1btxsol1

1

1

Nombres reals

SOLUCIONARIO

Números reales LITERATURA I MATEMÀTIQUES

El código Da Vinci De sobte va recordar les classes a Harvard, davant deIs seus alumnes de Simbolisme en l’art mentre escrivia a la pissarra el seu número preferit.

1,618 En Langdon es va girar per contemplar els rostres ansiosos dels alumnes.

–Qui em pot dir quin és aquest número?

Un estudiant de matemàtiques camallarg va aixecar la mà.

–És el número fi.

–Ben dit, Stettner –va dir en Langdon–. Alumnes, saludin el senyor Fi. –Que no té res a veure amb el número pi –va afegir somrient l’Stettner–. Tal com ens agrada dir als matemàtics: «Fi és molt més “fi” que pi!»

En Langdon va riure, pero l’acudit no va fer gracia a ningú més.

L’Stettner va abaixar el cap.

–Aquest número fi –va continuar en Langdon–, u coma sis u vuit, és un número molt important per a l’art. Qui em sap dir per què?

–Per què és molt bonic? –va dir l’Stettner per provar de redimir-se.

Tothom es va posar a riure.

–En realitat –va dir en Langdon–, el senyor Stettner l’ha tornada a encertar. El número fi se sol considerar el número més bell de l’univers.

De sobte es van apagar les rialles i l’Stettner va fer un posat de satisfacció […]

Tot i que els orígens matemàtics de fi semblaven més aviat místics, en Langdon els va explicar que l’aspecte realment sorprenent de fi era el seu paper com a peça fonamental en la construcció de la naturalesa. Les plantes, els animals i fins i tot els éssers humans tenien propietats dimensionals que coincidien misteriosament amb la relació de fi amb 1.

–La ubiqüitat de fi a la naturalesa –deia en Langdon mentre apagava els llums [per projectar nàutils, pinyes, gira-soIs…]–, sens dubte, és molt més que una simple coincidència: és per això que antigament es va donar per fet que el número fi devia ser obra del creador de l’univers. Els primers científics van donar-li el nom de «proporció divina».

DAN BROWN

1+ 5 1+ 5 . Els números 1,618 2 2 son dos nombres reals, però un és racional i l’altre és irracional. Per què?

Quin error cometem si agafem 1,618 com a valor de fi?

En realitat, el valor del número fi és Φ =

1,618 és un nombre racional, perquè és un decimal exacte.

Fi és un nombre irracional, ja que 5 ho és i, quan sumem o dividim un nombre irracional i un d’enter, el resultat és un nombre irracional.

Com que

4

1+ 5 = 1, 61803…; l’error que es comet és més petit que una deumil·lèsima.

2

SOLUCIONARI

1

ABANS DE COMENÇAR… RECORDA 001

Classifica aquests nombres segons el tipus al qual pertanyen. º 0,7

» 685,0091

−16

27 44

67

−0,0201

−34 8

−456,89

º és un nombre decimal periòdic pur.

0,7 −16 és un nombre enter. » és un nombre decimal periòdic mixt.

685,0091 −0,0201 i −456,89 són nombres decimals exactes.

67 és un nombre natural.

27 −34 i són nombres racionals.

44 8 002

Expresa en forma de fracció.

0,22

¼ 0,1043

º = 22.511 25,012 900

» = −1.123 −34,03 33

¼ = 521 0,1043 4.995

¼ −2,302 ¼ = −2.300 −2,302 999

Troba el valor absolut d’aquests nombres.

7

004

º 25,012

11 50

0,22 =

003

» −34,03

0

−6 2

−1

7 = 7

−1 = 1

0 = 0

−6  = 36

(−6)2 2

(−6)  = 36

2

Calcula les potències següents: 3

 −3   e)   5 

a) 34 5

 5   b)   −2 

f ) (−5)7

c) (−2)6

 4 g) −   9

3

2

5 d)   7

h) 25 3

a) 34 = 81 5

 −3  27  =− e)   5  125

 5  3.125  =− b)   −2  32

f) (−5)7 = −78.125

c) (−2)6 = 64

 4 64 g) −  = −  9  729

2

5 25 d)   =  7  49

3

h) 25 = 32

5

Nombres reals 005

Simplifica i expressa el resultat com a potència. a)

2

57 ⋅ 33 ⋅ 6−4 6 ⋅ 3−3 ⋅ 5−14

b) 2 ⋅

−2

a)

57 ⋅ 33 ⋅ 6−4 6−2 ⋅ 3−3 ⋅ 5−14

b) 2 ⋅

=

62 ⋅ 514 ⋅ 57 ⋅ 33 ⋅ 33

3 2−3  3  ⋅ ⋅  4 32  8 

=

64

521 ⋅ 36 62

=

521 ⋅ 34 22

2

3 2 ⋅ 33 3 ⋅   = 11 2 = 10 8 2 ⋅3 2

3 2−3 ⋅ 4 32

ACTIVITATS 001

Calcula el representant canònic d’aquests nombres. a)

−16 24 a)

002

b)

18 39

c)

−16 2 =− 24 3

b)

−24 −60

18 6 = 39 13

c)

−24 2 = −60 5

Escriu dos representants d’aquests nombres racionals. a)

7 12

b)

9 2

c)

8 25

Resposta oberta.  7 = …, 12   9 = …, b) 2  a)

c)

003

14 21  , , …  24 36  18 27 , , … 4 6 

  8 16 24 = …, , , … 25  50 75 

Troba quants nombres racionals diferents hi ha en aquesta seqüència.

5 3

−

5 3

−5 3

5 −3

10 6

º 1,6

Hi ha dos nombres racionals diferents, que són: 5 10 5 −5 5 º = = 1,6 − = = 3 6 3 3 −3 004

Una fracció que tingui un terme negatiu i una altra que tingui els dos termes positius, poden ser representants del mateix nombre racional?

No poden representar el mateix nombre racional, ja que si una fracció té un terme negatiu, el quocient és negatiu; i si els dos termes són positius, el quocient és positiu.

6

SOLUCIONARI

005

1

Escriu 4 nombres irracionals i especifica’n la regla de formació.

Resposta oberta.

Després de la coma, se situen tots els múltiples de 0,3691215…

Després de la coma se situen tots els múltiples de 0,481216…

006

Al nombre irracional 2 s’hi suma el nombre 1:

2 +1

Al nombre irracional 2 s’hi suma el nombre 2:

2 +2

Digues si els nombres següents són irracionals. a) 0,51015202530…

c) 2 −π

3π b) 4π

d)

10 17

a) És un nombre irracional, ja que té infinites xifres decimals que no es repeteixen de manera periòdica. b) És un nombre decimal exacte, i per tant, no és un nombre irracional. c) És un nombre irracional, perquè si d’un nombre irracional se’n resta un nombre enter, el resultat és un nombre irracional. d) No és un nombre irracional perquè és una fracció.

007

Troba, sense fer operacions amb decimals, un nombre irracional comprès entre − 2 y 2 .

Resposta oberta.

2 −1

008

Raona si les afirmacions següents són certes o falses. a) L’arrel d’un nombre irracional és irracional. b) Un nombre irracional al quadrat no és racional. a) Certa, ja que continua tenint infinites xifres decimals no periòdiques.

2

b) Falsa, per exemple: ( 2 ) = 2

009

Indica el conjunt numèric mínim al qual pertany cada nombre. a) 8,0999… b) 1,223334444… a) Q b) I c) I

15 º d) 6,126 c)

e) 2,5 f ) −11

d) Q e) Q f) Z

7

Nombres reals 010

Representa les arrels: a)

11

b)

101

5

c)

a)

d) c)

1

0 0

1

d) 10

0 1

0

101

Col·loca, en la recta real, el nombre: Φ =

1

1+ 5 2

1 64444744448 0

1

1+ 5

5

1+ 5 2

012

Representa, en la recta real següent, els nombres 1 i 2.

0

0

013

8

3

1

2

Aplica la propietat distributiva i opera. a)

3 4

5

11

b)

011

36

2 2 ⋅  −  7 5

b)

3 2 2 2 2 ⋅ − ⋅ + 3⋅ 4 7 5 7 7

2 2 3 2 3 2 30 − 42 12 3 =− ⋅  −  = ⋅ − ⋅ = =− 7 5 4 7 4 5 140 140 35

a)

3 4

b)

 2 67 3 2 2 2 2 2 3 2 67 ⋅ − ⋅ + 3 ⋅ =  − + 3 = ⋅ =   4 7 5 7 7 7 4 5 7 20 70

36

SOLUCIONARI

014

1

Ordena, de més petit a més gran, aquests nombres racionals i irracionals.

22 7

π

2.827 900

2.827 22 <π< 900 7 015

Amb l’ajut de la propietat distributiva, calcula 992 i 9992 sense fer les operacions.

992 = 99 ⋅ 99 = 99(100 − 1) = 9.900 − 99 = 9.801 9992 = 999 ⋅ 999 = 999(1.000 − 1) = 999.000 − 999 = 998.001

016

Representa els conjunts numèrics següents de totes les maneres que coneguis. a) Nombres més petits que π. b) Nombres més grans que 3 i més petits o iguals que 7. c) Nombres més petits o iguals que 2 i més grans que −2. d) Nombres compresos entre els dos primers nombres parells, tots dos inclosos. a) (−`, π) = {x: x < π} π

b) ( 3 , 7 ] = {x:

3 < x ≤ 7} 3

7

−2

2

2

4

c) (−2, 2] = {x: −2 < x ≤ 2}

d) [2, 4] = {x : 2 ≤ x ≤ 4}

017

Escriu, de totes les maneres que coneguis, aquests intervals de la recta real. c)

a)

3

−3

b)

d) 2

−3

018

−1

1

a) (−`, −3) = {x: x < −3}

c) (3, +`) = {x: x > 3}

b) [−3, 2) = {x: −3 ≤ x < 2}

d) (−1, 1) = {x: x < 1}

Representa el conjunt {x: x −3 ≤1} de totes les maneres possibles.

[2, 4] = {x: 2 ≤ x ≤ 4} 2

4

9

Nombres reals 019

Amb l’ajut de la calculadora, escriu 3 en forma decimal i les seves aproximacions per excés i per defecte. a) Als deumil·lèsims. b) Als centmil·lèsims. c) Als milionèsims.

3 = 1, 73205080… a) Aproximació per excés: 1,7321 Aproximació per defecte: 1,7320 b) Aproximació per excés: 1,73205 Aproximació per defecte: 1,73205 c) Aproximació per excés: 1,732051 Aproximació per defecte: 1,732052

020

Calcula els errors absolut i relatiu d’arrodonir el nombre 1,3456 als dècims.

Vreal = 1,3456 Vaproximat = 1,3 Ea = 1,3456 − 1,3 = 0,0456

021

Er =

0 , 0456 = 0 , 0338 1, 3456

Pensa en una situació en què dos mesuraments tinguin els mateixos errors absoluts però errors relatius diferents.

