geometría se usan para dibujar desplazamientos resultantes en mapas náuticos.

Traslada cualquiera de ellos en paralelo al comienzo del otro vector, de modo que después de la traslación, ambos vectores tengan su origen en el mismo punto. Ahora, al final del vector dibujamos una línea paralela al vector B y al final del vector dibujamos una línea paralela al vector (las líneas discontinuas en la Figura 2.10). De esta forma, obtenemos un paralelogramo. Del origen de los dos vectores dibujamos una diagonal que es la resultante de los dos vectores: (Figura 2.10 (a)). La otra diagonal de este paralelogramo es la diferencia vectorial de los dos vectores , como se muestra en la Figura 2.10 (b). Observa que el final del vector diferencia se coloca al final del vector . A B A R R = A + B

D = A − B

A

Figura 2.10. La regla del paralelogramo para la suma de dos vectores. Haz la traslación paralela de cada vector a un punto donde coincidan sus orígenes (marcados con el punto) y construye un paralelogramo con dos lados en los vectores y los otros dos lados (indicados por líneas discontinuas) paralelos a los vectores. (a) Dibuja el vector resultante R a lo largo de la diagonal del paralelogramo desde el punto común a la esquina opuesta. La longitud R del vector resultante no es igual a la suma de las magnitudes de los dos vectores. (b) Dibuja el vector diferencia D = A − B a lo largo de la diagonal que conecta los extremos de los vectores. Coloca el origen del vector D al final del vector B y el final (punta de flecha) del vector D al final del vector A. La longitud $D% del vector diferencia no es igual a la diferencia de magnitudes de los dos vectores.

De la regla del paralelogramo se desprende que ni la magnitud del vector resultante ni la magnitud del vector diferencia se pueden expresar como una suma o diferencia simple de magnitudes A y B, porque la longitud de una diagonal no se puede expresar como una simple suma de longitudes laterales. Cuando se usa una construcción geométrica para encontrar magnitudes y , tenemos que usar leyes de trigonometría para triángulos, lo que puede llevar al álgebra complicada. Hay dos formas de eludir esta complejidad algebraica. Una forma es usar el método de los componentes, que examinamos en la siguiente sección. La otra forma es dibujar los vectores a escala, como se hace en navegación, y leer longitudes aproximadas de los vectores y ángulos (direcciones) de los gráficos. En esta sección examinamos el segundo enfoque. Pero antes de ello, observa los siguientes vídeos y escenas interactivas diseñadas con el editor DescartesJS. ∣R∣ ∣D∣

Video

En los vídeos se muestran tres métodos para sumar vectores en el plano que, para este caso, corresponden a fuerzas aplicadas en un elemento mecánico. El primer método es el del paralelogramo, y los otros dos están asociados al método del polígono, que consiste en unir cabezas con colas para, posteriormente, conformar el polígono con el vector o fuerza resultante.

En la siguiente escena interactiva, diseñada por Juan Guillermo Rivera B., se explica, paso a paso, el método del paralelogramo. Puedes cambiar la dirección de los vectores, usando el botón pulsador. La escena fue diseñada para un curso de mecánica (estática), por ello, los vectores corresponden a fuerzas aplicadas en un punto.

Escena 2.2. Suma de vectores por el método del paralelogramo.

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Si necesitamos agregar tres o más vectores, repetimos la regla del paralelogramo para los pares de vectores hasta que encontremos la resultante de todos los resultados. Para tres vectores, por ejemplo, primero encontramos la resultante del vector 1 y el vector 2, y luego encontramos la resultante de este vector resultante 3.

El orden en el que seleccionamos los pares de vectores no importa porque las operaciones entre vectores es conmutativa y asociativa (ver Ecuación 2.7 y Ecuación 2.8). Antes de que establezcamos una regla general (como la observada en el tercer vídeo), que se deduce de las aplicaciones repetitivas de la regla del paralelogramo, veamos el siguiente ejemplo.

Figura 2.11. Cuando usamos la regla del paralelogramo cuatro veces, obtenemos el vector resultante R = A + B + C + D + E, que es el vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville.

Supongamos que planificas un viaje de vacaciones en Florida. Saliendo de Tallahassee, la capital del estado, planeas visitar a tu tío Joe en Jacksonville, ver a tu primo Vinny en Daytona Beach, detenerte a divertirte un poco en Orlando, ver un espectáculo de circo en Tampa y visitar la Universidad de Florida en Gainesville. Tu ruta puede estar representada por cinco vectores de desplazamiento A, B,C,D y E, que están indicados por los vectores rojos en la Figura 2.11. ¿Cuál es tu desplazamiento total cuando llegas a Gainesville? El desplazamiento total es la suma vectorial de los cinco vectores de desplazamiento, que se pueden encontrar al usar la regla del paralelogramo cuatro veces.

