El cielo de la luna

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Autor: Álvaro Morales Mancheño Tutor: Gregorio Rosa Palacios IES Juan Gris

Simulación del cielo desde la superficie de la Luna

Proyecto de bachillerato de investigación del IES Juan Gris Realizado por Álvaro Morales Mancheño Coordinado por Gregorio Rosa Palacios 2019/2020

Esta obra está bajo una licencia de Creative Commons Reconocimiento-NoComercialCompartirIgual 4.0 Internacional.

Agradecimientos Quisiera agradecer en primer lugar a mi tutor Gregorio Rosa por ser el artĂ­fice del proyecto y ayudarme constantemente en las dificultades del trabajo. TambiĂŠn agradecer a mis padres y a mis amigos por el apoyo mostrado este tiempo.

Síntesis El propósito de este proyecto es conseguir realizar una simulación, mediante realidad virtual, de cómo se vería el cielo si estuviésemos en la Luna. Así como desde la Tierra solo vemos la Luna y el Sol a simple vista, en la simulación solo se emplearán estos tres astros. Este trabajo cuenta con dos partes muy distintas, la primera de ellas es la más complicada, consiste en calcular la posición de la Luna y la Tierra respecto del Sol para distintas órbitas. La otra parte es la de trasladar estos datos a un entorno virtual mediante programación.

Abstract The purpose of this project is to do a simulation, through virtual reality, of how the sky would be seen if we were in the Moon. Thus like from the Earth we only see the Moon and the Sun with a naked eye, in the simulation only this three stars will be used. This project has two very different parts, the first is the most complicated one, it consist in calculate the position of the Moon and the Earth respect to the Sun for diverse orbits. The other part is to translate this data to a virtual environment through programming.

Índice 1.

Introducción ............................................................................................................. 3 1.1.

Introducción a Unity .......................................................................................... 4

1.2.

Coordenadas ....................................................................................................... 6

1.3.

Datos astronómicos básicos ............................................................................... 8

2.

Objetivo e Hipótesis ................................................................................................ 9

3.

Metodología............................................................................................................ 11

4.

Simulación .............................................................................................................. 13

5.

Resultados .............................................................................................................. 17

6.

Conclusión .............................................................................................................. 45

7.

Bibliografía ............................................................................................................ 47

8.

Anexo ...................................................................................................................... 49

1

1.

Introducción

Existen multitudes de estudios sobre los astros, su comportamiento, de que están compuestos o acerca de lo que hay en ellos. Las posibles perspectivas desde otros astros es algo que siempre ha despertado la curiosidad humana. De hecho en las primeras misiones lunares, lo primero que se hizo fue fotografiar la Tierra, dando a conocer la perspectiva real de esta desde la Luna. Figura I. Fotografía de 1968 por los astronautas del Apolo 8.

También se han hecho recreaciones artísticas o proyectos similares, como la vista del Sol desde otros planetas por Ron Miller o sin ir más lejos el proyecto de investigación realizado en este mismo centro en 2017 por Sergio Checa.

Figura II. Pintura del Sol desde Mercurio de Ron Miller.

3

Figura III. “Cielos en otros planetas” por Sergio Checa

1.1. Introducción a Unity Este trabajo requiere de un entorno virtual en el que poder desarrollar la simulación deseada y se ha considerado Unity como el programa idóneo para dicha labor, debido a que es un sistema muy potente a la vez que complejo el cual se usa de manera profesional como motor de videojuegos. Además, permite realizar escenas tanto en 2 dimensiones como en 3 dimensiones.

Figura IV. Interfaz de Unity

El centro se trata del lugar en el que se visualiza la escena a diseñar. Se pueden emplear todo tipo de perspectivas en 3 dimensiones para visualizar el proyecto, con un sistema “left-handed” por defecto. Además de visualizar a medida que se avanza en el proyecto también es donde se reproduce la escena una vez está terminada. Cuando se inicia un proyecto se crea automáticamente una escena muy sencilla que consta de una cámara y una fuente de luz direccional. Para este trabajo se emplearán dos cámaras y una fuente de luz omnidireccional (el Sol).

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En la parte superior izquierda aparecen las opciones de archivos y ajustes, destacando “GameObject” y “Component”. En “GameObject” es donde aparecen objetos ya creados tales como las luces, las cámaras o figuras poligonales. En “Component” se pueden ver todos los componentes que se pueden añadir a los distintos objetos. Los componentes son opciones adicionales que modifican los atributos de los objetos, así como dar brillo a un objeto o crear físicas entre estos. Debajo de estos se encuentran todos los objetos que se introducen en la escena y facilita la búsqueda y la selección de cada uno de los objetos. Estos además pueden ser agrupados unos con otros. En la esquina inferior izquierda se muestra el lugar donde aparecen las carpetas del proyecto. Se suele introducir como mínimo una carpeta para las escenas, una con el script empleado, una que contenga texturas de objetos y otra con los materiales de los objetos. Por último en el inspector (parte derecha) es donde se trabaja con los objetos cambiando posición, tamaño y rotación, además de cualquier otra modificación con la ayuda de los componentes, ya que estos se ajustan en el inspector. Figura V. Inspector de un cubo en Unity

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1.2. Coordenadas Antes de comenzar será necesario introducir el concepto de altitud o elevación. Esta va muy de la mano con el azimut y ambas se emplean a modo de coordenadas celestes. Generalmente ambas se miden fijando como objetivo el Sol pero puede emplearse otros astros e incluso puntos de estos.

El azimut se trata del ángulo formado entre el cuerpo celeste fijado y el norte del punto de referencia, aunque se puede emplear el sur también. Sus valores varían entre 0º y 360º. La altitud es el ángulo que se forma entre el cuerpo celeste fijado y el horizonte del astro empleado como punto de referencia. Sus valoren varían entre 0º y 90º.

