1.8 Cifras significativas

Ocurre que hicimos una búsqueda en la Web de "masa de océanos" y los resultados de búsqueda principales indicaron , que es del mismo orden de magnitud que nuestro cálculo. Ahora, en lugar de tener que confiar ciegamente en quien primero colocó ese número en un sitio web (la mayoría de los otros sitios probablemente solo lo copiaron, después de todo), podemos tener un poco más de confianza en él. 1.4 × 1021 kg

Comprueba tu aprendizaje 1.7

La Figura 1.4 dice que la masa de la atmósfera es . Suponiendo que la densidad de la atmósfera es de , estima la altura de la atmósfera de la Tierra. ¿Crees que tu respuesta es una subestimación o una sobreestimación? Explicar por qué. 1019 kg 1 kg/m3

La Figura 1.11 muestra dos instrumentos utilizados para medir la masa de un objeto. La báscula digital ha reemplazado, en su mayoría, a la balanza de doble bandeja en los laboratorios de física, porque brinda mediciones más precisas.

¿Pero a qué nos referimos exactamente por precisión? ¿No son lo mismo? En esta sección, examinamos en detalle el proceso de calcular y reportar una medición.

Figura 1.11. (a) Se usa una balanza mecánica de doble asa para comparar diferentes masas. Por lo general, un objeto con masa desconocida se coloca en una bandeja y los objetos de masa conocida se colocan en la otra bandeja. Cuando la barra que conecta las dos bandejas es horizontal, entonces las masas en ambas bandejas son iguales. Las "masas conocidas" son típicamente cilindros metálicos de masa estándar tales como 1 g,10 g y 100 g. (b) Muchas balanzas mecánicas, como las balanzas de doble bandeja, han sido reemplazadas por balanzas digitales, que típicamente pueden medir la masa de un objeto con mayor precisión. Un equilibrio mecánico puede leer solo la masa de un objeto al décimo de gramo más cercano, pero muchas escalas digitales pueden medir la masa de un objeto hasta la milésima de gramo más cercana. (crédito a: modificación del trabajo por Serge Melki, crédito b: modificación del trabajo por Karel Jakubec)

Exactitud y precisión de una medición La ciencia se basa en la observación y el experimento, es decir, en las mediciones. La exactitud es qué tan cerca está una medición del valor de referencia aceptado para esa medición. Por ejemplo, supongamos que queremos medir la longitud del papel de la impresora estándar. El paquete en el que compramos el papel indica que mide 11.0 pulgadas de largo. Luego medimos la longitud del papel tres veces y obtenemos las siguientes medidas: y . Estas mediciones son bastante precisas porque están muy cerca del valor de referencia de . Por contraste, si obtuvimos una medida de pulgadas, nuestra medición no sería muy precisa. Ten en cuenta que el concepto de exactitud requiere que se proporcione un valor de referencia aceptado. 11.1 pulg.,11.2 pulg 10.9 pulg 11.0 pulg 12

La precisión de las mediciones se refiere a cuán cerca está el acuerdo entre mediciones independientes repetidas (que se repiten en las mismas condiciones). Considere el ejemplo de las medidas de papel. La precisión de las mediciones se refiere a la propagación de los valores medidos. Una forma de analizar la precisión de las mediciones es determinar el rango o diferencia entre los valores medidos más bajos y los más altos. En este caso, el valor más bajo fue pulgadas y el valor más alto fue pulgadas. Por lo tanto, los valores medidos se desviaron unos de otros, a lo sumo, pulgadas. Estas mediciones fueron relativamente precisas porque no variaron demasiado en valor. Sin embargo, si los valores medidos hubieran sido y , entonces las mediciones no serían muy precisas porque habría una variación significativa de una medición a otra. Ten en cuenta que el concepto de precisión solo depende de las medidas reales adquiridas y no depende de un valor de referencia aceptado. Las medidas en el ejemplo de papel son precisas, pero en algunos casos, las mediciones son precisas pero no exactas, o son exactas pero no precisas. Consideremos un ejemplo de un GPS que intenta ubicar la posición de un restaurante en una ciudad. Piense en la ubicación del restaurante como existente en el centro de un objetivo y piense en cada intento del GPS de ubicar el restaurante como un punto negro. En la Figura 1.12 (a), vemos que las mediciones de GPS están separadas unas de otras, pero todas están relativamente cerca de la ubicación real del restaurante en el centro del objetivo. Esto indica un sistema de medición de alta exactitud y baja precisión. Sin embargo, en la Figura 1.12 (b), las mediciones de GPS se concentran bastante cerca unas de otras, pero están lejos de la ubicación objetivo. Esto indica un sistema de medición de alta precisión y baja exactitud. 10.9 11.2 0.3 10.9 pulg.,11.1 pulg. 11.9 pulg.