Resposta oberta.

Vreal = 12,5 Valors aproximats, 12 i 13. En tots dos casos, l’error absolut és 0,5; però els errors absoluts són diferents: Er =

022

0,5 = 0,0417 12

Er =

0,5 = 0,0385 13

Indica dos exemples de mesura i dóna’n les cotes d’error corresponents.

Resposta oberta.

Velocitat en autopista: 120 km/h; edat de jubilació: 65 anys.

023

Calcula les cotes d’error absolut i relatiu quan arrodonim el nombre 2 : a) Als centèsims. a) E a =

1 = 0,005 2 ⋅ 102

b) Ea = 0,0005

10

b) Als mil·lèsims.

Er =

0,005 = 0,0035 1,41− 0,005

Er =

0,0005 = 0,00035 1,414 − 0,0005

SOLUCIONARI

024

1

La població d’un poble, arrodonida a les desenes, és de 310 habitants.

Pots indicar-ne els errors? Saps donar les cotes d’error comès?

Per calcular els errors relatius i absoluts cal conèixer el valor real; per tant, no es poden calcular.

025

026

Ea =

1 =5 2 ⋅ 10−1

Er =

5 = 0,016 310 − 5

Calcula una cota d’error absolut quan trunquem un nombre als dècims.

I si fos als centèsims?

Ea =

1 = 0,5 2 ⋅ 101

Ea =

1 = 0,05 2 ⋅ 102

Escriu en notació científica els nombres següents. a) 0,0000085 c) 31.940.000.000 b) 5.000.000.000.000 d) 0,000000000479 c) 31.940.000.000 = 3,194 ⋅ 1010 d) 0,000000000479 = 4,79 ⋅ 10−10

a) 0,0000085 = 8,5 ⋅ 10−6 b) 5.000.000.000.000 = 5 ⋅ 1012 027

Opera i expressa el resultat en notació científica. a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2) : 8,05 ⋅ 10−4 b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 −6,54 ⋅ 10−2) a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2) : 8,05 ⋅ 10−4 = 6,465968 ⋅ 10−2 b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 − 6,54 ⋅ 10−2) = 2,92966 ⋅ 1013

028

Digues si aquestes igualtats són certes. Raona la resposta. a)

4

b)

8

−16 = −2 256 = ±4

c)

3

1.000.000 = ±1.000

d)

5

32 = ±2

4

c) Falsa: (−1.000)3 = −1.000.000.000 d) Falsa: (−2)5 = −32

a) Falsa: (−2) = 16 b) Falsa: 48 = 65.536 029

Calcula el valor numèric, si existeix, dels radicals següents: a)

4

b)

3

16 −8

c)

4

−10.000

d)

5

243

a)

4

16 = 2

c) No existeix cap arrel real.

b)

3

−8 = −2

d)

5

243 = 3

11

Nombres reals 030

Transforma els radicals en potències, i a la inversa.

1

3

a) 3 4

d) 7 5

2

2

b) 5 3

e) 10 7

1

c) 2 6

f)

4

57

1

3

a) 3 4 =

4

3

d) 7 5 = 5 73

3

52

e) 10 7 = 7 102

6

2

f)

2

2

b) 5 3 =

7

1

c) 2 6 = 031

032

4

57 = 5 4

Indica si els radicals següents són equivalents. a)

4

b)

5

36 y 10

2

33

y

2

c)

4

d)

4

36 y 10

5

6 54

y

a) Són equivalents.

c) Són equivalents.

b) No són equivalents.

d) No són equivalents.

Fes aquestes operacions.

3

a)

a)

3

3 3 3 96 3 3 = 21 3 3 − 2 3 3 + = 5 5 5

Opera i simplifica. a) 4 27 ⋅ 5 6

c)

3

3

 6 32   b)   8 

d)

2 ⋅ 3 3 ⋅33

a) 4 27 · 5 6 = 20 162 = 180 2 3

 6 32   = b)   8  c) d)

12

3 5

20 − 3 125 + 2 45 = 2 5 − 15 5 + 6 5 = −7 5

b) 7 3 81 − 2 6 32 +

033

b) 7 3 81 − 2 6 32 +

20 − 3 125 + 2 45

3

2 · 3 = 3 ·33 4

3

32 83 6

=

25 1 = 29 4

4 · 6 27 = 6 108

= 12

36 · 34 33

= 12 37

4

3

SOLUCIONARI

034

Racionalitza les expressions següents.

2 −3 a) b) 5 5 4 23 2

a) b) c) 035

=

5 −3 5 4 23

b)

= 5

+

−7

+

3 2

6

3 2

5 4 7

3 5 4 6 18 5 + 20 6 + = 5 6 30 =

4 7

−7 2 5 7 −98 2 + 15 7 + = 6 28 84

Racionalitza i opera. a)

1 1+ 2

b) 1

=

1− 2 = −1 + 2 −1

=

8 6 − 56 2 −4 6 + 28 2 = −46 23

=

45 3 + 5 15 76

1+ 2 8 2

b)

3 +7 5 3

c)

8 2

c)

3 +7

a)

9− 5 037

b)

4

+

−7

6 5 73

3 ) 5 72 42

Racionalitza i opera.

3 4 a) + 5 6

5

036

(2 +

=

6 5 73

3

2+ 3

2 5 5 −3 4 2 = 10

2+ 3

a)

c)

1

5 3 9− 5

Racionalitza aquestes expressions. a)

3+ 5 3 + a)

b)

+

6

5 5

b)

3 + 7

12 6 2 3 −3 2

3+ 5

5 5 + = 3+ 6 3+ 7 −3 3 − 15 + 3 6 + 30 −5 15 + 5 35 = + = 3 4 −12 3 + 12 6 + 4 30 − 19 15 + 15 35 = 12 12 6 2 3 −3 2

=

24 18 + 36 12 72 2 + 72 3 = = −12 2 − 12 3 −6 −6

13

Nombres reals 038

Calcula, a partir de la definició, aquests logaritmes. a) log2 8 b) log3 81 a) b) c) d)

039

e) f) g) h)

g) log4 16 h) log4 0,25

ln e33 = 33 ln e−4 = −4 log4 16 = 2 log4 0,25 = −1

Troba, a partir de la definició, els logaritmes següents:

a) b) c) d)

c) log 1.000.000 d) log 0,00001

e) ln e2 f ) ln e−14

log3 243 = 5 log9 81 = 2 log 1.000.000 = 6 log 0,00001 = −5

e) f) g) h)

g) log7 343 h) log4 0,0625

ln e2 = 2 ln e−14 = −14 log7 343 = 3 log4 0,0625 = −2

Calcula els logaritmes i deixa el resultat indicat. a) log4 32 b) log2 32 a) log4 32 =

c) log3 100 d) log5 32 log2 32 log2 4

=

5 2

c) log3 100 =

e) log32 4 f ) log2 304 d) log5 32 =

log 100 log 3

= 4,1918…

log 32 log 5 log 2 4

Si saps que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 i log 7 = 0,8451; determina els logaritmes decimals dels 10 primers nombres naturals. Amb aquestes dades, sabries calcular log 3,5? I log 1,5? log 4 = log (2 · 2) = log 2 + log 2 = 2 · 0,3010 = 0,6020  10  log 5 = log   = log 10 − log 2 = 1 − 0,3010 = 0,6990  2  log 6 = log (3 · 2) = log 3 + log 2 = 0,4771 + 0,3010 = 0,7781 log 8 = log (4 · 2) = log 4 + log 2 = 0,6020 + 0,3010 = 0,9030 log 9 = log (3 · 3) = log 3 + log 3 = 0,4771 + 0,4771 = 0,9542 log 10 = 1 7 log 3,5 = log   = log 7 − log 2 = 0,8451 − 0,3010 = 0,5441 2 3 log 1,5 = log   = log 3 − log 2 = 0,4771 − 0,3010 = 0,1761 2

14

= 2,1533…

2 = log2 32 5 log 304 f ) log2 304 = = 8,2479 … log 2

e) log32 4 =

b) log2 32 = 5

041

e) ln e33 f ) ln e−4

log2 8 = 3 log3 81 = 4 log 1.000 = 3 log 0,0001 = −4

a) log3 243 b) log9 81

040

c) log 1.000 d) log 0,0001

SOLUCIONARI

042

1

Troba, sense fer servir la calculadora, log2 5 i log5 2. Comprova que el seu producte és 1.

A l’exercici anterior s’ha vist que log 2 = 0,3010.

Si s’utilitzen canvis de base, resulta: log 10

1 = = 3,32 log 2 0,3010 log2 10 = log2 (2 · 5) = log2 2 + log2 5 → log2 5 = 2,32

log2 10 =

log5 2 =

log2 2 log2 5

=

1 = 0,43 log2 5

Com que els dos nombres són inversos, el seu producte és 1.

També es pot comprovar d’aquesta manera: log2 5 · log5 2 =

043

log 5

log 2

·

log 2

=1

log 5

Troba el valor de x en aquestes igualtats: c) log5 6 625 = x

a) logx 256 = −8 2 b) log3 x = 3 a)

044

1 2

d) logx 3 = 2

log a log b

3

d)

·

log b log a

=1

Calcula la fracció irreductible de: 5 200 −1.080 b) 432

26 130 −702 d) 1.053

a)

046

2 3

Calcula quant val loga b ⋅ logb a. loga b · logb a =

045

c)

b) 2,0801…

12 400 72 f) 243

c)

88 176 104 h) 216

e)

g)

a)

5 1 = 200 40

c)

26 1 = 130 5

e)

12 3 = 400 100

g)

88 1 = 176 2

b)

−1.080 −45 = 432 18

d)

−702 −2 = 1.053 3

f)

72 8 = 243 27

h)

104 13 = 216 27

Indica quines de les fraccions següents són irreductibles.

3 15

15 18

Són fraccions irreductibles:

10 13

9 6

12 5

18 7

15 12

2 8

10 12 18 , i 13 5 7

15

Nombres reals 047

Quants nombres racionals hi ha en aquest grup?

1 4

2 3

8 12

−1 5

1 6

4 24

−4 20

6 8

25 100

150 200

Els nombres racionals són els que es poden escriure com a fracció; per tant, tots els nombres del grup ho són.

048

Troba x per tal que les fraccions siguin equivalents. a)

3 6 9 21 = = = 5 x x x a)

b)

3 6 9 21 = = = 5 10 15 35

b)

−5 −20 10 25 = = = 2 8 −4 −10

2 amb denominador 10? Per què?