Figura VI. Azimut y elevación

También serán necesarios los conceptos de latitud y longitud, ya que estos no solo se pueden aplicar a la Tierra, también se pueden emplear en la Luna. La latitud mide el ángulo entre un punto cualquiera y el ecuador. Se mide de 0º a 90º, correspondiéndole al ecuador los 0º y a los polos 90º. Para este proyecto siempre se consideran puntos en el ecuador, es decir de latitud 0º. La longitud es el ángulo a lo largo de todo el ecuador desde cualquier punto. Este se mide de 0º a 180º y en la Tierra los 0º le pertenecen al meridiano de Greenwich. La longitud empleada en el proyecto varía dependiendo de los casos que interesa mostrar. Figura VII. Latitud y longitud

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En lugar del azimut y la altitud, podrían emplearse la ascensión recta y la declinación, que son otra forma de situar astros en el espacio. La principal diferencia es que el azimut y la elevación suelen variar constantemente a una gran velocidad, mientras que la ascensión recta y la declinación lo hacen a un ritmo tan pequeño que podría llegar a decirse que no varían. Estos se suelen medir cada 50 años (ahora mismo se emplearían las del 2000). La ascensión recta equivaldría a la longitud terrestre, ya que se podría ver como una extensión de la longitud a lo largo del espacio. Esta se mide en horas y alcanza valores entre 0 y 24 horas, siendo 0 el punto Aries, que está en la posición del Sol en el equinoccio de primavera (Equinoccio vernal). La declinación sería comparable con la latitud terrestre. Esta se mide en grados y alcanza valores entre -90º y 90º, siendo estos el polo sur y el polo norte respectivamente, y 0º en el ecuador terrestre, como el punto Aries.

Figura VIII. Ascensión recta y declinación

Figura IX. Coordenadas del Sol respecto de la Tierra, https://stellarium-web.org/

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1.3. Datos astronómicos básicos

Debido a la complejidad del proyecto es necesario ver primero una serie de datos de los que se parten. Así como se trabaja con la Tierra y la Luna, la información que se muestra corresponde a estos. Los primeros datos obtenidos son los relacionados con la Tierra. Solo aparecen los datos totalmente relevantes y necesarios para los cálculos realizados.

Tabla I. Datos iniciales pertinentes a la rotación de la Tierra. Tabla II. Datos iniciales pertinentes a la órbita de la Tierra

De la Luna se requieren los mismos datos. Estos son enfocados a un mes sideral y no a uno sinódico. Más adelante se explicará el motivo y las diferencias entre ambos.

Tabla IV. Datos iniciales pertinentes a la órbita de la Luna

Tabla III. Datos iniciales pertinentes a la rotación de la Luna

1 2

1 2

Todas las órbitas se han considerado circulares así como se han considerado los astros esferas Periodo orbital

8

2.

Objetivo e Hipótesis

La finalidad del proyecto es conseguir realizar una simulación, a través de un entorno analítico (cálculo) y virtual (Unity), de cómo se vería el cielo desde un punto en la superficie de la Luna en el periodo de un año terrestre, determinando dos puntos del cielo como son el Sol y la Tierra.

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10

3.

Metodología

1. Se han establecido varios gráficos con la geometría básica del problema, introduciendo la notación adecuada y las relaciones vectoriales correspondientes. 2. Se han calculado los puntos de orbitales terrestres. 2.1. Se ha calculado la órbita terrestre utilizando el Sol como sistema de referencia. 2.2. Se ha calculado la posición de un punto de la superficie de la Tierra en el ecuador, respecto al centro de la Tierra. 2.3. Se ha calculado la posición de un punto de la superficie de la Tierra en el ecuador, respecto al Sol. 3. Se ha calculado los puntos orbitales lunares. 3.1. Se ha calculado la órbita lunar utilizando la Tierra como sistema de referencia. 3.2. Se ha calculado la órbita lunar utilizando el Sol como sistema de referencia. 3.3. Se ha calculado la posición de un punto de la superficie de la Luna en el ecuador, respecto al centro de la Luna. 3.4. Se ha calculado la posición de un punto de la superficie de la Luna en el ecuador, respecto al Sol.

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4. Se han calculado las altitudes respecto de la superficie de la Luna de los principales puntos en el proyecto. 4.1. Se ha calculado la altitud del Sol respecto de la superficie de la Luna. 4.2. Se ha calculado la altitud del centro de la Tierra respecto de la superficie de la Luna. 4.3. Se ha calculado la altitud de la superficie de la Tierra respecto de la superficie de la Luna. 5. Se han trasladado todos los datos previamente elaborados a un entorno virtual de forma grรกfica (Unity).

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4.

Simulación

La simulación se ha llevado a cabo en el programa ya mencionado, Unity. Hay dos labores distintas realizadas dentro de Unity. Por un lado ha habido que crear las esferas que representarán a los distintos astros y asignarles a estos valores de tamaño y distancia con una escala, de forma que el resultado sea lo más parecido posible a la realidad.

Figura X. Luna, Tierra y Sol con su información de posición y tamaño en Unity

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Además, para dar un poco más de realidad se ha empleado un fondo en 360 grados de una imagen de la NASA.

Figura XI. Imagen empleada como fondo 360º, https://svs.gsfc.nasa.gov/3895

Para simular el Sol como la gran fuente de iluminación que es, se emplean distintos componentes que dan la forma luminosa a la textura de la esfera y además se sitúa una fuente de luz omnidireccional en el centro de este.

Por otro lado ha sido necesario una ligera parte de programación la cual se encarga de que todos los astros realicen sus movimientos tanto de traslación como de rotación a la velocidad real de cada uno de estos. En Unity se suelen emplear los lenguajes de programación JavaScript o C#. Este proyecto podría haberse realizado con cualquiera de los dos y finalmente se escogió C#. Figura XII. Script en lenguaje C# empleado para la simulación en Unity

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En la simulación se han considerado escalar para poder adaptar la realidad a Unity. Se ha dividido cada radio y cada distancia entre los astros por 108, que es lo mínimo necesario de reducir las medidas para que encajen bien en el programa. Además, a la hora de reproducir la simulación cada segundo equivale a un día completo, evitando así una simulación tediosa y larga.

Figura XIII. Imágenes de la simulación realizada en Unity

15

16

5.