Figura 1.12. Un GPS intenta ubicar un restaurante en el centro de la diana. Los puntos negros representan cada intento de identificar la ubicación del restaurante. (a) Los puntos están separados unos de otros, lo que indica baja precisión, pero cada uno está bastante cerca de la ubicación real del restaurante, lo que indica una gran exactitud. (b) Los puntos se concentran bastante cerca el uno del otro, lo que indica una gran precisión, pero están bastante lejos de la ubicación real del restaurante, lo que indica baja exactitud. (crédito a y crédito b: modificación de obras de Dark Evil)

Exactitud, Precisión, Incertidumbre y Discrepancia

La precisión de un sistema de medición está relacionada con la incertidumbre en las mediciones, mientras que la exactitud está relacionada con la discrepancia con respecto al valor de referencia aceptado. La incertidumbre es una medida cuantitativa de cuánto se desvían los valores medidos el uno del otro. Existen muchos métodos diferentes para calcular la incertidumbre, cada uno de los cuales es apropiado para diferentes situaciones. Algunos ejemplos incluyen tomar el rango (es decir, el más grande menos el más pequeño) o encontrar la desviación estándar de las mediciones. La discrepancia (o "error de medición") es la diferencia entre el valor medido y un valor estándar o esperado dado. Si las medidas no son muy precisas, entonces la incertidumbre de los valores es alta. Si las medidas no son muy exactas, entonces la discrepancia de los valores es alta.

Recuerda nuestro ejemplo de medir la longitud del papel; obtuvimos medidas de y , y el valor aceptado fue Podríamos promediar las tres mediciones para decir que nuestra mejor estimación es ; en este caso, nuestra discrepancia es , que proporciona una medida cuantitativa de exactitud. Podríamos calcular la incertidumbre en nuestra mejor estimación utilizando el rango de nuestros valores medidos: Entonces diríamos que la longitud del papel es

A

más o menos La incertidumbre en una medición , es a menudo denotado como (leer "delta A"), por lo que el resultado de la medición se registraría como . Volviendo a nuestro ejemplo en papel, la longitud medida del papel podría expresarse como Dado que la discrepancia de es menor que la incertidumbre de , podríamos decir que el valor medido concuerda con el valor de referencia aceptado dentro de la incertidumbre experimental.

11.1 pulg.,11.2 pulg. 10.9 pulg. 11.0 pulg. 11.1 pulg. 11.1 − 11.0 = 0.1 pulg. 0.3 pulg. 11.1 pulg. 0.3 pulg. δA A ± δA 11.1 ± 0.3 pulg. 0.1 pulg 0.3 pulg.

Algunos factores que contribuyen a la incertidumbre en una medición son los siguientes: Limitaciones del dispositivo de medición La habilidad de la persona que toma la medida Irregularidades en el objeto que se mide Cualquier otro factor que afecte el resultado (altamente dependiente de la situación)

En nuestro ejemplo, los factores que contribuyen a la incertidumbre podrían ser que la división más pequeña en la regla sea , La persona que usa la regla tiene mala vista, la regla está desgastada en un extremo, o una de las caras del papel es un poco más largo que el otro. 1/16 pulg.

En cualquier caso, la incertidumbre en una medición debe calcularse para cuantificar su precisión. Si se conoce un valor de referencia, tiene sentido calcular la discrepancia y cuantificar su exactitud.

Escena 1.4. Medida con un dispositivo de precisión

Porcentaje de incertidumbre

Otro método para expresar la incertidumbre es como un porcentaje del valor medido. Si una medida A se expresa con incertidumbre , la incertidumbre porcentual se define como δA

Porcentaje de incertidumbre = δA ×A 100%

Ejemplo 1.7

Cálculo del porcentaje de incertidumbre: una bolsa de manzanas Una tienda de comestibles vende bolsas de manzanas de .5 lb

Digamos que compramos cuatro bolsas durante el transcurso de un mes y pesamos las bolsas cada vez. Obtenemos las siguientes medidas:

Peso de la semana 1: 4.8 lb Peso de la semana 2: 5.3 lb Peso de la semana 3: 4.9 lb Peso de la semana 4: 5.4 libras

Luego determinamos que el peso promedio de la bolsa de manzanas de es . ¿Cuál es el porcentaje de incertidumbre del peso de la bolsa? Estrategia Primero, observa que el valor promedio del peso de la bolsa, A, es

La incertidumbre en este valor, , es . Podemos usar la siguiente ecuación para determinar el porcentaje de incertidumbre del peso:

Solución

Sustituye los valores en la ecuación:

5 lb 5.1 ± 0.2 lb

5.1 lb.

