2.3.1 Coordenadas polares

Comprueba tu aprendizaje 2.6

Si Trooper corre 20m hacia el oeste antes de tomar un descanso, ¿cuál es su vector de desplazamiento?

2.3.1 Coordenadas polares

Para describir posiciones de puntos o vectores en un plano, necesitamos dos direcciones ortogonales. En el sistema de coordenadas cartesianas, estas direcciones están dadas por los vectores unitarios y j a lo largo del eje y el eje , respectivamente. El sistema de coordenadas cartesianas es muy conveniente para describir los desplazamientos y las velocidades de los objetos y las fuerzas que actúan sobre ellos. Sin embargo, se vuelve engorroso cuando necesitamos describir la rotación de estos objetos. Al describir la rotación, generalmente trabajamos en el sistema de coordenadas polares. En el sistema de coordenadas polares, la posición del punto P en un plano viene dada por dos coordenadas polares (Figura 2.20). La primera coordenada polar es la coordenada radial , que es la distancia al punto desde el origen. La segunda coordenada polar es un ángulo , que es el vector radial que se forma con alguna dirección elegida, generalmente la dirección positiva de . En coordenadas polares, los ángulos se miden en radianes o . El vector radial está unido al origen y apunta desde el origen al punto . Esta dirección radial se describe mediante un vector radial unitario . El segundo vector unitario es un vector ortogonal a la dirección radial . i ˆ ˆ x y

r P ϕ

x rads P

r ˆ t ˆ r ˆ

La dirección positiva indica cómo cambia el ángulo en dirección contraria a las agujas del reloj. De esta manera, un punto P que tiene coordenadas en el sistema rectangular se puede describir de manera equivalente en el sistema de coordenadas polares mediante las dos coordenadas polares . La ecuación 2.17 es válida para cualquier vector, por lo que podemos usarlo para expresar las coordenadas e del vector . De esta forma, obtenemos la conexión entre las coordenadas polares y las coordenadas rectangulares del punto , +t ˆ (x, y) (r, ϕ) x y r P

x = r cos ϕ y = r sen ϕ (2.18)

Figura 2.20. Utilizando coordenadas polares, el vector unitario r ˆ define la dirección positiva a lo largo del radio r(dirección radial) y, ortogonal a él, el vector unitario t ˆ define la dirección positiva de rotación por el ángulo ϕ. 129

Ejemplo 2.6

Coordenadas polares Un cazador de tesoros encuentra una moneda de plata en un lugar a de distancia de un pozo seco en la dirección al noreste y encuentra una moneda de oro en un lugar a del pozo en la dirección noroeste. ¿Cuáles son las coordenadas polares y rectangulares de estos hallazgos con respecto al pozo? Estrategia El pozo marca el origen del sistema de coordenadas y este es la dirección . Identificamos distancias radiales desde las ubicaciones hasta el origen, que son (para la moneda de plata) y (para la moneda de oro). Para encontrar las coordenadas angulares, convertimos a radianes: . Usamos la Ecuación 2.18 para encontrar las coordenadas e de las monedas.

Solución

La coordenada angular de la moneda de plata es , mientras que la coordenada angular de la moneda de oro es . Por lo tanto, las coordenadas polares de la moneda de plata son y las de la moneda de oro son

Sustituimos estas coordenadas en la ecuación 2.18 para obtener coordenadas rectangulares. Para la moneda de oro, las coordenadas son

20.0m 20° 10.0m 20°

+x rS = 20.0m

rG = 10.0m 20° 20° = 20π/180 = π/9 x y

ϕS = π/9 ϕG = π − π/9 =

8π/9 (rS , ϕS ) = (20.0m, π/9) (rG , ϕG) = (10.0m,8π/9)