Resultados

1. Establecer uno o varios gráficos con la geometría básica del problema, introduciendo la notación adecuada y las relaciones vectoriales correspondientes.

Figura XIV. Relaciones vectoriales entre el Sol, la Tierra y la Luna

Figura SEQ Figura \* ROMAN I: Relación vectorial entre el Sol, la Tierra y la Luna.

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En la figura XIV se observa un grĂĄfico vectorial, en el que se aprecian el Sol, la Tierra y la Luna. Los centros de estos se encuentran conectados mediante vectores que indican la posiciĂłn de los 3 astros. â—? El vector que indica la distancia entre el Sol y la Luna (RSL) es resultado de la suma de los vectores Sol-Tierra (RST) y Tierra-Luna (RTL).

đ?‘…"⃗$% = đ?‘…"⃗(% + đ?‘…"⃗$(

Figura XV. RelaciĂłn vectorial ampliada entre la Tierra y la Luna (1)

Figura XVI. RelaciĂłn vectorial ampliada entre la Tierra y la Luna (2)

Figura SEQ Figura \* ROMAN II: AmpliaciĂłn relaciĂłn vectorial entre la Tierra y la Luna.

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En las figuras XV y XVI se muestra una ampliación de la figura XIV. En estas aparecen nuevos vectores que relacionan un punto en la superficie de la Luna y en la superficie de la Tierra, así como los centros de ambas. � Así como se ve que el vector para hallar la distancia del centro de la Tierra a un punto en el ecuador de la Luna (RT-SL’) se obtiene con la suma de los vectores RTL y Luna-Superficie Luna (RL-SL’)3.

đ?‘…"⃗(*$%+ = đ?‘…"⃗(% + đ?‘…"⃗%*$%+

� El vector Tierra-Superficie Tierra (RT-ST’)4 relaciona un punto en la superficie de la Tierra con su centro. � El vector Superficie Luna-Superficie Tierra (RSL’-ST’) es el vector final que indicaría la posición de un punto en la superficie de la Luna respecto a otro punto en la superficie de la Tierra y viceversa, así como la distancia entre estos en función del tiempo. � Todos los ångulos seùalados se emplean a lo largo del trabajo.

3 4

Vector posiciĂłn de la superficie de la Luna respecto al centro de esta Vector posiciĂłn de la superficie de la Tierra respecto al centro de esta

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2. Cålculo de puntos orbitales terrestres. 2.1. Calcular la órbita terrestre utilizando el Sol como sistema de referencia. • En la figura XV se muestra el centro de la Tierra mediante el vector RST • TambiÊn se representa un punto de la superficie de la tierra ◌ RS-ST’ respecto al centro del Sol ◌ RT-ST’ respecto al centro de la tierra En una primera aproximación se va a trabajar en el supuesto de una órbita circular para la Tierra, donde RST es el radio de dicha órbita (distancia media al Sol). En este trabajo se estån usando tanto coordenadas polares como cartesianas para situar los distintos puntos de la Tierra. De cara a una mayor facilidad en el tratamiento de datos, aunque partimos y operamos desde las polares, se harå la transformación a cartesianas a travÊs de las expresiones 1 y 2.

đ?‘‹$( = đ?‘…$( ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›˝ = đ?‘…$( ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”456 ∙ đ?‘Ą)

[1]

đ?‘Œ$( = đ?‘…$( ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?›˝ = đ?‘…$( ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (đ?œ”456 ∙ đ?‘Ą)

[2]

El ĂĄngulo de posiciĂłn de la Tierra se ha definido como la velocidad angular de la Tierra por el tiempo. đ?›˝ = đ?œ”456 ∙ đ?‘Ą

En las coordenadas polares se expresan con el mĂłdulo (constante en el caso de la Tierra) y el ĂĄngulo que forma el vector de posiciĂłn con la horizontal (β) el cual no es constante, por lo que se calcula su valor instantĂĄneo con un intervalo de tiempo Δt. Mediante la expresiĂłn [3] se calcula đ?œ”456 y con este se halla đ?›˝ para cada valor del tiempo (es decir, cada intervalo). En el caso concreto de una Ăłrbita completa (t = T) se puede utilizar el dato para calcular la velocidad angular (orbital) de la Tierra:

đ?›˝ = 360° → đ?›˝ = 2đ?œ‹ đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘‡ = 365,25 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ ∙

\

IJK45LM N OĂ­L

∙

PQRR MSTUVO4M NK45L

I] ^LO

= 31.557.600 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘

đ?œ”456 = ( = PN.__`.QRR M = 1,991 ¡ 10*` đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘/đ?‘ 20

[3]

Finalmente con todos los datos elaborados se pueden retomar las expresiones 1 y 2.

đ?‘…$( = 1,50 ¡ 10NN đ?‘š đ?‘‹$( = 1,50 ¡ 10NN ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (1,991 ¡ 10*` ∙ đ?‘Ą) đ?‘š đ?‘Œ$( = 1,50 ¡ 10NN ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (1,991 ¡ 10*` ∙ đ?‘Ą) đ?‘š

Para todo el proyecto se emplean intervalos de cålculo de un día terrestre, es decir, 8,64¡104 segundos.

Figura XVII. Ejemplo casilla de hoja de cĂĄlculo

Posición Tierra respecto al Sol (à ngulo β) Tiempo (s)

X ST (m)

Y ST (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011 1,49¡1011 1,49¡1011

0 2,57¡109 5,15¡109 7,72¡109 1,03¡1010

Tabla V. PosiciĂłn de la Tierra respecto al Sol 2,00E+11

1,00E+11

-2,00E+11

0,00E+00 0,00E+00

2,00E+11

-1,00E+11

-2,00E+11 Figura XVIII. GrĂĄfico de la Ăłrbita terrestre respecto al Sol

21

2.2. Calcular la posiciĂłn de un punto de la superficie de la Tierra en el ecuador, respecto al centro de la Tierra.

Se ha seleccionado el punto de condiciones iniciales latitud y longitud cero Para continuar, serĂĄ necesario averiguar la posiciĂłn exacta de un punto en la superficie de la Tierra que ademĂĄs estĂŠ en el ecuador de esta. Se repiten expresiones similares a las del apartado anterior para valores distintos. De cara a una mayor facilidad en el tratamiento de datos, aunque partimos y operamos desde las polares, se harĂĄ la transformaciĂłn a cartesianas a travĂŠs de las expresiones 4 y 5.