3 No, perquè el 10 no és múltiple de 3.

049

Pots escriure una fracció equivalent a

050

Fes aquestes operacions. −2

5 4 a)  −   6 5 

−1

2 ·    3  −2

2

−1

 1 +    2  −1

5 2 b)  +   2 5  2

 1 5 4 2 a)  −  ·   +   =  6     2  5 3 −2  25 24  3 1  · + = =  −  30  30  2 4 −2  1  3 1 =   · + =  30  2 4 3 1 = 900 · + = 2 4 1 = 1.350 + = 4 5.401 = 4 051

−5 x 10 25 = = = 2 8 x x

−1

7 :    3 

−1

−1

2

4 −   3  2

4 5 2 7 b)  +  :   −  =  2     3  5 3 −1  25 4  3 16 = =  −  : −  10  10  7 9 −1  21  3 16 =   : − =  10  7 9 10 3 16 = = : − 21 7 9 70 16 = − = 63 9 −42 = 63

Quins dels nombres següents són racionals i quins no ho són?

Raona la resposta. a) 2,555…

b) 2,525

c) 2,5255555…

d) 2,525522555222…

a) És un nombre racional, perquè és periòdic i qualsevol nombre periòdic es pot expressar com a fracció. b) És un nombre racional, perquè és un decimal exacte i els decimals exactes es poden expressar com a fracció. c) És un nombre racional, perquè és periòdic. d) És un nombre irracional, perquè té infinites xifres decimals que no són periòdiques.

16

SOLUCIONARI

052

Indica el tipus de decimal, en cada cas, i calcula’n, si és possible, la fracció generatriu. a) 15,3222…

c) 15,32

e) 15,333

b) 15,233444…

d) 15,323232…

f ) 15

a) És un nombre decimal periòdic mixt::

1.532 − 153 1.379 = 90 90

b) És un nombre decimal periòdic mixt:

152.334 − 15.233 137.101 = 9.000 9.000

c) És un nombre decimal exacte:

1.532 383 = 100 25

d) És un nombre decimal periòdic pur: e) És un nombre decimal exacte: f ) És un nombre natural:

053

1

1.532 − 15 1.517 = 99 99

15.333 1.000

15 1

Troba la fracció generatriu dels nombres decimals següents. a) 0,2 5 b) 3,º

d) 8,0002 » e) 42,78

g) 0,01 » h) 5,902

c) 2,3º 7

» f ) 10,523

» i) 0,0157

a)

2 1 = 10 5

b)

35 − 3 32 = 9 9

c)

237 − 23 214 = 90 90

d)

80.002 40.001 = 10.000 5.000

e)

4.278 − 42 4.236 1.412 = = 99 99 33

f)

10.523 − 105 10.418 5.209 = = 990 990 495

g)

1 100

h)

5.902 − 5 5.897 = 999 999

i)

157 − 1 156 13 = = 9.900 9.900 825

17

Nombres reals 054

Opera fent servir les fraccions generatrius. » + 8,25 » 3 + 3,4 c) 1,36 a) 1,º b) 10,2º 5 −5,º 7 a) b) c) d) e) f)

055

d) 4,º 5 + 6,º 7

4 17 20 51 71 + = + = 3 5 15 15 15 923 52 923 520 403 − = − = 90 9 90 90 90 135 817 952 + = 99 99 99 41 61 102 + = 9 9 9 343 4.253 3.430 4.253 + = + = 99 990 990 990 318 4.269 3.180 4.269 + = + = 99 990 990 990

Fes les operacions següents: a) 1,25 ⋅ 2,º 5 b) 0,0º 3 : 2,9º 2 5 23 115 · = 4 9 36 1 263 90 9 : = = b) 30 90 7.890 789 a)

056

» + 4,295 » e) 3,46 » » f ) 3,21 + 4,312

7.683 2.561 = 990 330 7.449 2.483 = 990 330

c) 3,7º 6 ⋅ 4,º 8

d) 1,25 : 2,2º 5

113 44 4.972 2.486 · = = 30 9 270 135 5 203 450 225 : = = d) 4 90 812 406 c)

Fent servir les fraccions generatrius, comprova si les igualtats següents són verdaderes o falses: 9=2 b) 1,º 3 : 3 = 0,º 4 c) 1,8º 9 + 0,1º 1=2 d) 0,º 3 + 0,º 6=1 a) 1,º 19 – 1 =2 9 13 − 1 12 12 4 :3= :3= = b) Verdadera: 9 9 27 9 189 − 18 11− 1 171 10 181 + = + = Þ2 c) Falsa: 90 90 90 90 90 3 6 9 d) Verdadera: + = = 1 9 9 9 a) Verdadera:

057

Escriu l’expressió decimal de tres nombres racionals i de tres d’irracionals.

Explica com ho fas.

Resposta oberta.

L’expressió decimal d’un nombre racional ha de ser finita o periòdica: º 5,32 2,3 2,3 L’expressió decimal d’un nombre irracional ha de ser infinita i no periòdica: 2,1010010001000… 1,1234567891011… 2,23233233323333…

18

SOLUCIONARI

058

1

Ordena els nombres decimals següents, de més petit a més gran.

2,999

2,95

2,955

2,59

2,599

2,559

S’ordenen els nombres, del més petit al més gran: 2,559 < 2,59 < 2,599 < 2,95 < 2,955 < 2,999 059

Ordena aquests nombres decimals, de més petit a més gran. » » » a) 2,995 2,º 9 2,95 2,959 2,9º 5 b) 4,75

» 4,75

4,7º 5

4,775

4,757

» 4,757

S’ordenen els nombres, del més petit al més gran: » = 2,95 » < 2,995 » < 2,9 º 5 < 2,959 a) 2,9º » = 4,757 » < 4,775 b) 4,75 < 4,7º 5 < 4,757 < 4,75 060

Digues un nombre racional i un altre d’irracional compresos entre: » » a) 3,4 i 3,40023 c) 1 i 2 e) −2,6º 8 i −2,68 » 2 i 2,52 b) 2,5º

» d) 5,6 i 5,68

f ) 0,2 i 0,25

Resposta oberta.

061

a) Racional: 3,40022 Irracional: 3,4002201001…

d) Racional: 5,62 Irracional: 5,6201001…

b) Racional: 2,523 Irracional: 2,52301001…

e) Racional: −2,67 Irracional: −2,6701001…

c) Racional: 1,1 Irracional: 1,101001…

f ) Racional: 0,21 Irracional: 0,2101001…

És cert que 3,º 2 = 3,222? Si no n’és, escriu dos nombres, un de racional i un d’irracional, situats entre ells.

No és cert, ja que un nombre és decimal exacte i l’altre és periòdic.

Resposta oberta.

Racional: 3,2221 Irracional: 3,222101001…

062

Classifica en racionals i irracionals les arrels quadrades dels nombres naturals més petits que 20.

Són racionals les arrels dels quadrats perfectes (1, 4, 9 i 16).

Les altres arrels són irracionals.

063

Digues quins d’aquests nombres són racionals i quins són irracionals.

4 2 Només és irracional

5 2

9 3

16 5

36 3

5 , ja que les altres arrels són exactes.

2

19

Nombres reals 064

Dedueix quins d’aquests nombres són racionals i quins són irracionals.

1+ 2

3+

4

5− 9

8 + 10

3 16

5 49

Són irracionals 1 + 2 i 8 + 10 , perquè les altres arrels són exactes.

065

Si n és un segment qualsevol, quins nombres representen sobre aquesta recta numèrica els punts A, B, C i D? 1 0

−1

1

n

1 678 1 678

D 2 C

3 B

4 A

n

C= 066

5

B = 1+ 5

D=

1+ 5 2

A= 2+ 5

Representa a la recta real: a)

2

c)

10

e)

3

g)

14

b)

5

d)

18

f)

7

h)

30

a)

e)

0

1

2 1

0

b)

3

f)

1

0

5

1

0

g)

c)

1

0

1 2

10

0

d)

7

1

14

h) 1 3 2

0

20

1

18

0

1

30

SOLUCIONARI

067

1

Ordena i representa, de manera exacta o aproximada, els nombres reals següents.

5 2

3

1,65

» 1,657

1+ 2

S’ordenen els nombres, del més petit al més gran: 5 º < 3 < 1+ 2 < 1,65 < 1,657 2 5 0 A= 2 B = 1,65 º C = 1,657 D=

A

1

B C D

E

3

E = 1+ 2

068

Representa aquests nombres a la recta real.

5

0

069

1+ 2

2 2

5 3

1

2+ 2

2 2

1+ 5

1+ 2

5

2

Ordena i representa els nombres següents: 3 − 2 0,5 2

5 3

2+ 2

1+ 5

1 4

3 2

2

S’ordenen els nombres, del més petit al més gran: −

3 1 3 < < 0 ,5 < < 2 <2 2 4 2

−

3 2

0

1 4

0,5

3 2

1

2

3

2

21

Nombres reals 070

Opera i classifica el tipus de nombre real. a)

) 2 ,7

b)

) 4 ,9

c)

) a) És un nombre racional: 2 , 7 =

25 5 =± 9 3

) b) És un nombre irracional: 4,9 = c) És un nombre racional:

071

) 1, 3 3

) 1,3 = 3

45 = 9

5

12

4

27

=

9

Descriu i representa els intervals següents. a) (0, 10)

e) [5, 10)

b) (3, 7]

f ) [−4, +`)

c) (−`, −2)

g) (−`, 6]

d) [2, 5]

h) (100, +`)

a) {x: 0 < x < 10} 0

10

3

7

b) {x: 3 < x ≤ 7}

c) {x: x < −2} −2

d) {x: 2 ≤ x ≤ 5} 2

5

5

10

e) {x: 5 ≤ x < 10}

f ) {x: −4 ≤ x} −4

g) {x: x ≤ 6} 6

h) {x: 100 < x} 100

22

=±

2 3

SOLUCIONARI

072

073

Escriu l’interval que correspon a aquestes desigualtats. a) 1 < x < 3

b) 6 < x ≤ 7

a) (1, 3)

b) (6, 7]

c) 5 ≤ x < 9

d) 10 ≤ x ≤ 12

c) [5, 9)

d) [10, 12]

Escriu l’interval que correspon a: a) x ≤−2

c) x >−3

e) x <−9

b) x <5

d) x ≥7

f ) x ≥−6

a) (−`, −2] b) (−`, 5) 074

c) (−3, +`) d) [7, +`)

e) (−`, −9) f ) [−6, +`)

Representa, amb intervals, els nombres: a) Més grans o iguals que 5. b) Més petits o iguals que −8. c) Més grans que −2.

d) Més grans que 2 i més petits que 4. e) Més grans que −5 i més petits que −2. f ) Compresos entre 0 i 10, ambdós inclosos.

[5, +`)

a) b)

(2, 4)

d)

5

4

2 (−`, −8]

−2

−5

(−2, +`)

c)

(−5, −2)

e) −8

[0, 10]

f)

−2

075

1

0

10

Representa (−`, 8) i [2, +`) a la mateixa recta, i assenyala mitjançant un interval els punts que són a tots dos intervals. (−`, 8) [2, +`)

8

2

L’interval és [2, 8).