Alternativamente, recuerda que el vector de desplazamiento tiene su comienzo en la posición inicial (Tallahassee) y su final en la posición final (Gainesville), por lo que el vector de desplazamiento total se puede dibujar directamente como una flecha que conecta Tallahassee con Gainesville (observa el vector verde en la Figura 2.11). Cuando usamos la regla del paralelogramo cuatro veces, la resultante R es exactamente este vector verde que conecta Tallahassee con Gainesville: . Dibujar el vector resultante de muchos vectores se puede generalizar usando la siguiente construcción geométrica de la cabeza a la cabeza. Supongamos que queremos dibujar el vector resultante R de cuatro vectores (Figura 2.12 (a)). Seleccionamos cualquiera de los vectores como primer vector y hacemos una traslación paralela de un segundo vector a una posición donde el origen ("cola") del segundo vector coincide con el final ("cabeza") del primer vector. Luego, seleccionamos un tercer vector y hacemos una traslación paralela del tercer vector a una posición donde el origen del tercer vector coincide con el final del segundo vector. Repetimos este procedimiento hasta que todos los vectores estén en una disposición de cabeza a cola como la que se muestra en la Figura 2.12 y en el tercer vídeo anterior. Dibujamos el vector resultante conectando el origen ("cola") del primer vector con el final ("cabeza") del último vector. El final del vector resultante está al final del último vector. Debido a que la adición de vectores es asociativa y conmutativa, obtenemos el mismo vector resultante independientemente del vector que elijamos para ser el primero, el segundo, el tercero o el cuarto en esta construcción.

R = A + B + C + D + E

A, B,C y D R

Figura 2.12. Método de cabeza y cola para dibujar el vector resultante . (a) Cuatro vectores de diferentes magnitudes y direcciones. (b) Los vectores en (a) se trasladan a nuevas posiciones donde el origen ("cola") de un vector se encuentra al final ("cabeza") de otro vector. El vector resultante se dibuja desde el origen ("cola") del primer vector hasta el final ("cabeza") del último vector en esta disposición. Este método se conoce como el método del polígono R = A + B + C + D

Ejemplo 2.2

Construcción geométrica de la resultante Los tres vectores de desplazamiento A, B y C en la Figura 2.13 se especifican por sus magnitudes A = 10.0, B = 7.0 y C = 8.0, respectivamente, y por sus respectivos ángulos de dirección con la dirección horizontal α = 35° , β = −110° y γ = 30° . Las unidades físicas de las magnitudes son centímetros. Elige una escala conveniente y usa una regla y un transportador para encontrar las siguientes sumas de vectores: (a) , (b) y (c) R = A + B D = A − B S = A − 3B + C

Figura 2.13. Vectores usados en el Ejemplo 2.2.

Estrategia En la construcción geométrica, encontrar un vector significa encontrar su magnitud y su ángulo de dirección con la dirección horizontal. La estrategia es dibujar para escalar los vectores que aparecen en el lado derecho de la ecuación y construir el vector resultante. Luego, usar una regla y un transportador para leer la magnitud de la resultante y el ángulo de dirección. Para las partes (a) y (b) usamos la regla del paralelogramo. Para (c) usamos el método de cabeza y cola o del polígono. Solución

Para las partes (a) y (b), adjuntamos el origen del vector al origen del vector como se muestra en la Figura 2.14, y construimos un paralelogramo. La diagonal más corta de este paralelogramo es la suma . La más larga de las diagonales es la diferencia . Usamos una regla para medir las longitudes de las diagonales, y un transportador para medir los ángulos con la horizontal. Para la resultante , obtenemos y . B A A + B A − B R R = 5.8cm θR ≈ 0°

Para la diferencia D, obtenemos D = 16.2cm y θD = 49.3°

, que se

muestran en la Figura 2.14.

Figura 2.14. Uso de la regla del paralelogramo para (a) (encontrar la resultante, rojo) y (b) (encontrar la diferencia, azul).

Para (c), podemos comenzar con el vector −3B + B y dibujar los vectores restantes a la cola como se muestra en la Figura 2.15. En la suma de vectores, el orden en que los dibujamos no es importante, pero dibujar los vectores a escala es muy importante. A continuación, dibujamos el vector S + B desde el origen del primer vector hasta el final del último y colocamos la punta de flecha al final de S + B. Usamos una regla para medir la longitud de S + B, y encontramos que su magnitud es S = 36.9cm. Usamos un transportador y descubrimos que su ángulo de dirección es θS = 52.9°. Esta solución se muestra en la Figura 2.15.

Figura 2.15. Uso del método de cabeza y cola para (c) (encontrar el vector B, verde).

Comprueba tu aprendizaje 2.3

Usando los tres vectores de desplazamiento A,B y F en la Figura 2.13, elige una escala conveniente, y use una regla y un transportador para encontrar el vector G dado por la ecuación vectorial G = A + 2B − F.