đ?‘‹$(+ = đ?‘…( ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?›ž = đ?‘…( ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”54f ∙ đ?‘Ą)

[4]

đ?‘Œ$(+ = đ?‘…( ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?›ž = đ?‘…( ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (đ?œ”54f ∙ đ?‘Ą)

[5]

El ĂĄngulo de posiciĂłn de la superficie de la Tierra se ha definido como la velocidad angular de la rotaciĂłn de la Tierra por el tiempo.

đ?›ž = đ?œ”54f ∙ đ?‘Ą

En las coordenadas polares se expresan el mĂłdulo (constante, en este caso el radio) y el ĂĄngulo que forma el vector de posiciĂłn con la horizontal (đ?›ž) el cual no es constante, por lo que se calcula su valor instantĂĄneo con un intervalo de tiempo Δt. Para calcular este valor se emplea la expresiĂłn [6]. Sabiendo đ?œ”54f se multiplica por el valor del tiempo en el primer dĂ­a y se obtiene đ?›ž. Una vez se poseen todos los datos se opera y se repite para cada valor del tiempo (es decir, cada dĂ­a). En el caso concreto de una rotaciĂłn completa (t= T) se puede utilizar el dato para calcular la velocidad angular (rotaciĂłn) de la Tierra:

đ?›ž = 360° → đ?›ž = 2đ?œ‹ đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘‡ = 23,93 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ ∙

k

3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ = 86164 đ?‘ 1â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž

I] 5LOlLVSM

đ?œ”54f = ( = mQNQJ MSTUVO4M = 7,29 ¡ 10*_ đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘/đ?‘

22

[6]

Finalmente con todos los datos elaborados se pueden retomar las expresiones 4 y 5.

đ?‘…( = 6,371 ¡ 10Q đ?‘š đ?‘‹$(+ = 6,371 ¡ 10Q ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (7,29 ¡ 10*_ ∙ đ?‘Ą) đ?‘š đ?‘Œ$(+ = 6,371 ¡ 10Q ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (7,29 ¡ 10*_ ∙ đ?‘Ą)đ?‘š

Figura XIX. Ejemplo casilla de hoja de cĂĄlculo

PosiciĂłn superficie terrestre respecto a su centro (Ă ngulo Îł) Tiempo (s)

X ST' (m)

Y ST' (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

6,37¡106 6,37¡106 6,37¡106 6,36¡106 6,36¡106

0 1,10¡105 2,19¡105 3,29¡105 4,38¡105

Tabla VI. PosiciĂłn de la superficie terrestre respecto a su centro

8,00E+06

4,00E+06

-8,00E+06

0,00E+00 -4,00E+06 0,00E+00

4,00E+06

8,00E+06

-4,00E+06

-8,00E+06

Figura XX. GrĂĄfico posiciĂłn de la superficie terrestre respecto a su centro

23

2.3. Calculo de la posiciĂłn de un punto de la superficie de la Tierra en el ecuador, respecto al Sol. Finalmente, para hallar las coordenadas del punto deseado en la superficie de la Tierra respecto al Sol, se suman los datos obtenidos en los apartados anteriores (cada coordenada con su respectiva), mediante las expresiones 7 y 8.

đ?‘…"⃗$*$(+ = đ?‘…"⃗$( + đ?‘…"⃗$(+

En cuanto a coordenadas:

đ?‘‹$*$(+ = đ?‘‹$( +đ?‘‹$(+ [7] đ?‘Œ$*$(+ = đ?‘Œ$( + đ?‘Œ$(+

[8]

Figura XXI. Ejemplo casilla en hoja de cĂĄlculo

PosiciĂłn superficie Tierra respecto al Sol teniendo en cuenta traslaciĂłn y rotaciĂłn Tiempo (s)

X S-ST' (m)

Y S-ST' (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011 1,49¡1011 1,49¡1011

0 2,57¡109 5,15¡109 7,72¡109 1,03¡1010

Tabla VII. PosiciĂłn de la superficie Tierra respecto al Sol teniendo en cuenta traslaciĂłn y rotaciĂłn

24

2,00E+11

1,00E+11

-2,00E+11

0,00E+00 0,00E+00

2,00E+11

-1,00E+11

-2,00E+11 Figura XXII. Gráfico posición de la superficie Tierra respecto al Sol teniendo en cuenta traslación y rotación

En la figura XXIII se ha ampliado el intervalo de tiempo (1/72 días), para observar con mayor agudeza el movimiento real que realiza ese punto de la Tierra.

Figura XXIII. Gráfico posición de la superficie Tierra respecto al Sol teniendo en cuenta traslación y rotación, ampliado con intervalo de tiempo 1/72 días

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3. CĂĄlculo de puntos orbitales lunares. 3.1. Calcular la Ăłrbita lunar utilizando la Tierra como sistema de referencia.

Se sigue trabajando con Ăłrbitas circulares. A continuaciĂłn, se repiten expresiones similares a las del punto anterior para los valores de la Luna. De cara a una mayor facilidad en el tratamiento de datos, aunque partimos y operamos desde las polares, se harĂĄ la transformaciĂłn a cartesianas a travĂŠs de las expresiones 9 y 10. đ?œ”nUVL es igual para rotaciĂłn y traslaciĂłn, ya que la Luna tarda lo mismo en dar una vuelta alrededor de la tierra que alrededor de sĂ­ misma. La posiciĂłn del centro de la Luna respecto del centro de la Tierra viene dado por el vector """"""⃗ đ?‘… (% , cuyas coordenadas son:

đ?‘‹(% = đ?‘…(% ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ† = đ?‘…(% ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ”nUVL ∙ đ?‘Ą) [9] đ?‘Œ(% = đ?‘…(% ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œ† = đ?‘…(% ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (đ?œ”nUVL ∙ đ?‘Ą) [10]

La traslaciĂłn de la Luna se puede medir en meses siderales o sinĂłdicos. La diferencia se encuentra en que un mes sideral consta de 27,32 dĂ­as terrestres y en este tiempo la Luna realiza una rotaciĂłn completa. Por otro lado un mes sinĂłdico dura 29,53 dĂ­as terrestres, que es el tiempo que tarda en completar un mes sideral y ademĂĄs volver a situarse en la misma posiciĂłn respecto del Sol. Para calcular este punto se emplean meses siderales, debido a que solo interesa la posiciĂłn respecto a la Tierra. El ĂĄngulo de posiciĂłn de la Luna se ha definido como la velocidad angular de la Luna por el tiempo.