076

Representa els intervals (0, 5) i (−2, 3) a la mateixa recta, i assenyala’n l’interval d’intersecció.

(0, 5) (−2, 3)

−2

0

3

5

L’interval és (0, 3).

077

Escriu dos intervals la intersecció dels quals sigui l’interval [−1, 1].

Resposta oberta: (−3, 1] i [−1, 5)

23

Nombres reals 078

Opera i arrodoneix el resultat als dècims. a) b) c) d)

3,253 + 8,45 52,32 −18,93 4,72 + 153,879 7,8 ⋅ 12,9 a) b) c) d)

e) f) g) h)

13,5 ⋅ 2,7 40,92 : 5,3 62,3 −24,95 100,45 : 8,3

Arrodoniment: 11,7 Arrodoniment: 33,4 Arrodoniment: 158,6 Arrodoniment: 100,6

e) f) g) h)

Arrodoniment: 36,5 Arrodoniment: 7,7 Arrodoniment: 37,4 Arrodoniment: 12,1

079

Troba l’aproximació per arrodoniment fins als deumil·lèsims per a cada cas.

6 4 + 7 + 8 a) 2 + 3 b) c) 5 − 3 d) 7 15 a) 3,1463 b) 3,5029 c) 0,5040 d) 3,0951

080

Quin error absolut cometem quan aproximem el resultat de 45,96 + 203,7 + 0,823 pel nombre 250,49?

45,96 + 203,7 + 0,823 = 250,483 L’error absolut que es comet és: Ea = 250,483 − 250,49 = 0,007

081

Si aproximem 10,469 per 10,5, quin error absolut cometem? I si l’aproximem a 10,4?

Quina és la millor aproximació? Raona-ho.

L’error absolut que es comet és: Ea = 10,469 − 10,5 = 0,031 Si s’aproxima a 10,4, l’error absolut és: Ea = 10,469 − 10,4 = 0,069 La millor aproximació és 10,5, perquè l’error absolut que es comet és més petit.

082

Des de l’antiguitat apareix molt sovint el número d’or, Φ, en proporcions de la naturalesa i en les mesures de construccions o en obres d’art com la Gioconda. Φ=

1+ 5 = 1,61803…

2

a) Escriu l’aproximació per arrodoniment fins als centèsims del número d’or. b) Pots trobar-ne els errors absolut i relatiu? a) L’aproximació per arrodoniment als centèsims és 1,62. b) No es poden trobar els errors absolut i relatiu, ja que el nombre d’or és un nombre irracional i, per tant, té infinites xifres decimals no periòdiques.

24

SOLUCIONARI

083

1

Un truncament de 8,56792 és 8,56. Calcula l’error absolut i l’error relatiu.

L’error absolut que es comet és: Ea = 8,56792 − 8,56 = 0,00792 L’error relatiu que es comet és: E r =

0 , 00792 = 0 , 00092 8 , 56792

1 per tal que l’error sigui més petit que un centèsim.

7 Perquè l’error absolut comès sigui més petit que un centèsim, hem de calcular el quocient amb dues xifres decimals. L’aproximació que es demana és 0,14.

084

Aproxima el nombre

085

Aproxima el nombre 12,3456 de manera que l’error absolut sigui més petit que 0,001.

Perquè l’error absolut sigui més petit que un mil·lèsim, s’escriu el nombre amb tres xifres decimals. Per tant, l’aproximació que es demana és 12,345.

086

Escriu els 5 primers intervals encaixats dins dels quals hi ha 32 , i indica quin error màxim comets en cada un.

32 = 5,65685…

087

(5, 6)

Error < 6 − 5 = 1

(5,5; 5,6)

Error < 5,6 − 5,5 = 0,1

(5,65; 5,66)

Error < 5,66 − 5,65 = 0,01

(5,656; 5,657)

Error < 5,657 − 5,656 = 0,001

(5,6568; 5,6569)

Error < 5,6569 − 5,6568 = 0,0001

Podem escriure π = comès.

355 ? Justifica la resposta i digues quin és l’ordre de l’error 113

Com que es tracta d’un nombre irracional és impossible escriure’l amb una fracció, ja que totes les fraccions són nombres racionals. π = 3,1415926…

355 = 3,1415929…

113

L’error que es comet és més petit que un milionèsim.

088

Per a quin nombre seria 5.432,723 una aproximació als mil·lèsims per defecte? És l’única resposta? Quantes respostes hi ha?

Resposta oberta.

Una aproximació als mil·lèsims és 5.432,7231.

La resposta no és única, ja que hi ha infinits nombres.

089

Indica quins d’aquests nombres estan escrits en notació científica. a) 54 ⋅ 1012

c) 243.000.000 −11

b) 0,75 ⋅ 10

d) 0,00001

e) 7,2 ⋅ 10−2 14

f ) 0,5 ⋅ 10

g) 0,01 ⋅ 10−30 h) 18,32 ⋅ 104

El nombre 7,2 ⋅ 10−2 està escrit en notació científica.

25

Nombres reals 090

Escriu en notació científica els nombres següents i indica’n la mantissa i l’ordre de magnitud. a) 5.000.000.000 b) 0,00000051 a) b) c) d) e) f) g) h)

091

c) 31.940.000 d) 0,0000000009

5.000.000.000 = 5 · 109 0,00000051 = 5,1 · 10-7 31.940.000 = 3,194 · 107 0,0000000009 = 9 · 10-10 4.598.000.000 = 4,598 · 109 0,0967254 = 9,67254 · 10−2 329.000.000 = 3,29 · 108 111.000 = 1,11 · 105

Mantissa: 5 Mantissa: 5,1 Mantissa: 3,194 Mantissa: 9 Mantissa: 4,598 Mantissa: 9,67254 Mantissa: 3,29 Mantissa: 1,11

b) 8,32 ⋅ 10−11

a) 4,8 ⋅ 108 = 480.000.000 b) 8,32 ⋅ 10−11 = 0,0000000000832

c) 6,23 ⋅ 10−18

1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104 = 3,89 ⋅ 104 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103 = 1,0335 ⋅ 104 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 = 3,620000585 ⋅ 104 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 = 2,303975 ⋅ 102 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 = 5,93830346 ⋅ 104

Troba el resultat d’aquestes operacions. a) b) c) d) e)

9,5 ⋅ 104 −3,72 ⋅ 104 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 a) b) c) d) e)

d) 3,5 ⋅ 10−12

c) 6,23 ⋅ 10−18 = 0,00000000000000000623 d) 3,5 ⋅ 10−12 = 0,0000000000035

1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 a) b) c) d) e)

26

Ordre de magnitud: 9 Ordre de magnitud: −7 Ordre de magnitud: 7 Ordre de magnitud: −10 Ordre de magnitud: 9 Ordre de magnitud: −2 Ordre de magnitud: 8 Ordre de magnitud: 5

Fes les operacions. a) b) c) d) e)

093

g) 329.000.000 h) 111.000

Desenvolupa aquests nombres escrits en notació científica. a) 4,8 ⋅ 108

092

e) 4.598.000.000 f ) 0,0967254

9,5 ⋅ 104 − 3,72 ⋅ 104 = 5,78 ⋅ 104 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 = 8,055 ⋅ 103 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 = 7,887 ⋅ 10−4 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 = 4,652610 ⋅ 106 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 = 4,997 ⋅ 102

SOLUCIONARI

094

Fes les operacions següents. a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014

c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103

a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 = 3,8325 ⋅ 102 b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014 = 5,0787 ⋅ 1010 095

6 ,147 ⋅ 10−2 ⋅ 4 , 6 ⋅ 103 7 , 9 ⋅ 10 8 ⋅ 6 , 57 ⋅ 10−5

8

7,9 · 10 · 6,57 · 10

b)

3,92 · 10 4 · 5,86 · 10−6 7 · 10

−8

2,82762 · 102

=

−5

5,1903 · 10 4 2,29712 · 10−1

=

13

· 9,2 · 10

6,44 · 10 6

3 , 92 ⋅ 10 4 ⋅ 5 , 86 ⋅ 10−6 7 ⋅ 10−8 ⋅ 9 , 2 ⋅ 1013 = 5,447893185 · 10−3 = 3,566956522 · 10−8

Troba el valor numèric d’aquests radicals.

4

a)

81

3

b)

−27

5

c)

−100.000

d)

3

−216

4

e)

625

f)

a)

4

81 = ± 3

c)

5

−100.000 = −10

e)

4

625 = ± 5

b)

3

−27 = −3

d)

3

−216 = −6

f)

7

−128 = −2

7

−128

Indica els radicals equivalents.

4

5

23

3

32 3

8

72

26

12

10

78

34

9

12

29

6

4

23 = 2 4 = 2 12 = 12 29

5

32 = 3 5 = 3 10 = 10 34

2

098

b)

6,147 · 10−2 · 4,6 · 103

a)

097

c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102 = 1,545623836 ⋅ 104 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103 = 2,96875 ⋅ 10−9

Simplifica el resultat d’aquestes operacions. a)

096

1

20

215

3

15

8

26 = 2 8 = 2 4 = 2 20 = 20 215

3

72 = 7 3 = 7 12 = 12 78

4

2

8

Simplifica els radicals següents: a)

3

16

b)

3

54

c)

4

32

27

d)

4

e)

75

f)

5

128

g)

6

27

h)

8

625

1

a)

3

16 =

3

24 = 2 3 = 2 · 2 3 = 2 3 2

b)

3

54 =

3

33 · 2 = 3 3 · 2 3 = 3 · 2 3 = 3 3 2

c)

4

32 =

4

25 = 2 4 = 2 · 2 4 = 2 4 2

3

1

5

1

1

3

1

d)

27 =

33 = 3 2 = 3 · 3 2 = 3 3

e)

75 =

3 · 52 = 3 2 · 5 = 5 3

1

7

f)

5

128 =

g)

6

27 =

5

3 6

1

33 = 3 6 = 3 2 = 4

h)

8

625 =

2

27 = 2 5 = 2 · 2 5 = 2 5 22

8

3

1

54 = 5 8 = 5 2 =

5

27

Nombres reals 099

Escriu com a potències d’exponent fraccionari aquests radicals. a)

a a

a

c)

1

e)

a b)

3

a a a

4

d)

a

a−5

4

3

2

a)

a a = a&a2

b)

  1 a a a = a a ⋅ a 2

(

1

3   3 2    = a a 2

)

1

( )

1

c)

a

2

 3 3   = a⋅a4

(

4

a−5 = a 1

e)

( )

1

1

f)

= a4

a

100

a

7

4

7

3

= a 12

4

1

=

a

=a

1

−1 4

a4 3

3

−1 2

=a

1 2

h)

3

1 =a a

−1 3

Expressa amb un sol radical: a)

5

3 5

2

b)

3

c)

3

1

d)

2

2 1

a)

5

(

1

3 5 = 3 ⋅ 52

)