δA 0.2 lb

Porcentaje de incertidumbre = δA × A 100% (1.1)

Porcentaje de incertidumbre = δA × 100%A = 5. 0. 1 2 l l b b × 100% = 3.9% ≈ 4%

Verificación Podemos concluir que el peso promedio de una bolsa de manzanas en esta tienda es de . Observa que la incertidumbre porcentual es adimensional porque las unidades de peso en cancelaron aquellas en cuando tomamos la razón.

5.1 lb ± 4% δA =

0.2 lb A = 5.1 lb

Comprueba tu aprendizaje 1.8

Un entrenador de atletismo acaba de comprar un nuevo cronómetro. El manual indica que el cronómetro tiene una incertidumbre de ±0.05 s. Los corredores en el equipo del entrenador de atletismo regularmente cronometran sprints de 100 m de 11.49 s a 15.01 s. En el último encuentro de atletismo de la escuela, el velocista en primer lugar llegó a 12.04 s y el velocista en segundo lugar entró a los 12.07 s. ¿El nuevo cronómetro del entrenador será útil para cronometrar el equipo de sprint? ¿Por qué o por qué no?

Incertidumbres en los cálculos

La incertidumbre existe en cualquier cosa calculada a partir de cantidades medidas. Por ejemplo, el área de un piso calculada a partir de mediciones de su longitud y ancho tiene una incertidumbre porque la longitud y el ancho tienen incertidumbres. ¿Qué tan grande es la incertidumbre en algo que se calcula por multiplicación o división? Si las mediciones que entran en el cálculo tienen pequeñas incertidumbres (un pequeño porcentaje o menos), entonces el método de agregar porcentajes se puede usar para la multiplicación o división.

Este método indica que la incertidumbre porcentual en una cantidad calculada por multiplicación o división es la suma de las incertidumbres porcentuales en la información utilizada para hacer el cálculo. Por ejemplo, si un piso tiene una longitud de y un ancho de , con incertidumbres del y , respectivamente, entonces el área del piso es de y tiene una incertidumbre del (Expresado como un área, esto es , que redondeamos a ya que el área del piso se da a una décima de metro cuadrado). 4.00 m 3.00 m 2% 1% 12.0 m 2 3 % 0.36m2[12.0 m2 × 0.03] 0.4 m2

Precisión de herramientas de medición y cifras significativas

Un factor importante en la precisión de las mediciones involucra la precisión de la herramienta de medición. En general, una herramienta de medición precisa es aquella que puede medir valores en incrementos muy pequeños. Por ejemplo, una regla estándar puede medir la longitud al milímetro más cercano, mientras que una pinza puede medir la longitud al milímetro más cercano. El calibrador es una herramienta de medición más precisa porque puede medir diferencias extremadamente pequeñas en longitud. Cuanto más precisa sea la herramienta de medición, más precisas serán las mediciones. Cuando expresamos valores medidos, solo podemos enumerar tantos dígitos como medimos inicialmente con nuestra herramienta de medición. Por ejemplo, si usamos una regla estándar para medir la longitud de un palo, podemos medirlo en . No podemos expresar este valor como porque nuestra herramienta de medición no es lo suficientemente precisa como para medir una centésima de centímetro. Cabe señalar que el último dígito en un valor medido ha sido estimado de alguna manera por la persona que realiza la medición. 36.7 cm 36,71 cm

Por ejemplo, la persona que mide la longitud de un palo con una regla nota que la longitud del palo parece estar en algún lugar entre 36.6 cm y 36.7 cm, y él o ella debe estimar el valor del último dígito. Usando el método de cifras significativas, la regla es que el último dígito anotado en una medición es el primer dígito con cierta incertidumbre. Para determinar el número de dígitos significativos en un valor, comience con el primer valor medido a la izquierda y cuente el número de dígitos hasta el último dígito escrito a la derecha. Por ejemplo, el valor medido tiene tres dígitos o tres cifras significativas. Las cifras significativas indican la precisión de la herramienta de medición utilizada para medir un valor.