đ?œ† = đ?œ”nUVL ¡ đ?‘Ą

En las coordenadas polares se expresan el mĂłdulo (constante en el caso de la Luna) y el ĂĄngulo que forma el vector de posiciĂłn con la horizontal (đ?œ†) el cual no es constante, por lo que se calcula su valor instantĂĄneo con un intervalo de tiempo Δt. Para calcular este valor se emplea la expresiĂłn [11]. Sabiendo đ?œ”nUVL se multiplica por el valor del tiempo en el primer dĂ­a y se obtiene đ?œ†. Una vez se poseen todos los datos se opera y se repite para cada valor del tiempo (es decir, cada dĂ­a).

26

En el caso concreto de una rotaciĂłn completa (t= T), con una duraciĂłn de 27,32 dĂ­as terrestres (mes sideral), se puede utilizar el dato para calcular la velocidad angular de la Luna:

đ?œ† = 360° → đ?œ† = 2đ?œ‹ đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘‡ = 27,32 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ ∙

p

IJ K45LM N OĂ­L

∙

PQRR MSTUVO4M N K45L

= 2.360.448 đ?‘

I] 5LOlLVSM

đ?œ”nUVL = ( = I.PQR.JJm MSTUVO4M = 2,66 ¡ 10*Q đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘/đ?‘

[11]

Finalmente con todos los datos elaborados se pueden retomar las expresiones 9 y 10.

đ?‘…(% = 3,84 ¡ 10m đ?‘š đ?‘‹(% = 3,84 ¡ 10m ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2,66 ¡ 10*Q ∙ đ?‘Ą) đ?‘š đ?‘Œ(% = 3,84 ¡ 10m ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (2,66 ¡ 10*Q ∙ đ?‘Ą) đ?‘š

Figura XXIV. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

PosiciĂłn Luna respecto a la Tierra (Ă ngulo Îť) Tiempo (s)

XTL (m)

YTL (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

3,84¡108 3,74¡108 3,44¡108 2,96¡108 2,33¡108

0 8,75¡107 1,70¡108 2,44¡108 3,05¡108

Tabla VIII. PosiciĂłn de la Luna respecto a la Tierra

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5,00E+08

2,50E+08

-5,00E+08

0,00E+00 -2,50E+08 0,00E+00

2,50E+08

5,00E+08

-2,50E+08

-5,00E+08

Figura XXV. Grรกfico Posiciรณn de la Luna respecto a la Tierra

28

3.2. Calcular la Ăłrbita lunar utilizando el Sol como sistema de referencia. Tal y como se muestra en la figura XV la posiciĂłn del centro Luna respecto al centro del Sol (đ?‘…"⃗$% ) serĂĄ determinada por un vector, suma de otros dos, segĂşn la siguiente expresiĂłn:

đ?‘…"⃗$% = đ?‘…"⃗(% + đ?‘…"⃗$(

En cuanto a coordenadas:

đ?‘‹$% = đ?‘‹(% + đ?‘‹$( đ?‘š

[12]

đ?‘Œ$% = đ?‘Œ(% + đ?‘Œ$( đ?‘š

[13]

Figura XXVI. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

PosiciĂłn Luna respecto al Sol Tiempo (s)

X SL (m)

YSL (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011 1,49¡1011

0 2,66¡109 5,32¡109 7,96¡109 1,06¡1010

Tabla IX. PosiciĂłn de la Luna respecto al Sol

29

2,00E+11

1,00E+11

0,00E+00 -2,00E+11 -1,00E+11 0,00E+00

1,00E+11

2,00E+11

-1,00E+11

-2,00E+11

Figura XXVII. Gráfico posición de la Luna respecto al Sol

Se aplica una escala para exagerar el movimiento realizado, facilitando así su comprensión.

Tierra órbita Luna órbita Tierra rotación Luna rotación

1 30 1000 150

Figura XXVIII. Escala empleada para la mejor comprensión de la ilustración XXVII

Figura XXIX. Gráfico conjunto de la órbita de la Tierra alrededor del sol y la Luna orbitando a la Tierra utilizando escalas (solo traslaciones)

30

3.3. Calcular la posiciĂłn de un punto de la superficie de la Luna en el ecuador, respecto al centro de la Luna. Para continuar, serĂĄ necesario averiguar la posiciĂłn exacta de un punto en la superficie de la Luna que ademĂĄs estĂŠ en el ecuador de esta. Se continĂşa empleando expresiones similares a las de puntos anteriores. De cara a una mayor facilidad en el tratamiento de datos, aunque partimos y operamos desde las polares, se harĂĄ la transformaciĂłn a cartesianas a travĂŠs de las expresiones 14 y 15.