1

5

1

2

1

= 3 5 ⋅ 5 10 = 3 10 ⋅ 5 10 = 10 32 ⋅ 5

1

b)

 2 1   = 2 6  

 1  2 2 2 =  1  2  2 3

3

1

( )

1

2

= 2 12 = 12 2

1

  1 3 =  3 2

2 1 2    = 38 = 1

( )

c)

1

 2 −1   = 2 2  

  1 =  1  2  22

8

3

1

( )

1

d)

−1

2

=2

4

=

1

( ) 1

e) f)

3 4

1

3

= 2 12 = 12 2

2 = 24

1

= 5

28

1

= (a )

3

g) ( a ) = a 2

4

1

=

1

)

1 2

−5

d)

1 a

= a4

1

 2 1  2  = a 

  a a =  1  a  a2

3

3

2

2

1

3

h)

1

) = (a )

1

1

f)

1

(

3

g) ( a )

1

(5 ) 1 2

1 2

=

1 5

1 4

−1

=54 =

1 4

5

1 4

2

e)

3 4

2

f)

1 5

SOLUCIONARI

101

Extreu de l’arrel els factors que puguis. a)

8

b)

102

c)

18

50

d)

e)

98

12

f)

75

23 = 2 2

g)

3

1.000

h)

3

40

e)

12 =

3 ⋅ 22 = 2 3

2 ⋅ 32 = 3 2

f)

75 =

3 ⋅ 52 = 5 3

50 =

2 ⋅ 52 = 5 2

g)

3

98 =

2 ⋅ 72 = 7 2

h)

3

a)

8 =

b)

18 =

c) d)

1.000 = 40 =

3

3

23 ⋅ 53 = 2 ⋅ 5 = 10

23 ⋅ 5 = 2 3 5

Extreu factors dels radicals. a)

3

8 a5

c)

b)

4

16 a7

d)

a)

3

8 a5 =

b)

4

16 a7 = 6

c)

103

1

4

4

26 a 4 b 8

e)

5

a 6 b10

a 6 b5 c 9

f)

3

15.625 x 4 y 3

23 a 5 = 2 a 3 a 2

3

2 4 a7 = 2 a 4 a 3

4

8

3

2

2 a b =2 a b

d)

4

a 6 b5 c 9 = abc 2

e)

5

a 6 b10 = ab 2

f)

3

4

5

15.625 x 4 y 3 =

4

a 2 bc

a 56 x 4 y 3 = 52 xy 3 x

3

Simplifica les expressions següents: a)

a12 a18

3

c)

3

8 a4 81b3 3

b)

4

32 a 5 b−8 c −12

d)

e)

3

729 a7 b−12

 1  a 2 f )  3   a 2

5 −2

− 8a b c 3

6

−32 a 6 b 4

−

    

1 2

1

a)

3

b)

4

c)

3

d) e)

a12 a18

( ) −6

3

=

a−6 = a

32 a 5 b−8 c −12 = 8 a4 = 81b 3

3

6

6

−32 a b

4

729 a7 b−12 =

 1  a 2 f )  3   a 2

= (a−1 )

3

=

36 a7 b−12 = 3 ab−2

−

1 2

1 a

a 3

− 3 25 a 6 b 4

1 − 2

    

= a−1 =

− 3 23 a 3 b 5 c −2

= 6

2

25 a 5 b−8 c −12 = 2 ab−2 c −3 4 2 a

23 a 4 2a = 34 b 3 3b

− 3 8 a 3 b 5 c −2 3

4

3

3

6

b 1 = 22 a 3 c 2 a

3

b 22 c 2

a

1

= a2 =

a

29

Nombres reals 104

Introdueix els factors dins del radical. a) 2 3 5

c) 3 5 15

e)

1 2

b) 4 4 20

d)

3 5

f)

1 2

a) 2 3 5 =

23 ⋅ 5 =

3

b) 4 4 20 = c) 3 5 15 =

d) e)

105

2

4

5

5

14 6 = 2

4

4

5

35 ⋅ 15 =

2

g) 2 3 7

i)

3 5

1 2

h) 5 3

1 5

j)

1 33 ⋅ 7 4

4

f) 5.120

1 2

1 = 5

3

18 25

i)

3 5

3

2 = 3

1 = 24 ⋅ 2

4

23 ⋅ 7 = 53 = 5

j)

3

33 ⋅ 2 3

3

5 ⋅3

3

3 8

4

1 = 2 3

h) 5 3

6 = 16

4

g) 2 3 7 =

3.645

=

1⋅ 6 = 24

4

6

40

4 4 ⋅ 20 =

32 ⋅ 2

3 2 = 5

3

4

1 3 ⋅ = 7 4

3

3

4

56 3

3

b)

4 a −1 2a

4 ab 4 c 2 b ⋅ c 8a a) a ⋅

3a 8 3

d) −2 ab2

3 = 73 ⋅ 4 3

3

b)

4 ab 4 c 2 b ⋅ = c 8a

c)

2 ⋅ a

3a = 8 3

e) 5 + 2 f ) −a 2

ab

a 2 ( 4 a − 1) = 2a

4 a −1 = 2a

d) −2 ab 2

2 ⋅ a

c)

4

a

4 a2 − a 2

4 4 a4 b4 c2 b = c4 8 a

22 3 a = 23 a 2

3

4

28 a 4 b 5 c 2 = 23 ac 4

4

25 a 3 b 5 c2

3 2a

ab = 3 −23 a 3 b 6 ab = 3 −23 a 4 b7

e) No és possible introduir factors, perquè el 5 no és factor. f ) − a2

106

a = 3 − a 6 a = 3 − a7

Opera i simplifica. a ) (3 2 − 5) ⋅ ( 4 2 − 3)

e) (7 5 + 4) ⋅ (5 5 − 3 6 )

b) (2 7 + 3 2 ) ⋅ (5 − 2 2 )

f ) (7 2 − 3) ⋅ (5 3 + 2)

( 3 + 2 ) ⋅( 3 − 2 ) d) (5 2 − 3) ⋅ (5 2 + 3)

g) ( 6 7 + 5 ) ⋅ ( 6 7 − 5 )

c)

30

3

25

18 125

Introdueix els factors dins del radical, si es pot. a) a ⋅

2 3

1 32

52 =

=

3

h) (2 5 − 10 ) ⋅ (2 5 + 10 )

3 21.952

SOLUCIONARI

1

2

a) (3 2 − 5) ⋅ ( 4 2 − 3) = 12( 2 ) − 9 2 − 20 2 + 15 = −29 2 + 39 2

b) (2 7 + 3 2 ) ⋅ (5 − 2 2 ) = 10 7 − 4 14 + 15 2 − 6( 2 ) = = 10 7 − 4 14 + 15 2 − 12 c)

2

2

( 3 + 2 )⋅( 3 − 2 ) = ( 3 ) − 6 + 6 −( 2 ) = 3 − 2 = 1 2

d) (5 2 − 3) ⋅ (5 2 + 3) = 25( 2 ) + 15 2 − 15 2 − 9 = 50 − 9 = 41 2

e) (7 5 + 4) ⋅ (5 5 − 3 6 ) = 35( 5 ) − 21 30 + 20 5 − 12 6 = = 175 − 21 30 + 20 5 − 12 6 f ) (7 2 − 3) ⋅ (5 3 + 2) = 35 6 + 14 2 − 15 3 − 6 2

2

g) (6 7 + 5 ) ⋅ (6 7 − 5 ) = 36( 7 ) − 6 35 + 6 35 − ( 5 ) = = 252 − 5 = 247 2

2

h) (2 5 − 10 ) ⋅ (2 5 + 10 ) = 4 ( 5 ) + 2 50 − 2 50 − ( 10 ) = = 20 − 10 = 10

107

Calcula. a)

4

b)

3

a3 ⋅ 3 a5 ⋅ 6 a 4 2

3 a b ⋅ 2 ab

3 3

c)

5

d)

3

5

2 a3 b 4 :

3

ab ⋅ a 3 b 4

9

20

27

8

a)

4

a 3 ⋅ 3 a5 ⋅ 6 a 4 = a 4 ⋅ a 3 ⋅ a 6 = a 12 ⋅ a 12 ⋅ a 12 = a 12 = 12 a 37 = a 312 a

b)

3

3 a 2 b ⋅ 2 ab 3 = (3 a 2 b) 3 ⋅ (2 ab3 ) 2 = (3 a 2 b) 6 ⋅ (2 ab 3 ) 6 = = 6 32 a 4 b 2 23 a 3 b 9 = 6 23 32 a7 b11

c)

5

2a 3b 4 : 3 4ab2 = (2a 3b 4 ) 5 : ( 4ab2 ) 3 = (2a 3b 4 ) 15 : ( 4ab2 ) 15 =

1

1

= 15

3

1

d)

3

ab ⋅ a b

3

5

a 4b 2 23a 9b12 23a 9b12 = 15 10 5 10 = 15 7 5 5 10 2 4ab 2 ab 1

= ((ab) ) ⋅ (a(b) ) 1

3

2

1

1

108

4 ab 2

2

3

1

3

1

2

1

1

1

2

1

= a6 b6 a2 b6 = a3 b3 =

3

a2 b

Efectua i simplifica.

2

(2 + 3 ) −( 2 + 3 ) ⋅ ( 2 − 3 ) b) (3 + 5 ) ⋅ (3 − 5 ) + (2 − 4 5 ) ⋅ (2 + 4 5 ) c) ( 3 + 5 − 4 7 ) ⋅ ( 3 − 5 + 4 7 ) a)

2

(2 + 3 ) − (2 + 3 ) ⋅ (2 − 3 ) = 4 + 4 3 + 3 − 4 + 3 = 6 + 4 3 b) (3 + 5 ) ⋅ (3 − 5 ) + (2 − 4 5 ) ⋅ (2 + 4 5 ) = 9 − 5 + 4 − 80 = −72 c) ( 3 + 5 − 4 7 ) ⋅ ( 3 − 5 + 4 7 ) = a)

= 3 − 15 + 4 21 + 15 − 5 + 4 35 − 4 21 + 4 35 − 112 = 109 + 8 35

31

Nombres reals 109

Troba el resultat: a)

7 −2 6 ⋅ 7 + 2 6

b)

3

c)

4

5 3 −1 ⋅ 3 5 3 + 1 3 + 2 ⋅4

7 − 2 6 ⋅ 7 + 2 6 = (7 − 2 6 )(7 + 2 6 ) =

a)

110

3− 2

b)

3

c)

4

5 3 − 1⋅ 3 5 3 + 1 = 3 + 2 ⋅4

3

49 − 24 =

25 = 5

(5 3 + 1)(5 3 + 1) = 3 75 − 1 = 3 74 ( 3 + 2 )( 3 − 2 ) = 4 3 − 2 = 1

4

3− 2 =

Efectua i simplifica.