36.7 cm

Ceros

Se presta especial consideración a los ceros cuando se cuentan cifras significativas. Los ceros en 0.053 no son significativos porque son marcadores de posición que ubican el punto decimal. Hay dos cifras significativas en 0.053. Los ceros en 10.053 no son marcadores de posición; ellos son significativos, Este número tiene cinco cifras significativas. Los ceros en 1300 pueden o no ser significativos, dependiendo del estilo de escritura de los números. Podrían significar que el número es conocido por el último dígito o podrían ser marcadores de posición. Entonces, 1300 podría tener dos, tres o cuatro cifras significativas. Para evitar esta ambigüedad, deberíamos escribir en notación científica como 3 , o , dependiendo si tiene dos, tres o cuatro cifras. Los ceros son significativos, excepto cuando solo sirven como marcadores de posición. 1300 1.3 × 10 ,1.30 × 103 1.300 × 103

Cifras significativas en los cálculos

Cuando se combinan mediciones con diferentes grados de precisión, el número de dígitos significativos en la respuesta final no puede ser mayor que el número de dígitos significativos en el valor medido menos preciso. Hay dos reglas diferentes, una para la multiplicación y la división y la otra para la suma y la resta. 1. Para la multiplicación y la división, el resultado debe tener el mismo número de cifras significativas que la cantidad con el menor número de cifras significativas que entran en el cálculo. Por ejemplo, el área de un círculo se puede calcular a partir de su radio utilizando . Veamos cuántas figuras significativas tiene el área si el radio tiene solo dos, digamos, . Usando una calculadora con una salida de ocho dígitos, calcularíamos

Pero como el radio tiene solo dos cifras significativas, limita la cantidad calculada a dos cifras significativas, o a , aunque π es bueno para al menos ocho dígitos. 2. Para sumar y restar, la respuesta no puede contener más decimales que la medición menos precisa. Supongamos que compramos de papas en una tienda de abarrotes según lo medido con una báscula con precisión de , luego dejamos caer de papas en el laboratorio, según lo determinado por una balanza con una precisión de . A = πr2 r = 1.2 m

A = πr 2 = (3.1415927…) × (1.2 m)2 = 4.5238934 m 2

A = 4.5 m2 7,56 kg

0,01 kg 6,052 kg

0,001kg

Luego, nos vamos a casa y agregamos de papas, según lo medido por una báscula de baño con una precisión de . ¿Cuántos kilogramos de patatas tenemos ahora y cuántas cifras significativas son apropiadas en la respuesta? La masa se encuentra por simple suma y resta: . A continuación, identificamos la medida menos precisa: . Esta medida se expresa con el decimal de , por lo que nuestra respuesta final también debe expresarse con el decimal de . Por lo tanto, la respuesta se redondea al décimo lugar, lo que nos da . 13,7 kg 0,1 kg 7.56 kg − 6.052 kg + 13.7 kg = 15.208 kg 13,7 kg 0,1 0,1

15,2 kg

Cifras significativas en este texto

En este texto, se supone que la mayoría de los números tienen tres cifras significativas. Además, se usan números consistentes de cifras significativas en todos los ejemplos trabajados. Una respuesta dada a tres dígitos se basa en una entrada buena por lo menos a tres dígitos, por ejemplo, si la entrada tiene menos cifras significativas, la respuesta también tendrá menos cifras significativas. También se tiene cuidado de que el número de cifras significativas sea razonable para la situación planteada. En algunos temas, particularmente en óptica, se necesitan números más precisos y utilizamos más de tres cifras significativas. Finalmente, si un número es exacto, como los dos en la fórmula para la circunferencia de un círculo, , no afecta el número de cifras significativas en un cálculo. C = 2πr

Del mismo modo, los factores de conversión como se consideran exactos y no afectan el número de cifras significativas en un cálculo. 100 cm/1 m

Practica con la escena interactiva de la siguiente página, diseñada por Carlos Palacio Gómez3 . Observa las cifras del número y la imprecisión con que se conoce. Observa las cifras del número y la imprecisión con que se conoce. Piensa cuál debe ser la cifra más significativa y la menos significativa antes de pulsar RESPUESTA para comprobarlo. Para averiguar el número de cifras significativas, sólo tendrás que contar el número de cifras que hay entre la más significativa y la menos significativa, ambas incluidas.

Escena 1.5. Cifras significativas

3 La escena hace parte de una unidad de Física del Proyecto EDAD, publicado por le Red Descartes.