đ?‘‹$% ′ = đ?‘…% ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ“ = đ?‘…% ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ” ∙ đ?‘Ą)

[14]

đ?‘Œ$% ′ = đ?‘…% ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?œ“ = đ?‘…% ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (đ?œ” ∙ đ?‘Ą)

[15]

El ĂĄngulo de posiciĂłn de la superficie de la Luna se ha definido como la velocidad angular de la Luna por el tiempo. đ?œ“ = đ?œ”nUVL ¡ đ?‘Ą

En las coordenadas polares se expresan el mĂłdulo (constante, en este caso el radio) y el ĂĄngulo que forma el vector de posiciĂłn el eje X (đ?œ“) el cual no es constante, por lo que se calcula su valor instantĂĄneo con un intervalo de tiempo Δt. Para calcular este valor se emplea la expresiĂłn [16]. Sabiendo đ?œ”nUVL se multiplica por el valor del tiempo en el primer dĂ­a y se obtiene đ?œ“. Una vez se poseen todos los datos se opera y se repite para cada valor del tiempo (es decir, cada dĂ­a). La posiciĂłn de un punto en la superficie de la Luna se calcula teniendo en cuenta meses siderales, dado que es el tiempo que tarda en dar una rotaciĂłn completa y volver a estar en la posiciĂłn inicial (27,32 dĂ­as). En el caso concreto de una rotaciĂłn completa (t= T), con una duraciĂłn de 27,32 dĂ­as terrestres (mes sideral), se puede utilizar el dato para calcular la velocidad angular de la Luna:

đ?œ“ = 360° → đ?œ“ = 2đ?œ‹ đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘‡ = 27,32 đ?‘‘Ă­đ?‘Žđ?‘ ∙

s

24 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘ 3600 đ?‘ đ?‘’đ?‘”đ?‘˘đ?‘›đ?‘‘đ?‘œđ?‘ ∙ = 2.360.448 đ?‘ 1 đ?‘‘Ă­đ?‘Ž 1 â„Žđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ž

I] 5LOlLVSM

đ?œ” = ( = I.PQR.JJm MSTUVO4M = 2,66 ¡ 10*Q đ?‘…đ?‘Žđ?‘‘/đ?‘

31

[16]

Finalmente con todos los datos elaborados se pueden retomar las expresiones 14 y 15.

đ?‘…% = 1,737 ¡ 10Q đ?‘š đ?‘‹$%+ = 1,737 ¡ 10Q ∙ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (2,66 ¡ 10*Q ∙ đ?‘Ą) đ?‘š đ?‘Œ$%+ = 1,737 ¡ 10Q ∙ đ?‘ đ?‘’đ?‘› (2,66 ¡ 10*Q ∙ đ?‘Ą) đ?‘š

Figura XXX. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

PosiciĂłn superficie lunar respecto a su centro Tiempo (s)

X SL' (m)

YSL' (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

1,74¡106 1,69¡106 1,56¡106 1,34¡106 1,05¡106

0 3,96¡105 7,71¡105 1,11¡106 1,38¡106

Tabla X. PosiciĂłn superficie lunar respecto a su centro

2,00E+06

1,00E+06

-2,00E+06

0,00E+00 -1,00E+06 0,00E+00

1,00E+06

2,00E+06

-1,00E+06

-2,00E+06

Figura XXXI. GrĂĄfico posiciĂłn superficie lunar respecto a su centro

32

3.4. Calcular la posiciĂłn de un punto de la superficie de la Luna en el ecuador, respecto al Sol. A continuaciĂłn se obtienen las coordenadas que definen un punto en la superficie de la Luna respecto al centro del Sol. Esta posiciĂłn estĂĄ determinada por un vector que une ambas posiciones (đ?‘…"⃗$*$%+ ), que es la suma del vector đ?‘…"⃗$( y el vector đ?‘…"⃗(*$%+ .

đ?‘…"⃗$*$%+ = đ?‘…"⃗$( + đ?‘…"⃗(*$%+

En cuanto a coordenadas:

đ?‘‹$*$%+ = đ?‘‹$( +đ?‘‹(*$%+ đ?‘š

[17]

đ?‘Œ$*$%+ = đ?‘‹$( +đ?‘‹(*$%+ đ?‘š

[18]

Figura XXXII. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

PosiciĂłn superficie Luna respecto al Sol teniendo en cuenta traslaciĂłn y rotaciĂłn Tiempo (s)

X S-SL' (m)

YS-SL' (m)

0 8,64¡104 1,73¡105 2,59¡105 3,46¡105

1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011 1,50¡1011

0 2,66¡109 5,32¡109 7,96¡109 1,06¡1010

Tabla XI. PosiciĂłn superficie Luna respecto al Sol teniendo en cuenta traslaciĂłn y rotaciĂłn

33

2,00E+11

1,00E+11

-2,00E+11

0,00E+00 0,00E+00

2,00E+11

-1,00E+11

-2,00E+11 Figura XXXIII. Gráfico posición superficie Luna respecto al Sol teniendo en cuenta traslación y rotación

Figura XXXIV. Gráfico conjunto de la posición de la superficie de la Tierra respecto al Sol (azul) y la superficie de la Luna respecto al Sol (rojo) teniendo en cuenta traslación y rotación

Tierra órbita Luna órbita Tierra rotación Luna rotación

1 30 1000 150

Figura XXXV. Escalas empleadas para una mayor comprensión de la ilustración XVI

34

Figura XXXVI. Gráfico conjunto de la posición de la superficie de la Tierra respecto al Sol (azul) y la superficie de la Luna respecto al Sol (rojo) teniendo en cuenta traslación y rotación empleando un intervalo de 1/48 días

35

4. Se calculan las altitudes respecto de la superficie de la Luna de los principales puntos en el proyecto. 4.1. Se calcula la altitud del Sol respecto de la superficie de la Luna.

La primera altitud calculada se trata de la del Sol. Debido a que la altitud es el ångulo entre el horizonte y el astro formando no mås de noventa grados, se calcula el ångulo entre el vector RSL’ y el vector opuesto al vector RSL (expresiones 19 y 20) debido a que este va en el sentido contrario en el que se necesita. Para ello se emplean las propiedades del vector escalar. Por otro lado el azimut siempre serå 90º o 270º, ya que se vería como si el Sol avanzara en línea recta, desde el punto de salida al amanecer hasta el ocaso, pasando por el cenit.