4

a)

23 ⋅ 2−4 ⋅ 3 2 −

22 ⋅ 2 ⋅ 2

5 2

 1 1 1  b)  814 ⋅ 4 ⋅ : 8  3 3  a)

23 ⋅ 2−4 ⋅ 3 2 −

22 ⋅ 2 ⋅ 2

5 2

(

1

1 2

−2

  

13

13

2 12 2 12 = 4 = 48 = 12 235 1 5 − 2 22 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 2 12 1 1 1 5 1 1  − −   3 = 3 ⋅ 3 4 ⋅ 3 8  : 3 2 = 3 8 : 3 2 = 3 8 =  

=

−

14 + 7 − 4 81

a a + 9 16

)

2 4 ⋅ 2−4 ⋅ 2 3

 1 1 1  b) 814 ⋅ 4 ⋅  : 8  3 3  c)

14 + 7 − 4 81

 d)  

3 3

4

−

(

c)

)

1

= ( 14 + 7 − 3

2

−

)

1 2

−

= ( 14 + 2 )

1 2

=4

8

−

3

1 2

=

1 4

 a a d)  +  9 16 111

−2

−2

   =  16 a + 9 a   144 

   =  25 a  144  

−2

   =  5   12

Expressa el resultat com a potència.

6

a) ( 3 5 ⋅ 5 ) b)

5

5

2

3⋅ 3

3

a)

(3 5 ·

b)

5

3

c) d) 6

(

1

1

5 ) = 53 ⋅ 52

6

3

22 ⋅

2

5

8 81

6

) = (5 ) = 5 5

5

6

1

⋅ (3 · 3 )

1 5

2

3⋅ 3

3 =3

1

2

5

2

1

5

2

1

7

= 3 5 ⋅ 3 5 ⋅ 3 10 = 3 10 1

1

c)

3

22 ⋅

8

5

  1 ⋅  2 2

( ) ( ) 2

2 = 23

2

1

81 = (2 (3 ) ) 1

d)

32

3

3

4

5

3

4

= 2 ⋅ 3 15

1 2

 2 11 1 1   = 2 3 ⋅ 2 8 = 2 24

−2

 144 a  =  25a

=

1 2

SOLUCIONARI

112

1

Racionalitza i simplifica. a)

6 6 −6

f)

7+ 5 4

6 b)

−5

g)

6 6 −6 3

2 5 c)

1− 2

e)

5 3 −4 5

5 7 55

−3

−6

6 6 −6

=

6 b)

−5

e)

f)

g)

h)

i)

j)

73 2

5 3 −4 5

−6

7+ 5 4

−3

=

24 7

4

5 7 55

=

5 3 −4 3

32

73 2 35

=

6

9

=

−5 5 − 5 = 10 2

5

−3 4 73

=

4

7

4

73

4

3 ⋅ 4 33

=

3

3

6⋅ 6

−3 4 73 7

=

7 4 33 + 4 675 3

5 7 55 ⋅ 7 52

32 ⋅ 3 3

7 3 2 ⋅ 4 33 3 4 3 ⋅ 4 33

=

6( 6 6 6 − 3 6 2 6

)

= 6 6 6 − 3 62

9 7 52 25

(5 3 − 4 ) 3 3 3

=

2

=

15 10 3 − 4 5 −33 −1510 3 + 4 5 −33 = −3 3

=

( 6 6 − 6) 3 6 2 9 7 52

=

2 −2 2

−32 ⋅ 5 −33

(7 + 5 ) 4 33

3

3

35

(5 3 − 4) 5 −33

7

=

6 6 −6

4

=

−32

4

(1− 2 ) 2 = 2 ( 2)

=

2 d)

=

2

2( 5 )

1− 2

32

( 6 6 − 6) 6 6⋅6−6 6 6( 6 − 6 ) = = = 6− 6 2 6 6 ( 6)

−5 5

=

2 5 c)

3

j)

24 7 a)

5 3 −4

i)

2

6

9

h)

2 d)

3

=

5 6 35 − 4 3 3 3

7 12 24 ⋅ 39 9

33

Nombres reals 113

Elimina les arrels del denominador. a) b)

1

−5

c)

2 +1 3

2 −1

=

( 2 + 1)( 3 3( = ( 2 + 3 2 + −5 −5( 3 = ( 3 − 2)( 3 −2 2 +1

c) d) e) f)

−1 2 ⋅( 5 − 3 )

b)

−1

a)

2 − 1)

=

2 −1 = 2 −1

2 −1

2 − 3)

5 3⋅( 7 + 2 ) 8

c)

5 3 ⋅( 7 + 2 ) =

2 ⋅( 5 − 3 )

b)

5 ⋅ ( 10 − 6 )

= =

8

c)

d)

5 ⋅ ( 10 − 6 )

− 5− 3 2( 5 − 3 )( 5 + 3 ) 5( 7 − 2 ) 3( 7 + 2 )( 7 − 2 )

3)

10

7

−7 9 ⋅( 6 + 3 )

=

− 5− 3 4

=

5( 7 − 2 ) = 15

7− 2 3

8( 10 − 6 ) 2( 10 − 6 ) = = ) ( ) 20 5 6 10 + 6 −7( 6 − 3 ) 6 − 3) = ( ) 27 3) 6 − 3

8 ( 10 + 6 )

5( 10 − −7 −7( d) = 9 ⋅( 6 + 3 ) 9( 6 + Racionalitza i simplifica el resultat: 1

a)

3+ a)

b) 6

1

c)

1− 5 + 7 1

=

3+ 6

3+ 6 3+ 6 ⋅ 3+ 6

=

34

6 + 7

Racionalitza les expressions següents: a)

115

f)

3( 2 − 3 ) = = −3( 2 − ( ) ) 2−3 3 2− 3 + 2) −5 3 − 10 = = 5 3 + 10 ) 3− 4 3 +2 4 2 4 2 (3 2 + 5 ) 24 + 4 10 24 + 4 = = = (3 2 − 5 )(3 2 + 5 ) 13 18 − 5 3 2− 5 ( ) 7 7 11 + 3 7 11 + 21 7 11 + 21 = = = ( 11 − 3)( 11 + 3) 2 11− 9 11 − 3 −5 −5( 6 − 7 ) −5 6 + 5 7 = = = 5 6 −5 ( ) ( ) 6−7 6 + 7 6 + 7 6− 7

b)

114

11 − 3 −5

3 2 − 5

1

a)

3 −2 4 2

d)

2 + 3

7

e)

5 6 − 2 18

=

3+ 6 3+ 6

d)

4 3 + 7 12

=

3 + 6 (3 − 6 ) = (3 + 6 )(3 − 6 )

3 3 + 6 − 18 + 6 6 3 3 + 6 − 18 + 6 6 = 9−6 3

1

SOLUCIONARI

1

b)

=

1− 5 + 7

1+ 5 − 7

(1− 5 + 7 )(1+ 5 − 7 )

=

1+ 5 − 7

=

=

1+ 5 − 7 − 5 −55 + 35 + 7 + 35 − 7 =

= c)

(−11+ 2

35 )(−11− 2 35 )

=

121−140

=

−11−11 5 + 11 7 − 2 35 − 2 175 + 2 245 −19

5 6− 2

4 3+ 7 12

116

=

−11+ 2 35

(1+ 5 − 7 )(−11− 2 35 ) −11−11 5 + 11 7 − 2 35 − 2 175 + 2 2445

=

(5 6 − 2 ) 18 5 33 ⋅ 22 − 6 = = 2 18 ( 18 )

=

6 ( 5 3 − 1) 5 3 −1 5⋅ 3⋅ 2 3 − 6 = = 18 6⋅3 3

=

( 4 3 + 7 ) 12 12 + 21 24 + 84 2(12 + 21 ) = = = 2 6 12 6⋅2 ( 12 )

18

d)

1+ 5 − 7

Racionalitza les expressions següents: a) b)

3 −2 3

3

(3 2 − 5) ⋅ ( 4 2 − 3)

3

= = d)

2 ⋅ ( 125 + 2)

3

3

=

24 − 9 2 − 20 2 + 15

=

=

=

39 − 29 2

117 + 87 2 117 + 87 2 = −161 1.521− 1.682

2(−5 6 53 ⋅ 2 + 2 242 3⋅ 2

=

−4 1 4

1 3

=

37 3 4 ⋅ 3 4 2

− 2 ( 125 − 2) 3

6

=

2 ⋅ ( 125 + 2)( 125 − 2)

121 3 2 ⋅ 3 22

3

=

37 3 4

(− 250 + 2 2 ) 3 22

−4 4

3 ⋅32

(39 − 29 2 )(39 + 29 2 ) −2 −2(5 3 + 1) −2(5 3 + 1) = = = 3 74 3 4 4 ⋅ (5 3 − 1) 4 ⋅ (5 3 − 1)(5 3 + 1) (−5 3 − 1) 3 4 2 −5 3 − 1 −5 6 33 ⋅ 4 4 − 3 4 2 − 2

3

4

3(39 + 29 2 )

=

c)

2 ⋅ ( 125 + 2)

=

=

b)

3

−4

d)

4 ⋅ (5 3 −1) a)

− 2

c)

(3 2 − 5) ⋅ ( 4 2 − 3)

2)

=

= =

− 6 59 ⋅ 27 + 2 6 27 121 3 2 ⋅ 3 22

− 250 + 2 2 121 3 2

=

−5 ⋅ 2 6 53 ⋅ 2 + 22 6 2 242

=

−5 6 53 ⋅ 2 + 2 6 2 121

−4 3 12

=

148

4 12

=

−4 12

3

3 ⋅2

3 ⋅2 3 ⋅2 −4 12 39 ⋅ 28 −2 12 39 ⋅ 28 = = 3 6

4

=

−4 12 39 ⋅ 28 12

33 ⋅ 2 4

12

39 ⋅ 28

=

35

Nombres reals 117

Fes aquestes operacions. a)

1

1

+

3

2

1

a)

1

+

3

2 118

1

−

5 +5

3

+

6

6 3

2

2 + 2

=

6

2

2

b)

5

1 3

−

5 +5 b)

1 9

3

−

1

b)

9

5

1

a)

1 9

+

6

6 3

2

3

=

2 + 18 611 9

6 ⋅ 23

1 3

1 3

3

=

5 3

=

−

3

5 − 5 −5

( 5 + 5) 5 3

1 3

9 3

=

6

5 − 5 −5 55 + 5 3 5

9 −93

9

9

37

Calcula, a partir de la definició, els logaritmes: a) b) c) d)

log3 243 log9 81 log 1.000.000 log 0,00001 a) b) c) d)

120

9

Efectua les operacions. a)

119

1

b)

2

e) f) g) h)

ln e2 ln e−14 log7 343 log4 0,0625

log3 243 = 5 log9 81 = 2 log 1.000.000 = 6 log 0,00001 = −5

e) f) g) h)

ln e2 = 2 ln e−14 = −14 log7 343 = 3 log4 0,0625 = −2

Si saps que log3 2 = 0,63; troba log3 24 a partir de les propietats dels logaritmes. log3 24 = log3 (23 · 3) = log3 23 + log3 3 = 3 log3 2 + log3 3 = 3 · 0,63 + 1 = = 1,89 + 1 = 2,89

121

Calcula log4 128, fent servir les propietats dels logaritmes i prova de donar-ne un resultat exacte.

7 log4 128 4x = 128 22x = 128 22x = 27 x= 2

122

Troba el resultat d’aquestes expressions a partir de les propietats dels logaritmes. a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49 b) log2 8 + log3 27 + log5 125 c) log5 625 − log9 81 + log8 64 a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49 = 2 · 2 + 5 − 3 · 2 = 3 b) log2 8 + log3 27 + log5 125 = 3 + 3 + 3 = 9 c) log5 625 − log9 81 + log8 64 = 4 − 2 + 2 = 4

36

SOLUCIONARI

123

1

Desenvolupa les expressions següents: a) log3 b) log2

a2 ⋅ b5 ⋅ c d2

5

a3 ⋅ 5 b 6 3

c

a) log3

b) log2

x⋅

c) log10

y ⋅ z3

e3 ⋅ 4 a6 1.000

d) ln

7

x

2

a2 ⋅ b5 ⋅ c = log3 ( a 2 ⋅ b 5 ⋅ c ) − log3 d 2 = d2 = log3 a 2 + log3 b 5 + log3 c − log3 d 2 = = 2 log3 a + 5 log3 b + log3 c − 2 log3 d a3 ⋅ 5 b 6 3

c

7

= log2 (a 3 ⋅ 5 b 6 ) − log2

3

c7 =

6

7

= log2 a 3 + log2 b 5 − log2 c 3 = 6 7 = 3 log2 a + log2 b + log2 c 5 3 c) log10

x⋅ 5

x

2

y ⋅ z3

= log10 ( x ⋅

x ) − log10

(

1

)

5

(

y2 ⋅ z3 = 2

3

)

= log10 x ⋅ x 2 − log10 y 5 ⋅ z 5 = 1 2

2 5

3

= log10 x + log10 x − log10 y − log10 z 5 = 1 2 3 = log10 x + log10 x − log10 y − log10 z 2 5 5 d) ln

(

6

)

e3 ⋅ 4 a6 = ln e 3 ⋅ a 4 − ln 1.000 = 1.000 3

= ln e 3 + ln a 2 − ln 103 = 3 = 3 ln e + ln a − 3 ln 10 2 124

Fent servir la calculadora, determina: a) log5 362

b) log2 31

a) log5 362 = 2 log5 36 = 2 ⋅

b) log2 31 =

c) log6 100 log 36 log 5

d) log4 315

= 4,4531

1 1 log 31 log2 31 = ⋅ = 2,4771 2 2 log 2

c) log6 100 = log6 102 = 2 ⋅ d) log4 315 = 5 log4 31 = 5 ⋅

log 10 log 6 log 31 log 4

= 2,5701

= 12,3855

37

Nombres reals 125

Si log e = 0,4343; quant val ln 10? I ln 0,1? ln 10 =

126

log 10

1 = 2,3025 0,4343

=

log e

ln 0,1 =

log 0,1 log e

=

−1 = −2,3025 0,4343

Tenint en compte que log 2 = 0,3010, troba el valor dels logaritmes decimals: a) log 1.250 b) log 0,125

c) log 5 d) log 0,04

e) log 1,6 f ) log 0,2

10.000 = log 10.000 − log 23 = 4 − 3 ⋅ 0,3010 = 3,097 8 1 log 0,125 = log = log 1− log 23 = 0 − 3 ⋅ 0,3010 = 0,903 8 10 log 5 = log = log 10 − log 2 = 1− 0,3010 = 0,6990 2 22 log 0,04 = log = 2 log 2 − 2 log 10 = 2 ⋅ 0,3010 − 2 = −1,398 100 24 log 1, 6 = log = 4 log 2 − log 10 = 4 ⋅ 0,3010 − 1 = 0,204 10 2 log 0,2 = log = log 2 − log 10 = 0,3010 − 1 = −0,699 10

a) log 1.250 = log b) c) d) e) f) 127

Calcula el valor de x. a) log3 x = 5

c) log2 x = −1

e) log3 (x − 2) = 5

g) log2 (2 − x) = −1

b) log5 x = 3

d) log 2 x = 4

f ) log5 (x + 2) = 3

h) log23 (3 + x) = 4

3

a) log3 x = 5 → 35 = x → x = 243 b) log5 x = 3 → 53 = x → x = 125 c) log2 x = −1 → 2−1 = x → x = 0,5 4

2 16 d) log 2 x = 4 →   = x → x =  3  81 3 5 e) log3 ( x − 2 ) = 5 → 3 = x − 2 → x = 243 + 2 = 245 f ) log5 ( x + 2 ) = 3 → 53 = x + 2 → x = 125 − 2 = 123 g) log2 ( 2 − x ) = −1 → 2−1 = 2 − x → x = −0 , 5 + 2 = 1, 5 h) log23 ( 3 + x ) = 4 → 234 = 3 + x → x = 279.841− 3 = 279.838 128

Troba quant val x. a) logx 3 = −1

b) logx 5 = 2

c) logx 3 = −2

a) log x 3 = −1 → x −1 = 3 → x = b) log x 5 = 2 → x 2 = 5 → x =

1 3 5

c) log x 3 = −2 → x −2 = 3 → x 2 = d) log x 2 = 5 → x 5 = 2 → x =

38

5

2

1 →x= 3

1 3

d) logx 2 = 5

SOLUCIONARI

129

1

Calcula el valor de x. a) log3 9 x = 2 3 x b) log 2 = 2 c) ln 3x = −1 d) log2 4x+4 = −2

e) log3 9 x+3 = 3 3 f ) log 2 x/2 = 2 g) ln 3x+6 = 3 h) log3 273x+4 = −2

a) log3 9 x = 2 → x log3 9 = 2 → 2x = 2 → x = 1 b) log 2 x =

3 3 3 → x log 2 = → x = → x = 4,9829 2 2 2 log 2

c) ln 3 x = −1 → x ln 3 = −1 → x =

−1 ln 3

→ x = −0,9102

d) log2 4 x + 4 = −2 → 2−2 = 4 x + 4 → 2−2 = 22x +8 → −2 = 2x + 8 → x = −5 e) log3 9 x +3 = 3 → 33 = 9 x +3 → 33 = 33x +9 → 3 = 3x + 9 → x = −2 x

x 3 3 3 log 2 = → x = → → x = 9,9658 2 2 2 log 2 3 g) ln 3 x + 6 = 3 → ( x + 6 ) ln 3 = 3 → x = − 6 → x = −3,2693 ln 3 −2 h) log3 273x + 4 = −2 → ( 3x + 4 ) log3 27 = −2 → 3x + 4 = 3 −2 − 12 −14 →x= → 3x = 3 9 f ) log 2 2 =

130

Determina el valor de x. a) b) c) d)

8x = 1.024 2 3 x = 27 2 3 x −6 = 27 10 x−1 = 103

e) f) g) h)

8x−2 = 1.024 (3x)2 = 27 2 3 x + 18 = 27 2 2 x −2x +1 = 1

a) 8 x = 1.024 → 23 x = 210 → x = 2

2

b) 3 x = 27 → 3 x = 33 → x = c) 3 x

2

−6

= 27 → 3 x

2

−6

10 3

3 2

= 33 → x 2 − 6 = 3 → x =

9 = ±3

d) 10 x −1 = 103 → x − 1 = 3 → x = 4 e) 8 x −2 = 1.024 → 23 (x −2) = 210 → 3x − 6 = 10 → x = f ) (3 x )2 = 27 → 32x → 33 → 2x = 3 → x = 2

2

16 3

3 2

2

g) 3 x + 18 = 27 → 3 x = 9 → 3 x = 32 → x 2 = 2 → x = h) 2

x 2−2x +1

= 1→ 2

x 2−2x +1

0

2

2

= 2 → x − 2x + 1 = 0 → x = 1

39

Nombres reals 131

Indica si les afirmacions següents són verdaderes o falses. Raona la resposta. a) b) c) d) e) f) g) h) i)

Tots els nombres decimals es poden escriure en forma de fracció.

Tots els nombres reals són racionals.

Qualsevol nombre irracional és real.

Hi ha nombres enters que són irracionals.

Hi ha nombres reals que són racionals.

Tot nombre decimal és racional.

Cada nombre irracional té infinites xifres decimals.

Tots els nombres racionals tenen infinites xifres decimals que es repeteixen.

Tots els nombres racionals es poden escriure mitjançant fraccions. a) Falsa, perquè els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals no periòdiques i no es poden escriure com a fracció. b) Falsa, perquè hi ha nombres reals que són irracionals. c) Verdadera, ja que els nombres racionals i els irracionals formen el conjunt dels nombres reals. d) Falsa, perquè si són enters no poden tenir infinites xifres decimals no periòdiques. e) Verdadera, perquè tots els nombres que es poden expressar com a fracció són nombres reals, que a més són racionals. f) Falsa, perquè els nombres decimals amb infinites xifres decimals no periòdiques són irracionals. g) Verdadera, ja que tenen infinites xifres decimals no periòdiques. h) Falsa, perquè els decimals exactes també són racionals. i) Verdadera, per definició.

132

Per què l’arrel quadrada de qualsevol nombre acabat en 2 és un nombre irracional?

Hi ha algun altre conjunt de nombres amb aquesta característica?

Perquè no hi ha cap nombre que, quan el multipliquem per si mateix, doni un nombre acabat en 2.

Totes les famílies de nombres acabades en 3, 7 i 8 tenen aquesta característica.

133

Escriu en notació científica les quantitats següents: a) b) c) d) e) f) g) h)

Distància Terra-Lluna: 384.000 km Distància Terra-Sol: 150.000.000 km Diàmetre d’un àtom: 0,0000000001 m Superfície de la Terra: 500 milions de km2 Longitud d’un virus (grip): 0,0000000022 m Pes d’un estafilococ: 0,0000001 g Un any llum: 9.500.000.000.000 km Distància a la galàxia més llunyana: 13.000 milions d’anys llum a) b) c) d)

40

384.000 = 3,84 · 105 150.000.000 = 1,5 · 108 0,0000000001 = 1 · 10−10 500.000.000 = 5 · 108

e) f) g) h)

0,0000000022 = 2,2 · 10−9 0,0000001 = 1 · 10−7 9.400.000.000.000 = 9,4 · 1012 13.000.000.000 = 1,3 · 1010

SOLUCIONARI

134

1

Amb l’ajut de les propietats dels nombres reals, prova que el producte de zero per qualsevol nombre real dóna com a resultat zero. En cada cas, indica la propietat que fas servir.