Figura XXXVII. RelaciĂłn vectorial entre la superficie de la Luna y el Sol, enfocado al cĂĄlculo de altitud

""""""""""""⃗ """""""⃗ đ?‘…$*$%t ¡ đ?‘… $%+ = đ?‘…$*$%t ¡ đ?‘…$%+ ¡ cos đ?›źM

[19]

""""""""""""⃗ """""""⃗ đ?‘…$*$%t ¡ đ?‘… $%+ = đ?‘…$*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z [20]

Por lo tanto ambas se pueden igualar.

đ?‘…$*$%t ¡ đ?‘…$%+ ¡ cos đ?›źM = đ?‘…$*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z cos đ?›źM =

đ?‘…$*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z đ?‘…$*$%t ¡ đ?‘…$%+

36

đ?‘…$*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z đ?›źM = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? cos { | đ?‘…$*$%t ¡ đ?‘…$%t

Se sustituye la expresión con los valores ya calculados en apartados anteriores para todos los valores del tiempo. Los valoren deberån crecer y decrecer constantemente como se puede ver en la gråfica. Para obtener finalmente el ångulo de la altitud del Sol solo hay que restar a 90º el ångulo �M .

90° − đ?›źM = đ?œŽ$

Figura XXXVIII. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

Altitud Sol đ??ˆđ?‘ş

CĂĄlculo de ĂĄngulo ÎąS 3,14 Rad 2,93 Rad 2,72 Rad 2,50 Rad 2,29 Rad

180,00 Âş 167,84 Âş 155,68 Âş 143,51 Âş 131,34 Âş

-90,00 Âş -77,84 Âş -65,68 Âş -53,51 Âş -41,34 Âş

Tabla XII. Calculo del ĂĄngulo ÎąS

90,00

Altitud del Sol

60,00

60,00

30,00

30,00

0,00

0,00

-30,00

-30,00

-60,00

-60,00

-90,00 0,00E+00

Altitud del Sol

90,00

-90,00 7,50E+06

1,50E+07

2,25E+07

0

3,00E+07

Figura XL. Altitud del Sol respecto a la Luna en funciĂłn del tiempo en segundos

37

73

146

219

292

365

Figura XXXIX. Altitud del Sol respecto a la Luna en funciĂłn del tiempo en dĂ­as

4.2. Se calcula la altitud del centro de la Tierra respecto de la superficie de la Luna.

Se realiza el mismo procedimiento pero esta vez para el centro de la Tierra. Se calcula el ångulo entre el vector RT-SL’ y el vector RSL’ (expresiones 21 y 22). Aquí pasa exactamente lo mismo que en el caso anterior del Sol con el azimut, tan solo se obtienen los valores 90º o 270º.

"""""""""""""⃗ """""""⃗ đ?‘… (*$%t ¡ đ?‘… $%+ = đ?‘… (*$%t ¡ đ?‘…$%+ ¡ cos đ?›źâ€˘(

[21]

"""""""""""""⃗ """""""⃗ đ?‘… (*$%t ¡ đ?‘… $%+ = đ?‘… (*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘… (*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z [22]

Luego las expresiones pueden igualarse.

đ?‘… (*$%t ¡ đ?‘…$%+ ¡ cos đ?›źâ€˘( = đ?‘… (*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘… (*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z cos đ?›źâ€˘( =

đ?‘… (*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘… (*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z đ?‘… (*$%t ¡ đ?‘…$%+

đ?‘… (*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘… (*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z đ?›źâ€˘( = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? cos { | đ?‘… (*$%t ¡ đ?‘…$%t

La expresión se sustituye por sus valores correspondientes para cada valor del tiempo. Para la altitud del centro de la Tierra se resta a 90º el valor de �•( . La gråfica deberå ser un valor constante, ya que cualquier punto en la superficie de la Luna siempre forma el mismo ångulo con el centro de la Tierra, debido a la ya mencionada coincidencia en los periodos de traslación y rotación de la Luna.

90° − đ?›źâ€˘( = đ?œŽâ€˘(

Figura XLI. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

38

Altitud centro Tierra đ??ˆđ?‘Şđ?‘ť

CĂĄlculo ĂĄngulo ÎąCT 3,14 Rad 3,14 Rad 3,14 Rad 3,14 Rad 3,14 Rad

180 Âş 180 Âş 180 Âş 180 Âş 180 Âş

-90 Âş -90 Âş -90 Âş -90 Âş -90 Âş

Tabla XIII. CĂĄlculo ĂĄngulo ÎąST

Desde el punto seleccionado inicialmente en la Luna, con longitud lunar 0, la altitud es -90Âş, ya que se encuentra en el nadir, es decir el opuesto al cĂŠnit en la superficie de la Luna. Este valor serĂĄ constante debido a que el centro de la Tierra se observa inmĂłvil desde la superficie de la Luna.

Altitud centro de la Tierra

Altitud centro de la Tierra

0

0

-30

-30

-60

-60

-90

-90

-120

-120

-150

-150

-180 0,00E+00

-180 1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

0

Figura XLIII. GrĂĄfico altitud del centro de la Tierra respecto a la superficie de Luna con longitud 0Âş en funciĂłn del tiempo en segundos

73

146

219

292

365

Figura XLII. GrĂĄfico altitud del centro de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 0Âş en funciĂłn del tiempo en segundos

Se observan otros casos como por ejemplo en el caso de la imagen mostrada en la figura I, de longitud 90Âş donde serĂ­a visible tan solo media Tierra o en un supuesto caso de longitud 135Âş donde ya se verĂ­a la Tierra a la perfecciĂłn (todo esto siempre con latitud 0Âş).