Per la unicitat dels elements neutres per a la suma i la multiplicació tenim que: Propietat distributiva 8

0 · a + a = a · (0 + 1) = a · 1 = a Com que 0 · a + a = a → 0 · a = 0

135

a Quin tipus de decimal s’obté de la fracció 2 3 , 2 ·5 en què a és un nombre enter?

Com que el nostre sistema de numeració és decimal, quan dividim un nombre enter entre un nombre que sigui potència de 2 o de 5, o de tots dos, s’obté un decimal exacte. Si el numerador és múltiple del denominador, s’obté un nombre enter.

136

Hi ha algun cas en què l’aproximació per excés i per defecte coincideixin?

I si considerem l’arrodoniment, pot coincidir amb l’aproximació per excés o per defecte?

No poden coincidir, ja que quan s’aproxima per defecte s’eliminen les xifres a partir de l’ordre considerat, i quan s’aproxima per excés també s’eliminen les xifres a partir de l’ordre considerat, però s’augmenta en una unitat l’última xifra que queda.

L’aproximació per arrodoniment coincideix amb l’aproximació per defecte si la xifra anterior a l’ordre considerat és més petita que cinc, i coincideix amb l’aproximació per excés en la resta de casos.

137

1

Raona com es racionalitzen les fraccions del tipus:

2n

n

a −2 b

Multipliquem el denominador pel conjugat: 2n

n

2n

a +2 b

(2 a − 2 b )(2 a + 2 b ) n

n

n

n

=

2

n−1

n

a +2 b a −2

n−11

b

(2 a + 2 b )(2 a + 2 b ) (2 a + 2 b )(2 a + 2 b ) = 2 2 2 2 2 ( a − b )( a + b ) a −2 b n

n−1

n

n−1

n−1

n−1

n−1

n

n−1

n

n−2

n−1

n−1

n−2

Per tant, si multipliquem pel conjugat n vegades:

(2

n

a + 2 b )(2 n

n −1

a + 2 b )L( a + b ) a −b n −1

41

Nombres reals 138

Racionalitza les expressions següents: 2 2 a) b) 2 + 3 + 4 2 2 −3 3 + 2

a)

3

4

c)

2

6 −5 5 −6 3

2( 2 − 3 − 2)

= 2+ 3+ 4 ( 2 + 3 + 2 )( 2 − 3 − 2 ) 2( 2 − 3 − 2)( −5 + 2 12 ) 2( 2 − 3 − 2) = = = −5 − 2 12 ( −5 − 2 12 )( −5 + 2 12 ) −10 2 + 4 24 + 10 3 − 24 − 20 − 8 12 = = 25 − 48 10 2 − 8 6 + 4 + 6 3 10 2 − 8 6 − 10 3 + 4 + 16 3 = = 23 23 =

2

b)

2(2 2 + 3 3 − 2)

= (2 2 − 3 3 + 2)(2 2 + 3 3 − 2) 4 2(2 2 + 3 3 − 2)( −23 − 12 3 ) 2( 2 + 3 3 − 2) = = = (−23 + 12 3 )(−23 − 12 3 ) −23 + 12 3 −92 2 − 48 6 − 138 3 − 216 + 92 + 48 3 = = 97 −922 2 − 48 6 − 90 3 − 124 = 97 =

2 2 −3 3 +

2( 6 +5 5 +6 3) = ( 6 −5 5 −6 3 6 − 5 5 − 6 3 )( 6 + 5 5 + 6 3 ) 3 3 2( 6 +5 5 + 6 3) 2 ( 6 + 5 5 + 6 3 )(−137 − 60 15 ) 3

c) =

3

= 139

2

3

=

= −227 − 60 15 2 ( 6 + 5 5 + 6 3 )(−137 + 60 15 ) −2.471

−2.471

=

Indica un procediment general per racionalitzar expressions del tipus: 1 b1 + b2 + … + bn tenint en compte que b1, b2, …, bn són nombres reals.

Es multiplica el denominador per una expressió que resulta de canviar de signe tots els elements del denominador excepte un.

Quan es fa l’operació el nombre d’arrels disminueix; es repeteix aquest procés tantes vegades com calgui fins que l’expressió quedi racionalitzada.

140

Considera que A, B, C i D són quatre pobles. La distància mesurada entre A i B ha estat de 48 km, amb un error de 200 m, i la distància entre C i D ha estat de 300 m, amb un error de 2,5 m. Quina mesura és més bona? Per què?

0 ,2 2,5 = 0,00416 Er = = 0 , 00833 48 300 La mesura més bona és la feta entre els pobles A i B, ja que l’error relatiu comès és més petit.

Es calcula l’error relatiu: E r =

42

SOLUCIONARI

141

Comprova les igualtats següents: a)

n

b)

n

c)

n

a ·

m

a ·

m

b =

n⋅m

b =

n+ m

n

a+b =

d) a n b m =

n

ab a·b

a +

12

n

b

( a ⋅ b)m

f) a b + c = g)

4

h)

8

5

4·8 ?4

3

5+3 = 2

3

5 + 3 3 ?2

ab + ac

2

a b =a b a2 + b2 = a + b

e) Cert:

4 ·8 ? 4 4 ·38 =4

b) Fals:

a ⋅ a ⋅ a ⋅ b = a a ⋅b

e)

4 ·3 8 =4

a) Fals:

a ·

a ·

d) Fals: 2 3 36 = 18 3

a3 · b =

a · b=

=a a·b f ) Fals: 2 15 + 1 = 8 2 · 15 + 2 · 1 ? 8 1

c) Fals:

142

1

g) Fals:

4

8

2

1

a 8 b 2 = (a 8 b 2 ) 4 = a 4 b 4 = a 2 b 2 =

= a2 b ? a b h) Fals:

6

( 2 · 3 ) ? 18

32 + 4 2 = 5 3+ 4 ? 5

Escriu 2500 en notació científica. a) Sabent que log 2 = 0,3010 i que 10 = 3 ,1622 . b) Pots fer-ho amb una calculadora científica? c) Tenint en compte el primer apartat, expressa 5500 en notació científica. a) Anomenem x el nombre: 2500 = x Hem de trobar y de manera que 10y = x. log x 2500 = x 500 = log2 x = log 2 D’altra banda, com que log x = y: y = 500 ? log 2 = 150,5 10150,5 = 100,5 ? 10150 = 3,1622 ? 10150 b) No es pot trobar amb calculadora perquè és un nombre massa gran. c) Anomenem x el nombre: 5500 = x Hem de trobar y de manera que 10y = x: log x 5500 = x 500 = log5 x = log 5 D’altra banda, com que log x = y: y = 500 ? log 5 = 349,5 10349,5 = 100,5 ? 10349 = 3,1622 ? 10349

43

Nombres reals 143

Les unitats de mesura amb què medim la quantitat d’informació són: Byte = 28 bits Megabyte = 210 Kilobytes Kilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes Expressa, en forma de potència i en notació científica, aquestes quantitats d’informació en bits i bytes: a) Disc dur de 120 GB. b) Targeta de memòria de 512 MB.

c) Disquet d’1,44 MB. d) CD-ROM de 550 MB.

a) 120 Gb = 120 ? 210 ? 210 ? 210 bytes = 15 ? 233 bytes = 15 ? 241 bits 120 Gb = 1,2885 ? 1011 bytes = 3,2985 ? 1013 bits b) 512 Mb = 29 ? 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits 512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 ? 1011 bits c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 ? 220 bytes = 1,44 ? 228 bits 1,44 Mb = 1,5099 ? 106 bytes = 3,8655 · 108 bits d) 550 Mb = 550 · 210 · 210 bytes = 550 · 220 bytes = 550 · 228 bits 550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 ? 1011 bits

PER ACABAR...

144

a és una fracció irreductible, b a+1 a a) Quan és equivalent a ? b+1 b Si

a)

145

a +1 a = b +1 b ab + b = ab + a a=b

Si una fracció

b) I quan b)

a+b a és equivalent a ? b+b b

a+b a = b+b b ab + b2 = ab + ab → b2 = ab Com que b és diferent de zero: b = a

a a + b a −b és irreductible, les fraccions i són irreductibles? b a·b a·b

Com que els divisors de a + b són els divisors comuns de a i b: a+b (a + b) i a ⋅ b no tenen divisors comuns, i la fracció a·b és irreductible.

Com que els divisors de a − b són els divisors comuns de a i b: a−b (a − b) i a ⋅ b no tenen divisors comuns, i la fracció a·b és irreductible.

99

146

Demostra la igualtat següent:

∑ log k =1

99

∑log k =1

44

1+ k =1 k

99 1+ k 1 1+ k 1 99 1+ k = ∑ log = ∑ log = 2 k =1 k k k k =1 2 1 99 1 = ∑(log ( 1 + k ) − log k ) = (log 100 − log 1) = 1 2 k =1 2

SOLUCIONARI

147

Demostra aquestes igualtats: a) loga (b · c) = loga b + loga c

b b) loga   = loga b −loga c c

a) Per la definició de logaritmes: loga (b ? c) = x loga b = y ax = b ? c ay = b y z ay + z = b ? c a ?a =b?c És a dir: loga (b ? c) = loga b + loga c b) Per la definició de logaritmes: b loga   = x loga b = y c b ax = ay = b c ay b b = ay−z = az c c  b   Es decir: loga   = loga b − loga c c 148

1

loga c = z az = c loga (b ? c) = y + z

loga c = z az = c b loga   = y − z c

Demostra la igualtat següent: log (a2 −b2) = log (a + b) + log (a −b) log (a + b) + log (a − b) = log [(a + b)(a − b)] = log (a2 − b2)

149

Si l’àrea d’aquesta figura és 10 cm2, quina és la seva altura?

La longitud de la base fa: 1 +

D

C

2 cm h

Calculem l’altura: 10 =(1 + 2 ) ? h h=

10 1+ 2

150

=

10 − 10 2 = −10 + 10 2 cm −1

Dues peces mòbils d’una màquina es desplacen a la mateixa velocitat. La primera peça descriu una circumferència de 5 cm de radi i la segona es desplaça d’un extrem a l’altre del diàmetre d’aquesta circumferència.

1 A

A

B

1

5 cm

B

Si totes dues peces parteixen del mateix punt, coincidiran en algun moment?

Suposem que les dues peces parteixen de A. Anomenem v la velocitat que tenen els dos mòbils.

La distància que recorre el mòbil que es desplaça per la circumferència en els punts A i B és: 5π(k − 1), on k és un nombre natural. La distància que recorre el mòbil que es desplaça pel diàmetre en els punts A i B és: 10(k − 1), on k és un nombre natural. Les distàncies que recorre el mòbil que es desplaça per la circumferència són nombres irracionals, mentre que les distàncies que recorre el mòbil que es desplaça pel diàmetre són nombres naturals.

Per tant, els dos mòbils no coincidiran mai.

45