39

Altitud centro de la Tierra

Altitud centro de la Tierra

90

90

60

60

30

30

0

0

-30

-30

-60

-60

-90 0,00E+00

-90 1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

0

73

146

219

292

365

Figura XLIV. Gráfico altitud del centro de la Tierra respecto a la superficie de Luna con longitud 90º en función del tiempo en segundos

Figura XLV. Gráfico altitud del centro de la Tierra respecto a la superficie de Luna con longitud 90º en función del tiempo en días

Altitud centro de la Tierra

Altitud centro de la Tierra

90

90

60

60

30

30

0

0

-30

-30

-60

-60

-90 0,00E+00

-90 1,00E+07

2,00E+07

0

3,00E+07

Figura XLVII. Gráfico altitud del centro de la Tierra respecto a la superficie de Luna con longitud 135º en función del tiempo en segundos

73

146

219

292

365

Figura XLVI. Gráfico altitud del centro de la Tierra respecto a la superficie de Luna con longitud 135º en función del tiempo en días

40

4.3. Se ha calculado la altitud de la superficie de la Tierra respecto de la superficie de la Luna.

Por último se calcula la altitud de un punto en la superficie de la Tierra. Para ello se calcula el ångulo formado entre el vector RSL’-SL’ y el vector RSL’ (expresiones 23 y 24). Al igual que en los puntos anteriores el azimut serå 90º o 270º.

"""""""""""""""⃗ """""""⃗ đ?‘…$(+*$%t ¡ đ?‘… $%+ = đ?‘…$(+*$%t ¡ đ?‘…$%+ ¡ cos đ?›ź (

[23]

"""""""""""""""⃗ """""""⃗ đ?‘…$(+*$%t ¡ đ?‘… $%+ = đ?‘…$(+*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$(+*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z

[24]

Al igualarse las expresiones queda:

đ?‘…$(+*$%t ¡ đ?‘…$%+ ¡ cos đ?›ź ( = đ?‘…$(+*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$(+*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z cos đ?›ź ( =

đ?‘…$(+*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$(+*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z đ?‘…$(+*$%t ¡ đ?‘…$%+

đ?›ź ( = đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘? cos {

đ?‘…$(+*$%t y ¡ đ?‘…$%+ y + đ?‘…$(+*$%t z ¡ đ?‘…$%+ z | đ?‘…$(+*$%t ¡ đ?‘…$%t

Finalmente se sustituye la expresión por los valores en función del tiempo. La altitud de la superficie de la Tierra se consigue restando a 90º el valor de � ( . Los valores variarån constantemente a medida que avanza el tiempo de forma similar a como ocurría con la altitud del Sol.

90° − đ?›ź ( = đ?œŽ(

Figura XLVIII. Ejemplo casilla hoja de cĂĄlculo

41

CĂĄlculo ĂĄngulo ÎąT 3,14 Rad 3,13 Rad 3,13 Rad 3,13 Rad 3,12 Rad

Altitud superficie de la Tierra đ??ˆđ?‘ť

180 Âş 179,79 Âş 179,60 Âş 179,42 Âş 179,28 Âş

-90 Âş -89,79 Âş -89,60 Âş -89,42 Âş -89,28 Âş

Tabla XIV. CĂĄlculo ĂĄngulo ÎąT

Desde el punto seleccionado inicialmente la altitud de un punto en la superficie de la Tierra variarĂĄ muy poco (alrededor de Âą1Âş), ya que este se verĂ­a desplazĂĄndose de izquierda a derecha y viceversa.

Altitud superficie de la Tierra

Altitud superficie de la Tierra -88,5

-88,5

-89

-89

-89,5

-89,5

-90

-90

-90,5

-90,5

-91

-91

-91,5 0,00E+00

-91,5 1,00E+07

2,00E+07

0

3,00E+07

Figura L. GrĂĄfico de la altitud de un punto en la superficie de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 0Âş en funciĂłn del tiempo en segundos

73

146

219

292

Figura XLIX. GrĂĄfico de la altitud de un punto en la superficie de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 0Âş en funciĂłn del tiempo en dĂ­as

Se calculan tambiĂŠn las situaciones anteriores, es decir para longitud 90Âş, donde se verĂ­a media Tierra y 135Âş, donde se verĂ­a la Tierra entera. Se sigue manteniendo la latitud en 0Âş.

42

365

Altitud superficie de la Tierra

Altitud superficie de la Tierra

1,5

1,5

1

1

0,5

0,5

0

0

-0,5

-0,5

-1

-1

-1,5 0,00E+00

-1,5 1,00E+07

2,00E+07

3,00E+07

0

Figura LII. Gráfico de la altitud de un punto en la superficie de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 90º en función del tiempo en segundos

146

219

292

365

Figura LI. Gráfico de la altitud de un punto en la superficie de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 90º en función del tiempo en días

Altitud superficie de la Tierra

Altitud superficie de la Tierra 46,5

46,5

46

46

45,5

45,5

45

45

44,5

44,5

44

44

43,5 0,00E+00

73

43,5 1,00E+07

2,00E+07

0

3,00E+07

Figura LIII. Gráfico de la altitud de un punto en la superficie de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 135º en función del tiempo en segundos

43

73

146

219

292

365

Figura LIV. Gráfico de la altitud de un punto en la superficie de la Tierra respecto a la superficie de la Luna con longitud 135º en función del tiempo en días

44

6.

Conclusión

Conseguir simular el cielo desde la superficie de la Luna ha sido posible tras una larga labor de cálculo de los distintos puntos en los cuerpos celestes que se han tenido en cuenta, respecto a distintos puntos, así como los vectores que los conectan. Además, se ha conseguido calcular la altitud y el azimut para distintas situaciones, lo que permite ver la localización de los distintos astros con gran exactitud a través de estas coordenadas celestes. Finalmente se demuestra como es el cielo de la Luna desde su superficie tanto de forma analítica, mediante el cálculo de puntos, vectores y coordenadas celestes, como de forma gráfica, gracias a la simulación llevada a cabo en Unity. Como dijo Stephen Hawking “Limitar nuestra atención a cuestiones terrestres sería limitar el espíritu humano”.

45

46

7.

Bibliografía

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48

8.

5

Figura LV. Cรณdigo QR del video de la simulaciรณn realizada en Unity

5

https://youtu.be/yFrKVUJY_Lw

49

Anexo

6

Figura LVI. Código QR de la hoja de cálculo empleada

Figura LVIII. Gráfico de relación vectorial inicial

Figura LVII. Gráfico de relación vectorial inicial aumentado

6

https://issuu.com/alvaromoralesinvestigacion/docs/cielo_de_la_luna_tabla_de_contenido

50

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